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NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA

Ing. Carina Martínez Página 1 de 27

OBJETIVOS

El propósito de este cuadernillo es que puedas recordar conocimientos básicos

de matemáticas y su aplicación en el estudio de los números naturales.

Al avanzar en las actividades de estudio descubrirás algunas curiosidades

haciendo operaciones con números; verás la importancia de escribir las

operaciones de modo que quede claro el orden en que deben resolverse;

adquirirás mayor fluidez en los cálculos, mentales o por escrito; ampliarás tus

conocimientos acerca de los diferentes significados de las fracciones como

partes de un todo o bien relacionadas con la operación de división, las formas de

escribirlas y operar con ellas.

TEMARIO

1) Concepto de número: Recta numérica y orden. Valor absoluto. Operaciones de

adición, sustracción, multiplicación y división. Operaciones combinadas.

Supresión de paréntesis, corchetes y llaves. TP N° 1.

2) Ecuaciones: Resolución de ecuaciones de primer grado. Transposición de

términos. Problemas. TP N° 2.

3) Potenciación y radicación de números enteros: Propiedades. Resolución de

ejercicios. TP N° 3.

4) Números racionales: Fracciones equivalentes. Reducción de fracciones.

Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Problemas. TP N°

4.

A partir de aquí comienza tu tarea con las actividades de esta nivelación. Vas a

usar conocimientos ya adquiridos para resolver nuevas situaciones que te

permitan repasar tus ideas acerca del uso de los números y el significado de las

operaciones, para resolverlas en forma ordenada y para poder recurrir a tus

respuestas cuando necesites revisarlas.

BIENVENIDOS…



1 - CONCEPTO DE NÚMERO

El concepto de número ha estado con el hombre desde hace miles de años, desde los números naturales hasta el de los número complejos. Con los números expresamos cantidades y también medidas pudiendo además operar con ellos. Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o cifra.

Los números más conocidos son los Números Naturales, que se usan para contar. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los Enteros. Cocientes de enteros generan los números Racionales. Si se incluyen todos los números que pueden expresarse con decimales pero no con fracciones de enteros, Irracionales, se habla entonces de los números Reales; si a éstos se les añaden los Números Complejos, se obtendrán todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica.

Números Naturales: N = {1,2,3,…}

Números Enteros: Z = {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

Números Racionales: Q = {x : x = a/b, donde a, b son enteros; con b distinto de 0}

Números Irracionales: números reales que no son racionales.

RECTA NUMÉRICA Y ORDEN

Para representar los números se construye una recta numérica escogiendo primero un punto en la recta que será un punto arbitrario al que se le llamará cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos en orden sucesivo y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos en orden sucesivo. Los números positivos se indican con el signo + o sin él. (Ejemplo 3 y +3 es la misma cantidad); los números negativos con el signo (Ejemplo: -3). Se emplean los símbolos igual o menor que ≤, igual o mayor que ≥ para la ordenación de los números enteros. REPRESENTACIÓN GRÁFICA La recta numérica es un gráfico de una línea horizontal en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente. Para representar estos números se seguirán los siguientes pasos:

1) Trazar una recta horizontal y cortarla en un punto, que será el punto cero (0). 2) En un segmento tomado como unidad, dar cortes en la recta horizontal.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros



3) Cada corte dado en la recta representa un número entero. Los situados a la derecha del cero serán los enteros positivos y los situados a la izquierda serán los enteros negativos.

Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando hasta infinito en cada dirección.

Las flechas en los extremos de la recta sugieren que la línea continúa indefinidamente en las direcciones positiva y negativa. Comparación de números enteros

Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Ej: +8 > - 3

De dos números negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ej: - 2 > - 4

El cero es mayor que cualquier número negativo. Ej: 0 > - 6

Un número es mayor cuanto más a la derecha de la recta numérica esté situado. VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número es la distancia que hay desde este número al cero. Es equivalente a escribir el número sin el signo. Se indica escribiendo el número entre dos barras. |− 3| = 3 Se lee “Valor Absoluto de menos tres es igual a tres”. |+ 5| = 5 Se lee “Valor absoluto de mas cinco es igual a cinco”.

El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:

Si el número es negativo, se convierte a positivo

Si el número es cero o positivo, queda igual

|7| = 7 |4| = 4 |-7| = 7 |-4| = 4

OPERACIONES: ADICIÓN Suma de números enteros del mismo signo. Para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos, y se deja el mismo signo.

( +3) + ( +2 ) = +5 ( +7 ) + ( +5 ) = +12 ( -4 ) + ( -6 ) = -10 ( -1 ) + ( -6 ) = -7

Suma de números enteros de distinto signo. Para sumar números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos y se coloca el signo del que tiene mayor valor absoluto.

( -3 ) + ( +5 ) = +2 ( +6 ) + ( -8 ) = -2



Propiedades de la suma de números enteros

Conmutativa El orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma. ( -3) + ( -7 ) = -10 ( -7 ) + ( -3 ) = -10

Asociativa

Si se tienen varios sumandos, pueden asociarse como se quiera, sin que varíe el resultado. [ ( -2) + ( +5)] + ( -8) = [ +3 ] + ( -8 ) = -5 ( -2 ) + [ ( +5 ) + ( -8 ) ] = ( -2 ) + [ -3 ] = -5

Elemento neutro

El elemento neutro de la suma de números enteros es el cero (0) ya que si se suma cero a cualquier número el resultado es el mismo número. ( +8 ) + 0 = +8 ( -5 ) + 0 = -5

Elemento opuesto

Dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y distinto signo. Al sumarlos da el elemento neutro (0). ( +3 ) + ( -3 ) = 0 ( -7 ) + ( +7 ) = 0

OPERACIONES: SUSTRACCIÓN

Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. ( +8 ) – ( +5 ) = ( +8 ) + ( -5 ) = +3 ( -1 ) – ( -8 ) = ( -1 ) + ( +8 ) = +7 ( -6 ) – ( +5 ) = ( -6 ) + ( -5 ) = -11 ( +4 ) – ( -5 ) = ( +4 ) + ( +5 ) = +9 Se propone una estrategia que da muy buen resultado: Puede asociarse el signo (+) a la idea de tener dinero y el (-) a deber dinero. OPERACIONES: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN REGLA DE LOS SIGNOS El signo del resultado de una multiplicación (o división) de dos enteros depende de qué signos tengan estos:

El producto de signos iguales es positivo. El producto de signos contrarios es negativo. El cociente de signos iguales es positivo. El cociente de signos contrarios es negativo.

4 x 4 = 16 -4 x -4 = 16 4 x -4 = -16 -4 x 4 = -16 7 : -7 = -1

-12 : -3 = 4



OPERACIONES COMBINADAS Suma y Resta

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = Comenzando por la izquierda, se reúnen los positivos y los negativos

9 + 5 + 8 + 2 − 7 − 6 − 4 = Se suman positivos y negativos para obtener el resultado

24 − 17 = 7 Sumas, restas y productos

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 = Se separan términos y resuelven primero los productos

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = Se efectúan las sumas y restas

= + 12 + 10 + 6 − 5 − 8 = 15 28 − 13 = 15

Sumas, restas, productos y divisiones

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 = Se separan términos y realizan los productos y cocientes en el orden en el que se encuentran

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = Efectuando las sumas y restas

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10 = 5 + 15 + 4 + 8 − 10 − 8 − 4 = 10

= 32 − 22 = 10 SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES

Como reglas generales se utilizarán las siguientes:

1) Cuando no hay paréntesis, corchetes ni llaves, se separan términos y se resuelven primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos se agrupan y después se suman.

2) Cuando hay paréntesis, se hacen primero los cálculos del paréntesis y después para quitar el paréntesis se aplica la regla de los signos: signo que haya delante del paréntesis por signo que haya dentro. Luego como en el punto 1.

3) Cuando hay paréntesis, corchetes y llaves se resuelven primero los paréntesis, se quitan aplicando la regla de los signos. Después los corchetes y por último las llaves. Luego se realizan los productos y divisiones y finalmente las sumas.

4) Los signos + al principio del polinomio no se colocan. 5) Cuando se suprime un paréntesis que lleva delante el signo menos (-), se

cambian todos los signos del interior del paréntesis. 6) Sumar por separado los enteros positivos, y por otro los enteros negativos, y

hallar el resultado entre ambos. Supresión de paréntesis:

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)= Se efectúan en primer lugar las operaciones contenidas en ellos



= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=

Se quita el paréntesis cambiando los signos según corresponda

= 15 − 4 + 3 − 12 + 10 + 5 + 4 − 5 + 10 − 8 = 15 + 3 + 10 + 5 + 4 + 10 − 4 − 12 − 5 − 8

= 47 − 29 = 18 Supresión de paréntesis y corchetes:

[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4)] − 3 + (8 − 2 · 3 ) = Primero se opera con las operaciones de los paréntesis

= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 )

Se realizan las sumas y restas de los paréntesis

= [15 − 3] · [5 + 2] − 3 + 2

= [12] · [7] − 3 + 2 Se opera con los corchetes

= 12 · 7 − 3 + 2 Se multiplica

= 84 − 3 + 2 = 84 + 2− 3

= 86 − 3 = 83

Supresión de paréntesis, corchetes y llaves:

14 − {7 + 4 · 3 - [(-2.2) · (- 12)]} Primero se trabaja con las operaciones de los paréntesis, luego con los corchetes y por último se resuelven las llaves

14 − {7 + 4 · 3 - [(-4) · (-12)]} =

14 − {7 + 4 · 3 - 48} = 14 − {7 + 12 - 48} = 14 − 7 - 19 + 48 = 14 + 48 – 7 - 19 =

62 – 19 = =43

La supresión de paréntesis, corchetes y llaves se realiza considerando que: Si va precedido del signo +, se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga. Si va precedido del signo −, se cambiará de signo a todos los términos que contenga.



TRABAJO PRÁCTICO N° 1

1) Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: 0, +4, -3, +5. 2) Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: -2, -4, +3,

+1, -4. 3) Añadir a cada número su correspondiente opuesto.

+38 +12 -1

+10 -224 +3.657

4) Escribe en orden de menor a mayor, todos los números enteros comprendidos

entre: a) -3 y +5 b) - 7 y 0 c) -2 y +6

5) Ordena de mayor a menor los siguientes números, y después represéntalos en la recta numérica: +3, -2, +5, -1, +2, 0.

6) Escribe los números enteros comprendidos entre: a) - 3 <...........................................< +1 c) 0 < ............................................< + 4 d) - 2 < .........................................< + 2

7) Completar la siguiente tabla:

Valor Absoluto Resultado Se lee

|+10| 10 Valor absoluto de mas 10 es igual a 10

|−8|

7

7

|−9|

Valor absoluto de menos 15 es igual a 15

8) Hallar el número que tiene valor absoluto 7 y está situado entre –8 y – 6.

Indicar el valor absoluto:

9) | +3| = 10) | -4 | = 11) | +7 | - | -2 | =

12) | -15 | - | -2 | = 13) | +5 | - | -2 | + 2. | -5 | = 14) | -2 | + 3: | -1 | - | -4 | =

Realizar las siguientes sumas:

15) ( +10) + ( +5 ) = 16) ( +4 ) + ( -6 ) = 17) ( +30) + ( -70 ) = 18) ( -8 ) + ( -5 ) = 19) ( -10 ) + ( -5 ) = 20) ( -25 ) + ( +35 ) =

21) ( -4 ) + ( -6 ) = 22) ( -4 ) + ( +10 ) = 23) ( -15 ) + ( -4) =


24) ( +8) + ( +12 ) + ( -23 ) + ( -7 ) = 25) ( +7 ) + ( -2 ) + ( +13 ) + ( -8 ) =

26) ( -5 ) + ( -12 ) + ( +7 ) + ( +3 ) = 27) ( +15 ) + ( -4 ) + ( +1 ) + ( -3 ) + ( -6 ) =

28) Expresar la siguiente situación como suma de números enteros y resolver: Un

autobús sale de la estación con 19 pasajeros; en la primera parada bajan 8 y suben 12; en la segunda bajan 14 y suben 16, y en la tercera bajan 23 y suben 7. ¿Cuántos viajeros lleva ahora el autobús?



Realizar las siguientes restas: 29) (-2) – ( -7) = 30) -12 – ( - 4) = 31) ( -30 ) – ( -25 ) =

32) ( +10 ) - ( +15 ) = 33) ( -18 ) – ( +25 ) = 34) (-8) - (-9) - (+5) =

35) En Etiopía se localiza el lugar más caluroso del mundo con una temperatura

media anual de 34 ºC. En la Antártida está el sitio más frío con una temperatura media anual de -58º C. ¿Cual es la diferencia de temperatura entre uno y otro lugar?

Multiplicar y dividir utilizando la regla de los signos:

36) ( -5 ) · ( +4 ) = 37) ( +1 ) · ( +8 ) =

38) ( +48 ) : ( +6 ) = 39) ( -100 ) : ( +25 ) =

Suprimir paréntesis y efectuar las operaciones:

40) - 25 – ( 5 –8 – 10 )

41) +5 - ( 4 + 3 ) - ( -3 – 8 )

42) - ( 10 + 8 – 3 ) + 24

43) 25 + ( -10 – 8 ) + 3

44) (-2) · (3) - (6) : (-2) - (-5)

45) (-30) : (-10) - (-2) · (-2) - (-4) · (1)

46) (-2) · (-3) · (4) - (-2) : (-1) - (-2)

47) (-50) : (-2) - (-3) · (-2) + (-4) · ( 5)

48) - ( 8 – 3 + 5 – 1 ) + ( - 8 – 3 + 9 ) – ( - 1 + 5 – 2 )

Suprimir paréntesis y corchetes y efectuar las operaciones:

49) 18 + [ 9 – ( -3) + 5 ]

50) - 22 + [ 12 – ( 8 – 14 ) ] + 2

51) - [ 5 – ( 9 + 2 ) + (3 – 7 ) ] – 6

52) 9 – [ - 5 + ( - 5 + 7 ) – ( - 6 – 3 ) ]

53) 2 [(4 – 3) – (5 – 9 – 2) + (7 – 4)]

54) - 32 + ( 15 – 9 ) – [ - 4 + 15 + ( - 8 ) ]

55) [ ( + 3 ) – ( - 5 ) + ( - 7 ) ] – [ ( + 2 ) – ( - 10 ) ]

56) ( +3 ) · ( -2 ) - [ ( -1 ) · ( -2 ) - ( +4 ) : ( -2 ) ] - ( -2 )

57) 4 - [ 60 : ( 12 – 2 + 5 ) + ( -2 + 5 ) . ( -2 ) – 12 : ( 6 – 4 ) ]

Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones:

58) { ( -4 ) · [ ( -3 ) + ( -2 ) : ( -1 ) ] - ( -3 ) · ( -2 ) }

59) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8

60) { 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3} - 3

61) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4

62) -3 ( 4 – 6 ) – 2 { 5 [ 3 – 5 ( -7 + 5 ) – 3 ] }

63) 4 – 2 { 3 [ 5 – 2 ( 5 – 6 ) – 7 ] + 10 } + 17

64) 7 . 4 - { [ -2 – ( -2 . 2 + 4) – 12 ] – 4 . ( -1 ) }

65) { [–(2 – 5) + (–3) (–2 + 3)] : [(–5) (6 + 3) ] } – 4



Ejercicio Respuesta

Ejercicio Respuesta

Ejercicio Respuesta

36 -20

46 24

56 -8

37 8

47 -1

57 12

38 8

48 -13

58 -2

39 -4

49 35

59 46

40 -12

50 -2

60 10

41 9

51 4

61 37

42 9

52 3

62 -94

43 10

53 20

63 1

44 2

54 -29

64 38

45 3

55 -11



2 - ECUACIONES

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para valores definidos de una variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de x que hacen verdadera la igualdad. TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS

La transposición de términos es una técnica que permite resolver ecuaciones de manera sencilla. Con esta técnica se agrupan en un miembro todos los términos con x, y en otro, los términos independientes. Importante:

Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado.

Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divide pasa multiplicando.

Ejemplos:

6x – 10 = x + 5 6x – x = 5 + 10 (Agrupar los términos con x a uno de los lados de la igualdad y aquellos sin x del otro) 5x = 15 (Resolver la igualdad) x = 15/5 (Despejar x y resolver) x = 3 Otro ejemplo sencillo: 4x - 7 = 2x + 1 4x - 2x = 1 + 7 2x = 8 x = 4 Verificación:

A fin de comprobar la validez de la solución se sustituye x por 4 en la ecuación y se calcula el valor de cada miembro. Si los valores así obtenidos son iguales, la solución es correcta. Para el ejemplo anterior la comprobación es: Primer miembro: 4. 4 - 7 = 16 - 7 = 9 Segundo miembro: 2. 4 + 1 = 8 + 1 = 9 Por lo tanto, x = 4 es la solución de la ecuación dada.



PROBLEMAS: Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Ejemplos: 1) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano? Para resolver estos problemas se debe elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso: x = edad del hermano menor. A partir de esto expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: x + 3: edad del hermano mediano x + 3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40, por lo tanto: x + x+3 + x+7 = 40 Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10; luego la solución del problema es: Edades de los tres hermanos: 10, 13 y 17 años 2) Juan tiene el doble de dinero que Luis y entre los dos tienen $123 ¿Cuánto dinero tiene Luis? x: dinero de Luis 2x: dinero de Juan 2x + x = 123 3x = 123 x = 123/3 x = 41 Luis tiene $41




Resolver las siguientes ecuaciones realizando su verificación.

1) 3x = 6 2) x – 15 = - 27 3) -5 + 6x = 7

4) 6x – 10 = -16 5) 15x – 6 = 9 6) 12x + 12 = 72

7) -10x + 9 = -81 8) 5x - 15 = 15 9) 2x - 13 = -19

Resolver las siguientes ecuaciones:

10) 5 - 2d = 9

11) - 3f + 1 = 4

12) -12x - 15 = 9

13) 13 - h = 13

14) 3x + 1 = x - 3

15) 2k + 7 = 12 - 3k

16) 1 - 3x = 2x - 9

17) x - 3 = 2 + 2x

18) 3x - 1 = 2.(x + 1)

19) 12x = 3.(3x - 5)

20) -2.(2x - 3) = 6 + x

21) 2x - 1 = 3.(x + 2) – 6x

22) -5x - (4 - x) = 8 - (-x - 2)

23) 2.(x + 2) – 5.(4x - 3) = 1

24) 4 – 2.(x + 7) - (3x + 5) = 2x - (x - 3)

Resolver las siguientes situaciones problemáticas:

25) Un número más su doble suman 210 ¿Cual es ese número?

26) Si al tripe de un número se le resta el mismo número resulta 54. ¿Cuál es el

número?

27) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m.

más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?

28) Calcular 3 números consecutivos cuya suma sea 51.

29) Calcular el número que sumado a su anterior y a su siguiente da 114

30) La edad de Juan es el doble que la de Pepe y la edad de Pepe es el triple que la

de Antonio, si entre todos ellos suman 30 años ¿Cual es la edad de Antonio?

31) Pedro tiene el doble de dinero que José y María tiene el tripe que José. ¿Cuánto

dinero tiene cada uno si entre los tres suman $900?



3 - POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS

La potenciación es una operación matemática que se indica como an, y se lee "a elevado a n". Involucra dos números: la base a y el exponente n. Cuando un número a (base) está elevado a otro número n (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente. En el siguiente ejemplo puede verse que el 3 debe multiplicarse 4 veces.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION POTENCIA DE EXPONENTE 0

Cualquier potencia con exponente 0 es igual a 1 (la base nunca debe ser 0).

a0 = 1

POTENCIA DE EXPONENTE 1

Cualquier potencia con exponente 1 es igual a la base.

541 = 54 POTENCIAS DE IGUAL BASE

Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.

x = x1

x . x = x 2

x . x . x = x3

Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.

a5 : a3 = a 5-3 = a2

34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

Exponente

Base

22 . 23 . 22 = a 2+3+2 = 27 = 128

a2 . a3 . a = a 2+3+1 = a8

34 : 32 = 3 4-2 = 32 = 9



POTENCIA DE UNA POTENCIA Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes. EXPONENTE PAR

Las potencias con EXPONENTE PAR dan siempre como resultado NÚMEROS POSITIVOS. EXPONENTE IMPAR

Las potencias con exponente IMPAR tienen como resultado un número cuyo SIGNO es IGUAL al de la BASE PROPIEDAD DISTRIBUTIVA La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION. La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

RADICACION DE NUMEROS ENTEROS

Para sacar la raíz de un número (radicando), se busca el número que elevado al índice dé por resultado el radicando. Ejemplos: √25 = 5 porque 5² = 25 3√27 = 3 porque 33 = 27

(22)3 = 22.3 = 26 = 64

32 = 9 y (-3)2 = 9

33 = 27 y (-3)3 = -27

(2 . 3)2 = 22 . 32 62 = 4 . 9

36 = 36

(2 + 3)2 ≠ 22 + 32 52 ≠ 4 + 9

25 ≠ 13

3√8 = 2 porque 23 = 8 Indice

Radicando

Raíz



PROPIEDADES DE LA RADICACION INDICE PAR Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, se usará el resultado positivo.

42 = 16 (-4)2 = 16

INDICE IMPAR Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el MISMO SIGNO que el RADICANDO.

RAIZ DE UNA RAIZ

En este caso se MULTIPLICAN los ÍNDICES.

√3√64 = 2.3√64 = 6√64 = 2 porque 26 =64

o bien: √3√64 = √4 = 2 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La radicación es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.

Si X e Y son números reales positivos, entonces nn

n

y

x

y

x

En la multiplicación En la división

La radicación NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

En la suma En la resta

√-16 no se puede hacer porque

42 = 16

(-4)2 = 16

Nunca dará negativo

√16 = ± 4 porque

3√8 = 2 porque 3√-8 = -2 porque

23 = 8 (-2)3 = -8

√4 . 9 = √4 . √9 √36 = 2 . 3 6 = 6

√16 : 4 = √16 : √4 √ 4 = 4 : 2 2 = 2

√4 + 9 = √4 + √9 √13 = 2 + 3 √13 ≠ 5

3√27 - 8 = 3√27 - 3√8 3√19 = 3 – 2 3√19 ≠ 1




Escribir en forma de una sola potencia:

1) 33 · 34 · 3 = 2) 57 : 53 = 3) (53)4 =

4) (5 · 2 · 3)4 = 5) (34)4 = 6) (62)3 =

7) (25)4 = 8) (43)2 = 9) [ (-3)3]2 =

10)25 · 24 · 2 = 11)(-2)7 : (-2)6 = 12)[(23 )4]0=

Resolver y escribir el nombre de la propiedad que debe aplicarse para su resolución:

13)76 : 73 = 14)42 . 45 =

15)(22)4 = 16)[(22 )3]2=

Realizar las siguientes operaciones con potencias:

17) (−2)0 . (−2) = 18) 5−2 : 5−3 = 19) (−2)−2 · (−2)3 · (−2)2 =

20) 2−2 · 2−3 · 24 = 21) 22 : 23 = 22) 2−2 : 23 =

23) 22 : 2−3 = 24) 2−2 : 2−3 = 25) [(−2)− 2] 3 · (−2)3 · (−2)4 =

26) (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = 27) (−8) · (−2)2 = 28) (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=

29) 3−2 · 3−4 · 34 = 30) 4−2 : 43 = 31) (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =

Extraer factores cuando sea posible:


Realizar los siguientes productos:

Efectuar las divisiones de radicales:

ECUACIONES CON POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

32) 33)

34) 35)

36) 37)

38) 39)



Se cumplen las mismas propiedades vistas para la resolución de potencias y radicales; para despejar x se procede de igual manera que lo aprendido en paso 1b.

Ejemplo:

POTENCIACION RADICACION

x2 - 4 = 0

x2 = 4

x = √4

x = ± 2

3√x = 3

x = 33

x = 27

4 - NÚMEROS RACIONALES (Q)

Una fracción es una parte de la unidad. Cuando se tiene una unidad cualquiera, puede interesar una parte más pequeña para tomar. Ej: si hay una tarta de 8 porciones y hay cuatro personas, lo normal sería que cada persona tomase dos porciones, expresándose así:

Lo que aquí se expresa es que cada persona tomaría dos octavos de tarta, es decir, dos partes de las ocho que hay.

Una fracción es una expresión de la forma b

a donde a, b Є Z y b ≠ 0. En esta

expresión los números a y b se llaman: a numerador y b denominador. Para el ejemplo anterior: la parte de arriba (2) sería el numerador, y la parte de abajo (8), el denominador. FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones b

a y

d

c son equivalentes, si al aplicarles el mismo número al

numerador y al denominador se obtiene el mismo resultado. Para saber si dos fracciones son equivalentes los productos cruzados deben ser iguales.

Ejemplo:



Comprobar si las siguientes fracciones son equivalentes, al aplicarles al entero 4: 1/2 ; 2/4; 3/6 ; 4/8 4 . (1/2) = 2 4 . (2/4) = 2 4 . (3/6) = 2 4 . (4/8) = 2

REDUCCIÓN DE FRACCIONES

A excepción de las fracciones irreducibles, una fracción puede simplificarse dividiendo ambos términos entre un mismo número:

La fracción original y la reducida serán equivalentes. Para recordar:

a. Si se multiplica el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, la nueva fracción es equivalente a la primera (amplificación).

b. Si se divide el numerador y el denominador de una fracción por un número que sea divisor de ambos se obtiene una fracción equivalente a la primera (simplificación).

c. Mediante la amplificación y la simplificación de una fracción se obtienen fracciones equivalentes.

Si b

a y

d

c son números racionales, entonces

b

a <

d

c sí y solo sí a . d < b . c o

geométricamente, si b

a está a la izquierda de

d

c en la recta numérica.

La inversa de la fracción b

a es la fracción

a

b.

Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador y es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador. REDUCCIÓN A FRACCIÓN IRREDUCIBLE

Hallando el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de los dos términos y dividiendo ambos términos por él, se llega a una fracción irreducible. Ejemplo: Hallar la fracción irreducible de:


temario - mendoza...de matemáticas y su aplicación en el estudio de los números naturales. al...

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