Universitatea Politehnica BucurestiAutomatica si informatica industriala

2014-2015

Tehnici avansate de conducere a proceselor

-Tema 1-

Student:Baciu Laurentiu-Costin

Profesor: Conf. dr. ing. Calin Soare

Cerinta:

1) Se considera problema liniar patratica asociata sistemului dinamic ẋ = Ax + Bu, in care

matricea A=( 0 1 00 0 1

−6 −11 −6) , B=(001) pentru care asociem criteriul integral J=

∫0

∞

(xTQx+uT Ru )dt; unde Q-matrice diagonala.

Q1=(2n+1 0 00 3 n2−n+1 00 0 n+1) , si R=(n) ,

n- reprezinta numarul studentului din catalog.

Sa se determine legea de comanda optimala si sa se simuleze raspunsul pentru initializarea x0=(10 10 10 ).

2) Acelasi lucru pentru Q =100*Q si apoi R=100*R. Sa se interpreteze rezultatele comparand raspunsurile sistemului.

3) Pentru o matrice C=(1 0 0 ) sa se evalueze posibilitatea anularii erorii stationare pentru o intrare treapta.

Observatie: n=1

1

Rezolvare

1) Pentru rezolvarea problemei am implementat in MATLAB functia urmatoare:

Pentru un sistem continuu reprezentat pe stare, legea de comanda u = -Kn*x minimizeaza

functia cost J=∫0

∞

(xTQx+uT Ru )dt, cu sistemul dinamic asociat ẋ = Ax + Bu .

Functia MATLAB lqr (Linear-quadratic regulator) returneaza:

- vectorul de amplificare K- Solutia S a ecuatiei algebrice Riccati associate- Matricea E continand valorile proprii in bucla inchisa E=eig(A-B*K)

2

In cazul de fata, K are urmatoarele valori corespunzatoare celor 3 intrari ale sistemului:

Pentru a simula sistemul am utilizat urmatoarea secventa de cod:

Unde x0=(10 10 10 ) si vectorul de timp ts = [0:0.01:10]Rutina ode45 utilizeaza metoda Runge-Kuttapentru a rezolva ecuatia diferentiala.Graficul cu cele 3 iesiri ale sistemului a rezultat in felul urmator:

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

t[s]

x

2) Functia folosita la rezolvare pentru Q =100*Q si apoi R=100*R este:

K are exact aceleasi valori ca si in cazul anterior:

Comanda optimala este data de: u = -Kn*x , unde Kn ia valorile de mai sus. Simularea s-a facut cu secventa de cod:

4

Graficul obtinut este aproximativ identic cu cel obtinut in primul caz:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

t[s]

x

3) Pentru a testa posibilitatea anularii erorii stationare am implementat urmatoarea structura in Simulink:

Pentru orice regulator de tip PI: KR*(1+1/Ti*s), eroarea stationara este anulata.

Totusi, alegerea valorilor pentru KR si Ti influenteaza performantele obtinute.

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

6