HIDRÁULICA FLUVIAL

Prof. Ada Moreno Barrios

TEMA N° 7. FLUJO DE AGUA EN EL SUELO

El flujo de agua en un medio poroso cumple con la ley de Bernoulli y así, aplicando dicha ecuación

entre una sección 1 y 2, se tiene:

𝑍1 +𝑃1

𝛾+𝑉1

2

2𝑔= 𝑍2 +

𝑃2

𝛾+𝑉2

2

2𝑔+ ∆𝑕

Donde h es la pérdida de carga hidráulica entre las dos secciones.

En general, la magnitud de las velocidad media del agua en el suelo V, es muy pequeña (del orden

de 0.1 m/s), por lo tanto la carga de velocidad V2/(2g) es de menos de 5x10-4 m. Así, despreciando

dicho término, la ecuación anterior queda de la siguiente manera:

∆𝑕 = (𝑍1 +𝑃1

𝛾) − (𝑍2 +

𝑃2

𝛾)

Ley de Darcy

La velocidad de descarga V en suelos de granos finos saturados, donde la circulación del agua no

afecta la estructura del material, puede establecerse como:

𝑉 =𝑘

𝜇𝑖𝑝

Donde µ: Viscosidad absoluta del fluido

K: Permeabilidad del suelo

ip: Gradiente de presión

𝑖𝑝 = −𝑑𝑢

𝑑𝑠= −

𝑑(𝛾𝑕)

𝑑𝑠

Donde u: Sobrepresión hidrostática

ds: Medido a lo largo de la trayectoria media del flujo

Para fluido incompresible:

𝑖𝑝 = −𝛾𝑑𝑕

𝑑𝑠= 𝛾𝑖

Donde i es el gradiente hidráulico

Luego:

𝑉 =𝑘

𝜇𝑖

Donde k/µ es igual al coeficiente de permeabilidad del suelo K, por lo tanto la ecuación de Darcy

queda:

𝑉 = 𝐾𝑖

Valores Típicos del coeficiente de permeabilidad

Tipo de suelo Intervalo de K (m/s)

Gravas limpias 100-1

Arenas limpias 1-10-3

Arenas muy finas, limos y mezclas de ambos 10-3-10-7

Arcillas 10-7-10-9

FUENTE: Marsal y Resendiz, 1975 citado por Flórez

Ecuación de Laplace

𝜕2𝑕

𝜕𝑥2+𝜕2𝑕

𝜕𝑦2= 0

La solución a la ecuación anterior está representada, geométricamente, por 2 familias de curvas

mutuamente ortogonales que dan origen a lo que se conoce como red de flujo. Las líneas

equipotenciales o líneas que unen puntos de igual carga hidráulica constituyen una de dichas

familias de curvas, y la otra está conformada por las líneas de corriente o líneas de flujo, que serán

definidas como curvas tangentes en todos sus puntos al vector velocidad.

Para la deducción de la ecuación anterior se han planteado 6 hipótesis:

- Relación de vacíos constante

- Fluido Incompresible

- Validez de la ley de Darcy

- Suelo homogéneo

- Suelo isotrópico

- Flujo Bidimensional

Analizando el flujo a través de un elemento diferencial de suelo:

Si se considera la relación de vacíos constante en el volumen de suelo y que el fluido es

incompresible, el caudal de entrada será igual al caudal de salida:

𝑄𝑒 = 𝑄𝑠

El caudal de entrada Qe será igual a:

𝑄𝑒 = 𝑉𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

Donde Vx, Vy y Vz son los componentes del vector velocidad en las tres direcciones, y dx, dy y dz

son las dimensiones del volumen de control.

El caudal de salida Qs está dado por:

𝑄𝑠 = 𝑉𝑥 +𝜕𝑉𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦 +

𝜕𝑉𝑦

𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧 +

𝜕𝑉𝑧

𝜕𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦

Donde 𝑉𝑥 +𝜕𝑉𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥 , 𝑉𝑦 +

𝜕𝑉𝑦

𝜕𝑦𝑑𝑦 , 𝑉𝑧 +

𝜕𝑉𝑧

𝜕𝑧𝑑𝑧 , son las velocidades a la salida en las

direcciones X, Y y Z.

Igualando ambos caudales quedaría lo siguiente:

𝑉𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

= 𝑉𝑥 +𝜕𝑉𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦 +

𝜕𝑉𝑦

𝜕𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧 +

𝜕𝑉𝑧

𝜕𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦

Eliminando los signos de agrupación:

𝑉𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑉𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑉𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +𝜕𝑉𝑥

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 + 𝑉𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 +

𝜕𝑉𝑦

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑉𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 +

𝜕𝑉𝑧

𝜕𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝜕𝑉𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑉𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑉𝑧

𝜕𝑧= 0 Ecuación 1. Continuidad para flujo permanente

Suponiendo, ahora, la validez de la ecuación de Darcy, se tiene:

𝑉𝑥 = 𝐾𝑥 ∗ 𝑖𝑥 = 𝐾𝑥 ∗𝜕𝑕

𝜕𝑥

𝑉𝑦 = 𝐾𝑦 ∗ 𝑖𝑦 = 𝐾𝑦 ∗𝜕𝑕

𝜕𝑦

𝑉𝑧 = 𝐾𝑧 ∗ 𝑖𝑧 = 𝐾𝑧 ∗𝜕𝑕

𝜕𝑧

Donde Kx, Ky y Kz son los coeficientes de permeabilidad en las direcciones X, Y y Z.

Suponiendo suelo homogéneo, es decir, la permeabilidad es igual en todos los puntos, se puede

escribir que:

𝜕𝑉𝑥

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥(𝐾𝑥

𝜕𝑕

𝜕𝑥) = 𝐾𝑥

𝜕2𝑕

𝜕𝑥2

𝜕𝑉𝑦

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦(𝐾𝑦

𝜕𝑕

𝜕𝑦) = 𝐾𝑦

𝜕2𝑕

𝜕𝑦2 Ecuaciones 2.

𝜕𝑉𝑧

𝜕𝑧=

𝜕

𝜕𝑧(𝐾𝑧

𝜕𝑕

𝜕𝑧) = 𝐾𝑧

𝜕2𝑕

𝜕𝑧2

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones 2, en la ecuación 1, se obtiene lo siguiente:

𝐾𝑥𝜕2𝑕

𝜕𝑥2+ 𝐾𝑦

𝜕2𝑕

𝜕𝑦2+ 𝐾𝑧

𝜕2𝑕

𝜕𝑧2= 0

Asumiendo ahora la hipótesis del suelo isotrópico, en donde la permeabilidad en todas las

direcciones es la misma, entonces Kx=Ky=Kz=K, la ecuación anterior puede reescribirse:

𝜕2𝑕

𝜕𝑥2+𝜕2𝑕

𝜕𝑦2+𝜕2𝑕

𝜕𝑧2= 0

Suponiendo que el análisis se haga para flujo bidimensional, la ecuación definitiva es:

𝜕2𝑕

𝜕𝑥2+𝜕2𝑕

𝜕𝑦2= 0

Condiciones de borde y Línea Superior de Flujo

Condiciones de borde

El primer paso para resolver un problema de trazado de redes de flujo es establecer las

condiciones de borde, de contorno o de frontera. En medios homogéneos e isotrópicos se pueden

presentar cuatro diferentes fronteras:

Frontera Suelo Infiltrado – Suelo Impermeable: A través de esta frontera el agua no

puede fluir, por lo tanto las componentes de velocidad normales a dicha línea son nulas.

Se define como una línea de flujo, porque el vector velocidad es tangente a ella en todos

sus puntos.

Ecuación de Laplace, válida

para flujo bidimensional

Frontera Agua – Suelo Infiltrado: En cualquier punto de esta frontera la carga hidráulica

es constante e igual a H, por lo tanto se trata de una línea equipotencial.

Frontera Suelo Infiltrado – Suelo Permeable No Infiltrado: Este tipo de contorno es una

línea de corriente, concretamente la Línea Superior de Flujo (LSF), ya que no hay

componentes de velocidad normales a ella. Sin embargo, esta línea de corriente tiene

características especiales ya que, a todo lo largo de ella, la presión es constante e igual a la

presión atmosférica, es decir, presión relativa nula. Como además la velocidad de flujo es

despreciable, la carga hidráulica total es H = Z, donde Z es la cota; por lo tanto la carga

hidráulica de las equipotenciales que cortan a la LSF será igual a la cota del punto de

intersección.

Frontera Suelo Infiltrado – Aire: En cualquiera de sus puntos la carga hidráulica es igual a

la cota, ya que la presión relativa es nula, pero como no es constante no es una

equipotencial. Hay flujo a través de ella, por lo que tampoco es una línea de corriente. Es

una cara de descarga libre.

Línea Superior de Flujo (LSF)

Cuando el flujo es confinado no existe LSF, pero en aquellos casos en los que la región de flujo no

está completamente definida, se debe trazar la LSF para delimitarla. La LSF es la traza de una

superficie libre.

Trazado de la Línea Superior de Flujo para α≤60°: - Localizar el punto C, sabiendo que CC’=0.3M, donde M es la longitud de la proyección del

talud mojado de aguas arriba, sobre una horizontal que pasa por O.

- Ubicar el punto D, empleando cualquiera de los siguientes métodos:

o Analítico:

𝑎 = 𝑆𝑜 − 𝑆𝑜2 −𝑕2

𝑠𝑒𝑛2 ∝

C’ C T

O

0.3M

H

M

d

Donde 𝑎 es la longitud de la cara de descarga libre, medida sobre el talud mojado de aguas abajo,

So es la longitud de la parábola de Dupuit más la cara de descarga libre igual a 𝑆𝑜 = 𝑕2 + 𝑑2 ; h

es la carga hidráulica y α es el ángulo de inclinación del talud mojado de aguas abajo.

o Gráfico:

a. Proyectar el talud mojado de aguas abajo sobre la cresta.

b. Con radio OC y centro en O intersecar la línea del paso anterior en B.

c. Trazar la semicircunferencia de diámetro OB.

d. Con radio OT y centro en O intersecar la media circunferencia del paso

anterior en el punto B1.

e. Con centro en B y radio BB1 intersecar el talud mojado de aguas abajo

en D.

- Dibujar la parábola base o de Dupuit entre los puntos C, D y T.

o Dividir en 4 tramos iguales los segmentos CT y TD.

o Enumerar los puntos de subdivisión en sentido contrario a las agujas del reloj.

o Trazar horizontales por los puntos que se encuentran ubicados sobre el tramo TD.

o Trazar cuerdas desde el punto D hasta cada uno de los puntos ubicados sobre el

segmento CT.

C’ C T

O

0.3M

H

M

d

a D

Paso a.

Paso b. Paso c.

Paso d.

C’ C T

O

H

B

B1

D

Paso d.

Paso e.

o Finalmente, unir puntos con igual numeración.

- Completas la LSF dibujando a mano alzada la curva de transición de entrada y salida, de

acuerdo a las siguientes condiciones:

Condiciones de entrada:

Condiciones de salida:

Trazado de la Línea Superior de Flujo para α>60°:

- Localizar el punto C, sabiendo que CC’ = 0.3M, donde M es la longitud de la proyección del

talud mojado de aguas arriba sobre una horizontal que pasa por O.

- Calcular Yo:

o Analíticamente:

𝑌𝑜 = 𝑕2 + 𝑑2 − 𝑑

1

2

3

1 2 3 C T

D

=90° DIQUE

90°

<90° DIQUE

90°

>90° DIQUE

α<90°

DIQUE

α=90°

DIQUE

α>90°

DIQUE

α=180°

DIQUE

o Gráficamente:

Proyectar hasta la horizontal que pasa por O el punto C, con un arco de

circunferencia de radio OC y centro en O.

Proyectar con una vertical el punto C hasta la horizontal que pasa por O.

Yo será la longitud que separa ambas proyecciones.

- Dibujar la parábola base a través de la siguiente ecuación, válida para 0≤Y≤h:

𝑥 =𝑌2 − 𝑌𝑜2

2𝑌𝑜

- Con el ángulo de la cara de descarga α, obtener la corrección de Casagrande (Cc) de la

siguiente figura:

𝐶𝑐 =∆𝑎

(𝑎 + ∆𝑎)

∆𝑎 = 𝐶𝑐(𝑎 + ∆𝑎)

- Llevar a, a partir del corte entre la parábola base y la cara de descarga para obtener el

punto real de descarga de la LSF.

- Trazar a mano alzada las correcciones a la entrada y salida de la LSF, recomendadas

previamente.

Determinación de presiones y caudal de infiltración en base a la red

de flujo. Considerando un canal de flujo cualquiera, el correspondiente caudal por unidad de ancho es:

𝑞 = 𝑉 𝐴 = (𝑘 𝑖 ) (𝑎)

Si: 𝑖 =∆𝑕

𝑎

Entonces: ∆𝑞 = 𝐾 ∆𝑕

𝑎 (𝑎)

∆𝑞 = 𝐾∆𝑕

Pero: ∆𝑕 =𝑕

𝑛𝑒

Donde ne es el número de caídas de potencial

Luego: ∆𝑞 = 𝐾𝑕

𝑛𝑒

a

a

q

Líneas

equipotenciales

Líneas

de flujo

Considerando todos los canales de flujo nf de la red de flujo:

𝑞 = 𝑛𝑓∆𝑞 =𝑛𝑓

𝑛𝑒𝐾𝑕

Donde nf/ne es el factor de forma de la red de flujo.

Para estimar, de forma analítica, la presión de poros en un punto cualquiera de la red de flujo se

aplica la ecuación de Bernoulli entre dicho punto y otro sobre la superficie libre:

𝑍0 +𝑃0

𝛾+𝑉0

2

2𝑔= 𝑍1 +

𝑃1

𝛾+𝑉1

2

2𝑔+ 𝑕𝑓0−1

Po = 0; Vo y V1 son despreciables, adicionalmente 𝑕𝑓0−1 = 𝑛𝑒0−1 ∗ ∆𝑕 , por lo tanto:

𝑃1

𝛾= 𝑍0 − 𝑍1 − 𝑛𝑒0−1 ∗ ∆𝑕

𝑃1 = 𝛾(∆𝑍 − 𝑛𝑒0−1 ∗𝑕

𝑛𝑒)

La metodología gráfica de la estimación de presiones requiere trazar una equipotencial que pase

por el punto de interés, e interceptarla con la LSF, para observar el desnivel existente entre dicha

de intersección y el punto donde se quiere estimar la presión.

Pm = Z

m

a

Pm/=Z

Líneas

equipotenciales

Línea Superior

de flujo