Física I

Alejandra Escobar

Gomes

TEMA II. Cinemática

UNIVERSIDAD FERMÍN TORO

VICE RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

TEMA II. CINEMÁTICA

La cinemática es la rama de la física mecánica que se encarga del estudio de las

leyes del movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que producen dicho

movimiento, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del

tiempo.

Movimiento de un Cuerpo

Se dice que un cuerpo se encuentra en movimiento con respecto a un p unto fijo

(sistema de referencia), cuando su posición varia con el tiempo, con respecto a dicho

punto. Para entender el movimiento, es necesario hacer una descripción de las distintas

magnitudes que intervienen en su desarrollo. Dichas magnitudes se conocen como los

elementos del movimiento, los cuales son:

El móvil o partícula material: un móvil es todo cuerpo capaz de moverse. Por otra parte

una partícula se puede definir como un elemento de tamaño diferencial (muy pequeño)

cuyas dimensiones pueden despreciarse.

La trayectoria: la trayectoria de un cuerpo en movimiento son los puntos del espacio

que ocupa el cuerpo o partícula en movimiento a través del tiempo. Este conjunto de

puntos originan una línea, por lo tanto la trayectoria se puede decir que es la línea

formada por todos y cada uno de los puntos ya ocupados por el móvil o partícula a

medida que transcurre el tiempo.

La posición: es el punto donde se localiza el móvil o partícula con respecto a un sistema

de referencia en un determinado instante de tiempo.

Sistema o punto de referencia: es el punto que toma el analista como referencia (punto

guía) para realizar el estudio del movimiento.

El tiempo: es el intervalo de duración de un fenómeno.

Reposo: es la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia que no

presenta cambios con respecto al tiempo.

Desplazamiento: es la diferencia entre dos vectores posición, o también, es el cambio

del vector posición de la partícula con respecto a un sistema de referencia. El

desplazamiento es una magnitud vectorial, porque además de módulo está dotada de

dirección y sentido.

Distancia recorrida: es el valor absoluto del desplazamiento.

Clasificación de los Movimientos

El Movimiento según su Trayectoria y Desplazamiento

Según su Trayectoria:

Rectilíneo (Traslación): un cuerpo se encuentra en movimiento rectilíneo o de

traslación en line recta, cuando un segmento de él se mantiene paralelo a si mismo

durante todo el movimiento.

Curvilíneo (Rotación): un cuerpo se encuentra en movimiento curvilíneo o de

rotación cuando sus puntos describen una trayectoria curva o circular, la cual posee un

centro sobre una recta llamada eje de rotación.

Según su Desplazamiento:

Uniforme: un cuerpo está en movimiento uniforme cuando realiza

desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales.

Acelerado (Variado): un cuerpo está en movimiento acelerado o variado cuando

realiza desplazamientos desiguales en intervalos de tiempo iguales.

Los Movimientos

Según suTrayectoria

Rectilineo (Traslación)

Curvilineo (Rotación)

Según suDesplazamiento

Uniforme

Acelerado (Variado)

El Movimiento según sus Dimensiones

Movimiento en una Dimensión

Un movimiento en una dimensión es aquel que ocurre a lo largo de un solo eje, es

decir sobre el eje 𝑥 o el eje 𝑦. Para estudiar los movimientos en una dimensión hay que

conocer las siguientes definiciones:

Velocidad Media (𝒗𝒎⃗⃗ ⃗⃗ ⃗): es la rapidez de cambio del desplazamiento en un

instante de tiempo.

𝑣𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗ =∆𝑥

∆𝑡=

𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡𝑜 (𝑚 𝑠⁄ )

Rapidez Media (𝑽𝒎): se define como la distancia total recorrida entre el

intervalo de tiempo requerido para recorrer dicha distancia.

𝑉𝑚 =∑|∆�̅�|

𝑡 (𝑚 𝑠⁄ )

Velocidad Instantánea (�⃗⃗� ): velocidad de la partícula en cualquier instante o

punto específico de su trayectoria.

𝑣 = lim∆𝑡→0

𝑣𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗ = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡= lim

∆𝑡→0

𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡𝑜=

𝑑𝑥

𝑑𝑡 (𝑚 𝑠⁄ )

Los Movimientos

Una Dimención

Sobre el eje X

Movimiento Rectilineo

Uniforme (MRU)

Movimiento con aceleración constante

Movimiento con aceleración

variable

Sobre el eje Y

Caida libre

Lanzamiento vertical

Dos Dimenciones

Lanzamiento de Proyectil

Movimiento Circular

Rapidez Instantánea (𝑽): es la magnitud de la velocidad instantánea.

𝑉 = |𝑣 | = |𝑑𝑥

𝑑𝑡| (𝑚 𝑠⁄ )

Aceleración Media (𝒂𝒎⃗⃗ ⃗⃗ ⃗): es la rapidez de cambio de la velocidad en un intervalo

de tiempo determinado.

𝑎𝑚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡𝑜 (𝑚 𝑠2⁄ )

Aceleración Instantánea (�⃗⃗� ): es la variación de la velocidad en un instante de

tiempo determinado o en un punto específico de la trayectoria.

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡 (𝑚 𝑠2⁄ )

Los movimientos en una dimensión se dividen según el eje en donde se desarrolla

el movimiento, esta clasificación es la siguiente:

Ejercicios:

1. Un cuerpo se mueve a lo largo del eje 𝑥 de acuerdo con la siguiente ecuación 𝑥 =

2𝑡3 + 5𝑡2 + 5, donde 𝑥 se expresa en pies y 𝑡 en segundos. Encontrar:

a. La expresión para la velocidad y la aceleración en cualquier instante.

b. La posición, la velocidad y aceleración cuando 𝑡 = 2 𝑠 y 𝑡 = 3 𝑠.

c. La velocidad y aceleración promedio a los 𝑡 = 2 𝑠 y 𝑡 = 3 𝑠.

Parte a.

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(2𝑡3 + 5𝑡2 + 5) = 2.3𝑡2 + 5.2𝑡 = 6𝑡2 + 10𝑡 𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(6𝑡2 + 10𝑡) = 6.2𝑡 + 10 = 12𝑡 + 10 𝑝𝑖𝑒 𝑠2⁄

Parte b.

𝑥 (2) = 2(2)3 + 5(2)2 + 5 = 41 𝑝𝑖𝑒

𝑥 (3) = 2(3)3 + 5(3)2 + 5 = 104 𝑝𝑖𝑒

𝑣 (2) = 6(2)2 + 10(2) = 44 𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄

𝑣 (3) = 6(3)2 + 10(3) = 84 𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄

𝑎 (2) = 12(2) + 10 = 34 𝑝𝑖𝑒 𝑠2⁄

𝑎 (3) = 12(3) + 10 = 46 𝑝𝑖𝑒 𝑠2⁄

Parte c.

𝑉𝑚 =𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡𝑜=

𝑥 (3) − 𝑥 (2)

𝑡3 − 𝑡2=

104 𝑝𝑖𝑒 − 41 𝑝𝑖𝑒

3 𝑠 − 2 𝑠= 63 𝑝𝑖𝑒 𝑠⁄

𝑎𝑚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡𝑜=

𝑣 (3) − 𝑣 (2)

3 𝑠 − 2 𝑠= 40 𝑝𝑖𝑒 𝑠2⁄

2. Un automóvil viaja con una rapidez de 8 𝑚 𝑠⁄ durante 60 𝑠, luego entra en calor

corriendo otros 60 𝑠 con una rapidez de24 𝑚 𝑠⁄ . Calcular:

a. La rapidez media a los 120 𝑠.

b. Suponga que la rapidez de 8 𝑚 𝑠⁄ se mantiene durante 480 𝑚 seguida de la

rapidez de 24 𝑚 𝑠⁄ durante otros 480 𝑚, cual es la velocidad media en toda la

distancia.

Parte a.

Datos:

𝑣 1 = 8 𝑚 𝑠⁄ 𝑣 2 = 24 𝑚 𝑠⁄

𝑥 1 = 𝑥 2 = 480 𝑚

𝑉𝑚 =∑|∆𝑥 |

𝑡 ; ∆𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 . 𝑡𝑖

𝑉𝑚 =∆𝑥 1 + ∆𝑥 2

𝑡1 + 𝑡2=

𝑣 1. 𝑡1 + 𝑣 2. 𝑡2𝑡1 + 𝑡2

=8 𝑚 𝑠⁄ . 60 𝑠 + 24 𝑚 𝑠⁄ . 60 𝑠

60 𝑠 + 60 𝑠= 16 𝑚 𝑠⁄

Parte b.

Datos:

𝑣 1 = 8 𝑚 𝑠⁄ 𝑣 2 = 24 𝑚 𝑠⁄

𝑥 1 = 𝑥 2 = 480 𝑚

𝑣𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗ =𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡𝑜 ; 𝑥 𝑜 = 0 , 𝑡𝑜 = 0 ⇒ 𝑣𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

𝑥 𝑓

𝑡𝑓 ; (𝐸𝑐. 1)

𝑥 𝑓 = ∆𝑥 1 + ∆𝑥 2 = 2∆𝑥 , (𝐸𝑐. 2)

𝑡𝑓 = 𝑡1 + 𝑡2 ; ∆𝑥 𝑖 = 𝑣 𝑖 . 𝑡𝑖 ⇒ 𝑡𝑖 =∆𝑥 𝑖𝑣 𝑖

𝑡𝑓 =∆𝑥 1𝑣 1

+∆𝑥 2𝑣 2

=∆𝑥 (𝑣 1 + 𝑣 2)

𝑣 1𝑣 2 , (𝐸𝑐. 3)

Sustituyendo 𝐸𝑐. 2 y 𝐸𝑐. 3 en 𝐸𝑐. 1

𝑣𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗ =2∆𝑥

(∆𝑥 (𝑣 1 + 𝑣 2)

𝑣 1𝑣 2)

=2𝑣 1𝑣 2𝑣 1 + 𝑣 2

=2.8 𝑚 𝑠⁄ . 24 𝑚 𝑠⁄

8 𝑚 𝑠⁄ + 24 𝑚 𝑠⁄= 12 𝑚 𝑠⁄

Sobre el eje 𝒙: tenemos los siguientes movimientos:

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): un cuerpo se mueve con un movimiento

rectilíneo uniforme cuando la trayectoria que describe es una línea recta (sobre el eje 𝑥)

y la partícula realiza desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales. Este

movimiento se caracteriza por poseer velocidad constante y aceleración cero.

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡⇒ 𝑣 . 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 ; 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑣 ∫ 𝑑𝑡𝑡

0

= ∫ 𝑑𝑥 𝑥𝑓

𝑥𝑜

⇒ 𝑣 . 𝑡 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑜

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐 + �⃗⃗� . 𝒕 ∎

Construcción, Análisis e Interpretación de Gráficas en el Movimiento Rectilíneo

Uniforme:

1. Gráfica de Posición en función del Tiempo: este grafico muestra la posición

de un móvil con respecto al tiempo. Para ello se ubica sobre el eje vertical o eje

de las Y las posiciones que ocupa el móvil y en el eje horizontal o eje de las X el

tiempo transcurrido.

𝒙(𝒎) 0 5 10 15 20 25

𝒕(𝒔) 0 1 2 3 4 5

En la gráfica se puede observar las características siguientes:

La gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

Las distancias recorridas por el móvil son directamente proporcionales a

los tiempos.

La pendiente de la recta nos da en valor de la rapidez.

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Se puede obtener el valor de la distancia recorrida en cada instante de

tiempo. Ejemplo: a los 4 𝑠 la distancia recorrida es de 20 𝑚.

2. Gráfica de Rapidez en función del Tiempo: en el MRU la rapidez (módulo de

la velocidad) es constante. Como el movimiento es uniforme, se tendrá que para

cada intervalo de tiempo la rapidez es la misma. Para ello se ubica sobre el eje

vertical o eje de las Y la rapidez que lleva el móvil y en el eje horizontal o eje de

las X el tiempo transcurrido.

𝑽(𝑲𝒎𝒉⁄ ) 80 80 80 80 80 80 80

𝒕(𝒉) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

x (m

)

t (s)

Posición Vs Tiempo

En la gráfica se puede observar las características siguientes:

La gráfica es una recta horizontal paralela al eje X o eje de los tiempos.

La rapidez del móvil en cada instante de tiempo puede determinarse

observando la gráfica.

Se observa que la figura limitada por la gráfica es u rectángulo cuya base

es el tiempo y la altura la rapidez del móvil. Para determinar la distancia recorrida

por el móvil basta con calcular el área del rectángulo.

𝑥 = 0,6 ℎ × 80 𝐾𝑚ℎ⁄ = 48 𝐾𝑚

Ejercicios:

3. Una móvil se desplaza realizando un MRU con una rapidez de 36 𝐾𝑚ℎ⁄ . Calcular

la distancia recorrida al cabo de 0,5 ℎ.

𝑥 𝑓 = 𝑥 𝑜 + 𝑣 . 𝑡 ⇒ 𝑥 𝑓 = 𝑣 . 𝑡

𝑥 𝑓 = 36 𝐾𝑚ℎ⁄ × 0,5 ℎ = 72 ℎ

Movimiento con Aceleración Constante: un cuerpo se dice que se encuentra

desarrollando un movimiento con aceleración constante cuando las variaciones

de la velocidad son iguales en intervalos de tiempo iguales. Este movimiento se

caracteriza por poseer velocidad variable y aceleración constante.

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡⇒ 𝑎 . 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 ; 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

V (

Km

/h)

t (h)

Rapidez Vs Tiempo

𝑎 ∫ 𝑑𝑡𝑡

0

= ∫ 𝑑𝑣 𝑣𝑓

𝑣𝑜

⇒ 𝑎 . 𝑡 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑜

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐 + �⃗⃗� . 𝒕 ∎

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡⇒ 𝑣 . 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎 . 𝑡

(𝑣𝑜 + 𝑎 . 𝑡)𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 , 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

∫ (𝑣𝑜 + 𝑎 . 𝑡)𝑑𝑡𝑡

0

= ∫ 𝑑𝑥 𝑥𝑓

𝑥𝑜

⇒ 𝑣𝑜 . 𝑡 + 𝑎 .𝑡2

2= 𝑥𝑓 − 𝑥𝑜

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐 + �⃗⃗� 𝒐. 𝒕 + �⃗⃗� .𝒕𝟐

𝟐 ∎

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡.𝑑𝑥

𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 .

𝑑𝑣

𝑑𝑥 ⇒ 𝑎 . 𝑑𝑥 = 𝑣 . 𝑑𝑣 , 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑎 ∫ 𝑑𝑥 𝑥𝑓

𝑥𝑜

= ∫ 𝑣 . 𝑑𝑣 𝑣𝑓

𝑣𝑜

⇒ 𝑎 (𝑥𝑓⃗⃗ ⃗ − 𝑥𝑜⃗⃗⃗⃗ ) =𝑣𝑓⃗⃗⃗⃗

2− 𝑣𝑜⃗⃗⃗⃗

2

2

�⃗⃗� 𝒇𝟐

= �⃗⃗� 𝒐𝟐+ 𝟐�⃗⃗� (𝒙𝒇⃗⃗⃗⃗ − 𝒙𝒐⃗⃗⃗⃗ ) ∎

𝑉𝑚 =∆𝑥

∆𝑡=

𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑜

𝑡𝑓 − 𝑡𝑜 ; 𝑠𝑖 𝑡𝑓 = 𝑡 𝑦 𝑡𝑜 = 0

𝑉𝑚 =𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑜

𝑡 ; (𝐸𝑐. 1)

𝑉𝑚 =𝑣 𝑓 + 𝑣 𝑜

2 ; (𝐸𝑐. 2)

Igualando 𝐸𝑐. 1 y 𝐸𝑐. 2

𝑥 𝑓 − 𝑥 𝑜

𝑡=

𝑣 𝑓 + 𝑣 𝑜

2⇒ �⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐 +

𝒕(�⃗⃗� 𝒇 + �⃗⃗� 𝒐)

𝟐 ∎

Construcción, Análisis e Interpretación de Gráficas en el Movimiento

Uniformemente Acelerado:

1. Gráfica de la Rapidez en función del Tiempo: Consideremos un móvil que se

desplaza con una aceleración de 20 𝑚 𝑠2⁄ . Esta aceleración significa que la

rapidez del móvil aumenta 20 𝑚 𝑠⁄ en cada segundo. Para ello se ubica sobre el

eje vertical o eje de las Y la rapidez del móvil y en el eje horizontal o eje de las X

el tiempo transcurrido.

𝑽(𝒎 𝒔⁄ ) 0 20 40 60 80 100 120

𝒕(𝒔) 0 1 2 3 4 5 6

En la gráfica se puede observar las características siguientes:

La gráfica es una línea recta que pasa por el origen, lo que indica que el

móvil parte de reposo.

La pendiente de la recta nos da en valor de la aceleración.

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Se puede obtener el valor de la distancia recorrida en cada instante de

tiempo calculando el área de la figura que forma la gráfica con los ejes. Ejemplo:

a los 4 𝑠 (es la base) y la rapidez es de 80 𝑚 𝑠⁄ (es la altura).

𝑥 =𝑏. ℎ

2=

4 𝑠 × 80 𝑚 𝑠⁄

2= 160 𝑚

2. Gráfica de Posición en función del Tiempo:

𝒙(𝒎) 0 2 8 18 32 50

𝒕(𝒔) 0 1 2 3 4 5

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7

V (

m/s

)

t (s)

Rapidez Vs Tiempo

En la gráfica se puede observar las características siguientes:

La gráfica es una curva que recibe el nombre de parábola. Esto ocurre

porque no existe una proporcionalidad entre la distancia recorrida y el tiempo.

3. Gráfica de Aceleración en función del Tiempo: en el MUA la rapidez en cada

unidad de tiempo, varía de forma constante. Esta cantidad constante es la

aceleración.

𝒂(𝒎𝒔𝟐⁄ ) 4 4 4 4 4 4

𝒕(𝒔) 0 1 2 3 4 5

En la gráfica se puede observar las características siguientes:

La gráfica es una recta horizontal paralela al eje del tiempo.

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6

x (m

)

t (s)

Posición Vs Tiempo

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6

a (m

/s2 )

t (s)

Aceleración Vs Tiempo

Ejercicios:

1. A continuación se da una gráfica rapidez versus tiempo. Obsérvela y conteste las

siguientes preguntas.

a. ¿Qué significado físico tiene los cambios de dirección de la recta en los

puntos A y B?

R: en el punto A pasa de un MUA a un MUR, es decir de aumentar la rapidez pasa a

disminuir la rapidez.

b. ¿Cómo es el movimiento en el segmento BC?

R: es un MRU donde la rapidez es constante a través del tiempo.

c. Calcular la aceleración en el intervalo de tiempo comprendido entre 0 𝑠 y

4 𝑠.

R: la aceleración es la pendiente de la recta en ese tramo

𝑎 =32 𝑚 𝑠⁄ − 0 𝑚 𝑠⁄

4 𝑠 − 0 𝑠= 8 𝑚 𝑠2⁄

d. ¿Qué significado físico tiene el valor anterior?

R: la rapidez aumenta en 8 𝑚 𝑠⁄ por cada segundo.

0

4

8

12

16

20

24

28

32

0 2 4 6 8 10 12 14

V (

m/s

)

t (s)

Rapidez Vs Tiempo

A

B C

e. Calcule la aceleración el segmento AB.

R: la aceleración es la pendiente de la recta en ese tramo

𝑎 =16 𝑚 𝑠⁄ − 32 𝑚 𝑠⁄

8 𝑠 − 4 𝑠= −4 𝑚 𝑠2⁄

f. Calcule la distancia total recorrida a los 12 𝑠.

R: la distancia a los 12 𝑠 es la distancia total recorrida en cada tramo

𝑥 =4 × 32

2+

4 × 16

2+ 4 × 16 = 160 𝑚

2. Un automóvil que parte del reposo, posee una aceleración constante y tarda 2 𝑠

en pasar por 2 puntos distantes 24 𝑚. Su velocidad cuando pasa por el segundo es de

14,4 𝑚 𝑠⁄ . Calcular:

a. Su aceleración.

b. Su velocidad cuando pasa por el primer punto.

c. Distancia desde el punto de partida hasta el primer punto.

Datos:

𝑣 0 = 0 𝑚 𝑠⁄

𝑣 𝑖 = 24 𝑚 𝑠⁄

𝑣 𝑓 = 14,4 𝑚 𝑠⁄

𝑥 𝑖 = 𝑑

𝑥 𝑖𝑓 = 24 𝑚

𝑥 𝑓

= 𝑑 + 24 𝑚

𝑡𝑖𝑓 = 2 𝑠

Trabajando en el tramo 𝑖𝑓

𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 + 𝑎 . 𝑡𝑖𝑓 ⇒ 𝑣 𝑖 = 𝑣 𝑓 − 𝑎 . 𝑡𝑖𝑓 (𝐸𝑐. 1)

𝑥 𝑓 = 𝑥 𝑖 + 𝑣 𝑖. 𝑡𝑖𝑓 + 𝑎 .𝑡𝑖𝑓

2

2⇒ 𝑑 + 24 𝑚 = 𝑑 + 𝑣 𝑖 . 𝑡𝑖𝑓 + 𝑎 .

𝑡𝑖𝑓2

2⇒ 𝑣 𝑖. 𝑡𝑖𝑓 + 𝑎 .

𝑡𝑖𝑓2

2

= 24 𝑚 (𝐸𝑐. 2)

Sustituyendo (𝐸𝑐. 1) en (𝐸𝑐. 2)

(𝑣 𝑓 − 𝑎 . 𝑡𝑖𝑓). 𝑡𝑖𝑓 + 𝑎 .𝑡𝑖𝑓

2

2= 24 𝑚 ⇒ 𝑣 𝑓 . 𝑡𝑖𝑓 − 𝑎 . 𝑡𝑖𝑓

2 + 𝑎 .𝑡𝑖𝑓

2

2

⇒ 24 𝑚 − 𝑣 𝑓 . 𝑡𝑖𝑓 = 𝑎 (𝑡𝑖𝑓

2

2− 𝑡𝑖𝑓

2) ⇒ 24 𝑚 − 𝑣 𝑓 . 𝑡𝑖𝑓 = −𝑡𝑖𝑓

2

2𝑎

⇒ 𝑎 =2(𝑣 𝑓 . 𝑡𝑖𝑓 − 24 𝑚)

𝑡𝑖𝑓2 =

2(14,4 𝑚 𝑠⁄ . 2 𝑠 − 24 𝑚)

(2 𝑠)2= 2,4 𝑚 𝑠2⁄

De la (𝐸𝑐. 1)

𝑣 𝑖 = 𝑣 𝑓 − 𝑎 . 𝑡𝑖𝑓 = 14,4 𝑚 𝑠⁄ − 2,4 𝑚 𝑠2⁄ . 2 𝑠 = 9,6 𝑚 𝑠⁄

Trabajando en el tramo 𝑜𝑖

𝑣 𝑖 = 𝑣 𝑜 + 𝑎 . 𝑡𝑜𝑖 = 𝑎 . 𝑡𝑜𝑖 ⇒ 𝑡𝑜𝑖 =𝑣 𝑖𝑎

=9,6 𝑚 𝑠⁄

2,4 𝑚 𝑠2⁄= 4 𝑠

𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑜 + 𝑣 𝑜 . 𝑡𝑜𝑖 + 𝑎 .𝑡𝑜𝑖

2

2⇒ 𝑥 𝑖 = 𝑎 .

𝑡𝑜𝑖2

2= 2,4 𝑚 𝑠2⁄ .

(4 𝑠)2

2= 19, 2 𝑚

3. En una carrera de 100 𝑚 Ana y Julia en un empate muy apretado, ambas en un

tiempo de 10,2 𝑠 aceleraron uniformemente. Ana tarda 2 𝑠 en alcanzar su velocidad

máxima la cual mantiene durante el resto de la competencia, en cambio Julia tarda 3 𝑠

en alcanzar esa velocidad máxima. Calcular:

a. Cual fue la aceleración de cada velocista.

b. Cual fue la rapidez máxima de cada velocista.

c. Cuál de las velocistas va adelante en la marca de 6 𝑠 y por cuanta distancia.

Datos:

𝑡1𝐴 = 2 𝑠

𝑡1𝐽 = 3 𝑠

𝑥 𝑓 = 100 𝑚

𝑡𝑓 = 10,2 𝑠

De manera general:

Trabajando de 𝑂𝐴 (mov. con aceleración constante)

𝑣 𝑚𝑎𝑥 = 𝑣 𝑜 + 𝑎 . 𝑡1 = 𝑎 . 𝑡1 (𝐸𝑐. 1)

𝑥 𝐴 = 𝑥 𝑂 + 𝑣 𝑜 . 𝑡1 + 𝑎 .𝑡1

2

2= 𝑎 .

𝑡12

2 (𝐸𝑐. 2)

Trabajando de 𝐴𝐵 (mov. con velocidad constante)

𝑥 𝐵 = 𝑥 𝐴 + 𝑣 𝑚𝑎𝑥 . 𝑡2 (𝐸𝑐. 3)

Con respecto al tiempo:

𝑡𝑓 = 𝑡1 + 𝑡2 ⇒ 𝑡2 = 𝑡𝑓 − 𝑡1 (𝐸𝑐. 4)

Sustituyendo (𝐸𝑐. 4) en (𝐸𝑐. 3)

𝑥 𝐵 = 𝑥 𝐴 + 𝑣 𝑚𝑎𝑥. (𝑡𝑓 − 𝑡1 ) (𝐸𝑐. 5)

Sustituyendo (𝐸𝑐. 1) y (𝐸𝑐. 2) en (𝐸𝑐. 5)

𝑥 𝐵 = 𝑎 .𝑡1

2

2+ 𝑎 . 𝑡1. (𝑡𝑓 − 𝑡1 ) = 𝑎 (

𝑡12

2+ 𝑡1𝑡𝑓 − 𝑡1

2) = 𝑎 (𝑡1𝑡𝑓 −𝑡1

2

2)

⇒ 𝑎 =𝑥 𝐵

𝑡1𝑡𝑓 −𝑡1

2

2

(𝐸𝑐. 6)

Parte a.

𝑎 𝐴 =𝑥 𝐵

𝑡1𝐴𝑡𝑓 −𝑡1𝐴

2

2

=100 𝑚

2 𝑠. 10,2 𝑠 −(2 𝑠)2

2

= 5,43 𝑚 𝑠2⁄

𝑎 𝐽 =𝑥 𝐵

𝑡1𝐽𝑡𝑓 −𝑡1𝐽

2

2

=100 𝑚

3 𝑠. 10,2 𝑠 −(3 𝑠)2

2

= 3,83 𝑚 𝑠2⁄

Parte b.

𝑣 𝑚𝑎𝑥𝐴 = 𝑎 𝐴. 𝑡1𝐴 = 5,43 𝑚 𝑠2⁄ . 2 𝑠 = 10,86 𝑚 𝑠⁄

𝑣 𝑚𝑎𝑥𝐵 = 𝑎 𝐽. 𝑡1𝐽 = 3,83 𝑚 𝑠2⁄ . 3 𝑠 = 11,49 𝑚 𝑠⁄

Parte c. (𝒕 = 𝟔 𝒔)

𝑥 𝐴(6𝑠) = 𝑎 𝐴.𝑡2

2+ 𝑎 𝐴. 𝑡 = 5,43 𝑚 𝑠2⁄ .

(6 𝑠)2

2+ 5,43 𝑚 𝑠2⁄ . 6 𝑠 = 54,3 𝑚

𝑥 𝐽(6𝑠) = 𝑎 𝐽.𝑡2

2+ 𝑎 𝐽. 𝑡 = 3,83 𝑚 𝑠2⁄ .

(6 𝑠)2

2+ 3,83 𝑚 𝑠2⁄ . 6 𝑠 = 51,705 𝑚

𝑥 𝑑 = 𝑥 𝐴(6𝑠) − 𝑥 𝐽(6𝑠) = 54,3 𝑚 − 51,705 𝑚 = 2,595 𝑚

Movimiento con Aceleración Variable: se dice que un cuerpo se encuentra en un

movimiento con aceleración variable cuando las variaciones de velocidad son

diferentes en intervalos de tiempo iguales. Este movimiento se caracteriza por

poseer tanto velocidad como aceleración variable.

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡⇒ 𝑎 . 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 ⇒ ∫ �⃗⃗� . 𝒅𝒕

𝒕

𝟎

= ∫ 𝒅�⃗⃗� 𝒗𝒇

𝒗𝒐

∎

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡⇒ 𝑣 . 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 ⇒ ∫ �⃗⃗� . 𝒅𝒕

𝒕

𝟎

= ∫ 𝒅�⃗⃗� 𝒙𝒇

𝒙𝒐

∎

Sobre el eje 𝒚: tenemos los siguientes movimientos:

Caída Libre: se dice que un cuerpo se encuentra realizando un movimiento en

caída libre cuando este se deja caer libremente desde el reposo por acción de la

gravedad. Este movimiento se caracteriza por poseer una velocidad inicial igual a

cero y la aceleración de la gravedad es igual a 𝑔 = 9,8 𝑚 𝑠2⁄ .

�⃗⃗� 𝒇 = −𝒈. 𝒕 ∎

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐 − 𝒈.𝒕𝟐

𝟐 ∎

�⃗⃗� 𝒇𝟐

= −𝟐𝒈(𝒚𝒇⃗⃗⃗⃗ − 𝒚𝒐⃗⃗⃗⃗ ) ∎

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐 +𝒕(�⃗⃗� 𝒇)

𝟐 ∎

Ejercicios:

1. Un porrón de flores cae del borde de una azotea y pasa frente a una ventana que

está por debajo (ignore la resistencia del aire). El porrón tarda 0,48 𝑠 en pasar

desde el borde superior hasta el inferior de la ventana, cuya altura es de 1,9 𝑚.

¿A que distancia por debajo de la azotea se encuentra la ventana?

Datos:

𝑣 𝑐 = 0

𝑡𝐴𝐵 = 0,48 𝑠

𝑦 𝐵 = 1,9 𝑚

𝑦 𝐵𝐶 =?

Trabajando entre 𝐴 y 𝐵

𝑦 𝐴 = 𝑦 𝐵 + 𝑣 𝐵. 𝑡𝐴𝐵 − 𝑔.𝑡𝐴𝐵

2

2⇒ 𝑦 𝐵 + 𝑣 𝐵. 𝑡𝐴𝐵 − 𝑔.

𝑡𝐴𝐵2

2= 0 ⇒ 𝑣 𝐵 =

𝑔.𝑡𝐴𝐵

2

2 − 𝑦 𝐵

𝑡𝐴𝐵

⇒ 𝑣 𝐵 =9,8 𝑚 𝑠2⁄ .

(0,48 𝑠)2

2 − 1,9 𝑚

0,48 𝑠= −1, 61 𝑚 𝑠⁄

NOTA: la velocidad da negativa porque el cuerpo va bajando.

Trabajando entre 𝐵 y 𝐶

𝑣 𝐵2= −2𝑔(𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐶) ⇒ 𝑦 𝐶 = 𝑦 𝐵 +

𝑣 𝐵2

2𝑔⇒ 𝑦 𝐶 = 1,9 𝑚 +

(−1,61)2

2.9,8 𝑚 𝑠2⁄= 2,03 𝑚

𝑦 𝐵𝐶 = 𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐵 = 2,03 𝑚 − 1,9 𝑚 = 0,132 𝑚

Lanzamiento Vertical: se dice que un cuerpo se encuentra realizando un

movimiento de lanzamiento vertical cuando este se mueve verticalmente hacia

arriba impulsado por una velocidad inicial para luego caer libremente desde el

reposo por acción de la gravedad. Este movimiento se caracteriza por poseer una

velocidad inicial diferente a cero, pero al alcanzar su altura máxima su velocidad

en ese punto se igual a cero y la aceleración de la gravedad es igual a 𝑔 =

9,8 𝑚 𝑠2⁄ .

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐 − 𝒈. 𝒕 ∎

�⃗⃗� 𝒇 = 𝒚𝒐⃗⃗⃗⃗ + �⃗⃗� 𝒐. 𝒕 − 𝒈.𝒕𝟐

𝟐 ∎

�⃗⃗� 𝒇𝟐

= �⃗⃗� 𝒐𝟐− 𝟐𝒈(𝒚𝒇⃗⃗⃗⃗ − 𝒚𝒐⃗⃗⃗⃗ ) ∎

�⃗⃗� 𝒇 = �⃗⃗� 𝒐 +𝒕(�⃗⃗� 𝒇 + �⃗⃗� 𝒐)

𝟐 ∎

Ejercicios:

1. Se lanza un cuerpo hacia arriba en dirección vertical con una velocidad de

98 𝑚 𝑠⁄ desde el techo de un edificio de 100 𝑚 de altura. Calcular:

b. La altura máxima alcanzada.

c. La velocidad al llegar al suelo.

d. El tiempo total del movimiento.

Datos:

𝑣 𝑜 = 𝑣 𝐵

= 98 𝑚 𝑠⁄

𝑣 𝐶 = 0

𝑣 𝐴 =?

𝑦 𝐵 = 100 𝑚

𝑦 𝐶 =?

𝑡𝐴 =?

𝑣 𝐶2= 𝑣 𝐵

2− 2𝑔(𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐵) ⇒ 𝑣 𝐵

2− 2𝑔(𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐵) = 0 ⇒ 𝑦 𝐶 = 𝑦 𝐵 +

𝑣 𝐵2

2𝑔

⇒ 𝑦 𝐶 = 100 𝑚 +(98 𝑚 𝑠⁄ )2

2.9,8 𝑚 𝑠2⁄= 590 𝑚

Trabajando entre 𝐶 y 𝐴

𝑣 𝐴2= −2𝑔(𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐶) ⇒ 𝑣 𝐴

2= 2𝑔𝑦 𝐶 ⇒ 𝑣 𝐴 = ±√2𝑔𝑦 𝐶

⇒ 𝑣 𝐴 = ±√2𝑔𝑦 𝐶 = −√2.9,8 𝑚 𝑠2⁄ . 590 𝑚 = −107,54 𝑚 𝑠⁄

Para calcular el tiempo total del movimiento tenemos que calcular el tiempo

de subida y el tiempo de bajada.

𝑡 = 𝑡𝐵𝐶 + 𝑡𝐴𝐶

Trabajando entre 𝐵 y 𝐶

𝑣 𝐶 = 𝑣 𝐵 − 𝑔. 𝑡𝐵𝐶 ⇒ 𝑣 𝐵 − 𝑔. 𝑡𝐵𝐶 = 0 ⇒ 𝑡𝐵𝐶 =𝑣 𝐵𝑔

=98 𝑚 𝑠⁄

9,8 𝑚 𝑠2⁄= 10 𝑠

Trabajando entre 𝐶 y 𝐴

𝑣 𝐴 = −𝑔. 𝑡𝐴𝐶 ⇒ 𝑡𝐴𝐶 = −𝑣 𝐴𝑔

= −−107,54 𝑚 𝑠⁄

9,8 𝑚 𝑠2⁄= 10 ,97 𝑠

𝑡 = 𝑡𝐵𝐶 + 𝑡𝐴𝐶 = 10 𝑠 + 10,97 𝑠 = 20,97 𝑠

Movimiento en Dos Dimensiones

Un movimiento en dos dimensiones es aquel que ocurre a lo largo de los ejes 𝑥 y

𝑦 simultáneamente.

Lanzamiento de Proyectil: también conocido como movimiento parabólico. Una

partícula (proyectil) realiza un movimiento parabólico denominado así ya que su

trayectoria es una parábola, cuando es proyectado con una velocidad inicial que

forma un ángulo con la horizontal. Este movimiento se caracteriza por ser

uniforme sobre el eje 𝑥 y con aceleración constante sobre el eje 𝑦.

Velocidad Inicial:

𝑣𝑜 = 𝑣𝑜𝑥𝑖 + 𝑣𝑜𝑦𝑗 ⇒ {𝑣𝑜𝑥 = 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑣𝑜𝑦 = 𝑣𝑜 sin 𝜃} ⇒ 𝒗𝒐 = 𝒗𝒐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝒗𝒐 𝐬𝐢𝐧𝜽 𝒋 ∎

Velocidad Instantánea:

𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 ⇒ {𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣𝑜 cos 𝜃𝑣𝑦 = 𝑣𝑜 sin 𝜃 − 𝑔𝑡 } ⇒ 𝒗 = 𝒗𝒐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + (𝒗𝒐 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝒈𝒕)𝒋 ∎

Posición:

𝑟 = 𝑟𝑥𝑖 + 𝑟𝑦𝑗 ⇒ {

𝑟𝑥 = 𝑣𝑜 cos 𝜃 𝑡

𝑟𝑦 = 𝑣𝑜 sin 𝜃 𝑡 − 𝑔𝑡2

2

} ⇒ 𝒓 = 𝒗𝒐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒕𝒊 + (𝒗𝒐 𝐬𝐢𝐧𝜽 𝒕 − 𝒈𝒕𝟐

𝟐) 𝒋 ∎

Altura Máxima: máxima altura alcanzada por el proyectil durante el

movimiento.

𝒚𝒎𝒂𝒙 =𝑽𝒐

𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽

𝟐𝒈 ∎

Tiempo máximo: tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la altura

máxima.

𝒕𝒎𝒂𝒙 =𝑽𝒐 𝐬𝐢𝐧 𝜽

𝒈 ∎

Tiempo de vuelo: es el tiempo que tarda el proyectil en pasar por el nivel

por el nivel desde donde salió.

𝒕𝒗 = 𝟐𝑽𝒐 𝐬𝐢𝐧𝜽

𝒈= 𝟐𝒕𝒎𝒂𝒙 ∎

Alcance horizontal: es la máxima distancia que recorre el proyectil a lo

largo del eje 𝑥, hasta que vuelve a pasar por el nivel de donde salió.

𝑹 =𝑽𝒐

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽

𝒈 ∎

Ecuación de la Trayectoria:

𝒚 = 𝐭𝐚𝐧𝜽𝒙 −𝒈

𝟐𝑽𝒐𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽

𝒙𝟐 ∎

Ejercicios:

1. Un proyectil tiene una velocidad inicial de 24 𝑚 𝑠⁄ que forma un ángulo de 53°

por encima de la horizontal. Calcular:

a. La altura máxima.

b. La distancia horizontal a la que se encuentra del punto de partida a los 3 𝑠

después de ser disparado.

c. La distancia vertical por encima del punto de partida a los 3 𝑠.

d. Las componentes horizontales y verticales de su velocidad a las 3 𝑠.

Datos:

𝑣 𝑜 = 24 𝑚 𝑠⁄

𝜃 = 53°

𝑥 (3𝑠) =?

𝑦 (3𝑠) =?

𝑣 𝑥(3𝑠) =?

𝑣 𝑦(3𝑠) =?

𝑦𝑚𝑎𝑥 =𝑉𝑜

2 sin2 𝜃

2𝑔=

(24 𝑚 𝑠⁄ )2 sin2 53°

2.9,8𝑚 𝑠2⁄= 18,74 𝑚

𝑥 (3𝑠) = 𝑣𝑜 cos 𝜃 𝑡 = 24 𝑚 𝑠⁄ . cos 53° . 3 𝑠 = 43,33 𝑚

𝑦 (3𝑠) = 𝑣𝑜 sin 𝜃 𝑡 − 𝑔𝑡2

2= 24 𝑚 𝑠⁄ . sin 53° . 3 𝑠 − 9,8𝑚 𝑠2⁄ .

(3 𝑠)2

2= 13,40 𝑚

𝑣 = 𝑣𝑜 cos 𝜃 𝑖 + (𝑣𝑜 sin 𝜃 − 𝑔𝑡)𝑗

= (24 𝑚 𝑠⁄ . cos 53°)𝑖 + (24 𝑚 𝑠⁄ . sin 53° − 9,8𝑚 𝑠2⁄ . 3 𝑠)𝑗

⇒ 𝑣 = (14,44 𝑖 − 10,23 𝑗) 𝑚 𝑠⁄

La componente en y de la velocidad da negativa porque el proyectil ya viene en

descenso.

Movimiento Circular Uniforme (MCU): un cuerpo se encuentra en movimiento

circular cuando su trayectoria es una circunferencia, este movimiento posee un

eje de giro y radio constantes. Para ser uniforme la velocidad de giro es constante

(módulo de ésta), con radio y centro fijos y velocidad angular constante. En

el movimiento circular hay que tener en cuenta algunos conceptos que serían

básicos para la descripción cinemática y dinámica del mismo:

Eje de Giro: es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este

eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto

es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o

diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la

trayectoria descrita.

Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido

en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el

desplazamiento angular. Su unidad es el radián (espacio recorrido dividido entre

el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional

por tanto).

𝒔 = 𝑹∆𝜽 = 𝑹(𝜽𝒇 − 𝜽𝒐) ∎

Período: es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa.

𝑻 =𝒕

𝒏 (𝒔)∎

Frecuencia: es el número de vueltas que da una partícula en una unidad de

tiempo.

𝒇 =𝟏

𝑻 (𝒔−𝟏)∎

Velocidad Angular: es la variación del desplazamiento angular por unidad

de tiempo. También definida como la magnitud medida por el cociente entre el

ángulo descrito por el radio vector y el tiemplo empleado en describirlo.

𝝎 =𝜽

𝒕⇒ 𝝎 =

𝟐𝝅

𝒕 (𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ ) ∎

𝝎 =𝟐𝝅

𝑻⇒ 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 (𝒓𝒂𝒅 𝒔⁄ ) ∎

Velocidad Lineal: es el vector velocidad, tangente en un punto específico

de la trayectoria que describe la partícula (circunferencia).

�⃗⃗� = 𝑹𝝎 ⇒ �⃗⃗� =𝟐𝝅𝑹

𝑻⇒ �⃗⃗� = 𝟐𝝅𝑹𝒇 ∎

Aceleración Centrípeta: es la variación de la dirección del vector velocidad

lineal. Su dirección es el radio apuntando siempre al centro de la circunferencia.

�⃗⃗� 𝒄 =�⃗⃗� 𝟐

𝑹⇒ �⃗⃗� 𝒄 = 𝝎𝟐𝑹 ∎

Ejercicios:

1. Una rueda de 9 𝑚 de diámetro esta girando de manera que da 15 vueltas en

0,5 𝑚𝑖𝑛. Calcular:

b. Velocidad lineal.

c. Velocidad angular.

d. Frecuencia.

e. Aceleración centrípeta.

f. Cuantas vueltas da 1,5 𝑚𝑖𝑛.

g. Cuánto tarda en dar 80 vueltas.

𝑇 =𝑡

𝑛=

0,5 𝑚𝑖𝑛

15.60 𝑠

1 𝑚𝑖𝑛= 2 𝑠

𝑅 =𝐷

2=

9 𝑚

2= 4,5 𝑚

𝑣 =2𝜋𝑅

𝑇=

2. 𝜋. 4,5 𝑚

2 𝑠= 14,14 𝑚 𝑠⁄

𝜔 =2𝜋

𝑇=

2. 𝜋

2 𝑠= 3,14 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄

𝑓 =1

𝑇=

1

2 𝑠= 0,5 𝑠−1

𝑎 𝑐 =𝑣 2

𝑅=

(14,14 𝑚 𝑠⁄ )2

4,5 𝑚= 44,43 𝑚 𝑠2⁄

𝑇 =𝑡

𝑛⇒ 𝑛 =

𝑡

𝑇=

1,5 𝑚𝑖𝑛

2 𝑠.60 𝑠

1 𝑚𝑖𝑛= 45 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

𝑇 =𝑡

𝑛⇒ 𝑡 = 𝑛𝑇 = 80.2 𝑠 = 160 𝑠