tema geometria analítica
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Tema Geometría Analítica
Profesor: Juan SanmartínMatemáticas
Módulo de un Vector. Ecuaciones de la Recta. Producto Escalar.
Recursos subvencionados por el…
Ejercicio.- Dados los puntos A(-2,4), B(3,-2) y C(5,3). Calcula las coordenadas y los módulos de los siguientes vectores
ABAB yy,xxABu 42,2-3
BCBC yy,xxBCv 2-3,35
6,5
5,2
Para calcular las coordenadas de un vector se restan las coordenadas del punto final menos las del inicial de la siguiente manera.
2u
2u yxu
22 65 61
ABu
BCv
El módulo de un vector se calcula realizando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas, igual que en el teorema de Pitágoras ya que están relacionados.
2v
2v yxv
22 52 29
Ejercicio.- Halla la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por los siguientes
puntos: A(-3,-2) y B(3,5).
ABAB yy,xxABu 2-5,3-3 7,6
Para obtener las ecuaciones vectorial y paramétrica debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta… ABu
7,6
2,3
ABu
A uuAA y,xty,xyx,
6,7t3,-2-yx,
Ecuación Vectorial
uA
uA
ytyyxtxx
7263
tytx
Ecuación Paramétrica
Aquí podríamos utilizar A o B indistintamente
Ejercicio.- Halla la ecuación continua y general de la recta que pasa por los siguientes puntos
A(4,3) y B(7,-2).
ABAB yy,xxABu 324,7 5,3
Para obtener las ecuaciones continua y general debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta… ABu
5,3
3,4
ABu
A
u
A
u
A
yyy
xxx
53
34
yx
Ecuación continua
0CByAx Ecuación general
Aquí podríamos utilizar A o B indistintamente
3345 yx
93y205x 20-93y50 x
0923y5 x
Ejercicio.- Halla la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los siguientes puntos A(-
1,-5), B(2,4).
ABAB yy,xxABu 5-,41-2 9,3
Para obtener ecuación punto pendiente debemos obtener primero el vector director (quién nos indica la dirección de la recta…
u
u
xy
m
Definimos Ordenada en el Origen b como el valor que toma y cuando x=0. Es decir, conde la recta corta al eje y.
Definimos pendiente m como lo que aumenta la recta en las Y cuando aumenta una unidad en las X. Representa la tangente de la recta con el eje de X.
339
AA xxmyy
bxmy
1-x35y 335y x 5-33y x
2-3y x
Ecuación punto pendiente
Ejercicio Dados los puntos A(-2,4), B(3,-2) y C(5,3). Calcula las coordenadas y los módulos de los
siguientes vectores
ABAB yy,xxABu 42,2-3
CBCB yy,xxBCv 2-3,35
6,5
5,2
Para calcular las coordenadas de un vector se restan las coordenadas del punto final menos las del inicial de la siguiente manera.
2u
2u yxu
22 65 61
ABu
BCv
El módulo de un vector se calcula realizando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas, igual que en el teorema de Pitágoras ya que están relacionados.
2v
2v yxv
22 52 29
Calcula el valor de m para que los vectores y sean perpendiculares.
Dos vectores son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90º. Para calcularlo vamos a utilizar el producto escalar
m22,u 31,-v m
m22,u
31,-v m
cosvuv,ucosvuvu
vuvu yyxxvu
Producto Escalar
0º90cos entonces 0vu
032m1m2-vu
06m22m
2-6m2m 2-m4
21
42-m
Ejercicio.- Siendo los vértices de un triángulo A(3,1), B(2,-2) y C(0,0), comprueba que sus ángulos suman180º.
0,0C22,B
3,1A
Lo que primero vamos a hacer es la representación de los tres puntos. Para ello utilizamos Geogebra. Os invito a ver el capítulo de videos de Geogebra.
ABAB yy,xxABu 123,2
ACAC yy,xxACv 13,00
31,
13,
Vamos a calcular el producto escalar de los vectores AB y AC para poder obtener el ángulo de ambas rectas.
31,ABu
13,ACv cosvuv,ucosvuvu
vuvu yyxxvu
Producto Escalar
2u
2u yxu
22 31 10
2v
2v yxv
22 13 10
1-3-3-1vu
33 6
vuvucos
1010
6
106
6,0
0,6cos6)arcocos(0, 1 53,13º
2u
2u yxu
22 31 10
2v
2v yxv
22 22 8
232-1vu
62 4
vuvucos
810
4
54
4 45,0
51
0,45cos45)arcocos(0, 1 º26,63
0,0C22,B
3,1A BABA yy,xxBAu 21,23
BCBC yy,xxBCv 20,20
3,1
2,2
2u
2u yxu
22 13 10
2v
2v yxv
22 22 8
2-123vu
26 4
vuvucos
810
4
54
4 45,0
51
0,45cos45)arcocos(0, 1 º26,63
0,0C22,B
3,1A CACA yy,xxCAu 01,03
CBCB yy,xxCBv 02,02
1,3
2,2
º180º75,179º26,63º26,63º13,53
Ejercicio Siendo los vértices de un triángulo A(-1,1), B(5,2) y C(2,0), comprueba que sus ángulos suman180º.
2,0C5,2B
1,1-A
Lo que primero vamos a hacer es la representación de los tres puntos. Para ello utilizamos Geogebra. Os invito a ver el capítulo de videos de Geogebra.
ABAB yy,xxABu 1,21-5
ACAC yy,xxACv 1,01-2
1,6
13,
Vamos a calcular el producto escalar de los vectores AB y AC para poder obtener el ángulo de ambas rectas.
1,6ABu
13,ACv cosvuv,ucosvuvu
vuvu yyxxvu
Producto Escalar
2u
2u yxu
22 16 37
2v
2v yxv
22 13 10
1-136vu 118 17
vuvucos
1037
17
88,0
0,88cos88)arcocos(0, 1 º9,72
2u
2u yxu
22 16 37
2v
2v yxv
22 23 13
2-1-3-6vu
218 20
vuvucos
1337
20
91,0
0,91cos91)arcocos(0, 1 º2,24
BABA yy,xxBAu 21,51
BCBC yy,xxBCv 20,52
1,6
2,3
2,0C5,2B
1,1-A
2u
2u yxu
22 13 10
2v
2v yxv
22 23 13
2133vu
29 7
vuvucos
1310
7
61,0
0,61-cos,61)arcocos(-0 1 º9,127
CACA yy,xxCAu 01,21
CBCB yy,xxCBv 02,25
1,3
2,3
º180º9,127º2,24º9,27
2,0C5,2B
1,1-A
Fin de Tema
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