1. Profesor: Juan Sanmartn Matemticas Curso 2013/2014 4 E.S.O.Ecuaciones Ecuaciones de Primer GradoEcuaciones de Segundo Grado. Casos Particulares

2. Primer Grado La forma de una ecuacin de primer grado es: Grado del polinomioax + b = 0En una ecuacin de primer grado se separan para un lado los trminos con x y para el otro aquellos que no tienen x. 4 x + 3 = 7 x 19 4 x 7 x = 19 3 22 11x = 22 x = =2 x =2 11 3. Ejemplo 011 x 2x 7 x = 2x 2 4Donde1 x 2x 7 4 x 2 + 2x 8 x 2x + 7 x = 2x = 2 4 4 4 ATENCIN!!! .El signo negativo delante de la fraccin, cambia el signo del numerador de la misma.4 x 2 2x = 8 x 2x + 7 4 x 8 x + 2x 2x = 7 + 29 9 4x = 9 x = = 4 4 4. Segundo Grado La forma de una ecuacin de segundo grado es: Grado del polinomioax + bx + c = 0 2En el caso de que la ecuacin sea completa, es decir, que b y c no sean cero se resuelve aplicando la siguiente frmula. b b 4ac x= 2a 2 5. Ejemplo 01 Dondex 2 + 3 x 10 = 0 a=1b=3c = 10 3 3 2 4 1 ( 10 ) 3 9 + 40 x= = = 21 2 Importante, hay que tener en cuenta el signo 3 49 x= = 23 + 7 4 x1 = = = 2 x1 = 2 2 2 3 7 10 x2 = = = 5 x2 = 5 2 2 6. Ejemplo 02 Dondex=4x 2 4x + 1 = 0 a=4+ 4b = -4( 4) 2 4 4 1 2 4c =1+ 4 16 16 = = 8Importante, hay que tener en cuenta el signo+ 4 0 4 x= = =2 2 2Obtenemos una nica solucin al ser la raz cero 7. Ejemplo 033 x 2 2x + 1 = 0Dondea=3x=+ 2b = -2c =1( 2) 2 4 3 1 23+ 2 4 12 = = 6Importante, hay que tener en cuenta el signox=+ 2 8 6La ecuacin no tiene solucin ya que la raz negativa no existe. 8. Segundo Grado Casos Particularesb=0entonces forma de la ecuacin ser:ax + c = 0 2Y su forma de resolver es distinta a la completac ax + c = 0 ax = c x = a 2entoncesc c x = x= a a 222c x1 = + a c x2 = a 9. Ejemplo 044x 2 9 = 0Resolvemos9 9 4x 9 = 0 4x = 9 x = x = 4 4 222Importante, hay que tener en cuenta el signo9 3 x1 = + =+ 4 29 3 x1 = = 4 2La raz de una fraccin es la raz del numerador entre la raz del denominador (propiedades de los radicales) 10. Ejemplo 05x 2 + 25 = 0Resolvemosx 2 + 25 = 0 x 2 = 25 x 2 = 25 x = 25La ecuacin no tiene solucin ya que la raz negativa no existe.Importante, hay que tener en cuenta el signo 11. Segundo Grado Casos Particularesc =0entonces forma de la ecuacin ser:ax + bx = 0 2En este caso aplicamos factor comn para su resolucin entonces ax 2 + bx = 0 x ( ax + b ) = 0 x1 = 0 En el caso de que un producto sea 0 uno u otro de los trminos ser 0, y por lo tantob ax + b = 0 ax = b x 2 = a entonces 12. Ejemplo 067 x 2 14 x = 0Resolvemos0 7 x = 0 x = x1 = 0 77 x 2 14 x = 0 7 x ( x 2) = 0x 2 = 0 x = 2 x2 = 2 Ejemplo 07x + 5x = 0 2Resolvemosx = 0 x1 = 0x 2 + 5 x = 0 x ( x + 5) = 0 x + 5 = 0 x2 = 5 13. Ejemplo 08x 2 2x + 5 x 2 + 3 x x 2 4 x + 15 = 2 4 6 Calculamos el m.c.m. para obtener denominador comn6 x 2 12 x + 30 3 x 2 + 9 x 2 x 2 8 x + 30 = 12 12 12 El signo negativo cambia la fraccin6 x 2 12 x + 30 3 x 2 9 x = 2 x 2 8 x + 30 6 x 2 3 x 2 2 x 2 12 x + 8 x 9 x + 30 30 = 0x = 0 x1 = 0 x 2 13 x = 0 x ( x 13 ) = 0x 13 = 0 x 2 = 13 14. Profesor: Juan Sanmartn Matemticas Curso 2012/2013 4 E.S.O.Ecuaciones Bicuadradas.De grado mayor que dos.Con radicales.Con X en el denominador 15. Ecuaciones Bicuadradas La forma de una ecuacin bicuadrada es: Grado del polinomioax + bx + c = 0 42Puede presentar los casos que hemos visto en la ecuacin de segundo grado donde b y c son cero, la resolvemos de la siguiente manera:z = x2sustituimosz2 = x 4Y obtenemos la siguiente ecuacinaz + bz + c = 0 2 16. az + bz + c = 0 2 b b 4ac z= 2a 2Tenemos ahora una ecuacin de segundo grado que resolvemos como hemos visto, teniendo en cuenta los casos particularesc c az + c = 0 az = c z = z= a a 222z = 0 az + bz = 0 z ( az + b ) = 0 az + b = 0 2 17. Una vez que obtenemos el valor de z tenemos que obtener el o los valores de x.z = x x = z 2entoncesEn una ecuacin bicuadrada podemos obtener cero, dos o cuatro soluciones 18. Ejemplo 09 sustituim s o z x 2 x 4 5x 2 + 4 = 0sustituim s o z 2 x 4 z 2 5z + 4 = 0Resolvemos entonces la ecuacin de segundo gradoa=1z=+5+5 9 z= = 2( 5)b = -5 22 1 4 1 4c=4+ 5 25 16 = = 2+5 + 3 8 z1 = = = + 4 z1 = + 4 2 2 +5 3 2 z2 = = = + 1 z2 = + 1 2 2 19. Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de Xz1 = 4z2 = + 1entonces z = x 2 x = zx1 = + 2 x = z1 = 4 = 2 Obtenemos 4 solucionesx = z1 = 1 = 1x2 = 2 x3 = + 1 x4 = 1 20. Ejemplo 10x 4 7 x 2 18 = 0sustituim s o z x 2 sustituim s o z 2 x 4 z 2 7z 18 = 0Resolvemos entonces la ecuacin de segundo gradoa=1z=+7+5 9 z= = 2( 7)b = 7c = 18 4 1 ( 18 ) + 5 25 16 = = 2 1 2 2+5 + 3 8 z1 = = = 4 z1 = 4 2 2 +5 3 2 z2 = = = + 1 z2 = + 1 2 2 21. Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de Xz1 = 4z2 = + 1entonces z = x 2 x = zx1 = + 2 x = z1 = 4 = 2x2 = 2 x3 = + 1x = z1 = 1 = 1x4 = 1 22. Ecuaciones de grado mayor que 2 x 4 x 3 13 x 2 + x + 12 = 0 Paso 1.- Descomponemos la ecuacin en factores.+1Aplicamos RUFFINI para factorizar la ecuacin1 1 1 +1 2 +113 +1 +12 + 2 + 11 12 11 + 12 0+1 1 + 1 1 12 3 3 + 12 +1 4 0 12 0x 4 x 3 13 x 2 + x + 12 = ( x + 1)( x 1)( x + 3 )( x 4 ) = 0 23. Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..x + 1 = 0 x 1 = 0 ( x + 1)( x 1)( x + 3)( x 4 ) = 0 x + 3 = 0 x 4 = 0 Solucinx + 1 = 0 x1 = 1 x 1 = 0 x 2 = +1 x + 3 = 0 x 3 = 3 x 4 = 0 x 4 = +4 24. Ecuaciones de grado mayor que 2 Paso 1.- Descomponemos la ecuacin en factores. 3 x 4 + 3 x 3 + 12 x 2 12 x = 0() 3 x 4 + 3 x 3 + 12 x 2 12 x = 3 x x 3 + x 2 + 4 x 4 = 0 1+1 +4 4 +1 1 0 + 4 1 0 + 4 0 +2 2 4 1 2 0Aplicamos RUFFINI para factorizar la ecuacin()3 x x 3 + x 2 + 4 x 4 = 3 x ( x 1) ( x 2) ( x 2) = 0 25. Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..3 x = 0 x 1 = 0 3 x ( x 1) ( x 2) ( x 2) = 0 x 2 = 0 x 2 = 0 Solucin3 x = 0 x1 = 0 x 1 = 0 x 2 = +1 x 2 = 0 x 3 = +2 x 2 = 0 x 4 = 2 26. Ecuaciones con radicales Existe una raz dentro de la ecuacin y la forma de resolverla es la siguiente: Paso 1.- Separamos la raz para un lado y el resto para otro del igual.x 2x 1 = 1 xx + x 1 = 2x 1Paso 2.- Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raz.( 2x 1)2x 1 = 2x 1( 2x 1)2=()22=(2x 12x 1 4 x 2 + 1 4 x = 2x 1)2 27. Paso 3.- Una vez obtenida la ecuacin (en este caso de 2 grado) la resolvemos4 x 2 6 x + 2 = 0 2 4 x 4 x 2x + 1 + 1 = 0 2 x 2 3 x + 1 = 0 x=+ 3+3 1 x= = 4( 3)222 4 2 1a=2 b = 3 c = +1+ 3 98 = = 4+3 + 1 4 x1 = = = 2 x1 = + 2 2 2 +3 1 2 x2 = = = +1 x2 = +1 2 2 28. Ejemplo 11x 2 5 x + 7 2x + 5 = x 3x 2 5 x + 7 = 2x 5 + x 3 2 x 2 5x + 7 = ( 3x 8) 2 x 5x + 7 = 3x 8 2x 2 5 x + 7 = 9 x 2 + 64 48 xx 2 5 x + 7 = 9 x 2 + 64 48 x 8 x 2 + 43 x 57 = 0 29. Una vez obtenida la ecuacina = 8 8 x + 43 x 57 = 0 2b = + 43 c = 57 43 43 2 4 ( 8 ) 57 43 1849 + 1824 x= = = 2 ( 8) 16 42 25 x= = 16 43 + 5 38 19 19 x1 = = = x1 = + 16 16 8 8 43 5 48 x2 = = = +3 x2 = +3 16 16 30. Ecuaciones con radicales (2 radicales) Existe una raz dentro de la ecuacin y la forma de resolverla es la siguiente: Paso 1.- Separamos una raz para un lado y el resto para otro del igual. (Es recomendable que pasemos al otro lado la negativa para evitar errores con el signo)x + 4 6 x = 2x + 4 = 2+ 6 xPaso 2.- Desarrollamos los cuadrados. Aplicamos identidades notables.() ( 2x + 4 = 2+ 6 x)2x+ 4 = 4+x+ 4 = 4+ 6 x+ 4 6 x()26 x + 4 6 xLa raz se va con la potencia. 31. Paso 2.- Operamos ahora como en el caso de un solo radical separando el radical para un lado.x+ 4 = 4+ 6 x+ 4 6 x x+ 4 4 6+ x = 4 6 x 2x 6 = 4 6 xx3 = 2 6 xPaso 3.- Elevamos ambos lados otra vez al cuadrado para eliminar el radical.( x 3)2(= 2 6 x)2x 2 + 9 6 x = 4( 6 x )x 2 + 9 6 x = 24 4 x x 2 6 x + 4 x + 9 24 = 0 32. Paso 4.- Una vez obtenida la ecuacina = +1x 2 x 15 = 0 2x=x=+ 2( 2) 2 4 1 ( 15 )+ 2 64 = 22 1b = 2 c = 15+ 2 4 + 60 = = 2+2 + 8 x1 = = x1 = + 5 2 +2 8 x2 = = 2 x2 = 2 2 33. Ecuaciones con x en el denominador Son ecuaciones con fracciones donde la x tambin est en el denominador: Paso 1.- Calculamos el m.c.m. para hallar denominador comn a ambos lados.5 x 3 + = x+2 x+3 2x + 2 = x + 2 x + 3 = x + 3 m.c.m. = 2 ( x + 2) ( x + 3 ) = 2 x 2 + 10 x + 12 2=2 5 2 ( x + 3 ) + x 2( x + 2) 3 ( x + 2) ( x + 3 ) = 2( x + 2)( x + 3 ) 2 x 2 + 10 x + 12 Tanto una expresin como otra son vlidas ya que son iguales2 ( x + 2) ( x + 3 ) = 2 x 2 + 10 x + 12 34. 5 2 ( x + 3 ) + x 2( x + 2) 3 ( x + 2) ( x + 3 ) = 2( x + 2)( x + 3 ) 2 x 2 + 10 x + 12 Paso 2.- Operamos en el numerador y eliminamos el denominador en ambos lados por ser igual.10 x + 30 + 2 x 2 + 4 x 3 x 2 + 15 x + 18 = 2( x + 2)( x + 3 ) 2 x 2 + 10 x + 12 10 x + 30 + 2 x 2 + 4 x = 3 x 2 + 15 x + 18 Paso 3.- Resolvemos la ecuacin de 2 grado en este caso.+ 2 x 2 3 x 2 + 10 x 15 x + 4 x + 30 18 = 0 x 2 x + 12 = 0 35. Paso 4.- Una vez obtenida la ecuacina = 1 x 2 x + 12 = 0x=x=+ 1( 1)+ 1 49 = 2b = 1 c = + 12 4 ( 1) 12 + 1 1 + 48 = = 2 ( 1) 2 2+1+ 7 x1 = = x1 = 4 2 +1 7 x2 = = +3 x2 = +3 2 36. Fin de Tema Busca enlaces a otras pginas relacionadas con el tema enwww.juansanmartin.net