tema 9: lugares geométricos....

Ejercicio 1.

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos ,4,3A 0,1B .

Solución:

Los puntos ),( yxX deben cumplir la condición ),(),( BXdistAXdist :

2222 )1()4()3( yxyx Elevamos al cuadrado en los dos miembros y desarrollamos los cuadrados indicados:

303024881216896 2222 xyyxyxyxxyyxx La recta obtenida, 3 xy tiene las siguientes características:

Pasa por )2,1( , que es el punto medio del segmento. Su pendiente, 1, y la pendiente del segmento, 1 , cumplen que 1)1(1 . Son perpendiculares.

Efectivamente, 3 xy es la mediatriz de AB

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 1.

Tema 9: Lugares geométricos. Cónicas.

MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS

2

Figura 2.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2.

Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por: 0534:1 yxr 0243:2 yxr

Solución:

Los puntos ),( yxX deben cumplir: ),(),( 21 rXdistrXdist

5

534

34

534),(

221

yxyxrXdist

5

243

43

243),(

222

yxyxrXdist

Como los puntos equidistan de ambas rectas, debe cumplirse que:

5

243

5

534),(),( 21

yxyxrXdistrXdist

Para interpretar esta ecuación, debemos eliminar los valores absolutos. Al hacerlo, aparece un doble signo, pues

BABA o bien BA .

03243534 yxyxyx )( 1L

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas.

3

0777)243(534 yxyxyx 01 yx )( 2L El lugar geométrico buscado está compuesto por las dos rectas, 1L y 2L , perpendiculares entre sí y que se

cortan en )1,2( , el mismo punto en que se cortan 1r y 2r .

Son las bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas dadas. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 3.

Figura 4.



4

Ejercicio 3.

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro 0,3C y radio 5 .

Solución:

Los puntos ),( yxX deben cumplir 5),( CXdist :

016625965)3( 222222 xyxyxxyx Con lo que sabemos hasta ahora no somos capaces de interpretar esta ecuación. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

Figura 5.

Figura 6.


5


Ejercicio 4.

Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de cuadrados de distancias a )2,4(P y a

)5,2(Q es 15 .

Solución:

15),(),( 22 QXdistPXdist

15)5()2()2()4(2

222

22 yxyx

15)251044(44168 2222 yyxxyyxx

159612 yx 42 yx 42 xy Se trata de una recta perpendicular al segmento PQ .


Figura 7.


6

Figura 8.


Ejercicio 5.

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro )2,3( y radio 4.

Solución:

16)2()3( 22 yx Esta ya es la ecuación. Podríamos simplificarla si fuera necesario para nuestros fines:

164496 22 yyxx

034622 yxyx


7


Figura 9.

Figura 10.


Ejercicio 6.

Hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que la razón de distancias a dos puntos dados,

)0,0(A y )3,6(B , sea igual a 2. Es decir, .2/ PBPA


8

Solución:

)963612(42

)3()6(2 2222

22

22

yyxxyxyx

yx

PB

PA

0608160180244833 2222 yxyxyxyx

Es una circunferencia de centro )4,8( y radio 20601664


Figura 11.

Figura 12.



9

Ejercicio 7.

Hallar la posición relativa de la recta xy y la circunferencia siguiente: 012822 yxyx

Solución:

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la circunferencia, se obtienen los puntos de

corte. (Si el sistema no tuviera solución, la recta sería exterior a la circunferencia):

01280128 22

22

xxxxxy

yxyx

2

73

4

83660162 2 xxx

18,02

73

82,22

73

La recta y la circunferencia se cortan en dos puntos:

)82,2;82,2(),18,0;18,0( Si solo nos importa la posición relativa, esta podría averiguarse comparando el radio r , de la circunferencia con

la distancia, ,d de su centro a la recta s :

Centro: )1,4( CO

Radio: 4114 22 r

:),( sOdist C 5,32

5

11

14

d

Puesto que ,dr la recta corta a la circunferencia.


10


Figura 13.

Figura 14.



11

Ejercicio 8.

Dados los puntos ),5,2(1 F )3,7(2 F y la recta 01: yxr , obtener las ecuaciones de:

a) La elipse de focos 21 , FF y cuya constante es 17 .

b) La hipérbola de focos 21 , FF y cuya constante es 6 .

c) La parábola de foco 1F y directriz r .

Solución:

a) 17)3()7()5()2(17),(),( 222221 yxyxFPdistFPdist

b) 6)3()7()5()2(6),(),( 222221 yxyxFPdistFPdist

c) 11

1)5()2(),(),( 22

1

yxyxrPdistFPdist

Como ves, has sido muy fácil hallar estas ecuaciones. Sin embargo, es menos fácil aprender a reconocer las

ecuaciones de estas figuras. Para ello, las estudiaremos con más detalle en los próximos apartados.


Figura 15.


12

Figura 16.

Figura 17.

Figura 18.


13

Figura 19.

Figura 20.


Ejercicio 9.

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos )0,4(1F y )0,4(2 F y

constante 10k .


14

Solución:

Semieje mayor: 510210 aak

Semidistancia focal:

482821 ccFF Semieje menor:

31625222 bcab Excentricidad:

8,08,05/4/ excac Ecuación reducida:

1925

22

yx


Figura 21.

Figura 22.

Figura 23.


15

Figura 24.

Figura 25.

Figura 26.


Ejercicio 10.

Representar las siguientes elipses y decir su excentricidad:


16

Solución:

a) 13616

22

yx

22 46 c

20c

6

20exc

75,0exc

b) 125

)3( 22

yx

24125 c

98,05

24exc

c) 125

)1(

16

)2( 22

yx

31625 c

6,05

3exc

d) 44 22 yx

14

22

yx

314 c

87,02

3exc

Figura 27.

Figura 28.

Figura 29.

Figura 30.


17


Figura 31.

Figura 32.

Figura 33.


18

Figura 34.

Figura 35.

Figura 36.

Figura 37.


19

Figura 38.


Ejercicio 11.

Representa las siguientes hipérbolas:

a) 13616

22

yx b) 1

25

)3( 22

yx

Figura 39.a. Figura 39.b.

c) 125

)1(

16

)2( 22

xy d) 44 22 xy

Figura 39.c. Figura 39.d.



20

Figura 40.

Figura 41.

Figura 42.a. Figura 42.b. Figura 42.c. Figura 42.d.


21

Figura 43.a. Figura 43.b.

Figura 43.c. Figura 43.d.

Figura 43.e. Figura 43.f.


Ejercicio 12.

Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que se dan a continuación:

a) 194

22

yx b) 1

4

22

yx

c) 144

22

yx d) 1

4 y

x

e) 14

2

yx f) 1

94

22

yx


22

Figura 43.g. Figura 43.h.

Figura 43.i. Figura 43.j.

Figura 43.l.

Figura 43.k.

g) 14

22

xy h) 0

42

2

yx

i) 04

22

yx j) 0

4

2

yx

k) 122 yx l) 1xy


23


Figura 44.

Figura 45.a. Figura 45.b. Figura 45.c. Figura 45.d. Figura 45.e. Figura 45.f.


24

Figura 45.g. Figura 45.h. Figura 45.i. Figura 45.j. Figura 45.k. Figura 45.l.


tema 9: lugares geométricos....

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