tema 6.- problemas mÉtricos

TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS.


1.- ÁNGULOS ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIO

2° BACH(CN)

A) ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS.

Para calcular el ángulo formado por dos rectas que se cortan (en otro caso no tiene

sentido), calculamos el ángulo formado por sus vectores directores utilizando la aplicación del

producto escalar:

Observación: Cuando una recta viene dada por la intersección de dos planos, para

calcular el vector director de la recta multiplicamos vectorialmente los vectores normales de

los planos (ya que así nos sale un vector perpendicular a ambos).

Observación: En el caso en que las rectas sean perpendiculares, el producto escalar de

los vectores directores será cero. En el caso en que las rectas sean paralelas, los dos vectores

directores serán proporcionales.

Eiemplo lA: Halla el ángulo que forman las rectas r y s que vienen dadas por:

x-y =3

y + z = 15{X =3+3A

y s: y = 2A (antes se debe comprobar que las rectas se cortan).

z=15+5A

B) ÁNGULOS ENTRE DOS PLANOS.

Para calcular el ángulo formado por dos planos, basta calcular el ángulo formado por

sus vectores normales, utilizando de nuevo el producto escalar. Independientemente del

valor del coseno, tomaremos el ángulo agudo que forman:

Observación: Cuando dos planos sean perpendiculares entre sí, el producto escalar es

cero. Cuando dos planos son paralelos, los vectores normales son proporcionales.

Eiemolo lB: Halla el ángulo que forman los planos 7f y 7f' que vienen dados por:

7f : x - 2y + 4z = O y 7f': 2x - y + 3 = O .

DAVID RIVIER SANZ 1/S

TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 2° BACH(CN)

C) ÁNGULOS ENTRE RECTA Y PLANO.

En este caso, el ángulo es el complementario al que forman el vector director de la

recta y el vector normal del plano:

Observación: Cuando la recta y el plano son perpendiculares es porque el vector

director de la rectá y el vector normal al plano son proporcionales. Cuando la recta y el plano

son paralelos, el vector director de la recta y el normal al plano son perpendiculares, por lo

tanto su producto escalar será O.

Eiemolo lC: ¿Qué ángulo forman la recta

7r : 2x - 5Y + 7 z - 11 = O?

2.- DISTANCIAS EN EL ESPACIO

. x-3_y+1_z-1r.--------2 5 -1 y el plano

A) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

La distancia entre dos puntos es el módulo del vedar que forman, es decir:

B) DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.

El proceso natural para calcular esta distancia sería:

i) Calcular la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P.

ii) Calcular la intersección de esta recta con el plano (Q) (que es la proyección

ortogonal del punto P sobre el plano).

iii) Calcular el módulo del vector formado por P y Q.

Todo ello se resume en la siguiente fórmula:

Eiemolo 28: Calcula la distancia que existe entre el punto P(3,1,7) y el plano

7r:x-3y+5z-1=O.

DAVID RIVIER SANZ 2/5

TEMA 6.- PROBLEMAS MÉTRICOS. 2° BACH(CN)

C) DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

En este caso el proceso sería:

i) Elegimos un punto cualquiera de la recta (A).

ii) Construimos el triángulo formado por los puntos P, A Y M (proyección ortogonal de

P sobre la recta).

iii) Calculamos la altura de ese triángulo ayudándonos de la fórmula del área del

triángulo (el producto vectorial).

Todo ello se 'reduce a aplicar la siguiente fórmula: d(p,r)J /\ AP]litl I

Eiemolo 2C: Calcular la distancia del punto P(5,-1,6) a la recta siguiente:

{X = 1-2,,1,

r: y = -Az=5+A

D) DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

Si las rectas son paralelas, se coge un punto de cualquiera de ellas y se calcula su

distancia a la otra aplicando el apartado anterior.

Ilit,v,PQ

Si las rectas se cruzan aplicamos la siguiente fórmula: Id(r,s) = 1 __ 1 '1, donde iiu /\ V

y v son los vectores directores de las rectas y P y Q son dos puntos cualesquiera de cada

una de ellas, respectivamente.

Eiemolo 2D: Calcular la distancia entre las rectas siguientes:

{X=5+A {X=4+3P

r: y=-l y s: y=3-p

z = 8 + 2,,1, Z = 5 + 4P

E) DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS

Se reduce al caso B, cogemos un punto cualquiera de uno de los dos planos y

calculamos su distancia al otro plano. Para ello los dos planos deben ser paralelos.

Eiemolo 2E: Calcular la distancia entre los planos 1{¡: x - 3y + 5z -1 = O y

1{2 :3x-9y+15z+7=O.



3.- MEDIDAS DE ÁREAS Y VOLÚMENES.

2° BACH(CN)

A) ÁREA DE UN TRIÁNGULO DEL QUE SE CONOCEN LOS VÉRTICES.

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo. Por tanto:

Área(ABC) = 1- . lAR /\ ACII donde A,By C son los vértices del triángulo.

Eiemolo 3A: Hallar el área del triángulo de vértices A(-S,2,1), B(1,7,S) y C(-1,0,4).

Calculamos AB = (6,5,4), AC = (4,-2,3) Y AB 1\ AC = (23,-2,-32), para luego:

, 'll-~II-J 1~Area(ABC)=-. AB /\AC =- 232 +22 +322 =--v1557 ~19,73u22 2 2

B) VOLUMEN DE UN TETRAEDRO.-* -* -*

El volumen de un tetraedro que está determinado por los vectores, u, v y w viene

dado por:1 1[-* ->-*]Volumen del Tetraedro = 6' u, v, w

Eiemplo 38: Hallar el volumen del tetraedro de vértices A(3,S,7), B(l,O,-l), C(7,-1,4)

y D(11,4,-6).

Calculamos BA = (2,5,8), BC = (6,-1,S) y BD = (10,4,-S) para luego aplicar la fórmula:

2 5 8

1 1[- - -] 1 I 642Volumen del Tetraedro=6' BA,BC,BD =6'16 -1 5 1=6=107u3¡lO 4 -5

4.- ELEMENTOS SIMÉTRICOS.

A) SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PLANO.

i) Calculamos la recta perpendicular al plano que pase por el punto P.

ii) Calculamos la intersección de esa recta con el plano CM).

iii) Calculamos un punto de la recta P' tal que M sea punto medio del segmento PP' .

B) SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA.

i) Calculamos el plano perpendicular a la recta que pase por el punto P.

ii) Calculamos la intersección del plano y la recta CM).

iii) Buscamos un punto del plano P' tal que M sea el punto medio del segmento PP' .

C) SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO PUNTO.

Basta con calcular el vector que une los dos puntos y sumárselo dos veces al primer

punto, es decir, P' = P + 2PQ.



5.- LUGARES GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO.

2° BACH(CN)

Utilizando la geometría algebraica se puede hacer un estudio muy riguroso de algunos

de los cuerpos más importantes del espacio, como puede ser la esfera. A diferencia de la

geometría euclídea, en la que se estudian distancias, áreas y volúmenes independientemente

de la situación geométrica del cuerpo estudiado, en esta geometría, utilizamos los sistemas

de referencia, y por tanto los puntos están dotados de coordenadas (el primer matemático

que comenzó este campo fue Descartes, de ahí el nombre de coordenadas cartesianas).

Por ejemplo, si queremos calcular la esfera de centro el punto P(a,b,c) y de radio la

distancia r, no tenemos más que aplicar el siguiente concepto: los puntos que pertenecen a

esa esfera serán los que cumplan la condición de estar a una distancia r del punto P; si

llamamos a esos puntos con las incógnitas (x,y,z) tenemos:

J(x-aY +(y-bY +(z-cY =r o lo que es lo mismo (x-aY +(y-bY +(z-cY =r2 y si

operamos esos cuadrados y reducimos la expresión, obtendremos otra de este tipo:

x2 + y2 + Z2 + mx + ny + pz + q = O, que es la que se conoce como ecuación canónica de la

circunferencia.

Si a partir de esta ecuación queremos calcular el centro y el radio de la circunferencia

tendremos que calcular:

ma=--2

b=_n2

c=-p2

Gracias a este tipo de notación podemos planteamos muchos problemas geométricos:

Plano tangente a una circunferencia en un punto dado: será el que tenga de vector

normal el vector formado por el centro de la circunferencia y el punto dado y pase por ese

punto.

Intersección de un plano y una esfera: Siempre que la distancia del plano al centro de la

circunferencia sea menor que el radio, la intersección será una circunferencia cuyos puntos

deben cumplir la siguiente condición: IHPl2 = r2 - d2 , donde H es la proyección ortogonal

del centro de la esfera sobre el plano, d es la distancia del plano al centro y P son los

puntos a buscar de la circunferencia.

Intersección de una esfera con una recta: Se sustituyen las ecuaciones paramétricas de la

recta en la circunferencia y se obtiene una ecuación de 20 grado. Si tiene dos soluciones la

recta corta a la circunferencia en dos puntos, si tiene una es tangente y si no tiene ningunaes exterior.


9 iTenemos la recta r y los planos 7t .Y cr si

guientes:

a) Halla el punto P donde se cortan la recta ry e! plano 7t.

b) Calcula las coordenadas del punto Q dondese cortan l' y cr.

c) Obtén la distancia que separa a los puntos P

y Q de los apartados anteriores.

871,

TEMA' ..P~o~t.r~AS,~L-~ ~rqRI CO$.-

rh-ol~s3 i Halla, en cada caso, el ángulo que forman la

recta y e! plano:

x+1 y+3 za) 1': --=--=--2 4 2

7t: X ~ 2y - z + 1 = O

b) 1': X = A, Y = 1 + 2A, Z = -2

{X -

r: y = 2

z = 3 - 6A

7t: X + 2y - z = 1cr: x- y + z = 3

18 Halla la distancia entre el punto PC2, 2, -11) Y

{X = 9 + 12A

la recta 1': y = -1 - 3A

z = 6 + SA

7t: X + Z = 17

7t: X - 2y + Z = O

5 !Halla los tres ángulos de los triángulos cuyosvértices son:

6 I Calcula el ángulo que forma el plano siguientecon cada uno de los ejes coordenadas: ,

{X = 10 - lOA

s: y = -2 + 5A

z = 26 - 24A{X=-7+ 5A

1': y = 4 + A

z = 19 + 1271,

22 : Halla la distancia que hay entre estas rectas

s26 Calcula el volumen del tetraedro determinado

por los ejes coordenadas y el plano:

6x - 5y + 3z - 30 = O

,•... Recuerda que V = (1/3) . á7"eabase x altura.En este caso es muy sencillo obtener ambas por ser untetmedro con tres aristas pe7pendiculares entre sí.Hazlo, también, utilizando elproducto mixto, y comprueba que obtienes el mismo resultado.

s27 Halla la ecuación del plano perpendicular a la

x+3 y-4 zrecta -- = -' -- = - y que pasa por e!2 3 4

punto (-1, 1, O),Y calcula el volumen de la figura limitada por el plano anterior y los tres planos coordenadas.

13 ¡ Halla la distancia entre los siguientes pares deplanos:

a) 7t1: X - 2y'+ 3 = O; 7ti 2x - 4y + 1 = O

b) 7t1: 3x - 2y + Z - 2 = O; 7t2: 2x - y + Z = -5....-""~~.,

] 6 ¡Halla la distancia entre el punto PC2, 2, -11) Y

{X = 9 + 12A

la recta 1': y = -1 - 3A

z = 6 + 5A

12 1 Calcula la distancia entre el punto QC2, -1, O)

ye! plano que contiene a PC2, O, 4) Y a:

{X = 3 - 2A

s: y = 2 + 3A

z=4

11 ¡Calcula la distancia entre e! punto (3, -4, 1) Y elplano y= 3.

10 ¡Calcula, en cada caso, la distancia entre el punto P y el plano 7t:

a) PC2, -3, 1), 7t: 3x- 4z = 3

b) PCO, 1, 3), 7t: X - Y - 2z + 3 = O

c) PC2, O, 1), 7t: X + y - 2z = O

7t: X + y - 2z = 1

~: X - Y + 2z + 4 = O

{ x- yr· '. x +z= 1

cx: Z = 3

8 ¡ Considera la recta l' y e! plano 7t siguientes:

= -3

a) AW, O, O), BO, 2, 1), CC3, 1, 1)

h)AC2, 7, 3), BO, 2, 5), 0-1, -2,5)

a) Halla las coordenadas de! punto S donde secortan r y 7t.

h) Calcula la distancia de! punto PC4, O, 1) al

punto S del apartado anterior.

7t: 2x - y + Z = O

x-1 y-3 Zc) r: -.- = -' -- =

211

s4 ¡Calcula e! ángulo que forman los dos pbnos si

guientes:

l

531 Halla la ecuación del plano n que contiene a larecta

{x+ y-z+ 1 =01':

x+2y+z =0

x-1 y-p z-3r'--=--=---2' 1 P - 1 3

b) Calcula su punto de intersección y la ecuación del plano que las contiene para el valorde p que has hallado.

536 Halla la ecuación de la recta que pasa por el

punto 0, 2, 1) Y corta perpendicularmente a larecta siguiente:

{X-y-z= 11':

X +z=2

Halla el punto del plano de ecuación x - z = 3

que está más cerca del punto PO, 1, 4), asícomo la distancia entre el punto P y el planodado.

551 ¡Halht la ecuación general del plano determinado por los puntos AO, 1, 1), BC-2, O, -1),CO, ~2, O), Y calcula el volumen del tetraeclroque limita con los planos cartesianos.

determina la posición relativa de ambas rectas yel {¡rea de uno de los cuadrados, dos de cuyoslados están sohre r y s.

552 ¡Sean los puntos PCS, 1,3) y QU, 7, -1), Porel punto medio del segmento PQ trazamos unplano n perpendicular a dicho segmento.

Este plano corta a los ejes coorcJenados en lospuntos A, B Y C:

a) Escribe la ecuación del plano n.

b) Calcula el volumen del tetraedro de vértices

0, A, B Y C C° es el origen de IR3).

Halla las coordenacJas de los restantes vérticesde! paralelepípedo.

554 ¡Se consideran los puntos P(2, 1, -1), QO, 4, 1)Y RO, 3, na) Comprueba que no están ahneados y halla el

área del triángulo que determinan.

b) Si desde el punto VO, 1, -1) se trazan rectasa cada uno de los puntos P, Q y R, se ob

tiene una pirámide. Halla la altura de dicha pirámide y su volumen.

555 ¡Halla e! volumen de un paralelepípedo de basesy EFGH sabiendo que A 0, 0, O),

BC2, 3, O), CC4, 0, 5) Y EO, 6, 3).

556 ¡Dadas las rectas:

x-1 y+1 z-2r· -- =-'-- =--. 1 .2 1

{ x-)i+z= 2\" ., . 3'x - Y - z = -4

1553i

y otro Jada sobre

sus lados sobre laUn cuadrado tiene uno de

{ 3x + 2y + 2z = °recta r:

x-2y+2z=0

a) Calcula el área del cuadrado.

b) Si uno de los vértices de! cuadrado es el

CO, 0, O), ¿cuál es el otro vértice situado sobrela recta r?

x-3 )1-1 z+Ss· --- = -'-- =--. 2 -1 -2'

a) Prueba que son los vértices de un triángulo.

b) Halla la longitud del segmento que determinael punto B y su proyección sobre AC.

b) Calcula el área del triángulo ABC.

544 ! Halla' los puntos simétricos de PO, 2, 3) respecto del plano a: x - 3y - 2z + 4= O Y respecto

{ X-)! +3=0de la recta r: '

4x -z = O

546 i Sean los puntos PC3, 1, S) Y QC-1, 7, 3). Por elpunto medio del segmento PQ trazamos un pIano n perpendicular a dicho segmento. Esteplano corta a los ejes coordenadas en los puntos A, B Y C.

a) Escribe la ecuación de n.

548 ¡Determina la ecuación de un plano n paraleloal plano x - 2y + 3z + 6 = ° y que dista 12 unidades del origen.

547 ¡Dados los puntos A (1, 5, -2), B C4, 0, 1) yC(-3, 2, O):

549

537 lLos vértices del triángulo ABC son los puntosde corte del plano 2x + y - 3z = 6 con los ejescoordenadas. Halla la ecuación de la altura que

parte del vértice B que está en el eje Oy.

1'2 sean

-2=0

y+3=O

r] y

s: {X

x y-1 zrl:4=~= 2

535

. y es ortogonal al plano 0: 2x - y + 3z + 1 = o.

1 Obtén también las ecuaciones paramétricas de1

i la recta determinada por n y 0.

I { -

x -2z+3-0532 I Dados la recta 1': y el plano

i y- z- 4 = °¡n: x + 2y + 3z - 1 = 0, halla la ecuación de una

1 recta situada en el plano n, que pase por elIpunto PC2, 1, -1) Y sea perpendicular a r.!1I X 1-y z+l

533 I Dados la recta r:"2 = -1-'- = -3- y el plano

1 n: x + 3y - 3z + 3 = O, halla el plano que con

¡tiene a r y es perpendicular a n.I

534 IDeterm~na. la recta perpendicular comÚn a lasI rectas sIgUIentes:

¡ {x + y = z + 4I r· .I . x + 2y = 7

\ .¡a) Halla p para que las rectas

¡ perpendiculares:1

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