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MATEMÁTICAS 3ºESO ACT

[Escribir texto] Página 63

TEMA 5

EL LENGUAJE ALGEBRAICO

LA EDAD DEL SABIO

Cuentan que en la tumba de Diofanto

de Alejandría (un matemático que vivió

en el siglo IV y al que se considera

“padre” del álgebra) había una

inscripción que explicaba, en forma de

problema, la edad que tenía el sabio

cuando murió.

Decía esto: “Esta tumba contiene a

Diofanto. ¡Oh gran maravilla! Y la

tumba dice con arte la medida de su

vida. Dios hizo que fuera niño una

sexta parte de su vida. Añadiendo un

doceavo, las mejillas tuvieron la

primera barba. Le encendió el fuego

nupcial después de un séptimo, y en el

quinto año después de la boda le

concedió un hijo. Pero, ¡ay!, niño tardío

y desgraciado, en la mitad de la

medida de la vida de su padrelo

arrebató la helada tumba. Después de

consolar su pena cuatro años con esta

ciencia del cálculo, llegó al término de

su vida

ÁLGEBRA, EL ARTE DE LA COSA

Como casi todas las palabras actuales que

empiezan por “al”, el término álgebra tiene

origen árabe. Se lo debemos a un matemático

llamado Al-Khwarizmi, que vivió en el siglo IX.

Escribió una obra que ha servido a los

matemáticos occidentales durante años. Ese

libro se llamaba Al Chéber u Almocábala (algo

así como Restauración y oposición) De la

primera palabra, Al Chéber, viene álgebra.

Este mismo matemático designaba la incógnita

con el nombre de sahy (que significa “la cosa”).

Los algebristas italianos usaban la palabra

cosa, y los alemanes llamaban a la incógnita

coss.

Con estos orígenes no es raro que durante una

época el álgebra, es decir, las operaciones para

conocer el valor de esa incógnita, fuera

conocida en Europa como el arte de la cosa



TEMA 5. EL LENGUAJE ALGEBRAICO

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras Al traducir el lenguaje algebraico los términos de un problema, se obtienen expresiones algebraicas: - Un número entero, el anterior y el siguiente: n-1, n y n+1 - Dos números pares consecutivos: 2n, 2n+2 - la suma de tres enteros consecutivos es 33: n+(n+1)+(n+2)=33. Ejemplos: 1. La edad de Ángel, dentro de 5 años, será el doble de la que entonces tenga Isabel:

AHORA DENTRO DE 5 AÑOS

EDAD DE ÁNGEL x x+ 5

EDAD DE ISABEL y y + 5

Condición del problema: x + 5 = 2(y + 5)

2. MONOMIOS Un monomio es: 3 x4

Un monomio tiene un valor numérico dependiendo del valor que tenga la incógnita, por

tanto podremos sumar y restar polinomios semejantes (que tengan el mismo grado e igual parte literal) y dividir y multiplicar, como si de números se tratara.

ACTIVIDADES:

GRADO 4º

PARTE LITERAL

COEFICIENTE



1. ¿Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios? (el grado de un monomio es el número de factores que forman su parte literal)

a) 32cab7

2

b) -3xy2

c) 252 zyx3

4

2. Halla el valor numérico de los monomios siguientes para x=3, y=-2, z=5. a) -6x2yz

b) 3x2

c) 4xy2

d) -5x2y2z2

e) yz

f) -2xz3

3. Efectúa las siguientes sumas de monomios: a) 5x – 3x + 4x – 11x + x =

b) 3x2y – 5x2y + 2x2y + x2y=



c) 7x3 – 11x3 + 3y3 – y3 + 2y3=

4. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:

a) - 5ab2c3

b) 11x4

c) x

4. POLINOMIOS.

Un polinomio es la suma de dos o más monomios:

7x3 - 3x2 + 4x – 5

Para sumar polinomios lo tenemos que hacer sumando los monomios semejantes y para multiplicar lo haremos como si multiplicamos números. Si sumamos los siguientes polinomios: A(x) = 3x2 + 5x – 2 y B(x) = x3 + 4x2 -5 A(x) = 3x2 + 5x – 2

TÉRMINO INDEPENDIENTE

TÉRMINO PRINCIPAL

GRADO DEL POLINOMIO



+ B(x) = x3 + 4x2 -5

A(x) +B(x) = x3 + 7x2 + 5x - 9

O lo que es lo mismo:

(3x2 + 5x – 2)+(x3 + 4x2 -5) = x3 + 7x2 + 5x - 9

Para restar polinomios: A(x) = 3x2 + 5x – 2

- B(x) = -x3 - 4x2 +5 A(x) – (B(x) = -x3 – x2 + 5x +3

O bien:

(3x2 + 5x – 2) - (x3 + 4x2 -5) = -x3 – x2 5x +3

Para multiplicar:

P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 1

y Q(x) = 3x2

P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 1

Q(x) = 3x2

P(x) · Q(x) = 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2

O bien:

(x3 – 2x2 + 5x – 1) ·(3x2) = 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2

ACTIVIDADES:

5. Di el grado de cada uno de estos polinomios:

a) x5 – 6x2 + 3x +1



b) x2 + 3x3 – 5x2 + x3 – 3 – 4x3

6. Sean P(x) = x4 -3x 3+ 5x + 3 y Q(x) = 5x3 +3x2 – 11. Halla:

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) –Q (x)

c) Q(x) – P(x)

7. Halla los productos siguientes:

a) x(2x + y + 1)

b) 2x2(3x2 + 5x2)

c) ab(a + b)



d) 5(3x2 + 7x + 11)

e) x2y (x + y + 1)

f) -2(5x3 + 3x2 – 8)

g) -2x (3x2 – 5x + 8)

El producto de dos polinomios:

Por ejemplo:

P(x) = 2x3 – 4x2 – 1 y Q(x) = 3x - 2

P(x) 2x3 – 4x2 – 1

Q(x) 3x - 2

-4x3 + 8x2 +2 6x4 -12x3 -3x 6x4 – 16x3 + 8x2 -3x +2 O también: (2x3 – 4x2 – 1) · (3x – 2) = 6x4 -12x3 -3x- 4x3 + 8x2 +2 = 6x4 – 16x3 + 8x2 -3x +2

Sacar factor común: En la expresión: 6x3 + 3x2 – 2x la x se repite en todos los sumandos, es factor común a todos ellos. Podemos sacarla fuera del siguiente modo:

PRODUCTO DE -2 POR P(x)

PRODUCTO DE 3x POR P(x)

P(x) · Q(x)



x (6x2 + 3x – 2) de tal manera que si desarrollamos el paréntesis tenemos de nuevo la primera expresión

6x3 + 3x2 – 2x = x (6x2 + 3x – 2) A esta transformación se le llama sacar factor común.

ACTIVIDADES:

8. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante. a) 3 (x3 – 5x +7) – (2x3 + 6x2 +11x +4) =

b) 2x(3x2 – 5x + 1) + 5(3x2 – 5x + 1) - 4

21x2 =

c) 32

5x3

4

2x3·8

d) 36

y

2

xy

2

)5x(3·6 =



e) 3

1y10

7

)4yx(3=

g) 2(x-1) +3(y+4) - 5

)yx3(2 +9 =

h) (3x3 – 2x2 + 11) 21

3x2

-(11x3 + 7x2 – 3x) =

h) 31x11x6x6·3

1x3

2

x 322

=



9. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones: a) 3x2 + 6x b) z4 – 3z2 c) 6x2

d) y4 – 3x2y3 + 2

3x5y4

e) 13x6 +4x4- 3x3

e) 2

x5

2

x3

2

x 234

f) 2x3 – 2x2 + 2x i) 40x2 – 10x



5. IDENTIDADES NOTABLES. Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor de la incógnita. Se llaman identidades notables a las tres siguientes:

✎ Cuadrado de una suma

Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo

✎ Cuadrado de una diferencia

Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo

✎ Suma por diferencia

Es igual a la diferencia de cuadrados

ACTIVIDADES:

10. Desarrollar:

a) (2x -7)2, es el cuadrado de una diferencia, por tanto:

(2x -7)2 = (2x)2 + 72 – 2 · 2x· 7 = 4x2+ 49 – 28x

b) (x + 1)2 =

c) (2x – 1)2=

d) (x + 3)2 =

(a+b)2=a2+b2+2ab

(a-b)2=a2+b2-2ab

(a+b) · (a-b) = (a2-b2)



e) (5x + 2)2=

f) (5x + 2y)2=

g) (x + 1) (x – 1) =

h) (x +3) (x -3)

i) (2x -5) (2x + 5)

11. Simplifica:

a) ( x+3)2 - [x2 + (x – 3)2] =

b) (5x – 4) (2x +3) – 5 =



c) 3x2 – (2(x +5) – (x + 3)2 +19 =

EJERCICIOS:

1. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas:

a) A un número se le quita 7

b) El doble de un número mas su cuadrado

c) Un múltiplo de 3 menos 1

d) El 20% de un número

e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios

f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%

g) Un número impar

2. Llama x al ancho de la pizarra y expresa su altura en cada caso:

a) La altura es la mitad del ancho

b) La altura es 20 cm menos que el ancho

c) La altura es los tres cuartos del ancho

d) La altura es un 20% menor de su ancho

3. Traduce al lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita:

a) Los tres quintos de un número menos uno

b) La suma de tres números consecutivos

c) Un múltiplo de tres mas su doble

d) La suma de un número y su cuadrado

e) El producto de un número por su siguiente

4. Simplifica

0,2x

2x +1

2x + x2

1,1x

4x - 3

x2

3x -1

x - 7



a) 5x2 – 3x3 – x2 + 4x3 - 3 =

b) (2x2 + 5x – 7) – ( x2 – 6x + 1) =

c) (2x2 +5x -7) +3(2x2 +3x -4)=

d) 3(x3 -5x +9) – (2x3 + 6x2- 11x +4) =

e) 2x(3x2-5x+1) + 5(3x2 – 5x +1) - 2x4

21=

f) 4x11x2x4(x)x3x5·(x23 232 =



g) 32

5x3

4

2x·3·8

h) 5

1x

3

1x 22

=

5. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones. a) 3x2 +6x b) b4-3b2

c) 3ab2 + 2ab

d) 25x2 +5x e) 16x4 + 4x2



f) 6x3 +9x2- 12x

6. Halla los productos siguientes: a) x(2x2 + 3)

b) ab·(a +b) c) x2y (x+y+1) d) – 2x (3x2 – 5x +8) e) 3x2y3(x-y+1) f) -5(3x2 +7x +11)



h) -2x (3x2-5x+8) i) 2x2(3x2 – 5x3) j) - 3x2· (2x15 -3x12- 3x7- 5x2-3x)

7. Multiplica:

a) (x+7) (x-7) = b) (1+ x) (1 – x)=



c) (2x – 1) (2x + 1) = d) (4 – 3x) (4 + 3x)= e) (5x2 – 3) ( 5x2 +3)= 8. Utiliza las identidades

notables en los siguientes casos:

a) (x +1)2 b) (x – 1)2

c) (1 – x)2 d) (1 + x)2 e) (2x +3)2



f) (3 – 2x)2 g) (2x2-5)2 h) (6 –x2)2

i) (x3 – 2x)2

j) 2

3

2x

k) 2

22

1x

9. E

xpresa en forma de producto: a) x2 + 2x + 1



b) x2 + 4 + 4x c) 4x2 + 4x + 1

d) 4x2 + 9 + 12x

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