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Tema 4
Dinámica
Fuerza
Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto
Una fuerza es lo que causa una aceleración
La fuerza neta es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto
También se conoce como fuerza total o fuerza resultante
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Clases de fuerzas
Las Fuerzas de contacto suponen el contacto físico entre dos objetosLos campos de fuerzas actúan incluso en el vacío
No es necesario el contacto físico
Las fuerzas son vectores
Primera ley de Newton
Si un objeto no interacciona con otros objetos, es posible identificar un sistema de referencia en el que el objeto tiene aceleración nula
Se conoce como Principio de inerciaDefine un conjunto especial de sistemas de referencia conocidos como sistemas inerciales
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Sistemas inerciales
Cualquier sistema de referencia que se mueve con velocidad constante con respecto a un sistema inercial es también un sistema inercialUn sistema de referencia que se mueve con velocidad constante con respecto a las estrellas lejanas es la mejor aproximación a un sistema inercial
Podemos considerar a la Tierra como un sistema inercial aunque tiene una pequeña aceleración centrípeta asociada a su movimiento de rotación
Primera ley de Newton (alternativa)
En ausencia de fuerzas externas, y visto desde un sistema inercial de referencia, un objeto en reposo continuará en reposo y un objeto en movimiento continuará en movimiento con velocidad constante
Describe lo que ocurre en ausencia de fuerzasTambién nos dice que si no hay fuerzas actuando sobre el objeto, la aceleración del objeto es nula.
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Segunda ley de Newton
Cuando se refiere a un sistema inercial, la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta actuando sobre él e inversamente proporcional a su masa
La fuerza es la causa del cambio en el movimiento, medida por la aceleración
Algebraicamente,
amF =Σ
Momento lineal
Definimos el momento lineal, p, como
es decir, el producto de la masa y la velocidad de un objeto
vmp =
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Segunda ley de Newton (alternativa)
Con la definición de momento lineal, podemos escribir la segunda ley de Newton de la siguiente forma:
si la masa, m, es constante, entonces:dt
vmddtpdF )(
==Σ
amdtvdmF ==Σ
Principio de conservación del momento lineal
En ausencia de fuerzas externas, el momento lineal se conserva:
Cte0 =⇒==Σ pdtpdF
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Unidades de Fuerza
Tercera ley de Newton: Principio de acción y reacción
La fuerza F12 que ejerce el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en módulo, tiene la misma dirección y sentido contrario que la fuerza F21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1F12 = - F21
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Ejemplo de acción - reacción
La fuerza normal, n, que la mesa ejerce sobre el monitor es la reacción a la fuerza que el monitor ejerce sobre la mesa.La fuerza de acción (Fg, de la Tierra sobre el monitor) tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido opuesto a la fuerza de reacción, que ejerce el monitor sobre la Tierra.
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Momento de fuerzas (o torque)
El momento de fuerzas, τ, es la tendencia de una fuerza a hacer rotar un objeto alrededor de algún eje
El momento de fuerzas es un vector
Algebraicamente,
F es la Fuerza
r es el brazo de aplicación
Fr ×=τ
Momento de fuerzas, cont
El brazo del momento, d, es la distancia perpendicular desde el eje de rotación, O, a la línea tangente a la dirección de la Fuerza
d = r sen ΦAsí, el módulo del momento de fuerzas es
τ = F d = F r sen Φ
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Momento de fuerzas, final
La componente horizontal de la fuerza (F cos φ) no produce una rotaciónLa unidades del momento de fuerzas en el S.I. son el N m, aunque son completamente distintas a las del trabajo o la energía (no se pueden escribir como Julios)El momento de fuerzas tendrá dirección
Perpendicular a r y a F.Sentido determinado por el sentido de avance del sacacorchos haciendo tender r a F
Momento de fuerzas neto
Cuando haya varias fuerzas actuando sobre el sistema, se calculará el momento neto o momento resultantecomo la suma vectorial de los momentos de cada una de las fuerzasΣτ = τ1 + τ2 = F1d1 –F2d2
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Momento de fuerzas y aceleración angular
Consideremos una partícula de masa mdescribiendo una circunferencia de radio r bajo la influencia de una fuerza tangencialFt
La fuerza tangencial produce una aceleración tangencial:
Ft = m at
Momento de fuerzas y aceleración angular
El módulo del momento de fuerzas producido por Ft con respecto al centro de la circunferencia es:
τ = Ft r = (m at) rLa aceleración tangencial está relacionada con la aceleración angular
τ = (m at) r = (m α r) r = (m r2) αPuesto que m r2 es el momento de inercia de la partícula,
τ = I αEl momento de fuerza es directamente proporcional a la aceleración angular y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia
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Momento de fuerzas y aceleración angular, extensión
Consideremos un objeto formado por un número infinito de elementos de masa de tamaño infinitesimalCada elemento de masa rota en una circunferencia alrededor del origen, OCada elemento de masa tiene una fuerza tangencial
Momento de fuerzas y aceleración angular, extensión (2)
De la segunda ley de NewtondFt = (dm) at
Tomando el momento de fuerza asociado a la fuerza y sustituyendo la aceleración angular:
dτ = r dFt = at r dm = α r2 dmEl momento de fuerzas resultante es:
De modo que resulta: Στ=Ια
∫ ∫ ∫== dmrdmr 22 αατ
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Momento angularDefiniremos momento angular como el momento del momento lineal:
Si derivamos en ambos miembros:
El primer término es nulo, pues v y p son paralelos y el segundo es la definición de fuerza de la segunda ecuación de Newton, de modo que tendremos
pr ×=
( )dtpdrp
dtrdpr
dtd
dtd
×+×=×=
τ=×= Frdtd
Ejemplo: Disco en rotación
El disco está rotando de modo que aplicamos Στ=Ια
La tensión es la fuerza tangencial
La masa se mueve en línea recta, de modo que aplicamos la segunda ecuación de Newton
ΣFy = m ay = mg - T
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Condiciones de equilibrio
Cuando la fuerza neta es nula:La aceleración es ceroLa velocidad es constante
El Equilibrio ocurre cuando la fuerza neta y el momento neto son nulos
El objeto, si está en reposo, continuará en reposoSi el objeto está moviéndose, continuará moviéndose con velocidad constante
Equilibrio, Ejemplo 1
Una lámpara está suspendida de una cadena de masa despreciableLas fuerzas actuando sobre la lámpara son:
la fuerza de la gravedad (Fg)la tensión de la cadena (T)
La condición de equilibrio nos dice que:
0 0y gF T F= → − =∑ gT F=
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Equilibrio, Ejemplo 2a
Equilibrio, Ejemplo 2b
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Planos inclinados
Las fuerzas que actúan sobre el objeto son:
La fuerza normal, n, que actúa en dirección perpendicular al plano La fuerza gravitacional, Fg, que actúa en dirección hacia abajo
Elegiremos un sistema de coordenadas con x paralelo al plano inclinado e yperpendicular al mismoDescompondremos la fuerza de la gravedad en sus componentes
Fuerzas de rozamiento
Cuando un objeto está en movimiento en una superficie o a través de un medio viscoso, existe una resistencia al movimiento
Esto se debe a las interacciones entre el objeto y el medio en el que se mueve
Esta resistencia se conoce como fuerza de rozamiento
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Fuerzas de rozamiento, cont.
El rozamiento es proporcional a la fuerza normalƒs ≤ µs n and ƒk= µk nDonde fs es el rozamiento estático y fk es el rozamiento dinámicoEstas ecuaciones relacionan los módulos de las fuerzas, no son ecuaciones vectoriales
La fuerza estática de rozamiento es generalmente mayor que la de rozamiento dinámicoEl coeficiente de rozamiento (µ) depende de las superficies en contacto
Rozamiento estático y dinámico
Rozamiento estático Rozamiento dinámico
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Algunos coeficientes de rozamiento
Ejemplo de rozamiento
El bloque se desliza hacia abajo en el plano, de modo que aparece una fuerza de rozamiento hacia arribaEste montaje puede utilizarse para determinar experimentalmente el coeficiente de rozamientoµ = tan θ
Para µs se utiliza el ángulo en el que el bloque se empieza a deslizarPara µk se utiliza el ángulo para el que el bloque se desliza a velocidad constante
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Movimiento con fuerzas viscosas
El movimiento puede ocurrir en un mediomaterial, líquido o gaseosoEl medio ejerce una fuerza de resistencia, R,sobre un objeto que se mueve en dichomedioEl módulo de R depende del medioLa dirección de R se opone a la dirección del movimiento del objeto relativo al medioR aumenta con la velocidad
Movimiento con fuerzas viscosas, cont
El módulo de R puede depender de la velocidad de forma complejaNosotros sólo discutiremos la primera:
R es proporcional a vBuena aproximación para movimientos “lentos” o para objetos “pequeños”
R es proporcional a v2
Buena a proximación para objetos grandes
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R proporcional a v, Ejemplo
Analizando el movimiento tenemos:
dvmg bv ma mdt
dv ba g vdt m
− = =
= = −
Velocidad terminal
Para encontrar la velocidadterminal, tomemos a = 0
Resolviendo la ecuacióndiferencial, obtenemos
τ es la constante de tiempo y su valor esτ = m/b
Tmgvb
=
( ) ( )1 1bt m tT
mgv e v eb
τ− −= − = −
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Algunas velocidades terminales
Trabajo
Definiremos trabajo elemental, dW, como el producto escalar entre la fuerza aplicada en un punto, F y el desplazamiento diferencial en esepunto, ds
φcosdsFsdFdW =⋅=
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Ejemplo de trabajo
La fuerza normal, n y la fuerza gravitatoria, mg, no realizantrabajo sobre el objeto
cos θ = cos 90° = 0
La fuerza F sí realizatrabajo sobre el objeto
∆W = F ∆r cos θ
Unidades del trabajo (y de energía)
El trabajo es una magnitud escalarLa unidad del trabajo en el S.I. es el julio (J)
1 julio = 1 newton . 1 metroJ = N · m
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El trabajo es una transferencia de energía
Si se realiza un trabajo positivo sobre un sistema, se transfiere energía al sistemaSi se realiza un trabajo negativo sobre un sistema, se transfiere energía del sistema al exterior del mismo
Trabajo realizado por una fuerza variable
Cuando la fuerza queactúa sobre un sistemaes variable, esnecesario integrar el trabajo elemental dW
El trabajo realizado esel área de la figura
∫∫ =⋅= φcosdsFsdFW
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Ley de Hooke
La fuerza ejercida por el muelle esFs = - Kx
x es la posición del bloque con respecto a la posición de equilibrio(x = 0)K es la constante elástica o del muelle y mide la respuesta del muelle
Esta ley se conoce como ley de Hooke
Ley de Hooke, cont.
Cuando x es positivo(el muelle se estira), Fes negativoCuando x es 0 (en la posición de equilibrio), F es 0Cuando x es negativo(el muelle se comprime), F esnegativa
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Trabajo realizado por un muelle
Tomaremos el bloquecomo el sistemaCalcularemos el trabajodesde xi = - xmax hastaxf = 0
El trabajo total hechopor el bloque desde–xmax a xmax es nulo
( ) 2max
0
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max
xKdxxKdxFWx
x
xxS
f
i
=−== ∫∫−
Energía cinética
La energía cinética es la energía que tiene unapartícula por el hecho de estar en movimiento
EK es la energía cinéticam es la masa de la partículav es la velocidad de la partícula
Un cambio en la energía cinética es uno de losposibles resultados de realizar un trabajo paratransferir energía al sistema
2
21 vmEk =
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Energía cinética, cont
Calculando el trabajo:
2 21 12 2
f f
i i
f
i
x x
x x
v
v
f i
W F dx ma dx
W mv dv
W mv mv
= =
=
= −
∑∫ ∫
∫
∑
Teorema de las “fuerzas vivas”
El teorema de las “fuerzas vivas” estableceque ΣW = Ek,f – Ek,i = ∆Ek
En el caso de que el trabajo sea realizado en un sistema y que el único cambio en el sistema sea en su velocidad, el trabajohecho por la fuerza neta es igual al cambioen la energía cinética.
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Ejemplo del teorema de las “fuerzasvivas”
La fuerza normal y la gravitatoria no realizantrabajo, ya que son perpendiculares a la dirección del desplazamientoW = F ∆xW = ∆Ek = ½ mvf
2 - 0
Fuerzas conservativas
Se dice que una fuerza es conservativa (en unadeterminada región) cuando el trabajo realizadoa lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nuloEsta definición es equivalente a que el trabajorealizado entre dos puntos cualesquiera no depende del caminoY también equivale a que el campo de fuerzasderiva de un potencial
( ) )()( BEAErdErdFW pp
B
Ap
B
ABA −=∇−== ∫∫→
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Energía potencial
En el caso de fuerzas conservativas el trabajo es la diferencia de energía potencial, de modo que no depende del camino
Conservación de la energía
Según el teorema de las “fuerzas vivas”ΣW = Ek,f – Ek,i = ∆Ek
y en el caso de las fuerzas conservativasΣW = Ep,i – Ep,f = ∆Ep
puesto que el trabajo es igual en ambos casos:ΣW = Ek,f – Ek,i = Ep,i – Ep,f
Ek,i + Ep,i = Ek,f + Ep,f = E (Conservación de la energía)