tema 4: redes bipuerto

Tema 4: Redes bipuerto

Enrique San AndrésSagrario Muñoz

Tema IV 2

• Redes bipuerto– Parámetros generales de una red bipuerto

– Circuitos equivalentes

– Transformaciones de redes bipuertos

• Bobinas acopladas

• Transformadores– Transformador lineal

– Transformador ideal

– Aplicaciones de transformadores

Esquema

• Un par de terminales por el que una señal entra o sale de una red se denomina puerto– A cada puerto de una red se le conecta o un elemento

(fuente, impedancia…) o el puerto de otra red.

• Las redes se interconectan a través de sus puertos.– En general se considera que los nodos internos no son

accesibles, y que no se conectan elementos entre puertos.

– Las redes que vamos a tratar serán lineales (pasivas óactivas)

• Red monopuerto– Obviamente ia = ib

• Si hay más de un puerto se denomina red multipuerto → dos puertos: bipuerto

Parámetros generales

Tema IV 3

• Red bipuerto– Red de elementos que consta de dos pares de terminales (cuadripolo)

• Entrada (subíndice i ó 1)• Salida (subíndice o ó 2)

– En cada puerto, la corriente que entra por terminal + igual a la que sale por el terminal –

• ia = ib = I1

• ic = id = I2

– Las corrientes se suelen considerar entrantes por el terminal +

– Si la red no contiene fuentes independientes ⇒ relación lineal entre V e I

• La tensión V1 dependerá linealmente de las corrientes I1 y I2

• Lo mismo para V2


Tema IV 4

=

⇒

+=+=

2

1

2221

1211

2

1

2221212

2121111

II

ZZZZ

VV

IZIZVIZIZV


• En este caso los coeficientes que ligan V1, V2, I1 eI2 tienen unidades de impedancia (Ω comp.) →parámetros Z ó parámetros de circuito abierto

Tema IV 5

=

=

=

=

⇒

+=+=

=

=

=

=

02

222

01

221

02

112

01

111

2221212

2121111

1

2

1

2

I

I

I

I

IVZ

IVZ

IVZ

IVZ

IZIZVIZIZV

Impedancia de entrada

Impedancia de salida

Impedancias de transferencia


• Si Z12 = Z21 el cuadripolo se denomina recíproco– Si la red es pasiva generalmente el cuadripolo es recíproco.

– Si hay fuentes dependientes generalmente no lo es

Tema IV 6

=

=

=

=

⇒

+=+=

=

=

=

=

02

222

01

221

02

112

01

111

2221212

2121111

1

2

1

2

I

I

I

I

IVZ

IVZ

IVZ

IVZ

IZIZVIZIZV

Impedancia de entrada

Impedancia de salida

Impedancias de transferencia


• Ej. Determinar los parámetros Z

Tema IV 7


Tema IV 8

I2

I2

-+

• Ej. Determinar los parámetros Z


• Circuito equivalente de una red con parámetros Z conocidos

Tema IV 9

+=+=

2221212

2121111

IZIZVIZIZV


• Circuito equivalente en T de un circuito recíproco– Siguiendo las definiciones

Tema IV 10

I2I1

+

V1

-

+

V2

-

Za Zb

Zc

=−=−=

⇒

+==

==

==

+==

=

=

=

=

12

1222

1211

02

222

01

221

02

112

01

111

1

2

1

2

ZZZZZZZZ

ZZIVZ

ZIVZ

ZIVZ

ZZIVZ

c

b

a

cbI

cI

cI

caI


• Parámetros de admitancia– Si se describen las ecuaciones de cuadripolo en función de las tensiones

en lugar de las corrientes, los coeficientes tendrán unidades de admitancia (mho ó ohm-1).

– Denominación: parámetros Y o parámetros de admitancia en cortocircuito.

– Conocida una relación del cuadripolo, se conocen todas:

Tema IV 11

=

⇒

+=+=

2

1

2221

1211

2

1

2221212

2121111

VV

YYYY

II

VYVYIVYVYI

02

222

01

221

02

112

01

111

12

12

==

==

==

==

VV

VV

VIY

VIY

VIY

VIY

[ ] [ ] 1

2

1

2

11

2221

1211

2

1

2221

1211

2

1 −−

=⇒

=

⇒

=

ZY

II

VV

ZZZZ

II

ZZZZ

VV


• Ej: Determinar los parámetros Y

Tema IV 12


• Circuito equivalente general de una red en Y

Tema IV 13

2221212

2121111

VYVYIVYVYI

+=+=


• Equivalente en π de circuitos recíprocos

Tema IV 14

I2I1

+

V1

-

+

V2

-

Ya Yb

Yc

2221212

2121111

VYVYIVYVYI

+=+=

122202

222

1

YYYYYVIY bcb

V

+=⇒+===

2102

112

1

YYVIY c

V

=−===

121101

111

2

YYYYYVIY aca

V

+=⇒+===


• Transformación triángulo → estrella

Tema IV 15

BC

B

BA

ZZY

ZYY

ZZY

11

1

11

22

2112

11

+=

−==

+=

CBA

AC

CBA

CB

CBA

BA

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

++=

++=

++=

3

2

1

[ ] [ ] 1−= ZY[ ] [ ] 1−= YZ

3222

32112

3111

ZZZZZZ

ZZZ

+===+=


• Transformación triángulo ← estrella

Tema IV 16

BC

B

BA

ZZY

ZYY

ZZY

11

1

11

22

2112

11

+=

−==

+=

1

133221

3

133221

2

133221

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZ

C

B

A

++=

++=

++=

[ ] [ ] 1−= ZY

[ ] [ ] 1−= ZY

3222

32112

3111

ZZZZZZ

ZZZ

+===+=

Aplicación de las características del cuadripolo

• Conocido Z (o Y) podemos saber la respuesta del circuito sin necesidad de conocer el funcionamiento interno del cuadripolo– Ej: conexión de un generador real a la entrada y una carga a la salida.

Tema IV 17

CuadripoloZL

Aplicación de las características del cuadripolo

• Ej.

Tema IV 18

+

+=

422

212

ωω

ωω

ω

jj

jj

jZ

tcos12

Parámetros híbridos

• Especialmente indicados para modelar el transistor bipolar– Híbridos porque “mezclan” tensiones y corrientes.

– Variables independientes I1 y V2

– Variables dependientes V1 y I2

– Unidades

– Transistor tiene 3 terminales: como red de 2 puertos 1 terminal común

Tema IV 19

=

2

1

2221

1211

2

1

VI

hhhh

IV

2 1

2 1

1 111 12

1 20 0

12 221 22

1 20 0

.

.

V I

V I

V Vh h adiI V

I Ih adi hI V

= =

−

= =

= ⇒Ω = ⇒

= ⇒ = ⇒Ω


– En el transistor h11 y h22 tienen comportamiento resistivo / conductivo, y h21 y h12 son valores reales

– En un circuito cualquiera serían impedancias / imaginarios.

– Circuito equivalente

– h11 es una impedancia de entrada -> hi

– h22 es una admitancia de salida -> ho

– h21 influye en salida en función de entrada -> hf

– h12 influye en entrada en función de salida -> hr

Tema IV 20

=

2

1

2221

1211

2

1

VI

hhhh

IV


– En transistor se señala el terminal común:

• Por ejemplo, emisor común -> hie, hoe, hfe, hre.

• Con V1 e I2 como variables independientes: parámetros g (apenas se usan)

Tema IV 21

=

ce

b

oefe

reie

c

be

VI

hhhh

IV

Vbe

Ib hie

hreVce hoe Vce

Ic

hfeib


• Ej. Determinar parámetros h

Tema IV 22

Ib 300Ib

Parámetros de transmisión

• Parámetros de transmisión (T)– Se obtienen eligiendo (V2,-I2) como variables independientes y (V1,I1)

como variables dependientes

– Las dimensiones de cada parámetro son diferentes

– Útiles en cálculo de líneas de transmisión / conexión módulos en cascada

Tema IV 23

( )( )

−

=

⇒

−+=−+=

2

2

1

1

221

221

IV

DCBA

IV

IDCVIIBAVV

Parámetros de transmisión

• Ej. Determinar parámetros T

Tema IV 24

Interconexión

• Interconexión en cascada– Cuando se conecta la salida de una red a la entrada de otra

– OJO: El producto es un producto matricial

– Son posibles otras combinaciones de redes (serie, paralelo)

Tema IV 25

−

=

−

=

−

=

4

4

1

1

4

4

3

3

2

2

1

1

''''

'''' I

VDCBA

DCBA

IV

IV

DCBA

IV

IV

DCBA

IV

Transformación entre representaciones

Tema IV 26

Transformador

• Corriente por un conductor → campo magnético– Cuando atraviesa un lazo se habla de flujo magnético.

– Produce el efecto de la auto-inductancia (bobinas).

• Si campo generado por un conductor produce un flujo magnético variable con el tiempo en otro lazo aparece el fenómeno de inductancia mutua– Aparece una tensión entre los extremos del segundo lazo.

• fundamento de los circuitos acoplados magnéticamente: transformador.

Tema IV 27

Transformador

• Inductancia mutua– Tema 2: la (auto)inductancia aparece por efecto del flujo magnético

– Origen físico

• En conductores lineales el flujo magnético producido por una corriente es proporcional a su magnitud

• La fem inducida por un campo variable con el tiempo es proporcional a la variación del flujo magnético

– La inductancia mutua es la aparición de una fem (tensión) en un determinado elemento producida por variaciones de flujo magnético producido por otro elemento.

Tema IV 28

( ) ( )dt

tdiLtv =

Transformador

• Inductancia mutua– Suponiendo dos inductancias (bobinas) próximas, el campo magnético

producido por una genera un flujo magnético en la otra, mayor cuanto más próximas estén.

– El acoplamiento es bidireccional

– Obviando por ahora el signo de la tensión inducida, se define el coeficiente de inductancia mutua o simplemente inductancia mutua como:

Tema IV 29

( ) ( )dt

tdiMtv 1212 =

Transformador

• Inductancia mutua– Análogamente, si se aplica corriente al segundo puerto

– Demostraremos además que:

• Unidades iguales a las de las inductancias: Henrio (H)• M>0

– Notación para señalar el acoplamiento magnético:

Tema IV 30

( ) ( )dt

tdiMtv 2121 =

MMM == 2112

Transformador

• Inductancia mutua– Bobinas: convenio positivo de signos

– Bobinas acopladas: Convención del punto → Si la corriente que entra por el terminal con punto de una bobina aumenta, aparece una tensiónpositiva en el terminal con punto de la segunda.

Tema IV 31

Transformador

• Origen físico de la convención de puntos– Supongamos que las bobinas están fabricadas

enrollando cable sobre un cilindro como en la figura.

– Si i1 aumenta, produce un campo magnético creciente apuntando hacia la bobina 2 (regla de la mano derecha).

– Un aumento de i2 también produce un flujo creciente hacia abajo.

• Flujos aditivos.– La tensión en cada bobina depende de la variación de

flujo a su través.

– Por tanto, si i2 =0 la tensión en el terminal superior de la bobina 2 será mayor si la corriente i1 está creciendo.

– Viceversa, si i1 =0 la tensión en el terminal superior de la bobina 1 será mayor si la corriente i2 está creciendo.

• En consecuencia, el punto estaría en los terminales superiores (o inferiores) de las bobinas.

Tema IV 32

Transformador

• Ej: determinara) v1 si i2=5 sen(45t) y i1=0

b) v2 si i1=-8 e-t y i2=0

Tema IV 33

Transformador

• Tensión combinada de la inducción mutua– Si ambas bobinas tienen corriente la fem (tensión) de cada puerto

tendrá un doble origen

• La autoinducción de cada bobina (L1 ó L2)• La inducción muta (M)

Tema IV 34

dtdiL

dtdiMv

dtdiM

dtdiLv

22

12

2111

+=

+=

Transformador

• Ej: determinar v1 y v2 con el criterio de la figura

Tema IV 35

Transformador

• Método para ayudar con el análisis– No es estrictamente necesario, pero puede ayudar

Tema IV 36

Transformador

• Escribir las ecuaciones de malla en forma fasorial.

Tema IV 37

Transformador

• Energía en bobinas acopladas– Queremos saber la energía almacenada cuando la corriente es I1 e I2 (DC)

– Para calcularla, primero supondremos que subimos i1 con i2 =0 y calcularemos energía total almacenada (intervalo 1)

– En el segundo intervalo, subimos i2 manteniendo I1

• En la bobina 2 no hay tensión inducida al ser I1 constante• Tensión inducida en 1 por variación de i2 es

Tema IV 38

( ) 2111

111111 2

1 ILwdtdiLiivtp =⇒==

( )

( )

2222112

0 2220 212102

2202

1210 22

222

212122112

21

22

ILIIM

diiLdiMIdtdtdiLidt

dtdiMIdttpw

dtdiLi

dtdiMIvivItp

IITTT

+=

=+=+==

⇒+=+=

∫∫∫∫∫

dtdiM 2

12

Transformador

• Energía en bobinas acopladas– Por tanto, la energía almacenada en los intervalos 1 y 2 es:

– Si hubiéramos invertido el orden, primero subiendo i2 y luego i1

– Por tanto, como la energía tiene que ser la misma en los dos casos

– Atención: hemos supuesto corrientes entrantes por puntos. Si las dos salientes mismo resultado, pero si una es saliente y la otra entrante →término cruzado con signo -.

Tema IV 39

2222112

21121 2

121 ILIIMILwww ++=+=

2222121

21121 2

121 ILIIMILwww ++=+=

MMM == 2112

212

222

11 21

21 IMIILILw ±+=

Transformador

• Coeficiente de acoplamiento de bobinas k

Tema IV 40

021

21

212

222

11 ≥±+= IMIILILw

( ) ( ) 021

021

21

021

21

21

0

21

0

22211

2121212

2221212

11

212

222

11

≥−+−

≥−++−

≥−+

≥⇒≥

IIMLLILIL

IMIIILLILIILLIL

IMIILIL

Transformador

• Coeficiente de acoplamiento de dos bobinas:– Por tanto:

– El coeficiente de acoplamiento da una indicación de cuánto se aproxima M a su valor máximo. Se define como:

– Cuanto más próximas están las bobinas el flujo magnético producido por L1 en L2 es mayor, y eso produce un acoplamiento mayor y k se aproxima a 1

– Si prácticamente todo el campo que produce L1 pasa por L2 entonces k ~ 1 y se dice que las bobinas están estrechamente acopladas

Tema IV 41

21 LLM ≤

10;21

≤≤= kLL

Mk

Transformador

• Transformador – Un transformador es una red de dos puertos que contiene dos bobinas

acopladas magnéticamente.

– Estudiaremos dos tipos de transformadores

• Transformador lineal– Típico para alta frecuencia

• Transformador ideal– Habitual para regulación de V

Tema IV 42

Transformador lineal

• Contiene dos bobinas acopladas magnéticamente• Lineal porque basado en

– Los materiales magnéticos que se usan en muchos transformadores pueden producir una relación no lineal entre flujo y corriente

• El terminal de entrada se denomina primario• El terminal de salida se denomina secundario

– En muchos de estos transformadores no se usa núcleo magnético, lo que produce acoplamientos ~0.1-0.2.

Tema IV 43

IL=φ


• Ecuaciones de malla

• Impedancia de entrada

Tema IV 44

( )( )

1 1 1 2

1 2 2 2 0L

R j L I j MI V

j MI R j L Z I

ω ω

ω ω

+ − =− + + + =

( )( )

+−=−=

⇒

=++=+

2221

2111

2222

1111

0 IZMIjMIjIZV

ZZLjRZLjR

L ωω

ωω

2 21

112 222

2 1 11 1 11 122 22 22

in

in

VZI MZ Z

Zj M j M MI I V Z j M I Z IZ Z Z

ωω ω ωω

= = + = ⇒ = − = +

1 1 1 1 2

2 2 2 2 2 1

00L

V R I j L I j MIR I Z I j L I j MI

ω ωω ω

− − + =− − − + =


• Ej: obtener Zin– R1 = 3 ohm, R2 = 6 ohm

– L1 = 2 mH, L2 = 10 mH, M = 4 mH

– ω = 5000 rad/s

a) ZL = 10 ohm; b) ZL = 20j ohm; c) ZL = 10+20j ohm; d) ZL = -20j ohm;

Tema IV 45


• Red equivalente en T– Puede ser interesante transformar el circuito para que en el análisis no

aparezcan bobinas acopladas magnéticamente.

– Para ello tenemos que suponer que se unen los terminales negativos de las bobinas.

Tema IV 46

=

2

1

2

1

2

1

II

LjMjMjLj

VV

ωωωω

( )( )

+

+=

2

1

2

1

II

LLjLjLjLLj

VV

cbc

cca

ωωωω


• Red equivalente en T– Comparando ambos circuitos, es claro que LC=M, La=L1-M, Lb=L2-M

– El circuito equivalente puede tener inductancias negativas!

Tema IV 47

=

2

1

2

1

2

1

II

LjMjMjLj

VV

ωωωω

( )( )

+

+=

2

1

2

1

II

LLjLjLjLLj

VV

cbc

cca

ωωωω


• Ej: encontrar el circuito equivalente en T

Microelectrónica 48

Transformador ideal

• El transformador ideal modela un transformador real en el que – 1.- El acoplamiento se aproxima a 1

• Todo el campo que genera la bobina 1 pasa a través de la bobina 2.– 2.- Las impedancias del primario y el secundario son muy grandes en

comparación con las impedancias del circuito.

– 3.- La resistencia de los cables es despreciable

• Para conseguirlo se bobinan el primario y el secundario sobre un mismo núcleo de material ferromagnético– Parámetro crítico: relación de vueltas “a”

Tema IV 49Figura: BillC at the English language Wikipedia [GFDL or CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons

2

1

NaN

=

Transformador ideal

• Relación de vueltas– La autoinductancia de una bobina es proporcional al cuadrado del

número de vueltas (Física):

• Si una corriente I fluye por una bobina de N vueltas (espira) el flujo total será N veces el de una sola espira.

• Cuando la corriente varía, varía el flujo, y esta variación produce una tensión en cada espira proporcional a N veces la variación del flujo.

• Como hay N vueltas, la tensión será proporcional a N*N=N2

– Si tenemos dos bobinados, L1 y L2, cada uno con N1 y N2 vueltas, con la misma geometría de espira

Tema IV 50

222 2

21 1

L N aL N

= =

Transformador ideal

• Análisis en alterna (KVL)

– Impedancia de entrada (transformador ideal)

Tema IV 51

( )( )

1 1 1 2

1 2 2

0

0L

V j L I j MI

j MI j L Z I

ω ω

ω ω

− + =

− + =

2

22

1

12

22

1112

2

1

1

LjZMLjZ

ILjZ

MLjVILjZ

MjI

IVZ

Lin

LL

in

ωωω

ωωω

ωω +

+=

+

+=⇒+

=

=

12

21

22

12

212

11

22

212

LajZLaLj

LjZLLLjZ

LaLLLM

LLin ω

ωωω

ωω+

+=+

+=⇒

=

=

Transformador ideal

– Agrupando términos

– Como las inductancias son grandes

– La impedancia de carga aparece reflejada en el primario con un factor que depende de a.

• Ej: transformador con 100 vueltas en primario, 104 en secundario– a = 100, a2 = 104

– Una resistencia de 20 kΩ se observa como 20 Ω– Una inductancia de 200 mH aparece como 20 µH

Tema IV 52

2

1

12

1

12

21

22

1

aLj

ZZ

LajZZLj

LajZLaLjZ

L

L

L

L

Lin

+=

+=

++=

ωω

ωω

ωω

2aZZ L

in ≅

Transformador ideal

• Ajuste de corriente– Se puede emplear un transformador para cambiar el nivel de corriente

– KVL en la malla de salida

– Las inductancias son muy grandes

– La corriente del secundario se reduce en un factor a

– O bien

Tema IV 53

( ) 21 2 2

1 2

0LL

I j Mj MI j L Z II Z j L

ωω ωω

− + = ⇒ =+

aLL

LLL

LM

LjMj

II 1

2

1

2

21

221

2 ====≅ωω

2211 ININ =

Transformador ideal

• Ajuste de tensión– Se suele emplear un transformador para cambiar el nivel de tensión

– La tensión de salida será

– La de entrada al transformador

– Combinando ambas

– La tensión en el secundario aumenta en un factor a (transformador elevador o reductor)

– O bien

Tema IV 54

aaa

aII

VV

=== 22

1

2

1

2 1

2

2

1

1

NV

NV

=

LZIV 22 =

2111 'aZIZIV L

L ==

Transformador ideal

• Signos de tensión y corriente– Si V1 y V2 ambos son positivos o negativos en el punto → signo +

en relación de las tensiones

– Si I1 y I2 ambas son entrantes o salientes por el punto → signo - en la relación de las corrientes

Tema IV 55

Transformador ideal

• Ej: obtener I1, Vo y la potencia compleja suministrada

Tema IV 56

Aplicaciones

• Aislamiento galvánico• Para ajuste de tensión / corriente

– Redes de distribución

• Acoplo de impedancias• Filtrado de señales

Tema IV 57

Aplicaciones

• Aislamiento galvánico

Tema IV 58

Aplicaciones

• Medida de altas tensiones

Tema IV 59

Aplicaciones

• Distribución de la electricidad

Tema IV 60

2211 ININ =

2

2

1

1

NV

NV

=2

*22

*2

1

22

2

1*111 2

1Re21Re

21Re PIVI

NNV

NNIVP =

=

=

=

Aplicaciones

• Acoplo de impedancias– Se maximizar la potencia cuando Rin=Rs

Tema IV 61

22 nRR

nZZ L

inL

in =⇒≅

• Ej: obtener relación de vueltas para el acoplamiento óptimo de un altavoz de 12 Ω a un amplificador con impedancia de salida de 192 kΩ. Calcular la potencia en el altavoz sin y con transformador.

Tema IV 62

Aplicaciones

tema 4: redes bipuerto

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