Tema 3: Números índice

Los números indice son indicadores que nos permiten ver la evolución de una omás magnitudes a través del tiempo, espacio, etc.

Índice simpleDada una variable o magnitud X, se define el número índice de X en un instante trespecto a un instante 0 (base) como el cociente entre el valor de la magnitud enel instante t y el valor en el instante 0

00/ X

XI tt =

Valor de X en instante t

Valor de X en instante 0

Al periodo 0, (situación con la que se compara) se denomina base o referencia

Al periodo t, se denomina periodo actual

Tema 3: Números índiceEjemplo:El número de alumnos matriculados en un curso ha seguido la evolución siguiente:

9470,013201250

1997

19961997/1996 ===

XXI

año Nºmatriculas

1996199719981999

1250132014601500

Vamos a calcular los números indice simples del Nº dematrículas con base 1997

113201320

1997

19971997/1997 ===

XXI

1061,113201460

1997

19981997/1998 ===

XXI

Una vez realizados los cálculos de los índices, éstos se suelen expresar multiplicadospor 100, tal como aparecen en la tabla siguiente

Tema 3: Números índiceEjemplo:

añonºmatriculas

Indice(base=1997)

1996 1250 94,701997 1320 100,001998 1460 110,611999 1500 113,64

¡Es muy fácil calcularlos!

¿cómo se interpretan?

Se interpretan como incrementos porcentuales entre el periodo base y el actualo corriente. Por ejemplo, 110,61, indica que ha habido un aumento de 10,61%(diferencia entre el índice y 100) de matrículas en el año 1998 respecto del año1997.El índice 94,7 indica un descenso de matrículas de 5,3% (diferencia entre el índicey 100) en 1996 respecto a 1997.

Ejemplo:Ciudad

PrecioVivienda/m2

Indice(base=Andalucía)

Almería 60 98,36Granada 65 106,56

Málaga 70 114,75Andalucía 61 100,00

Tema 3: Números índice

Propiedades de los números ndice simples-Cirucular:Permite efectuar cambios de base

0/'

0/'/

t

ttt I

II =

-Inversión:

tttt I

I/'

'/1

=

-Encadenamiento:Es una generalización de la propiedad de encadenamiento

0/13/22/11/0/ ... IIIII ttttttt ⋅⋅⋅⋅= −−−−−

Nota: la demostración de estas propiedades es trivial basta que sustituyas cada índice por su definición.

Tema 3: Números índice

Ejemplos:Se sabe que el incremento porcentual del precio de matriculación de carnetde conducir fue de 12% en el año 2000 respecto del año 1998. Y el incremento porcentual del año 2004 respecto del año 1998 fue de 24%. ¿En cuánto se ha incrementado el precio desde el año 2000 al año 2004?

12,11998/2000 =I 24,11998/2004 =I

071,112,124,1

1998/2000

1998/20042000/2004 ===

III

Nota: Recuerda que un incremento del 12% equivale a un valor del índice 112 (donde se supone ya multiplicado por 100).

Tema 3: Números índice

Ejemplos:Se sabe que el índice de precios de un producto alcanzó los valores siguientes: ¿En cuánto se ha incrementado el precio desde el año 1999 al año 2004?

05,11999/2000 =I 04,12000/2001 =I 06,12001/2002 =I

04,12002/2003 =I 06,12003/2004 =I

0/13/22/11/0/ ... IIIII ttttttt ⋅⋅⋅⋅= −−−−−

1999/20002000/20012001/20022002/20032003/20041999/2004 IIIIII ⋅⋅⋅⋅=

276,105,104,106,104,106,11999/2004 =⋅⋅⋅⋅=I

Se ha incrementado un 27,6%

Tema 3: Números índice

Índices Complejos o CompuestosPermiten determinar la variación global de un conjunto de magnitudes, mediante una medida resumen, como por ejemplo una media.

Supongamos una magnitud compleja X formada por k magnitudes que notamos con: X1, X2, …, Xk, para las cuales se observa sus valores en distintos instantes 0, 1, …t,…Notaremos con

kiXXI i

iti

t ,..,2,1;0

0/ ==

el valor del índice simple de la magnitud Xi en t respecto a 0

Para cada magnitud simple X i podemos determinar el índice simple I it/0

Un resumen de todos ellos permitirá conocer la evolución registrada en t respecto a 0 para la magnitud compleja X.

Tema 3: Números índiceÍndices Complejos PonderadosUn método de resumir los valores de los índices simples en un solo valor (índice complejo) es mediante el cálculo de una media que pondere cada índice simple, según su importancia en el conjunto.

Entre las medidas complejas más usadas destacan: la media aritméticaponderada y la media armónica ponderada.

Hay dos modos usuales de ponderar: evaluando en el periodo base y evaluando en el periodo corriente.Notaremos con w subindicado al peso correspondiente a cada índice.

Para cada magnitud simple tenemos:

kiwIX iit

i ,..,2,1;00/ =→→∑=

k

i

iw1

0La suma de los pesos de todos las magnitudes es 1

De modo similar, si los pesos se evalúan en el periodo corriente, tenemos:

kiwIX it

it

i ,..,2,1;0/ =→→ ∑=

k

i

itw

1

Tema 3: Números índiceÍndices Complejos PonderadosEn la práctica se usan principalmente los siguientes índices complejos ponderados:Índice de LASPEYRES, Índice de PAASCHE e índice de FISHER_Laspeyres usa la media aritmética de los índices simples y ponderaciones evaluadas en periodo base.

it

k

i

it IwXL 0/

100/ )( ∑

=

=

_Paasche usa la media armónica de los índices simples y ponderaciones evaluadas en periodo corriente

it

k

i

it

t

Iw

XP

0/1

0/ 11)(

∑=

=

-Fisher usa la media geométrica de los índices de Laspeyres y Passche

0/0/0/ )( ttt PLXF ⋅=

Nota: La media armónica se define como el inverso de la media aritmética de losvalores inversos. La media geométrica de n valores es la raíz n-ésima del producto

Tema 3: Números índiceÍndices de Precio, Cantidad y ValorEn la práctica, las magnitudes usadas suelen ser precios, cantidades y valores.Dado un conjunto de bienes, notaremos con p=precio de un bienq=cantidad consumidav=valor (v=p*q)Índice de Precios de LaspeyresIndican el incremento de los precios a cantidades fijas, las del periodo base

Aplicando la fórmula de Laspeyres a los índices simples de precios, tenemos

)()( 0/1

00/ PIwPL it

k

i

it ∑

=

=

Donde los pesos son los valores relativos de los artículos, es decir, el valor de cada artículo entre la suma de los valores de todos.

∑=

==k

i

ii

i vVTvw

100

0

00 VT ;

Con i

iti

t ppPI

00/ )( =

Precio de artículo ien periodo t

Precio de artículo ien periodo 0

Sustituyendo esto en la fórmula tenemos otro Modo de expresar el índice de Laspeyres

Tema 3: Números índiceComprueba que se verifica la igualdad siguiente

Índice de Precios de Laspeyres

∑

∑∑

=

=

=

== k

i

ii

k

i

iit

it

k

i

it

qp

qpPIwPL

100

10

0/1

00/ )()(

Sustituye en la expresión de la izquierda cada factor por su correspondiente fórmula

i

iti

t ppPI

00/ )( =

∑=

== k

i

ii

iiii

qp

qpVTvw

100

00

0

00

Tema 3: Números índiceÍndice de Cantidad de LaspeyresIndican los incrementos de las cantidades a precios fijos. Los del periodo base

Comprueba que se verifica la igualdad siguiente

∑

∑∑

=

=

=

== k

i

ii

k

i

it

i

it

k

i

it

qp

qpqIwQL

100

10

0/1

00/ )()(

Sustituye en la expresión de la izquierda cada factor por su correspondiente fórmula

∑=

== k

i

ii

iiii

qp

qpVTvw

100

00

0

00

i

iti

t qqqI

00/ )( =

Valor relativo del artículoevaluado en periodo base

Índice simple de cantidad del artículo i-ésimo

Tema 3: Números índiceÍndice de Precios de PaascheIndican los incrementos en los precios, a cantidades fijas; las del periodo corriente.

∑

∑

∑=

=

=

== k

i

it

i

k

i

it

it

it

k

i

it

t

qp

qp

PIwPP

10

1

/01

0/

)(

1)(

Sustituye en la expresión de la izquierda cada factor por su correspondiente fórmulapara obtener la expresión de la derecha. Observa que PASSCHE usa como pesoslos valores relativos evaluados en el periodo corriente.

∑=

== k

i

it

it

it

it

t

iti

t

qp

qpVTvw

1

i

iti

t ppPI

00/ )( =

Tema 3: Números índiceÍndice de Cantidad de PaascheIndican los incrementos en las cantidades, a precios fijos; los del periodo corriente.

∑

∑

∑=

=

=

== k

i

iit

k

i

it

it

it

k

i

it

t

qp

qp

QIwQP

10

1

/01

0/

)(

1)(

Sustituye en la expresión de la izquierda cada factor por su correspondiente fórmulapara obtener la expresión de la derecha. Observa que PASSCHE usa como pesoslos valores relativos evaluados en el periodo corriente.

∑=

== k

i

it

it

it

it

t

iti

t

qp

qpVTvw

1

i

iti

t qqQI

00/ )( =

Tema 3: Números índice

Índice Complejo de Valor

∑

∑

=

=== k

i

ii

k

i

it

it

tt

qp

qp

VVVI

100

1

00/ )(

Comprueba que el índice de valor se obtiene como el producto de índice de precios de Paasche por el de cantidad de Laspeyres. Y de igual modo, como el productode Passche de Precios por Laspeyres de cantidad.

Tema 3: Números índiceEjemploCon los datos siguientes, relativos a tres componentes minerales utilizados enun proceso químico de una empresa, determina indices de precio y cantidad de Laspeyres, Passche y Fisher, tomando como Base el año 2001.

Fosfatos Sales MKHaño precio cantidad precio cantidad precio cantidad2001 23 1200 150 40 122 182002 26 1500 162 45 128 222003 25 1600 167 50 132 32

LASPEYRES DE PRECIOS

13579635796

18122401501200231812240150120023)( 3

120012001

3

120012001

2001/2001 ==⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

==

∑

∑

=

=

i

ii

i

ii

qp

qpPL

1170,13579639984

18122401501200231812840162120026)( 3

120012001

3

120012002

2001/2002 ==⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

==

∑

∑

=

=

i

ii

i

ii

qp

qpPL

Tema 3: Números índiceEjemplo (continúa)

0911,13579639056

18122401501200231813240167120025)( 3

120012001

3

120012003

2001/2003 ==⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

==

∑

∑

=

=

i

ii

i

ii

qp

qpPL

PAASCHE DE PRECIOSMostramos sólo el cálculo de P03/01(P)

0907,14820452574

32122501501600233213250167160025)( 3

120032001

3

120032003

2001/2003 ==⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

==

∑

∑

=

=

i

ii

i

ii

qp

qpPP

LASPEYRES DE CANTIDADMostramos sólo el cálculo de L03/01(Q)

3466,13579648204

18122401501200233212250150160023)( 3

120012001

3

120032001

2001/2003 ==⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

==

∑

∑

=

=

i

ii

i

ii

qp

qpQL

Tema 3: Números índiceEjemplo (continúa)PAASCHE DE CANTIDAD Mostramos sólo el cálculo de P03/01(Q)

3461,13579652574

18132401671200253213250167160025)( 3

120012003

3

120032003

2001/2003 ==⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

==

∑

∑

=

=

i

ii

i

ii

qp

qpQP

FISHER DE CANTIDAD Mostramos sólo el cálculo de F03/01(Q)

3464,13461,13466,1)()()( 01/0301/032001/2003 =⋅=⋅= QPQLQF

La tabla siguiente muestra todos los resultados:

año Lt/0(P) Lt/0(Q) Pt/0(P) Pt/0(Q) Ft/0(P) Ft/0(Q)

2001 100 100 100 100 100 100

2002 111,70 122,73 111,77 122,81 111,74 122,77

2003 109,11 134,66 109,07 134,61 109,09 134,64

Comprueba que los resultados son correctos. Y prueba que el índice complejode valor se puede poner como producto de los correspondientes índices de Laspeyres y Passche de precios y cantidades.

Tema 3: Números índiceDeflación de una serieSe denomina deflación a la operación de pasar de valores nominales (o corrientes) a valores reales (o constantes de un periodo dado).

Para deflacionar la serie de valores nominales se divide por el índice de preciosde Paasche.

En la práctica, no es corriente disponer del índice de PasscheLa mayoría de los países usan la fórmula de Laspeyres. Por eso, se suele usarcomo deflactor el índice de precios de Laspeyres, que da resultados parecidos.

EjemploLa tabla siguiente muestra los salarios percibidos por un grupo de trabajadores. Expresela serie de los salarios en euros constantes de 2000

año salario IPC base 1998

2000 1200 € 110,2

2002 1500 € 116,4

2003 1600 € 119,5

Tema 3: Números índiceEjemplo

Para deflacionar la serie (expresarla en unidades monetarias constantes de 2000) es precisodividir cada salario actual por el correspondiente índice de precios, que refleja los incrementosde precios registrados desde el 2000 hasta el periodo actual. Por tanto, necesitamos el IPC conbase en el año 2000.

Para obtener dicho índice aplicaremos las propiedades que conocemos para los índices simples,asumiendo, que aunque no se verifican para los complejos, dan buenas aproximaciones.

año salario IPC base 1998

2000 1200 € 110,22002 1500 € 116,42003 1600 € 119,5

Por la propiedad circular, podemos poner

1998/2000

1998/2000/ IPC

IPCIPC tt =

año IPC base 2000

2000 100,000

2002 105,626

2003 108,439

05626,1102,1164,1

1998/2000

1998/20022000/2002 ===

IPCIPCIPCPor ejemplo,

A continuación se divide el salario actual entre el IPC (BASE=2000)

Tema 3: Números índiceEjemplo (continúa)

año salario IPC base 2000

salario en €constantes 2000

2000 1200 1,00000 1200

2002 1500 1,05626 1420,103

2003 1600 1,08439 1475,481

Salario REAL (€ ctes de 2000)

2000

)2000(=

=baseIPCcorrienteSalariorealSalario

Serie de salariosen € corrientes, o nominal

Serie de salariosen € ctes. de 2000

08439,1€1600€481,1475 =Por ejemplo, en el 2003 el salario real del trabajador es de

¿En cuánto se ha incrementado el salario real del trabajador desde el 2000 hastael 2003?

¿En cuánto se ha incrementado el salario nominal del trabajador desde el 2000 hastael 2003?

¡La respuesta es fácil!, calcula los índices simples de las dos magnitudes salariales