tema 3: campos estáticos Índice (i)
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Campos ElectromagnéticosCurso 2010/2011
Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III
Tema 3: Campos Estáticos1
Campos Electromagnéticos
Tema 3: Campos estáticos
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Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III
Tema 3: Campos Estáticos2
Índice (I)
Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática
Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar
El dipolo eléctrico
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Tema 3: Campos Estáticos3
Índice (II)
Campo magnético de corrientes estacionarias
Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar
Dipolo magnético
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Tema 3: Campos Estáticos4
Caso estacionario
Ecuaciones de Maxwell:
Suponemos distribuciones de carga y corriente estacionarias:
No dependen del tiempo
No dependen del tiempo
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Tema 3: Campos Estáticos5
Las ecuaciones de Maxwell quedan entonces:
Quedan definidos dos problemas desacoplados (el campo eléctrico no aparece en las fuentes del campo magnético ni viceversa)
Cada pareja de ecuaciones puede resolverse usando el Teorema de Helmholtz: campo electrostático y campo magnetostático
Caso estacionario
Electrostática
Magnetostática
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Tema 3: Campos Estáticos6
Electrostática
Solución:
Con:
Teorema de Helmholtz:
Solución:
Electrostática:
Con:
Potencial electrostático
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Tema 3: Campos Estáticos7
Campo eléctrico
Expresión para el campo eléctrico en función de ρ:
Usando:
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Tema 3: Campos Estáticos8
Ejemplo: carga puntual
Sobre una carga en la carga ejerce una fuerza :
Ley de Coulomb
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Tema 3: Campos Estáticos9
Diferencia de potencial
El potencial es en principio una herramienta matemática útil para calcular el campo electrostático
Conocido el campo eléctrico es posible también obtener valores de diferencia de potencial
Diferencia de potencial entre dos puntos:
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Tema 3: Campos Estáticos10
Supongamos una región donde existe un campo eléctrico
Sea una carga puntual q que traemos desde el infinito hasta un punto Hacemos el proceso muy lentamente (cuasi-estático) : fuerza que ejerce el campo eléctrico en cada
instante : fuerza que debemos ejercer sobre la carga
We : Trabajo realizado por la fuerza eléctrica
W : trabajo realizado por nosotros sobre la carga
Significado físico del potencial
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Tema 3: Campos Estáticos11
Significado físico del potencial
Balance energético:
El potencial electrostático en un puntorepresenta el trabajo realizado sobre
la unidad de carga para llevarla desdeel infinito hasta ese punto mediante un
proceso cuasi-estático
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Tema 3: Campos Estáticos12
Energía potencial de interacción
Puede definirse para fuerzas conservativas La energía potencial de interacción entre un campo
eléctrico y una carga puntual situada en un punto es el trabajo realizado para traer la carga desde el infinito hasta dicho punto mediante un proceso cuasiestático:
La fuerza electrostática es conservativa y deriva de un potencial, que es la propia U:
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Relaciones en electrostática
Falta
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Ecuaciones de Poisson y Laplace
En una región libre de cargas (ρ=0) :
V es un campo escalar armónico
Ecuación de Poisson
Ecuación de Laplace
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Relaciones en electrostática
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Cálculo del campo a partir de ρ
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Tema 3: Campos Estáticos17
Cálculo del campo a partir de ρ El cálculo directo del campo requiere resolver en realidad
tres integrales (vector) El cálculo a través de V suele ser más sencillo
Este camino no puede emplearse en el caso de fuentes idealizadas que se extienden hasta el infinito: V diverge
Ejemplos: hilo de carga infinito, plano cargado... La razón es que en este caso no se cumplen los requisitos
que exige el teorema de Helmholtz (ausencia de fuentes en el infinito)
Para este caso sí es posible realizar un cálculo directo del campo eléctrico o aún mejor...
Aprovechar la simetría del problema idealizado para calcular el campo eléctrico mediante Ley de Gauss
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Ley de Gauss
Forma integral de la Ley de Gauss:
Se cumple siempre En situaciones de alta simetría permite calcular el
campo eléctrico evitando la integración directa Simetrías posibles: plana, esférica y cilíndrica
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Cálculo del campo mediante Ley de Gauss
Ejemplo: carga puntual en el origen
● Simetría esférica: forma general del campo:
● Argumentos de simetría:
● Ley de Gauss: superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen
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Esfera uniformemente cargada en superficie
Simetría esférica: igual que carga puntual
Ley de Gauss con superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen:
Caso r<R: no hay carga dentro de Sr
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Tema 3: Campos Estáticos21
Esfera uniformemente cargada en superficie
Caso r>R: toda la carga se encuentra dentro de la superficie gaussiana
El campo eléctrico es nulo en el interior de la esfera cargada, mientras que fuera es el mismo campo que crearía una carga puntual de valor
igual a la carga total en la superficie de la esfera que estuviese situada en el centro de la esfera
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Tema 3: Campos Estáticos22
Esfera uniformemente cargada en volumen
Simetría esférica:
Ley de Gauss con superficie gaussiana = esfera de radio r centrada en el origen:
Caso r<R:
El campo aumenta linealmente con r
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Tema 3: Campos Estáticos23
Esfera uniformemente cargada en superficie
Caso r>R: toda la carga se encuentra dentro de la superficie gaussiana
El campo eléctrico en el exterior de la esfera de carga el mismo campo que crearía una carga puntual de valor igual a la carga total de la esfera y que estuviese situada en el centro de la esfera
En este caso no aparece una discontinuidad del campo eléctrico en la superficie de la esfera, ya que no hay ρS
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Tema 3: Campos Estáticos24
Hilo infinito cargado
Argumentos de simetría: simetría cilíndrica
Ley de Gauss con superficie gaussiana = cilindro de radio r y altura L coaxial con el hilo
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Plano infinito de carga
Simetría plana:
Ley de Gauss: superficie gaussiana=cilindro recto de S arbitraria
Es impar
Además
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Plano infinito de carga
Entonces:
Se cumple la condición de discontinuidad del campo:
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Índice (I)
Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática
Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar
El dipolo eléctrico
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Energía electrostática
En general, la energía almacenada por el campo eléctrico es:
En electrostática puede obtenerse una expresión alternativa en función del potencial y la densidad de carga:
Y la integral queda:
Extendido a la región donde hay fuentes
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Energía electrostática ¿Cómo se llega a la conclusión de que el primer término
es nulo?
SR puede hacerse infinitamente grande: esfera que rodea a todo el espacio
Cuando , pero el integrando decrece más rápido:
Teorema de la divergencia
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Energía electrostática
En electrostática:
Es el trabajo necesario para traer las cargas que conforman la distribución de cargas ρ desde el infinito hasta el lugar que ocupan mediante un proceso cuasiestático
Para distribuciones superficiales:
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Ejemplo
Energía de una esfera de radio R uniformemente cargada
Método 1:
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Ejemplo
Energía de una esfera de radio R uniformemente cargada
Método 2:
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Tema 3: Campos Estáticos33
Ejemplo
Energía de una esfera de radio R uniformemente cargada
Haciendo : energía de una carga puntual
La carga puntual es una idealización que supone una energía almacenada infinita
(El trabajo necesario para llevar todos los dq a un mismo punto es infinito)
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Tema 3: Campos Estáticos34
Energía de una distribución de cargas puntuales
El potencial creado por la carga i-ésima evaluadosobre ella misma es infinito
Porque incluye la parte de energía debida a la formación de las cargas puntuales
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Tema 3: Campos Estáticos35
Energía de una distribución de cargas puntuales
Obtenemos una expresión útil si eliminamos el término divergente:
Se usa el potencial creado en la posición de cada carga por todas las demás cargas
En este caso UE representa la energía necesaria para traer todas las cargas puntuales desde el infinito hasta sus posiciones actuales mediante un proceso cuasi-estático, pero sin incluir la energía necesaria para crear cada carga puntual, que es infinita
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Tema 3: Campos Estáticos36
Índice (I)
Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática
Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar
El dipolo eléctrico
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Desarrollo multipolar
Determinar el campo electrostático y el potencial en cualquier punto debido a una distribución de carga ρ arbitraria puede ser complicado en general:
Desarrollo multipolar: se trata de analizar el campo electrostático creado por la distribución de carga cuando el punto de observación está alejado de ella Permite simplificar el problema Permite definir un concepto útil: dipolo eléctrico
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Desarrollo multipolar
Si el punto campo está muy alejado de la fuente:
Tiende al potencial de una carga puntual (lógico). Veamos que obtenemos si hacemos una aproximación más cuidadosa...
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Desarrollo multipolar
Cuando
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Desarrollo multipolar
● Tiene la forma del potencial de una carga puntual:
● Donde Q es la carga de la distribución:
● Este término domina a grandes distancias cuando Q≠0
Potencial dipolar
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Tema 3: Campos Estáticos41
Potencial dipolar
Potencial dipolar:● Domina a grandes distancias cuando Q=0● Decae como r-2
● No posee simetría radial
Se define: Momento dipolar de la distribución
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Tema 3: Campos Estáticos42
El dipolo eléctrico Sistema más sencillo que no presenta el primer término
del desarrollo multipolar Importancia para el modelado de la reacción de materiales
dieléctricos (no conductores) frente al campo eléctrico Sistema constituido por dos cargas iguales y de signo
contrario separadas por una distancia d :
Momento dipolar del dipolo
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Tema 3: Campos Estáticos43
Potencial del dipolo
Esta expresión es correcta en el caso límite (dipolo ideal):
Superficies equipotenciales:(línea discontinua)
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Tema 3: Campos Estáticos44
Campo eléctrico del dipolo
Decae como
Tiene simetría axial
El campo producido por el dipolo puede calcularse del potencial:
Resultado:
Ver: http://www.falstad.com/vector3de/
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Tema 3: Campos Estáticos45
Interacción de un dipolo con un campo eléctrico externo
Energía de interacción:
Siendo el punto medio del dipolo
La energía de interacción en mínima cuando el campo eléctrico y el momento dipolar son paralelos
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Tema 3: Campos Estáticos46
Fuerza sobre un dipolo
Fuerza sobre el dipolo: con
Un campo eléctrico uniforme no ejerce fuerza neta sobre un dipolo
Electrostática no es función de
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Tema 3: Campos Estáticos47
Campo uniforme:
Si el campo no es uniforme aparece una fuerza neta:
Fuerza sobre un dipolo
El dipolo tiende a girar, pero no se desplaza
El dipolo tiende a girar y desplazarse hacia la zona de campo eléctrico más intenso
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Tema 3: Campos Estáticos48
Momento sobre un dipolo
El momento es nulo cuando el dipolo y el campo eléctrico son paralelos y máximo cuando son perpendiculares
Conclusión: el dipolo tiende a alinearse con el campo
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Tema 3: Campos Estáticos49
Índice (I)
Ecuaciones en el caso estacionario Electrostática
Solución del problema electrostático Cálculo de campos mediante Ley de Gauss Energía electrostática Desarrollo multipolar
El dipolo eléctrico
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Tema 3: Campos Estáticos50
Índice (II)
Campo magnético de corrientes estacionarias
Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar
Dipolo magnético
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Tema 3: Campos Estáticos51
Ecuaciones de Maxwell en el caso estacionario:
Magnetostática implica que la corriente ha de ser solenoidal:
Las líneas de corriente son cerradas La carga neta en cada punto no varía con el tiempo
Caso estacionario
Electrostática
Magnetostática
Condición de corriente estacionaria
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Tema 3: Campos Estáticos52
Solución del problema de la magnetostática
Solución:
Con:
Teorema de Helmholtz:
Solución:
Magnetostática:
Con:
Potencial vector magnético
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Tema 3: Campos Estáticos53
Campo magnético
Expresión para el campo magnético en función de :
Usando:
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Tema 3: Campos Estáticos54
Corrientes filiformes
Gran interés práctico Se pueden particularizar las fórmulas si hacemos el
cambio:
Obtenemos:
En magnetostática se suele calcular el campo sin pasar por el potencial vector
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Tema 3: Campos Estáticos55
Ejemplo: campo magnético de un hilo finito
( Coord. cilíndricas )
Cambio:
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Tema 3: Campos Estáticos56
Ejemplo: campo magnético de un hilo finito
Campo del hilo infinito:
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Tema 3: Campos Estáticos57
Ley de Biot-Savart Sean dos espiras de corriente:
La espira 2 crea un campomagnético que realiza una fuerzasobre la espira 1:
Pero a su vez:
Combinado ambas expresiones:
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Tema 3: Campos Estáticos58
Fuerza entre hilos paralelos
La fuerza es atractiva para corrientes con el mismo sentido y repulsiva si tienen sentido contrario
La fuerza es proporcional a las intensidades e inversamente proporcional a la distancia entre los hilos
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Tema 3: Campos Estáticos59
Índice (II)
Campo magnético de corrientes estacionarias
Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar
Dipolo magnético
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Tema 3: Campos Estáticos60
Ley de Ampere
Donde: es la intensidad que atraviesa cualquier superficie
que se apoye en El signo de la intensidad viene dado por la regla de la
mano derecha La Ley de Ampere nos permite calcular el campo
magnético en situaciones con simetría de revolución (axial)
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Tema 3: Campos Estáticos61
Simetría
Simetrías de revolución Campo toroidal:
Campo poloidal:
(coordenadas cilíndricas)
Teorema:
Si es poloidal es toroidal
es poloidalSi es toroidal
Ejemplo: campo magnético de un hilo infinito
Ejemplo: campo magnético de una espira
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Tema 3: Campos Estáticos62
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere
Hilo recto infinito:
Simetría axial:
También se puede ver así:
Poloidal Toroidal
Producto vectorial
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Tema 3: Campos Estáticos63
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Camino de integración: circunferencia
centrada en el hilo:
con:
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Tema 3: Campos Estáticos64
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere
Campo del hilo recto infinito:
Las líneas de campo son circunferencias centradas en el hilo
Sentido del campo: regla de la mano derecha
El módulo del campo decrece como la inversa de la distancia al hilo
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Tema 3: Campos Estáticos65
Cilindro de corriente superficial Simetría:
Línea de integración: circunferencia centrada en el eje z de radio r Caso r<R:
Caso r>R:
Poloidal Toroidal
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Tema 3: Campos Estáticos66
Cilindro de corriente volumétrica Simetría:
Línea de integración: circunferencia centrada en el eje z de radio r
Solución (se deja como ejercicio):
Poloidal Toroidal
El campo dentro crece con la distancia al eje y fuera es el mismo que el de un hilo infinito de corriente I situado en el eje z
El campo dentro crece con la distancia al eje y fuera es el mismo que el de un hilo infinito de corriente I situado en el eje z
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Tema 3: Campos Estáticos67
Cuerpo toroidal
Bobinado uniforme (N vueltas) de un hilo que transporta una corriente I sobre un cuerpo toroidal
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Tema 3: Campos Estáticos68
Cuerpo toroidal
Simetría:
Ley de Ampere: circunferencia de radio r centrada en eje z Caso exterior:
Caso interior:
Poloidal Toroidal
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Tema 3: Campos Estáticos69
visualización del campo de un toroide
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Tema 3: Campos Estáticos70
Solenoide recto infinito
Podemos considerar una corriente superficial:
donde n =densidad de bobinado Simetría:
Puede usarse un argumento adicional para simplificar aún más la forma del campo ...
Toroidal Poloidal
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Tema 3: Campos Estáticos71
Solenoide recto infinito
Ley de inexistencia de monopolos: La aplicamos en un cilindro de altura d y radio r
como el de la figura:
De donde:
Entonces, y el campo es de la forma:
ya que
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Tema 3: Campos Estáticos72
Solenoide recto infinito
Aplicamos Ley de Ampere con camino de integración: el rectángulo de la figura
Como el campo sólo tiene componente según z solo contribuyen los segmentos verticales:
De donde:
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Tema 3: Campos Estáticos73
Solenoide recto infinito La Ley de Ampere nos da la diferencia entre el
campo interior y el exterior:
Esta diferencia es independiente de ri y re
Se deduce que el campo es uniforme en cada región (interior y exterior)
Dado que el solenoide recto infinito puede considerarse un toroide de radio de revolución infinito, se deduce que el campo magnético en el exterior debe ser nulo
Entonces la solución es:
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Tema 3: Campos Estáticos74
Índice (II)
Campo magnético de corrientes estacionarias
Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar
Dipolo magnético
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Tema 3: Campos Estáticos75
Energía magnetostática
En general, la energía almacenada por el campo magnético es:
En magnetostática puede obtenerse una expresión alternativa en función del potencial vector y la densidad de corriente:
Y la integral queda:
Extendido a la región donde hay fuentes
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Tema 3: Campos Estáticos76
Energía de un conjunto de n espiras
Para corrientes filiformes:
Flujo del campo magnético a través de la espira i
definimos:
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Tema 3: Campos Estáticos77
Energía de espiras: ejemplo
Solenoide toroidal de N espiras y sección rectangular: Método 1:
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Tema 3: Campos Estáticos78
Energía de espiras: ejemplo
Solenoide toroidal de N espiras y sección rectangular: Método 2:
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Tema 3: Campos Estáticos79
Índice (II)
Campo magnético de corrientes estacionarias
Solución del problema magnetostático Ley de Biot-Savart
Cálculo de campos mediante Ley de Ampere Energía magnetostática Desarrollo multipolar
Dipolo magnético
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Tema 3: Campos Estáticos80
Desarrollo multipolar
Potencial vector de la espira:
Para puntos lejanos hemos visto que:
Entonces:
El primer término no nulo del desarrollo es el término dipolar
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Tema 3: Campos Estáticos81
Momento dipolar magnético El término dipolar del potencial vector se puede escribir
(no lo demostramos aquí):
Momento dipolar magnético de una espira:
Para espiras planas (caso habitual):
Cualquier superficie que se apoye en la curva que define la espira
Módulo: el de la sup. plana limitada por la espiraDirección: perpendicular al plano de la espiraSentido: regla de la mano derecha para sentido de circulación definido en la espira
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Tema 3: Campos Estáticos82
Campo magnético creado por un dipolo magnético
Campo magnético que crea un dipolo magnético:
Misma forma que el campo eléctrico de un dipolo eléctrico
Esta expresión es correcta “suficientemente lejos” de cualquier espira de corriente
Esta expresión es exacta si se trata de un dipolo ideal: Espira de área que tiende a cero e intensidad de corriente
que tiende a infinito
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Tema 3: Campos Estáticos83
Interacción de un dipolo magnético con un campo externo Existe un fuerte paralelismo en las fórmulas con el caso
de interacción de un dipolo eléctrico con un campo eléctrico
No vamos a demostrar las del caso magnético: Energía de interacción: Fuerza sobre el dipolo magnético: Momento de las fuerzas sobre el dipolo: La tendencia del dipolo magnético es:
Orientarse paralelamente al campo magnético externo Desplazarse hacia las zonas de campo más intenso
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Tema 3: Campos Estáticos84
Resumen Tema 3 (I) En situación estacionaria las ecuaciones de Maxwell se
desacoplan y pueden estudiarse por separado el problema eléctrico y magnético
Existe una solución para las ecuaciones de la electrostática a partir del teorema de Helmholtz
El campo electrostático puede obtenerse a partir del gradiente de un campo escalar: potencial electrostático
El potencial electrostático tiene sentido físico Su expresión integral en función de la densidad de carga
estacionaria es más fácil de evaluar que la del campo eléctrico
La Ley de Gauss nos permite calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo eléctrico en situaciones de alta simetría
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Tema 3: Campos Estáticos85
Resumen Tema 3 (II) Existe una expresión específica para calcular la energía
asociada al campo electrostático Coincide con el trabajo necesario para llevar toda la carga
de la distribución que crea el campo desde el infinito a su posición
El desarrollo multipolar nos permite obtener una aproximación del campo eléctrico para puntos “lejos” de la distribución de carga
El campo de una distribución con carga neta nula viene dominado por el término dipolar
El ejemplo más sencillo de este tipo de distribución es el dipolo eléctrico
Un dipolo eléctrico sufrirá fuerzas y momentos ante la presencia de un campos eléctrico externo
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Tema 3: Campos Estáticos86
Resumen Tema 3 (III)
Las ecuaciones de Maxwell para el campo magnético en el caso estacionario pueden resolverse con el teorema de Helmholtz: magnetostática
La solución para el campo magnético tienen la forma de una expresión integral en función de la densidad de corriente
Esta expresión se puede particularizar con facilidad para el caso práctico de corrientes filiformes
La Ley de Ampere nos permite calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo magnético en situaciones con alta simetría de revolución
Existe una expresión específica para calcular la energía asociada al campo magnetostático
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Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III
Tema 3: Campos Estáticos87
Resumen Tema 3 (y IV) El desarrollo multipolar nos permite obtener una aproximación
del campo magnético para puntos “lejos” de una espira de corriente
El primer término de la aproximación del campo magnético es el término dipolar
El campo magnético dipolar se escribe en función del momento dipolar magnético, que depende del área de la espira y de la intensidad que la recorre
Una espira “pequeña” constituye un dipolo magnético: el campo magnético que crea coincide esencialmente con el término dipolar del desarrollo
Un dipolo magnético sufrirá fuerzas y momentos ante la presencia de un campo magnético externo