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Tema 3. Análisis Factorial ExploratorioTema 3. Análisis Factorial Exploratorio

3.1. Introducción3.1. Introducción3.2. Modelos de Análisis Factorial. 3.2. Modelos de Análisis Factorial.

3.2.1. El modelo de factores comunes3.2.1. El modelo de factores comunes3.2.1.1. El modelo de factores comunes 3.2.1.1. El modelo de factores comunes ortogonalesortogonales3.2.2.1. El modelo de factores comunes3.2.2.1. El modelo de factores comunesoblicuosoblicuos

3.2.2. El modelo de análisis factorial confirmatorio3.2.2. El modelo de análisis factorial confirmatorio3.3. Estructura de la matriz de correlaciones en el modelo 3.3. Estructura de la matriz de correlaciones en el modelo factores comunes: Teorema fundamentalfactores comunes: Teorema fundamental3.4.Métodos de extracción factorial3.4.Métodos de extracción factorial

3.4.1. Componentes principales3.4.1. Componentes principales3.4.2. Factor principal (eje principal)3.4.2. Factor principal (eje principal)3.4.3. Máxima verosimilitud3.4.3. Máxima verosimilitud

3.5. Soluciones factoriales derivadas: rotaciones3.5. Soluciones factoriales derivadas: rotaciones3.6. Puntuaciones factoriales3.6. Puntuaciones factoriales

3.1. Introducción3.1. IntroducciónEl AF es una de las técnicas El AF es una de las técnicas multivariantesmultivariantes más vinculadas a más vinculadas a

la investigación en psicología de hecho se ha llegado a la investigación en psicología de hecho se ha llegado a confundir con una teoría psicológica. Surge con la confundir con una teoría psicológica. Surge con la intención de “proporcionar modelos matemáticos para la intención de “proporcionar modelos matemáticos para la explicación de la capacidad y el comportamiento humano”. explicación de la capacidad y el comportamiento humano”. Fue Charles Spearman Psicólogo inglés quien, influido por Fue Charles Spearman Psicólogo inglés quien, influido por Galton, decidió realizar su tesis doctoral sobre la medición Galton, decidió realizar su tesis doctoral sobre la medición objetiva de la inteligencia. Propuso el primer modelo objetiva de la inteligencia. Propuso el primer modelo factorial, basado en un factor común, el factor factorial, basado en un factor común, el factor g, g, y un y un componente específico. Spearman ocupó la primera componente específico. Spearman ocupó la primera Cátedra de Psicología en la Cátedra de Psicología en la UniversityUniversity College en Londres.College en Londres.

3.1. Introducción3.1. IntroducciónAdemás del trabajo de Además del trabajo de SpearmanSpearman, y situándonos en la , y situándonos en la

primera mitad del siglo XX, otros psicólogos utilizaron el primera mitad del siglo XX, otros psicólogos utilizaron el análisis factorial para identificar nuevos conceptos análisis factorial para identificar nuevos conceptos científicos o definir con más precisión otros ya conocidos. científicos o definir con más precisión otros ya conocidos. Así, Así, EysenckEysenck (1947) utilizó el AFE para confirmar su idea (1947) utilizó el AFE para confirmar su idea de que la personalidad podría definirse en torno a dos de que la personalidad podría definirse en torno a dos dimensiones básicas: extroversióndimensiones básicas: extroversión--introversión y introversión y neuroticismoneuroticismo--estabilidad emocional. estabilidad emocional. CatellCatell (1957), utilizó (1957), utilizó esta técnica para reducir los casi 83 factores vinculados esta técnica para reducir los casi 83 factores vinculados con rasgos de personalidad que había descrito en su con rasgos de personalidad que había descrito en su “Universal Index of Source Traits”. Desde estas primeras “Universal Index of Source Traits”. Desde estas primeras investigaciones hasta nuestros días, son innumerables las investigaciones hasta nuestros días, son innumerables las investigaciones que utilizan AFE.investigaciones que utilizan AFE.

3.1. Introducción3.1. IntroducciónEl AF es una técnica de interdependencia cuyo objetivo es El AF es una técnica de interdependencia cuyo objetivo es

resumir los datos mediante un número pequeño de nuevas resumir los datos mediante un número pequeño de nuevas variables construidas como transformaciones de las variables construidas como transformaciones de las originales, con la mínima pérdida de información. A las originales, con la mínima pérdida de información. A las nuevas les llamaremos nuevas les llamaremos factores,factores, dimensiones,dimensiones, Variableslatentes o no observadas.. El número de factores será El número de factores será aquel que nos permita describir las correlaciones o aquel que nos permita describir las correlaciones o covarianzascovarianzas entre las variables observadas con la mínima entre las variables observadas con la mínima pérdida de información. El argumento que permite sustituir pérdida de información. El argumento que permite sustituir un número elevado de variables observadas (p) por un un número elevado de variables observadas (p) por un número menor de variables latentes (número menor de variables latentes (m<pm<p) es la existencia ) es la existencia de grupos de variables con correlaciones altas entre sí y de grupos de variables con correlaciones altas entre sí y bajas con las variables de otros grupos. Cada grupo de bajas con las variables de otros grupos. Cada grupo de variables altamente correlacionadas representa a una variables altamente correlacionadas representa a una variable latente o factor. variable latente o factor.

EJEMPLO: EJEMPLO: ReuchlinReuchlin en 1964 propuso estudiar la en 1964 propuso estudiar la estructura factorial de la matriz de correlaciones estructura factorial de la matriz de correlaciones observadas entre las asignaturas que se impartían en observadas entre las asignaturas que se impartían en enseñanzas medias. La matriz entre las asignaturas deenseñanzas medias. La matriz entre las asignaturas deMatemáticas (M), Ciencias naturales (CN), Francés (F),Matemáticas (M), Ciencias naturales (CN), Francés (F),Latín (La) y Literatura (Latín (La) y Literatura (LiLi) fue:) fue:

CN M F La LiCN 1 0.804 0.366 0.427 0.232M 1 0.138 0.426 0.408F 1 0.813 0.747La 1 0.812Li 1

Estructura factorial del ejemplo de Estructura factorial del ejemplo de ReuchlinReuchlin

Habilidad Habilidad lógico lógico formalformal

Habilidad Habilidad verbalverbal

CN La Li FM

Ejemplos de investigaciones en dónde vamos a utilizar análisis factorial

• Pautas de consumo de refrescos de los españoles.Una empresa productora de un determinado refresco está interesada en incrementar sus ventas para lo cual, diseña una campaña de publicidad basándose en los resultados de una encuesta. La encuesta constaba de una serie de afirmaciones a las que los sujetos contestaban desde 1 (muy en desacuerdo) hasta 5 (muy de acuerdo). Las cuestiones planteadas en la encuesta fueron:


X1: Me gusta beber refrescos cuando estoy con los amigosX2: Me gusta beber un refresco cuando estoy charlando con

alguienX3: A mi los refrescos me van bien para las ocasiones divertidasX4: Me gusta beber siempre la misma marca de refrescosX5: A los sitios donde voy pido siempre el mismo refrescoX6: Cambio de un refresco a otro porque para mi es mucho mejor

que tomar siempre el mismoX7: Los refrescos sólo me gusta tomarlos mezclados con alcoholX8: Una de mis bebidas favoritas es el refresco combinado con

alcoholX9: Principalmente mezclo los refrescos para rebajar las bebidas

alcohólicas


Un equipo de investigadores de un Departamento de Psicología de la Educación observó la conducta en clase de una muestra de profesores de preescolar durante un cierto tiempo y contabilizó el número de veces que los profesores emitían cada una de las siguientes conductas:

• 1.- Habla cálidamente con los niños• 2.- Escucha atentamente cuando los niños se dirigen a él/ella• 3.- Estimula a los niños a intentar nuevas experiencias• 4.- Cuando los niños tienen mal comportamiento, explica las razones

de la regla que no han cumplido• 5.- Da alto valor a la obediencia• 6.- Parece distante o separado de los niños• 7.- Habla con irritación u hostilidad a los niños• 8.- Amenaza a los niños cuando intenta controlarlos• 9.- Emplea un tiempo considerable en actividades que no implican

interacción con los niños • 10.- Castiga a los niños sin explicación


• A una muestra de padres y madres se les ha pedido que valoren desde 1 (menos importante) a 8 (más importante) las siguientes conductas de los adultos para educar a sus hijos:

• 1.- Castigarles cuando hacen algo mal• 2.- Mirar lo que hacen• 3.- Protegerles de las malas compañías• 4.- Favorecer la confianza en ellos mismos• 5.- Dejarles actuar libremente• 6.- Presentarles otros puntos de vista• 7.- Darles un “cachete” cuando se comporten mal• 8.- Dejarle que tomen sus propias decisiones• 9.- Pararles antes de que se equivoquen• 10.- Ponerles en situaciones que les hagan pensar• 11.- Enseñarles nuevas maneras de resolver una situación


Escala de autoestima• Tengo confianza en mi capacidad• Me preocupa que me vean como una persona de éxito o un fracasado• Siento inquietud o frustración por los resultados de mi trabajo• Me resulta difícil entender lo que leo• Me siento cohibido• Soy tan brillante como cualquier otra persona• Estoy disgustado conmigo mismo• Me preocupa lo que los demás piensen de mí• Confío en mi capacidad para entender las cosas• En este momento me siento inferior a los demás• Me preocupa la impresión que produzco en los otros• Tengo menos capacidad para los estudios que los demás• Creo que no estoy estudiando bien• Me preocupa parecer ridículo


Conducta preferida de entrenadores

• Procura que los/as jugadores/as se esfuercen al máximo• Pide la opinión de los/as judadores/as sobre la táctica a utilizar

en determinados partidos• Ayuda a los/as judadores/as en sus problemas personales• Felicita delante de los/as demás a un/a jugador/a por su buen

juego• Explica a cada jugador/a durante los entrenamientos las

técnicas y tácticas del deporte• Planifica sin pedir opinión a los/as jugadores/as• Ayuda a los/as componentes del equipo a resolver sus

conflictos o problemas personales• Presta especial atención a la corrección de los errores de los/as

jugadores• Consigue el visto bueno del equipo sobre asuntos importantes

antes de actuar


Conducta preferida de entrenadores• Le dice al/a jugador/a cuando ha hecho realmente bien las

cosas• Transmite claramente sus funciones como entrenador/a

monitor/a a los/as jugadores/as• No explica sus acciones• Mira por el bienestar personal de los/as jugadores/as• Enseña individualmente a cada jugador/a la técnica del deporte• Deja que los/as jugadores/as participen en la toma de

decisiones• Procura que un jugador/a sea recompensado/a por una buena

actuación• Prepara y prevé lo que se debe hacer en los entrenamientos y

partidos• Anima a los/as jugadores/as a que hagan sugerencias sobre

como llevar a cabo los entrenamientos

3.2. Modelos de Análisis factorial3.2. Modelos de Análisis factorial

Análisis Análisis

FactorialFactorial

Factores OrtogonalesFactores Ortogonales Factores OblicuosFactores Oblicuos

AF ConfirmatorioAF ConfirmatorioAF ExploratorioAF Exploratorio

3.2.1. El modelo 3.2.1. El modelo afeafe; modelo de factores comunes; modelo de factores comunes

3.2.1.1. El modelo de factores comunes 3.2.1.1. El modelo de factores comunes ortogonalesortogonales

u1 u2 u3 u4 up

Variables observadasVariables observadas

Variables o factoresVariables o factoreslatentes comuneslatentes comunes

Factores específicosFactores específicosy errores de mediday errores de medida

3.2.1. El modelo de 3.2.1. El modelo de afeafe: modelo de factores comunes: modelo de factores comunes

3.2.1.2. El modelo de factores comunes 3.2.1.2. El modelo de factores comunes oblicuosoblicuos

u1 u2 u3 u4 up




3.2.2. El modelo de análisis factorial confirmatorio3.2.2. El modelo de análisis factorial confirmatorio

u1 u2 u3 u4 up




3.2.1.1. El modelo de factores comunes ortogonales3.2.1.1. El modelo de factores comunes ortogonales

u1 u2 u3 u4 up




Expresión matemática del modelo de AFEExpresión matemática del modelo de AFE

ppmpmppp

mm

mm

udfafafax

udfafafaxudfafafax

+++=

+++=+++=

.....................................................

....

2211

2222221212

1112121111

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ppmpmppp

m

m

p u

uu

d

dd

f

ff

aaaa

aaaaaa

x

xx

....00

........0..00..0

..............

.2

1

2

1

2

1

321

22221

11211

2

1

x =A f+D u

La matriz A se le denomina patrón factorial y a sus elementos pesos, cargas o saturaciones factoriales

F =

12...N

1, 2, ..., m

j j’

..

. .

..

.

f1

f2

f3

.j

.j’

12.ii’.p

1, 2, ..., m

A=

f1

f2

f3

.

.

.i’..

..

.i

Matriz o patrón factorialMatriz o patrón factorial

Matriz de puntuaciones factorialMatriz de puntuaciones factorial

F =

12...N

1, 2, ..., m

j j’

12.ii’.p

1, 2, ..., m

A=

Matriz o patrón factorialMatriz o patrón factorial Estructura factorialEstructura factorial

Rzf =

Matriz de puntuaciones factorialMatriz de puntuaciones factorial

Supuestos acerca de las variables latentes

a. Son variables tipificadas

E(xi) = 0 E(fj) = 0 E(ui) = 0Var(xi) = 1 Var(fj) = 1 Var(ui) = 1

b. Los factores comunes (f) no correlacionan con los factoreespecíficos (u)

corr(fj, ui) = 0

c. Si se asume que los factores comunes son ortogonalesentonces

corr(fj, fi) = 0

3.3. Estructura de la matriz de correlaciones en el modelo 3.3. Estructura de la matriz de correlaciones en el modelo factores comunes: Teorema fundamentalfactores comunes: Teorema fundamental

( ))')(()'( DuAfDuAfExxER ++==

'' DDAAR +=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

2

22

21

1

2

12

11

12

1

22

112

11

121

1

21

21

221

112

..00........0..00..0

..........

..

..

1..........

..1

..1

pm

jpj

m

jjpj

m

jjpj

m

jpjj

m

jj

m

jjj

m

jpjj

m

jjj

m

jj

pp

p

p

d

dd

aaaaa

aaaaa

aaaaa

rr

rrrr

2

1

22222

21 ...1 i

m

jijiimii dadaaa +=++++= ∑

=

Comunalidad: varianza explicada por el conjunto de factores comunes Unicidad: varianza explicada

por factores específicos

jmimjijiij aaaaaar +++= ...ˆ 2211

Diagramas de Diagramas de VennVenn para el reparto de la varianza de una variable en un para el reparto de la varianza de una variable en un modelo de tres factores ortogonalesmodelo de tres factores ortogonales

∑=

=m

jiji ah

1

22

∑=

−=−=m

jijii ahd

1

222 11

Ejemplo numérico con los datos de Reuchlin

vamos a calcular los siguientes valores:a) comunalidad de cada variable.b) unicidad de cada variable.c) porcentaje de varianza de cada variable explicada por cadauno de los factores comunes.d) interpretación de los factores obtenidos.

A '

0.8 0.20.9 0.10.1 0.90.3 0.80.2 0.8

CN M F La LiCN 1 0.804 0.366 0.427 0.232M 1 0.138 0.426 0.408F 1 0.813 0.747La 1 0.812Li 1

Ejemplo numérico con los datos de Reuchlin

Representación de las variables en el plano de los factores

F1

1.0.8.6.4.20.0

F2

1.0

.8

.6

.4

.2

0.0

Asignaturas

M

LI

LA

F

CN

a) Para la matriz factorial dada las comunalidades son:

b) La unicidad de cada variable viene dada por:

f2

f1

0.64

0.040.32

68,08,02,0

73,08,03,0

82,09,01,0

82,01,09,0

68,02,08,0

2225

2224

2223

2222

2221

=+=

=+=

=+=

=+=

=+=

h

h

h

h

h

32,068,01

27,073,01

18,082,01

18,082,01

32,068,01

25

24

23

22

21

=−=

=−=

=−=

=−=

=−=

d

d

d

d

d

c) Podemos expresar la varianza de cada variable explicada porcada factor común y la varianza explicada por el conjunto defactores comunes en términos de porcentajes mediante lasexpresiones

así, la tabla siguiente recoge los porcentajes de varianzaexplicada para cada variable

a 2ij × 100 Porcentaje de varianza de la variable xi

explicada por el factor fj

h 2i × 100 Porcentaje de varianza de la variable xi

explicada por el conjunto de factores comunes

Varianza Explicada en porcentajesFactor 1 Factor 2 Comunalidad

C. Naturales 64 4 68Matemáticas 81 1 82Francés 1 81 82Latín 9 64 73Literatura 4 64 68

Varianza Explicada en porcentajesFactor 1 Factor 2 Comunalidad

Para obtener una solución factorial se procede Para obtener una solución factorial se procede en en

dos etapas:dos etapas:

Fase de extracción factorial: Fase de extracción factorial: obtener una solución obtener una solución

matemáticamente aceptablematemáticamente aceptable

Fase de rotación: obtener una solución Fase de rotación: obtener una solución fácilmente interpretablefácilmente interpretable

Métodos de Extracción factorial Métodos de Extracción factorial implementados en SPSS V. 10.0implementados en SPSS V. 10.0

• Análisis de componentes principales (ACP)Análisis de componentes principales (ACP)••Mínimos cuadrados no ponderados Mínimos cuadrados no ponderados (MINRES)(MINRES)••Mínimos cuadrados generalizadosMínimos cuadrados generalizados••Máxima verosimilitudMáxima verosimilitud••Ejes principales (FC)Ejes principales (FC)••Alfa Alfa ••ImagenImagen

Criterios para retener factoresCriterios para retener factores

• Criterio de Kaiser: se seleccionan los factores con autovalores mayores que 1

•Gráfico de sedimentación de CatellGráfico de sedim ent ación

Número de componente

2927252321191715131197531

Autovalor

10

8

6

4

2

0

Criterios para retener factoresCriterios para retener factores

• Fijar a priori un número de factores

• Fijar una cantidad mínima de varianza a explicar

(60% - 70% en ciencias sociales)

•Utilizar un test de significación para el número de

factores

Métodos de Rotación factorial Métodos de Rotación factorial implementados en SPSS V. 10.0implementados en SPSS V. 10.0

ORTOGONALES: ORTOGONALES:

••VARIMAXVARIMAX••QUARTIMAXQUARTIMAX••EQUAMAXEQUAMAX

OBLÍCUOS: OBLÍCUOS:

••OBLIMIN DIRECTOOBLIMIN DIRECTO••PROMAXPROMAX

Para interpretar los factores se recomienda utilizar las variables con pesos ≥|0,30|

Condiciones de AplicaciónCondiciones de Aplicación

• Se recomiendan 5 o mejor 10 sujetos por variable para evitar el sobreajuste

• Linealidad: comprobar que no se dan otras formas de relación, que la relación lineal, si existe, no se debea la presencia de valores atípicos y que la magnitud de las correlaciones tengan un cierto nivel

• Normalidad si se va a utilizar un método estadístico

Condiciones de Aplicación: índices descriptivos Condiciones de Aplicación: índices descriptivos de la adecuación de un AFEde la adecuación de un AFE

•• TestTest de esfericidad de de esfericidad de BartlettBartlett (NM)(NM)

HH00: R = I: R = I


•• Coeficiente de correlación parcial (valores pequeños Coeficiente de correlación parcial (valores pequeños

implican adecuación del implican adecuación del AfeAfe pero no tiene asociado un pero no tiene asociado un testtest de de

significación). SPSS proporciona esta matriz y su opuesta significación). SPSS proporciona esta matriz y su opuesta

denominada denominada antiimagenantiimagen..


•• Índice KMO: compara coeficientes de correlaciónÍndice KMO: compara coeficientes de correlación

observados y parciales para el conjunto de variables observados y parciales para el conjunto de variables

0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Inadecuado el AFEInadecuado el AFE Adecuado el AFEAdecuado el AFE


••Índice MSA: compara coeficientes de correlaciónÍndice MSA: compara coeficientes de correlación

observados y parciales para cada par de variablesobservados y parciales para cada par de variables

se interpreta como KMO (SPSS proporciona estos índicesse interpreta como KMO (SPSS proporciona estos índices

en la diagonal de la matriz en la diagonal de la matriz antiimagenantiimagen))

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