tema 2 deducci on natural · introducci on modus ponens argumentos como: si tengo ebre entonces...

Tema 2Deduccion Natural

Logica Proposicional

Antonio de J. Perez Jimenez

Departamento Ccia.

Logica Informatica

Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 2 Deduccion Natural LI-07/08 1 / 16

Introduccion

•Modus Ponens

Argumentos como:

Si tengo fiebre entonces estoy enfermo.Tengo fiebre.————–Por tanto, estoy enfermo.

forman parte de nuestros esquemas de razonamiento.

Estos esquemas funcionan como reglas naturales. El ejemplo anteriorcorresponde a la regla conocida como Modus Pones.

• Doble negacion

Hay esquemas de razonamiento muy triviales, como el que consiste en negardos veces una proposicion:

No es verdad que Juan no sea inteligente.————–Por tanto, Juan es inteligente.


Introduccion (II)

•Deduccion por casos

Algunas reglas, como la deduccion por casos, no son triviales perosı frecuentes en su uso:

Esta tarde me quedare en casa leyendo o me ire al cine.Si me quedo leyendo soy una persona culta.Si me voy al cine soy una persona culta.————–En cualquier caso, soy una persona culta.

Con estos esquemas de razonamiento (reglas) pueden acometerse inferencias mascomplejas (conjeturas) en las que, partiendo de unos supuestos (premisas) yaplicando en cada paso una de dichas reglas, se pretende llegar a la conclusiondeseada.

La reglas de la deduccion natural son aquellas que, como las anteriormente senal-adas, se asocian de manera natural a las distintas conectivas.


Reglas de la Conjuncion

N Introduccion de la conjuncion:φ ψ

φ ∧ ψ[∧i ]

H Eliminacion de la conjuncion:φ ∧ ψφ

[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]

Ejemplos:• p ∧ q, r ` q ∧ r (1) • p ∧ (q ∧ r) ` (p ∧ q) ∧ r (2)

1.− p ∧ q premisa2.− r premisa3.− q [∧e2]− 14.− q ∧ r [∧i ]− 3, 2

1.− p ∧ (q ∧ r) premisa2.− p [∧e1]− 13.− q ∧ r [∧e2]− 14.− q [∧e1]− 35.− r [∧e2]− 36.− p ∧ q [∧i ]− 2, 47.− (p ∧ q) ∧ r [∧i ]− 6, 5

Expresiones como (1) y (2) se denominan conjeturas y constan de premisas yconclusion. El desarrollo para llegar a la conclusion a partir de las premisas,mediante la aplicacion de las reglas, se denomina prueba de la conjetura. En elprimer caso la prueba tiene longitud 4 y en el segundo, longitud 7.




φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]

Ejemplos:• p ∧ q, r ` q ∧ r (1)

• p ∧ (q ∧ r) ` (p ∧ q) ∧ r (2)







φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]


• p ∧ (q ∧ r) ` (p ∧ q) ∧ r (2)

1.− p ∧ q premisa

2.− r premisa3.− q [∧e2]− 14.− q ∧ r [∧i ]− 3, 2






φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]


• p ∧ (q ∧ r) ` (p ∧ q) ∧ r (2)

1.− p ∧ q premisa2.− r premisa

3.− q [∧e2]− 14.− q ∧ r [∧i ]− 3, 2






φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]


• p ∧ (q ∧ r) ` (p ∧ q) ∧ r (2)

1.− p ∧ q premisa2.− r premisa3.− q [∧e2]− 1

4.− q ∧ r [∧i ]− 3, 2






φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]


• p ∧ (q ∧ r) ` (p ∧ q) ∧ r (2)







φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]








φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]



1.− p ∧ (q ∧ r) premisa

2.− p [∧e1]− 13.− q ∧ r [∧e2]− 14.− q [∧e1]− 35.− r [∧e2]− 36.− p ∧ q [∧i ]− 2, 47.− (p ∧ q) ∧ r [∧i ]− 6, 5





φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]



1.− p ∧ (q ∧ r) premisa2.− p [∧e1]− 1

3.− q ∧ r [∧e2]− 14.− q [∧e1]− 35.− r [∧e2]− 36.− p ∧ q [∧i ]− 2, 47.− (p ∧ q) ∧ r [∧i ]− 6, 5





φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]



1.− p ∧ (q ∧ r) premisa2.− p [∧e1]− 13.− q ∧ r [∧e2]− 1

4.− q [∧e1]− 35.− r [∧e2]− 36.− p ∧ q [∧i ]− 2, 47.− (p ∧ q) ∧ r [∧i ]− 6, 5





φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]



1.− p ∧ (q ∧ r) premisa2.− p [∧e1]− 13.− q ∧ r [∧e2]− 14.− q [∧e1]− 3

5.− r [∧e2]− 36.− p ∧ q [∧i ]− 2, 47.− (p ∧ q) ∧ r [∧i ]− 6, 5





φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]



1.− p ∧ (q ∧ r) premisa2.− p [∧e1]− 13.− q ∧ r [∧e2]− 14.− q [∧e1]− 35.− r [∧e2]− 3

6.− p ∧ q [∧i ]− 2, 47.− (p ∧ q) ∧ r [∧i ]− 6, 5





φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]



1.− p ∧ (q ∧ r) premisa2.− p [∧e1]− 13.− q ∧ r [∧e2]− 14.− q [∧e1]− 35.− r [∧e2]− 36.− p ∧ q [∧i ]− 2, 4

7.− (p ∧ q) ∧ r [∧i ]− 6, 5





φ ∧ ψ[∧i ]


[∧e1]φ ∧ ψψ

[∧e2]






Reglas de la Implicacion

N Introduccion de la implicacion:

φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]

H Eliminacion de la implicacion.

Modus Ponens:φ φ→ ψ

ψ[→ e]

Modus Tollens:φ→ ψ ¬ψ¬φ

[M.T .]

Ejemplos:• p → (p → q), p ` q • q ∧ r ` p → r

1.− p → (p → q) premisa2.− p premisa3.− p → q [→ e]− 2, 14.− q [→ e]− 2, 3

1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1

3.− p suposicion4.− r [hyp.] (regla de copia)

5.− p → r [→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]

Ejemplos:• p → (p → q), p ` q

• q ∧ r ` p → r


1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r [→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]


• q ∧ r ` p → r

1.− p → (p → q) premisa2.− p premisa

3.− p → q [→ e]− 2, 14.− q [→ e]− 2, 3

1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r [→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]


• q ∧ r ` p → r

1.− p → (p → q) premisa2.− p premisa3.− p → q [→ e]− 2, 1

4.− q [→ e]− 2, 3

1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r [→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]


• q ∧ r ` p → r


1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r [→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]



1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r [→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]



1.− q ∧ r premisa

2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r [→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]



1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r [→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]



1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r

[→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]



1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1

3.− p suposicion

4.− r [hyp.] (regla de copia)

5.− p → r

[→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]



1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r

[→ i ] 3− 4




φ...ψ

φ→ ψ[→ i ]



ψ[→ e]


[M.T .]



1.− q ∧ r premisa2.− r [∧e2]− 1


5.− p → r [→ i ] 3− 4


Reglas de la Implicacion (II)

• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p1.− p → q premisa

2.− p ∧ r suposicion3.− p [∧e1]− 24.− r [∧e2]− 25.− q [→ e]− 1, 36.− q ∧ r [∧i ]− 5, 4

7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6

1.− p → q premisa

2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3

• p → (q → r) ` q → (p → r)1.− p → (q → r) premisa

2.− q suposicion

3.− p suposicion4.− q → r [→ e]− 3, 15.− r [→ e]− 2, 4

6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r)

[→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p


2.− p ∧ r suposicion

3.− p [∧e1]− 24.− r [∧e2]− 25.− q [→ e]− 1, 3

6.− q ∧ r

[∧i ]− 5, 4

7.− p ∧ r → (q ∧ r)

[→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p


2.− p ∧ r suposicion

3.− p [∧e1]− 24.− r [∧e2]− 25.− q [→ e]− 1, 3

6.− q ∧ r

[∧i ]− 5, 4

7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p


2.− p ∧ r suposicion3.− p [∧e1]− 2

4.− r [∧e2]− 25.− q [→ e]− 1, 3

6.− q ∧ r

[∧i ]− 5, 4

7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p


2.− p ∧ r suposicion3.− p [∧e1]− 24.− r [∧e2]− 2

5.− q [→ e]− 1, 3

6.− q ∧ r

[∧i ]− 5, 4

7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p


2.− p ∧ r suposicion3.− p [∧e1]− 24.− r [∧e2]− 25.− q [→ e]− 1, 36.− q ∧ r

[∧i ]− 5, 4

7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3

• p → (q → r) ` q → (p → r)

1.− p → (q → r) premisa

2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r)

[→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r

[→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r)

[→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r

[→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion

3.− p suposicion

4.− q → r [→ e]− 3, 1

5.− r

[→ e]− 2, 4

6.− p → r

[→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion

3.− p suposicion

4.− q → r [→ e]− 3, 1

5.− r

[→ e]− 2, 4

6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion

3.− p suposicion4.− q → r [→ e]− 3, 15.− r

[→ e]− 2, 4

6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r

• p → q ` ¬q → ¬p



7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6



• p → q ` p ∧ r → q ∧ r • p → q ` ¬q → ¬p1.− p → q premisa


7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6





7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p

[→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6





7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p

[M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p

[→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6





7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p

[M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6





7.− p ∧ r → (q ∧ r) [→ i ]− 2, 6


2.− ¬q suposicion3.− ¬p [M.T .]− 1, 2

4.− ¬q → ¬p [→ i ]− 2, 3


2.− q suposicion


6.− p → r [→ i ]− 3, 5

7.− q → (p → r) [→ i ]− 2, 6


Reglas de la doble negacion

N Introduccion de la doble negacion:φ

¬¬φ[¬¬i ]

H Eliminacion de la doble negacion:¬¬ψψ

[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s • ¬p → q, ¬q ` p

1.− p premisa2.− ¬¬(q ∧ s) premisa3.− ¬¬p [¬¬i ]− 14.− q ∧ s [¬¬e]− 25.− s [∧e2]− 46.− ¬¬p ∧ s [∧i ]− 3, 5

1.− ¬p → q premisa2.− ¬q premisa3.− ¬¬p [M.T .]− 1, 24.− p [¬¬e]− 3

• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p1.− p premisa2.− ¬¬(q ∧ s) premisa3.− ¬¬p [¬¬i ]− 14.− q ∧ s [¬¬e]− 25.− s [∧e2]− 46.− ¬¬p ∧ s [∧i ]− 3, 5


• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p

1.− p premisa2.− ¬¬(q ∧ s) premisa

3.− ¬¬p [¬¬i ]− 14.− q ∧ s [¬¬e]− 25.− s [∧e2]− 46.− ¬¬p ∧ s [∧i ]− 3, 5


• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p

1.− p premisa2.− ¬¬(q ∧ s) premisa3.− ¬¬p [¬¬i ]− 1

4.− q ∧ s [¬¬e]− 25.− s [∧e2]− 46.− ¬¬p ∧ s [∧i ]− 3, 5


• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p

1.− p premisa2.− ¬¬(q ∧ s) premisa3.− ¬¬p [¬¬i ]− 14.− q ∧ s [¬¬e]− 2

5.− s [∧e2]− 46.− ¬¬p ∧ s [∧i ]− 3, 5


• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p

1.− p premisa2.− ¬¬(q ∧ s) premisa3.− ¬¬p [¬¬i ]− 14.− q ∧ s [¬¬e]− 25.− s [∧e2]− 4

6.− ¬¬p ∧ s [∧i ]− 3, 5


• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p



• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p



• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q

1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p



• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q

[→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p



• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion

3.− ¬¬p [¬¬i ]− 2

4.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p



• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q

[M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]

Ejemplos:• p, ¬¬(q ∧ s) ` ¬¬p ∧ s

• ¬p → q, ¬q ` p



• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa

2.− p suposicion3.− ¬¬p [¬¬i ]− 24.− ¬¬q [M.T .]− 1, 3

5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]




• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa


5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]



1.− ¬p → q premisa2.− ¬q premisa

3.− ¬¬p [M.T .]− 1, 24.− p [¬¬e]− 3

• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa


5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]



1.− ¬p → q premisa2.− ¬q premisa3.− ¬¬p [M.T .]− 1, 2

4.− p [¬¬e]− 3

• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa


5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4




¬¬φ[¬¬i ]


[¬¬e]




• ¬q → ¬p ` p → ¬¬q1.− ¬q → ¬p premisa


5.− p → ¬¬q [→ i ]− 2− 4


Reglas de la disyuncion

N Introduccion de la disyuncion:φ

φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]

H Eliminacion de la disyuncion:

φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]

Ejemplos

.

• p ∨ q ` q ∨ p • q → r ` p ∨ q → p ∨ r

1.− p ∨ q premisa

2.− p suposicion3.− q ∨ p [∨i2]− 2

4.− q suposicion5.− q ∨ p [∨i1]− 4

6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5

1.− q → r premisa

2.− p ∨ q suposicion

3.− p suposicion4.− p ∨ r [∨i1]− 3

5.− q suposicion6.− r [→ e]− 1, 57.− p ∨ r [∨i2]− 6

8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]

Ejemplos.• p ∨ q ` q ∨ p

• q → r ` p ∨ q → p ∨ r




6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]


• q → r ` p ∨ q → p ∨ r




6.− q ∨ p

[∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]


• q → r ` p ∨ q → p ∨ r


2.− p suposicion3.− q ∨ p

[∨i2]− 2


6.− q ∨ p

[∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]


• q → r ` p ∨ q → p ∨ r



[∨i2]− 2

4.− q suposicion5.− q ∨ p

[∨i1]− 4

6.− q ∨ p

[∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]


• q → r ` p ∨ q → p ∨ r



[∨i2]− 2


[∨i1]− 4

6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]


• q → r ` p ∨ q → p ∨ r




[∨i1]− 4

6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]


• q → r ` p ∨ q → p ∨ r




6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]

Ejemplos.• p ∨ q ` q ∨ p • q → r ` p ∨ q → p ∨ r




6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r

[→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r

[∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r

[→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r

[∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5



3.− p suposicion4.− p ∨ r

[∨i1]− 3


8.− p ∨ r

[∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5




[∨i1]− 3

5.− q suposicion

6.− r [→ e]− 1, 5

7.− p ∨ r

[∨i2]− 6

8.− p ∨ r

[∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5




[∨i1]− 3

5.− q suposicion

6.− r [→ e]− 1, 5

7.− p ∨ r

[∨i2]− 6

8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5




5.− q suposicion

6.− r [→ e]− 1, 5

7.− p ∨ r

[∨i2]− 6

8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5




5.− q suposicion6.− r [→ e]− 1, 57.− p ∨ r

[∨i2]− 6

8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8




φ ∨ ψ[∨i1]

φ

ψ ∨ φ[∨i2]


φ ∨ ψφ...χ

ψ...χ

χ[∨e]





6.− q ∨ p [∨e]1, 2− 3, 4− 5





8.− p ∨ r [∨e]2, 3− 4, 5− 7

9.− p ∨ q → p ∨ r [→ i ]− 2− 8


Reglas de la negacion

Para enunciar las reglas asociadas a la negacion se necesita la nocion decontradiccion, representada por el sımbolo ⊥ y gobernada por una unica regla:

H Eliminacion de la contradiccion:⊥φ

[⊥ e]

A partir de dicho sımbolo se construyen las reglas de la negacion:

H Eliminacion de la negacion:φ ¬φ⊥

[¬e]

N Introduccion de la negacion:

φ...⊥¬φ

[¬i ]

Ejemplos.• p ∧ ¬p ` q

1.− p ∧ ¬p premisa2.− p [∧e1]− 13.− ¬p [∧e2]− 14.− ⊥ [¬e]− 2, 35.− q [⊥ e]− 4





[⊥ e]



[¬e]


φ...⊥¬φ

[¬i ]


1.− p ∧ ¬p premisa

2.− p [∧e1]− 13.− ¬p [∧e2]− 14.− ⊥ [¬e]− 2, 35.− q [⊥ e]− 4





[⊥ e]



[¬e]


φ...⊥¬φ

[¬i ]


1.− p ∧ ¬p premisa2.− p [∧e1]− 1

3.− ¬p [∧e2]− 14.− ⊥ [¬e]− 2, 35.− q [⊥ e]− 4





[⊥ e]



[¬e]


φ...⊥¬φ

[¬i ]


1.− p ∧ ¬p premisa2.− p [∧e1]− 13.− ¬p [∧e2]− 1

4.− ⊥ [¬e]− 2, 35.− q [⊥ e]− 4





[⊥ e]



[¬e]


φ...⊥¬φ

[¬i ]


1.− p ∧ ¬p premisa2.− p [∧e1]− 13.− ¬p [∧e2]− 14.− ⊥ [¬e]− 2, 3

5.− q [⊥ e]− 4





[⊥ e]



[¬e]


φ...⊥¬φ

[¬i ]


1.− p ∧ ¬p premisa2.− p [∧e1]− 13.− ¬p [∧e2]− 14.− ⊥ [¬e]− 2, 35.− q [⊥ e]− 4


Otros ejemplos y Regla de Copia (hyp.)

• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q

1.− p → q premisa2.− p → ¬q premisa

3.− p suposicion4.− q [→ e]− 1, 35.− ¬q [→ e]− 2, 36.− ⊥ [¬e]− 4, 5

7.− ¬p [¬i ]− 3− 6

1.− p → (q → r) premisa2.− p premisa3.− ¬r premisa

4.− q suposicion5.− q → r [→ e]− 1, 26.− r [→ e]− 5, 47.− ⊥ [¬e]− 6, 3

8.− ¬q [¬i ]− 4− 7Regla de copia (hyp.).

• ` p → (q → p)

1.− p suposicion

2.− q suposicion3.− p hyp.− 1

4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6




• ` p → (q → p)

1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p)

[→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6




• ` p → (q → p)

1.− p suposicion


4.− q → p

[→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p)

[→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6




• ` p → (q → p)

1.− p suposicion


4.− q → p

[→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6




• ` p → (q → p)

1.− p suposicion

2.− q suposicion3.− p

hyp.− 1

4.− q → p

[→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6




• ` p → (q → p)

1.− p suposicion

2.− q suposicion3.− p

hyp.− 1

4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7

Regla de copia (hyp.).• ` p → (q → p)

1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p

• p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p

• p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p

[¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p

• p → (q → r), p,¬r ` ¬q


3.− p suposicion

4.− q [→ e]− 1, 35.− ¬q [→ e]− 2, 3

6.− ⊥

[¬e]− 4, 5

7.− ¬p

[¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p

• p → (q → r), p,¬r ` ¬q


3.− p suposicion

4.− q [→ e]− 1, 35.− ¬q [→ e]− 2, 3

6.− ⊥

[¬e]− 4, 5

7.− ¬p [¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p

• p → (q → r), p,¬r ` ¬q


3.− p suposicion4.− q [→ e]− 1, 3

5.− ¬q [→ e]− 2, 3

6.− ⊥

[¬e]− 4, 5

7.− ¬p [¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p

• p → (q → r), p,¬r ` ¬q


3.− p suposicion4.− q [→ e]− 1, 35.− ¬q [→ e]− 2, 36.− ⊥

[¬e]− 4, 5

7.− ¬p [¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p

• p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6



8.− ¬q [¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6



8.− ¬q

[¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6


4.− q suposicion

5.− q → r [→ e]− 1, 26.− r [→ e]− 5, 4

7.− ⊥

[¬e]− 6, 3

8.− ¬q

[¬i ]− 4− 7


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6


4.− q suposicion

5.− q → r [→ e]− 1, 26.− r [→ e]− 5, 4

7.− ⊥

[¬e]− 6, 3

8.− ¬q [¬i ]− 4− 7Regla de copia (hyp.).• ` p → (q → p)

1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6


4.− q suposicion5.− q → r [→ e]− 1, 2

6.− r [→ e]− 5, 4

7.− ⊥

[¬e]− 6, 3


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6


4.− q suposicion5.− q → r [→ e]− 1, 26.− r [→ e]− 5, 47.− ⊥

[¬e]− 6, 3


1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4



• p → q, p → ¬q ` ¬p • p → (q → r), p,¬r ` ¬q



7.− ¬p [¬i ]− 3− 6




1.− p suposicion


4.− q → p [→ i ]− 2− 3

5.− p → (q → p) [→ i ]− 1− 4


Reglas derivadas

Hay reglas que pueden obtenerse a partir de otras. Se denominan reglas derivadas.

• Modus Tollens,φ→ ψ ¬ψ¬φ

, es una regla derivada, pues puede obtenerse

mediante las regla de eliminacion de la implicacion y las de introduccion yeliminacion de la negacion:

1.− φ→ ψ premisa2.− ¬ψ premisa

3.− φ suposicion4.− ψ [→ e]− 1, 35.− ⊥ [¬e]− 4, 2

6.− ¬φ [¬i ]− 3− 5

• Introduccion de la doble negacion,φ

¬¬φ, es tambien una regla derivada:

1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥ [¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion4.− ψ [→ e]− 1, 35.− ⊥ [¬e]− 4, 2

6.− ¬φ

[¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥ [¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion

4.− ψ [→ e]− 1, 3

5.− ⊥

[¬e]− 4, 2

6.− ¬φ

[¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥ [¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion

4.− ψ [→ e]− 1, 3

5.− ⊥

[¬e]− 4, 2

6.− ¬φ [¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥ [¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion4.− ψ [→ e]− 1, 35.− ⊥

[¬e]− 4, 2

6.− ¬φ [¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥ [¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion4.− ψ [→ e]− 1, 35.− ⊥ [¬e]− 4, 2

6.− ¬φ [¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥ [¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion4.− ψ [→ e]− 1, 35.− ⊥ [¬e]− 4, 2

6.− ¬φ [¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥ [¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ

[¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion4.− ψ [→ e]− 1, 35.− ⊥ [¬e]− 4, 2

6.− ¬φ [¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥

[¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ

[¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion4.− ψ [→ e]− 1, 35.− ⊥ [¬e]− 4, 2

6.− ¬φ [¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥

[¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3


Reglas derivadas






3.− φ suposicion4.− ψ [→ e]− 1, 35.− ⊥ [¬e]− 4, 2

6.− ¬φ [¬i ]− 3− 5



1.− φ premisa

2.− ¬φ suposicion3.− ⊥ [¬e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3


Otras reglas derivadas

Reduccion al Absurdo:

¬φ...⊥φ

[RAA]

Tercio excluso:φ ∨ ¬φ

[LEM]

Conjetura: ¬φ −→⊥ ` φ Conjetura: ` φ ∨ ¬φ

1.− ¬φ −→⊥ premisa

2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4

1− ¬(φ ∨ ¬φ) suposicion

2.− φ suposicion3.− φ ∨ ¬φ [∨i1]− 24.− ⊥ [¬e]− 3, 1

5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ

[RAA]


[LEM]

Conjetura: ¬φ −→⊥ ` φ

Conjetura: ` φ ∨ ¬φ


2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ

[RAA]


[LEM]




2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 3

5.− φ

[¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ

[RAA]


[LEM]




2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ

[¬i ]− 2− 3

5.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ

[RAA]


[LEM]




2− ¬φ suposicion3.− ⊥

[→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ

[¬i ]− 2− 3

5.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ

[RAA]


[LEM]




2− ¬φ suposicion3.− ⊥

[→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ

[RAA]


[LEM]




2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ

[RAA] Tercio excluso:φ ∨ ¬φ

[LEM]




2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ

[RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 5

7.− ⊥

[¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ

[RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 5

7.− ⊥

[¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 4

6.− φ ∨ ¬φ

[∨i2]− 5

7.− ⊥

[¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 4

6.− φ ∨ ¬φ

[∨i2]− 5

7.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ

[¬i ]− 2− 4

6.− φ ∨ ¬φ

[∨i2]− 5

7.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ

[¬i ]− 2− 4

6.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4


2.− φ suposicion

3.− φ ∨ ¬φ [∨i1]− 2

4.− ⊥

[¬e]− 3, 1

5.− ¬φ

[¬i ]− 2− 4

6.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4


2.− φ suposicion

3.− φ ∨ ¬φ [∨i1]− 2

4.− ⊥

[¬e]− 3, 1

5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4


2.− φ suposicion3.− φ ∨ ¬φ [∨i1]− 24.− ⊥

[¬e]− 3, 1

5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7




¬φ...⊥φ


[LEM]



2− ¬φ suposicion3.− ⊥ [→ e]− 1, 2

4.− ¬¬φ [¬i ]− 2− 35.− φ [¬¬e]− 4



5.− ¬φ [¬i ]− 2− 46.− φ ∨ ¬φ [∨i2]− 57.− ⊥ [¬e]− 6, 1

8.− φ ∨ ¬φ [RAA]− 1− 7


Correccion

Diremos que ψ es deducible (o demostrable) por deduccion natural a partirφ1, ..., φn, si existe una prueba de la conjetura φ1, ..., φn ` ψ.

En particular, si existe una prueba de ` ψ diremos que ψ es un teorema.

Teorema de correccion.Toda formula ψ obtenida por deduccion natural a partir de φ1, φ2, ..., φn es conse-cuencia logica de las mismas. Simbolicamente:Si φ1, φ2, ..., φn ` ψ entonces φ1, φ2, ..., φn |= ψ

La demostracion se realiza por induccion en la longitud de la prueba y teniendo encuenta el siguiente

Lema: Las reglas de la deduccion natural son correctas.

En efecto, es facil ver que,Para [∧i ]: φ1, φ2 |= φ1 ∧ φ2

Para [∧e1]: φ1 ∧ φ2 |= φ1

Para [→ i ]: Si φ1 |= φ2 entonces |= φ1 → φ2

Para [∨e]: φ ∨ ψ, φ→ χ, ψ → χ |= χ


Completitud

Podrıamos plantearnos el recıproco del teorema de correccion; es decir:

¿Si una formula es consecuencia logica de otras, sera deducible a partir de ellas?

La respuesta es afirmativa y se enuncia en el siguiente teorema

Teorema de completitud.

Toda formula proposicional que sea consecuencia logica de otras puede ser obtenidapor deduccion natural considerando estas ultimas como premisas de la conjetura.Simbolicamente:

Si φ1, φ2, ..., φn |= ψ entonces φ1, φ2, ..., φn ` ψ


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1

4.− φ→ ψ suposicion5.− ψ [→ e]− 4, 26.− ⊥ [¬e]− 3, 5

7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))

1.− q → r suposicion

2.− ¬q → ¬p suposicion

3.− p suposicion4.− ¬¬p [¬¬i ]− 35.− ¬¬q [M.T .]− 4, 26.− q [¬¬e]− 57.− r [→ e]− 6, 1

8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa

2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ)

[¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 1

3.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ)

[¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ)

[¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1

4.− φ→ ψ suposicion

5.− ψ [→ e]− 4, 2

6.− ⊥

[¬e]− 3, 5

7.− ¬(φ→ ψ)

[¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1

4.− φ→ ψ suposicion

5.− ψ [→ e]− 4, 2

6.− ⊥

[¬e]− 3, 5

7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6

• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1

4.− φ→ ψ suposicion5.− ψ [→ e]− 4, 26.− ⊥

[¬e]− 3, 5

7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6

• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6

• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))

[→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r)

[→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))

[→ i ]− 1− 9


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r)

[→ i ]− 2− 8

10.− (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r)) [→ i ]− 1− 9Antonio de J. Perez Jimenez (Departamento Ccia.) Tema 2 Deduccion Natural LI-07/08 15 / 16

Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r

[→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r)

[→ i ]− 2− 8


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r

[→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))



3.− p suposicion

4.− ¬¬p [¬¬i ]− 35.− ¬¬q [M.T .]− 4, 26.− q [¬¬e]− 5

7.− r

[→ e]− 6, 1

8.− p → r

[→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))



3.− p suposicion

4.− ¬¬p [¬¬i ]− 35.− ¬¬q [M.T .]− 4, 26.− q [¬¬e]− 5

7.− r

[→ e]− 6, 1

8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))



3.− p suposicion4.− ¬¬p [¬¬i ]− 3

5.− ¬¬q [M.T .]− 4, 26.− q [¬¬e]− 5

7.− r

[→ e]− 6, 1

8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




6.− q [¬¬e]− 5

7.− r

[→ e]− 6, 1

8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))



3.− p suposicion4.− ¬¬p [¬¬i ]− 35.− ¬¬q [M.T .]− 4, 26.− q [¬¬e]− 57.− r

[→ e]− 6, 1

8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8


Otros ejemplos

• φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ→ ψ)

1.− φ ∧ ¬ψ premisa2.− φ [∧e1]− 13.− ¬ψ [∧e2]− 1


7.− ¬(φ→ ψ) [¬i ]− 4− 6• ` (q → r)→ ((¬q → ¬p)→ (p → r))




8.− p → r [→ i ]− 3− 7

9.− (¬q → ¬p)→ (p → r) [→ i ]− 2− 8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q1.− p ∨ (q ∨ r) premisa

2.− p suposicion3.− p ∨ q [∨i1]− 24.− (p ∨ q) ∨ r [∨i1]− 3

5.− q ∨ r suposicion

6.− q suposicion7.− p ∨ q [∨i2]− 68.− (p ∨ q) ∨ r [∨i1]− 7

9.− r suposicion10.− (p ∨ q) ∨ r [∨i2]− 9

11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11

1.− p ∧ ¬q → r premisa2.− ¬r premisa3.− p premisa

4.− ¬q suposicion5.− p ∧ ¬q [∧i ]− 3, 46.− r [→ e]− 1, 57.− ⊥ [¬e]− 6, 2

8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q

1.− p ∨ (q ∨ r) premisa





11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r

[∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q


2.− p suposicion

3.− p ∨ q [∨i1]− 2

4.− (p ∨ q) ∨ r

[∨i1]− 3




11.− (p ∨ q) ∨ r

[∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r

[∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q


2.− p suposicion

3.− p ∨ q [∨i1]− 2

4.− (p ∨ q) ∨ r

[∨i1]− 3




11.− (p ∨ q) ∨ r

[∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q


2.− p suposicion3.− p ∨ q [∨i1]− 24.− (p ∨ q) ∨ r

[∨i1]− 3




11.− (p ∨ q) ∨ r

[∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q






11.− (p ∨ q) ∨ r

[∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q




6.− q suposicion

7.− p ∨ q [∨i2]− 6

8.− (p ∨ q) ∨ r

[∨i1]− 7

9.− r suposicion10.− (p ∨ q) ∨ r

[∨i2]− 9

11.− (p ∨ q) ∨ r

[∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q




6.− q suposicion

7.− p ∨ q [∨i2]− 6

8.− (p ∨ q) ∨ r

[∨i1]− 7


[∨i2]− 9

11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q




6.− q suposicion7.− p ∨ q [∨i2]− 68.− (p ∨ q) ∨ r

[∨i1]− 7


[∨i2]− 9

11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q






[∨i2]− 9

11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

• p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos

• p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r • p ∧ ¬q → r , ¬r , p ` q1.− p ∨ (q ∨ r) premisa





11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 7

9.− q

[¬¬e]8


Mas ejemplos






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q

[¬i ]− 4− 7

9.− q

[¬¬e]8


Mas ejemplos






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q

[¬i ]− 4− 7

9.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11


4.− ¬q suposicion

5.− p ∧ ¬q [∧i ]− 3, 46.− r [→ e]− 1, 5

7.− ⊥

[¬e]− 6, 2

8.− ¬¬q

[¬i ]− 4− 7

9.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11


4.− ¬q suposicion

5.− p ∧ ¬q [∧i ]− 3, 46.− r [→ e]− 1, 5

7.− ⊥

[¬e]− 6, 2

8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11


4.− ¬q suposicion5.− p ∧ ¬q [∧i ]− 3, 4

6.− r [→ e]− 1, 5

7.− ⊥

[¬e]− 6, 2

8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11


4.− ¬q suposicion5.− p ∧ ¬q [∧i ]− 3, 46.− r [→ e]− 1, 57.− ⊥

[¬e]− 6, 2

8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


Mas ejemplos






11.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]5, 6− 8, 9− 10

12.− (p ∨ q) ∨ r [∨e]1, 2− 4, 5− 11



8.− ¬¬q [¬i ]− 4− 79.− q [¬¬e]8


tema 2 deducci on natural · introducci on modus ponens argumentos como: si tengo ebre entonces...

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