Tema 2Circuitos resistivos simplesVersión imprimible del tema 2. Rafael Gómez Alcalá, Escuela Politécnica, Universidadde Extremadura

2.1

Índice

1. Conexión serie y paralelo 2-2

2. Divisor de tensión 2-3

3. Divisor de corriente 2-6

4. Divisor generalizado 2-7

5. El puente de Wheatstone 2-10

6. Circuitos equivalentes Delta-Estrella (Pi a T) 2-10

2-1

1. Conexión serie y paralelo

Serie

R1 R2 R3 Rn

Req =

= ∑nk=1 Rk

Req

2.2

Paralelo

R1 R2 R3 Rn ReqReq

1Req

= ∑nk=1

1Rk

2.3

2-2

2. Divisor de tensión

Circuito divisorA veces es necesario desarrollar más de un nivel de tensión a partir de un solo suministro de

tensión. Una forma de hacerlo es a través del circuito divisor de tensión.

+

−vs

R1

R2

v1

v2

Analizamos este circuito aplicando la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff y, para ayudarnos, seintroduce la corriente “i”. 2.4

+

−vs

R1

R2

v1

v2

i

Según la ley de corriente de Kirchhoff, R1 y R2 conducen la misma corriente y, aplicando la leyde la tensión de Kirchhoff alrededor del lazo cerrado, produce:

vs = iR1 + iR2 (2.1)

o bien,i =

vs

R1 +R2(2.2)

2-3

Utilizamos la ley de Ohm para calcular v1 y v2:

v1 = iR1 = vsR1

R1 +R2(2.3)

v2 = iR2 = vsR2

R1 +R2(2.4)

En estas ecuaciones podemos ver que:

v1 y v2 son fracciones de vs.Cada tensión es proporcional al cociente de la resistencia donde se define la tensión y lasuma de las dos resistencias.Esta proporción siempre es menor que 1.Por tanto, las tensiones v1 y v2 siempre serán menores que la tensión de la fuente vs.

Diseño del divisorSi deseamos un valor particular de v2, y se especifica vs,un número infinito de combinacines

de R1 y R2 producen la relación apropiada. Otros factores que intervienen el la selección de R1 yR2 son: Factores que intervienen en el diseño:

Las pérdidas de potencia.Los efectos de conectar el circuito divisor de tensión a otros componentes del circuito.

2.5

Divisor con cargaVeamos la conexión de una resistencia RL en paralelo con R2:

+

− +

-

vs

R1

R2RLv0

Carga de un circuito: Consiste en uno o más elementos de circuito que consumen potenciadel mismo.

La resistencia RL actúa como una carga en el circuito divisor de tensión. 2.6

Expresión de la tensiónCon la carga RL conectada, la tensión de salida será:

v0 =Rec

R1 +Recvs (2.5)

donde,

Rec =R2RL

R2 +RL(2.6)

Si sustituimos una ecuación en la otra, nos queda:

v0 =R2

R1[1+(R2/RL)]+R2vs (2.7)

2.7

CaracterísticasLas características del circuito divisor de tensión son:

Si RL tiende a ∞, entonces la ecuación queda reducida a:

v0 = vsR2

R1 +R2(2.8)

La ecuación de la tensión nos muestra que siempre que RL >> R2, la relación de v0/vs nose altera al añadir la carga en el divisor.

2-4

Este circuito divisor de tensión es sensible a las tolerancias de las resistencias.Se entiende por tolerancia un intervalo de valores posibles.

2.8

2-5

3. Divisor de corriente

Circuito divisor de corriente

is R1 R2

i1 i2

v

Este circuito consiste en dos resistencias conectadas en paralelo en los extremos de una fuentede corriente. Se diseña para dividir la corriente is entre R1 y R2. La relación de is con i1 e i2,se establece mediante la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff. El tensión entre los extremos enparalelo es:

v = i1R1 = i2R2 =R1R2

R1 +R2is (3.1)

2.9

Si despejamos i1 o i2 en la ecuación anterior, queda:

i1 =R2

R1 +R2is (3.2)

i2 =R1

R1 +R2is (3.3)

Las ecuaciones anteriores muestran que la corriente se divide entre dos resistencias en paralelo,de tal modo que la corriente en una resistencia es igual a la corriente que entra en el par enparalelo, multiplicada por la otra resistencia y dividida por la suma de las resistencias. 2.10

2-6

4. Divisor generalizado

Divisor de tensiónEn algunas ocasiones no existen dos resistencias en serie formando un divisor de tensión co-

mo los que se han analizado antes. En general, la conexión puede ser de n resistencias. Entoncesse trata de un divisor de tensión generalizado:

Circuito

R1 R2

Rn

Rk vkvs i

Utilizando la ley de las tensiones de Kirchhoff, se puede obtener que la tensión vs es:

vs = iR1 + iR2 + ...+ iRk + ...+ iRn (4.1)

i =vs

∑nk=1 Rk

; Req =n

∑k=1

Rk (4.2)

vk = vsRk

∑nk=1 Rk

= vsRk

Req(4.3)

Y despejando la corriente i se calcula fácilmente la tensión en la resistencia genérica Rk. 2.11

Divisor de corrienteDe forma paralela al desarrollo para el divisor de tensión generalizado, también se puede

generalizar el cálculo del reparto de corriente en un divisor de corriente generalizado. Para esto,basta con considerar en el siguiente circuito la corriente de la rama k, ik:

2-7

v R1 R2 R3 Rk Rn

Circuito

i

ik

1Req

=n

∑k=1

; v = iReq (4.4)

ik =v

Rk= i

Req

Rk(4.5)

A partir de la resistencia equivalente Req se puede determinar la corriente en cualquier rama. 2.12

2-8

2-9

5. El puente de Wheatstone

Circuito del puente

-

+v

R1

R3

R2

v

R1

RxRx

R3

R2

+

-

I

I

Este circuito se utiliza para medir con precisión resistencias de valor medio, es decir, en el in-tervalo de 1Ω a 1MΩ. Se compone de 4 resistencias, una fuente de tensión y un medidor decorriente. Una de las resistencias puede variar su valor, lo que se indica por medio de la flechaque atraviesa R3. La fuente de tensión puede ser una pila. El medidor de corriente funciona en elintervalo de microamperios (galvanómetro o medidor digital). Para determinar Rx, ajustamos R3para que no haya corriente en el medidor. Aplicando las leyes de Kirchhoff se obtiene que:

Rx =R2

R1R3 (5.1)

2.13

DemostraciónVolvemos a mostrar el circuito con todas las corrientes.

a b-

+v

ig

RxR3

R1 R2

i1 i2

ixi3

Si ig = 0, (en equilibrio), la LTK requiere que:

i1 = i3, i2 = ix (5.2)

Entonces no hay caída de tensión en el medidor y los nudos a y b están al mismo potencial.2.14

En equilibrio, la LTK impone:

i3R3 = ixRx i1R1 = i2R2 (5.3)

Si combinamos ambas ecuaciones tenemos:

i1R3 = i2Rx (5.4)

Si dividimos la ecuación anterior entre:

i1R1 = i2R2 (5.5)

la expresión resultante será:

R3

R1=

Rx

R2→ Rx =

R2

R1R3 (5.6)

2.15

6. Circuitos equivalentes Delta-Estrella (Pi a T)

A veces nos encontramos con circuitos que no tienen resistencias conectadas en serie o enparalelo. Para poder simplificar estas conexiones se emplean las equivalencias entre circuitosDelta-Estrella. Por la forma de las conexiones, también se conocen como circuitos en Pi y en T.

2-10

Circuito equivalente

-

+v

R1

R3

Rm

R2

Rx

En este circuito hemos sustituido el medidor por Rm. Las resistencias interconectadas puedenreducirse a una única resistencia a través de un circuito equivalente delta-estrella (∆−Y ) o pi-T(π −T ). Las resistencias R1, R2 y Rm o (R3,Rm y Rx) se conocen como una interconexión ∆.También se le conoce como interconexión pi debido a que a la delta se le puede dar la forma deπ , sin perturbar la equivalencia eléctrica de las dos configuraciones. 2.16

La equivalencia eléctrica entre las interconexiones ∆ y π es la siguiente:

a b

c

a

c

bRc

Rb Ra Rb

Rc

Ra

Las resistencias R1, Rm y R3 o (R2,Rm,Rx) del circuito inicial se conocen como una interconexiónen estrella (Y), debido a que se le puede dar una forma similar a la letra Y:

a b

c

R1 R2

R3

2.17

Esta interconexión también se llama interconexión ( T ) ya que se le puede dar esa forma sinperturbar la equivalencia eléctrica entre las dos estructuras.

a b

c

R1 R2

R3

2.18

Transformación del circuito

a b

c

a b

c

Rc

RaRb

R1 R2

R3

Estos dos circuitos muestran la transformación equivalente ∆-Y o (π-T). No es posible transfor-mar un circuito en otro con solo cambiar la forma de las interconexiones. El circuito conectadoen ∆ es equivalente al circuito conectado en Y: significa que la configuración ∆ puede sustituirsepor una tipo Y para hacer idéntico el comportamiento en las terminales de las dos configuracio-nes. Si cada circuito se pone en una caja negra, no podemos decir a través de mediciones externassi la caja mantiene un conjunto de resistencias conectadas en ∆ o Y. 2.19

2-11

Por tanto, esta condición sólo se cumple si la resistencia entre los pares de terminales corres-pondientes es la misma para cada caja. Como ejemplo podemos decir que la resistencia entre lasterminales a y b debe ser la misma tanto si usamos el conjunto conectado en ∆ como en Y. Encada par de terminales en el circuito conectado en ∆, la resistencia equivalente puede calcularseusando simplificaciones en serie y paralelo para obtener:

Rab =Rc(Ra +Rb)

Ra +Rb +Rc= R1 +R2 (6.1)

Rbc =Ra(Rb +Rc)

Ra +Rb +Rc= R2 +R3 (6.2)

Rca =Rb(Rc +Ra)

Ra +Rb +Rc= R1 +R3 (6.3)

2.20

De las ecuaciones anteriores podemos deducir:

R1 =RbRc

Ra +Rb +Rc(6.4)

R2 =RcRa

Ra +Rb +Rc(6.5)

R3 =RaRb

Ra +Rb +Rc(6.6)

En estas ecuaciones calculamos el valor de las resistencias conectadas en Y en términos de lasconectadas en ∆. 2.21

También podemos calcular el valor de las resistencias conectadas en ∆ en términos de lasconectadas en Y, con lo que queda:

Ra =R1R2 +R2R3 +R3R1

R1(6.7)

Rb =R1R2 +R2R3 +R3R1

R2(6.8)

Rc =R1R2 +R2R3 +R3R1

R3(6.9)

2.22

2-12

2-13