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TEMA 11 ¿Cuántos minutos son?
a) de hora b) de hora c) de hora
a) de hora = 50 min b) de hora = 15 min c) de hora = 48 min
2 ¿Qué fracción de hora son?
a) 5 minutos b)24 minutos c) 360 segundos
a) 5 min = de h = de hora
b) 24 min = de h = de hora
c) 360 s = de h = de hora
Fr a c c i o n e s y d e c i m a l e s
3 Expresa en forma decimal.
a) b) c)
d) e) f )
a) = 3,5 b) = 0,54 c) = 0,104
d) = 1,1)
6 e) = 0,)
4 f ) = 0,)
45
4 Pasa a forma fraccionaria.
a) 1,1 b)0,13 c) 0,008
d)0,)
8 e) 1,)
8 f ) 2,)
8
g) 0,)
24 h)0,0)
2 i) 0,1)
3
a) 1,1 = b) 0,13 = c) 0,008 =
d) 0,)
8 = e) 1,)
8 = f ) 2,)
8 =
g) 0,)
24 = h) 0,0)
2 = i) 0,1)
3 = 215
145
2499
269
179
89
81 000
13100
1110
511
49
76
13125
2750
72
511
49
76
13125
2750
72
110
3603 600
25
2460
112
560
45
312
56
45
312
56
Eq u i v a l e n c i a d e f r a c c i o n e s
5 Escribe:
a) Una fracción equivalente a 4/10 que tenga por numerador 6.
b)Una fracción equivalente a 15/45 que tenga por denominador 12.
c) Una fracción que sea equivalente a 35/45 y tenga por numerador 91.
a) , ya que = =
b) , ya que = =
c) , ya que = =
6 Calcula x en cada caso:
a) = b) = c) = d) =
a) = 8 x = 55 b) = 8 x = 15
c) = 8 x = 117 d) = 8 x = 42
7 Reduce a común denominador.
a) 1, , , b) , , ,
a) 1, , , 8 , , , b) , , , 8 , , ,
8 Ordena de menor a mayor.
a) ; 0,6; ; ; 1,)
1 b) ; ; ;
a) 0,6 < < 1,)
1 < <
ya que 0,6 < 0,9 = < 1,1 < 1,4 = < 1,5 =
b) < < <
ya que = ; = ; = ; = 4530
32
3530
76
2030
23
1830
35
32
76
23
35
)32()7
5()910(
32
75
910
76
32
35
23
75
32
910
430
530
630
1030
215
16
15
13
1424
924
2024
2424
712
38
56
215
16
15
13
712
38
56
91169
x
781199
13x
x
352149
15x
622
91169
x
781199
13x
x
352149
15x
622
79
13 · 713 · 9
91117
91117
13
4 · 14 · 3
412
412
25
3 · 23 · 5
615
615
Su m a y r e s t a d e f r a c c i o n e s
9 Calcula mentalmente.
a) 1 – b)1 + c) –
d)1 – e) 1 + f ) –
g) – h) – i) +
a) 1 – = b) 1 + = c) – =
d) 1 – = e) 1 + = f ) – =
g) – = h) – = i) + =
10 Calcula y simplifica.
a) – + b) + –
c) – + d) – 2 + –
a) – + = = b) + – = =
c) – + = = d) – 2 + – = = 0
11 Calcula y simplifica.
a) – + – b) – + –
c) – + – d) – – +
e) – – – f ) – + –
a) – + – = = =
b) – + – = = – = –
c) – + – = = – = – 512
50120
51 – 44 + 78 – 135120
98
1320
1130
1740
132
396
39 – 20 + 34 – 5696
712
1748
524
1332
124
372
22 – 30 + 32 – 2172
724
49
512
1136
25117
2378
526
2378
215
427
15
23
1112
1322
3166
2144
98
1320
1130
1740
712
1748
524
1332
724
49
512
1136
06
56
32
43
19
218
12
59
16
25
615
215
15
13
25
410
110
15
12
56
32
43
12
59
16
215
15
13
110
15
12
38
18
14
18
18
14
16
13
12
16
16
13
43
13
23
13
110
110
15
1110
110
910
110
18
14
18
14
13
12
16
13
13
13
110
15
110
110
d) – – + = = =
e) – – – = = =
f ) – + – = =
12 Opera.
a) 2 – 1 + b) 1 – – 2 –
c) – – – d) 3 – – – + –
e) – 2 – – f ) 3 – – – 2 – +
g) – – – – –
h) – – + – + –
a) 2 – 1 + = 2 – = =
b) 1 – – 2 – = – = – = – = –
c) – – – = – = – = =
d) 3 – – – + – = – + = = =
e) – 2 – – = – 2 – = – 2 + = = =
f ) 3 – – – 2 – + = 3 – – 2 – = – = =
g) – – – – – = – – – = – =
= = =
h) – – + – + – = – – – + =
= – – = + – = = 1130
2260
930
560
712
930
–560
712
]–830
1730[]11
151320[7
12])2330
12(17
30[])815
15(13
20[712
2330
92120
135 – 43120
43120
2724]1
2425[]5
2443[])5
678(2
5[])16
38(4
3[
1724
58 – 4124
4124
2912]7
24[]712[])1
816([])1
634([
13
26
7 – 12 + 76
76
76]7
6[76])1
332([7
6
3415
13660
160 – 9 – 1560
–520
320
83)7
201
10()35
34()1
3(
1321
8 + 521
–521
821
9 – 1421
15 – 721)2
337()1
357(
12
24
34
14
8 – 54
4 – 34)5
4()34(
25
10 – 85
85)3
5(])23
3012(17
30[])815
15(13
20[712
])56
78(2
5[])16
38(4
3[])1
816([])1
634([])1
332([7
6
)720
110()3
534()1
3()23
37()1
357(
)54()3
4()35(
43234
69 – 45 + 69 – 50234
25117
2378
526
2378
527
25135
90 – 27 – 20 – 18135
215
427
15
23
13
44132
63 – 62 – 78 + 121132
1112
1322
3166
2144
Multiplicación y división de fracciones
13 Calcula y simplifica.
a) · 14 b) : 4 c) ·
d) : e) · f ) :
g) · h) : i) :
a) · 14 = b) : 4 = = c) · = – = –2
d) : = – e) · = = f ) : = =
g) · = = h) : = =
i) : =
14 Calcula y reduce.
a) b) c) d)
a) = 1 : = 6 b) = 6 : = = 9
c) = : = = d) = : = =
15 Opera y reduce.
a) · 3 · b) : 5 :
c) · : d) : ·
a) · 3 · = = 2 b) : 5 : = : = = 13
70210
10510
72)10
21(72
330165)22
15(511
49)14
15720()20
131526(8
9
)1021(7
2)2215(5
11
310
620
43
25
2—5
4—3
12
510
15
110
1—10
1—5
182
23
6
2—3
16
1
1—6
2—5
4—3
1—10
1—5
6
2—3
1
1—6
27224
28(–9)
–38
–45
–528660
1211
(–48)55
–1130
–3961 260
(–77)36
635
23
2030
25
415
310
1860
920
23
35
(–5)11
311
42
4(–7)
72
110
220
25
427
37
28(–9)
–38
1211
(–48)55
(–77)36
635
25
415
920
23
(–5)11
311
4(–7)
72
25
37
c) · : = · = =
d) : · = · = =
Operaciones combinadas
16 Calcula.
a) 7 – 6 · b)3 · – c) – ·
d) · – e) · – f ) · –
a) 7 – 6 · = 7 – 2 = 5 b) 3 · – = – = =
c) – · = – = = d) · – = – =
e) · – = – = 0 f ) · – = · = =
17 Calcula y compara los resultados de los cuatro apartados.
a) · – · b) · – ·
c) · – · d) · – ·
a) · – · = – =
b) · – · = · · = =
c) · – · = – · = · =
d) · – · = · – = · =
Los resultados son diferentes. La situación de los paréntesis altera el resultado de laoperación.
18 Opera y reduce.
a) 1 – · 2 – b) 1 – : 1 +
c) – · 1 + d) – : + )25
14()1
235()2
3()35
23(
)18()1
4()35()5
7(
2948
2924
12)3
2443(1
2)34
16
43(1
2
38
34
36
34)1
646(3
4)16
43
12(
716
2148
34
76
12
34)1
643(1
2
1324
324
46
34
16
43
12
)34
16
43(1
234)1
643
12(
34)1
643(1
234
16
43
12
110
660
215
34)2
58
15(34
25
2460
25
815
34
421
27
1021
27
57
23
58
1524
1524
54
56
34
54
910
1820
320
2120
320
720
13
)25
815(3
425
815
34
27
57
23
56
34
54
320
720
13
16
4202 520
49
105280
49)14
157
20(
13
1 5604 680
195520
89)20
131526(8
9
e) – – · + f ) 1 + – : –
g) – – + · h) – + – :
a) 1 – · 2 – = · = =
b) 1 – : 1 + = : = =
c) – · 1 + = · = =
d) – : + = : = =
e) – – · + = – · = + = =
f ) 1 + – : – = 1 + : = 1 – = =
g) – – + · = – · = – = =
h) – + – : = – + : = – + = = =
18 Opera paso a paso.
a) 4 · 1 – – : 3 b) – : 7 + · 2
c) 5 · + – 2 : d) + · – – : –
e) 1 – · – – · 1 + f ) – – : – 1 : –
a) 4 · 1 – – : 3 = 4 · – : 3 = – : 3 = 3 : 3 = 1
b) – : 7 + · 2 = : 7 + · 2 = + · 2 = · 2 = 1
c) 5 · + – 2 : = 5 · – 2 : = – 2 : = : = 132
32
32]7
2[32]7
10[32])2
53
10([
12]1
316[]1
376[]1
3)12
53([
]12
72[]1
278[]1
2)18([
)314
12(])3
10()25
14(2
7[])37()2
534(2
3[)25(
])14
23()3
456(3
5[)12
13(3
2])25
310([
]13)1
253([]1
2)18([
512
175420
–35 + 210420
70140
112
710
720
112
710)2
534()1
314(
18
1651 320
3388
1530
311
118
1530
311)5
834()3
157
10(
37
45105
60105)–3
20()335()2
514()1
527(
23
440660
55220
512)11
10()–522(5
12)710
25()1
2311(5
12
213
20130
1320
110)2
514()1
235(
19
545
53
115)2
3()35
23(
23
2436
98
34)1
8()14(
25
1435
75
27)3
5()57(
710)2
534()1
314(3
11)58
34()3
15710(
)25
14()1
527()7
1025()1
2311(5
12
d) + · – – : – = · – : = · – =
= · =
e) 1 – · – – · 1 + = · – · = · – =
= · =
f ) – – : – 1 : – = – : : =
= – : = : =
20 Opera y reduce.
a) b) c) d)
a) = = : = 2
b) = = : = =
c) = = =
d) = = = : = 43
14
13
1—3
1—4
1 1— : —15 5
7 7— : —12 3
2 1 1(— – —) : —5 3 5
5 2 7(— – —) : —4 3 3
12
1/21
5 3— · —6 5
3 4— · —4 3
1 1 3(— + —) —2 3 5
1 1 4(— + —) —2 4 3
110
660
56
112
1—12
5—6
1 1— – —3 4
11 – —
6
720
710
7—10
7—20
31 – —
10
3 2— – —4 5
2 1 1(— – —) : —5 3 5
5 2 7(— – —) : —4 3 3
1 1 3(— + —) —2 3 5
1 1 4(— + —) —2 4 3
1 1— – —3 4
11 – —
6
31 – —
10
3 2— – —4 5
14
414
114
414]3
1427[
414])–7
10()–320(2
7[)314
12(])3
10()25
14(2
7[
110
16
35
]12
23[3
5]107
720
23[3
5])37()2
534(2
3[)25(
13
25
56
]155[6])12()12(5[6])1
43()346(5[)1
23(
21
Potencias y fracciones
Calcula el valor de estas potencias, entregando el resultado en forma de fracción o, si es el caso, de número entero:
a)2
b)2
c)0
d)–1
e)–2
f )–1
a)2
= = b)2
= = c)0
= 1
d)–1
= e)–2
= 32 = 9 f )–1
= 10
22 Calcula.
a) 2–2 b)(–2)–2
c)–2
d) ––2
e) 2–3 f ) (–2)–3
g)–3
h) ––3
a) 2–2 = = b) (–2)–2 = =
c)–2
= 22 = 4 d) ––2
= (–2)2 = 4
e) 2–3 = = f ) (–2)–3 = = –
g)–3
= 23 = 8 h) ––3
= (–2)3 = –8
23 Expresa sin usar potencias negativas.
a) x–2 b)x–3 c) x–4
d) e) f )
a) x–2 = b) x–3 = c) x–4 =
d) = x2 e) = x3 f ) = x31
x–4
1
x–3
1
x–2
1
x4
1
x3
1
x2
1
x–4
1
x–3
1
x–2
)12()1
2(
18
1
(–2)3
18
1
23
)12()1
2(
14
1
(–2)2
14
1
22
)12()1
2(
)12()1
2(
)110()1
3(43)3
4()3
4(116
1
42)14(1
41
22)12(
)110()1
3()34(
)34()1
4()12(
P
24 Reduce a una potencia única.
a) a5 · a2 b)a · a2 · a3 c) x5 · x–3
d)x–2 · x5 e) a2 · f ) · a–3
g) x3 · x–2 · x h)x–2 · x–2 · x–2 i)
j) k) l)
a) a5 · a2 = a7 b) a · a2 · a3 = a6 c) x5 · x–3 = x2
d) x–2 · x5 = x3 e) a2 · = a2 · a2 = a4 f ) · a–3 = a2 · a–3 = a–1
g) x3 · x–2 · x = x2 h) x–2 · x–2 · x–2 = x–6 i) = = a2
j) = = a–3 k) = = x l) = = x
25 Simplifica.
a) x3 ·5
b)x3 :5
c)4
· b4
d)3
: a3 e) (a2)3 ·7
f )3
:3
a) x3 ·5
= = x–2 b) x3 :5
= x3 · x5 = x8
c)4
· b4 = = a4 d)3
: a3 = = b–3
e) (a2)3 ·7
= = a–1 f )3
:3
= : = = a3
26 Escribe con todas sus cifras estas cantidades:
a) 37 · 107 b)64 · 1011
c) 3,5 · 1013 d)26 · 10–5
e) 5 · 10–7 f ) 2,3 · 10–8
a) 37 · 107 = 370 000 000 b) 64 · 1011 = 6 400 000 000 000
c) 3,5 · 1013 = 35 000 000 000 000 d) 26 · 10–5 = 0,00026
e) 5 · 10–7 = 0,0000005 f ) 2,3 · 10–8 = 0,000000023
a9
a6
1
a9
1
a6)1
a3()1
a2(a6
a7)1a(
a3
b3 · a3)a
b(a4 · b4
b4)a
b()1
x(x3
x5)1x(
)1
a3()1
a2()1a()a
b()a
b()1x()1
x(
x–1
x–2
x–1
x2 · x–4
x–2
x–3
x2 · x–4
x–3
a5
a8
a · a4
a3 · a5
a7
a5
a3 · a4
a5
1
a–2
1
a–2
x–1
x2 · x–4
x2 · x–4
x – 3
a · a4
a3 · a5
a3 · a4
a5
1
a–2
1
a–2
27 Expresa en forma abreviada como se ha hecho en los ejemplos.
• 5 300 000 000 = 53 · 108
• 0,00013 = 13 · 10–5
a) 8 400 000 b)61 000 000 000
c) 0,0007 d)0,00000025
a) 8 400 000 = 84 · 105 b) 61 000 000 000 = 61 · 109
c) 0,0007 = 7 · 10–4 d) 0,00000025 = 25 · 10–8
28Problemas con números fraccionarios
Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1 700 mi-llas. ¿Cuántas millas le faltan todavía por recorrer?
Le faltan por recorrer 1 190 millas.
• Recorridas: 8 Faltan: de 1 700 = = 1 190 millas.
29 Por tres cuartos de kilo de cerezas hemos pagado 1,80 €. ¿A cómo está elkilo?
El kilo de cerezas está a 2,40 €.
• de kg son 1,80 € 8 de kg son = 0,60 €
• 1 kg = de kg son 4 · 0,60 = 2,40 €
30 Julio ha contestado correctamente a 35 preguntas de un test, lo que su-pone 7/12 del total. ¿Cuántas preguntas tenía el test?
El test tiene 60 preguntas.
• son 35 preguntas 8 son = 5 preguntas.
• El total son 8 12 · 5 = 60 preguntas.
31 Amelia ha gastado 3/8 de sus ahorros en la compra de un teléfono móvilque le ha costado 90 €. ¿Cuánto dinero le queda todavía?
Le quedan 150 €.
• son 90 € 8 son = 30 €
• Le quedan , que son 5 · 30 € = 150 €58
903
18
38
1212
357
112
712
44
1,803
14
34
7 · 1 70010
710
310
32 Durante un apagón de luz, se consumen tres décimas partes de una velade cera. Si el cabo restante mide 21 cm, ¿cuál era la longitud total de la vela?
La longitud de la vela era de 30 cm.
• Consume 8 quedan , que son 21 cm.
• es = 3 cm, y el total es 8 10 · 3 = 30 cm
33 El muelle de un resorte alcanza, estirado, 5/3 de su longitud inicial. Si es-tirado mide 4,5 cm, ¿cuánto mide en reposo?
El resorte en reposo mide 2,7 cm.
• de la longitud son 4,5 cm 8 es = 0,9 cm
• El total, , es 3 · 0,9 = 2,7 cm
34 La tercera parte de los 240 viajeros que ocupan un avión son europeos, y2/5, africanos. El resto son americanos. ¿Cuántos americanos viajan en el avión?
Viajan 64 americanos.
• Europeos y africanos: + = de 240 pasajeros.
• El resto serán de 240 8 · 240 = 64 americanos.
35 Bernardo tiene 1 500 € en su cuenta y gasta 2/5 en una cadena musical yla cuarta parte de lo que le queda en una colección de discos. ¿Qué fracción lequeda del dinero que tenía? ¿Cuánto le queda?
Le queda del dinero, que son 675 €.
1— del resto, discos 4
2— cadena 5
9 9Quedan — de 1500 8 — · 1500 = 675 €
20 20
920
415
415
1115
25
13
33
4,55
13
53
1010
217
110
710
310
36 Un granjero tiene a finales de mayo unas reservas de 2 800 kg de piensopara alimentar a su ganado. En junio gasta 3/7 de sus existencias, y en julio, 3/4de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilos de pienso tiene a primeros de agosto?
Tiene 400 kg de pienso.
37 Dos problemas similares.
a) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumido 3 kg. ¿Qué fracciónqueda del contenido original?
b)De un tambor de detergente de 5 kg se han consumidos dos kilos y tres cuar-tos. ¿Qué fracción queda del contenido original?
a) Quedan del tambor.
b) Quedan del tambor.
2 kg
9Quedan — del total
20
3 3— de kg 8 Gasta 2 y — kg 4 4
920
5 kg
2Quedan — del total
53
Gasta 3 kg, — del total5
25
3— resto 4
3— Julio 7
4 1 1Quedan — = — del total 8 — · 2800 = 400 kg
28 7 7
38 Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos fras-cos se pueden llenar con un bidón que contiene tres litros y medio?
Se pueden llenar 70 frascos.
• 3,5 l = 3 + l = l en el bidón.
• : = 70 8 70 frascos.
39 Una empresa comercializa jabón líquido en envases de plástico con unacapacidad de 3/5 de litro. ¿Cuántos litros de jabón se necesitan para llenar 100envases?
Se necesitan 60 l.
• (100 envases) · l cada envase = = 60 l
40 La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha llena-do seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro?
Cada tarro contiene de kg.
• 2 kg y cuarto 8 2 + kg = kg
• kg : (6 tarros) = = de kg cada tarro.
41 Virginia recibe el regalo de un paquete de discos. En la primera semanaescucha 2/5 de los discos, y en la segunda, 4/5 del resto. Si aún le quedan tressin escuchar, ¿cuántos discos había en el paquete?
Había 25 discos.
42.ª semana: — del resto
5
38 Quedan —, que son 3 discos 8 Había 25 discos
25
21.ª semana: — del total
5
38
94 · 6)9
4(
94)1
4(
38
100 · 35)3
5(
120
72
72)1
2(
42 Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales; el martes, 3/5 del resto, yel miércoles finaliza el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosalestiene en total en el jardín?
El jardín tiene 70 rosales.
8 total, ; que son 35 · 2 = 70 rosales.
43 Una familia gasta 2/5 de su presupuesto en vivienda y 1/3 en comida.Cubiertos estos gastos, aún le quedan 400 € cada mes. ¿A cuánto ascienden susingresos mensuales?
Los ingresos mensuales son de 1 500 €.
• Vivienda y comida: + =
• Quedan 1 – = , que son 400 € 8 serán = 100 €
• El total, , son 15 · 100 = 1 500 €.
44 Una amiga me pidió que le pasase un escrito al ordenador. El primer díapasé 1/4 del trabajo total; el segundo, 1/3 de lo restante; el tercero, 1/6 de loque faltaba, y el cuarto lo concluí, pasando 30 folios. ¿Puedes averiguar cuán-tos folios tenía el escrito?
El escrito tenía 72 folios.
308 Quedan 30 folios, — = 6 folios cada cuadro 8
5
8 Total = 6 · 12 = 72 folios
11.er día, — 6
4
12.º día, — del resto
3
18 3.er día, — del resto
66 6
6 6 6
1515
4004
115
415
1115
1115
13
25
3535
3Martes, — del resto
5
10 1 20Miércoles, —; que son 20 rosales 8 — serán — = 2 rosales
35 35 10
2Lunes, —
7
45
Otros problemas
María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se en-cuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana. Después, pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le que-daban más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francisco y vuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media.
Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque se ha queda-do sin nada.
¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partió ninguna?
Cogió 7 manzanas.
Comprobamos:
• Sara recibe: 7 + = 4 manzanas 8 sobran 3
• Rosa recibe: 3 + = 2 manzanas 8 sobra 1
• Francisco recibe: 1 + = 1 manzana 8 sobra 0
46 En el baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tresquintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando?
No bailan de los asistentes.
(*) Teniendo en cuenta que el n.° de hombres y mujeres que baila ha de ser igual, yaque bailan por parejas.
6— del total bailan 9
3 1— = — del total no bailan 9 3
HOMBRES
BAILAN (*)
MUJERES
3— de hombres bailan 4
3— de mujeres bailan 5
13
12
12
12
12
12
12
°§§§§¢§§§§£
46 Un arriero tiene en su cuadra una mula, un burro y un caballo. Cuandolleva a trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en elcaballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, pone 3/5 de la cargaen el caballo y 2/5 en el burro.
¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva los tres animales y tiene que transpor-tar una carga de 190 kg?
La mula llevará 90 kg, el burro, 40 kg, y el caballo, 60 kg.
• Si el burro lleva una carga de 1:
— Carga del caballo, carga del burro = · 8
— Carga de la mula, carga del caballo 8
La proporción es: burro 4, caballo 6, mula 9.
Total: 4 + 6 + 9 = 19 8 burro , caballo , mula .
• Mula: de la carga = · 190 = 90 kg
• Caballo: de la carga = · 190 = 60 kg
• Burro: de la carga = · 190 = 40 kg419
419
619
619
919
919
919
619
419
94
32
32)2
532
35(3
2
°§§§§¢§§§§£