tema 1: introducción · eym 1-2 escalares y vectores ... representación de campos vectoriales-2...

J.L. Fernández JambrinaEyM 1-1

Tema 1: Introducción

Concepto de campo

Repaso de álgebra vectorial

Sistemas de coordenadasCartesiano

Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.

Operadores vectoriales.Gradiente

Divergencia

Rotacional

Derivada temporal

Combinación de operadores: Laplaciana

Expresiones con operadores

Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos.


Escalares y Vectores

• Escalar: – Magnitud determinada por un número.

– Ejemplos: Longitud, masa, tiempo, …

• Vector:– Magnitud determinada por un número (módulo), una dirección y un

sentido.

– Ejemplos: Velocidad, fuerza, aceleración, …

VectoraA

EscalaraA

⎭⎬⎫

aA

rrAr


Concepto de campo

• Un campo es la descripción de determinadas propiedades de los puntos del espacio.

• Campo Escalar.– Se puede describir con sólo un número para cada punto.

– Se representa por medio de una función de la posición.

– Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno. Potencial Electrostático...

• Campo Vectorial.– Para cada punto la propiedad varía con la dirección

considerada.

– Requiere una función vectorial: un vector que cambia con cada punto del espacio.

– Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad...

• El campo electromagnético requiere al menos dos vectores.


Representación de campos escalares

0

10

20

30

0

10

20

30-2

-1

0

1

2

Representacion 3D

5 10 15 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Isotímicas

z xe x y= − −2 2


Representación de campos escalares


Representación de campos vectoriales

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Vectores

ρ

Z

Líneas de campo





• Campo eléctrico en un coaxial • Campo magnético en un coaxial


Álgebra vectorial: Suma Vectorial

• Suma de vectores:

– Propiedad Conmutativa: - Propiedad Asociativa:

Ar

CBArrr

++

Br

Ar

BArr

+

Br

Br

Ar

Cr

Ar

BArr

+

Br

ABBArrrr

+=+ ( ) ( )CBACBArrrrrr

++=++


Álgebra vectorial: Producto por un escalar

• Producto por un escalar:– Es multiplicar su módulo por el escalar:

– Propiedades:

Ar

( ) ( )

( ) BABA

AAA

AA

AA

rrrr

rrr

rr

rr

ααα

βαβα

αββα

αα

+=+

+=+

=

=

)(

Ar

α


Álgebra Vectorial: Producto escalar.

• El producto escalar de dos vectores es:

Es un escalar.

• Propiedades:

αcosBABArrrr

=⋅ Ar

Br

α

( )( ) ( ) ( )BABABA

CABACBA

ABBA

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

ααα ⋅=⋅=⋅

⋅+⋅=+⋅

⋅=⋅


Álgebra Vectorial: Producto escalar (2)

• Obtención del módulo de un vector:

• Vectores unitarios:– Los de módulo unidad:

– Obtención de un vector unitario

αcosBABArrrr

=⋅

Ar

Br

α

002

≥⋅=⇒==⋅ AAAAAAAArrrrrrrr

cos

11 =⋅⇔= aaarrr

⎩⎨⎧ =

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅=

≠

Aa

a

AA

Aa

Arr

r

rr

rr

r

//

10


Álgebra Vectorial: Producto escalar (3)

• Signo del producto escalar:

• Propiedad:

αcosBABArrrr

=⋅

Ar

Br

0>⋅ BArr

Ar

Br

α

0<⋅ BArr

Ar

Br

2πα =

0=⋅ BArr

α

BA

B

A

BArr

r

r

rr

⊥⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

≠

≠=⋅

0

0

0


Bases y componentes

• Base ortonormal:– Vectores unitarios ortogonales que permiten construir cualquier vector

(del espacio correspondiente) por combinación lineal.

– Componentes:

zAyAxAA

zz

zyyy

zxyxxx

zyxBase zyx ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆ,ˆ,ˆ: ++=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅

⇒r

1

01

001

( )

z

y

xzyx

AzA

AyA

AxzAyAxAxA

=⋅

=⋅

=⋅++=⋅

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

r

r

r


Álgebra Vectorial: Producto Vectorial

• El producto vectorial de dos vectores:– Es otro vector:

– Ortogonal a los operandos:

–

– Orientado según la regla del tornilloal girar el primero hacia el segundo

Ar

Br

α

BArr

×

αsenBABArrrr

=×

Br

Ar

ααsenB

r


Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (2)

• Propiedades:

( )( ) ( ) ( )

0

0

=×

=×⇒

×=×=×

×+×=+×

×−=×

AA

BABA

BABABA

CABACBA

ABBA

rr

rrrr

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

//

ααα Ar

Br

BArr

×

BArr

×−


Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (3)

• Propiedades:

xy

z

( ) ( ) ( )zBABAyBABAxBABA

BBB

AAA

zyx

BA

xzyyxzzyx

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

−+−+−=

==×

=×=×=×

rr


Álgebra vectorial: Productos triples

( ) ( )CBACBArrrrrr

⋅≠⋅

Ar

BArr

×

Cr

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBA

ACBBCACBA

CBABCACBA rrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrr

××≠××⇒⎭⎬⎫

⋅−⋅=××⋅−⋅=××

( ) ( ) ( )→×⋅=×⋅=×⋅ BACACBCBArrrrrrrrr

Br

( ) ( ) ( )( ) ( )( )CBDADBCADCBArrrrrrrrrrrr

⋅⋅−⋅⋅=×⋅×

Producto Mixto

Doble Producto vectorial


Álgebra vectorial: Diferenciación

• Derivada de un vector:

• Propiedades:

( ) ( ) ( )α∆

∆α∆

αα∆ααα

αα

AAA

d

Adrrrr

00 →→=

−+= limlim

zd

dAy

d

dAx

d

dA

d

Ad zyx ˆˆˆαααα

++=r

( ) ( )( ) ( )

αααααα

αααααα

d

BdAB

d

AdBA

d

d

d

AdmA

d

dmAm

d

dd

BdAB

d

AdBA

d

d

d

Bd

d

AdBA

d

d

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrrr

×+×=×⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅+=+


Álgebra vectorial: Diferenciación (2)

• Diferencial de un vector:

zdAydAxdA

zdd

dAyd

d

dAxd

d

dA

dd

AdAd

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

=++=

==

αα

αα

αα

αα

rr


Álgebra Vectorial: Integración

• Definición como límite de una suma:

• Evaluación:

( ) ( )( )11

−=

∞→−= ∑∫ ii

N

ii

N

b

a

AdA ααβααrr

limiii

NN ba

αβα

αααα

≤≤

=≤≤≤=

−

−

1

110 L

∫∫∫∫ ++=b

a

z

b

a

y

b

a

x

b

a

dAzdAydAxdA αααα ˆˆˆr


Sistemas de coordenadas

• Hacen falta para describir los puntos del espacio.

• El más simple es el cartesiano:– Al decir que un punto P tiene coordenadas

x0, y0, z0 se quiere decir que está contenidoen los planos:

– Los vectores unitarios llevan la dirección y sentido en que se desplaza el punto al incrementar la coordenada correspondiente.

– Los vectores unitarios se ordenan deforma que el producto vectorial del primero por el segundo da el tercero:

» Sistema levógiro o a izquierdas.

000 zzyyxx ===

dx

rd

x

rx

x

rr=

∆∆

=→∆

limˆ0

zyx ˆˆˆ =×

z z= 0

y y= 0

X

Z

Y

$x

$y

$z

P

x x= 0


Sistema cartesiano (2)

rr

r rr l+ ∆

∆rl

O

– El vector de posición del punto es el vector que une el origen de coordenadas con el punto:

– Un desplazamiento a lo largo de una curva se puede definir por un vector:

– Si el desplazamiento es de magnitud muy pequeña (infinitesimal) se puede representar por:

» Puesto que una curva está definida por dos ecuaciones, los tres diferenciales se pueden reducir a uno.

– La longitud del desplazamiento infinitesimal será:

zzyyxxr ˆˆˆ ++=r

222 dzdydxldldlddl ++=⋅==rrr

zzyyxxl ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r

zdzydyxdxld ˆˆˆ ++=r


Sistemas cartesiano, cilíndrico y esférico

z z= 0

y y= 0

X

Z

Y

$x

$y

$z

P

x x= 0

X

P

Y

z

ρϕ

Z $z$ϕ

$ρ

$z

$r $ϕ

$θ

X

Y

Z

r

ϕ

θ

θ

Cartesiano Cilíndrico Esférico

( )zyx ,, ( )z,,ϕρ ( )ϕθ,,r


Coordenadas curvilíneas generalizadas ortogonales

• En general, cualquier tríada de familias de superficies puede servir para definir un sistema de coordenadas:

– Estas ecuaciones permiten el paso de cartesianas al nuevo sistema.

– Despejando x, y y z se realiza el pasoinverso.

( ) ( ) ( ) 332211 ,,,,,, uzyxUuzyxUuzyxU ===

u1=cte

u2 =cte

u3 =cte

P

û1

û2

û3

• La tríada (u1,u2,u3) son las coordenadas del punto:

– Cualquier tríada debe definir un único punto.

– Cualquier punto debe estar definido por una única tríada.

– Se admiten excepciones.

• El vector de posición se puede obtener a partir de cartesianas: zzyyxxr ˆˆˆ ++=

r


Curvilíneas (2)

• En general las coordenadas no son distancias:– Un incremento infinitesimal de una coordenada y el desplazamiento

correspondiente se relacionan a través de un factor de escala:

» La expresión central permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala.

• Si las superficies son ortogonales el sistema será curvilíneo y ortogonal.

• Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como:

iiiiiiii

uduhlduhu

r

u

rˆˆ1 =⇒=⇒≠

rrr

∂∂

∂∂

213132321

133221

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ

uuuuuuuuu

uuuuuu

=×=×=×=⋅=⋅=⋅

23

23

22

22

21

21

333222111 ˆˆˆ

duhduhduhdl

uduhuduhuduhld

++=

++=r


Curvilíneas (3)

• Propiedad interesante:– Es evidente que:

es decir, todos los coeficientes de transformación de los vectores unitarios de un sistema de coordenadas ortogonal en otro tambiénortogonal se repiten en la transformación inversa en posición traspuesta.

– Se puede definir una matriz de rotación [R] que es ortogonal (su inversa es su traspuesta).

[ ] [ ]

[ ] [ ]TRR

RRu

u

u

z

y

x

z

y

x

u

u

u

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

1

3

2

11

3

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 332211

332211

332211

3333

2222

1111

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ






uzuuzuuzuz

uyuuyuuyuy

uxuuxuuxux

zzuyyuxxuu

zzuyyuxxuu

zzuyyuxxuu

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=


• También se puede calcular el diferencial de volumen:– En cartesianas:

– En curvilíneas generalizadas ortogonales:A pesar del aspecto del dibujo,al ser las dimensiones muypequeñas, los lados sonson rectos y ortogonales.

Curvilíneas (4)

dy

dz

dxX

Z

YdzdydxdV =

u2

u1

u3h2du2

h3du3

h1du1

321321 dududuhhhdV =


Sistema de coordenadas Cilíndricas

• Las superficies coordenadas del sistema son:

– Cilindros de eje z y radio ρ.

– Semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo ϕ con el semiplano xz que se toma como referencia.

– Planos z = cte.

• Las coordenadas del sistema serán ternas de valores ρ, ϕ, z.

• Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, -∞ < z < +∞.

zz =

x

yarctg=ϕ

22 yx +=ρ

• Existe una ambigüedad:Los puntos del eje z quedan definidos por su z y ρ=0: ϕ puede ser cualquiera.

• Relaciones inversas:

X

P

Y

z

ρϕ

Z $z$ϕ

$ρ

zzyx === ϕρϕρ sencos


Cilíndricas (2)Vectores unitarios y factores de escala

• De momento el vector de posición es:

• Trabajando un poco:zzy

yx

xr ˆˆsenˆcos ++=

321321r ϕρϕρ

( )

zzz

rhz

z

rz

yxh

rrhyx

r

yxh

rrhyx

r

z ˆˆ1ˆ:

ˆcosˆsenˆˆcosˆsen:

ˆsenˆcosˆ1ˆsenˆcos:

====

+−====+−=

+====+=

∂∂

∂∂

ϕϕ∂ϕ∂ϕρ∂ϕ∂ϕϕρ

∂ϕ∂ϕ

ϕϕ∂ρ∂ρ∂ρ∂ϕϕ

∂ρ∂ρ

ρϕ

ρρ

rr

rrr

rrr

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

z ˆ

ˆ

ˆ

100

0cossen

0sencos

ˆ

ˆ

ˆ

ϕϕϕϕ

ϕρ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

zz

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

100

0cossen

0sencos

ˆ

ˆ

ˆ

ϕρ

ϕϕϕϕ

11 === zhhh ρϕρ


Cilíndricas (3)Vector de posición y diferenciales

• Vector de posición:

– La dependencia con ϕ está implícita dentro de :

• Diferencial de longitud (vector):

• Diferencial de longitud (escalar):

• Diferencial de volumen:

( ) ( ) zz

yyxxr ˆ

ˆ

ˆcosˆsensen

ˆ

ˆsenˆcoscos +++−=44 344 2132144 344 21321

r ϕϕρϕϕρϕϕρϕϕρ zzr ˆˆ += ρρr

zdzddld ˆˆˆ ++= ϕϕρρρr

2222 dzdddl ++= ϕρρ

dzdddV ϕρρ=

$ρ ( ) ( ) zzzr ˆˆ,, += ϕρρϕρr


Sistema de coordenadas Esféricas

• Las superficies coordenadas del sistema son:

– Esferas de radio r:

– Conos cuya generatriz forma unángulo θ con el eje z positivo:

– Semiplanos limitados por el eje zque forman un ángulo ϕ con eleje z:

• Para describir unívocamente todoslos puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ r < ∞, 0≤θ≤π, 0 ≤ ϕ < 2π

z

yx 22

arctg+

=θ

x

yarctg=ϕ

222 zyxr ++=

• Existen dos ambigüedades:

– Los puntos del eje z quedan definidos por su r y θ=0 ó π, ϕ puede ser cualquiera.

– El origen queda definido por r=0, con independencia de los valores de θ y ϕ.

• Relaciones inversas: θϕθϕθ cossensencossen rzryrx ===

$z

$r $ϕ

$θ

X

Y

Z

r

ϕ

θ

θ


zz

ryy

rxx

rr ˆcosˆsensenˆcossen 3214342143421r θϕθϕθ ++=

( ) ( )

( )[ ] ( )

( ) yxrhyxrr

zyxrhzyxrr

zyxrhzyxr

rr r

ˆcosˆsenˆsenˆcosˆsensen:

ˆsenˆsenˆcoscosˆˆsenˆsenˆcoscos:

ˆcosˆsenˆcossenˆ1ˆcosˆsenˆcossen:

ϕϕϕθϕϕθ∂ϕ∂ϕ

θϕϕθθθϕϕθ∂θ∂θ

θϕϕθθϕϕθ∂∂

ϕ

θ

+−==+−=

−+==−+=

++==++=

r

r

r

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

xr

ˆ

ˆ

ˆ

0cossen

sensencoscoscos

cossensencossen

ˆ

ˆˆ

ϕϕθϕθϕθ

θϕθϕθ

ϕθ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕθ

θθϕϕθϕθϕϕθϕθ

ˆ

ˆˆ

0sencos

cossencossensen

sencoscoscossen

ˆ

ˆ

ˆ r

z

y

x

θϕθ sen1 rhrhhr ===

Esféricas (2)Vectores unitarios y factores de escala

• De momento el vector de posición es:

• Trabajando un poco:


Esféricas (3)Vector de posición y diferenciales

• Vector de posición:

– La dependencia con θ y ϕ está implícita dentro de

• Diferencial de longitud (vector):

• Diferencial de longitud (escalar):

• Diferencial de volumen:

rrr ˆ=r

ϕϕθθθ ˆsenˆˆ drrdrdrld ++=r

ϕθθ ddrdrdV sen2=

( )[ ]44444 344444 21 r

r

r

zyxrr ˆcosˆsenˆcossen θϕϕθ ++=

222222 sen ϕθθ drdrdrdl ++=

$r


Cilíndricas - Esféricas

• Es posible relacionar directamente entre sí cilíndricas y esféricas:– Relación entre coordenadas:

– Relación entre vectores unitarios:

r zz

r z r

= + = =

= = =

ρ θρ

ϕ ϕ

ρ θ ϕ ϕ θ

2 2 arctg

sen cos

$$

$

sen cos

cos sen

$

$

$

r

z

θϕ

θ θθ θ

ρϕ

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

0

0

0 1 0

$

$

$

sen cos

cos sen

$$

$

ρϕ

θ θ

θ θθϕz

r⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

0

0 0 1

0

$z

$r

$ρ

$ϕ

$θ

X

Y

Z

r

ϕ

θ

θρ

z


tema 1: introducción · eym 1-2 escalares y vectores ... representación de campos vectoriales-2...

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