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PROBLEMAS DE FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA Escuela Politécnica Superior Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal UNIVERSIDAD DE ALICANTE CURSO 2006/2007

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Tema 1. Campo Eléctrico

RESOLUCIONES

1.1 Cargas Puntuales 1.1.1. Una carga puntual de 5μC está localizada en el punto x=1cm, y=3cm y otra de -4μC está situada en el punto x=2cm, y=-2cm. Determinar: a) El campo eléctrico en el punto x=-3cm e y=1cm b) La fuerza que actúa sobre una carga de -6μC situada en el punto x=-3cm e y=1cm RESOLUCIÓN: ● ( )cmCQ 3,151 μ= ( )1,3−P ○

● ( )cmCQ 2,242 −−= μ a) El campo eléctrico en P es la suma de los campos eléctricos creados en P por Q1 y Q2:

PP EEE 21

rrr+=

PP

P udQKE 121

11

r⋅⋅= P

P

P udQKE 222

22

r⋅⋅=

donde:

)2,4()3,1()1,3(1 −−=−−=P 242

12

122 1020102020416)2()4(1 mdmdcmP PP

−− ⋅=⇒⋅=⇒+=++=−+−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=

202,

204

1Pur

CNEE PP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−⋅−=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

⋅

⋅⋅=

−

−

20

1045,

20

1090

20

2,

20

4102105

10966

13

69

1

rr

E1

E2


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( ) ( ) ( )3,51,32,22 −=−−−=P

2422

22 10341034349252 mdmdP PP

−− ⋅=⇒⋅=⇒+=++=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

343,

345

2Pur

CNEP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅′−⋅′=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅

⋅= −

−

3410813,

3410925

343,

345

1034104109

66

4

69

2

r

( ) ( )

( ) ( ) ( ) CN

EEE PPP

551,0511100862

644010,0862

282810

342020813344510,

342020925349010

3410813

201045,

3410925

201090

666

66

6666

21

′−′−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′′−

⋅′

′−⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅′−⋅−

⋅⋅

⋅′+⋅−⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅′−

⋅−⋅′+

⋅−=+=

rrr

b) ( ) ( ) ( )NEqF P 93,36610551,100511106 666 ′=⋅′−⋅′−⋅⋅−=⋅= −

rr

1.1.2. Dos cargas fijas q1 y q2 se encuentran separadas por una distancia d. Una tercera carga libre q3 se encuentra en equilibrio cuando está situada en la línea que une ambas cargas, a una distancia d de q1 y 2d de q2. a) ¿Qué relación existe entre las cargas q1 y q2? b) Si q3=-q1, determinar en función de q1 el valor del campo eléctrico creado por las

tres cargas en el punto medio del segmento que une q1 y q2

RESOLUCIÓN: a) La carga Q3 está en equilibrio si el campo eléctrico es nulo en el punto donde se encuentra. Este campo está creado por las cargas Q1 y Q2, que inicialmente suponemos que son positivas:

( )( )

( )( ) 122

221

22

21 4

20

2021 QQ

dQ

dQi

dQki

dQkEE PP ⋅−=⇒

⋅=−⇒=−⋅

⋅⋅+−⋅⋅⇒=+

X

Q3 Q2

d d

P ·

Q1


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b) Suponemos que Q1 es positiva:

( ) ( )

CNi

dQiQ

dE

iQQQd

kid

QidQi

dQkEEEE

P

PPPP

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=++=

219

12

9

11122

32

22

1321

101769444109

944

23

22

Suponemos que Q1 es negativa:

( ) ( ) ( )

( )CNi

dQiQ

dE

iQQQdki

dQi

dQi

dQkEEEE

P

PPPP

−⋅⋅⋅=⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅⋅=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⋅

⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=++=

219

12

9

11122

32

22

1321

101769444109

944

23

22

En este último caso, el módulo y la dirección son iguales que en el primero, pero su sentido es contrario. 1.1.3. Dos cargas positivas e iguales q están en el eje Y, una en la posición y=a y otra en la posición y=-a. a) Calcular el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X, dando su valor en los

casos en los que se cumple que x <<a y x>>a b) Demostrar que el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X tiene su máximo

valor en x=-a · (2)-1/2 y en x=a · (2)-1/2 c) Representar gráficamente Ex en función de x RESOLUCIÓN:

ay =

ay −=

y

xP

x

PEr

PEr

q+

q+

•

•

yPEr

yPEr

xPErθ

θθθ


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a) El campo eléctrico en el eje x es la suma de los campos eléctricos creados en este eje por las 2 cargas +q que están situadas en el eje y. ( ) ( ) ( )PPP EEE 21

rrr+=

Las componentes en el eje y de los campos que crean ambas cargas se anulan. Sin embargo, las componentes en el eje x se suman:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ixa

qkixa

qkxEp

rrrθθ coscos

2222⋅

+

⋅+⋅

+

⋅=

donde:

22 xad += y ( )22

cosxa

x+

=θ

( ) ( ) ( )( )CNi

xaxqki

xax

xaqkxEP

rrr23222222

22+

⋅⋅⋅=

+⋅

+⋅⋅

=

Para x << a ( ) ( )CNi

axqkxEP

rr3

2 ⋅⋅⋅=⇒

Para x >> a ( ) ( )CNi

xqki

xxqkxEP

rrr23

22 ⋅⋅=

⋅⋅⋅=⇒

b) Para calcular el valor máximo del campo:

( ) ⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

⋅⋅⋅⇒= 020 2322 xa

xqkdxd

dxdEx

(c.q.d)

c)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]

220203

032

022322

02

2322

2222222

2222122

21222322

322

21222322

axaxxaxxa

xxaxaqk

xxaxqkxaqk

xa

xxaxqkxaqk

±=⇒=⇒=⋅−⇒=⋅−+

⇒=⋅−+⋅+⋅⋅

⇒=⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅−+⋅⋅

⇒=+

⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅−+⋅⋅

x

E(x)


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1.1.4. Dos cargas puntuales q y q’ están separadas por una distancia a. En un punto a la distancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero. a) Determinar la relación q/q’ b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga de 2μC desde un punto situado a una distancia a/3 de q a otro punto que está a una distancia a/3 de q’? RESOLUCIÓN:

a) 21

32

332

30 −=

′⇒

′⋅=

⋅⇒

′⋅+

⋅==

qq

aqk

aqk

aqk

aqkVP

b) El trabajo viene dado por:

( )

( )

( )Ja

qaqkW

Vaqk

aqkqq

akqq

ak

aqka

qkV

VVVqW

final

inicial

inicialfinal

⋅′⋅⋅

−=⋅

′⋅⋅⋅−=

⋅′⋅⋅

=′⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′⋅+

′⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′+

′−=

′+=

=

−−=

−

21081

49102

49

4333

43

31322

332

0

36

1.1.5. Se disponen en forma alternada un número infinito de cargas positivas y negativas ±q sobre una línea recta. La separación entre cargas adyacentes es d. Determinar la energía potencial eléctrica de una carga +q.

Dato: El desarrollo en serie de ln(1+x) es: ⋅⋅⋅⋅⋅+−+−=+432

)1ln(432 xxxxx

………. + q -q +q -q +q -q +q -q ………….. RESOLUCIÓN: El potencial en un punto P creado por N=i cargas puntuales es:

{

32a

a

P

q q′

3a

{

• •×0=PV

d


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∑ ⋅=i i

ip r

qkV

La energía potencial de una partícula cargada q que se encuentra en ese punto P es: qVU Pq ⋅= El potencial en el punto P donde se encuentra una carga positiva es la suma del potencial creado por las cargas positivas VP

+ y el potencial creado por las cargas negativas VP

-: −+ += PPP VVV Siendo, respectivamente, el potencial creado por las cargas positivas situadas a la derecha de esa carga y el creado por las cargas positivas situadas la izquierda de esa carga:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++⋅

⋅⋅=+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⋅+

⋅+

⋅⋅⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⋅+

⋅+

⋅⋅⋅=

+++

+

+

...61

41

212)()(

...6

14

12

1)(

...6

14

12

1)(

dqkizquierdaVderechaVV

dddqkizquierdaV

dddqkderechaV

PPP

P

P

Igualmente, si consideramos el potencial creado por las cargas negativas situadas a la derecha e izquierda de la carga positiva:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++⋅

⋅⋅−=+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⋅+

⋅+⋅⋅−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⋅+

⋅+⋅⋅−=

−−−

−

−

...51

3112)()(

...5

13

11)(

...5

13

11)(

dqkizquierdaVderechaVV

dddqkizquierdaV

dddqkderechaV

PPP

P

P

La energía potencial de la carga positiva q situada en P es:

( )

( )Jd

qk

dqkqVVqVqU PPPq

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+−

⋅⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−+++⋅

⋅⋅⋅=+⋅=⋅= −+

····51

41

31

2112

····51

311····

61

41

212

2

Sustituyendo x=1 para el desarrollo en serie:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+−==+ ·····

51

41

31

2112ln11ln


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Sustituyendo esta expresión en el resultado Uq:

( )JdqkUq

2ln2 2 ⋅⋅⋅−=

1.1.6. En dos vértices contiguos de un cuadrado de 1m de lado se tienen cargas eléctricas positivas de 2·10-6C y en los otros dos de 5·10-6C. Hallar el valor del campo eléctrico y el potencial en el centro del cuadrado RESOLUCIÓN: El campo eléctrico en el punto P es la suma de los campos eléctricos creados por cada una de las cargas puntuales situadas en los vértices del cuadrado:

∑∑==

⋅⋅==4

12

4

1 ir

i

i

iiP u

rq

kEE

Siendo los vectores de posición, sus módulos y sus vectores unitarios:

21

21

21

21,

21)

21,

21()0,0( 2

1

22

11 =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−= rrr

21

21

21

21,

21)

21,

21()0,1( 2

2

22

22 =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−= rrr

21

21

21

21,

21)

21,

21()1,1( 2

3

22

33 =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−= rrr

21

21

21

21,

21)

21,

21()1,0( 2

4

22

44 =⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= rrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=2

1,2

1

22

21,

21

;2

1,2

1

22

21,

21

21 rr uu rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

1,2

1

22

21,

21

;2

1,2

1

2221,

21

43 rr uu rr


Página 8 de 50

Los campos eléctricos creados por cada carga son:

CNu

rqkE

CNu

rqkE

CNu

rqkE

CNu

rqkE

rP

rP

rP

rP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅=

−

−

−

−

21,

211036

21,

21

21102109

21,

211036

21,

21

21102109

21,

21109

21,

21

21105109

21,

21109

21,

21

21105109

36

92

4

1

36

92

3

3

46

92

2

2

46

92

1

1

44

33

22

11

rr

rr

rr

rr

El campo eléctrico total es:

( )CNj

EEEEE PPPPP

⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+

⋅⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⋅⋅=+++=

434

3

344

106.72

108000,0210362

21092,0

21,

211036

21,

211036

21,

21109

21,

21109

4321

rrrr

El potencial en el centro del cuadrado lo crean las cuatro cargas puntuales de los vértices:

( )V

rqkVV

i i

i

iiP

3

694

1

66669

4

1

102.178

10214109

21102

21102

21105

21105109

⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

+⋅

+⋅

+⋅

⋅⋅=⋅== −

=

−−−−

=∑∑

X

Y (0,1) Q4 Q3

Q1 Q2

PE3 E4

E1 E2

(1/2,1/2)

(1,1)

(0,0) (1,0)


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1.1.7. Cargas iguales, cada una de ellas de 1μC, están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 0.1m de lado. Calcular: a) La fuerza que se ejerce sobre cada carga como resultado de la interacción con las otras dos b) La energía potencial de cada carga c) El campo eléctrico resultante y el potencial en el centro del triángulo RESOLUCIÓN:

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )1132

2211

12

13212

22111

1121

269

32232

23122

12

122

1131

2211

21

13121

22111

1121

269

31231

13212

21

121

231333212231211

107.8,105107.8,105º30cos10,2

10)0,1.0(32)0,1(

10103.78,10135107.8,1015109

107.8,1050,110

10109

107.8,105107.8,105º30cos10,2

10)0,0(31

)0,1(0,1.00,021

10

103.78,10135107.8,1015109

107.8,1050,110

10109

;;

−−−−−−

−

−−−−−

−−

−

−

−−−−−−

−

−−−−−

−−

−

−

⋅−⋅=⋅−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−==

==

⋅−⋅=⋅−⋅⋅⋅=

=⋅−⋅+⋅⋅

=⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅=

⋅−⋅−=⋅−⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=

−=−=

==

⋅−⋅−=⋅−⋅−⋅⋅=

=⋅−⋅−+−⋅⋅

=⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅=

+=+=+=

uu

mddN

ud

qqkud

qqkF

u

u

mdd

N

ud

qqkud

qqkF

FFFFFFFFF

rr

rr

r

r

rr

rrrrrr

3q

1q 2q)0,0( )0,10( ′

)1078,050( 2−⋅′′

°60

°30

23d

12d

13d

°30

a

31Fr

21Fr


Página 10 de 50

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )11

23221

1

1113

22

12313

11

111121

269

23223

23132

13

133

107.8,105107.8,105)0,1.0(º30cos10,2

1023

107.8,105)0,0(107.8,10513

106.1,0104.17,0109

107.8,105107.8,10510

10109

−−−−−−

−−−−

−

−−

−−−−

−

−

⋅⋅−=⋅⋅−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅⋅=−⋅⋅=

==

=⋅⋅⋅=

=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅=

u

u

mddN

ud

qqkud

qqkF

r

r

rr

b) La energía potencial de cada carga es: 111 VqU ⋅=

)(1018101810

)(101810

102109

2461

41

69

31

3

21

21

JU

Vd

qkd

qKV

−−

−

−

⋅=⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅

=⋅

+⋅

=

Todas las cargas tienen la misma energía potencial:

)(1018 232 JUU −⋅==

c) El campo en el centro del triángulo será: 0321 =++= EEEE

rrrr

Las componentes en el eje x de 1E

r y 2E

r se anulan. Las componentes en el eje y de 1E

r y

2Er

son la mitad de la componente en el eje y de 3Er

, y como y

E1 y y

E2 llevan sentido

contrario a y

E3 , la suma de las dos primeras anula la tercera. El potencial en dicho punto es:

)(10766410

232101093

41

69

321321 V

aQk

aQk

aQk

VVVV ⋅′=⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

+⋅

+⋅

=++= −

−

siendo ma 05770)30cos(2

10 ′=°

′=

1.1.8. El potencial eléctrico a una distancia d de una carga puntual q es V=600V y el campo eléctrico es E=200N/C. a) Calcular el valor de la carga b) Calcular la distancia a la carga puntual RESOLUCIÓN: a) El potencial V y el módulo de campo eléctrico E que crea una carga puntual es:


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⇒⋅=dqkV despejando la distancia

Vqkdd ⋅=⇒

2dqkE ⋅=

Sustituyendo d en la expresión del módulo del campo eléctrico y despejando q, podemos obtener el valor de ésta:

( )CEk

Vqqk

V

Vqk

qkE 79

222

2 102200109

600 −⋅=⋅⋅

=⋅

=⇒⋅

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅=

b) Una vez que conocemos la carga q, podemos obtener el valor de la distancia d:

mVqkd 3

600102109

79 =

⋅⋅⋅=⋅=

−

1.1.9. Calcular el gradiente de la función escalar V=V(r), siendo r= r el módulo del

vector de posición kzjyixr ++= . Aplicar a los casos: a) V=1/r b) V=ln r RESOLUCIÓN: El vector operador gradiente se define como:

kzVj

yVi

xVVgrad ⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

Como V depende de r y éste, a su vez, depende de las coordenadas x, y, z, entonces cada uno de los sumandos que hay a la derecha de la ecuación se puede calcular de la siguiente forma:

zr

drdV

zV

yr

drdV

yV

xr

drdV

xV

∂∂

⋅=∂∂

∂∂

⋅=∂∂

∂∂

⋅=∂∂

El módulo de r es: 222 zyxr +++= Por tanto:


Página 12 de 50

rz

zyxz

zzyx

zr

ry

zyxy

yzyx

yr

rx

zyxx

xzyx

xr

=++⋅

⋅=

∂++∂

=∂∂

=++⋅

⋅=

∂++∂

=∂∂

=++⋅

⋅=

∂++∂

=∂∂

222

222

222

222

222

222

22

22

22

Sustituyendo estas expresiones en el gradiente:

rudrdV

rr

drdVk

rzj

ryi

rx

drdVVgrad r

⋅=⋅=⋅+⋅+⋅= )(

Aplicando esta última expresión a los casos (a) y (b):

rr

rr

ur

udrdVVgradrVb

ur

udrdVVgrad

rVa

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⇒=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⋅=⇒=

1ln)(

11)( 2

r

1.1.10. El potencial eléctrico en una cierta región del espacio viene dado por V(x)=C1+C2·x2, en donde V se expresa en voltios, x en metros y C1 y C2 son constantes positivas. Hallar el campo eléctrico E en esta región. ¿En qué dirección está E ? RESOLUCIÓN:

221)( xCCxV ⋅+=

Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= k

dzdVj

dydVi

dxdVE

rrrr

Como el potencial depende sólo de x, el campo eléctrico únicamente tendrá componente en esta dirección:

iCxidxdVE

rrr22 ⋅⋅−=−=


Página 13 de 50

1.1.11. Un campo eléctrico viene determinado por Ex=2x3(kN/C). Determinar la diferencia de potencial entre los puntos del eje x situados en x=1m y x=2m. RESOLUCIÓN: Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−= k

dzdVj

dydVi

dxdVE

rrrr

Sólo existe componente en x:

VxdxxVV

dxEdV

dxEdVidxdVE

x

x

x

xx

x

x

xx

3344

34

32

1

33

2

1

2

1

10574

1510241

42102

4102102)1()2( ⋅′−=⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−=⋅⋅−=−

−=

⋅−=⇒−=

∫

∫∫=

=

=

=

=

=

r

1.1.12. El potencial eléctrico en una región del espacio viene dado por V=2·x2 + y·z (V/m2). Determinar el campo eléctrico en el punto x=2m, y=1m y z=2m. RESOLUCIÓN: Utilizando la relación entre campo eléctrico y potencial:

[ ]( ) [ ] ( )m

VkjiE

kyjzixkdzdVj

dydVi

dxdVE

rrrr

rrrrrrr

++−=

++⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

282,1,2

4

1.1.13. Dos cargas puntuales q1=2pC y q2=-2pC están separadas una distancia de 4μm. a) ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas? b) Hacer un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento bipolar RESOLUCIÓN: a)

( )mCdqp

dqp

⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=

⋅=−−− 18612 108104102

rr

rr

b) ( ) mCip ⋅−⋅= −

rr 18108


Página 14 de 50

1.1.14. Un dipolo de momento 0.5e-·nm se coloca en el interior de un campo eléctrico uniforme de valor 4·104 N/C. ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolo cuando?: a) ¿El dipolo es paralelo al campo eléctrico? b) ¿El dipolo es perpendicular al campo eléctrico? c) ¿El dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico? d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso. RESOLUCIÓN:

( )( )CNE

mCp4

28919

104

108010106150

⋅=

⋅⋅′=⋅⋅′⋅′= −−−

r

r

El momento ejercido sobre le dipolo es: Ep

rrr×=τ

La energía potencial del dipolo en el campo eléctrico es: EpUrr

•−= a) Si el campo y el dipolo son paralelos, forman un ángulo de 0º:

( ) 00 =°⋅⋅= senEprrrτ

Y la energía potencial será: ( ) JEpU 24428 1023110410800cos −− ⋅′−=⋅⋅⋅⋅′−=°⋅⋅−=

rr

b) Si el campo eléctrico y el dipolo forman un ángulo de 90º:

( ) ( )mNsenEp ⋅⋅′=⋅⋅⋅⋅′=°⋅⋅= −− 24428 10231104108090rrrτ

Y la energía potencial será: ( ) 090cos =°⋅⋅−= EpU

rr

c) Si ambos forman un ángulo de 30º:

( ) ( )mNsenEp ⋅⋅′=⋅⋅⋅⋅′=°⋅⋅= −− 24428 106121104108030

rrrτ

Y la energía potencial será:

( ) JEpU 24428 1077223104108030cos −− ⋅′−=⋅⋅⋅⋅′−=°⋅⋅−=

rr

pr

md 6104 −⋅=1q 2q


Página 15 de 50

1.1.15. Dos cargas de signos contrarios y de 10-8C están situadas a una distancia de 10cm en el vacío formando un dipolo eléctrico. Determinar la intensidad del campo eléctrico que el dipolo produce en los siguientes puntos: a) A una distancia de 5cm de la carga positiva en la prolongación del segmento que une las cargas b) En un punto de dicho segmento a 4cm de la carga positiva c) En un punto que equidiste 10cm de ambas cargas RESOLUCIÓN:

a) El campo eléctrico total en el punto A de coordenadas (-5,0)cm es la suma del campo eléctrico creado en A por la carga 1 y el campo eléctrico creado en A por la carga 2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )CNii

iiidqki

dqkEEE AAA

−⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅⋅

=

=⋅⋅

⋅⋅+−⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅+−⋅⋅=+=

−

−

−

−

−

44

22

89

22

89

22

22

1

121

102.398

2510109

101510109

10510109

b) El campo eléctrico total en el punto B de coordenadas (4,0)cm es la suma del campo eléctrico creado en B por la carga 1 y el campo eléctrico creado en B por la carga 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )CNi

iiidqki

dqkEEE

BB

B BB

⋅⋅=

=⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=−

−

−

−

4

22

89

22

89

22

22

1

121

101.8

10610109

10410109

c) El campo eléctrico total en el punto C de coordenadas (5,-10·cos30º)=(5,-8.7)cm es la suma del campo eléctrico creado en C por la carga 1 y el campo eléctrico creado en C por la carga 2

C (5,-10·cos30º)

(-5,0) (4,0)

L=10cm

1C 2C

Q1=10-8 C Q2=-10-8 C E2A

E1A

E2B

E1B

E1C

E2C

60º

·A

·B

X

Y


Página 16 de 50

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

222

111

22

21

31122

89

1122

89

222

212

1

121

107.8,105107.8527.8,57.8,50,102

107.8,105107.851)7.8,5()0,0()7.8,5(1

10

109107.8,1051010

10109

107.8,1051010

10109

−−

−−

−−

−

−

−−

−

−

⋅⋅=⇒=++=⇒=−−=

⋅−⋅=⇒=−++=⇒−=−−=

==

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅+

+⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=

c

c

cc

cC

cC

C

uCC

uCC

cmdd

CNi

udqku

dqkEEE CC

r

r

rr

1.1.16. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud q=10-6C separadas una distancia de 2cm. El dipolo está colocado en un campo eléctrico externo de módulo 105 N/C. a) ¿Cuál es el momento máximo que ejerce el campo en el dipolo? b) ¿Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta a partir de una posición paralela al campo? RESOLUCIÓN: a) El momento o giro τ que produce sobre un dipolo eléctrico, un campo eléctrico externo uniforme es: ααττ senEdqsenEpEp ⋅⋅⋅=⋅⋅=⇒×=

El momento es máximo si el valor del seno del ángulo que forman los vectores es 1. Esto ocurre cuando los vectores p y E forman un ángulo de 90º. mNsenEdq ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= −−− 3526 10211010210º90τ

b) La energía potencial que tiene un dipolo que está situado en un campo eléctrico externo uniforme es: αcos⋅⋅−=•−= EpEpU

En el estado inicial si el campo E y el momento dipolar p son paralelos: EpEpEpU ⋅−=⋅⋅−=•−= º0cos

En el estado final cuando ha girado 180º respecto a su posición inicial: EpEpEpU ⋅=⋅⋅−=•−= º180cos

El trabajo que realiza un agente externo para dar la media vuelta al dipolo es:

( ) ( ) ( )[ ] JEpEpEpUUUUUW finalinicialinicialfinal31042 −⋅−=⋅⋅−=⋅−⋅−=−=−−=Δ−=


Página 17 de 50

1.1.17. Existe un campo eléctrico uniforme entre dos placas paralelas con cargas opuestas. Se libera un electrón desde el reposo sobre la superficie de la placa negativa y alcanza la superficie de la placa opuesta, colocada a una distancia d=2·10-2m de la otra, en un intervalo de tiempo t=1.5·10-8s: a) Calcular la intensidad del campo eléctrico b) Calcular la velocidad del electrón cuando llega a la segunda placa c) ¿Cuál es la diferencia de potencial que hay entre las placas? RESOLUCIÓN: a)

22200

0

21

21

21 tE

mqtadtatvxdx

tatavv

EmqaamEqF

x

x

⋅⋅=⋅⋅=⇒⋅⋅+⋅+==

⋅=⋅+=

=⇒⋅=⋅=

Despejando el campo de esta última:

( )( )mV

tqdmE 1011

10511061102101922

2819

231

2 =⋅′⋅⋅′

⋅⋅⋅′⋅=

⋅⋅⋅

=−−

−−

b) ( )sKmtE

mqtav 2666266637410511011

10191061 8

31

19

≈=⋅′⋅⋅⋅′⋅′

=⋅⋅=⋅= −−

−

c) VdEV 22221020221021011 22 ′=⋅=⋅⋅=⋅= −− 1.1.18. Un electrón de masa m=9.1·10-31kg y carga eléctrica q=-1.6·10-19C se proyecta en el interior de un campo eléctrico uniforme E=2000N/C con una velocidad inicial v0=106m/s perpendicular al campo. a) Hallar las ecuaciones del movimiento del electrón b) ¿Cuánto se habrá desviado el electrón si ha recorrido 1cm sobre el eje OX? (OX: dirección de entrada del electrón)

d

0=x x

− +

Er

EqFrr

=

q−


Página 18 de 50

RESOLUCIÓN: a) Como la EqF

rr⋅= :

Em

eaEqamFrrrrr

⋅−

=⇒⋅=⋅= siendo (-e), la carga del electrón.

Eje x: tvxvcteva xx ⋅===→= 00;0

Eje y: 22000 2

121; tatavyytatavvE

mea yyyy ⋅⋅=⋅⋅++=⋅=⋅+=→⋅=

b) Sustituimos la aceleración en y:

2

21 tE

mey ⋅⋅=

Como necesitamos el tiempo, lo hallamos con x:

svxttvx 8

6

2

00 10

1010 −

−

===→⋅=

Y lo llevamos al desplazamiento en y:

( ) cmmy 810176010200010191061

21 28

31

19

′=′=⋅⋅⋅′⋅′

= −−

−

El ángulo que se ha desviado será:

°≈= 60xyarctgα

1.2 Distribuciones continuas de carga 1.2.1. Consideremos un campo eléctrico uniforme C

kNiE 2= .

a) ¿Cuál es el flujo de este campo a través de un cuadrado de 10cm de lado cuyo plano es paralelo al plano YZ? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30º con el eje X?

y

x

0v

Er

++++++++++++++

−−−−−−−−−−−−−−

ar


Página 19 de 50

RESOLUCIÓN: y iE

rr2=

sr S cml 210−= x z a) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie abierta es: ( )C

mNsEsEsdEs s

223 2010102)º0cos( ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=•=Φ −∫ ∫rrrrrr

Con 2222 1010101010 ms −−− =⋅⋅⋅=r

b) En este caso el ángulo que forman el vector superficie y el vector campo eléctrico es 30º. Por lo tanto:

( )CmNsEsEsdE

s s

223 3712310102)º30cos()º30cos( ⋅′=⋅⋅=⋅⋅=⋅=•=Φ −∫ ∫

rrrrrr

1.2.2. Una carga puntual q=3μC está en el centro de una esfera de 0.6m de radio. a) Hallar el valor del campo eléctrico en los puntos situados en la superficie de la esfera b) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de la superficie de la esfera? c) ¿Variaría la respuesta dada a la parte b) si se moviese la carga puntual de modo que estuviese dentro de la esfera pero no en el centro? d) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa un cubo de 1m de arista que circunscribe la esfera? RESOLUCIÓN: E

r

sdr

q=3μC r


Página 20 de 50

a) El campo eléctrico en un punto situado a una distancia R de una carga puntual es:

( ) ( )CNuuuu

rQKE rrrr

rrrrr

r5

2

3

21

69

2 1043

10361027

106103109 =

⋅⋅

=⋅

⋅⋅=⋅= −−

−

con mmrR 110660 −⋅=′==

r b) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie es:

0

)º0cos(εenc

ss

qsdEsdE ∫∫ =⋅⋅=•=Φrrrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅′=

⋅⋅⋅

⋅=Φ

−

CmN 2

3

9

6

103933

10941103

π

c) No cambia la respuesta porque el flujo depende sólo de la carga encerrada en dicha superficie, siendo independiente de la posición que ocupe en el interior de la misma. d) El flujo neto sería el mismo que el que atraviesa la esfera, ya que la carga encerrada es la misma en ambos casos. 1.2.3. Una carga puntual Q está situada en el centro de un cubo cuya arista tiene una longitud L. a) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico a través de una de las caras del cubo? b) Si la carga Q se traslada a un vértice del cubo, ¿cuál es el flujo a través de cada una de las caras del cubo? RESOLUCIÓN: a) El flujo total del campo eléctrico a través del cubo es:

L

0ε

encsE

qsdE =•=Φ ∫rr

Q


Página 21 de 50

Por simetría, el flujo que atraviesa cada una de las caras del cubo es 1/6 del flujo total:

066 ε⋅

=Φ

=ΦQtotal

cara

b) 1 Q 2

3

Dibujamos una esfera alrededor de la carga puntual Q que está situada en el vértice del cubo. Si dividimos la esfera en 8 partes, vemos que el flujo que entra en el cubo corresponde a 1/8 del flujo total que sale de la esfera.

0

00

881

ε

εεQ

QQ

totalcubo

enctotal

=Φ=Φ

==Φ

Este flujo sólo atraviesa 3 caras del cubo porque el vector superficie de las caras 1, 2 y 3 forman un ángulo de 90º con el vector E

r, por tanto:

00 24383 εε

QQcubocara =

⋅⋅=

Φ=Φ

1.2.4. Una corteza esférica de radio 6cm posee una densidad superficial uniforme de carga σ=9nC/m2: a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza? b) Determinar el campo eléctrico en r1=2cm, r2=5.9cm, r3=6.1cm y r4=10cm RESOLUCIÓN: + + + + + + + + + R + + + + + + + + + + + + + +


Página 22 de 50

a) Como la densidad superficial de carga es constante:

pCCRSQSQ 1740101740103641094 12492 ′=⋅′=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=⇒= −−− ππσσσ

Siendo mR 2106 −⋅= y ( )29109 m

C−⋅=σ

b) Aplicando el teorema de Gauss, se puede demostrar que le campo eléctrico en una corteza esférica de densidad superficial uniforme es: E

( ) 2rQKRrEr =≥

r E(r<R)=0 Si el radio es R=6cm, r1=2cm y r2=5.9cm corresponden a puntos del interior de la corteza y E=0. Para puntos fuera de la corteza:

( ) ( )

( ) ( )CN

rQKEcmr

CN

rQKEcmr

r

r

4636101093366

101010174010910

985105891016

10174010916

2

3

22

129

24

4

22

129

23

3

′=′=⋅

⋅′⋅⋅==⇒=

=⋅′=⋅′

⋅′⋅⋅==⇒′=

−

−

−

−

−

−

r

r

1.2.5. Una esfera de radio R1 tiene una cavidad central de radio R2. Una carga q está uniformemente distribuida en su volumen. Hallar el campo eléctrico y el potencial en: a) puntos fuera de la esfera b) su interior c) en la cavidad central RESOLUCIÓN: a) E

r

sdr

q r R1

R2


Página 23 de 50

Como es una distribución simétrica de carga, utilizaremos el teorema de Gauss para hallar el campo eléctrico en r>R1:

( )0

200 4

º0cosεπεε r

qEqSEsdEqsdEs

encencsE =⇒=⋅=⋅⇒=•=Φ ∫∫

rrrrrr

El potencial eléctrico en r≥R1:

( ) ( )

( ) ( )∞+⋅

=

⇒⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∞−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=−=∞−

⇒⋅−=⇒⋅−=⇒−=

∞∞

∞ ∞

∫

∫ ∫

Vr

qKrV

rqK

rqK

rqKdr

rqKVrV

drEdVdrEdVdrdVE

rr

r r

rrr

112

Como por definición V(∞) = 0 para una carga puntual:

( )r

qKrV ⋅=

b) sdr E

r

La carga total es q y está distribuida uniformemente en el volumen:

( ) ( )32

31

32

31 4

334

RRq

VqRRV

−⋅

==⇒−=π

ρπ

siendo ρ la densidad de carga. Aplicando de nuevo el teorema de Gauss, el campo eléctrico en R2<r<R1 es:

( )00

º0cosεεencenc

sEqSESEqsdE =⋅=⋅⇒=•=Φ ∫

rrrr

La carga encerrada por la superficie de Gauss, en este caso, será:

( ) ( ) ( ) ( )( )3

23

1

32

33

23

32

31

32

3

34

43

34

RRRrqRr

RRqRrVq

−−

=−⋅−

⋅=−=′⋅=′ π

ππρρ

Despejando el campo:

q r R1

R2


Página 24 de 50

( )( )3

23

1

32

3

024

1RRRrq

rE

−−

⋅=επ

El potencial en R2≤r≤R1:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=−

⋅=⇒⋅−=

∫

∫

∫∫

rR

RRrR

RRqRVrV

rRr

RRqRVrV

drrRrdr

RRqRVrV

drrRr

RRqRVrV

drEdVdrEdV

R

r

R

r

R

r

r

R

r

R r

r

Rr

32

1

32

221

32

310

1

32

2

32

310

1

2

32

32

310

1

2

32

32

310

1

221

4

241

41

41

11

1

1

11

πε

πε

πε

πε

Del apartado a) sabemos el potencial en R1 y despejando V(r):

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−+−

−=

⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−

−=

⋅=

21

32

2

32

310

1

32

31

32

1

32

221

32

310

1

32

1

32

221

32

310

11

23

24

224

224

Rr

RrRR

qrV

RRR

rR

RRrR

RRqrV

RqK

rR

RRrR

RRqrV

RqKRV

πε

πε

πε

d) El campo eléctrico en r<R2 es 0, porque la carga encerrada en dicha cavidad es 0. El potencial, por tanto, es un valor constante:

( ) ( ) −=−=∫ 22

RVrVdVr

R( ) ( )∫ =⇒=⋅

r

R r RVrVdrE2

20

Del apartado anterior:

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]22

213

23

10

21

223

23

10

21

2

32

22

32

310

2

83

23

23

4

23

24

RRRR

qRRRR

q

RRRR

RRqRVrV

−−

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

−==

πεπε

πε


Página 25 de 50

1.2.6. Supongamos que una carga positiva está distribuida uniformemente en un volumen esférico de radio R, siendo ρ la densidad de carga por unidad de volumen. Calcúlese la fuerza de repulsión que sufriría una carga puntual q, situada a una distancia r del centro de la esfera, siendo r≤R. RESOLUCIÓN: E

r

VQ=ρ

La fuerza de repulsión que se ejerce sobre una carga puntual situada a una distancia r≤R es EqF

rr⋅= , donde E

rse puede calcular usando el teorema de Gauss:

( )0

º0cosεenc

ssEqSEsdEsdE =⋅=⋅⋅=•=Φ ∫∫

rrrr

Despejando el campo:

002

3

02

02 34

34

44 ερ

επ

πρ

επρ

επr

r

r

rV

rqE enc ⋅

=⋅

=⋅

==

El campo eléctrico resultante será:

rrr uRrQu

R

rQurE rrrr3

030

0 43433 πεπεε

ρ ⋅=

⋅=

⋅=

Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la carga es:

ruRrQqEqF rrr

304πε⋅

=⋅=

sdr

R

r


Página 26 de 50

1.2.7. Una esfera de radio R posee una densidad volumétrica de carga proporcional a la distancia al centro ρ=A·r para r≤R y ρ=0 para r>R, siendo A una constante. Hallar: a) El valor de la constante A si la carga total de la esfera es Q b) El campo eléctrico tanto en el interior como en el exterior de la distribución de carga RESOLUCIÓN: Ar si r ≤ R ρ =0 si r > R r a) Si la carga total de la esfera es Q, la densidad es constante en un elemento infinitesimal de volumen dV, el cual tiene un carga dq:

dVdqdVdq

⋅=⇒= ρρ

En una determinada superficie cerrada la carga encerrada será la suma de las cargas dq de los infinitos elementos dV que forman esa región: ∫ ∫ ⋅== dVdqqenc ρ La carga total encerrada en la esfera de radio R es:

( ) 4

4

00

42

0 44

444

RQARArAdrrArdVRqQ

RR

R

enc ππππρ =⇒=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==⋅== ∫∫

b) Para hallar el campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera utilizaremos el teorema de Gauss:

0ε

encsE

qsdE =•=Φ ∫rr

Para r ≤ R:

( )0

º0cosεenc

s

qSEsdE =⋅=⋅⋅∫rr

r R


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b V1

necesitamos hallar la carga encerrada hasta r:

4

44

4

4

00 0

42

44

44

444

RrQr

RQrArAdrrrAdVq

rr r

enc =⋅

=⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅⋅=⋅= ∫ ∫ π

ππππρ

sustituyendo:

04

2

4

4

02

02 444 επεπεπ R

rQRr

rQ

rqE enc ⋅

===

Para r > R la carga encerrada es Q, por lo tanto:

0

24 επrQE =

1.2.8. Sean dos esferas conductoras concéntricas de radios a<b. La interior está a un potencial V1 y la exterior a un potencial V2. Determinar la carga sobre cada una de ellas. RESOLUCIÓN: V2 El potencial de una corteza esférica de radio R es: V KQ/R

KQ/r ( )

( )r

QKRrV

RQKRrV

⋅=≥

⋅=≤

R r El potencial en un punto será la suma de los potenciales creados en ese punto por las dos esferas conductoras. En r=a:

bQK

aQKV 21

1⋅

+⋅

=

En r=b:

bQK

bQKV 21

2⋅

+⋅

=

a


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Restando los valores de V1 y V2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−

baQK

bKQ

bKQ

bKQ

aKQVV 11

12121

21

Si despejamos Q1

( ) ( ) ( )

( ) ( )ababK

VV

ababK

VV

baK

VVQ ⋅−

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= 212121

1 11

Para obtener Q2 hacemos:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅=−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=−

abQK

aQK

bQK

bQK

bQK

ab

bQK

aQKV

abV 11

2222121

21

Si despejamos Q2:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

abK

VabV

Q11

21

2

1.2.9. Considérese dos esferas concéntricas y aisladas de radios a y b (a < b), estando la de radio a descargada y la de radio b con una carga total Q sobre su superficie. Se conecta la esfera interior a tierra sin tocar la exterior para nada. ¿Cuál será la carga que se induce en la esfera de radio a? ¿Cuál será el potencial en los puntos comprendidos entre las dos esferas? RESOLUCIÓN: Q a) Cuando conectamos a tierra la esfera interior, se induce en ella una carga Q´, siendo su potencial 0:

bQK

aQK +

′=0

b a


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de donde podemos despejar Q´:

baQ

Ka

bQKQ ⋅

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=′

b) El potencial en un punto comprendido entre las dos esferas a una distancia r del centro es:

( )bQK

rQKrV +

′=

que sustituyendo Q´, será:

siendo a<r<b. 1.2.10. Dos superficies esféricas concéntricas, de espesor despreciable y radios 5 y 10cm, se colocan a 30000 y 18000V respectivamente. A continuación se conecta la superficie interna a tierra. ¿A qué potencial queda la externa? RESOLUCIÓN: V2 Vamos a calcular la carga inicial que hay en cada una de las esferas. El potencial en la superficie de la esfera interna es:

( )

( )

31022

31010

310

25510103

5050

5101031

10510109103

1010105109103

103

6

2121

67

21217217

212

94

22

2194

4

2

2

1

1

2

2

1

11

−−−

−−

−−−

=+⋅⇒+⋅==⋅

+⋅=⋅+⋅=⋅⇒⋅+⋅

=⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⋅=⋅⇒⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⋅+

⋅⋅=⋅

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

QQQQ

QQQQQQ

QQQQ

VRQ

RQK

RQK

RQKV

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−=ra

bKQ

ra

bQK

bQK

baQ

rKrV 11

V1 R2

R1


Página 30 de 50

El potencial inicial en la esfera exterior es:

( )

721219

23

2122

2

2

12

102109

10101018 −−

⋅=+⇒+=⋅

⋅⋅⋅

+=+=

QQQQ

QQRK

RQK

RQKV

Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones, obtenemos Q1 y Q2:

721

21

6

102

23

10

−

−

⋅=+

+⋅=

QQ

QQ

( ) ( )

( )CQ

CQQQQ

7772

611

76

17

1

6

10701031102

101301023

1010223

10

−−−

−−−

−−

⋅′=⋅′−⋅=

⋅′=⇒=⋅−⇒−⋅+⋅=

Cuando conectamos la esfera interior a tierra cambia Q1, mientras Q2 se mantiene. El potencial ahora es:

( )CQ

RRQQ

RQ

RQ

RQ

RQK

RQK

RQKV

92

27

1

12

21

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

11

103510101051070

00

−−

−− ⋅−=

⋅⋅

⋅⋅′−=′

⇒−=′⇒=+′

⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

′=+

′==′

El potencial en la esfera exterior es:

( )( ) ( )VV

QQRK

RQK

RQKV

37102

772

9

2122

2

2

12

1015310350109

1070103501010109

⋅′=⋅′⋅=

⇒⋅′+⋅′−⋅⋅

=+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′=+

′=

−

−−−


Página 31 de 50

P

acE arg

r

q

líneaEr •

x

P

acE arg

r

q

líneaEr •

x

1.2.11. Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme λ=-1.5μC/m es paralela al eje y en x=-2m. Una carga puntual de 1.3μC está localizada en el punto (1,2). Determinar el campo eléctrico en el punto (2,1.5) RESOLUCIÓN: y λ x=-2 x El campo total es la suma del campo que crea la línea y el campo que crea la carga. El campo que crea la línea en P es:

( )( )CNiE

CN

rE

línea

línea

rr

r

3

396

0

10756

1075642

109410512

⋅′−=

⋅′=⋅

⋅⋅⋅⋅′==

−

ππ

επλ

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) CNE

u

rr

urQkE

puntualac

r

rpuntualac

336

9arg

22

2arg

10325,1057950,90111031109

50,901150,

111

1150150,12,151,2

⋅′−⋅′=′−′′⋅′

⋅=

′−′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′′−

′=

′=′−+=⇒′−=−′=

=

−r

r

rr

rr

El campo total en P es:

( ) CNjiijiEEE

líneaac PPP

rrrrrrrr33333 1032510822107561032510579

arg⋅′−⋅′=⋅′−⋅′−⋅′=+=


Página 32 de 50

1.2.12. En cada uno de los tres planos indefinidos x=−2, x=0, x=2, existe una distribución de carga superficial σ1 =2 C/m2, σ2=4 C/m2, σ3=−3 C/m2, respectivamente. Hallar el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando origen de potenciales V=0 en x=0. RESOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta el signo de la carga de cada plano, dibujamos el campo eléctrico que crea cada uno de ellos en cada región. El campo eléctrico que crea un plano indefinido en sus proximidades es:

En una región el campo eléctrico total es la suma de los campos eléctricos que crea cada plano:

( )Ι ( )ΙΙ ( )ΙΙΙ ( )VΙ

x

2−=x 0=x 2=x

1Er

1Er

1Er

1Er

2Er

2Er

2Er

2Er

3Er

3Er

3Er

3Er

1σ 2σ 3σ

0=V

Er

Er

Er

Er

x x

0⟩σ 0⟨σ

( ) ixErr

020

εσ

=⟩( ) ( )ixE

rr−=⟩

020

εσ


Página 33 de 50

REGIÓN І:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )CNiE

iiiiiiEEEE

rr

rrrrrrrrrr

0

0000

3

0

2

0

1

23

23

24

22

222321

ε

εεεεσ

εσ

εσ

−=

+−+−=+−+−=++=

Ι

ΙΙΙΙ

REGIÓN II:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )CNiE

iiiiiiEEEE

rr

rrrrrrrrrr

0

0000

3

0

2

0

1

21

23

24

22

222321

ε

εεεεσ

εσ

εσ

=

+−+=+−+=++=

ΙΙ

ΙΙΙΙΙΙΙΙ

REGIÓN III:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )CNiE

iiiiiiEEEE

rr

rrrrrrrrrr

0

0000

3

0

2

0

1

29

23

24

22

222321

ε

εεεεσ

εσ

εσ

=

++=++=++=

ΙΙΙ

ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ

REGIÓN IV:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )CNiE

iiiiiiEEEE

V

VVVV

rr

rrrrrrrrrr

0

0000

3

0

2

0

1

23

23

24

22

222321

ε

εεεεσ

εσ

εσ

=

−++=−++=++=

Ι

ΙΙΙΙ

Para obtener los potenciales, consideramos V(x=0) = 0: REGIÓN II (-2 ≤ x ≤ 0):

( ) ( ) [ ] ( )∫ ∫ −=⇒−=−=⋅−=−=x xx

xxVxxdxEVxVdV0

000

00 2

121

210

εεε

REGIÓN I (x ≤ -2):

( ) ( ) [ ] [ ]

( ) [ ] ( ) ( )232322

23

223

232

000

02

022

−++=−++=

⇒+==⋅−=−−= −−− ∫∫

VxVxxV

xxdEVxVdV xxx

εεε

εε


Página 34 de 50

Utilizando el resultado de la región II:

( )

( )00000

0

42313

23

12

εεεεε

ε

+=++=

=−

xxxV

V

REGIÓN III (0 ≤ x ≤ 2):

( ) ( ) [ ]

( ) xxV

xxdxdxEVxVdVx xxx

0

00

000

00

29

29

29

290

ε

εεε

−=

⇒−=−=−=⋅−=−= ∫∫∫

REGIÓN IV (x ≥ 2):

( ) ( ) [ ]

( ) ( )2323

223

232

00

200

2 2

VxxV

xdxdxEVxVdVxx x

++−=

⇒−−=−=⋅−=−= ∫∫ ∫

εε

εε

Utilizando el resultado de la región III:

( )

( )00000

0

62393

23

92

εεεεε

ε

−−=−+−=

−=

xxxV

V

1.2.13. Una esfera conductora, de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo conductor, de capacidad despreciable, a otra esfera de radio R2 (R2<R1), inicialmente descargada. Suponiendo que las esferas están lo suficientemente alejadas entre sí para que los fenómenos de influencia sean despreciables, calcular: a) Las cargas Q1 y Q2 de cada una de las esferas b) Potencial c) Densidad superficial de carga en cada esfera d) Repetir el problema suponiendo que la distancia entre los centros de las dos esferas es d. RESOLUCIÓN: a) Al unir ambas esferas, parte de la carga Q de la primera pasa a la segunda de tal forma que entre ambas esferas suman la carga Q. También, al unirlas quedan ambas al mismo potencial V:


Página 35 de 50

El potencial de la primera, V’1, será:

1

1

01 4

1RQV

πε=′

Y el de la segunda:

2

1

02 4

1R

QQV −=′

πε

Como V=V’1=V’2:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅

=+

−=−=

+⋅

=→

−=

21

2

21

112

21

11

2

1

01

1

0 41

41

RRRQ

RRRQQQQQ

RRRQQ

RQQ

RQ

πεπε

Si comparamos las cargas, vemos que Q1 es mayor que Q2. b) El potencial al que quedan ambas esferas es:

( ) 210121

1

0 41

41

RRQ

RRRRQV

+=

+⋅

=πεπε

c) Las densidades superficiales de carga en cada esfera son:

( )2112

1

11 4

14 RRR

QR

Q+

==ππ

σ y ( )21222

22 4

14 RRR

QR

Q+

==ππ

σ

Siendo en este caso σ1 menor que σ2. APÉNDICE 1.2.14. Un trozo de varilla delgada no conductora de longitud L tiene una carga total q, distribuida uniformemente a lo largo de ella. Hallar el campo eléctrico E

r en:

a) Un punto P de la mediatriz de la varilla b) En el mismo punto cuando L tiende a infinito.

1R

2R

1Q2Q


Página 36 de 50

Siendo λ la densidad lineal de carga, escribimos el valor de la carga dq de un trozo infinitesimal de barra:

dxdqLq ⋅=⇒⋅= λλ Y el campo eléctrico correspondiente a dicho trozo será:

22 rdxK

rdqKEd ⋅

==λr

cuyas componentes son: 0==→−= ∫′ xxxx EdEEdEd

rrrr por simetría (para cada dq siempre hay un dq´

simétrico de forma que las componentes del campo eléctrico en el eje x se anulan).

θλπε

θ cos4

1cos 20 r

dxEdEd y⋅

=⋅=rr

(sólo existe componente en el eje y)

Tenemos que el campo depende de tres variables : ),,( rxfdE θ= , pero debemos ponerlo en función de una sola variable, en este caso θ.

θθθθ 2cos

dydxtgyxyxtg =⇒⋅=⇒=

θθθ 2

22

coscoscos yryr

ry

=⇒=⇒=

Sustituimos en la componente y:

θθλπε

θ

θ

θθ

λπε

dyy

dyEd y ⋅⋅== cos

41cos

cos

cos4

10

2

2

2

0

r

Integrando:

( ) ( ) 22220

000

0000

22

24

2

42

412cos

412cos

41 0

0

0

0

yLy

qk

yL

L

y

seny

seny

dy

dy

Ey

+

⋅=

+=

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∫ ∫−

λπε

θλπε

θλπε

θθλπε

θθλπε

θθ

θ

θr

yEdr

Edr

xEdr

r

x x ′

y

P⋅θ

θ

dx

dq qd ′


Página 37 de 50

θθ

2/L 2/L

ya que:

( ) 220

2

2yL

Lsen

+=θ

Valoración:

Si ykEsenL y

λππθ ⋅⋅=⇒=→=⇒∞→

2122

1.2.15. Un anillo de radio a tiene una carga q distribuida uniformemente a lo largo de su circunferencia. Calcular el campo eléctrico y el potencial eléctrico en puntos a lo largo del eje perpendicular que pasa por el centro del anillo, en función de la distancia a dicho centro.

El campo eléctrico que crea en el eje x un elemento de carga infinitesimal dq es:

20

2 41

rdq

rdqKEd

πε==

r

Sólo existe componente en x, ya que por simetría las componentes en y se anulan.

( )x

ax

qxrqx

rdqEdEdE xx

23220

30

30 4

14

14

1cos+

===⋅== ∫∫∫ πεπεπεθ

rrr

siendo rx

=θcos y 22 axr +=

Por lo tanto, el campo en cualquier punto del eje x es:

( )i

ax

xqErr

232204

1

+

⋅=

πε

Casos particulares:

a

0 x

22 axr +=

Edr

θθ

xEdr

dq


Página 38 de 50

2

00

xqKEax

Ex

→⇒>>

=⇒→r

Para x muy alejadas del origen se aproxima al campo de una carga puntual. Y el potencial será:

220 ax

KQr

dqKVr

dqKdVQ

+==⇒= ∫

1.2.16. Un cilindro hueco de radio R y longitud L se encuentra cargado uniformemente

con una densidad superficial de carga σ. Calcular el campo eléctrico y el potencial en los puntos que están sobre el eje del cilindro.

Considerando la expresión del campo eléctrico obtenida en el ejercicio anterior para un anillo de radio R y carga dq:

( )dq

xR

xKEd x2

322 +=

r

donde dxRdq ⋅= σπ2 Sustituyendo el valor dq:

( )

( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

−−+=

+−=

+=

+=

∫−

−−

−

−−2222222

322

2322

11222

2

rRrLRKR

xRRKdx

xR

xRKE

dxxR

xRKdE

r

rL

r

rL

x

x

σπσπσπ

σπ

hR

r

x

L

ydx

•P xEdr

Edr

θ

θ


Página 39 de 50

En cuanto al potencial creado en un punto P por anillo de radio R y carga dq:

dxxR

RKxR

dqKdV2222

2+

=+

=σπ

Que considerando el origen en P, e integrando a todo el cilindro:

( )[ ]( )[ ] ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++++−−++−=

=++=+

=+

=−

−−

−

−−

−

−−∫∫

2222

222222

lnln2

ln222

RrLrLRrrRK

RxxRKxR

dxRKdxxR

RKVr

rL

r

rL

r

rL

σπ

σπσπσπ

1.3 Condensadores. Campo eléctrico en la materia y energía del campo 1.3.1. Un condensador de láminas plano paralelas tiene una capacidad C0 y una separación entre las láminas d. Se insertan entre las placas dos láminas dieléctricas de constantes ε1 y ε2, cada una de ellas de espesor d/2 y de la misma área que las placas.

Demostrar que la capacidad es: 021

212 CC ⋅+

⋅⋅=

εεεε

RESOLUCIÓN:

La capacidad de un condensador de láminas plano-paralelas es C0:

d

SVQC ⋅

== 00

ε

Si se insertan 2 dieléctricos entre las láminas que ocupan cada uno la mitad del espacio que existe entre ellas, tenemos 2 condensadores en serie (misma carga y distinta d.d.p.) cuyas capacidades son, respectivamente:

2

01 d

SC ⋅=

ε 2

02 d

SC ⋅=

ε

La capacidad equivalente es:

2d

2d

1ε

2ε

S


Página 40 de 50

( )( ) ( ) ( )( )22

2

22

22

21

21

21

221

21

21

21

21

dS

SSd

dSS

dS

dS

dS

dS

CCCCCeq εε

εε

εε

εεεε

εε

+⋅⋅

=⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅=

⋅+

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

=+⋅

=

( )( )221

21

dSCeq εε

εε+

⋅⋅=

Teniendo en cuenta que:

01 1εεε ⋅= r y 02 2

εεε ⋅= r

( )( ) ( )( ) ( ) 00

0

20

00

00

21

21

21

21

21

21

21

2122

22C

dS

dS

dS

Crr

rr

rr

rr

rr

rr

rr

rreq ⋅

+⋅⋅

=⋅+

⋅⋅⋅⋅=

+

⋅⋅⋅=

⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅=

εεεε

εεεεε

εεε

εεε

εεεε

εεεε

Otra forma de resolver el problema es usar la definición de capacidad y calcular la nueva diferencia de potencial:

VQC = donde 221121 dEdEVVV ⋅+⋅=+= siendo

11 ε

σ=E y

22 ε

σ=E

1.3.2. Una lámina de cobre de espesor b se introduce dentro de las láminas planas de un condensador. La lámina de cobre se encuentra situada exactamente a la mitad de la distancia d entre las placas. ¿Cuál es la capacidad del condensador antes y después de introducir la lámina? RESOLUCIÓN: Antes de introducir la lámina conductora:

donde

dSC 00 ε=

Q+ Q−

d

0Er

S


Página 41 de 50

Al introducir la lámina conductora de cobre:

Utilizando la definición de capacidad:

VS

VQC ⋅

==σ donde: 321 VVVV ++=

En la lámina de cobre el campo es cero y el potencial constante, por lo que la d.d.p entre sus extremos es 0.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=+=

2222 3131bdEbdEVVV

siendo 0

1 εσ

=E y 0

2 εσ

=E

[ ]bdbdbdV −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

000 2222 εσ

εσ

εσ

La capacidad, por lo tanto, es:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅=

−

⋅=

⋅=

db

C

dbd

S

bd

SV

SC1

1

10

0

0

ε

εσ

σσ

1.3.3. Las láminas de un condensador plano están separadas 5mm y tienen 2m2 de área. Entre ellas se introducen dos dieléctricos, uno con espesor 2mm y permitividad relativa 5, el otro de 3mm y permitividad relativa 2. El condensador se carga a C510543 −⋅′ . Calcular: a) El campo eléctrico en cada dieléctrico b) La diferencia de potencial entre las láminas del condensador c) La capacidad del condensador

Q+ Q−

b

1V 2V 3V

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

22bd

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

22bd


Página 42 de 50

RESOLUCIÓN:

a) El campo eléctrico entre láminas de un condensador plano-paralelo con un dieléctrico de permitividad ε es:

SQE⋅

==εε

σr con 0εεε ⋅= r

de donde:

( )mV

SQ

SQE

r

4003652

10945

10543

9

5

10111

1

=⋅

⋅

⋅′=

⋅⋅=

⋅=

−

πεεε

r

( )mV

SQ

SQE

r

10009112

10942

10543

9

5

20222

2

=⋅

⋅

⋅′=

⋅⋅=

⋅=

−

πεεε

r

b) La d.d.p entre las placas del condensador es:

( )VdEdEVVV 38031031000911102400365 33221121 =⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅=+= −−

c) La capacidad es:

( )nFVQC 391039

380310543 9

5

′=⋅′=⋅′

== −−

1.3.4. Una placa de dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica relativa εr, se coloca entre dos placas planas y paralelas de área A y separación d. La diferencia de potencial antes de introducir el dieléctrico es V. Supóngase que A=100cm2, d=1cm, εr=7, V=100V y b=0'5cm. Calcular: a) La capacidad del condensador antes de introducir el dieléctrico b) La carga libre depositada en las placas del condensador c) La intensidad del campo eléctrico en el hueco

Q+ Q−

1d 2dd

1Er

2Er

1V 2V


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d) La intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico e) La diferencia de potencial que existe entre las placas f) La capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico RESOLUCIÓN:

a) ( )pFdSC 848108481010848

1010100

10941 1293

2

4

900 ′=⋅′=⋅⋅′=⋅

⋅⋅⋅

== −−−−

−

πε

b) ( )CVCQVQC 1012

00 1084810010848 −− ⋅′=⋅⋅′=⋅=⇒=

c) ( )mV

dVEdEV 4

20

000 1010100

===⇒⋅= −

d) ( )mVEE

r

681427

1040 ′===

ε

e) ( ) ( )VbEbdEVr

1475105068142105010 22400 ′=⋅′⋅′+⋅′⋅=⋅+−⋅= −−

ε

f) ( )FVQC 12

10

10551147510848 −

−

⋅′=′⋅′

==

1.3.5. Las armaduras de un condensador plano tienen una superficie de 250 cm2. El dieléctrico situado entre las armaduras es mica de 1.2mm de espesor y εr=6. Determinar: a) La capacidad del condensador b) La carga cuando la diferencia de potencial entre las armaduras es de 500V c) El campo eléctrico entre las armaduras d) La fuerza atractiva entre las mismas e) La energía almacenada en el condensador

S

db

rε


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RESOLUCIÓN:

a) ( )FdSC r

93

4

90 1011102110250

109416 −

−

−

⋅′=⋅′⋅

⋅⋅⋅=⋅=

πεε

b) ( )CVCQVQC 69 105505001011 −− ⋅′=⋅⋅′=⋅=⇒=

c) ( )mV

dVEdEV 416667

1021500

3 =⋅′

==⇒⋅= −

d)

El trabajo está relacionado con la energía almacenada:

( )ε

σεσε xS

xSdECVCW ⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=⋅⋅=⋅=22

22

21

21

21

21

y

x

x

S

Q+ Q−Er

Fr

dS Fdr

6=rε

2250 cmS =

mmd 21′=


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Si manteniendo la carga constante se aproximan las armaduras una distancia dx, la energía almacenada disminuye en una cantidad:

dxSdWεσ 2

21 ⋅

=

Esta variación de energía equivale al trabajo de la fuerza que actúa sobre una de las armaduras:

( ) ( )N

SQ

SQ

SQSS

dxdWFSdxFdW

r

11401025010550

61094

21

1211

21

21

21

21

4

269

2

0

2

2

22

2

′=⋅⋅′

⋅⋅⋅

⋅=

=⋅⋅

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅==⇒⋅

=⋅=

−

−π

εεεεσ

εεσ

e) ( ) ( )JVCU 4292 10381500101121

21 −− ⋅′=⋅′⋅=⋅=

1.3.6. Dado el sistema de la figura, calcular la energía almacenada por cada condensador si la diferencia de potencial entre A y B es V=20 V, siendo C=4 μF.

RESOLUCIÓN:

La energía almacenada en un condensador es:

QVCVU21

21 2 ==

Consideramos los condensadores 1 y 2 que están en serie para calcular V1 y V2. Estos tienen la misma carga Q:

A BC 2C

2C 6C

• •A BQ Q

Q′ Q′

C C2

C2 C6

FCVVAB

μ420

==

1 2

3 4


Página 46 de 50

22

2

11

1

22 VCQVQCC

VCQVQCC

⋅=⇒==

⋅=⇒==

Igualando las Q:

2121 22 VVVCVC =⇒⋅=⋅ Teniendo en cuenta que VAB es la suma de V1 y V2:

( ) ( ) ( )VVVVVVVVVVVAB 340

3202032 1222221 =⇒=⇒==+=+=

La energía almacenada en los condensadores 1 y 2 es:

( )

( )JCVVCU

JCVVCU

42

622

2222

462

621

2111

107713

20104221

21

1055318

16001043

4010421

21

21

−−

−−

−

⋅′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅===

⋅′=⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅===

Consideramos los condensadores 3 y 4 que están en serie para calcular V3 y V4. Estos tienen la misma carga Q’:

44

4

33

3

6''6

22

VCQVQCC

VCQVQCC

⋅=⇒==

⋅=′⇒′

==

Igualando las Q’:

4343 362 VVVCVC =⇒⋅=⋅ Teniendo en cuenta que VAB es la suma de V3 y V4:

( ) ( ) ( )VVVVVVVVVVVAB 1554202043 3444443 =⇒==⇒==+=+=

Por tanto, la energía almacenada en cada uno de ellos es:


Página 47 de 50

( )

( )JVCVCU

JVCVCU

42624

2444

42623

2333

10351046216

21

21

10915104221

21

−−

−−

⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅==

⋅=⋅⋅=⋅⋅==

1.3.7. Dos condensadores en paralelo tienen una energía de J4109 −⋅ cuando entre sus armaduras se establece una diferencia de potencial de 5000V. Cuando los mismos condensadores se conectan en serie y se establece la misma diferencia de potencial entre las armaduras extremas, la energía es de J4102 −⋅ . Hallar sus capacidades. RESOLUCIÓN: Para la conexión en paralelo:

( ) 106

4

2142

212

21

1072010251018109

21

21 −

−− ⋅′=

⋅⋅

=+⇒⋅=⋅+==

+=

CCVCCVCU

CCC

eqparalelo

eq

Para la conexión en serie:

106

4

21

2142

21

212

21

21

101601025

10410221

21 −

−− ⋅′=

⋅⋅

=+⋅

⇒⋅=⋅+⋅

⋅==

+⋅

=

CCCCV

CCCCVCU

CCCCC

eqserie

eq

Resolvemos el sistema:

( )

0101152010720

1011520107201016010720

101601072010720

10720

101601025

104

10720

202

1022

201010222

10

10

2210

2210

210

1

106

4

21

21

1021

=⋅′+⋅′−⇒

⋅′=⋅′⋅⋅′=−⋅⋅′⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒⋅′=+−⋅′⋅−⋅′

−⋅′=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅′=⋅

⋅=

+⋅

⋅′=+

−−

−−−−

−−

−

−

−−

−

CC

CC

CCCC

CC

CCCC

CC

Se resuelve esta ecuación de segundo grado:

1C

1C

2C

2C

( )( )JU

VV

paralelo4109

5000−⋅=

= ( )( )JU

VV

serie4102

5000−⋅=

=


Página 48 de 50

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅′=⇒⋅′

⋅′=⇒⋅′=

⇒⋅′±⋅′

=⋅′−⋅′±⋅′

=

−−

−−

−−−−−

JCF

JCFC

C

101

10

101

10

2

1010202010

2

1048010240

10240104802

10240107202

1046080105184010720

Uno de los condensadores tiene una capacidad de ( )J1010480 −⋅′ y el otro de

( )J1010240 −⋅′ . 1.3.8. En un condensador de placas paralelas de área A y separación d, una batería carga las placas comunicándoles una diferencia de potencial V0. Entonces se desconecta la batería y se introduce una placa de dieléctrico con espesor d. Calcúlese la energía almacenada antes y después de introducir el dieléctrico. RESOLUCIÓN:

La energía almacenada antes de introducir el dieléctrico es:

2000 2

1 VCU =

donde dAC 00 ε=

por tanto:

( )JVd

AU 20

00 2

1⋅

⋅=

ε

La energía almacenada después de introducir el dieléctrico es:

d

A

ε


Página 49 de 50

2

21 CVU =

donde dACC rr ⋅⋅== ⋅ 00 εεε y

r

VVε

0=

por tanto:

rr

rUV

dAU

εεεε 0

2

20

021

=⋅⋅⋅=

1.3.9. a) Calcular la energía almacenada en una esfera conductora de radio R y carga Q. b) ¿Cuál sería la energía almacenada si se tratara de una esfera de radio R y carga Q uniformemente distribuida en todo el volumen? RESOLUCIÓN: a) Para cargar un conductor es necesario gastar energía porque, para suministrarle más carga, debe realizarse trabajo para vencer la repulsión de las cargas ya presentes. Este trabajo ocasiona un aumento en la energía del conductor. Para un conductor de capacidad C con carga q, se tiene:

CqV =

Si añadimos una carga dq al conductor, trayéndola desde el infinito, el trabajo realizado es: dqVdW ⋅= Y este trabajo es igual al incremento en la energía del conductor.

C

QdqqC

WdqCqdqVdW

Q

21 2

0=⋅=→=⋅= ∫

Como para un conductor esférico de radio R, la capacidad es: RC πε4= La energía almacenada será:

R

QWπε42

1 2

=

Por otro lado, tenemos que el campo eléctrico para un conductor esférico es:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<

=Rr

rQ

RrE

24

0

πε


Página 50 de 50

Si calculamos la integral de E2 extendida a todo el espacio,

RQ

rdrQdrr

rQdrrEdrrEdVE

RRR

R

2

2

22

22

2

222

0

22

0

2

444

4044

πεπεπ

πεππ ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=⋅ ∫∫∫∫∫

∞∞∞∞

y comparamos con la energía almacenada, podremos escribirla como:

∫ ⋅=V

dVEW 2

21 ε

de donde la energía almacenada por unidad de volumen o densidad de energía será:

2

21 EuE ε=

b) Para formar una esfera cargada uniformemente en todo su volumen, tenemos en cuenta que su campo eléctrico es:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

≤⋅

=Rr

rQ

RrRrQ

E

20

30

4

4

πε

πε

Por lo que la energía almacenada es:

∫∫ =⋅=VV

drrEdVEW 2220 4

21

21 πε

de donde:

RQ

RQ

RQ

RQ

rdrQdrr

RQdrr

rQdrr

RrQW

R

R

R

R

20

2

20

2

20

2

20

2

220

2

0

462

0

22

2

20

2

0

2

30

203

406

840

421

4214

4214

421

πεπεπεπε

πεπεπ

πεπ

πε

==+=

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅= ∫∫∫∫

∞∞

La energía almacenada será:

R

QW 20

2

203πε

=

tema 1. campo eléctricoprofesdeciencies.net/wp-content/uploads/2014/02/...departamento de física,...

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