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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIOacuteNESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIOacuteN SECUNDARIA
MATEMAacuteTICA E INFORMAacuteTICAX SEMESTRE-2011
PRESENTADO POR
NORY LUPACA QUISPEEMAIL norylqgmailcom
1Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EL TRIAacuteNGULOldquoSEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSrdquo
2Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
HISTORIA DE TRIAacuteNGULOCONTENIDO TEOacuteRICO
EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
CONCLUSIONES
INTRODUCCIOacuteN
INDICE
BIBLIOGRAFIacuteA
3Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
INTRODUCCIOacuteN
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante
Los objetivos de semejanza de triaacutengulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triaacutengulo
4Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
5
HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
TRIAacuteNGULO ISOSCELES
6Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
7Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
SALOacuteN DE CLASES
8Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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EL TRIAacuteNGULOldquoSEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSrdquo
2Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
HISTORIA DE TRIAacuteNGULOCONTENIDO TEOacuteRICO
EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
CONCLUSIONES
INTRODUCCIOacuteN
INDICE
BIBLIOGRAFIacuteA
3Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
INTRODUCCIOacuteN
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante
Los objetivos de semejanza de triaacutengulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triaacutengulo
4Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
5
HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
TRIAacuteNGULO ISOSCELES
6Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
7Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
SALOacuteN DE CLASES
8Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
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- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
HISTORIA DE TRIAacuteNGULOCONTENIDO TEOacuteRICO
EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS PROPUESTOS
CONCLUSIONES
INTRODUCCIOacuteN
INDICE
BIBLIOGRAFIacuteA
3Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
INTRODUCCIOacuteN
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante
Los objetivos de semejanza de triaacutengulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triaacutengulo
4Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
5
HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
TRIAacuteNGULO ISOSCELES
6Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
7Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
SALOacuteN DE CLASES
8Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
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43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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INTRODUCCIOacuteN
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular los procesos internos del desarrollo del estudiante
Los objetivos de semejanza de triaacutengulo son utilizar adecuadamente los criterios en la resolucioacuten de problemas y diferenciar cada criterio asociadas al triaacutengulo
4Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
7Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
SALOacuteN DE CLASES
8Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
5
HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
TRIAacuteNGULO ISOSCELES
6Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
7Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
SALOacuteN DE CLASES
8Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
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Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
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- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
TRIAacuteNGULO ISOSCELES
6Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
7Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
SALOacuteN DE CLASES
8Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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GRACIAS
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Erase una vez un nintildeo llamado Isoacutesceles Se mudoacute a un pueblo llamado Pocomaacutes Estaba emocionado pues asistiriacutea a una nueva escuela este cursaba el quinto grado
En su primer diacutea de clases su maestra llamada Geometriacutea presentoacute a todos sus compantildeeros de clase por sus nombres entre ellos se encontraba un nintildeo llamado Cuadrado otro Rectaacutengulo tambieacuten Trapecio Rombo y Paralelogramo Isoacutesceles miroacute a todos lados y se percatoacute que sus compantildeeros eran muy diferentes a eacutel
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SALOacuteN DE CLASES
8Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
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13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
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15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Semejanza
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21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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-
SALOacuteN DE CLASES
8Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
La maestra asignoacute que escribieran sobre su familia y que construyeran su aacuterbol familiar Isoacutesceles fue a su casa y le narroacute a su mamaacute lo sucedido ldquo Hijo miacuteo te contareacute la historia de nuestra familia y construiraacutes tu aacuterbol familiarrdquo
9Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de caraacutecter fuerte y muy recto en sus ideas
10Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
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SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Teniacutean por nombres Obtusaacutengulo y Acutaacutengulo este uacuteltimo era un nintildeo hermoso por sus facciones perfectas
11Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
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43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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-
Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su padre se llamaba Equilaacutetero fue un gran hombre con valores incalculables y muy justo con el proacutejimo
12Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Semejanza
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21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
13Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
14Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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-
ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis compantildeeros de clase Ellos son maacutes corpulentos y maacutes fuertes que yordquo Isoacutesceles no todos pertenecemos a la misma familia ni llevamos el mismo apellidordquo rdquo Posiblemente ellos pertenecen a la familia de los Cuadrilaacuteterosrdquo Siacute mamaacute Tambieacuten me he dado cuenta que nosotros nos parecemos pero no somos iguales mi abuelo y mi papaacute son diferentes a miacute ldquo Hijo contestoacute su madre nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triaacutengulos aunque nos parecemos en nuestra apariencia no somos igualesrdquoldquoNadie en el mundo es exactamente igual a otra personardquoIsoacutesceles pensoacute en la forma maacutes raacutepida de construir su aacuterbol familiar y disentildeo el siguiente diagrama
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Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
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-
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
15
FAMILIA DE LOS TRIANGULOS
De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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GRACIAS
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo presentoacute a su maestra la Sra Geometriacutea Ella quedoacute muy complacida con su trabajo La maestra les explicoacute que no todas las familias son iguales ni su nuacutemero de componentes tampoco Sus compantildeeros de clase comprendieron porque Isoacutesceles era diferente a ellos Isoacutesceles tuvo muchos amigos y comprendioacute que debemos amar al proacutejimo sin establecer diferencias
16Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
17
SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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GRACIAS
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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SEMEJANZA DE
TRIAacuteNGULOS
18Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
bull Si dibujamos dos triaacutengulos en la pizarrahellip
bull iquestCoacutemo saber si son semejantes o no
INTRODUCCIOacuteN
19Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
20
Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
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Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
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Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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GRACIAS
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Semejanza
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
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Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
21
Descripcioacuten Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
Ejemplos de figuras
semejantes
No son figuras semejantes
22Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
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EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
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Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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No son figuras semejantes
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Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos (correspondientes) es
constante es decir son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
EjemploiquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
5cm
2cm
10cm
4cm
iquestTienen sus lados respectivos proporcionales
Efectivamente al tratarse de dos rectaacutengulos todos los aacutengulos miden 90ordm y se cumple que los aacutengulos correspondientes son
congruentes
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que
los dos rectaacutengulos son semejantes
2
4
5
10
Asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales
10 bull2 = 5 bull 4iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
23Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
24Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
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II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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GRACIAS
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Triaacutengulos semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos son respectivamente iguales y
sus lados homoacutelogos son proporcionales
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Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
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Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
25Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
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- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
26Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer CriterioAacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute = b bacute de lo anterior se deduce que = ggacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute27Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Ejemplo Nordm 01
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
100ordm
30ordm
100ordm30ordm
28Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
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EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
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37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
II Segundo CriterioLADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
aaacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es deciraaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute29Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
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-
Ejemplo Nordm 02Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son
iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
30Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
bull Por el criterio LLL estos triaacutengulos son semejantes
Ejemplo Nordm 03
2 6
83 9
12
2 = 6 = 83 9 12
31Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
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Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son
semejantes entre siacuteAacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
III Tercer CriterioLADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute32Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y
Ambientes Virtuales
Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
34Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
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GRACIAS
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
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Ejemplo Nordm 04iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
33Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
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33ordm33ordm
4 = 358 7
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EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
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Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
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Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
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-
bull Seguacuten el criterio anterior estos triaacutengulos deben ser semejantes
Ejemplo Nordm 05
8
7
4
35
33ordm33ordm
4 = 358 7
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EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
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Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
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Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
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Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
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- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
EJERCICIOS RESUELTOS
35Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
- Slide 41
- Slide 42
- Slide 43
- Slide 44
- Slide 45
- Slide 46
-
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio Nordm 01
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
36Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
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43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
37
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
Ejercicio Nordm 02
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
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38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
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43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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- Slide 42
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Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
38
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio Nordm 03
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
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Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
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Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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GRACIAS
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- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
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- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
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- Semejanza
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- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
- Slide 31
- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
- Slide 34
- Slide 35
- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 39
- Slide 40
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- Slide 42
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-
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
39
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
Ejercicio Nordm 04 Una aplicacioacuten
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
EJERCICIOS PROPUESTOS
40Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
41Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales 42
Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
3
La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
4
Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
5
6
43Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
44Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
BIBLIOGRAFIacuteACOVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica 2ordm Editorial Coventildeas 2008COVENtildeAS NAQUICHE Manuel Matemaacutetica
3ordm Editorial Coventildeas 2008 httpwwwsalesianosalameda wwwalcastecom
45Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
GRACIAS
46Nory Lupaca Quispe - Xs - Telemaacutetica y Ambientes Virtuales
- Slide 1
- Slide 2
- Slide 3
- INTRODUCCIOacuteN
- HISTORIA DEL TRIAacuteNGULO
- TRIAacuteNGULO ISOSCELES
- Slide 7
- SALOacuteN DE CLASES
- Slide 9
- ldquoMi padre( tu abuelo) se llamaba Rectaacutengulo era un hombre de
- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
- Slide 13
- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
- Slide 15
- De esta manera Isoacutesceles construyoacute su aacuterbol familiar y lo prese
- Slide 17
- Slide 18
- Slide 19
- Semejanza
- Slide 21
- No son figuras semejantes
- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
- Triaacutengulos semejantes
- Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
- Ejemplo Nordm 02
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- III Tercer Criterio LADO-AacuteNGULO-LADO ldquoLALrdquo
- Ejemplo Nordm 04
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- Ejercicio Nordm 01
- Ejercicio Nordm 02
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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EJERCICIOS PROPUESTOS
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Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
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Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
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Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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CONCLUSIONES El tema desarrollado es de mucha ayuda para estudiantes de secundaria
Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
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- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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Los lados de un triaacutengulo miden 24 m 18m y 36 m respectivamente Si los lados de otro triaacutengulo miden 12m 16 m y 24 m respectivamente Determina si son o no semejantes justificando tu respuesta
1
Si los triaacutengulos ABC y ArsquoBrsquoCrsquo tienen iguales los aacutengulos marcados del mismo modo establece la proporcionalidad de sus lados2
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Los lados de un triaacutengulo miden 36 m 42 m y 54 m respectivamente Si en un triaacutengulo semejante a eacuteste el lado homoacutelogo del primero mide 24 m hallar los otros dos lados de este triaacutengulo
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
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Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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La razoacuten de semejanza del triaacutengulo ABC con el triaacutengulo ArsquoBrsquoCrsquo es 34 Si los lados del primero son 18 21 y 30 determina los lados del segundo
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Los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo miden 6 m 8 m y 10 m respectivamente iquestCuaacutento mediraacuten los catetos de un triaacutengulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m
Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- ldquoMamaacuterdquo preguntoacute Isoacutescelesrdquo ldquoPorqueacute yo no me parezco a mis co
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- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
- Ejemplo Nordm 01
- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
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Los lados de un triaacutengulo miden 2 cm 15 cm y 3 cm Construye sobre un segmento de 25 cm homoacutelogo del primer lado de este triaacutengulo un triaacutengulo semejante a aquel
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- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- Definicioacuten geomeacutetrica Dos figuras son semejantes cuando la raz
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- Existen Tres Criterios de Semejanza de Triaacutengulos
- Primer Criterio AacuteNGULO ndash AacuteNGULO ldquoAArdquo
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- II Segundo Criterio LADO-LADO-LADO ldquoLLLrdquo
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Semejanza de triaacutengulos es una parte que ayuda a desarrollar la capacidad para resolver problemas ya que solo es una parte de triaacutengulos
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- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
- Tu padre Escaleno proviene de una familia muy pequentildea Su pad
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- Mis hermanos muy diferentes y opuestos en sus pensamientos Te
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