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IntroductionIntroduction to Random Tessellations

Statistical Model Fitting of TessellationsCLTs for Poisson Hyperplane Tessellations

Telecommunication Networks and Stochastic

Geometry - Asymptotic Analysis of Random

Tessellations and Their Statistical Fitting

Hendrik Schmidt

France Telecom NSM/R&D/RESA/NET

12 January 2007

Hendrik Schmidt Telecommunication Networks and Stochastic Geometry



Outline

1 IntroductionReal Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling

2 Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations

3 Statistical Model Fitting of TessellationsMinimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data

4 CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsMotivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications




Real Infrastructure Data of ParisStochastic Geometric Network Modeling

Real Infrastructure Data of Paris





Stochastic Geometric Network ModelingMain Roads





Stochastic Geometric Network ModelingMain Roads and Side Streets





Stochastic Geometric Network ModelingNetwork devices and serving zones





Stochastic Geometric Network ModelingCost Analysis through Network Trees

Network devices on real

infrastructure

0 0.5 1 1.5 2 2.5

00.

20.

40.

60.

8 sans voirievoirie réelle

Histogram of shortest

paths Spatial placement of

network devices






Network devices on real

infrastructure

0 0.5 1 1.5 2 2.5

00.

20.

40.

60.

8

voirie réellePVT fit

Histogram of shortest

paths Network devices on

fitted infrastructure






Randomtessellation models

can replace realinfrastructuredataafter havingbeen fit

Simulation studiesare very expensive

=⇒ Analytical formulae are needed




Definition, Properties, and ExamplesIteration of Tessellations

Introduction to Random TessellationsDefinition, Properties, and Examples

A sequence Pnn≥1 of convex polytopes Pn ∈ IRd is called

(deterministic) tessellation of IRd if

int Pn 6= ∅ for all n ≥ 1

int Pn ∩ int Pm = ∅ for all n 6= m⋃∞n=1 Pn = IR

d

∑n≥1 1IPn∩K 6=∅ < ∞ for all compact sets K ∈ IR

d

The Pn’s are called cells of the tessellation

A sequence X = Ξnn≥1 of random convex polytopes Ξn iscalled random tessellation of IR

d if

IP(X ∈ T ) = 1 ,

where T denotes the family of all tessellations in IRd






A random tessellation X is called

stationary if its distribution is translation invariant for anytranslation Tx in IR

d , i.e. if

Tx X (·) d= X (·)

isotropic if its distribution is rotation invariant for any rotationRo (around the origin) in IR

d , i.e. if

Ro X (·) d= X (·)

motion invariant if it is both stationary and isotropic






Motion invariant non–iterated tessellation models

PLT, γPLT = 0.02 PVT, γPVT = 0.0001 PDT, γPDT = 0.000037






Mean value relations for facet characteristics

Measured per unit area

λ1 mean number of verticesλ2 mean number of edgesλ3 mean number of cellsλ4 mean total length of edges

For the considered tessellation models with intensity γ

Model λ1 λ2 λ3 λ4

PLT 1

πγ2 2

πγ2 1

πγ2 γ

PVT 2γ 3γ γ 2√

γ

PDT γ 3γ 2γ 32

3π

√γ





Introduction to Random TessellationsIteration of Tessellations

A (deterministic) iterated tessellation of IRd consists of

an initial tessellation Pnn≥1

a sequence (Pnνν≥1)n≥1 of component tessellations

and is given by

Pn ∩ Pnν : int Pn ∩ int Pnν 6= ∅ ; n, ν ∈ N

A random nesting of tessellations in IRd is given by

Ξn ∩ Ξnν : int Ξn ∩ int Ξnν 6= ∅ ; n, ν ∈ N

Ξnn≥1 is an arbitrary random tessellation in IRd

(Ξnνν≥1)n≥1 is an independent sequence of independent and

identically distributed random tessellations in IRd





Introduction to Random TessellationsIteration of Tessellations : Examples

(a) PLT/PLT,

γ0 = 0.02, γ1 = 0.04

(b) PLT/PVT,

γ0 = 0.02, γ1 = 0.0004

(c) PLT/PDT, γ0 =

0.02, γ1 = 0.0001388

⇒ λ4 = 0.02 + 0.04 = 0.06





Introduction to Random TessellationsIteration of Tessellations : Generalized Nestings

PLT with Bernoulli thinning PLT with multi–type nesting





Introduction to Random TessellationsIteration of Tessellations

Mean value relations for facet characteristics of X0/pX1-nestings

λ1 = λ(0)1

+ pλ(1)1

+4p

πλ

(0)4

λ(1)4

λ2 = λ(0)2

+ pλ(1)2

+6p

πλ

(0)4

λ(1)4

λ3 = λ(0)3

+ pλ(1)3

+2p

πλ

(0)4

λ(1)4

λ4 = λ(0)4

+ pλ(1)4

⇒ Mean-value formulae for nestings involving PLT, PDT and PVT




Minimization Problem and Solution ApproachesVerification by Monte Carlo SimulationApplication to Real Network Data

Statistical Model Fitting of TessellationsMinimization Problem and Solution Approaches

Step 1 : Vector of estimates

λinp =

(λinp

1, λinp

2, λinp

3, λinp

4

)⊤

from input data in sampling window W using unbiasedestimators

λinp =

1

|W |(nv , ne , nc , le)⊤

nv number of vertices in W

ne number of edges, whose lexicographically smaller endpointlies in W

nc number of cells, whose lexicographically smallest vertex liesin W

le total length of edges in W






Step 2 : Calculate λ = λ(γ) = (λ1, λ2, λ3,λ4)⊤ (or λ(γ0, γ1))

Step 3 : Minimize d(λinp, λ) . Example :

d(λinp, λ) =4∑

i=1

((λinp

i − λi )/λinpi

)2

→ min

Inserting the mean value relation (PLT)

f (γ) =

((λinp

1− 1

πγ2)/λinp1

)2

+

((λinp

2− 2

πγ2)/λinp2

)2

+

((λinp

3− 1

πγ2)/λinp3

)2

+

((λinp

4− γ)/λinp

4

)2

→ min

Step 4 : Determine d(λinp, λmin) and γmin (or γmin0 and γmin

1 )






Iterated tessellations : Use numerical methods to find (global)minimum of

f (γ0, γ1) = d(λ

inp, λ(γ0, γ1))

Nelder Mead methodProblem :Minimum may depend on initial valuesSolution :Start with different (randomly chosen) initial valuesAdvantages :

Faster than traversing search on a latticeSimple to implement and to integrate into the Java basedGeoStoch libraryNo need to switch between different programs





Statistical Model Fitting of TessellationsVerification by Monte Carlo Simulation

Simulation of PLT/PLT with intensities γ0 = 0.1, γ1 = 0.06

Runs Optimal model Distance γ0 γ1

Traversing1 PLT/PLT 0.00174 0.08790 0.06380

(stepw. 0.0001)

Nelder-Mead 99 PLT/PLT 0.00173 0.08776 0.063921 PLT/PVT 0.01026 0.10796 0.00050

Runtime comparison

Traversing search 4.7 min

Nelder-Mead 0.3 min






Null-hypothesis H0 : input data represents a realization of thetessellation model τ with parameter γ (or γ0, γ1 and p)

Choose a significance level α (α = 0.05 or α = 0.01)

Calculate the hypothetical vector λ of model characteristicsfor γ (γ0, γ1 and p)

Calculate the distance d between λ and λinp

Generate n realizations of τ (n = 99 or n = 999)






Determine the vectors λ1, ..., λn of model characteristics foreach simulation run

Calculate the distances d1, ..., dn between λ and λ1, ..., λn

⇒ Obtain n + 1 distance values d , d1, ..., dn

Arrange the values d , d1, ..., dn in ascending order

Determine position i of d in this sequence

Reject null-hypothesis if i ∈ Rα = [n − α(n + 1) + 2, ..., n + 1](R0.05 = [96, 100] or R0.01 = [991, 1000])

Alternatively, regard p-value = 1 − (i − 1)/(n + 1) and rejectnull-hypothesis for small p-values





Statistical Model Fitting of TessellationsApplication to Real Network Data

Real Infrastructure Data of Paris

Line segments with marks (typeof road) :

national route

main road

side street

...

Preprocess data =⇒ network with polygonal cells






Raw data Preprocessed data

|W | = 3000m × 3000m = 9km2






Fitting strategy : Exploit hierarchical data structure

Fitting of a non-iterated tessellation model to the main roads

Fitting of an iterated tessellation model to road data withfixed initial tessellation model

p = 1






Model Distance γmin

PLT 0.21101 0.002384PVT 0.29749 0.000001PDT 0.73378 0.000001

Distance and corresponding optimized parameter γmin

Main roads would be modelled by a PLT with γopt = 0.002384






Model Distance γmin0 γmin

1

PLT/PLT 0.15224 0.002384 0.013906

PLT/PVT 0.20455 0.002384 0.000044

PLT/PDT 0.36649 0.002384 0.000028

Distance and corresponding optimized parameters γmin0 and γ

min1

Road system would be modelled by a PLT/PLT-nesting withγopt

0= 0.002384 and γopt

1= 0.013906






Monte Carlo test

PLT/PLT with γ0 = 0.002384 and γ1 = 0.013906

α n Rα d d(1) d(n) i p-value

0.05 99 [96,100] 0.15327 0.00968 1.22830 30 0.7100.01 999 [991,100] 0.15327 0.00966 1.04893 306 0.695

=⇒ Cannot reject null hypothesis in both cases






Preprocessed road system Realization of optimal PLT/PLT






Network Data from Cell Biology

Cellular keratin proteins

How can we describe the spatial geometrical structure of a complexfilament network in biological cells by tessellation models ?






Control sample image Graph structure

TGFα sample image Graph structure






Control group : Graph structure and sample realization of optimal PVT/PLT

TGFα group : Graph structure and sample realization of optimal PDT/PLT




Motivation ; Introduction to Random k–FlatsAsymptotic Distribution of k–Flat IntersectionsApplications

CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsMotivation

Consider (2–dim.) stationary (and isotropic) Poisson lineprocess with intensity λ > 0 in the circle B2

r

Br

η0(B2r ) number of

intersection points in B2r

η1(B2r ) number of lines

hitting B2r

ζ1(B2r ) total length of line

segments in B2r





CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsStationary k–flat processes in IR

d for k = 0, ..., d − 1

A k–flat process Φk in IRd is a random (locally–finite)

counting measure on the space of affine k–dimensionalsubspaces Ad

k in IRd

Φk : Ω → N(Adk ) is a

(σ(Ω),N (Ad

k ))–measurable mapping

Representation of Φk

Φk(·) =∑

i≥1δH

(k)i

(·)supp(Φk) =

⋃i≥1

H(k)i (RACS)






d for k = 0, ..., d − 1

Φk is stationary if TxΦk(·) d= Φk(·)

Interpretation of the intensity λk

λk =EΦk (L∈Ad

k : L∩Bdr 6=∅)

νd−k (Bd−kr )

for all r > 0 ,

λk = 1

νd (B) E

(∑i≥1

νk(H(k)i ∩ B)

), B ∈ B(IRd)

Φk is isotropic if RoΦk(·) d= Φk(·)






d for k = 0, ..., d − 1

A (d − 1)–flat process Φd−1 is called hyperplane process

Parameterization : H(p, u) = x ∈ IRd : 〈u, x〉 = p

Orientation vector u ∈ Sd−1

+

Signed perpendiculardistance p ∈ IR from theorigin

α

p

H(p,u)

Φd−1(·) =∑

i≥1δH(Pi ,Ui )(·)






d for k = 0, ..., d − 1

A stationary Poisson hyperplane processes can be seen asstationary and independently marked Poisson point process Ψon IR × S

d−1+ , i.e.

Ψ(·) =∑

i≥1

δ(Pi ,Ui )(·)

Intensity λMark distribution Θ (coincides with the spherical orientationdistribution on B(Sd−1

+ ))

A stationary Poisson hyperplane process is

isotropic if Θ is the uniform distributionnondegenerate if Θ(H(0, u) ∩ S

d−1

+ ) < 1 for u ∈ Sd−1

+





CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsAsymptotic Distribution of k–Flat Intersections

Number of k–flats hitting Bdr (k = 0, . . . , d − 1)

ηk(Bdr ) = Φk(L ∈ Ad

k : L ∩ Bdr 6= ∅)

ηk(Bdr )

d= 1

(d−k) !

∑∗

1≤i1,...,id−k≤Nr

χ(∩d−kj=1

H(Xij ) ∩ Bdr )

Notice thatNr = Ψ([−r , r ] × Sd−1

+ ) ∼ Poi(2λ r)Xi = (Pi ,Ui ) i.i.d., indep. of Nr with indep. componentsPi uniformly distributed on [−r , r ]Ui has distribution ΘIntensity λk of Φk can be given explicitely (isotropic case) :

λk =

(d

k

)κd

κk

(κd−1

d κd

)d−k

λd−k






Expectations : Eηk(Bdr ) = λk κd−k rd−k

Asymptotic variances :

limr→∞

Var ηk(Bdr )

r2d−2k−1=

(2λ)2d−2k−1

((d − k − 1)!)2σ

(1,d−k)χ,k

Notice that σ(1,d−k)χ,k is given by

E(χ(∩d−k

i=1H(Xi ) ∩ Bd

r )χ(∩2(d−k)−1

i=d−k H(Xi ) ∩ Bdr ))

=

Eg2

χ,k(Xd−k)

gχ,k((p, u)) = Eχ(H(X1) ∩ . . . ∩ H(Xd−k−1) ∩ H(p, u) ∩ Bdr )

for (p, u) ∈ [−r , r ] × Sd−1

+






Theorem 1 (CLTs for numbers of intersections)

For k = 0, . . . , d − 1 ,

Z(d)k,r (χ)

d−→r→∞

N(0, σ

(1,d−k)χ,k

)

Z(d)k,r (χ) = (d−k−1)!

( 2λ r )d−k−1/2

(ηk(Bd

r ) − λk κd−k rd−k)

In case of isotropy

σ(1,d−k)χ,k =

(κd−k−1 (d − k − 1)!)2

(2d − 2k − 1)!

(d ! κd

k! κk

)2 (κd−1

d κd

)2(d−k)






Idea of the proof

A U–statistic U(m)n (f ) of order m is defined by

U(m)n (f ) =

1(nm

)∑

1≤i1<...<im≤n

f (Xi1 , . . . ,Xim) for n ≥ m

X1,X2, . . . sequence of i.i.d. random variablesf is called kernel function (E|f (X1, . . . ,Xm)| < ∞ )

U(m)n (f ) unbiased estimator for µ = Ef (X1, . . . ,Xm)






U–statistic U(m)n (f ) of order m :

U(m)n (f ) =

1(nm

)∑

1≤i1<...<im≤n

f (Xi1 , . . . ,Xim) for n ≥ m

Hoeffding’s decomposition

U(m)n (f ) − µ =

m

n

n∑

i=1

( g(Xi ) − µ ) + R(m)n (f )

g(x) = E(f (X1,X2, . . . ,Xm) | X1 = x) = Ef (x ,X2, . . . ,Xm)

E(R

(m)n (f )

)2 ≤ cmn2 E f 2(X1, . . . ,Xm) for n ≥ m






Write η0(Bdr )

d=(Nr

d

)U

(d)Nr

(χ)

U(d)Nr

(χ) is U–statistic of order d (kernel fct. χ , Nr = n)

Apply Hoeffding’s decomposition

η0(Bdr ) − (2 λ r)d

d! Eχ(H(X1), . . . ,H(Xd) ∩ Bdr )

d=

( (Nr

d

)− nd

rd!

)µ +

(Nr

d

)dNr

Nr∑i=1

(gχ,0(Xi )− µ

)+(Nr

d

)R

(d)Nr

(χ)

=( (

Nr

d

)− Nr

(Nr−1

d−1

)+ nr

(Nr−1

d−1

)− nd

rd!

)µ +

(Nr

d

)R

(d)Nr

(χ)

+(Nr−1

d−1

) ( Nr∑i=1

gχ,0(Xi ) − nr µ

)

Notice thatµ = Eχ(H(X1) ∩ . . . ∩ H(Xd) ∩ Bd

r )nr = ENr = 2λ r






Theorem 2 (Multivariate extension)

(Z

(d)0,r (χ), . . . ,Z

(d)d−1,r (χ)

) d−→r→∞

N(o, Σ(χ)

)

Σ(χ) possesses always full rank d

Σ(χ)=(

( d! κd )2 κd−k−1 κd−l−1

k! l! κk κl 22d−k−l−1

κ2d−k−l−1

κ2d−k−l−2

(κd−1

d κd

)2d−k−l)d−1

k,l=0

For d = 2 ,

η0(Br )−λ2 r2

(2 λ r)3/2

η1(Br )− 2 λ r

(2 λ r)1/2

d−→

r→∞N((

0

0

),

(8

3 π21

2

1

21

))






Total k–volume of k–flat intersections in Bdr , k = 0, . . . , d − 1

ζk(Bdr ) =

∑

L∈⋃ i≥1H

(k)i

νk(Bdr ∩ L)

ζk(Bdr )

d= 1

(d−k) !

∑∗

1≤i1,...,id−k≤Nr

νk(∩d−kj=1

H(Xij ) ∩ Bdr )

ExpectationsEζk(Bd

r ) = λk κd rd

Asymptotic variances

limr→∞

Var ζk(Bdr )

r2d−1=

(2λ)2d−2k−1

((d − k − 1)!)2σ

(1,d−k)ν,k






Theorem 3 (CLT for total volumes of intersections)

For k = 0, . . . , d − 1

Z(d)k,r (ν)

d−→r→∞

N(0, σ

(1,d−k)ν,k

)

Z(d)k,r (ν) = (d−k−1)!

( 2λ)d−k−1/2 rd−1/2

(ζk(Bd

r ) − λk κd rd)

In case of isotropy

σ(1,d−k)ν,k =

(2k κd−1 (d − 1)!

)2

(2d − 1)!

(d ! κd

k! κk

)2 (κd−1

d κd

)2(d−k)






Theorem 4 (Multivariate extensions)

(Z

(d)0,r (ν), . . . ,Z

(d)d−1,r (ν)

) d−→r→∞

N(o, Σ(ν)

)

Σ(ν) has rank 1 for any d ≥ 1

Σ(ν)=(

(κd κd−1 d! (d−1)!)2 2k+l

k! l! κk κl (2d−1)!

(κd−1

d κd

)2d−k−l)d−1

k,l=0

In case d = 2,

ζ0(Br )−λ2 r2

(2 λ r)3/2

ζ1(Br )−λ π r2

(2 λ)1/2 r3/2

d−→

r→∞N((

0

0

),

(8

3 π28

3 π8

3 π8

3

))





CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications ; Intensity Estimators

Estimators for λk , k = 0, . . . , d − 1Use information about number of k–flat intersections

λk,r = ηk(Bdr )/νd−k(Bd−k

r )

Use information about k–volumes of flat intersections

λk,r = ζk(Bdr )/νd(Bd

r )

Unbiased

Strongly consistent

Asymptotic optimality w.r.t. second moments

limr→∞

r Var λk,r ≤ limr→∞

r Var λk,r





CLTs for Poisson Hyperplane TessellationsApplications in IR

2

Concentrate on the counting of intersections (i.e. η0(·))Variance stabilizing transformation

From Theorem 1 we have that

Z(2)0,r =

√r ( f (λ0,r ) − f (λ0) )

d−→r→∞

N (0, 1)

where

f (x) =

√3

2π−5/4x1/4






2

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Histogram

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−4 −2 0 2 4−

20

2

QQ plot

Graphical goodness–of–fit analysis of Z(2)0,900 (λ = 0.1)






2

Pearson test (α = 0.05)r T1000 p1000 T5000 p5000

300 42.50 0.051 126.10* < 10−3

600 32.18 0.312 116.16* < 10−3

900 34.88 0.209 78.44 0.204

1200 28.52 0.490 70.13 0.440

Kolmogoroff–Smirnoff test (α = 0.05)r T ′

1000p1000 T ′

5000p5000

300 1.58* 0.014 2.85* < 10−3

600 1.72* 0.006 2.47* < 10−3

900 1.33 0.057 1.76* 0.004

1200 0.64 0.800 2.28* < 10−3






2

Confidence interval I(r)0

(α) for λ0

[((λ0,r

)1/4

− 2√3 r

π−5/4 z1−α/2

)4

,((

λ0,r

)1/4

+ 2√3 r

π−5/4 z1−α/2

)4]

=[

1

πr2

( (η0(Br )

)1/4 − 2 z1−α/2

π√

3

)4

, 1

πr2

( (η0(Br )

)1/4+

2 z1−α/2

π√

3

)4 ]

From Theorem 1 we have that IP(λ0 ∈ I(r)0

(α) ) −→r→∞

1 − α for

any α ∈ (0, 1)

Note : λ = (λ0 π )1/2

confidence interval J(r)0

(α) for λ[1

r

((η0(Br )

)1/4

− 2 z1−α/2

π√

3

)2

, 1

r

((η0(Br )

)1/4

+2 z1−α/2

π√

3

)2]

IP(λ ∈ J(r)0

(α) ) −→r→∞

1 − α






2

Hypothesis :

H0 : λ ≤ λ∗ versus H1 : λ > λ∗

(Asymptotic) significance level : α ∈ (0, 1)

From Theorem 1 we have :

Reject H0 if

η0(Br ) >(√

λ∗ r +2

π√

3z1−α

)4






2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

pow

0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15

lambda

Estimated power function (H0 : λ ≤ 0.1)





Literature

M. Beil, S. Eckel, F. Fleischer, H. Schmidt, V. Schmidt and P.Walther (2006) Fitting of Random Tessellation Models toKeratin Filament Networks, Journal of Theoretical Biology241, pp. 62-72

C. Gloaguen, F. Fleischer, H. Schmidt and V. Schmidt (2006)Fitting of Stochastic Telecommunication Network Models viaDistance Measures and Monte-Carlo Tests, TelecommunicationSystems 31, pp. 353-377

L. Heinrich, H. Schmidt and V. Schmidt (2006) Central LimitTheorems for Poisson Hyperplane Tessellations, Annals ofApplied Probability 16, pp. 919-950

H. Schmidt (2006) Asymptotic Analysis of Stationary RandomTessellations with Applications to Network Modelling, PhDThesis, Ulm Univ., http ://vts.uni-ulm.de/doc.asp ?id=5702





This talk is based on joint work withF. Fleischer, C. Gloaguen, L. Heinrich and V. Schmidt

Thank you for your attention !


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