telbisz phd dissertation

ELTE TTK Földtudomány Doktori Iskola

Vezet�: Dr. Márton Péter Földrajz/Meteorológia Doktori Program

Programvezet�: Dr. Gábris Gyula

DOKTORI (PhD) DISSZERTÁCIÓ

TELBISZ TAMÁS

Karsztos felszínfejl�dés és beszivárgás matematikai modellezése

Témavezet�: Dr. Zámbó László egyetemi docens, kandidátus

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természetföldrajzi Tanszék,

Budapest, 2003

Telbisz T.: Karsztos felszínfejl�dés és beszivárgás matematikai modellezése 2

Karsztos felszínfejl�dés és beszivárgás matematikai modellezése

1. BEVEZETÉS ............................................................................................................................... 4

2. SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS A FELSZÍNALAKTANBAN ....... 5 2.1. KVANTITATÍV FORRADALOM ..................................................................................................... 5 2.2. A MODELLALKOTÁS LÉPÉSEI ÉS CÉLJAI ..................................................................................... 7 2.3. A MATEMATIKAI MODELLEK TÍPUSAI, ALAPELVEI ..................................................................... 8 2.4. MODELLRE ÉPÜL� SZIMULÁCIÓ................................................................................................. 9 2.5. KÉTDIMENZIÓS (LEJT�FEJL�DÉSI) MODELLEK......................................................................... 11 2.6. HÁROMDIMENZIÓS (FELSZÍNFEJL�DÉSI) MODELLEK................................................................ 14

2.6.1. Általános áttekintés................................................................................................... 14 2.6.2. Esettanulmányok....................................................................................................... 15

2.6.2.1. Vulkáni domborzat (kráterszer� kiindulási felszín) lepusztulása ............................... 18 2.6.2.2. Válogató lepusztulás k�zetkeménység szerint............................................................ 19 2.6.2.3. Antecedens völgyfejl�dés – egy tektonikus példa...................................................... 20

3. KARSZTFEJL�DÉSI ELMÉLETEK.................................................................................... 21 3.1. KVALITATÍV MODELLEK .......................................................................................................... 21 3.2. MATEMATIKAI MODELLEK ...................................................................................................... 22

4. A TÖBÖR-MORFOMETRIAI ELEMZÉSEK MÓDSZERTANA...................................... 25 4.1. A MORFOMETRIA SZEREPE A KARSZTKUTATÁSBAN ................................................................. 25 4.2. ÚJ SZÁMÍTÓGÉPES ALAKMÉRÉSI ELJÁRÁS................................................................................ 27 4.3. TÖBÖR MINTÁZATOK JELLEMZÉSE ÚJ PARAMÉTEREKKEL ........................................................ 28

5. KARSZTOS FELSZÍNFEJL�DÉSI MODELL FELÉPÍTÉSE........................................... 29 5.1. A MODELL CÉLJA ..................................................................................................................... 29 5.2. A MODELL ÁLTALÁNOS FELÉPÍTÉSE......................................................................................... 30

5.2.1. Térbeli szerkezet ....................................................................................................... 30 5.2.2. A modell id�léptéke .................................................................................................. 31 5.2.3. A modell folyamatsora.............................................................................................. 32

5.3. A MODELLBEN SZÁMÍTÁSBAVETT FOLYAMATOK TÁRGYALÁSA .............................................. 35 5.3.1. Csapadékhullás......................................................................................................... 36 5.3.2. Evapotranszspiráció ................................................................................................. 36 5.3.3. Beszivárgás a talajba................................................................................................ 39 5.3.4. Beszivárgás az alapk�zetbe (törmelékes zónába) ..................................................... 41 5.3.5. Karsztos oldás és kicsapódás.................................................................................... 43 5.3.6. Lefolyás..................................................................................................................... 50 5.3.7. Erózió és akkumuláció.............................................................................................. 52 5.3.8. Szivárgás................................................................................................................... 54 5.3.9. Lejt�s tömegmozgások (derázió) .............................................................................. 59 5.3.10. Tektonika .................................................................................................................. 61 5.3.11. Talajképz�dés ........................................................................................................... 62

5.4. A MODELL PEREMFELTÉTELEI ................................................................................................. 62 6. A KARSZTFEJL�DÉSI MODELL FUTTATÁSAINAK EREDMÉNYEI ........................ 63

6.1. TÖBRÖS FELSZÍNFEJL�DÉS DINAMIKÁJA.................................................................................. 64 6.1.1. Általános megfigyelések............................................................................................ 65 6.1.2. A töbörfejl�dési szimuláció id�sorainak elemzése.................................................... 67 6.1.3. A töbörfejl�dési szimuláció elemzése morfometriai szempontból............................. 72 6.1.4. A töbörfejl�dési szimuláció ritmusainak magyarázata............................................. 77 6.1.5. Beszivárgás és karsztos lepusztulás kapcsolata........................................................ 78

6.2. KARSZTOS FENNSÍKPEREMEK FEJL�DÉSE ................................................................................ 79 6.3. KARROS FELSZÍNFEJL�DÉS ...................................................................................................... 81 6.4. KÚPKARSZTOK FEJL�DÉSE ...................................................................................................... 85


7. TÖBÖR-ALAKMÉRÉSI EREDMÉNYEK AZ AGGTELEKI- KARSZTVIDÉKEN VÉGZETT VIZSGÁLATOK ALAPJÁN.............................................................................. 87

7.1. AZ AGGTELEKI-KARSZT FELSZÍNFEJL�DÉSÉNEK KUTATÁSA KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A TÖBÖRKÉPZ�DÉSRE ................................................................................................................. 87

7.2. AZ AGGTELEKI-KARSZT TÖBRÖS TERÜLETEINEK MORFOMETRIAI ELEMZÉSE .......................... 89 7.2.1. A morfometriai tényez�k kapcsolata faktoranalízis és korrelációszámítás alapján . 92 7.2.2. Az Aggteleki-karszt töbreinek jellemz� méretei ........................................................ 94 7.2.3. Az Aggteleki-karszt töbreinek irány-statisztikai vizsgálata....................................... 96 7.2.4. Az Aggteleki-karszt töbreinek térbeli eloszlása ........................................................ 99

7.2.4.1. Töbörs�r�ség.............................................................................................................. 99 7.2.4.2. Vízszintes eloszlási mintázatok................................................................................ 103 7.2.4.3. Függ�leges eloszlás.................................................................................................. 104

8. ÖSSZEGZÉS ........................................................................................................................... 104

9. IRODALOMJEGYZÉK ......................................................................................................... 110

10. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS................................................................................................. 121

11. FÜGGELÉK ............................................................................................................................ 122 11.1. A KARSZTOS MODELLBEN SZEREPL� MENNYISÉGEK, JELÖLÉSEK ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEK ....... 122 11.2. ÁBRÁK ÉS TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE ....................................................................................... 125 11.3. ÖSSZEFOGLALÓ ..................................................................................................................... 126 11.4. SUMMARY ............................................................................................................................. 127


"Az absztrakció mindig karikatúra, a lényeges elemek eltúlzása, vagy legalábbis a lényegtelenek elhagyása."

(Karl Sigmund: Az élet játékai)

1. Bevezetés

A karsztos környezeteket kialakító felszíni és felszín alatti tényez�k, a karsztos

táj változásai több évszázad óta egyre részletesebb, alaposabb tudományos vizsgálatok

tárgyát képezik. A tudomány fejl�désének törvényszer�ségei szerint a kezdetben

sokszor egymással vitatkozó, olykor homlokegyenest ellenkez� véleményekb�l

napjainkra a karsztkutatás legdönt�bb, alapvet�, min�ségi kérdéseit tekintve lényegében

megegyezik a tudósok álláspontja. Ennek ellenére a részletek finomítása terén még

számos tennivaló akad, els�sorban a már megismert jelenségek mennyiségi jellemzése

és elméleti megalapozása terén. A karsztkutatás meglehet�sen szerteágazó

(interdiszciplináris) tudomány, amelyb�l jelen dolgozatban érdekl�désemnél és

képzettségemnél fogva els�sorban a felszínalaktani kérdésekre összpontosítottam.

Ismereteink és megértésünk elmélyítésére két út is kínálkozik: a

tapasztalatszerzés, terepmunka és a gyakorlati kísérletezés illetve az elméleti modellek

megfogalmazása. Sok esetben úgy t�nik, hogy a két út követ�i két külön tábort

alkotnak, és némi gyanakvással méregetik egymást, ám véleményem szerint ez a két

megközelítés kölcsönösen egymásra szorul, és az el�relépést, "ihletet", hol az egyik, hol

a másik lehet�ség biztosítja. Dolgozatommal is e kétoldalú megközelítés szépségeit

szeretném alátámasztani, így munkám a bevezet� részek után két irányból közelít a

karsztos felszínfejl�dés témájához. Egyrészt felépítek egy elméleti modellt – részben a

témavezet�m, Dr. Zámbó László irányításával kialakított terepi és laboratóriumi

kísérletek részletes adatbázisából levonható következtetésekre alapozva –, amelynek

alapján számítógépes szimuláció segítségével vizsgálható a karsztfelszín alakulása,

másrészt részletes térképek alapján, az Aggteleki-karsztvidék valós morfometriai

jellemz�it elemzem. E két f� rész összefüggése többirányú, ugyanakkor egy az egyben

még nem feleltethet�k meg egymásnak az eredmények. Nyilvánvaló, hogy a modell

megalapozásában és a paraméterek megválasztásában nagy jelent�sége van a terepi

vizsgálatoknak, másfel�l viszont a modellezés során kapott eredmények egy része

visszaköszön a morfometriai vizsgálatokban is. A dolgozat f� célkit�zéseivel,

eszközeivel és eredményeivel együtt alapvet�en az elméleti geomorfológia tárgykörébe


sorolható (a tudományág összefoglaló jelleg� bemutatását ld. SCHEIDEGGER, A.E.,

1990).

Munkám során az alábbi kérdéscsoportokra, felvetésekre kerestem választ:

• Milyen okokra vezethet� vissza a felszínalaktan kései "matematizálódása"? Mikor

terjedtek el és milyen okból a matematikai modellek a természetföldrajzban? Milyen

természet�ek ezek a matematikai modellek? Milyen elvek határozzák meg ezeknek

a modelleknek a m�ködését? A felszínalaktani szimulációk hogyan épülnek föl,

milyen eredmények várhatók t�lük?

• Melyek a karszt fejl�désére vonatkozó elméletek lépcs�fokai? Milyen matematikai

illetve számítógépes modellek segítségével vizsgálhatók a karsztos felszínfejl�dés

törvényszer�ségei? Korábbi modellek milyen eredményeket szolgáltattak?

• A karsztos felszínfejl�dési modellek felépítéséhez mely tényez�ket fontos

belevenni, melyeket lehet kihagyni? Milyen törvényszer�ségek szerint számítható a

lefolyás és az általa okozott erózió? A talajban végbemen� beszivárgás és

oldalirányú szivárgás hogyan számszer�síthet�? A beszivárgó víz oldóképessége és

az általa feloldott CaCO3 mennyisége milyen összefüggés szerint változik? Ez

miként járul hozzá a felszín pusztulásához? A karsztba (k�zetbe) szivárgás hogyan

változtatja meg magát a beszivárgási képességet?

• A számítógépes szimulációkkal milyen mértékben tudjuk utánozni a természetben

megfigyelhet� formakincset (els�sorban a töbrös karsztfejl�dést)? A modellbeli

változók – egy összetett rendszeren keresztül – hogyan hatnak a felszínfejl�désre?

• Karsztos területeken milyen morfometriai mutatókat lehet elemezni? Hogyan

nyerhetünk viszonylag takarékos munkával a statisztikai feldolgozáshoz elegend�

mennyiség�, egységes szempontrendszer alapján mért alak-jellemz�ket? Néhány

konkrét terület esetében milyen karsztfejl�désre vonatkozó eredményeket

szolgáltathat a töbör-elemzés?

2. Számítógépes szimuláció és modellezés a felszínalaktanban

2.1. Kvantitatív forradalom A magyarországi geomorfológiai szakirodalomban csak elvétve fordulnak el�

matematikai modellek és még ritkábban számítógépes szimulációk, így a jelen fejezet

azt a célt szolgálja, hogy a dolgozat egyik fontos pillérét alkotó matematikai modell

felépítésének módszertani el�zményeit, kutatástörténetét áttekintsem (TELBISZ T., 1999a


és TELBISZ T., 2001a alapján). A hazai viszonyoktól eltér�en ez a fajta matematikai

megközelítés a nemzetközi szakirodalomban egyáltalán nem ritka, s�t ANDERSON, M.

G. – SAMBLES, K. M. (1988) elemzése szerint rangos geomorfológiai folyóiratokban

(Earth Surface Processes and Landforms, Catena, Zeitschrift für Geomorphologie) az

összes cikk mintegy 45%-a foglalkozik modellezéssel.

A földrajztudomány els�dleges módszere hagyományosan a leírás és az

összehasonlítás volt sokáig. Ez a megállapítás természetesen a múlt században

megszület� geomorfológiára is érvényes. A felszínalaktani megfigyelések els�

modellszer� összegz� megfogalmazására (Davis ciklustana) a XX. század nyitányán

került sor (SZÉKELY A., 1993). Mivel a földrajzi munkákban fontos volt az összefoglaló,

szintetizáló jelleg, ezért a vizsgált jelenségek, felszínformák, folyamatok összetett,

komplex voltából adódóan a min�ségi jellemzések, kvalitatív módszerek számítottak

meghatározónak még a XX. század els� felében is. Ez a leíró jelleg azonban szerfölött

megnehezítette a különböz� szerz�k által ismertetett jelenségek összevetését, valamint a

földrajzzal szoros kapcsolatban álló társtudományokkal (éghajlattan, földtan, hidrológia

stb.) való véleménycserét. Körülményessé vált az egyre alaposabb geomorfológiai

jellemzésekben használt jelz�k (min�ségi kategóriák) mind finomabb bontása. Ezzel

egyidej�leg egyes területeken (pl. talajerózió) fokozottan jelentkezett a folyamatok

el�rejelzésének igénye is. Lényegében ez a hármas igény (összehasonlíthatóság,

részletesség, el�rejelezhet�ség) kényszerítette ki a geomorfológiában a XX. század

második felében lezajlott kvantitatív forradalmat, mely mind a három problémára –

elviekben – megoldást ad. Ett�l kezdve ugyanis kritikus szerepet játszhat az adatgy�jtés

módszertana, pontossága és megbízhatósága, hiszen következtetéseink ezekre épülnek.

A geomorfológiában már a kezdetekt�l fogva els�rend� kérdésnek számított a

felszínformák mellett az �ket alakító folyamatok tárgyalása is. A folyamatok

megragadása azonban lényegesen nehezebb (akár túl gyorsak, akár túl lassúak a pontos

megfigyeléshez), emiatt eleinte a formák mennyiségi jellemzése, vagyis a morfometria

kapott nagy lendületet. Ez az irányzat els�sorban KERTÉSZ Á. (1972, 1974, 1977, 1979)

cikkei nyomán vált ismertté a hazai szakirodalomban. Ennek eredményei rendszerint jól

ábrázolhatóak a különféle morfometriai és geomorfológiai térképeken (MEZ�SI G.,

1993), és manapság a Földrajzi Információs Rendszerek elterjedésének köszönhet�en

hatalmas adatbázisok (pl. digitális domborzatmodellek) feldolgozása vált lehetségessé.

Sokkal keményebb feladatnak bizonyult ugyanakkor a terepen lezajlódó folyamatok

mérése, mennyiségi jellemzése. A matematikai modellezés igazából akkor kezd�dik,


amikor a feltárt mennyiségi jellemz�k között igyekszünk matematikai összefüggéseket

keresni, legyen szó akár felszínformákról, akár magukról a folyamatokról.

2.2. A modellalkotás lépései és céljai

A matematikai gondolkodás lényege a következ�: megvizsgáljuk, hogy bizonyos

alapfeltevések (axiómák) esetén milyen állítások (tételek) érvényesek ezen az adott

rendszeren (struktúrán) belül. A természetföldrajzhoz kapcsolódó matematikai

modellezés tulajdonképpen abban áll, hogy alapfeltevéseknek a valóságban

megfigyelhet� bizonyos törvényszer�ségeket tekintünk. Ha geomorfológiai

elemzéseinkben az alapfeltevéseket sikerül értelmesen megválasztani, akkor

számíthatunk arra, hogy a bel�lük levonható következtetések a valóságra is igazak

lesznek. Ez esetben mondhatjuk, hogy az általunk adott feltevések - jól meghatározott

keretek között – a valóság egy lehetséges modelljét jelentik.

A matematikai modellezés folyamatát SZUNYOGH G. (1995a) alapján – némi

kiegészítéssel – az alábbi lépésekben foglalhatjuk össze:

1. vizsgálandó probléma megfogalmazása;

2. vizsgált folyamat idealizálása: kiválasztjuk azokat a tényez�ket, amelyeket

számításba veszünk (Ennél a lépésnél a gyakorlatban komoly problémák

adódhatnak, ezért jól meg kell különböztetni, hogy egy tényez�t azért hanyagolunk

el, mert nem fontos, vagy azért, mert számszer�sítése leküzdhetetlen nehézségekbe

ütközne.);

3. az idealizált folyamatban szerepl� mennyiségek és a köztük fennálló összefüggések

matematikai megfogalmazása (egyenletek felírása);

4. a matematikai modell „m�ködtetése”: a számítások elvégzése különböz�

paraméterek mellett.

A történeti háttér és az elvi alapok hozzávet�leges ismeretében érdemes

sorravenni, hogy milyen célok eléréséhez lehet eredményes egy matematikai modell,

illetve annak számítógépes megvalósítása.

a, Gyakorlati feladatok megoldása

Egyenl�re talán ez a ritkább típus, de jelent�sége cseppet sem alárendelt. Ezek a

modellek els�sorban az el�rejelzést szolgálják az ember számára lényeges területeken,

így - gazdasági jelent�ségüknél fogva – a lehet� legnagyobb pontosságra törekszenek,

és rendszerint kiterjedt adatbázison nyugszanak. Els�sorban a talajerózió, hidrológia (pl.


árvíz-el�rejelzés) területén gyakoriak, de van példa kifejezetten geomorfológiai modell

gyakorlati alkalmazására is (pl. uránbánya rekultivációjának tervezése /WILLGOOSE, G.

– RILEY, S., 1998/; lavinael�rejelzés, stb).

b, Elméleti hipotézisek igazolása vagy elvetése

Ma már szinte a geomorfológia valamennyi fontosabb elméleti kérdésével,

problémakörével (pl. egyes felszínformák kialakulásának mikéntje, id�tartama; egy

adott táj felszínfejl�dése; lepusztulás becslése; dinamikus egyensúlyi állapotok létezése

stb.) kapcsolatosan születtek matematikai modellek. A számítógépes szimulációk

ugyanis nagyon hasznosak arra, hogy könyörtelenül kimutassák egy elmélet

hiányosságait, vagy azt, hogy az alapfeltevéseink milyen paraméterek mellett

vezethetnek valószer� eredményekhez.

c, Új jelenségek felismerése

El�fordulhat, hogy egy jól sikerült modell nem egyszer�en az alkotójának

kezdeti hipotézisét igazolja, hanem a behatóbb vizsgálatok, számítógépes futási

eredmények tanulmányozása alapján új összefüggések tárhatók fel.

d, Folyamatok megértése, oktatás

A természetben id�- vagy térbeli léptékénél fogva számos folyamat nem

figyelhet� meg közvetlenül. Ezek a számítógép révén nyomon követhet�kké válnak,

ezzel segítve egy-egy jelenség mélyebb, intuitíven átérzett megértését. Ezeknél a

modelleknél el�nyt jelent az egyszer�ség, a jól átlátható elméleti háttér.

2.3. A matematikai modellek típusai, alapelvei

A matematikai modellek csoportosítása többféle szempont alapján is

elképzelhet�, melyek közül csupán a két legfontosabbat kívánom említeni HOWES, S. –

ANDERSON, M. G. (1988) és KIRKBY, M.J. et al. (1992) rendszerezéseit követve.

Az elmélet megalapozottsága szempontjából beszélhetünk teoretikus (realista)

és empirikus (funkcionalista) modellekr�l. Az el�bbi esetben a matematikai modell

alapját rendszerint valamilyen fizikai-kémiai törvényszer�ség (pl. tömegmegmaradás,

energiamegmaradás, reakcióegyenletek, stb.) jelenti. Magyar nyelven SZUNYOGH G.

(1999) közöl világos okfejtéseket a fizikai törvényszer�ségek természetföldrajzi

modellekbe való beépíthet�ségének különféle lehet�ségeir�l. Az empirikus

megközelítés viszont azt jelenti, hogy az általunk mért adatsorok statisztikai

kiértékelése (pl. regressziószámítás) során jutunk el a matematikai modell felírásáig.


A „véletlen” szerepeltetése alapján megkülönböztetünk determinisztikus és

sztochasztikus modelleket. Az el�bbi esetben kiiktatjuk a „véletlent”, és a modellt

minden részében pontosan meghatározottnak tekintjük, ami szükségképpen azzal jár,

hogy azonos bemeneti értékekre azonos kimenetelt (választ) kapunk minden esetben. A

sztochasztikus modellekben (pl. TUCKER, G.E. – SLINGERLAND, R.L., 1997; SINGH, V.P.

et al, 1988) bizonyos tényez�k véletlenszer�en változhatnak (egy megadott

valószín�ségi eloszlás szerint), így adott bemenethez nem feltétlenül kapjuk ugyanazt a

választ minden esetben, ezért a kimenetelt statisztikailag érdemes vizsgálni (pl.

széls�értékek, vagy átlagok illetve valószín�ségi eloszlás szempontjából). Nem árt

röviden elgondolkozni azon, hogy mikor érdemes sztochasztikus modelleket

alkalmazni. Els�sorban azon esetekben, amikor egy folyamat lezajlásában szerepet

kapnak olyan tényez�k is, amelyeket nem vettünk számításba (mert jóval kisebb

jelent�ség�ek, nem mérhet�ek stb.). Megtehetjük ilyenkor, hogy ezek hatását

véletlenszer� ingadozásokkal építjük be a modellbe. Gyakori megoldás az is, hogy a

bemen� adatok (pl. kezdeti felszín, id�járási paraméterek) megadása történik

véletlenszer�en, ezek azt segítik, hogy a modell m�ködését sokféle helyzetben

megfigyelhessük. El�fordulnak azonban olyan modellek is, ahol magát a középpontban

álló folyamatot tekintjük véletlenszer�nek, pl. emelkedés-süllyedés, lerakódás-

lepusztulás véletlenszer� id�beli váltakozása MUTO, T. (1995) vagy GOURNELLOS, T.

(1997) modelljében és a valószín�ségszámítás módszereivel keressük az ebb�l adódó

következtetéseket.

Fontos tisztában lenni azzal, hogy a modellek jelent�s része ma már kell�képpen

összetett, ami azzal a következménnyel is jár, hogy részleteikben keveredhetnek a fenti

csoportosítás szerinti modelltípusok.

2.4. Modellre épül� szimuláció

A fentiek alapján vegyük szemügyre, hogy a számítógépes szimuláció hogyan

segíti a fenti célok elérését és miként kapcsolódik az említett modelltípusokhoz. A

számítógép legf�bb el�nye, hogy gyorsan tud számításokat végezni, azaz minél

bonyolultabb összefüggések, egyenletek találhatók egy modellben, annál célszer�bb

használata. Ebb�l kiindulva úgy t�nik, hogy a teoretikus modellek összetettebb

jellegüknél fogva inkább igénylik a számítógépes szimulációt, programozást, míg az


egyszer�bb empirikus modellek számos esetben általános használatra szánt statisztikai

programokkal is számíthatók.

A számítógépes modellezés meghatározó tulajdonsága a paraméterek viszonylag

könny� módosítása, ami egyfel�l leegyszer�síti az adott körülményekhez történ�

igazodást, másfel�l lehet�vé teszi annak megfigyelését, hogy a paraméterek változtatása

milyen változásokat idéz el� a modell m�ködésében. Ezt a tulajdonságot szokták

rugalmasságnak is nevezni. Óriási el�ny a terepi megfigyelésekhez képest, hogy mód

nyílik az egyes paraméterek külön-külön való változtatására, így hatásuk elkülönítésére

is. Jól kihasználható adottság az eddig említettek mellett a számítógép véletlenszám-

generáló képessége is, amely természetesen a sztochasztikus modelleknél

nélkülözhetetlen eszköz.

Néhány további fontos fogalom is hozzátartozik a számítógépes szimuláció

eszköztárához (HOWES, S. – ANDERSON, M. G. (1988) és KIRKBY, M.J. et al. (1992)

alapján): tesztelés, kalibráció, verifikáció, érzékenységi vizsgálat.

a, A számítógépes program elkészültekor kerül sor a tesztelésre. Ez abból áll, hogy

néhány széls�értékre, illetve olyan bemen� adatra, ahol a modell-eredmény ismert vagy

kézi számítással ellen�rizhet�, lefuttatjuk a programot, hogy az esetlegesen benne rejl�

hibákat kisz�rhessük. Természetesen minél bonyolultabb a modell, annál

körülményesebb a tesztelés, és annál kevésbé lehetünk biztosak abban, hogy minden

hibát kiküszöböltünk, de azért sok probléma mégis megel�zhet� a gondos teszteléssel.

b, A kalibrációs eljárás során a modell-egyenletekben szerepl� paramétereket

meghatározzuk oly módon, hogy a rendelkezésünkre álló adatbázis bemen� adatai

alapján kapott modelleredmények és a valóságban mért értékek közti eltérés minimális

legyen. Lényegében ez az eljárás teszi a modellt gyakorlati számításokra alkalmassá.

c, A verifikáció hasonló folyamatot jelent, de ez már a modell elkészülte után zajlik és a

szimulációt új adatbázison próbáljuk ki, majd az így nyert eredményeket vetjük össze a

mért adatokkal. Ha nem tapasztalunk lényeges eltérést, akkor a modell hasonló

feltételek mellett jó eséllyel „bevethet�”, alkalmazható lesz akár el�rejelzésre is.

d, Az érzékenységi vizsgálat arról ad számot, hogy a paraméterek bizonyos mérv�

megváltoztatása milyen mérték� változást idéz el� a kimeneti értékekben. Ha a

paraméter kicsiny megváltozása nagy eltérést eredményez a kimenetben, akkor

„érzékeny” paraméternek nevezzük. Ez az érzékenység olykor látványosan

megváltoztathatja a modell m�ködését, ami elméleti szempontból rendkívül izgalmas

lehet, de a gyakorlat szempontjából inkább kellemetlen (HAGGETT, P., 1994; FOKASZ


N., 1999), és arra ösztökél, hogy kutatási er�feszítéseinket erre a tényez�re

összpontosítsuk és az érzékeny paramétert, bemen� adatot a lehet� legpontosabban

igyekezzünk megmérni (ha egyáltalán lehet), míg a kevésbé érzékeny paramétereknél

nagyobb hibat�rés is megengedett.

2.5. Kétdimenziós (lejt�fejl�dési) modellek

Szinte kezdetekt�l fogva a geomorfológiai érdekl�dés homlokterében állt a

lejt�k fejl�désének kérdése. Nem véletlen tehát, hogy a lejt�k formálódásának

matematikai megközelítése is rendkívül alaposan vizsgált kutatási terület. Ezen a téren

az els� fellelhet�, egyszer� matematikai modell FISHER (1866, in: PARSONS, A.J., 1988)

nevéhez f�z�dik, aki egy meredek, csupasz sziklafalból és a hozzákapcsolódó

törmeléklejt�b�l álló, összetett forma képz�dését tárgyalta egyenletek segítségével. Az

� módszere azonban sokáig feledésbe merült, és csak a XX. század közepét�l jelentek

meg e modell némiképp átalakított, pontosított, továbbfejlesztett változatai. Ebbe a

vonulatba illeszkedik SCHEIDEGGER, A.E. (1961, 1964) elmélete is, melynek

segítségével már viszonylag látványos eredményeket kaphatunk a lejt�fejl�désre

vonatkozóan. Az � modelljében a következ� alapfeltevések szerepeltek:

a, a lejt� pusztulása a mindenkori felszínre mer�legesen a meredekséggel (lejt�szög

tangensével) arányosan növekszik;

b, a lejt� pusztulása arányos a k�zet keménységével.

Ezen feltevések az alábbi képletben fogalmazhatók meg:

2

1)1( ��

��

�+−−=xy

xy

cty

δδ

δδ

δδ

(2-1. )

ahol x: a vízszintes koordináta

y: a függ�leges koordináta

c: k�zet keménysége, másképpen: erózióval szembeni ellenállóképessége (0 � c � 1; 0: nagyon puha; 1:

nagyon kemény, azaz a pusztulásnak teljes mértékig ellenálló k�zet)

ty

δδ

: felszín alacsonyodása �t id� alatt

xy

δδ

: lejt�szög tangense


A gyökös kifejezésre geometriai megfontolásokból van szükség, mivel a felszínre

mer�leges lepusztulást fogalmaztuk meg az a, pontban.

E modell alapján készült saját számítógépes szimuláció eredménye látható a 2-1.

ábran, ahol egy kezdeti, apró egyenetlenségekkel megadott lejt�szelvény id�beli és

k�zetkeménység szerinti változásai figyelhet�k meg.

2-1. ábra: Lejt�fejl�dési modell eredményei

KIRKBY, M.J. (1971) vezette be a lejt�fejl�dés matematikai modellekkel történ�

vizsgálata kapcsán a "karakterisztikus forma" kifejezést. Ez azt a lejt�alakot jelöli,

amely állandósul, vagyis a további lepusztulás a lejt� minden egyes pontjára

ugyanakkora. Ez egyszer�, folytonos modellek esetén sok esetben megadható, például a

talajkúszáshoz konvex lejt�forma tartozik (PARSONS, A.J., 1998). Ennek alapján elvileg

visszafelé is lehet következtetni, vagyis a megfigyelt lejt�formához a kialakító folyamat

hozzárendelhet� (e gondolatmenet általánosítása alapvet� jelent�ség� a


felszínalaktanban). Ugyanakkor figyelembe kell venni, hogy többféle lejt�-alakító

folyamathoz is tartozhat hasonló karakterisztikus forma.

Az általános lejt�fejl�dési elvek, egyenletek mellett gombamód szaporodtak a

"szakosított" modellek, amelyek egy-egy jellegzetes folyamatra összpontosítottak, sok

esetben nem is az általános érvény� formulák, hanem a peremfeltételek alkalmas

megválasztása révén. Ezek teljes áttekintésére nincs mód (remény se), csupán ízelít�ül

néhány irányzat: a folyóteraszok képz�désének vizsgálata (BOLL, J. et al., 1988), az

abráziós tengerpartok fejl�désének kutatása (ALLISON, R.J. – KIMBER, O.G., 1998;

VELDKAMP, A., 1994) vagy az oldásos folyamatok által meghatározott lejt�alakulás

megismerése (pl. TRUDGILL, S., 1988; KIRKBY, M.J., 1986).

Az elméleti úton levezetett matematikai modellek tesztelése többnyire

morfometriai mérésekkel oldható meg. Ritka, ám igen kedvez� lehet�ség, ha egy

lejt�fejl�dés több id�pillanata is megfigyelhet�. Erre vagy gyors fejl�dés� (sok esetben

antropogén kialakítású) lejt�k esetén nyílik mód, vagy térben egymás mellett

figyelhet�k meg az id�beli fejl�dés lépcs�fokai, mint például egy fokozatosan

kiemelked� tengerparti sáv esetében (SAVIGEAR, R.A.G., 1952).

A gyakorlati (empirikus) módon levezetett formulák közül az eróziós kutatások

területén úttör� jelent�ség�nek bizonyult ZINGG, A.W. (1940) egyenlete:

E = k · L1.6 · S1.4 (2-2. )

ahol

E: talajerózió

k: arányossági tényez�

L: lejt� hossza (a gerinct�l)

S: lejt� meredeksége (lejt�szög tangense)

Ezt az empirikus formulát rendkívül kiterjedt terepi kísérletekkel ellen�rizték és

finomították a kés�bbiekben is, így bekerült a széles körben, f�leg gyakorlati,

mez�gazdasági célokra használt talajeróziós modellekbe (pl. USLE, WISCHMEIER, W.H.

– SMITH, D.D., 1958), majd a felszínfejl�dési modellek egyik fontos alapköve lett.

Utóbb elméleti, fizikai meggondolásokkal is igazolták ennek a formulának a

létjogosultságát: ahogy távolodunk a gerinct�l, a lejt�hosszal úgy növekszik a

rendelkezésre álló vízmennyiség, ez indokolja az L tényez�t. A meredekség (S), vagyis

a felszín esése egy adott távolságon pedig a rendelkezésre álló energiát szabja meg,


amely képes az anyagot elmozdítani. Az összefüggés különféle változatairól, a benne

szerepl� tényez�k lehetséges értékeir�l PROSSER, I.P.–RUSTOMJI, P., 2000 ad részletes

áttekintést. Napjainkban használatos alakja a következ�:

Qs = k · Qm · Sn (2-3.)

ahol

Qs: üledékszállító képesség

k, m, n : állandók

Q: adott ponton átfolyó vízmennyiség

S: lejt� meredeksége (lejt�szög tangense)

A felszínfejl�dési modellekben Q értékét igen gyakran az adott ponthoz tartozó

vízgy�jt�területtel (A) helyettesítik, mert ez a tényez� digitális domborzatmodellekb�l

könny�szerrel levezethet� és szoros korrelációs kapcsolat áll fenn a két tényez� között

(pl. IJJASZ-VASQUEZ, E.J. – BRAS, R.L., 1995).

Els�ként KIRKBY, M.J. (1971) mutatott rá arra, hogy a lejt�szelvények 2-

dimenziós modellezése elméletileg nem lehet teljesen kielégít� (bár sok esetben jó

közelítést adhat, és magyarázattal szolgálhat bizonyos jelenségek megértéséhez), mert a

lejt�k vízszintes görbülete (homorúsága vagy domborúsága) szabja meg, hogy a lejt�n

az anyagszállítás jellege széttartó (divergens) vagy összetartó (konvergens), és ez

értelemszer�en eltér� következményekkel jár a lejt� alakulására nézve. Modelljében –

amely e tanulmányában még megmaradt a kétdimenziós keretek között– ezért külön

tényez�ként számításba vette a felszín vízszintes görbületét is.

2.6. Háromdimenziós (felszínfejl�dési) modellek

2.6.1. Általános áttekintés

Mivel a 3-dimenziós felszínfejl�dést meghatározó matematikai

egyenletrendszerek általános analitikus megoldásai igen nehezen adhatók meg, ezért

egyre fontosabbá váltak a szimulációs kísérletek. A szimulációs kísérletek egyik fontos

csoportját jelentik egyszer� felépítésük és sokoldalú alkalmazhatóságuk révén az ún.

sejtautomata-modellek. (Más kutatók ugyanezekre inkább a véges differencia-modell

elnevezést használják.) A sejtautomata-modellek m�ködési elve a következ�: a felszínt

– általában egyenl� méret� – cellákra osztjuk, amelyek rendelkeznek bizonyos


tulajdonságokkal (magasság, talajvastagság, k�zetkeménység, beszivárgási képesség,

stb.). Ezután olyan szabályokat adunk meg, amelyek meghatározzák, hogy az egyes

cellák tulajdonságai hogyan befolyásolják a szomszédos cellák tulajdonságait. A modell

futtatása ezeknek a szabályoknak az ismétl�d� alkalmazását jelenti.

A sejtautomata-modellek felszínalaktani alkalmazása AHNERT, F. (1976)

munkája nyomán bontakozott ki. ARMSTRONG, A. (1976) és GOSSMANN, H. (1976)

els�sorban az általános lejt�fejl�dési törvényszer�ségeket vizsgálták ilyen típusú

modellekkel, WILLGOOSE, G. et al (1991), HOWARD, A.D. (1992, 1994), TUCKER, G.E. –

SLINGERLAND, R. (1997), TUCKER, G.E. – BRAS, R.L. (1998) a vízgy�jt�k, vízhálózat

kialakulásának szimulációjában értek el fontos eredményeket. WERNER, B.T. – HALLET,

B. (1993) a periglaciális területeken húzódó k�hantsávok illetve k�poligonok

létrejöttének magyarázatát adta meg sejtautomata-modellel közelítve a problémához.

MURRAY, A.B. – PAOLA, C. (1994) a fonatos vízhálózatú területek mintázatának

fejl�dését modellezte. COULTHARD, T.J. et al (1996, 1997, 1998) a különféle

csapadékeloszlások vízgy�jt�k árvizeire és hordalékszállítására gyakorolt hatását

szimulálták. FAVIS-MORTLOCK, D. et al (1998) az eróziós barázdák, vízmosások

kialakulását kutatták. A karsztok hosszútávú felszínfejl�désére AHNERT, F. – WILLIAMS,

P.W. (1997) valamint TELBISZ T. (1999b, 2001b) állított fel sejtautomata-modelleket. A

csuszamlások gyakoriságának változása és az esetleges éghajlatmódosulás közti

összefüggést elemezte GRIFFITHS, J.A. és COLLISON, A.J. (1999). A fluviális tájak

hosszútávú felszínalakulását és üledékmozgásait szimulálta DE BOER, D.H. (1999)

modellje. Bár a felsorolt modellek bonyolultsága és alkalmazási célja igen eltér�,

valamennyinek közös tanulsága, hogy a szabályok alkalmazása során önszervez�d�

(self-organizing) jelenségek alakulnak ki, például olyan nagyobb, összetett formák, mint

egy vízhálózat, amelyek közvetlenül nincsenek "beépítve" a szomszédos cellák közti

kapcsolatokat meghatározó egyszer� törvényekbe.

2.6.2. Esettanulmányok

Az alábbiakban – szemléltetés céljából – egy egyszer� modell alapján készült

szimuláció eredményei közül kívánok bemutatni néhány példát (TELBISZ T., 2001a).

Noha ez a modell nem foglalkozik a karsztosodással, alapelveit, felépítését tekintve sok

hasonlóságot mutat a kés�bbiekben bemutatandó karsztos modellel, ezért egyszer�sége

folytán el�készíti annak részletes tárgyalását és némi betekintést nyújt a felszínalaktani


modellek általános jellemz�ibe. A modell alapját a ZINGG, A.W. (1940) féle egyenlet

kúszásos folyamatokat és tektonikus mozgásokat is figyelembe vev� kib�vítése jelenti.

A szimuláció szerkezeti felépítése pedig els�sorban DE BOER, D.H. (1999) modelljére

támaszkodik. A felszínt alakító lejt�s tömegmozgások (els�sorban a kúszás) által

megmozgatott anyag elméleti levezetések (KIRKBY, M.J., 1966) és – szórványosabb –

terepi mérések (YOUNG, A., 1963; OWENS, I.F., 1969) alapján a lejt�szög sinusával

arányos. A tektonikus változások térben és id�ben tetszés szerint variálva adhatók meg

a modell futtatása során.

A modell m�ködése a 2-2. ábra alapján követhet� nyomon.

Kiindulási felszín: Z0(x,y)

CsapadékCsapadékhullás területe, helye

Csapadéklista elkészítése

1.elem a csapadéklistáról:Van-e alacsonyabb szomszédja?

van nincs Anyagszállítás pont törlése a listáról

(erózió, tömegmozgások) pont törlése a listárólúj pont hozzáírása a lista végéhez (kivétel: peremen)

Van-e még pont a csapadéklistán? van nincs

Tektonika

Eredményül kapott felszín: Zi+1(x,y)

2-2. ábra: A modell folyamatábrája (b�vebb magyarázat a szövegben)

1. Adott egy kiindulási felszín szabályos XY-rácspontokban (cellákban) megadott Z

(magasság)-koordinátákkal (Z0 (x, y)). Ez a kiindulási felszín lehet véletlenszer�,

"sima", fennsíkperem, domb, medence, vulkáni kráter, valós felszín digitális


domborzatmodellje megfelel� koordinátatranszformációval. (Az alábbi példákban a

rács mérete általában 50 x 50-es).

2. Csapadék megadása: a csapadékhullás területének nagysága lehet véletlenszer� vagy

állandó érték, helye véletlenszer� az XY-rácson belül. (Az alábbi példákban a

csapadékhullás területének nagysága általában egy 10 x 10-es négyzet volt.) Ezután

egy lista készül azokról a pontokról, amelyek csapadékot kaptak.

3. A csapadéklista pontjaira végrehajtjuk az alábbi m�veleteket:

a, Ha a pontnak nincs alacsonyabb szomszédja (vagyis egy mélyedésben van), akkor

egyszer�en töröljük a csapadéklistáról.

b, Ha a pontnak van alacsonyabb szomszédja, akkor kiválasztjuk a legalacsonyabb

szomszédját. Csökkentjük a pont magasságát az alábbi képlet szerint, és

ugyanennyivel növeljük a legalacsonyabb szomszéd magasságát:

∆Z = a · tg (α) b + c · sin (α) (2-4. )

ahol

α a két pont közti lejt�szög;

a, b, c konstansok.

A korábbiak szerint a kifejezés els� része az eróziós tag, második része a

tömegmozgásos tag. A vízhozamtól való függést a csapadéklistás számítási

módszer biztosítja.

Abban az esetben, ha ∆Z meghaladja a két cella közti magasságkülönbség felét,

akkor az áthalmozott anyag következtében az alacsonyabb cella magasabb lenne,

mint az, ahonnét a lepusztulás történt. Mivel ez csak kivételes helyzetekben

fordulhat el� a valóságban, ezért ebben az esetben ∆Z egyenl� a két cella közti

magasságkülönbség felével.

Az eredeti cella koordinátáit töröljük a csapadéklistáról, helyette hozzávesszük a

legalacsonyabb szomszéd koordinátáit, kivéve, ha az már a peremen található.

c, Mindaddig ismételjük a 3. pontot, amíg a csapadéklista ki nem ürül. (Ez akkor

következik be, ha az összes "vízcsepp" mélyedésbe vagy a terület peremére

jutott.)


4. Tektonikus mozgások végrehajtása. Egy mátrixba (UT) beírjuk el�re az egy id�lépés

alatti tektonikus változást minden egyes pontra, és ebben a lépésben a tektonikus

mátrixot hozzáadjuk a magassági mátrixhoz (Z):

Z(x, y) = Z(x,y) + UT (x,y) (2-5. )

5. Visszaugrás a 3. pontra, újabb iteráció (id�lépés) kezd�dik.

2.6.2.1. Vulkáni domborzat (kráterszer� kiindulási felszín)

lepusztulása

A felszínfejl�dési modellezés számára jó lehet�séget jelent a vulkáni domborzat

vizsgálata, mivel a kráterek kialakulása földtörténeti értelemben rendszerint rövidnek

tekinthet� id�szakaszt jelent, így a kiindulási felszín megadása egyértelm�bb lehet, mint

más esetekben. Ugyanakkor a Föld különböz� ma is m�köd� vagy kihunyt krátereinek,

kalderáinak lepusztulását sokan kutatták terepi adatok alapján (lásd pl. KARÁTSON D.,

1996; KARÁTSON D. et al, 1999a), ami jó összehasonlítási alapot jelent a modellekkel

végzett alaposabb vizsgálatokhoz. Egy példát villant fel ebben a témakörben a 2-3.

ábra, amely egy kráter pusztulásának szimulációját mutatja be.

A kezdeti domborzatnál a vulkán küls� lejt�it egyenletes kúppalástként

ábrázoltam, a bels� kráterudvart pedig lényegében egyenletes magasságú térszínnek,

közel függ�leges oldalfalakkal. A kezdeti szakaszban a kráter belsejét els�sorban az

oldalfalak er�teljes pusztulása jellemzi, amelynek következtében a kráter alján

feltölt�dés figyelhet� meg, illetve a kráterperemek kifelé hátrálása, vagyis az átmér�

tágulása a meghatározó folyamat. Ezzel együtt a küls� lejt�kön megindul a vízfolyások

képz�dése. A lepusztulási ráta kb. a 100. iterációtól gyors növekedésnek indul, ez a

kráter felnyílásának id�szaka, amikor a leginkább hátravágódott vízfolyás megcsapolja

az addig lefolyástalan kráterudvart. A vulkán pusztulása ett�l kezdve némileg

felgyorsul, és kialakul a kráterbels� befelé sugaras vízhálózata.


2-3. ábra: Kráter kiindulási felszín pusztulásának menete 3D ábrázolásmóddal

2.6.2.2. Válogató lepusztulás k�zetkeménység szerint

A felszínfejl�dés szempontjából fontos jelent�séggel bír a küls� er�k hatásának

kitett k�zet keménysége, erodálhatósága is. Ezt könny�szerrel beépíthetjük a modellbe,

ha a (2-5.) egyenletet kib�vítjük egy k�zetkeménységet meghatározó szorzótényez�vel.

Egy cella k�zetkeménységét el�re megadott – akár kibillent – "rétegsor" alapján a

magasságtól és az x, y koordinátáktól függ�en számíthatjuk.

2-4. ábra: Réteglépcs�k kialakulása


A 2-4. ábra mutatja, hogy változó keménység�, 30°-os d�lésszög� k�zetekb�l álló

rétegsor felszínfejl�dése miként megy végbe. Az ábráról leolvasható, hogy a "puhább"

k�zetek gyorsabb pusztulása miatt a keményebb rétegek réteglapjai uralják a felszínt,

míg a rétegfejeknél meredek letörés alakul ki. A vízfolyások hossza, esésgörbéje,

bevágódásának jellege is ennek megfelel�en változik. Mindezek alapján állíthatjuk,

hogy ez a szimulációval kapott felszín jól tükrözi a természetben is megfigyelhet�

réteglépcs�vidékek formakincsét.

2.6.2.3. Antecedens völgyfejl�dés – egy tektonikus példa

Az antecedens völgyképz�dés a természetben számos közvetett bizonyítékkal

(pl. teraszképz�dés) igazolható jelenség, ám erre is érvényes, hogy csak egy

pillanatfelvétel az, amit látunk. Emiatt válnak érdekessé a modell-kísérletek,

amelyekben a teljes folyamat nyomonkövethet�.

2-5. ábra: Antecedens völgy kialakulása tektonikus emelkedés esetén

A 2-5. ábran végigkísérhetjük f�bb lépéseiben ezt a jelenséget. Véletlenszer�

kezdeti felszínb�l kiindulva eljutunk a vízhálózat részleges kialakulásáig. Ezután

"bekapcsoljuk" a tektonikát: megkezd�dik egy olyan k�zettömb kiemelkedése, amelyet

egy vízfolyás keresztez. Amennyiben a k�zettömb emelkedésével lépést tart a folyó

bevágódása, úgy lefutásának irányát meg�rizve válik egyre mélyebbé a folyóvölgy,

kettéf�részelve az emelked� hegységet. Ugyanakkor el�fordult a szimulációk során


olyan eset is, amikor az emelkedés gyorsabb ütem� volt, mint a bevágódás, ezért a

vízfolyás megsz�nt a völgyben és kiemelt, pusztuló völgy jött létre.

3. Karsztfejl�dési elméletek

3.1. Kvalitatív modellek

Davis ciklustana a karsztfejl�dési elméletekre is sokáig rányomta bélyegét. Az �

elképzeléseit alkalmazta a karsztok fejl�désére GRUND, A. (1914) és CVIJI�, J. (1918).

Míg CVIJI�, J. (1918) els�sorban a Dinári-karsztvidéken végzett kutatásait összegezte,

addig GRUND, A. (1914) saját megfigyelései mellett az � korukban még kevéssé ismert

trópusi karsztokról szóló szórványos beszámolókra is támaszkodva általánosabb

érvénnyel fogalmazta meg elképzeléseit. A ciklustan szemléletének megfelel�en egy

folyamatos fejl�dési sort állított fel, amely a töbrös karsztokból kiindulva a cockpit

karsztokon keresztül a kúpkarsztokig ível, majd ellaposodott korróziós síkságban

végz�dik. Amennyiben a felszín az erózióbázishoz képest kiemelkedik, úgy a terület

megfiatalodik és a ciklus újra kezd�dik (bár nem feltétlenül legel�lr�l), így a karszt

policiklikus fejl�désen megy keresztül. Ezt a folyamatot valószín�síti DAVIS, D.G.

(1930) is a barlangkeletkezésr�l szóló dolgozatában. FORD, D.C. – WILLIAMS, P.W.

(1989) szerint a legtöbb karszt hordoz magán policiklikus fejl�désre utaló bélyegeket.

Az ismeretek gyarapodásával azonban egyre többen úgy vélték, hogy a GRUND,

A. (1914) által egy fejl�dési sor elemeinek tartott karsztok valójában különböz�

környezeti feltételek hatására jönnek létre és hogy a különbségek legfontosabb oka az

éghajlatban keresend� (LEHMANN, H., 1936, 1954), így a karsztokat klimatikus

geomorfológiai keretben tárgyalták (SZABÓ, P.Z., 1957; JAKUCS, L., 1971). Bár az

éghajlat kiemelked� fontosságát ma már nem vitatják, emellett számos egyéb tényez�t

is hangsúlyoztak a karsztfejl�dést magyarázó modellekben. SWEETING, M. (1972, 1979)

a k�zettani, szerkezeti adottságok befolyásoló szerepét emelte ki. JAKUCS, L. (1971) a

karsztos és nem karsztos k�zetek eltér� domborzati viszonyából adódó

következtetéseket elemezte részletesen, az � rendszerét fejlesztette tovább többek között

HEVESI, A. (1986). FORD, D.C. – WILLIAMS, P.W. (1989) a hidrológiai kapcsolatok

meglétét tartotta kiemelend� tényez�nek. Újabban a karsztökológiai rendszer összetett

vizsgálata került a vizsgálatok homlokterébe (BÁRÁNY KEVEI I., 1992, 1993, 1995;


PFEFFER, K.-H., 1995), amelynek egyik fontos összetev�je a talajhatás (ZÁMBÓ L.,

1986).

Az éghajlat illetve egyéb tényez�k megváltozásával egy karsztvidék összetett,

poligenetikus fejl�désen megy keresztül. Figyelembe véve a negyedid�szak s�r�

éghajlatingadozásait, amelyek legdrámaibban a mérsékelt övben érzékeltették hatásukat,

e zóna karsztjait túlnyomórészt poligenetikusnak kell tekinteni (FORD, D.C. –

WILLIAMS, P.W., 1989; SAURO, U., 1995; ZÁMBÓ L. et al, 2000, 2002a, 2002b).

3.2. Matematikai modellek

Számos eredmény vált ismertté a karsztfelszínek matematikai modellezésével

kapcsolatban is, melyekr�l GUNN, J. (1986) közöl részleteket. Ezek a kutatások azonban

egészen a közelmúltig (differenciál-)egyenletek felírására és azok analitikus

megoldásaira szorítkoztak. SMITH, D.I. et al. (1972) a talajtakaró cockpit karsztokra

gyakorolt hatásait vizsgálta ezzel a módszerrel. BROOK, G.A. (1981) a törésvonalak

jelent�ségét hangsúlyozta dolinás illetve poligonális karsztterületeken egyaránt. Úgy

tekintette, hogy a függ�leges illetve oldalirányú oldás aránya határozza meg a

jellegzetes felszínformák mélység/átmér� arányát. Ebb�l kiindulva különféle

törésrendszerekre sinus-hullámokat illesztett, majd ezeket összegezte, így a karsztos

tájakhoz hasonló formákat kapott.

KIRKBY, M.J. (1986) az oldásos lejt�formák modellezésének keretén belül

tárgyalta a karsztterületek jellegzetes lejt�inek kialakulását geokémiai meggondolások

figyelembevételével. Az oldási folyamat modellezésére két alapvet� megközelítést

mutatott be:

a, az egyensúlyi feltételezés szerint a lejt�t alakító oldószer (víz) gyorsan telítetté válik a

mozgási sebességhez viszonyítva, ez esetben tehát az egyensúlyi koncentrációnak

megfelel� teljes anyagmennyiség oldatba kerülésével lehet számolni. (Lassú, talajon

keresztül történ� szivárgás és gyors oldódási együttható esetén ez valószer� feltevésnek

tekinthet�.)

b, a kinetikus megközelítés abból indul ki, hogy az oldáshoz szükséges id� nem

hanyagolható el, hanem azt az alábbi egyenlet szerint kell számítani:

)( ccktc

eq −=δδ (3-1. )


ahol

c: az oldat aktuális koncentrációja;

ceq: az egyensúlyi koncentráció;

k: kinetikus együttható

t: id�

Ez az egyenlet különféle változatokban a karsztosodást leíró matematikai

modellek többségében szerepel. Jelent�sége abban áll, hogy megmutatja, hogy az

oldódás a telítési hiánnyal arányos, vagyis az id� el�rehaladtával a feloldott anyag

mennyisége egyre jobban csökken. KIRKBY, M.J. (1986) modellje szerint az oldás által

meghatározott lejt�szelvények domborúak és éles töréssel csatlakoznak a vízszintes

alapzathoz. A megfigyelések tükrében ez a forma a természetben a toronykarsztokhoz

kapcsolható.

DREYBRODT, W. (1981) és PALMER, A. N. (1991) a karsztok fejl�désének

kulcsát a barlangok képz�désében látták, így a f� hangsúlyt a karsztos k�zettömeg

belsejében fejl�d� üregrendszer kialakulására tették. Mindketten a kinetikus kémiai

megközelítést használták fel a járatrendszer b�vülési dinamikájának megértéséhez.

Elgondolásuk szerint a felszíni karsztos formakincs kifejl�dése akkor indul meg igazán,

amikor a járatok elég nagyok ahhoz, hogy a felszínre hulló csapadék, beérkez�

vízfolyások vízhozamának jelent�s részét képesek legyenek elvezetni.

A karsztfelszínek vízszintes és függ�leges irányú lepusztulásának 3-dimenziós

egyenletrendszerét ismertette több tanulmányban VERESS M. – PÉNTEK K. (1990, 1995),

valamint SZUNYOGH G. (1994a, 1994b, 1995a, 1995b). A talaj - törmelékes zóna -

szálk�zet hármas osztatú rendszerét igyekeztek geometriailag egyszer� formában

megragadni, és a (3-1.) egyenlet kissé módosított változata (DUBLJANSZKIJ, J. V., 1987)

alapján a lepusztulás id�beli lefutását, nagyságrendjét, a kialakuló vertikális

karsztformák alakját megadni. VERESS M. – PÉNTEK K. (1990) és SZUNYOGH G. (1994a)

szerint a horizontális karsztdenudáció nagysága az id� függvényében lineáris. A

kürt�képz�dés kapcsán pedig a szerz�páros (VERESS M. – PÉNTEK K., 1995)

megkülönböztet egy kezdeti, embrionális fejl�dési szakaszt, amikor a kürt� átmér�jének

növekedése az id� négyzetgyökével arányos és egy második fejl�dési szakaszt,

amelyben viszont már lineáris átmér�-b�vülés jellemz�. Az analitikus megoldási

kísérletek hátrányaként említhet� ugyanakkor, hogy a megoldás csak korlátozott

feltételek esetén adható meg zárt alakban, ezért a karsztfelszínek változatos tagoltsága

és az apró, helyi eltérésekre visszavezethet� oldódásbeli különbségei nehezen


ragadhatók meg segítségükkel. Ezt felismerve SZUNYOGH G. (1998) bemutatott egy

egyenletrendszert, amely a szabad sziklafelszínek karrosodását írja le és számítógépes

szimulációra is alkalmas lehet, ám a gyakorlati megvalósítás még várat magára.

A karsztok felszínfejl�désének megragadását célzó szimulációt hosszas

nyomozást követ�en is mindössze egy publikációban találtam. Ez az úttör� jelent�ség�

munka tehát saját modelljeim (TELBISZ T., 1999b, 2001b, 2001d) legközvetlenebb

el�zményének tekinthet�, ezért el�nyeivel és fogyatékosságaival együtt a korábbiaknál

némileg alaposabb bemutatásra szorul. AHNERT, F. – WILLIAMS, P.W. (1997) azt

vizsgálták, hogy melyek azok a minimális feltételezések, amelyekb�l kiindulva

megmagyarázhatók a karsztosodás legalapvet�bb formái, elviekben helytálló-e a

GRUND, A. (1914) féle karsztfejl�dési ciklus. Éppen ezért igen egyszer� feltételeket

választottak:

a, modelljük alapját a módosított Zingg-egyenlet (2-3.) jelenti;

b, beszivárgás csak a zárt mélyedések alján fordul el�;

c, széttartó vízáramlás (divergencia) esetén csökken az oldódás mértéke;

d, szerkezeti kontroll, vagyis bizonyos pontok pusztulási "hajlandósága" növelhet�;

e, alapszint, amelynél kisebb értékeket nem vehet fel a felszín magassága.

A szimulációs kísérleteket mindössze 10x10-es négyzetes rácshálón futtatták.

Zárt mélyedések (dolinák) keletkezése megfigyelhet� volt pusztán az a, és b,

folyamatok m�ködtetése alapján is (tehát nem volt szükség szerkezeti kontrollra), de a

terület fokozatos lealacsonyodása során nem alakultak ki karsztos maradványhegyek,

így – a szerz�k következtetése szerint – a GRUND, A. (1914) féle ciklus nem tekinthet�

általános érvény�nek. Ugyanakkor a divergencia figyelembevételével a fejl�dés

bizonyos fázisában a dolinák közti vízválasztók magasabb kiemelkedései fokozatosan

kúpkarsztos domborzattá alakultak, ami azt sugallja, hogy megfelel� feltételek

(éghajlat) esetén a toronykarsztos formakincs levezethet� a zárt mélyedések hatékony

oldalirányú és függ�leges korróziójából.

Ez a modell azonban a felszíni karsztos folyamatoknak csak egy sz�k csoportját

veszi figyelembe, azt is er�sen leegyszer�sít� jelleggel, továbbá igen kicsiny

felbontással dolgozik. Bár egy modellnek általában az a feladata, hogy sz�kítsen,

egyszer�sítsen és kicsinyítsen, mégis úgy ítéltem meg, hogy szükség van egy

kifinomultabb szimulációra alkalmas karsztos felszínfejl�dési modellre, amelynek

megvalósításával árnyaltabban vizsgálható a felszíni karsztosodás menete. Ennek

bemutatása az 5. fejezet és egyben a doktori disszertáció egyik f� célja.


4. A töbör-morfometriai elemzések módszertana

Ebben a fejezetben azokat a módszereket kívánom áttekinteni, amelyekre a valós

karsztterületek töbreinek vizsgálatakor, illetve a karsztos modell morfometriai

elemzésében támaszkodom.

A hazai és nemzetközi karszkutatások egyik fontos irányzata a morfometria. A

töbör-morfometria jelent�sége különösen kiemelked�, hiszen a mérsékelt övi karsztok

legjellegzetesebb felszíntípusát a dolinás térszínek jelentik. Az alapvet� alakrajzi

paraméterek megmérése mellett azonban szükséges új módszerek kimunkálása is.

Ennek érdekében

• új eljárást dolgoztunk ki az alakmérések számítógépes elvégzéséhez (KARÁTSON

D. et al, 1999b, 1999c, 20021; TELBISZ T., 2000, 2001c, 2002);

• a hazai kutatásokban eddig nem szerepelt, f�leg az ún. eloszlási mintázatokhoz

kapcsolódó új morfometriai paramétereket (legközelebbi szomszéd iránya,

legközelebbi szomszéd mutató2 (nearest neighbour index)) vezettem be.

4.1. A morfometria szerepe a karsztkutatásban

A geomorfológiai, és azon belül a karsztmorfológiai kutatások fejl�désével

megn�tt az érdekl�dés a felszínformák mennyiségi jellemzése iránt is. A karsztos tájak

alapvet� típusainak megfelel�en a morfometriai megközelítések is többfélék lehetnek,

melyeknek két f� irányzata a barlangi illetve a felszíni alakrajzi méréseken alapszik.

Mindkét csoporton belül különböz� módszerekkel vizsgálhatók (és vizsgálandók) a

kisebb (karrok, cseppkövek, stb.) és nagyobb (barlangjáratok, kúpok, dolinák) formák

jellemz�i. A karsztos felszínek morfometriai leírása WILLIAMS, P.W. (1971) úttör�

jelent�ség� munkája – melyben Új-Guinea poligonális karsztmélyedéseit elemezte –

nyomán bontakozott ki. Mivel a karsztfelszínek uralkodó képét sok tényez�

együttm�ködésével alapvet�en az éghajlat határozza meg (JAKUCS L., 1971), ezért az

alakmérés célpontjai is eltér�k lesznek a különböz� klímaterületeken. A (szub)trópusi

karszttérségekben a már említett poligonális mélyedések mellett els�sorban a tornyok,

1 Az eljárás kidolgozásakor eredetileg nem a karsztformák vizsgálata volt a cél, hanem üledékes

feltárások szemcséinek fénykép alapján történ� vizsgálata. 2 Azóta HOYK E. (2002) is kísérletet tett a legközelebbi szomszéd index vizsgálatára a Nyugat-

Mecseki Karsztvidékre vonatkozóan, ám teljesen hibás módon végezte a számításait.


kúpok alakmérésére irányult a figyelem (MING, T., 1992; KANGNING, X. , 1992;

DROGUE, C. – BIDAUX, P., 1992). A mérsékelt övi karsztok "diagnosztikus"

felszínformáit a töbrök jelentik, ezért a karsztfelszín jellemzésében kulcsszerepet

játszanak a töbrök paraméterei, és a pontos, számszer�síthet� leírás a térszínek

fejl�désmenetének feltárásában is hasznosítható lehet.

Irodalmi adatok (KEMMERLY, P.R., 1982, 1986; MILLS, H.H. – STARNES, D.D.,

1983; MEZ�SI G., 1984; VINCENT, P.J., 1987; WHITE, W., 1988; FORD, D.C. – WILLIAMS,

P.W., 1989; BÁRÁNY KEVEI I. – MEZ�SI G., 1993; FARSANG A. – TÓTH T., 1993;

GRUBER P. et al., 1998; SZABÓ L., 1998; PÉNTEK K. et al., 2000; DUTKÓ A., 2000; HOYK

E., 2002) alapján a következ� f�bb paraméterek (illetve az azokból számítható mutatók)

vizsgálata terjedt el a töbör-morfometriában:

a, Alaprajzi (horizontális) jellemz�k: hosszúság, szélesség, terület, kerület,

irányítottság, aszimmetria;

b, Magassági (vertikális) jellemz�k: mélység, tengerszint feletti magasság, oldallejt�k

szöge;

c, Eloszlási mintázatok: töbörs�r�ség, töbrösödési arány, szomszédsági viszonyok

értékelése;

d, Hidrológiai kapcsolatok: vízgy�jt�-terület, forrás-s�r�ség.

Megjegyzend�, hogy FARSANG A. – TÓTH T. (1993) és PÉNTEK K. et al. (2000) –

akik az egyes töbröket jellemz� szintvonalak magasságtól való függését vizsgálták

bükki és aggteleki példákon – munkáiban érdekesen ötvöz�dik az els� két

paramétercsoport.

Az általam (is) használt számított töbör-morfometriai mutatók képlettel való

megadását a 4-1. táblázat tartalmazza.

Mutató neve Számítás módja Töbörs�r�ség Töbrök száma/Vizsgált terület Töbrösödési arány (%) Töbrök összterülete/Vizsgált terület Körátmér� (a töbörrel egyez� terület� kör átmér�je) π/4 Terület⋅ Vízszintes megnyúltság Hosszúság/Szélesség Kerekítettség (kör esetén 1, egyébként csökken) (4·π·Terület) / Kerület2 Kompaktság (kör esetén 1, egyébként csökken) Körátmér�/Hosszúság Függ�leges megnyúltság Körátmér�/Mélység Térfogat (kúp ill. félgömb közti átmeneti alakot feltételezve)

Terület·Mélység/2

4-1. táblázat: Számított töbör-morfometriai mutatók


4.2. Új számítógépes alakmérési eljárás

Az alakmérési eljárások részben terepi megfigyeléssel, részben térképi

adatszerzéssel történhetnek. Mivel mindkett� id�igényes feladat, ezért ritkán kerül sor

egy terület teljes kör� elemzésére, és a morfometriai jelleg� vizsgálatok során általában

"reprezentatív" mintavétel alapján történik a következtetések levonása. A mai technikai

feltételek mellett azonban a számítógép lehet�séget nyújt az említett nehézség

orvoslására. A munkafolyamat az alábbi lépésekb�l áll (4-1. ábra):

1. Az alaptérkép (vagy légifelvétel) kiválasztása után a töbrök átrajzolása fóliára. (Az

itt felmerül� kérdések, pl. a térkép pontossága vagy a töbör határvonala stb.

függetlenek a számítógépes eljárástól.)

2. Az átrajzolt kép szkennelése.

3. Képfeldolgozó program alkalmazása, amelyhez rendelkezésre állnak a világhálóról

letölthet� ingyenes programok (pl. ImageTool). A programon belül 4 fontos lépés

különítend� el:

a) kalibráció, azaz egy térképen megmért, ismert hosszúságú szakasz alapján a

digitális kép méretarányának beállítása;

b) a képen található zárt objektumok azonosítása (ezt már a számítógép végzi el);

c) mérés, melynek során az alábbi f�bb paramétereket kínálja fel a program:

terület; kerület; els� és második tengely iránya, hossza; megnyúltság;

kerekítettség; középpont koordinátái;

d) az adatbázis elmentése.

4. Az adatbázis statisztikai kiértékelése (ezt már másik programmal célszer� elvégezni).

Alaptérkép(vagy légifelvétel)

Töbrök átrajzolása

Szkennelés

Képfeldolgozó program

Név Hossz Terület

Számítógépesadatbázis

4-1. ábra: Számítógép morfometriai alkalmazásának lépései.

A számítógép felhasználásának el�nyei az alábbiakban foglalhatók össze:

• gyorsaság (a kézi mérés és az adatbázis géprevitelének megtakarításával);


• az el�bbib�l adódóan lehet�ség nagyobb területek egységes szempontú, teljes kör�

feldolgozására;

• megvalósítható a Föld különböz� karsztterületeinek összehasonlítása "szabványos"

adatbázis alapján;

• és lehet�ség sokoldalú statisztikai kiértékelésre.

4.3. Töbör mintázatok jellemzése új paraméterekkel

A rendelkezésre álló adatbázisból gyorsan számítható egy töbörhöz legközelebb

es� másik töbör iránya, illetve távolsága. A legközelebbi szomszéd irányok a

tektonikus, domborzati illetve karsztfejl�dési kérdések megválaszolásában jelenthetnek

segítséget, els�sorban a töbrök megnyúltságával egybevetve az eredményeket. Ehhez az

adatokból számítható statisztikai mutatók helyett inkább a legközelebbi szomszéd

azimutértékekb�l szerkeszthet� rózsadiagramok értékelése szükséges.

A legközelebbi szomszéd távolság-adatokból számítható a legközelebbi

szomszéd mutató (nearest neighbour-index). Els�sorban biológiai indíttatású kutatók

(CLARK, P.J. – EVANS, F.C., 1954) vezették be ezt a mutatót, amely egy adott területen

szórtan elhelyezked� "egyedek" csoportosulási mintázatát jellemzi. Ennek töbrökre

való használata meghonosodott a külföldi karsztos kutatásokban is (DRAKE, J. – FORD,

D.C., 1972; KEMMERLY, P.R., 1986; VINCENT, P.J., 1987; FORD, D.C. –WILLIAMS, P.W.,

1989). Az index (R) a töbrök legközelebbi szomszédjuktól való távolságának az átlagát

(l) viszonyítja a véletlenszer� elrendez�dés esetén várható átlagos távolsághoz (E(l)).

R = l/ E(l) (4-1. )

Ennélfogva az 1 közeli értékek véletlenszer� elhelyezkedésre utalnak, a 0-hoz

közelít� értékek a csoportokba rendez�dést sugallják, és a maximális 2,149 érték pedig

a szabályos hatszöges elrendezést jelenti. A véletlenszer� elrendez�déshez tartozó

várható átlagos távolság az alábbi egyenletb�l kapható meg:

dlE

⋅=

21

)( (4-2. )

ahol d a töbörs�r�ség.


Csakhogy a vizsgált területek peremén lév� egyedek miatt torzítottá válik E(l)

becslése, ezért a számítás során korrigálni kell E(l) értékét (ezt közli VINCENT, P.J.

(1987) is, de hibásan (!), a helyes képlet DAVIS, J.C. (1986) könyvéb�l olvasható ki):

nP

ndlEc ⋅++

⋅= )

412.0514.0(

21

)( (4-3. )

ahol

Ec(l) a korrigált várható távolság;

n a töbrök száma;

p a vizsgált terület kerülete.

5. Karsztos felszínfejl�dési modell felépítése

5.1. A modell célja

Az alábbiakban ismertetésre kerül� modell karsztgeomorfológiai célzattal

készült. Ennélfogva f� célkit�zése, hogy a karsztterületek felszínét alakító

folyamatok elméleti megragadása révén az ezek hatására létrejöv� formakincset

képes legyen minél sokoldalúbban magyarázni. Jelen formájában nem szolgál

gyakorlati célokat, ám a 2.2 fejezet b-d, bekezdéseiben megfogalmazott célkit�zések

(elméleti hipotézisek igazolása vagy elvetése, új jelenségek felismerése, folyamatok

megértése, oktatás) érvényesek rá. Bár a modellnek számos hidrológiai kapcsolódási

pontja van, nem azért készült – és nem is igazán alkalmas arra – hogy hidrológiai

következtetéseket vonjunk le m�ködése alapján. Mivel a modell segítségével a felszíni

karsztjelenségek alakulását kívánjuk vizsgálni, ezért nem szól a modell a karsztok

valójában 3 dimenzióban zajló lepusztulásáról sem, ezt csupán er�sen leegyszer�sített

adottságként építettem be a modellbe (ld. kés�bb). Jóllehet a karsztvidékek felszíni és

felszín alatti folyamatainak és formakincsének egységes modellkeretben történ�

feldolgozása kívánatos lenne, ez messze meghaladja lehet�ségeimet, és a jöv� feladata

marad.


5.2. A modell általános felépítése

A jelöléseknél igyekeztem a szakirodalomban elterjedt jelölésekhez igazodni,

bár ez természetesen számos esetben nem volt egyértelm�. A kevésbé megszokott

jelölések mögött rejt�z� – többnyire angol – kifejezéseket a Függelékben (11.1)

közlöm, ahol szükségesnek t�nik. A mértékegységek választásában három szempont

játszott szerepet:

1. Ahol célszer� volt, ott az SI, vagy azzal közvetlen kapcsolatban álló mértékegységet

választottam.

2. A megszokott földrajzi paramétereknél próbáltam a mindennapi gyakorlathoz

igazodni.

3. Fontos volt, hogy a modellben szerepl� mértékegységek összhangban legyenek,

igazodjanak a tér- és id�beli léptékhez.

Ezeket figyelembe véve az id� mértékegységei: perc (min) és év (a). Térbeli

egységek: mm és m. Koncentráció egysége: mg/l.

A modellben szerepl� összes jelölést, mértékegységgel együtt a Függelékben

(11.1) foglaltam össze.

5.2.1. Térbeli szerkezet

A térbeli szerkezet felépítésénél arra a széleskörben elfogadott sémára

támaszkodtam, amely a karsztfelszín alakulását hármas tagolású (karsztökológiai)

rendszerben írja le: légkör – talaj – törmelékes zóna (KEVEINÉ BÁRÁNY, I. – MEZ�SI,

G., 1978; ZÁMBÓ L., 1986; VERESS, M. - PÉNTEK, K., 1990, 1995; BÁRÁNY KEVEI I.,

1993, 1995; PFEFFER, K.-H., 1995).

5-1. ábra: A modell térbeli szerkezete


A modell vázát egy derékszög� koordinátarendszer alkotja, amelynek alapján

egy adott területet szabályos négyzetrácsháló szerinti cellákra ("sejtekre") osztunk (5-1.

ábra). Egy elemi cella oldalhossza: dx=dy, területe: A=dx2. Egy cellán belül a

különböz� tulajdonságokat egy átlagértékkel jellemezzük, a cellák oldalhossza tehát a

modell térbeli felbontását meghatározza. Legfontosabb jellemz� értékek az (x, y)

koordinátájú pontban:

HB(x,y) az alapk�zet (törmelékes zóna)3 tengerszint feletti magassága (m);

HR(x,y) a regolit (talajtakaró)4 vastagsága (m);

ICB(x,y) az alapk�zet (törmelékes zóna) beszivárgási képessége (intenzitása, mm/min);

Minden egyes cellának vízszintesen 8 szomszédos cellával lehet kapcsolata. A

modell futása során az anyag-vándorlás celláról cellára ebben a 8 irányban történhet,

illetve egy cellán belül függ�leges irányokban valósulhat meg (légkör↔talaj, osztott

talajrétegek között, talaj↔törmelékes zóna).

5.2.2. A modell id�léptéke

A felszínt alakító folyamatok id�beli lezajlásához és a modell hatékony

futtathatóságához igazodva három különböz� id�lépték szerint kerül sor a modellbe-

épített folyamatok számítására. Mivel a karsztos felszínformálás hajtóereje a víz, ezért

a modell alapvet�en a csapadékeseményekhez kapcsolódóan végbemen�

felszínformálást modellezi. A csapadékhullás felszínalakítás szempontjából

legváltozékonyabb tényez�je a lefolyás, ehhez igazodik a legrövidebb id�lépcs�: ∆tS

(min). Ennek célszer� megválasztását a cellaméret és a lefolyás sebessége (ld. kés�bb)

határozza meg. Az általam végzett számításokban általában 1-5 perc között volt ez az

érték.

3 A modellezni kívánt jelenségt�l (a kiindulási értékek és egyéb paraméterek megválasztásától)

függ�en a mennyiség pontos fogalmi jelentése egyes esetekben alapk�zet, máskor törmelékes zóna. A továbbiakban ezeket a kifejezéseket a modellre vonatkozóan azonos értelemben használom.

4 Azért használom els�ként a regolit kifejezést, mert ez a tágabb jelentés�: azt a felszínen található, erodálható réteget értem alatta, amelyben a nemkarsztos jelleg� szivárgás zajlik. Bizonyos esetekben ez a sz�ken vett talajtakarót is jelentheti. A továbbiakban ezeket a kifejezéseket a modellre vonatkozóan azonos értelemben használom.


A talajon átszivárgás 1-2 nagyságrenddel lassabban zajlik, ezért a modell futási

idejének hatékonyabb kihasználása érdekében egy középs� id�lépték bevezetésére is sor

került: ∆tM (min). Ennek mértékét a talaj szivárgási tulajdonságai szabják meg.

Harmadsorban pedig a felszín változásainak id�léptéke említhet�: ∆tL (a), amely

az el�z�nél sok nagyságrenddel nagyobb. Olyan id�tartamot célszer� választani, amely

elég rövid ahhoz, hogy a lepusztulás még ne változtassa meg jelent�s mértékben a

morfológiát, másrészt elég hosszú ahhoz, hogy a modell futtatása ne nyúljon túl

hosszúra a modellez� számára érdekes id�tartományt tekintetbevéve. Ez a választás

meglehet�sen kényes, összetett kérdés, mert a szimulált felszínalakító folyamatok

esetében eltér� lehet a megfelel� hosszú id�lépték.

Összefoglalóan tehát a modell hármas id�léptéke: lefolyási (rövid) id�lépték

(∆∆∆∆tS), szivárgási (közepes) id�lépték (∆∆∆∆tM) és geomorfológiai (hosszú) id�lépték

(∆∆∆∆tL).

5.2.3. A modell folyamatsora

A modell folyamatsorát, a számítások menetét az 5-2. ábra mutatja be.

1. Kiindulási feltételek (HB,0, HR,0, ICB,0) megadása. Nehéz feladat pontosan

meghatározni, hogy a természetben mit értünk kiindulási felszín alatt, mikortól indul

a felszínfejl�dés órája. A modellben néhány egyszer� lehet�ség segítségével sokféle

alaphelyzetb�l indítható a m�ködés:

Az alapk�zet kiindulási felszínét az alábbi lehet�ségek közül választhatjuk:

véletlenszer�, hullámos felszín; egyenes lejt�; fennsíkperem; völgy; valós felszín

digitális domborzatmodellje; korábbi modellfuttatások által létrehozott felszín.

A talajtakaró vastagságára a következ� lehet�ségek kínálkoznak: véletlenszer�

vastagság; fokozatosan csökken� vastagság; tengerszint feletti magassággal

vékonyodó talajréteg; terepi felmérések alapján bevitt adatok; korábbi

modellfuttatások által létrehozott talajtakaró-vastagság.

A törmelékes zóna beszivárgási képességét tekintve szintén többféle alapállapot

adható meg: egyenletes beszivárgási képesség; törésvonalak mentén megnövelt

beszivárgási képesség; terepi felmérések alapján bevitt adatok; korábbi

modellfuttatások által létrehozott beszivárgási képesség értékek.


5-2. ábra: A modell folyamatábrája (b�vebb magyarázat a szövegben)


2. Az egyes cellákra vonatkozó, differenciált, "lokális" kiindulási feltételek és további,

"globális" paraméterek megadása alapján a modell el�ször kiszámítja a területre

hulló csapadékvíz lefolyásából adódó következményeket egy átlagos

csapadékesemény (R, mm) során. Következésképpen e lépés a rövid (lefolyási)

id�lépték szerint zajlik az alábbi részfolyamatok figyelembevételével:

csapadékhullás és párolgás, beszivárgás a talajba illetve közvetlenül az

alapk�zetbe/törmelékes zónába (ahol hiányzik a talajtakaró), a lefolyó víz fizikai

pusztító/felhalmozó tevékenysége és a csupasz k�zeten lefolyó illetve az

alapk�zetbe beszivárgó víz oldása. E lépéssorozat kimeneti adataként szerepel az

alapk�zet tengerszint feletti magasságának változása (∆HB,S), a talajvastagság

változása (∆HR,S), a beszivárgási képesség változása(∆ΙCB,S) és a talajba ténylegesen

beszivárgott vízmennyiség a középs� (szivárgási) id�lépték szerinti bontásban (IR(t)

függvény).

3. Az el�z� lépés kimeneti adatait figyelembevéve kerül sor a talajon átszivárgó víz

útjának nyomonkövetésére. A közepes (szivárgási) id�lépték szerint zajlik a

részfolyamatok számítása. E lépésben a lefelé és oldalirányban történ� vízszivárgás,

a törmelékes zónába jutó víz oldó hatása és a párolgás játszik szerepet. Kimeneti

adatai: az alapk�zet tengerszint feletti magasságának változása (∆HB,M), a

talajvastagság változása (∆HR,M), a beszivárgási képesség változása(∆ΙCB,M).

4. Miután a 2-3. lépés eredményeként rendelkezésre állnak az egy csapadékesemény

hatására bekövetkez� apró változások, ezeket kivetítjük (lineárisan extrapoláljuk)

egy hosszú (geomorfológiai) id�léptékre. Az éves csapadékösszeg (P, mm/a)

ismeretében meg kell határozni az átlagos csapadékesemények számát (N) egy

hosszú id�lépés alatt:

N=(P/R)· ∆tL (5-1. )

Feltételezhet�, hogy alkalmasan választott geomorfológiai id�lépték esetén a hosszú

id�lépés alatt bekövetkez� alapk�zet–felszín, talajvastagság és alapk�zet

beszivárgási képesség változások közelít�leg az egy csapadékesemény során

mérhet� változások (rendre: ∆HB,S+∆HB,M, ∆HR,S+∆HR,M, ∆ΙCB,S+∆ΙCB,S) N-szeresei

lesznek, tehát az új értékek az alábbi módon adhatók meg:


HB'=HB+N·(∆HB,S+∆HB,M) (5-2. )

HR'=HR+N·(∆HR,S+∆HR,M) (5-3. )

ICB'=ICB+N·(∆ICB,S+∆ICB,M) (5-4. )

5. Ezután kerül sor azon folyamatok számítására, amelyek geomorfológiai

id�léptékben éreztetik igazán hatásukat és nem köthet�k konkrét

csapadékeseményekhez, hanem hosszú id�távra számolt átlagos rátákkal

közelíthet�k legjobban. Itt kerülhet sor a lejt�s tömegmozgások, a tektonikus

változások és a talajképz�dés leegyszer�sített figyelembevételére.

6. Visszaugrás a 2. pontra, újabb hosszú id�lépés (iteráció) kezd�dik.

5.3. A modellben számításbavett folyamatok tárgyalása

A modellben számításbavett folyamatok lehetséges színtereit áttekint� formában az

5-3. ábra mutatja be.

5-3. ábra: A modellben számításbavett folyamatok Jelmagyarázat: 1. Csapadékhullás, 2. Evapotranszspiráció, 3. Beszivárgás a talajba, 4.

Beszivárgás az alapk�zetbe (törmelékes zónába), 5. Karsztos oldás, 6. Lefolyás, 7. Erózió és akkumuláció, 8. Szivárgás a talajban, 9. Lejt�s tömegmozgások


5.3.1. Csapadékhullás

A modell m�ködése szempontjából a csapadék-intenzitás érdemel figyelmet, mert a

talajba (k�zetbe) beszivárgó csapadékhányad egyik fontos meghatározója. Hidrológiai

munkák tömkelege (pl. JUHÁSZ J., 1987; KONTUR I. et al, 1993; STELCZER K., 2000;

stb.) foglalkozik a csapadék–intenzitás lehetséges értékeivel és az egy csapadékesemény

során bekövetkez� változásaival (kezdeti gyors növekedés, majd elhúzódó

lecsengés).Viszonylag egyszer� mérhet�sége továbbá széleskör� jelent�sége miatt jól

értett folyamatról van szó. Ezért a modellnek elvileg megadható egy Ri(t) adatsor, amely

a csapadék intenzitását (mm/min) adja meg rövid id�lépték szerinti bontásban a

csapadékesemény kezdetét�l a végéig. Ugyanakkor, leegyszer�sített formában az

átlagos intenzitással (az egy csapadékesemény során lehullott összmennyiség (R, mm)

és a csapadékhullási id� (tR, min) hányadosával) helyettesíthet� ez az adatsor. Mind az

éves csapadék (P, mm), mind pedig az egy csapadékeseményre jellemz� összmennyiség

értékét a növényzet visszatartó képességének (intercepció) mértékével helyesbítve

célszer� megadni. Jól ismert tény az is, hogy a karsztos beszivárgás szempontjából a

csapadék éven belüli eloszlásának is kiemelked� szerepe lehet (miként KESSLER H.,

1954; BÖCKER T., 1974; MAUCHA L., 1990 bizonyították magyarországi

karsztvidékekre). Ez a jelenség a modellben kézzelfoghatóan ugyan nincs megvalósítva,

ám ha a tényleges évi csapadékösszeg helyett a mértékadó csapadékot választjuk

kiinduló paraméterként, akkor valószer�bb értékeket kaphatunk.

A 2. lépés során az es� id�tartama alatt minden rövid id�lépés során az es�

intenzitásának megfelel� mennyiség� csapadék hullik minden egyes felszínpontra.

5.3.2. Evapotranszspiráció

Az evapotranszspiráció a karsztos felszínalakító folyamatok térbeli (morfológiai)

változékonyságának szempontjából másodlagos jelent�ség�, inkább a tényleges, átlagos

lepusztulás nagyságrendjét képes befolyásolni a "hiányzó víz" révén. Az

evapotranszspiráció megismerésére irányuló kutatások zömmel hosszabb id�szakra

vonatkozó párolgási mutatókat dolgoztak ki (pl. THORNTHWAITE, C.W. (1948)-féle

potenciális evapotranszspiráció), melyek a modell szempontjából kevés hasznot

jelentenek. A pillanatnyi párolgás viszont különféle meteorológiai tényez�k bonyolult

függvénye, amelyek nem illeszkednek a modellhez. Így legegyszer�bb megoldásként a

felszíni lehetséges párolgást id�ben és térben állandó intenzitású folyamatként


modelleztem (a 2. lépésben), mely a csapadékhullás lezárultával kezd�dik, és addig tart,

amíg van rendelkezésre álló víz:

�� >∆⋅= egyébként

tthatEtE Rsi,0,)( (5-5. )

ahol

E a lehetséges párolgás értéke egy adott id�pillanatban (mm);

Ei a potenciális párolgási intenzitás (mm/min);

t az id�.

A talajból evapotranszspirációs úton távozó lehetséges mennyiség a mélységgel

exponenciálisan csökken (KOVÁCS GY., 1978). Általánosnak tekinthet� jelenség –

els�sorban a nyári félévben –, hogy a talajba beszivárgott teljes vízmennyiség "elfogy",

miel�tt az alapk�zethez érne (KESSLER, H., 1954; JUHÁSZ, J. 1987; STELCZER, K., 2000).

ZÁMBÓ L. (1970) Aggteleki-karszton végzett terepi vizsgálatai szerint a dolinákat

kitölt� talajtakaró bizonyos vastagság után vízzárónak tekinthet�. Ezen tényekb�l

kiindulva a talajszivárgás során az evapotranszspiráció hatását a függ�legesen lefelé

szivárgó vízmennyiségre az alábbi egyenlettel határoztam meg (5-4. ábra):

h-RR ·eI(h)W ⋅= λ (5-6. )

ahol

WR(h) a talajfelszínt�l számított h mélységben (m) szivárgó vízmennyiség (mm);

IR a talajba beszivárgó vízmennyiség (mm);

λ a vízfogyás ütemét meghatározó konstans (1/m).

λ becsléséhez bevezettem a kritikus talajmélység fogalmát, amely azt a

talajmélységet jelöli, ameddig a beszivárgott víznek mindössze 1%-a jut le. A fenti

egyenlet alapján λ az alábbi módon fejezhet� ki a kritikus talajmélység (HIR, m)

segítségével:

IRH100ln=λ (5−7. )


5-4. ábra: Talajba beszivárgó vízmennyiség fogyása az evapotranszspiráció miatt

A modell 3. lépése során szükséges a talajban szivárgó vízb�l elpárolgó

mennyiség meghatározása. Ez vagy az (5-6.) egyenlet alapján közvetlenül lehetséges (az

egyszer�bb változatban) vagy meg kell határozni az egy közepes (szivárgási)

id�léptékre es� evapotranszspiráció mennyiségét (a bonyolultabb változatban). Ehhez

id�ben állandó függ�leges szivárgást feltételezve h-t kifejezhetjük a szivárgás kezdete

óta eltelt id�vel (t, min):

h(t)=kD,v·t (5-8. )

ahol

kD,v (mm/min) a függ�leges szivárgási együttható.

Ha ezt beírjuk az (5-6.) egyenletbe és kiszámítjuk az id� szerinti deriváltját, akkor

��

��

�⋅⋅−⋅= −

IRvDR

R

HktW

dtdW 100ln

10)( 3, (5-9. )


adódik (ahol a 10-3 tényez� a mértékegységek összehangolása miatt szükséges). Ezt

felhasználva az egy szivárgási id�lépték során evapotranszspirálódó vízmennyiség az

alábbi módon számítható:

MIR

vDR tH

kWtE ∆⋅��

��

�⋅⋅−⋅= − 100ln

10)( 3, (5-10. )

A csapadékhullás után bizonyos id�vel a lefolyásból és beszivárgásból

visszamaradt vízmennyiséget gyakorlatilag elpárolgottnak lehet tekinteni. Emiatt

megadható egy id�korlát (TL, min), amelynél a 2. lépés nem fut tovább, hanem a

megmaradó vízmennyiséget automatikusan elpárolgottnak tekinti. Ennek az id�határnak

inkább csak praktikus jelent�sége van a túlzottan elnyúló modell-futtatás

meggátolásában olyan esetekben, amikor egy nagyon kis beszivárgási képesség� vagy

vízzáró mélyedésben (depresszióban) összegy�lt víz elpárolgása az egyébként adott

párolgási ráta mellett túlságosan hosszú ideig tartana.

5.3.3. Beszivárgás a talajba

A talajba történ� beszivárgás rendkívül fontos szerepet játszik a

karsztfolyamatok térbeli alakulásában, mert a csapadékintenzitással karöltve a

törmelékes zónáig jutó víz területi eloszlását szabályozza. Dönt� különbséghez

vezethet a felszínfejl�désben, hogy a víz egyenletes eloszlásban vagy pedig

csomópontokba s�r�södve érkezik oldóképes helyzetbe.

A talajba történ� beszivárgás több szakaszra osztható (JUHÁSZ J., 1987). A

csapadékhullás kezdetekor gyakorlatilag a teljes vízmennyiség képes elnyel�dni, míg a

felszínen található talajréteg telítetté nem válik (erd�k esetében a nagy vízbefogadó-

képesség� avarréteg tovább fokozza ezt a hatást). Ezt követ�en a beszivárgási képesség

fokozatos csökkenésen megy keresztül, majd egy alacsonyabb értéken állandósul. Ez a

folyamat kielégít� pontossággal fogalmazható meg egy eltolt exponenciális függvény

alkalmazásával (HORTON, R.E., 1940, 1945), melyet az 5-5. ábra szemléltet:

t-vD,CR,0vD,CR

I)·ek(Ik(t)I ⋅−+= α (5-11. )


ahol

ICR(t) a talaj beszivárgási képességét (intenzitását) jelöli (mm/min) a csapadékhullás kezdete után t (min)

id�vel;

ICR,0 a csapadékhullás kezdetén mérhet� beszivárgási képesség (mm/min);

αΙ a beszivárgási képesség csökkenésének ütemét meghatározó konstans (1/min).

5-5. ábra: Talaj beszivárgási képességének id�beli csökkenése

A mennyiségek lehetséges értékeir�l többek között JUHÁSZ J. (1987) és

STELCZER K. (2000) közöl táblázatos adatokat, karsztos területekre vonatkozóan pedig

ZÁMBÓ L. (1986) végzett méréseket.

A beszivárgási képesség ismeretében a talajba történ� tényleges beszivárgás

számítására a modell 2. lépésében kerül sor az alábbi összefüggés szerint:

IR(t)=ICR(t)·∆tS (5-12. )

(de maximálisan az adott cella felszínén található teljes vízmennyiség)

Az adott cella felszínén található vízmennyiség ezzel az értékkel csökken. A

beszivárgott vízmennyiség pedig ∆tM intervallumokra összegezve a 3. lépés bemen�

adatát képezi.


5.3.4. Beszivárgás az alapk�zetbe (törmelékes zónába)

A karsztos területeken történ� beszivárgás számbavételére irányuló korábbi

kutatások javarészt vízgazdálkodási célokat szolgáltak, és a karsztvízháztartás tagjainak

meghatározása volt az els�dleges cél. A problémát dönt�en a csapadék évi eloszlása, az

evapotranszspiráció és a forrásvízhozamok elemzése útján közelítették meg (KESSLER,

H., 1954; BÖCKER, T., 1974; CSEPREGI A., 1985; MAUCHA L., 1990). Az e téren elért

értékes eredmények azonban csak nagyobb területekre vonatkozó átlagértékeket

szolgáltatnak, így a felszínfejl�dés szempontjából kevésbé hasznosíthatók, ezért más

megközelítésekhez kellett folyamodnom.

Terepi tapasztalatok és kísérletek alapján a karsztosodó k�zetbe történ�

beszivárgási képesség rövid id�léptékben állandónak tekinthet�, mivel a beszivárgott

víz az oldással kitágított repedésrendszeren keresztül lefelé akadálytalanul távozhat.

Hosszabb, geomorfológiai id�léptékben viszont a járatrendszer tágulása,

átereszt�képessége egyre nagyobb beszivárgást tesz lehet�vé, ami a felszíni

formakincs fejl�désére is er�teljes kihatással van. Ezt a jelenséget egy id�ben lassan

b�vül�, alapk�zetre (törmelékes zónára) jellemz� helyi (lokális) beszivárgási

képességgel (ICB(x,y)) lehet legjobban megragadni. E beszivárgási képesség id�beli

változásainak függvényszer� felírásához PALMER, A.N. (1991) és VERESS M. – PÉNTEK

K. (1995) munkáiból meríthetünk ihletet. PALMER, A.N. (1991) szerint a karsztos

k�zettömegben szélesed� repedések tágulását kezdetben alapvet�en a rajtuk keresztül

folyó vízhozam határozza meg, amely egy felszínközeli, gyorsabb oldódással

jellemezhet� szakasz után csak rendkívül lassan telít�dik a reakciósebesség drasztikus

csökkenése miatt (ld. kés�bb). Ez fontos szerepet játszik abban, hogy a járatok teljes

hosszukban szélesednek az oldással és így a beszivárgási képesség – a rendelkezésre

álló vízhozamtól függ�en – folyamatos növekedésre képes. A második szakaszban,

amikor a járatokat már nem tölti ki teljesen a víz, egyre jobban csökken az oldószer és a

k�zet érintkezésének ideje, és a beszivárgási képesség b�vülése lelassul, egyre inkább

csak a ritkábban jelentkez�, nagyobb vízhozamok gyakorolnak rá jelent�s befolyást.

VERESS M. – PÉNTEK K. (1995) minimális vízintenzitásról ír, amely még képes egy

kürt� falán az oldási folyamatot beindítani.

A fentiek figyelembevételével a k�zet beszivárgási képességének változását az

alábbi módon valósítottam meg a modellben:


∆ICB=kI·DD·RF (5-13. )

ahol

kI egy beszivárgás-b�vülési együttható (10-3/min);

DD a beszivárgó víz által feloldható mészk� mennyisége (m-ben kifejezve) a felszínt�l számított

"nagyobb" mélységben, részletesen ld. oldásnál;

RF a járatteltségi mutató (arányszám, 0< RF <=1), mely az alábbi módon számolható:

RF=IB/(ICB·∆t) (5-14. )

ahol

IB a k�zetbe beszivárgó víz mennyiségét jelenti (mm).

∆t jelentheti a rövid vagy közepes id�léptéket (min).

Mivel a felszín alatti járatrendszer nem egymástól elszigetelt függ�leges

pályákból áll, hanem többé-kevésbé összefügg� hálózatot alkot, ezért egy adott

felszínpont beszivárgási képességének javulásával a szomszéd cellák beszivárgási

képessége is b�vül:

∆ΙCB(szomszéd(x,y)) = kIN · ∆ΙCB(x,y) (5-15. )

ahol kIN egy arányszám (0≤kIN ≤1), amely kifejezi a járatok összefüggését a beszivárgási képesség

szempontjából.

A modell 2. és 3. lépésében egyaránt el�fordulhat a k�zetbe (törmelékes zónába)

történ� beszivárgás. A 2. lépés során a regolittól mentes cellákon valósul meg a

k�zetbe-szivárgás, míg a 3. lépés keretében a talajtakaróból k�zetbe-szivárgó

vízmennyiség meghatározására van szükség. A k�zet beszivárgási képességének

ismeretében a tényleges beszivárgás számítására az alábbi összefüggés alkalmazható:

IB(t)=ICB(t)·∆t (5-16. )

(de maximálisan az adott cella k�zetfelszíne fölött található teljes vízmennyiség)

Az adott cella k�zetfelszíne fölött található vízmennyiség, mely lehet a felszínen

(2. lépés) vagy a talajban (3. lépés) ezzel az értékkel csökken.


Tekintve, hogy DD a beszivárgó vízmennyiséggel egyenesen arányos, amelyet

viszont a beszivárgási képesség korlátoz felülr�l, ezért egy pozitív visszacsatolási hurok

jön létre a beszivárgás során. Ez hosszú id�távon a valóságtól elszakadó eredményekhez

vezethet (TELBISZ T., 2001b), ám a járatteltségi index negatív visszacsatolásként

m�ködve meggátolja a beszivárgási képesség hosszútávon irreális, közelít�leg lineáris

növekedését. Ha elméletben csak egyetlen cella beszivárgási képességének id�beli

alakulását vizsgáljuk, állandó csapadékintenzitást (Ri) feltételezve, RF

figyelembevételével vagy anélkül, akkor ez a jellegzetesség jól megfigyelhet� (5-6.

ábra).

5-6. ábra: Járatkitöltöttségi index hatása a k�zet beszivárgási képességének id�beli alakulására

5.3.5. Karsztos oldás és kicsapódás

A karsztos oldással kapcsolatosan felhalmozott b�séges elméleti és tapasztalati

tényanyagból azokat kívánom kiemelni, melyek a modell kialakítása kapcsán fontosnak

bizonyultak. A modell alapjául a jelenleg általánosan elfogadott hidrogénkarbonátos

oldás szolgál. (Tehát az egyel�re még bizonytalanul ismert egyéb szervetlen és szerves


savak lehetséges oldóhatása nem szerepel a modellben.) Tekintettel az oldás

id�igényére valamint a modell id�léptékére, vizsgálataimban a 3.2 pontban ismertetett

kinetikus megközelítéshez folyamodtam. Ennek lényege, hogy a mészk� oldódása során

a reakció-sebességet a telítési hiány szabja meg. PALMER, A.N. (1991) számos

geokémiai kísérletre alapozott véleménye szerint a reakció els�dleges korlátozó

tényez�je a k�zet-oldószer határfelületen végbemen� oldás és nem a vízben végbemen�

iontranszport, így a reakció tényleges sebessége végeredményben kevéssé függ a víz

sebességét�l illetve turbulenciájától. A 3.2 pontban közölt összefüggéshez hasonló

egyenletekkel találkozhatunk többek között PLUMMER, L.N. – WIGLEY, T.M.L. (1976),

PLUMMER, L.N. et al. (1978), BUHMANN, D. - DREYBRODT, W., (1985a, 1985b), KIRKBY,

M.J. (1986), WHITE, W. B. (1988), FORD, D.C. – WILLIAMS, P.W. (1989) és SZUNYOGH

G. (1994a) munkáiban. Az általam használt összefüggés PALMER, A.N. (1991)-ben

szerepel, amelyet az egyenlet könnyen kezelhet� formája és az együtthatók megadása

indokolt:

cn

eqc C

CVA

kdtdC

��

�

�

��

�

�−⋅⋅= 1

' (5-17. )

ahol

C a koncentráció (feloldott CaCO3-ra számítva, mg/l);

A' a vízzel érintkez� k�zetfelület (m2);

V a víz térfogata (mm·m2);

kc a reakció együtthatója (minl

mmmg⋅

⋅ );

nc a reakció rendje (dimenzió nélkül);

Ceq az egyensúlyi koncentráció (mg/l).

(Az itt megadott mértékegységek már a modellhez vannak igazítva és némileg eltérnek az eredetit�l, ezért

az együtthatók értékének módosítására volt szükség.)

A fenti összefüggésre építve a felszínen lefolyó, k�zetfelszínnel érintkez� víz

koncentrációváltozásának meghatározása a modell 2. lépése során az alábbi –

diszkretizált – formában történik:

S

n

eqwSRc t

CC

dkkC

c

∆⋅��

�

�

��

�

�−⋅⋅⋅=∆ 1

1 (5-18. )


ahol

∆C a víz koncentrációváltozása (mg/l);

kSR a vízzel érintkez� k�zetfelület és a cellaterület aránya (A'/A);

dw a cellán található víz mélysége (mm);

A felszín oldásos eredet� lepusztulását a lefolyó víz mennyisége és

koncentrációváltozása alapján határozhatjuk meg:

L

w

L

w

L

wBBB n

CdAnCdA

AnCV

Am

AV

Hρρρρ ⋅−∆⋅⋅

=⋅⋅−∆⋅⋅⋅

=⋅⋅−

∆⋅⋅=

⋅∆

=∆

=∆−−−

)1(10

)1(10

)1(10 666

(5-19. )

ahol

∆HB a k�zetfelszín alacsonyodása (m);

∆VB a k�zetfelszínr�l leoldódott anyag térfogata (m3);

A a cella területe (m2);

∆mB a k�zetfelszínr�l leoldott anyag tömege (kg);

ρ a felszín-közeli k�zets�r�ség (kg/m3);

ρL a mészk� s�r�sége (kg/m3);

n a k�zet fajlagos hézagtérfogata (arányszám);

Vw a cellán található víz térfogata (mm·m2);

Az itt levezetett képlet teljes egyezést mutat a horizontális karsztos lepusztulás

folyamatának matematikai modelljéb�l levezetett azon speciális esettel amikor a

k�zetfelszín süllyedését és a törmelékes zónában mozgó víz irányát függ�legesnek

tételeztük fel (SZUNYOGH G., 1994a). Ennek alapján kijelenthet�, hogy az általam

kifejlesztett karsztos modell egyaránt alkalmas a felszínen lefolyó víz és a törmelékes

zónába beszivárgó víz oldóhatásának vizsgálatára.

PLUMMER, L.N. et al (1978) megállapították, hogy az oldás során a küls�

feltételek változatlansága esetén is, az (5-17.) egyenlet paramétereinek (kc, nc) értékében

viszonylag hirtelen változás áll be egy kritikus telítési arányt (SC=C/Ceq) elérve. Ez a

változás kb. 0,6-0,8-as telítési aránynál következik be (h�mérséklett�l és a CO2 parciális

nyomásától függ�en) és n értékét a kisebb koncentrációk esetén jellemz� 1,5-2 körüli

értékr�l 4 fölé emeli. Ez szavakba öntve azt jelenti, hogy a kritikus telítettséget elérve

(amikor még azért b�ven van oldóképessége a víznek) az oldás sebessége nagyon

lelassul (5-7. ábra). A felszínen lefolyó víz ritkán éri el ezt a kritikus telítettségi arányt,

ám a beszivárgás során nagy jelent�ségre tesz szert az oldás lelassulása. Ez adja meg


ugyanis a 5.3.4-es pontban említett járatfejl�dési elképzelés reakciókinetikai

magyarázatát, és kissé átalakított formában a modellbe is belekerült.

5-7. ábra: Kritikus telítettség hatása az oldás sebességére

E reakciókinetikai megfontolások alapján a beszivárgó víz oldóhatását két részre

bontottam. Úgy tekinthetjük, hogy a kritikus telítési arányig tartó oldás a felszín

közelében (törmelékes zónában) zajlik, és ily módon a k�zetfelszín süllyedését okozza.

A kritikus telítési arány felett bekövetkez� lassú oldás viszont nem játszik szerepet a

felszín lealacsonyodásában, hanem a beszivárgási képesség b�vüléséhez járul hozzá.

Ennek tükrében a beszivárgó víz oldóhatására az alábbi egyenletek írhatók fel (melyek a

modell 2. és 3. lépésében egyaránt érvényesek):

�

�

>−⋅

⋅−−⋅⋅⋅

=∆

−

egyébként

CCShan

CCSI

Heqc

L

eqcB

B

0

0)1(

)(10 6

ρ (5-20. )

�

�

⋅−−⋅⋅

>−⋅⋅−

⋅−⋅⋅

=−

−

egyébkéntn

CCI

CCShan

CSCI

D

L

eqB

eqcL

eqceqB

D

ρ

ρ

)1(

)(10

0)1(

)(10

6

6

(5-21. )


ahol

DD a beszivárgó víz által feloldható mészk� mennyisége (m) a felszínt�l számított "nagyobb"

mélységben;

IB a k�zetbe beszivárgó vízmennyiség (mm);

SC a kritikus telítési arány (arányszám);

C a beszivárgó víz koncentrációja (mg/l);

További sarkalatos kérdés az egyensúlyi koncentráció meghatározása. A

karsztos oldás elfogadott kémiai elmélete szerint –nyílt rendszert feltételezve – az

egyensúlyi koncentráció az alábbi módon írható fel (pl. YOSHIMURA, K. – INOKURA, Y.,

1997):

31

2COCeq PKC ⋅= (5-22. )

ahol

2COP a CO2 parciális nyomása (ppm).

KC a kémiai reakciók egyensúlyi állandóiból adódó együttható (mely els�sorban a h�mérséklett�l illetve a

nyomástól függ. Mivel híg oldatok esetén a mg/l-ben megadott koncentrációk megegyeznek a ppm-ben

megadott koncentrációkkal, ezért KC–nél nem adtam meg mértékegységet.);

KC h�mérséklett�l való függése lineáris regresszióval közelíthet� a következ� alakban:

TbaKC ⋅−= 11 (5-23. )

ahol

T a h�mérséklet (°C);

a1, b1 regressziós együtthatók; b1 negatív el�jele azt fejezi ki, hogy a magasabb h�mérséklet a reakciók

egyensúlyi állandóin keresztül az egyensúlyi koncentrációt csekély mértékben csökkenti.

A CO2 parciális nyomása vagy a szabadlégköri alacsony értékkel egyezik meg,

vagy a talaj hatására kialakuló magasabb értékekkel számolhatunk. Felszínalaktani

megfigyelések és mérési eredmények egyaránt arra utalnak, hogy e tekintetben már

egészen apró talajfoltok, zuzmópárnák hatása is dönt� változást idézhet el�. Hosszabb

ideig végzett mintavételezések alapján a talajokban kialakuló CO2 parciális nyomás és a

h�mérséklet között regressziós összefüggéseket állítottak fel (DRAKE, J. – WIGLEY,


T.M.L., 1975; YOSHIMURA, K. – INOKURA, Y., 1997; YOSHIMURA, K. et al, 2001) az

alábbi formában:

TbaPCO ⋅+= 22)lg(2

(5-24. )

ahol

a2, b2: talajtípustól, talajvastagságtól függ� regressziós együtthatók.

Az (5-22.) és az (5-23.) összefüggéseket beírva az (5-24.) egyenletbe,

kifejezhet� az egyensúlyi koncentráció h�mérséklett�l való függése:

)(11

2231

10)( Tbaeq TbaC ⋅+⋅⋅⋅−= (5-25. )

Ebbe az összefüggésbe PALMER, A.N. (1991) és YOSHIMURA, K. – INOKURA, Y.

(1997) adatai alapján számolt regressziós együtthatókat behelyettesítve látható a

h�mérséklet hatása az egyensúlyi koncentrációra (5-8. ábra).

5-8. ábra: A talaj alatti egyensúlyi koncentráció függése a h�mérséklett�l

Az elméletileg szépen levezethet� összefüggés mellett azonban fontos

tudatosítani, hogy az egyensúlyi koncentráció kialakításában résztvev� egyéb tényez�k


hatása jelent�s mértékben módosíthatja ezt a képet, ezért a modell bemen� adataként

végeredményben nem a h�mérséklet szerepel, hanem maga az egyensúlyi koncentráció

(amelynek megadására természetesen más elképzelés híján alkalmas lehet az (5-25.)

egyenlet).

Az egyensúlyi koncentrációt közvetve módosító tényez�k közül említhet� a

talajtípus (ZÁMBÓ L. - TELBISZ T., 1999a, b, 2000a, b; ZÁMBÓ et al, 2001), a mikrobiális

hatás (DARABOS G., 1997, ZÁMBÓ L. - TELBISZ T., 2000b, ZÁMBÓ et al, 2001), a

mikroklíma (KEVEINÉ BÁRÁNY I. - MEZ�SI G., 1978; KEVEINÉ BÁRÁNY I., 1985;

BÁRÁNY KEVEI I., 1993). Az els� kett� matematikailag nehezen megragadható, ám az

utóbbi - er�sen leegyszer�sített formában - figyelembe vehet�. A kitettség módosítja

az egységnyi területre jutó besugárzás-mennyiséget, ami a h�mérséklet és

nedvességtartalom befolyásolásán keresztül a mikrobiális életre is kifejti hatását.

Mivel a fenti szerz�k terepi mérések alapján született regressziós egyenletei az

egyensúlyi koncentrációt konkrétan nem határozzák meg és a korrelációs együtthatók is

alacsonyak, ezért a felismert jelenséget elméleti oldalról közelítve próbáltam meg

egyenlettel kifejezni. A modell a bemenetként kapott egyensúlyi koncentráció értéket a

kitettség szerint módosítja az alábbi összefüggés szerint (5-9. ábra):

))180cos(1(, °−⋅+⋅= lAeqAeq AkCC (5-26. )

ahol

Ceq,A a kitettség hatását figyelembevev� egyensúlyi koncentráció (mg/l);

kA a kitettségi együttható (0≤kA≤1);

Al az adott cella kitettsége (°), az északi irány=0°, kelet felé n�.5

A kitettség egyensúlyi koncentrációt befolyásoló hatása a modell 3. lépésében

jut szerephez, amikor a talajon keresztül szivárgó víz által okozott oldás számítása

folyik, hiszen ez a hatás csak ez esetben érvényesül, csupasz k�zetfelszín esetén nem.

A párolgás (evapotranszspiráció) számítása során a fogyó vízmennyiséggel

együtt a megmaradó víz koncentrációja növekszik. Kicsapódásra abban az esetben kerül

sor, ha a koncentráció meghaladná az egyensúlyi koncentráció értékét, ekkor a

többletkoncentrációnak megfelel� mészk�-mennyiség kicsapódik és a regolit


vastagságához adódik hozzá. A teljes vízmennyiség elpárolgása értelemszer�en a teljes

oldott mésztartalom kiválását eredményezi.

5-9. ábra: Kitettség hatása a talaj alatti egyensúlyi koncentrációra

5.3.6. Lefolyás

A felszíni lefolyás meghatározása a felszínfejl�dési modellezés és a hidrológia

egyik középponti kérdése. A digitális domborzatmodellek nyújtotta új lehet�ségekhez

igazodva temérdek különféle algoritmust dolgoztak ki a lefolyó víz irányának,

mennyiségének és sebességének meghatározására (ZEVENBERGEN, L.W. – THORNE,

C.R., 1987; FAIRFIELD, J. – LEYMARIE, P., 1991; QUINN, P. et al, 1991; FREEMAN, T.G.,

1991; COSTA-CABRAL, M.C. – BURGES, S.J., 1994; BURROUGH, P.A. – MCDONNELL,

R.A., 1998). A széles választék ellenére a felszínfejl�dési modellekben – praktikus

okokból – még ma is sok esetben meghatározó a legegyszer�bb módszer, amelynek

során a lefolyás a 8 szomszédos cella közül a legnagyobb meredekség irányába történik

akkor, ha ez alacsonyabb, mint az adott felszínpont (maximum downward gradient

method, lásd pl. O'CALLAGHAN, J.F. – MARK, D.M. (1984)), így az itt bemutatott modell

5 0°-os lejt�szög esetén a kitettség nincs értelmezve, ekkor az egyensúlyi koncentráció

megegyezik az átlagértékkel.


is ezt az elvet követi. A lefolyás számítására a modell 2. lépésében kerül sor. E módszer

alapján a meredekség az alábbi képlettel adható meg:

lHH RB

∆+∆

=)(

tgα (5-27. )

ahol

α a lejt�szög;

∆(HB+HR) a felszín magasságkülönbsége a kiindulási cella és a lefolyási cella között (m);

∆l a kiindulási cella és a lefolyási cella távolsága (m), értéke dx, ha a lefolyás a koordinátarendszer f�

irányai mentén történik, dx·√2, ha átlós irány mentén.

A meredekség ismeretében kerülhet sor a lefolyás sebességének

meghatározására. A felszínfejl�dési modellekben a Chézy-képletre illetve a Manning-

egyenletre (FETTER, C.W., 1988; KONTUR I. et al, 1993) hivatkozva a felszínen lefolyó

víz sebességét többnyire a meredekség négyzetgyökével arányosnak tekintik (pl.

AHNERT, F., 1976, WILLGOOSE, G. et al, 1991). Ha azonban a Chézy-képlet levezetését

megvizsgáljuk (KONTUR I. et al, 1993), akkor kiderül, hogy ez a számítási mód csak kis

meredekség esetén ad jó közelítést, és az elméleti levezetés szerint helyesebb a lejt�szög

sinusát figyelembe venni. A lejt�kön lefolyó víz sebességének becslésében már

viszonylag korán is felmerültek hasonló elképzelések (KORBÉLY L., 1915; KENESSEY

B., 1930). A vízsebességet tehát a következ� egyenlet alapján számítja a modell:

αsin⋅= vkv (5-28. )

ahol

v a lefolyó víz sebessége (m/min);

kv a sebesség-együttható (m/min);

A lefolyási sebesség nyújt lehet�séget a víz által egy adott cellán eltöltött id�

meghatározására (5-10. ábra):

αααα

sincossincos

⋅⋅∆=

⋅

∆

=∆=vv

p kl

k

l

vs

t (5-29. )

ahol


tp a cellán töltött id� (min);

∆s a lefolyó víz által megtett út (m).

5-10. ábra: A cellán töltött id� a lejt�szög függvényében

A modell 2. lépése során tényleges lefolyásra csak abban a rövid iterációs

lépésben kerül sor, amikor az adott cellán eltöltött id� meghaladja az elméletileg

számított értéket. Ez oly módon szerepel a modellben, hogy minden cellához hozzá van

rendelve a víz odaérkezésének modell szerinti id�pontja. Mivel a cellán töltött id� –

közvetve a lejt�szög – megszabja az oldás rendelkezésére álló id�t, ezért az oldásos

felszínpusztulás ütemére és térbeli jellegére is komoly befolyást gyakorol. A modell

gyakorlati m�ködésének szempontból pedig érdemes figyelembe venni, hogy a rövid

(lefolyási) id�lépték ne haladja meg tp legkisebb lehetséges értékét, amely az 5-10. ábra

leolvasható, mert ellenkez� esetben a modellezett lefolyás id�ben jelent�sen lassabb

lehet, mint a paraméterek által meghatározott érték.

A lefolyás számára rendelkezésre álló vízmennyiség természetesen az adott

cellán található víz – talajba illetve k�zetbe történ� – beszivárgással csökkentett értéke.

5.3.7. Erózió és akkumuláció

Mivel a Föld felszínének az ember számára legjelent�sebb területein a folyóvízi

felszínalakítás az uralkodó tényez�, ezért talán nem meglep�, hogy a legkifinomultabb


modellekkel a lefolyó víz által végzett pusztító/lerakó tevékenység vonatkozásában

találkozhatunk, miként azt a 2.6 fejezetben is bemutattam. Bár az autogén karsztokon

folyóvízi völgyképz�déssel nem számolhatunk, a meredek lejt�kön lefolyó víz

eróziós/akkumulációs hatását akkor is érdemes figyelembe venni, hiszen – els�sorban

nagy intenzitású es�zések alkalmával – a csepperózió, lepelerózió, s�t akár a barázdás

erózió nyomai is megfigyelhet�k a regolittal borított karsztfelszíneken. Még inkább

hangsúlyozni érdemes a folyóvízi erózió karsztvidékek felszínformálására gyakorolt

hatását az allogén karsztterületeken (JAKUCS L., 1971; HEVESI A., 1984; VERESS M.,

2000).

Az erózió/akkumuláció számítása a modell 2. lépésében történik. A modell

kialakítása során abból a feltételezésb�l indultam ki, hogy a folyóvízi lepusztulás csak a

regolitot képes elmozdítani, és az alapk�zet felszínére nincs hatással. Ez a megközelítés

az esetek jelent�s részében reális feltevésnek tekinthet�, ugyanakkor a modell kés�bbi

továbbfejlesztése során nincs kizárva ennek az elképzelésnek a módosítása sem.

A lejt�n lefolyó víz hordalékszállító képességének megadásánál a (2-3.)

egyenletet vettem alapul, melynek a modell változóihoz igazított alakja a következ�:

SS nmwSC dkS )(tgα⋅⋅= (5-30.)

ahol

SC a lejt�n lefolyó víz hordalékszállító-képessége (mm);

kS, mS, nS: eróziós paraméterek (dimenzió nélkül);

A lefolyás modellezésekor nemcsak az egyes cellák felszínén tartózkodó víz,

hanem a hordalék-mennyiség is számítható (az es� kezdetekor mindenhol nulla).

Amennyiben a lokális hordalékszállító-képesség meghaladja a cellán lév�

hordalékmennyiséget, úgy erózióra kerül sor, amelyet a regolit vastagsága korlátozhat6.

Ellenkez� esetben lerakódás történik, vagyis a többlet-hordalékmennyiség a cella

regolit-vastagságát gyarapítja. Lefolyáskor a cellán lév� hordalékmennyiség a vízzel

együtt mozog a legalacsonyabb szomszéd cella felé.

A cellán tartózkodó összes vízmennyiség elpárolgása esetén a helyben lév�

hordalékmennyiség a regolit vastagságát növeli.

6 Megemlítend�, hogy ez a számítási módszer tartalmaz némi egyszer�sítést, mert a

hordalékszállító-képesség nem feltétlenül egyezik meg az erodáló-képességgel, vagyis a lepusztítandó


5.3.8. Szivárgás

A talajban történ� vízszivárgás vizsgálata a hidrogeológia tárgykörébe tartozik

és részben vízgazdálkodási, részben agrártudományi jelent�sége miatt szintén sokrét�en

vizsgált probléma (FETTER, C.W., 1988; JUHÁSZ J., 1987; STELCZER K., 2000),

kifinomult matematikai modellek és azok szimulációs megvalósítása is b�ségesen

el�fordul a szakirodalomban (LAKSHMI, V. - WOOD, E.F., 1998; VAN DAM, J.C. -

FEDDES, R.A., 2000). Az általam kifejlesztett modell célját tekintve ezekt�l eltér� és így

részletességét, bemen� adatait illet�en korlátozottabb, egyszer�bb felépítés�. A

karsztterületek talajtakarójában történ� szivárgásról GUNN, J. (1981) és ZÁMBÓ L.

(1986) közöl részletes adatokat.

Miként azt korábban említettem a szivárgási számítások (modell 3. lépés)

bemen� adataként a modell 2. lépcs�jében el�állított beszivárgási mátrix szolgál. A

modellben két lehet�ség szerepel a talajon átszivárgó víz mozgásának és oldóhatásának

figyelembevételére. Az els� egyszer�sége és id�-hatékonysága révén került a modellbe,

a másik összetettebb, ám a természetet jobban közelít� felépítése miatt fontos.

Az els� változat abból a némiképp korlátozó feltevésb�l indul ki, hogy a talajban

történ� vízmozgás kizárólag függ�leges irányban történik. Ekkor a talajba beszivárgott

vízmennyiség és a talajvastagság ismeretében az (5-6.) egyenletb�l meghatározható az

evapotranszspiráció révén elfogyó vízmennyiség. A maradék víz jut el a talajtakaró

legaljáig és ott beszivárog a törmelékes zónába. Oldó hatásának számítása a 5.3.5

pontban foglaltak szerint történik, figyelembe véve a kitettség egyensúlyi koncentrációt

módosító hatását. Már ez az egyszer� megközelítés is igen jelent�s szerepet kaphat a

modell m�ködésében, mert az elpárolgó - lefolyó - karsztba beszivárgó vízmennyiség

hármas arányát a csupasz k�zetfelszínt�l eltér� módon szabályozza, s így a felszín

eróziós, korróziós fejl�désének térbeli dinamikáját is átrajzolhatja.

A második változat (5-11. ábra) megengedi a talajon keresztül szivárgó víz

oldalirányú mozgását is, amit a terepi vizsgálatok sok esetben kimutattak (ZÁMBÓ L.,

1986). Ennek els� lépéseként a regolit függ�leges diszkretizációjára van szükség. A

legmélyebb k�zetfelszín-magasság és a legmagasabb felszínpont között a megadott

függ�leges felbontás (dz, m) alapján minden egyes cellát "rétegekre" bontunk.7 Minden

anyag felszínt�l való elszakításához szükséges nyírási er�vel, ez a különbség azonban a folyamatok jellegét tekintve nem eredményez dönt� változást.

7 Ez a felbontás "ideiglenes", csak a szivárgás során érvényes, így a továbbiakra nézve nincs olyan következménye, mintha a felszínt vagy a talajvastagságot dz-nek megfelel� értékekre kerekítettük volna.


cella minden magassági szintjéhez hozzárendelünk egy mutatót, amely elárulja, hogy az

alapk�zethez, a regolithoz avagy a légkörhöz tartozik-e (5-12. ábra). Ha egy cella adott

rétegét csak részben töltené ki a talajtakaró akkor azt elhanyagoljuk.

5-11. ábra: A talajbeli szivárgás modelljének folyamatábrája

5-12. ábra: A modell (talajtakaró) rétegekre osztása


Ezután a modell közepes (szivárgási) id�léptéke szerint "ketyeg" a modell órája.

A beszivárgási mátrix alapján minden cella legfels� talajrétegének víztartalmát növeljük

az adott id�egység során beszivárgott vízmennyiséggel, annak koncentrációját is

figyelembe véve. Ez a lépés egyben egyfajta alsó korlátot is meghatároz dz függ�leges

felbontásra vonatkozóan. Egy cella adott rétegének vízfelvev� képességét (VR,max, m3) a

hézagtérfogat8 határozza meg az alábbi módon:

VR,max= n·dz·A (5-31. )

Az egy közepes id�lépték alatt a talajba beszivárogható maximális mennyiséget

(IR,max, mm) pedig a talaj maximális beszivárgási kapacitása szabja meg:

IR,max=ICR,0·∆tM (5-32. )

Ha el kívánjuk kerülni, hogy a szivárgás során a legfels� talajréteg a beszivárgás

következtében "túlcsorduljon", akkor a két mennyiség között a következ� relációt

célszer� betartani:

AIV RR ⋅⋅> −3max,max, 10 (5-33. )

Ebb�l dz-re a következ� feltétel adódik:

n

tIdz MCR

30, 10 −⋅∆⋅

> (5-34. )

8 Míg a korábbiakban a hézagtérfogatot a felszínközeli k�zetek tényleges s�r�ségének

meghatározására használtam, itt a talaj "vízfelvev� képességének" jellemzésében szerepel. Ez utóbbi meglehet�sen összetett fogalom és több szempontból is lehet értelmezni, ami a valódi hézagtérfogat értékéhez képest némi korrekciót tenne szükségessé (ld. STELCZER K., 2000). Ezt a megkülönböztetést azonban az egyszer�sítés kedvéért elhanyagoltam, bár elvileg – újabb paraméter hozzávételével– a modell e téren kiegészíthet� lenne.


Amennyiben a függ�leges diszkretizáció során egy cella teljes talajvastagsága

elhanyagolódik, úgy a talajba beszivárgott vizet úgy kezeljük, mintha közvetlenül a

törmelékes zónába történt volna a beszivárgás.

A talajrétegek, cellák közti vízszivárgás meghatározásában a Darcy-törvényt

vettem alapul, amely csak lamináris áramlásra vonatkozik ugyan, ám a talajban

végbemen� szivárgás esetében ezt jó közelítéssel elfogadhatjuk (eltér�en a karszt

járatrendszerében végbemen� szivárgástól). További egyszer�sítésként eltekintettem a

háromfázisú és kétfázisú zóna szétválasztásától. A Darcy-féle egyenlet az alábbi módon

adható meg:

dldh

AkQ cD ⋅⋅= (5-35. )

ahol

Q az áramlás irányára mer�leges keresztmetszeten átáramló vízhozam;

kD a Darcy-féle szivárgási együttható;

Ac az áramlás irányára mer�leges keresztmetszet;

dldh

a hidraulikus gradiens (vízszintkülönbség és szivárgási úthossz hányadosa);

A szivárgási együttható értéke jelent�sen függhet a szivárgás irányától

(anizotrópia) és mivel ez a morfológiára is komoly befolyással bírhat, ezért

megkülönböztettem függ�leges és vízszintes szivárgási együtthatót.

A modell során els�ként a cellán belüli függ�leges szivárgás számítására kerül

sor rétegenként alulról felfelé haladva. A legalsó talajrétegb�l maximálisan a k�zet

beszivárgási képességének megfelel� vízmennyiség jut a törmelékes zónába a

korábbiakban már ismertetett folyamatok szerint. A többi talajréteg esetében a Darcy-

törvény szerint határozható meg az adott talajrétegb�l az alatta fekv� rétegbe

függ�legesen átszivárgó vízmennyiség. Az (5-35.) egyenlet modellhez igazított alakja a

következ�:

dzW

Akt

Ad RvD

M

S3

,

10−⋅⋅⋅=

∆⋅

(5-36. )

ahol

dS az átszivárgó vízmennyiség (mm);


kD,v a függ�leges szivárgási együttható (mm/min);

WR az adott cella adott talajrétegében lév� vízmennyiség (mm);

Ebb�l rendezés és egyszer�sítés után el�áll a modellben alkalmazott formula:

MR

vDS tdz

Wkd ∆⋅

⋅⋅=

−3

,

10 (5-37. )

A függ�leges szivárgás számítása után kerül sor az oldalirányú szivárgások

modellezésére, amely rétegenként elkülönülten történik. Egy adott cella adott

talajrétegéb�l – a lefolyáshoz hasonlatosan – a 8 lehetséges irány közül abba az irányba

történik oldalirányú szivárgás, amerre a legnagyobb a hidraulikus esés, ha ez a gradiens

negatív. Amennyiben a szomszédos cellák megfelel� szintje a légkörhöz tartozik, úgy

természetesen kiesik a számításból. Ha a szomszéd cella megfelel� szintje a k�zethez

tartozik, akkor viszont vízmennyiség szempontjából üresnek tekintjük, és ennek alapján

számoljuk a hidraulikus gradienst, az ideszivárgó víz vonatkozásában pedig a

k�zetbeszivárgás szabályai szerint járunk el. Az átszivárgó vízmennyiség a Darcy-

törvényb�l a következ�képpen származtatható:

lW

dxdzktdxd R

hDM

S

∆⋅∆

⋅⋅⋅=∆⋅ −3

,

2 10)(

)( (5-38. )

ahol

kD,h a vízszintes szivárgási együttható (mm/min);

∆WR az adott talajréteg vízmennyiségének az átszivárgás irányába mutatkozó csökkenése (mm);

∆l a kiindulási cella és a célcella távolsága (m), értéke dx, ha a szivárgás a koordinátarendszer f� irányai

mentén történik, dx·√2, ha átlós irány mentén.

Ebb�l rendezés és egyszer�sítés után el�áll a modellben alkalmazott formula:

MR

hDS tdxl

dzWkd ∆⋅

⋅∆⋅⋅∆

⋅=−3

,

10 (5-39. )


A szivárgás egy iterációs lépésének zárásaként az evapotranszspiráció

számítására kerül sor az (5-10.) egyenlet szerint.

A szivárgás jelenlegi modellje szerint tehát a talajon belüli oldás

figyelembevételére nincs mód. Ez kétségkívül leegyszer�sítésnek tekinthet�, hiszen

terepi és laboratóriumi megfigyelések és kísérletek a talajban végbemen� oldás illetve

kicsapódás szerepét sokoldalúan taglalták (ZÁMBÓ L. – TELBISZ T., 2000b; ZÁMBÓ L. et

al, 2001). Jelenlegi formájában tehát a talaj dönt� szerepe a víz elosztásában nyilvánul

meg, illetve bizonyos mértékig az egyensúlyi koncentráció szabályozásában. A modell

kés�bbi fejlesztésének egyik irányaként azonban éppen a talaj karbonát-tartalmának és a

talajban lezajló oldásnak a megvalósítása emelhet� ki. (Bár ennek módjától függ�en a

modell hatékonyságának kisebb-nagyobb csökkenése várható.)

5.3.9. Lejt�s tömegmozgások (derázió)

Ez a fogalom rendkívül tág kategóriát ölel fel a gyors, alkalomszer�, nagy

tömeg� anyag mozgatásával járó folyamatoktól, a rendkívül lassan, de folyamatosan

m�köd� anyagvándorlás különböz� fajtáiig. A lejt�s tömegmozgások gy�jt�fogalom

helyett egyes szerz�k a diffúzív anyagmozgás kifejezést használják (pl. WILLGOOSE, G.

et al, 1991). A karsztvidékek felszínfejl�dését vizsgáló modellnek természetszer�leg

nem középponti témája a lejt�s tömegmozgások elemzése, ugyanakkor nyilvánvaló,

hogy a karsztos tájak morfológiai fejl�désében is komoly szerepet játszhatnak. A

magashegységek tekintélyes függ�leges kiterjedés�, többnyire csupasz k�zetfelszínen

kialakult formái esetében az aprózódással el�készített, omlásos, k�pergéses

tömegmozgások válhatnak meghatározóvá, míg a talajjal borított középhegységi

területeken a különféle kúszásos folyamatok szólhatnak bele a karsztformák

alakulásába. Éppen ezért – jóllehet er�sen általánosító formában – érdemes ezt a

lehet�séget a modellben is megjeleníteni. A felszínfejl�dési elméletek és modellek

fejleszt�i elméleti levezetésekre és terepi megfigyelésekre építve többféle lehet�séget is

felvonultatnak (melyeket itt egységes jelöléssel közlök):

1. ��

��

�+= 2

2

2

2

dyzd

dxzd

Ddtdz

(5-40. )

(CULLING, W.E.H., 1963; WILLGOOSE, G., 1991; TUCKER, G.E. – SLINGERLAND, R.L., 1997);


2. dxdz

Ddtdz = (5-41. )

(WILLGOOSE, G., 1991; LEOPOLD, L.B. - LANGBEIN, W.B., 1962);

3. ��

��

��

��

�= −

dxdz

Ddtdz 1tgsin (5-42. )

(AHNERT, F., 1976; KIRKBY, M.J., 1976; ARMSTRONG, A.,1976; DE BOER, D.H., 1999); ahol

x, y a vízszintes koordináták;

z a felszín magassága;

t az id�

D diffúziós együttható;

A fenti megközelítések közül a 3. változatot építettem be a modellbe, ám

szükség esetén ez könny�szerrel felcserélhet� a többi összefüggéssel. Mindegyik

változatban közös, hogy a diffúziós folyamatok a cellán áthaladó vízmennyiségt�l

függetlenül fejtik ki hatásukat. Bár a részfolyamatok m�ködéséhez többnyire szükséges

a víz jelenléte, annak mennyisége már kevésbé jelent�s a lejt�s tömegmozgások

számbavételekor.

A lejt�s tömegmozgások számítása tehát a következ� (a 2.6.2-es pontban

ismertetett modellhez hasonló) módon történik: egy adott cella esetén ki kell választani

a 8 szomszédos pont közül a legalacsonyabbat. Ha ez alacsonyabb mint az adott cella,

akkor kerül sor lejt�s tömegmozgásra a megadott egyenlet szerint:

∆(HB+HR)t=10-3·km·sin α·∆tL (5-43. )

ahol

∆(HB+HR)t a felszín id�beli magasságváltozása (m);

km a lejt�s tömegmozgási együttható (mm/a);

Az adott cella regolit-vastagsága ∆(HB+HR)t értékével csökken. Ha a lepusztult

anyagvastagság több, mint a regolit vastagsága, akkor a törmelékes zóna felszíne is

csökken. A kiválasztott szomszéd cella regolit-vastagsága (következésképpen a felszíne

is) pedig ugyanezzel az értékkel n�. Abban az esetben, ha ∆(HB+HR)t meghaladja a két

cella közti magasságkülönbség felét, akkor az áthalmozott anyag következtében az

alacsonyabb cella magasabb lenne, mint az, ahonnét a lepusztulás történt. Mivel ez csak


kivételes helyzetekben fordulhat el� a valóságban, ezért ebben az esetben ∆(HB+HR)t

egyenl� a két cella közti magasságkülönbség felével.

Tekintve, hogy az egyes folyamatok id�ben változó intenzitással fejtik ki

anyagmozgató hatásukat (különösen igaz ez az epizodikus típusokra), ezért a hosszabb

id�lépték szerinti számítás indokoltnak tekinthet�, így a modell 5. lépésében kerül sor a

tömegmozgások figyelembevételére. Ez a megoldás ugyanakkor gyakorlati

szempontból is szerencsésebb, mert ha az egyes cellák esetében el�forduló

felszínmagasodást a 2. lépésben számolnánk, és azt vetítenénk ki egy hosszú id�lépésre,

akkor az az eredmények jelent�s torzulásához vezethetne. Egy feltölt�d� mélyedés

például az extrapolált ráták miatt dombbá változhatna. Ennek elkerülése végett a hosszú

id�lépést jelent�sen rövidíteni kellene, ami a modell hatékonyságát csökkentené9.

5.3.10. Tektonika

A tektonikus változásokat számos felszínfejl�dési modell esetében a

peremfeltételek megadása révén építik közvetett formában a modellbe (AHNERT, F.,

1976; ARMSTRONG, A., 1976). Ez azt jelenti, hogy a peremek fokozatos alacsonyodás

vagy magasodása úgy fogható fel, mintha a modell tere egységes tömbként kiemelkedne

illetve lesüllyedne. AHNERT, F. – WILLIAMS, P.W. (1997) karsztos modelljében a

tektonikus változásokat a karsztkorróziós alapszint (ez modelljük értelmezése szerint a

helyi erózióbázist jelenti) tengerszint feletti magasságának módosítása határozza meg.

Lehet�ség van azonban a tektonikus változások közvetlenebb megvalósítására is,

miként azt a 2.6.2-es pontban bemutattam. A tektonikus emelkedés, süllyedés

számításához megadható egy UT(x,y) mátrix, amely minden egyes felszínpontra

meghatározza a tektonikus emelkedés mértékét adott id�egységre vonatkozóan (mm/a).

A modell 5. lépése során ennek megfelel�en a HB(x,y) értékek egyszeri növelésére vagy

csökkentésére kerülhet sor:

HB(x,y)= HB(x,y)+ 10-3 ·UT(x,y)·∆tL (5-44. )

9 Megjegyzend�, hogy ez a probléma a folyóvízi lerakódás (és elvileg a kicsapódás) esetében is

fennáll. Mivel azokat a folyamatokat a modell 2. lépéséb�l kiemelni nem lehet, ezért vagy az erózió hatékonyságának csökkentésével (kS), vagy pedig – amint említettem – a hosszú id�lépés rövidebb


5.3.11. Talajképz�dés

Ez a pont tulajdonképpen egy kakukktojás, mert jelen pillanatban csak egy

továbbfejlesztési irányt kíván jelezni. Hosszabb, geomorfológiai id�távon a

talajképz�déssel nyilvánvalóan számolni kell, így értelemszer�en a modell 5. lépését

érdemes ezzel a folyamattal b�víteni. Ennek lehetséges jöv�beli útjai:

1. A talajvastagság növekedhet az oldási maradékkal, amely az oldással távozó

anyagmennyiség paraméterrel megadott hányadát jelenthetné.

2. A talajvastagság növekedhet a növényzet lebomlása révén, amely állandó éves

ütemmel adható meg.

A kérdéskör részletesebb vizsgálata azonban további tanulmányokat igényel.

5.4. A modell peremfeltételei

Mivel a modellezett felszín folyamatos változásban van, ezért a

peremfeltételeket nehéz igazán jól megadni. Ha a peremeket mindenhol magasabbnak

adjuk meg, mint a kapcsolódó cellákat, akkor a modell teréb�l az anyag eróziós úton

illetve lejt�s tömegmozgások révén nem tud eltávozni, karsztos oldás révén viszont a

mélybe-szivárogva igen. Amennyiben az erózió szerepét is értékelni kívánjuk (pl.

átörökl�dés) úgy a peremet legalább részben alacsonyabbnak érdemes választani. Ezek

közül az egyik lehet�ség: a perem mindenhol ugyanolyan magassági értéket kap, esetleg

a modellbeli id�vel változóan (DE BOER, D.H., 1999). Másik lehet�ség: A peremen egy

pontot adunk meg alacsonyabbnak, így az erózióbázis felé ezen az egy ponton keresztül

van csatlakozás, tehát a modellterület lényegében egy vízgy�jt�területté alakul

(ARMSTRONG, A., 1976; WILLGOOSE, G. et al, 1991). Harmadik lehet�ség, hogy a

peremcelláknak minden iteráció után új értéket adunk, mégpedig a kapcsolódó

cellákhoz képest adott különbséggel (Bd, m) alacsonyabb magasságot. Ez módszer

lehet�vé teszi több vízfolyás kialakulását is, és azok eróziós képességét fenntartja. A

különbség (Bd ) mértéke nyilvánvalóan meghatározza a peremek fel�l történ�

hátravágódás gyorsaságát. Természetesen a felsorolt lehet�ségek tetszés szerinti

kombinációja is megvalósítható.

A perem ilyesfajta definíciója az anyagmozgásra nézve az alábbi – meglehet�sen

összetett – következményekkel jár:

megválasztásával orvosolható a probléma, a lejt�s tömegmozgások 5. lépésben végrehajtott számítása miatt viszont efféle korlátozásra nincs szükség.


1. A peremek fel�l a modelltérbe anyag (se víz, se oldott anyag, se hordalék) nem jut

be.

2. A modelltérb�l kifelé juthat anyag (lefolyás, illetve lejt�s tömegmozgások esetén),

amely Bd értékének növelésével egyre jelent�sebb lehet.

3. A szivárgás során a peremcellákat teljesen vízzárónak tekintjük.

Ezek a peremfeltételek az analitikus megközelítésekhez képest nagyobb

változatosságot hordoznak, ám további b�vítésük is elképzelhet�. A szimulációk során

számos esetben kit�n�en nyomon követhet�, hogy a peremfeltételek hatása miként

"gy�r�zik" egyre beljebb, és ennek tükrében a modell mely területeit tekinthetjük a

peremfeltételekt�l lényegében függetlennek. (Általánosságban elmondható, hogy a

túlnyomórészt oldással formálódó felszínek fejl�désében a peremfeltételek hatása

kevésbé fontos, mint a folyóvíz alakította területek esetében.)

6. A karsztfejl�dési modell futtatásainak eredményei

A fentiekben leírt matematikai modell számítógépes megvalósításával elért

eredmények bemutatása alkotja e fejezet gerincét. Az alábbiakban bemutatandó példák

segítségével kívánom a modell sokoldalúságát igazolni, nevezetesen azt, hogy igen

sokféle – természetben is megfigyelhet� – karsztforma el�állítására képes (morfológiai

hajlékonyság), továbbá azt, hogy a felszínfejl�dés id�beli folyamatának vizsgálatára

kiemelked�en alkalmas (dinamikai elemzési lehet�ségek), hiszen – némi túlzással élve –

csak évezredeken keresztül folytatott részletes adatgy�jtéssel juthatunk hasonlóan

felépített, nagy felbontású id�sorokhoz a természet valós m�ködésével kapcsolatban10.

Az alábbi elemzések valójában csak példákat villantanak fel és nem a modell által

vizsgálható problémakör teljeskör� megismerését nyújtják, mert ezt a rendelkezésre álló

kutatási id� és a dolgozat terjedelmi korlátai egyaránt korlátozták. Els�sorban a töbrös

felszínfejl�dés került részletesebb kidolgozásra (bár itt is említhet�k további,

megválaszolandó kérdések), a többi példa inkább csak a lehet�ségek bemutatására, a

sokoldalúság igazolására szolgál. Úgy vélem, hogy a kifejlesztett modell alkalmas

további összefüggések feltárására a kés�bbi kutatások során.

10 Viszonylag részletes, a karsztok természetben megfigyelhet� m�ködésre vonatkozó id�sorok

nyerhet�k még a barlangi cseppkövek vizsgálata révén is (pl. ZÁMBÓ L. et al, 2000, 2002a,b).


A modell számítógépes megvalósítása VisualBasic programozási nyelven

készült, a grafikai megjelenítéshez és a statisztikai elemzésekhez számos egyéb szoftver

segítségét vettem igénybe (Surfer, CorelDraw, Excel, StatGraph, ImageTool).

6.1. Töbrös felszínfejl�dés dinamikája

Az els� példa egy egyenletes vastagságú talajtakaróval borított, egyenletes

beszivárgási képességgel rendelkez�, véletlenszer�en megadott "hullámos" felszín

fejl�dését mutatja be. A futtatás paramétereit a 6-1. táblázat tartalmazza, melyek közül

néhányat szeretnék kiemelni. A folyamatok arányát meghatározó legfontosabb

paramétereket (Ceq, kS, km) úgy szabtam meg, hogy a felszínformálásban az oldás játssza

a dönt� szerepet. Az erózió nagyságrendje legyen csekély, hogy a geomorfológiai

id�lépték viszonylag hosszabb lehessen valószer�tlenül nagy, helyi felhalmozódási

vastagság nélkül11. A szivárgás számításánál a bonyolultabb, tehát az oldalirányú

szivárgást is figyelembevev� lehet�séget választottam. A cella oldalhosszához képest

viszonylag kis regolit vastagságra való tekintettel a vízszintes és függ�leges szivárgási

együttható arányát igen nagynak állítottam be (20:1), hogy a cellák közti oldalirányú

szivárgás számottev� legyen, és a töbrök szélesedése megfigyelhet� legyen. Ezeket a

feltételeket egy 1 km x 1 km-es területre alkalmazva 400.000 éves felszínfejl�dést

felölel� szimulációt futtattam.

Rács-méretek

Id� Kezdeti és perem-

felt.

Csapadék párolgás, lefolyás

K�zet Oldás (Be-) Szivárgás

Erózió

dx=20 ∆tS=2 P=1000 kI=0,1 Ceq(nyílt)=100 ICR,0=1 kS=5·10-7

dz=0,3 ∆tM=40 HB,0=

286-300 R=200 kIN=0,1 Ceq(talaj)=300 αΙ=0,024 mS=1,4 50x50-es ∆tL=500 HR,0=1 tR=100 ρL=2700 nc=1,8 HIR=30 nS=1,4

TL=2000 ICB,0=0,05 Ei=0,1 n=0,3 kc=0,01 kD,h=20 BD=0 kv=4 SC=0,7 kD,v=1 kSR=1

Lejt�s tömeg-

mozgások kA=0,5 km=0,1

A jelölések magyarázata és a mértékegységek megtalálhatóak a függelékben.

6-1. táblázat: A töbrös felszínfejl�déshez beállított paraméterek

11 Mivel a zárt mélyedésekbe egyszerre 8 irányból érkezik a hordalék, ezért a lefolyó víz által

okozott eróziós lepusztításhoz képest majdnem nagyságrenddel több lehet a maximális, helyi felhalmozódási ráta.


6.1.1. Általános megfigyelések

A 6-1. ábra mutatja a kiindulási és a végeredmény domborzatot a másik két

területi változóval egyetemben. (Mivel a kiindulásnál a regolit-vastagság és a

beszivárgási képesség értéke területileg homogén volt, ezért az ábrán való feltüntetésük

szükségtelen.) A felszínfejl�dés eredményeként a területet jól láthatóan különböz�

méret� töbrök, iker-töbrök tagolják. A töbörközi gerincek és a töbörsoros völgyek

DNy-ÉK-i lefutása a kezdeti, hullámos felszín csekély magasságkülönbséggel

jellemezhet� hátaihoz és mélyedéseihez igazodik, ami a kiinduló domborzat szerepét

aláhúzza. (Ez párhuzamba állítható a nem karsztos völgyhálózat karsztra való

átörökl�désével, amelynek részletes elemzését HEVESI A., 1984 tárgyalta.) A kezdeti

apró terep-egyenetlenségek, zárt mélyedések az odaérkez� víztöbblet révén nagyobb

mérték� oldásos lepusztulást szenvednek, így töbörkezdemények, majd növekv�

dolinák alakulhatnak ki. Ez az elhelyezkedés – miként azt a kés�bbiekben bizonyítani is

fogom, azonban nem teljesen rögzített, a dolinák tágulhatnak, illetve – rendkívül lassan

– "vándorolhatnak" is.

6-1. ábra: Töbrös felszínfejl�dés kezdeti és végállapota (400.000 év elteltével)

A beszivárgási képességet ábrázoló domborzatmodellr�l az is világosan kiderül,

hogy a töbrökbe összpontosuló vízbeszivárgás hatására a felszín beszivárgási

képessége is hasonló mintázatot alakít ki, a magasabb értékeket rendre a töbrök

aljában tapasztaljuk, az alacsonyabb értékek pedig a széttartó vízáramlással

jellemezhet� magasabb gerincekre, csúcsokra jellemz�ek.


Hasonló kép tárul elénk a regolit-vastagságot szemlélve (6-1. ábra, illetve

szelvényeken: 6-2. ábra): a töbrök alján nem ritka a 8-9 m-es kitöltés, miközben a

meredekebb illetve magasabb térszínek kitakaróztak (exhumálódtak) és a csupasz k�zet

alkotja a felszínt.

6-2. ábra: É-D-i szelvény a kezdeti és a végs� domborzat illetve regolit-vastagság alapján

Mindezek a megfigyelések igen jó összhangban vannak a természetben

megfigyelhet� formákkal, így morfológiai szempontból állítható, hogy a modell

alkalmas a karsztos felszínformák vizsgálatára. Egy fontos tanulság a korábbi modellek

(TELBISZ T., 1999b, 2001b) és a jelenlegi modell más paraméterekkel végzett futtatásai

alapján, hogy a töbrök tágulásában három feltétel is komoly szerepet játszhat:

1. A beszivárgási képesség b�vülésének kihatása a szomszédos cellákra, amely a töbrök

szélesedését a felszín alatti járatrendszer összefüggéseivel magyarázza. Ez a FORD,

D.C. – WILLIAMS, P.W. (1989) által bemutatott "leszívásos" töbörképz�dési elmélettel

(drawdawn dolines) mutat rokonságot, azt igazolja a modell eszközeivel.

2. A töbrök alján felhalmozódó üledékes kitöltésben végbemen� oldalirányú szivárgás

a beszivárgó vízmennyiséget egyenletesebben osztja el, ezzel járul hozzá a dolinák

szélesedéséhez, "tányérosodásához" (vö. ZÁMBÓ L., 1970, 1998a, 1998b).

3. A lejt�s tömegmozgások a túl meredekké váló töbör-oldallejt�k ellankásításával

segítik a mélyedések tágulását.


E hatások elhanyagolásával (pl. kIN=0, csak a függ�leges szivárgási lehet�ség

választása, talajtakaró hiánya, a lejt�s tömegmozgások alacsony szintje) a zárt

mélyedések tágulás nélküli, er�teljes függ�leges növekedése figyelhet� meg, hiszen az

egyre meredekebbé váló töbör-oldallejt�kön a gyorsan lefolyó víznek kevés ideje marad

beszivárgásra és oldásra. Így a felszín alatti járatrendszer oldalirányú kapcsolatainak –

adott esetben szerkezeti-k�zettani okokra visszavezethet� – viszonylagos fejletlensége,

illetve a függ�leges szivárgás meghatározó szerepe tehet� részben felel�ssé az oldásos

eredet�, nagy mélység/átmér� arányú karsztos mélyedések kialakulásáért. Ezen

megfontolásokat figyelembe véve a zsombolyok korróziós eredetét (vö. MÜLLER P. –

SÁRVÁRY I., 1973; KÓSA A., 1992) a modell alapján elképzelhet�nek tartom a fenti

feltételek fennállása esetén.

6.1.2. A töbörfejl�dési szimuláció id�sorainak elemzése

Számos tényez� id�beli változásának nyomonkövetésére nyújt lehet�séget a

modellezés: számíthatók a térbeli változók (magasság, regolit-vastagság, k�zet

beszivárgási képessége) f�bb statisztikai paraméterei (átlag, szórás, minimum,

maximum). A felszínalakító folyamatok (korrózió, derázió, erózió) adott id�egységre

vonatkozó sebessége megadható, ráadásul ezek lepusztulási illetve felhalmozódási

hányada is el�állítható. A vízmérleg tagjainak (beszivárgás, lefolyás, párolgás-

párologtatás) változása szintén elemezhet�.

A modell peremfeltételeinek megadásakor néhány tényez� mozgásterét er�sen

behatároltuk: mivel BD=0, ezért a modell teréb�l lefolyással, tömegmozgással anyag

nem távozhat el. Ennek következtében a területr�l történ� lefolyás nulla. A párolgás-

párologtatás így a csapadék be nem szivárgó részével egyezik meg. A tömegmozgásos

felhalmozódás mértéke – ellenkez� el�jellel – megegyezik a deráziós lepusztulással. Így

a további elemzésekben az evapotranszspiráció, a lefolyás illetve a tömegmozgásos

felhalmozódás nem szerepel.

A vizsgált id�sorokat a 6-3. ábra a-n, mutatja be.

a,

Átla

gmag

assá

g (m

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4270

275

280

285

290

295

b,

Mag

assá

g sz

órás

a (m

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41.9

2.9

3.9

4.9

5.9

6.9


c,

Átla

gos

rego

lit-v

asta

gság

(m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0.99

1.01

1.03

1.05

1.07

1.09

d,

Reg

olit-

vast

agsá

g sz

órás

a

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4(m)

e,

Max

imál

is re

golit

-vas

tags

ág (m

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

2

4

6

8

10

f,

Reg

olit-

men

tes

terü

let (

m )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

300

600

900

1200

1500

1800

2

g,

Átla

gos

besz

ivár

gási

kép

essé

g

(mm/min)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

h,

Bes

zivá

rgás

i kép

essé

g sz

órás

a

(mm/min)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

i,

Old

ásos

lepu

sztu

lás

(mm

/ka)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

46

56

66

76

86

96

j,

Old

ásos

felh

alm

ozód

ás

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24(mm/ka)

k,

Eró

ziós

lepu

sztu

lás

(mm

/ka)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

l,

Eró

ziós

egy

enle

g (m

m/k

a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

3

6

9

12

15

18(X 0.0001)

m

Der

ázió

s le

pusz

tulá

s (m

m/k

a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

0

5

10

15

20

25

n,

Bes

zivá

rgás

a k

õzet

be (m

m/a

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4(X 100000)

610

650

690

730

770

810

6-3. ábra: Töbörfejl�dési szimuláció id�sorai (vízsz. tengely: id�). a: átlagos magasság id�beli változása; b: átlagos magasság szórásának id�beli változása; c: átlagos regolit-vastagság id�beli változása; d: regolit-vastagság szórásának id�beli változása; e: maximális regolit-vastagság id�beli változása; f: regolit-mentes terület id�beli változása; g: k�zet átlagos beszivárgási képességének id�beli változása; h: k�zet beszivárgási képesség


szórásának id�beli változása; i: oldásos eredet� lepusztulás id�beli változása; j: oldásos eredet� felhalmozódás id�beli változása; k: folyóvízi eredet� lepusztulás id�beli változása; l: eróziós egyenleg id�beli változása; m: tömegmozgásos eredet� lepusztulás id�beli változása; n: k�zetbe történ� beszivárgás id�beli változása.

A 6-3. ábra változatos, izgalmas, elemzésre érdemes felszínfejl�dési dinamikát

tár elénk12. Az id�sorokat kétféle módon is megkíséreltem csoportosítani és mindkét

eljárás termékenynek bizonyult.

Els�ként egy statisztikai módszert, a faktoranalízist választottam a változók

csoportokba sorolására, melynek eredményét a 6-2. táblázat mutatja. Az ily módon

nyert faktorok és a 6-3. ábra grafikonjainak összehasonlításával megállapítható, hogy

az 1. faktor tényez�it körülbelül a 60.000. évt�l kezd�d�en felgyorsuló dinamika

jellemzi, míg a 150.000. évt�l ez a lendület megtörik, és a korábbiakhoz képest igen

er�sen lelassul a trendszer� változásuk. E faktorhoz kapcsolódó tényez�k jellegzetes

viselkedése a felszín fokozatos kitakarózására vezethet� vissza, amelynek id�beli

menete a regolitmentes területet ábrázoló grafikonról (6-3. ábra f, része) olvasható le13.

1. faktor 2. faktor 3. faktor Beszivárgás a k�zetbe -0.9323 -0.2392 -0.1937 Regolit-vastagság szórása 0.8743 0.4010 0.0851 Maximális regolit-vastagság 0.8155 0.4417 0.0503 Regolitmentes terület 0.8104 0.5135 0.2128 Eróziós lepusztulás 0.7896 0.4684 0.1256 Oldásos eredet� felhalmozódás 0.7855 0.5355 0.2143 Tömegmozgásos lepusztulás 0.7742 0.5941 0.1785 Oldásos lepusztulás -0.7735 -0.5592 -0.2509

Átlagos regolit-vastagság 0.3149 0.9056 0.2809 Id� 0.5187 0.8154 0.2540 Átlagos magasság -0.6103 -0.7553 -0.2344 Magasság szórása 0.6092 0.7548 0.2409 Beszivárgási képesség szórása 0.6223 0.7504 0.2194 Átlagos beszivárgási képesség 0.6831 0.6958 0.2110

Eróziós egyenleg 0.1497 0.2887 0.9398

6-2. táblázat: Az egyes tényez�khöz tartozó faktorsúlyok (forgatás után)

12 Megjegyzend�, hogy bizonyos változók (eróziós lepusztulás, eróziós egyenleg, oldásos

felhalmozódás) nagyságrendje – az adott modell-beállítás mellett – egészen kicsiny, ezért csak indikátorként veend�k figyelembe nem pedig a tényleges karsztfejl�dési folyamatot befolyásoló tényez�ként.

13 A regolitmentes területtel szorosan összefügg� mutatók természetesen a regolit-vastagság szórása és a maximális regolit-vastagság is. A regolit-vastagság a kitakarózással voltaképpen "alulról csonkolt" eloszlást mutat, hiszen negatív értékeket nem vehet fel, így a szórása csökkeni kezd. A maximális regolit-vastagság inkább csak a néhány legmélyebb töbröt jellemzi, így kevésbé ad átfogó jellemzést.


A talaj kett�s szabályozóként hat a k�zetbe történ� beszivárgás területi

átlagértékére. Els�sorban a meredek lejt�k válnak fedetlenné, ahol a beszivárgási

képesség amúgy is alacsony, kisebb mint a talaj beszivárgási képessége. Ennélfogva a

meredek, nyílt lejt�kr�l nagyobb mennyiség� víz folyik le a mélyedések felé, ahol

beszivárog a talajba. A vastag töbörkitöltésekben lassan lefelé szivárgó víz jelent�s

része viszont a párologtatás miatt elvész a k�zetbe történ� beszivárgás számára. A

felszín exhumálódásával párhuzamosan tehát a k�zetbe történ� beszivárgás jelent�s

mértékben lecsökken. Mivel az oldásos eredet� lepusztulás f� meghatározója a

k�zetbeszivárgott víz (a felszíni leoldás ehhez képest alárendelt jelent�ség�), ezért a

k�zetbe történ� beszivárgás csökkenésének köszönhet�en ez is hirtelen alacsonyabb

szintre esik vissza. Oldásos eredet� felhalmozódás (mely a túltelített vízb�l való

kicsapódás révén fordulhat el�) csupán a szimuláció 60.000. évét�l jelenik meg ami

szintén a kitakarózás megindulásához köthet�. Ett�l kezdve van lehet�ség ugyanis

felszíni leoldásra, máskülönben a víznek nincs oldott mésztartalma, ami kicsapódjon a

párolgás-párologtatás során.

Az eróziós lepusztulás 150.000. évt�l ellaposodó dinamikája is köthet� a

kitakarózáshoz, mivel a csupasz szálk�zetb�l felépül� meredek lejt�k az eróziónak

ellenállnak, tehát kevesebb anyag tud lepusztulni. A korróziós lepusztulás csökkenése

miatt a töbrök mélyülése lefékez�dik, így a lejt�s tömegmozgások üteme is némiképp

lanyhul.

Az 1. faktorhoz tartozó tényez�k viselkedésének fentiekben összefoglalt konkrét

sajátosságait er�sen befolyásolja a paraméterek megválasztása (els�sorban a talaj és az

alapk�zet kezdeti beszivárgási képesség értékei, illetve a talajképz�dés figyelmen kívül

hagyása), de fontos, általános érvény� megállapításként kiemelend�, hogy a modellezés

segítségével jól nyomon követhet�, hogy a kitakarózás milyen alapvet�, többszöri

áttételen keresztül is érvényesül� változásokat idézhet el� a felszínfejl�dés

folyamatában.

Mivel a 2. faktor tényez�i között viszonylag nagy súllyal szerepel az id� is, ez

arról árulkodik, hogy ez a faktor az id�vel többé-kevésbé egyenletesen változó

tényez�ket gy�jti össze. Ezt az elképzelést a 6-3. ábra görbéinek lefutása is meger�síti.

Ennek alapján kijelenthet�, hogy – a megadott feltételek fennállása esetén, a szimulált

id�tartamra vonatkozóan – az átlagos regolit-vastagság, a domborzati tagoltság

(∼magasság szórása), a beszivárgási képesség átlagos értéke és differenciálódása

(∼szórása) id�ben folyamatos és – a kisebb kilengéseket leszámítva – nagyjából


egyenletes növekedéssel jellemezhet�. Az átlagmagasság hasonlóképpen folyamatos és

lényegében egyenletes csökkenést mutat.

A 3. faktor egyetlen tényez�b�l, az eróziós egyenlegb�l áll. Mivel a

peremfeltételek miatt a területr�l lefolyás nincs, ezért az eróziós lepusztulás és

felhalmozódás teljes területre összegzett különbsége csak úgy mutathat

végeredményben lepusztulást, hogy a fedetlen karsztos részeken a k�zetbeszivárgó víz

magával viszi a hordaléktartalmát. Ez a kitakarózással egyre jelent�sebb területeken

egyre nagyobb vízhozamokat jelent, így mind az 1. mind a 2. faktortól eltér�

dinamikához vezet. A karszt belsejébe jutó hordalék a karsztfejl�désben valóban

meglehet�sen fontos, hiszen a járatok eltömése illetve az eróziós barlang-kivésés révén

kétarcú szerepet is játszhat. Itt érdemes arról is említést tenni (bár külön faktorként való

szereplését nem ez indokolja), hogy ez a tényez� mutatja a legszéls�ségesebb rövidtávú

ingadozásokat, ami az erózió nagyfokú érzékenységére utal (els�sorban a meredek

lejt�k esetében).

Összességében tehát a modell alapján a karsztfejl�dés folyamatának három

fontos pillérét, meghatározó elemét sikerült elkülöníteni, amelyek egy-egy faktorhoz

rendelhet�k: ezek a kitakarózás, az id� és a karsztba jutó hordalék.

A 6-3. ábra görbéi annak alapján is csoportosíthatóak, hogy a trendszer� id�beli

változásoktól eltekintve mennyire sima, illetve mennyire ingadozó, ritmusokat14 mutató

a lefutásuk. Ez utóbbi csoportba sorolható az eróziós lepusztulás, a tömegmozgásos

lepusztulás, a maximális regolit-vastagság, a k�zetbe szivárgott vízmennyiség, a

magasság szórása és a beszivárgási képesség szórása. Talán a modell egyik

legmeglep�bb eredménye, hogy a küls� feltételek (csapadék, egyensúlyi koncentráció,

stb.) változatlansága ellenére önszabályozó ritmusok alakulnak ki a karsztfejl�dés

során! Az önszabályozás a domborzat, a talajtakaró és a beszivárgási képesség id�beli

változásával összefügg� pozitív és negatív visszacsatolások révén valósul meg. Ezen

ritmusok alapján, a domborzat változásait és a töbrök morfológiáját is figyelembe véve

rajzolható meg részleteiben a fejl�désmenet, amelynek tárgyalására ennélfogva a

morfometriai elemzés után kerül sor (6.1.4 alfejezet).

14 Tekintve, hogy az ingadozások hossza, a kilengések mértéke nem állandó, ezért a ritmus szó

használata pontosabb, mint a hasonló összefüggésben gyakran alkalmazott ciklus kifejezés, amely er�sebb szabályosságot feltételez.


6.1.3. A töbörfejl�dési szimuláció elemzése morfometriai szempontból

Els� felvetésként a zárt mélyedések (töbrök) számának illetve s�r�ségének15

alakulását próbáltam meghatározni a szimulált id�tartamra vonatkozóan. Ehhez kétféle

megközelítés is kínálkozott. Az egyik – könnyebben automatizálható – módszer az,

hogy megkeressük a modellben azokat a cellákat, amelyek valamennyi szomszédjuknál

alacsonyabbak legalább egy adott értékkel. Amennyiben ezt az értéket nullának

választjuk, úgy a funkcionálisan zárt mélyedésként m�köd� cellák számát kapjuk, ezek

azonban akár annyira sekélyek is lehetnek, hogy töbörnek még aligha nevezhet�k,

érdemes tehát 1 vagy 2 méternek választani ezt a küszöbértéket. A másik –

munkaigényesebb – megoldás, hogy a szimulált domborzatmodell adataiból interpoláció

után szintvonalas térképet készítünk, és annak alapján határozzuk meg a töbrök számát

illetve jellemz� méreteiket16. A fenti módszerekkel kapott eredményeket mutatja be a

6-4. ábra.

6-4. ábra: Zárt mélyedések s�r�sége az id� függvényében

Megállapítható, hogy a kezdeti fejl�dést a töbörs�r�ség nagyfokú ingadozása

jellemzi, ami még markánsabban jelenik meg az egycellás vizsgálatok esetében. Ez

annak köszönhet�, hogy a töbrök tágulásakor, a töbörtalp szélesedése miatt a zárt

15 Mivel a modell területe jelen esetben éppen 1 km2, ezért a töbörs�r�ség illetve a töbrök

darabszáma számszer�leg megegyezik. 16 Az általam használt interpoláció az ún. "kriging" módszer volt. A szintvonalas térképen azokat

a mélyedéseket határoltam le töbörként, amelyeknél – méteres szintvonalköz esetén – legalább 2 zárt szintvonal volt megfigyelhet�.


mélyedések alja nem "egycellás", ezért a számításból kiesik. Figyelemre méltó, hogy a

funkcionális mélyedések (küszöbérték=0) száma csak viszonylag rövidebb

id�szakokban és csak kis mértékben növekszik, tehát a kezdeti, heves ingadozások oka

másban keresend�. A jelenség hátterében a töbrök tágulási és mélyülési szakaszainak

váltakozása áll. Ez bizonyítható, ha "lepusztulási térképeket"17 szerkesztünk a

széls�séges töbörs�r�séget mutató id�pontok között. A 6-5. ábra alapján világossá

válik, hogy például a 10.000 évt�l a 25.000 évig tartó id�szakban a lepusztulás a

töbörközéppontokba összpontosul, míg a rákövetkez� id�szak során a töbrök

oldallejt�ire, tehát szélesedés megy végbe. Ez a vastagodó dolina-kitöltéssel

magyarázható, ami a töbör-középpontok alján végbemen� oldódást már fékezi, másrészt

a vizet jobban szétosztja és a szomszédos celláknak is juttat bel�le. Ugyanakkor a

töbörtalp kiszélesedésével a töbör alját kitölt� üledék egyenletesebbé válik és így újabb

mélyülési szakasz kezd�dhet.

Külön érdekesség a 6-5. ábra b, részén, hogy a kitettség hatása is érzékelhet�vé

válik. A töbrök északi, tehát délies kitettség� oldalain megfigyelhet� sötétebb foltok az

er�teljesebb lepusztulást jelzik.

6-5. ábra: Lepusztulási térképek:

a, lepusztulási ütem a 25.000 évi és 10.000 évi domborzat különbsége alapján; b, lepusztulási ütem a 45.000 évi és 25.000 évi domborzat különbsége alapján.

A felszínfejl�dés második, nagy részében, körülbelül a 100.000 évt�l kezd�d�en

a töbörs�r�ség enyhe, fokozatos csökkenést mutat, ami a töbrök összenövésére

vezethet� vissza. Az összenövéssel párhuzamosan az égtáji kitettségnek köszönhet�

17 A lepusztulási térkép két különböz� id�pontbeli domborzatmodell különbségeként kapható

meg.


aszimmetrikus lepusztulás miatt a töbrök "hátravágódnak" észak felé. Az

összenövés és északra vándorlás, a rövid, de intenzív töbör-mélyülési id�szakaszok

jelenségeit a különböz� id�pontokban vett keresztmetszetek (6-6. ábra a, része) illetve a

töbör-határvonalak (6-6. ábra b, része) egymás mellé rajzolása szemlélteti meggy�z�en.

Azonban – az els�re meglehet�sen összetett – 6-6. ábra b, részének alapos vizsgálatából

kiderül, hogy ezek alól az általános szabályszer�ségek alól itt-ott kivételek is akadnak

(azaz a töbrök részekre tagolódása illetve dél felé elmozdulása szintén el�fordulhat).

6-6. ábra: Töbrök fejl�dése:

a, Felszín keresztmetszetek id�beli sorozata (az egymást követ� vonalak között 5000 év telt el); b, Töbör-határvonalak 4 id�pontban (100.000 év, 200.000 év, 300.000 év, 400.000 év).

A töbörs�r�ség csökkenésének és az átlagos töbör-alapterület növekedésének

id�ben megfigyelhet� folyamata abban is kifejezésre jut, hogy e két mennyiség

egymással fordított arányosságot mutat. Ezt tükrözi a 6-7. ábra. Ez az összefüggés

azért is fontos, mert a modell alapján az id�beli változás (a kiegyenlítettebb fejl�dést

mutató második szakaszban) egyértelm�vé tehet�, másrészt kiterjeszthet� valós

karsztfelszínek morfometriai elemzésére is (ld. 7. fejezet).


6-7. ábra: Töbörs�r�ség és töbör-terület összefüggése a modell alapján.

A töbörfejl�dés 3 különböz� állapotához tartozó morfometriai mutatókat a 6-3.

táblázat és a 6-8. ábra tartalmazza, ezen értékek egybevethet�k valós karsztfelszínekre

vonatkozó morfometriai adatokkal (ld. 7. fejezet).

A folyóvíz által formált térszíneken az összefügg� eróziós vízhálózat vezeti le a

felszínre hullott csapadékot és a morfometriai elemzések (HORTON, R.E., 1945b

nyomán) kimutatták, hogy a vízfolyások rend�ségével a számuk exponenciálisan

csökken. Ehhez hasonlatosan a karsztos felszín hidrográfiai alapegységeinek, azaz a

töbröknek a száma is a méret növekedésével szintén meredek csökkenést mutatna, ez

indokolja, hogy az alapterület logaritmusa szerinti eloszlás szerepel a 6-8. ábra a,

részén. Az eloszlás ferdeségének változása azzal magyarázható, hogy a fejl�dés kezdeti

szakaszában még viszonylag sok az "elemi" méret� töbör, az összeolvadás még nem

indult meg. A végs� állapot pozitív ferdesége viszont azt sugallja, hogy a töbrök további

növekedése, összeolvadása felülr�l korlátozódik valamennyire. (Ennek pontos oka még

tisztázatlan.)

A töbör hossztengely irányok alapvet�en a kiindulási domborzat jellemz�

DNy-ÉK-i irányát tükrözik, a kitettség szerinti aszimmetria hatása ebben nem

mutatkozik meg. A legközelebbi szomszéd irányokat ábrázoló rózsadiagramok

viszonylag kiegyenlítettek, egyértelm� jellegzetességek nem ismerhet�k fel rajtuk.


Év 25 000 100 000 400 000 Töbörs�r�ség (1/km2) 99 82 56 Töbrösödési arány (%) 9.83 14.24 12.67 Alapterület (m2) 993.26 1736.06 2263.38 Kerület (m) 116.65 153.18 176.79 Hossz (m) 40.50 53.16 63.10 Körátmér� (m) 33.06 43.38 49.17 Szélesség (m) 28.17 38.61 40.34 Vízszintes megnyúltság 1.42 1.42 1.57 Kerekítettség 0.84 0.82 0.80 Kompaktság 0.86 0.84 0.81 Mélység (m) 1.93 2.67 6.36 Függ�leges megnyúltság 19.23 18.90 9.73 Középpont X (m) 491.21 455.99 489.08 Középpont Y (m) 480.52 506.31 515.48 Legközelebbi szomszéd mutató (korrigált)

0.96 0.87 0.76

6-3. táblázat: Morfometriai mutatók a szimuláció különböz� id�pontjaiban.

Év 25 000 100 000 400 000

A, A

lapt

erül

et

gyak

oris

ág

lg (töbör-alapterület, m )

gyak

oris

ág (%

)

21.5 2.5 3.5 4.5

0

5

10

15

20

25

30


gyak

oris

ág (%

)

21.5 2.5 3.5 4.5

0

4

8

12

16

20

24


gyak

oris

ág (%

)

21.5 2.5 3.5 4.5 5.5

0

4

8

12

16

20

24

B, H

ossz

teng

ely

irán

yok

0

0

0

0

5

5

5

5

0

0

0

0

0

0

0

0

5

5

5

5

0

0

0

0

0

0

0

0

5

5

5

5

0

0

0

0

C, L

egkö

zele

bbi

szom

széd

irán

yok

6-8. ábra: Töbör- morfometriai jellemz�k gyakorisági eloszlásai a szimuláció különböz� id�pontjaiban:a, alapterület logaritmusa; b, hossztengely irányok; c, legközelebbi szomszéd

irányok.


6.1.4. A töbörfejl�dési szimuláció ritmusainak magyarázata

A töbörfejl�dési szimuláció id�sorai és a morfometriai elemzés alapján most

már pontosan körvonalazható a felszínfejl�dés id�beli lefutása. A fentiek alapján az

alábbi, eltér� lepusztulással jellemezhet� szakaszok rajzolódnak ki:

1. id�szak (0-25.000 év): Alapvet�en a töbrök mélyülésével jellemezhet� szakasz,

mely két eltér�, rövidebb fázisra osztható: az els� mintegy 10.000 év a töbrök

kialakulásának szakasza, melyet a következ� fázisban a töbrök további lefelé

harapózása követ, de számuk már kevésbé markánsan gyarapodik. Így els�

szabályozóként az "élettér" elfogyása említhet�. A második fázisban a k�zetbe

történ� beszivárgás csökken, mert a töbrök alján egyre vastagabb a regolit, amely

nagyobb párolgási veszteséghez vezet, "új" beszivárgási zónák (töbrök) pedig már

nem tudnak kialakulni. Az 1. id�szak teljes tartama alatt a töbörperemek növekv�

meredeksége miatt n� a tömegmozgásos és az eróziós lepusztulás mértéke, ami a

töböralji kitöltések vastagodásához vezet.

2. id�szak (25.000-45.000 év): A vastagodó kitöltés miatt beindul a töbrök

szélesedése. A szélesedés miatt a töbörperemek kissé ellaposodnak és a növekv�

talajbaszivárgás révén a lefolyó vízhozamok is csökkennek, emiatt az eróziós és

deráziós lepusztulás visszaesik. Mivel az eróziót duplán érinti ez a "csapás", így

er�sebb negatív kilengést mutat. A kiszélesed� töbörtalpak azonban újabb mélyülési

szakaszhoz készítik el� a terepet.

3. id�szak (45.000-70.000 év): Újabb töbörmélyülés kezd�dik, amit a k�zetbe történ�

beszivárgás növekedése is jelez. A mélyülési folyamatot követi némi késéssel

(50.000 évt�l) a felélénkül� eróziós és tömegmozgásos tevékenység. Az id�szak

közepén, az 55.000 évt�l kezd�d�en azonban beleszól az események menetébe a

kitakarózás a 6.1.2 alfejezetben ismertetett módon, és így a beszivárgás er�s,

trendszer� csökkenése majdnem teljesen elnyomja a töbör mélyülési és szélesedési

ritmusok miatt fellép� ingadozásokat. (Ennélfogva az eróziós, deráziós lepusztulás

id�beli menetét ábrázoló görbéken jóval markánsabban jelentkeznek a hullámok,

mint a lepusztulás szempontjából fontosabb beszivárgási grafikonon.) Mindezek

ellenére tovább folyik a töbörmélyülés, míg az egyre er�sebb erózió és

tömegmozgások ki nem töltik a töbörtalpakat.

4. id�szak (70.000-90.000 év): Töbör-szélesedési periódus.

5. id�szak (90.000-120.000 év): Töbör-mélyülési periódus.

6. id�szak (120.000-140.000 év): Töbör-szélesedési periódus.


7. 140.000 évt�l: Beáll egyfajta "dinamikus egyensúlyhoz" közeled� állapot, a

kiinduláshoz képest alacsonyabb lepusztulási szinten. További ritmusok még

jelentkeznek, de többnyire kisebb amplitúdóval.

6.1.5. Beszivárgás és karsztos lepusztulás kapcsolata

Az egyes lepusztulási tényez�k kapcsolatát regresszió-számítás illetve 2-

tényez�s XY grafikonok segítségével is elemezhetjük. Ezek közül csupán egyet kívánok

bemutatni, amely azt vizsgálja, hogy a beszivárgott vízmennyiség milyen mértékben

határozza meg az oldásos lepusztulást (6-9. ábra).

6-9. ábra: Az oldásos lepusztulás függése a k�zetbe szivárgott vízmennyiségt�l

Terepi mérések eredményei (TELBISZ T., 1998, 1999c; TELBISZ T.et al, 1999;

YOSHIMURA, K. - INOKURA, Y., 1997) azt sugallják, hogy az oldásos lepusztulást dönt�

mértékben a beszivárgott vízmennyiség határozza meg, annak ellenére, hogy

esetenként jelent�s – többnyire éppen ellentétes irányú – koncentráció-ingadozás

tapasztalható. A 6-9. ábra tanúsága szerint ugyanez érvényes a modell esetében is. A


szoros összefüggés ellenére a regressziós egyenes kissé félrevezet� lehet, és érdemesebb

inkább a görbe koncentráció-változásokhoz köthet� cikcakkos lefutásának okait feltárni.

A terepi mérések els�sorban az évszakos, illetve az id�járáshoz köthet�

koncentráció-változásokkal számoltak. A modell viszont nem veszi figyelembe az

évszakos változásokat, hanem csak a hosszútávú, az éves átlagban is jelentkez�

eltérések juthatnak érvényre. Ezért a koncentráció-változások a beszivárgott

vízmennyiség kitettség szerinti eltér� eloszlásával illetve a kitakarózással hozhatók

összefüggésbe. Azon id�szakokban, amikor a délies kitettség� lejt�kön beszivárgó víz

mennyisége arányaiban jelent�sebbé válik, akkor az átlagos koncentráció növekszik (pl.

12.000-28.000 év). A délies kitettség� lejt�k, töbörtalpak feltagolódásával,

meredekebbé válásával viszont a beszivárgó víz átlagos koncentrációja csökken, tehát

ugyanannyi beszivárgó vízmennyiség visszafogott mérték� oldást eredményez (pl.

45.000-54.500 év, 90.000-102.000 év).

A nyílt k�zetfelszín egyensúlyi koncentrációja kisebb, mint a talajtakarós

karsztoké, ezért a kitakarózott felszíneken beszivárgó víz – a jelen szimulációban –

csupán harmadakkora oldásra képes, mint a regolitból beszivárgó víz. Ezzel

magyarázható, hogy a szimuláció idejének el�rehaladtával, a növekv� terület�

kitakarózott k�zetfelszínek jóvoltából, ugyan er�s ingadozásokkal tarkítva, de

fokozatosan csökken az átlag-koncentráció.

6.2. Karsztos fennsíkperemek fejl�dése

Az el�z� példa alapján világossá vált, hogy a kezdeti domborzat fontos szerepet

játszhat a töbrös felszínfejl�désben. A következ� szimulációval azt kívántam vizsgálni,

hogy egy jellegzetes domborzati adottság miként befolyásolhatja a karsztformák térbeli

eloszlását. Ezért kezdeti felszínnek egy fennsíkperemi részletet választottam, amely egy

meredek lejt�b�l és egy hozzákapcsolódó fennsíki területb�l áll (6-10. ábra a, rész). A

terület nyílt karszt, ennélfogva a beszivárgás térbeli szerkezetét közvetlenül a k�zet

beszivárgási képessége irányítja, így a kialakuló formakincs jellegzetesebb. Talajborítás

esetén ugyanis a talaj térben és id�ben egyenletesebb beszivárgási képessége miatt

egyfajta kiegyenlít� szerepet tölt be. A modell-paraméterek pontos beállításait a 6-4.

táblázat tartalmazza.

A 300.000 éves felszínfejl�dés után el�álló domborzat (6-10. ábra b, rész)

kialakulása a következ�képpen magyarázható. A plató pereménél a meredekség


megváltozása eltér� oldásos eredet� lepusztulási sebességet eredményez. A meredek

lejt�n gyorsabb a lefolyás sebessége, ezért kevesebb víz jut a beszivárgásra illetve

rövidebb az oldás id�tartama is. A véletlenszer�, apró kezdeti terep-egyenetlenségekkel

megadott fennsíki részeken viszont a víz túlnyomó része beszivárog, következésképpen

az oldott anyag mennyisége is jelent�sebb itt, mint a meredek térszíneken. Így a töbrök

kialakulása is csak a fennsíki, enyhe lejtés� területeken indul meg.

Rács-méretek

Id� Kezdeti és perem-felt.

Csapadék, párolgás, lefolyás

K�zet Oldás Lejt�s tömeg-

mozgások dx=10 ∆tS=2 HB,0=250-300 P=2000 kI=0,05 Ceq=100 km=0,3

50x50-es ∆tL=1000 HR,0=0 R=200 kIN=0,4 nc=1,8 TL=2000 ICB,0=0,05 tR=100 ρL=2700 kc=0,01 BD=-0,1 Ei=0,1 n=0,3 SC=0,7 kv=5 kSR=1


6-4. táblázat: A fennsíkperem-fejl�dési szimuláció paraméterei

6-10. ábra: Fennsíkperem oldásos fejl�dése a, Kezdeti felszín; b, Eredmény felszín (300.000 év után);

c, Bükk-fennsík déli peremének részlete


Mindennek eredményeként a két terület határa, a fennsíkperem, a mögöttes

részekhez képest lassabb lepusztulást mutat, így id�vel "kipreparálódik" és

egyfajta kiemelkedést képez a fennsík szélén. Ez a folyamat egy ideig önmagát er�síti

a beszivárgási képesség oldáshoz igazodó térbeli alakulása révén. Amikor azonban a

beszivárgási képesség mindenhol eléri a meghatározó csapadékintenzitás értékét, a

területre lehulló csapadék azonnal be tud szivárogni, így az oldás is kiegyenlítetté válik

és a perem további oldásos kihangsúlyozódása leáll, esetleg más folyamatok –

els�sorban lejt�s tömegmozgások – révén pusztulásnak indulhat. A kimagasló peremr�l

a vizek egy része a meredek lejt� felé folyik le, másik része azonban befelé, a fennsík

felé, így a perem mögötti töbrök növekedését serkenti.

Terepi tapasztalatok is sokfelé alátámasztják ezt a modell alapján felállított

elképzelést. Karsztos fennsíkok esetében számos helyen megfigyelhet�, hogy a meredek

platóperemek fennsík felé néz� oldala befelé enyhén lejt a dolinákkal tarkított felszínig

(6-10. ábra c, rész). Ugyanez a jelenség kisebb léptékben is tetten érhet�, például

karsztos magashegységek jégformálta völgyeiben kialakuló különböz� méret�

tereplépcs�k oldásos továbbfejl�désében. Mindeme példákat figyelembevéve nem

szabad megfeledkezni arról, hogy az els�dleges forma (karsztfennsík, tereplépcs�) nem

az oldásos felszínalakulás eredménye, hanem más tényez�knek (pl. szerkezeti okoknak,

rétegd�lésnek, válogató lepusztításnak stb.) köszönhet�. Az oldás csupán a perem

kihangsúlyozásában, továbbfejl�désében jut szerephez.

6.3. Karros felszínfejl�dés

Jóllehet a karrok méreteiket tekintve többnyire nagyságrendekkel elmaradnak a

töbrök mögött (kivétel: nagyon csapadékos, trópusi területek), ám formagazdagságuk

leny�göz�. E változatosság mögött a kialakításukban szerepet játszó tényez�k

sokoldalúságát ismerhetjük fel. Ezek közül a legfontosabbak – a teljesség igénye nélkül

– a k�zetszerkezet, a domborzat, a talaj- ill. növényborítottság és a vízáramlás jellege

(BALÁZS D., 1992; ZÁMBÓ L., 1993; VERESS M., 1995). Az elmúlt években szerteágazó

kutatás bontakozott ki, mely a fenti tényez�k és a karrfejl�dés morfometriai elemei

közti kapcsolatok megragadását célozza (többek között: BALOGH Z., 1998; ZENTAI Z.,

2000; SZABÓ L., 2001; VERESS M. – TÓTH G., 2002;).

A karsztos modell kialakítása során els�sorban a töbrös felszínfejl�dés minél

valóságh�bb szimulációs közelítésére törekedtem, ám kísérletet tettem bizonyos


karrformák modellezésére is. A fent említett tényez�k közül az els� kett� hatását

sikerült többé-kevésbé megjeleníteni.

Az els� példa (6-5. táblázat, 6-11. ábra) a szerkezeti karrok, azon belül a

karrjárdák kialakulását mutatja be. (A természetben el�forduló karrjárdák kialakulását,

az oldásukban szerepet játszó tényez�ket többek között GOLDIE, H.S., 1995, GUNN, J. –

KEVEINÉ BÁRÁNY I., 1998 és ZSENI A. – KEVEINÉ BÁRÁNY I., 2000 vizsgálták).

Rács-méretek




mozgások dx=0,2 ∆tS=1 HB,0=300±0,001 P=2000 kI=1 Ceq=100 km=0,1

50x50-es ∆tL=500 HR,0=0 R=60 kIN=0,5 nc=1,8 TL=500 ICB,0=0,25

(törésvonalakban) tR=30 ρL=2700 kc=0,01

ICB,0=0,05 (egyébként)

Ei=0,1 n=0,3 SC=0,7

BD=0 kv=0,2 kSR=1 A jelölések magyarázata és a mértékegységek megtalálhatóak a függelékben.

6-5. táblázat: A karrjárdás szimuláció paraméterei

6-11. ábra: Szerkezetileg meghatározott karrok fejl�dése. a, Szimuláció alapján; b, Karrjárda (Burren, ÉNy-Írország, forrás: világháló)

A szimuláció egy sík, talaj nélküli felszínb�l indult ki, melyet egymásra

mer�leges törésvonal-rendszer tagolt. A törésvonalakat a kezdeti feltételek megadásánál

a környezetükhöz képest ötszörös beszivárgási képességgel adtam meg. Ennek


köszönhet�, hogy a törésvonalak mentén zajló gyorsabb oldásos lepusztulás az

eredeti felszínt k�zettömbökre (clint) és elválasztó hasadékokra (grike) tagolta. Az

5000 éves felszínfejl�dés eredményeként létrejöv� hasadékok mélysége kb. 10-20 cm

volt. A 6-11. ábra b, részén látható karrjárda hasadékrendszere ennél mélyebb,

kialakulásának id�tartama viszont hasonló nagyságrend�, hiszen nagy valószín�séggel a

jégkorszak után keletkezett. A gyorsabb mélyülés a fejl�dés egyes id�szakaiban

meglév� talajborítással magyarázható.

A csupasz sziklafelszínek legjellemz�bb formái a különféle vályúkarrok. A

következ� szimuláció a vályúkarrok lefutása és a lejt�szög között keresett kapcsolatot

(6-6. táblázat, 6-12. ábra). Mivel a lefolyó víz oldó hatására kifejl�d� karrokat

kívántam vizsgálni, ezért a területet beszivárgás-mentesnek tételeztem fel. A két

szimuláció között az egyetlen különbség a kiindulási felszín lejt�szöge volt. A kísérleti

eredményekb�l az alábbi – lényegében triviális – állításokat lehetett megfigyelni.

Kisebb lejt�szög esetén a vályúk kanyaroghatnak, és elágazó vályúrendszer

alakulhat ki. Nagyobb meredekség esetén a karrok pályája kiegyenesedik,

elágazások inkább csak a lejt� fels� szakaszán figyelhet�k meg. A szimulációs

próbálkozásokból azonban úgy t�nt, hogy nem is közvetlenül a lejt�szög, hanem a

kezdeti egyenetlenségek viszonylagos nagysága a meghatározó. A vízfolyás akkor

térül ki a terep általános lejtési irányához képest, ha valamilyen akadály, egyenetlenség

erre kényszeríti. A sziklafelszín kezdeti nagyobb hepehupái esetén gyakoribbak az

efféle akadályok. Meredekebb térszín esetén csupán egy-egy magasabb cella téríti ki a

karrirányt. Ezen akadályok alatti területre kevesebb víz érkezik, így oldódásuk

lefékez�dik és maradékgerinc-szer�en kezdenek kimagasodni a környez� felszínhez

képest.

Rács-méretek




mozgások dx=0,1 ∆tS=1 HB,0=290-300

(ill.295-300) P=2000 ρL=2700 Ceq=50 km=0

50x50-es ∆tL=25 HR,0=0 R=50 n=0,3 nc=1,8 TL=500 ICB,0=0 tR=20 kc=0,05 BD=-0,1 Ei=0,1 SC=0,7 kv=0,1 kSR=1


6-6. táblázat: A karrvályús szimuláció paraméterei


6-12. ábra: Lejt�szög hatása a beszivárgás-mentes sziklafelszínen kifejl�d� karrvályúk lefutására.

a, Modell alapján (20.000 éves szimuláció végén); b, Terepi megfigyelések alapján: falikarrok (Paklenica, Horvátország) ill.

elágazó karrvályú-rendszer (Durmitor, Montenegro).

A fenti részeredmények dacára ki kell jelenteni, hogy a modell a karrformák

vizsgálatára jelenlegi formájában kevéssé alkalmas. F�bb hiányosságai a következ�k:

legels�sorban a lefolyó víz dinamikai tulajdonságait er�sen leegyszer�sítve kezeli, így

pl. a sodorvonal-kilendülés és a turbulencia jelenségeit nem képes utánozni, márpedig

ez a legtöbb csupasz karrforma fejl�désének pontos leírásához nélkülözhetetlen. A

lefolyási irány számításakor a vízmagasság is számításba kell venni, mert ennél a

méretbeli felbontásnál ez már nem elhanyagolható tényez�. A sejtautomata modell


felépítésénél fogva geometriailag nem tudja az aláhajló felületeket kezelni, ami egyes

karrtípusok (pl. meanderkarrok) fejl�désében gyakran el�fordul. Ez a probléma

rendkívül nehezen küszöbölhet� ki, és a különféle típusú geomorfológiai modellek

egyik Achilles-sarkát jelenti. További fontos szempontként figyelembe veend�, hogy a

valóságban az egyensúlyi koncentráció térbeli eloszlása változékony lehet: egy apró

zuzmó-, talajfolt hatása a karrosodásban számottev� szerepet játszhat.

6.4. Kúpkarsztok fejl�dése

A kúpkarsztok fejl�dési állapotait morfometriai alapon többek között MING, T.

(1992) értelmezte. Mérési eredményei alapján az egymást követ� állapotok a dél-kínai

karsztvidéken egymás mellett is fellelhet�k, a zárt, poligonális karszttól a fengcong és

fenglin típusú toronykarsztig, különböz� átmeneti fázisokkal. A kúpkarsztos fejl�dési

sor szimulációs modelljét AHNERT, F. – WILLIAMS, P.W. (1997) dolgozata alapján már

bemutattam és e rövid alfejezet célja tulajdonképpen az, hogy a "lefelé való

kompatibilitást" bizonyítsam, azaz bemutassam, hogy az általam kifejlesztett karsztos

modell hasonló eredményekre képes a kúpkarsztok vonatkozásában (6-13. ábra). A

toronykarsztos felszínfejl�dés modellezéséhez a korróziós alapszint, az intenzív

csapadék és a töbrös szimulációhoz képest inkább vertikális jelleg� szivárgás jelentette

a kulcsot (a paraméterek részletezését ld. 6-7. táblázat).

Rács-méretek


Csapadék párolgás, lefolyás

K�zet Oldás (Be-) Szivárgás

Erózió

dx=40 ∆tS=10 HB,0=293-298 P=2000 kI=0,1 Ceq(nyílt)=100 ICR,0=1 kS=5·10-7

dz=0,3 ∆tM=40 HR,0=0,5 R=100 kIN=0,1 Ceq(talaj)=300 αΙ=0,024 mS=1,4 50x50-es ∆tL=1000 ICB,0=0,05 tR=30 ρL=2700 nc=1,8 HIR=30 nS=1,4

TL=1000 BD=0 Ei=0,1 n=0,3 kc=0,01 kD,h=2 kv=1 SC=0,7 kD,v=2 kSR=1

Lejt�s tömeg-

mozgások

Korróziós alapszint =

250m kA=0,5 km=0,1 A jelölések magyarázata és a mértékegységek megtalálhatóak a függelékben.

6-7. táblázat: A kúpkarsztos szimuláció paraméterei

A modell alapján úgy vélem, hogy az a feltételezés, mely szerint a karszttornyok

tet�szintje az eredeti felszín magasságát �rzi (pl. FORD, D.C. – WILLIAMS, P.W., 1989 –

idézi: KEVEINÉ BÁRÁNY I. – ZBORAY Z., 2001), nem teljesen helytálló. A tornyok

elkülönülése valójában akkor kezd�dik, amikor az enyhén kiemelked� csúcsok tetejér�l

a talaj lepusztul és ennek következtében oldásos alacsonyodásuk a töredékére csökken a


talajhatás elmaradása miatt. Tehát ez az a felszín, amelynek magasságát egy ideig

�rizhetik a kúpok. Azonban a tornyok pusztulásában nem karsztos folyamatok is részt

vehetnek, ezért az abszolút magasságuk folyamatosan csökken, hacsak valamilyen

k�zettani ok, például ellenállóbb rétegek ezt nem befolyásolják jelent�sen. Relatív

alacsonyodásuk a fenglin állapottól kezd�d�en indul meg.

6-13. ábra: Kúpkarsztok fejl�dése


7. Töbör-alakmérési eredmények az Aggteleki- karsztvidéken

végzett vizsgálatok alapján

Egyrészt a 4. fejezetben ismertetett töbör-morfometriai mutatók és elemzési

módszerek bemutatása miatt, másrészt az Aggteleki-karsztvidék jobb megismerése

céljából, harmadrészt pedig a töbörfejl�dési szimuláció valós értékekkel való

összevethet�sége érdekében elvégeztem az Aggteleki-karszt szinte teljes töbör-

állományának morfometriai elemzését. Megvizsgáltam a töbrök különböz�

paraméterei közti kapcsolatot, a k�zettani adottságok szerepét továbbá a

morfometriai eredmények alapján a karsztos felszínfejl�désre vonatkozó

következtetéseket vontam le (pl. a tektonika szerepe, a nem karsztos környezet hatása,

a sordolinák jelent�sége stb.)

7.1. Az Aggteleki-karszt felszínfejl�désének kutatása különös

tekintettel a töbörképz�désre

A földtani kutatások (legújabban SÁSDI L., 1990, 1998; LESS GY., 1998) szerint az

Aggteleki-karsztvidék jól karsztosodó k�zetei a triász id�szakban rakódtak le a Thetys-

óceán oldalágainak karbonátplatformjain. Területi kiterjedés alapján a legfontosabbak: a

középs�-triász Gutensteini Formáció és Steinalmi F., a középs�-fels�-triász Wettersteini

F. és a fels�-triász Halstatti Mészk� F. Ezek az üledékes k�zetek a kés�bbi tektonikus

események során felgy�r�dtek, antiklinálisok, szinklinálisok és takaróred�k alakultak

ki, melyek jelent�s oldalirányú elvonszolódások után kerültek mai helyzetükbe. El�ször

a kréta id�szakban vált szárazulattá a terület, amelyet a harmadid�szak során nem

karsztosodó tengeri illetve szárazföldi – köztük jelent�s mennyiségben vulkáni –

üledékek borítottak be. A fedettség térbeli és id�beli változatossága miatt több

alkalommal is lehet�ség nyílt oldásos felszínfejl�désre (kréta; oligocén; miocén;

pleisztocén-holocén során), de ezek közül bizonyíthatóan csak a legutóbbinak a

karsztformáival találkozhatunk (bár akadnak ellenvélemények is, részletesen ld. in:

MÓGA J., 1998). A mai felszínalakulás szempontjából nagy jelent�ség� a pliocén

végét�l a területet északi irányból beborító kavicstakaró (Borsodi Kavics F. más néven:

Poltári F.). Az er�teljes – törések mentén blokkokra tagolt – kiemelkedések miatt a

negyedid�szakban megindult a karszt kitakarózása, amely napjainkig tart. A jelenlegi

helyzet alapján a karsztterület tekintélyesebb része nem-önálló (allogén) karszt. A


földtani kutatások fontos eredményeként elkészült a terület 1:25.000 méretarányú

geológiai térképe (LESS Gy. et al, 1988), amely a dolina-morfometriai vizsgálatok

alapjául is szolgált.

Az Aggteleki-karszt általános, leíró jelleg� felszínalaktani jellemzése

megtalálható JASKÓ S. (1933), LÁNG S. (1955), LEÉL-ÖSSY S. (1953), MEZ�SI G.

(1984), HEVESI A. (1991), MÓGA J. (1998) és ZÁMBÓ L. (1998a, 1998b) munkáiban.

JAKUCS L. (1956, 2000) a barlangok morfogenetikája kapcsán fejtette ki nézeteit a

karsztos felszínfejl�désr�l. Hangsúlyozta a fedett karszton kialakult eróziós völgyek

mélybefejez�déssel való átalakulását töbörsoros völgyekké, és a Borsodi Kavics F.

jelent�ségét az óriásbarlangok eróziós kivésésében. Ennek igazolására hozzávet�leges

számításokat is szerepeltetett, melyek a barlangi ágak mérete (keresztmetszete) és a

hozzájuk tartozó nem karsztos vízgy�jt�terület közötti kapcsolatra mutatnak rá.

ZÁMBÓ L. (1970) a talajhatás szerepét emelte ki a töbrök fejl�désében. A

dolinakitöltések alapos vizsgálata alapján a töbrök "tányérosodására" és összenövésére

következtetett, amelyet a vastag (akár 10-15 méteres) kitöltés alatt feltárható

lealacsonyodott töbörgerincek bizonyítanak. Növényzeti, mikroklimatológiai és

ökológiai megfigyelésekre alapozva szintén a talajhatás formaalakító jelent�ségét

világította meg több oldalról is KEVEINÉ BÁRÁNY I. – MEZ�SI G. (1978), KEVEINÉ

BÁRÁNY I. (1985) és BECK, R.K. – BORGER, H. (1999). "Klasszikus" töbör-

morfometriai eredmények szerepelnek MEZ�SI G. (1984) és BÁRÁNY I. – MEZ�SI G.

(1993) munkáiban. Mintegy 80 dolina vizsgálatával a következ� eredményekre jutottak:

– A töbrök irányítottsága (a hossztengely azimutja) igazodik az uralkodó ÉÉK-DDNy-i

és K-Ny-i törés-, ill. repedésirányokhoz.

– A töbrök egy részének alakja tükrözi a talaj-él�világon keresztül érvényesül�

mikroklíma-különbségeket, amely miatt a Ny-i és D-i kitettség� lejt�k lankásabbá

válnak.

– Elkülöníthet�k "tektonikusan irányítottabb" sordolinák és platódolinák, amelyekre

külön számítva a töbörs�r�séget és a mélység/átmér� arányt kimutatható, hogy a

sordolinák "sekélyebbek" és kevésbé "fedik le" a területet.

A töbrök fejl�désével foglalkozik KNAUER J. (1996) is, mélyül� és feltölt�d�

csoportokba sorolva a dolinákat. KÓSA A. (1992) a töbörképz�dés és a zsomboly-

genetika sajátos összefüggéseir�l szóló elméleteket összegzi az Alsó-hegyre

vonatkozóan. KEVEINÉ BÁRÁNY I. – ZBORAY Z. (2001) digitális domborzatmodellek

segítségével vizsgálták a töbrök egyes jellemz�it.


Számbavéve tehát a korábbi szerz�k jelent�s eredményeit kiviláglik, hogy az

Aggteleki-karszton található töbrök tekintetében teljességre tör� morfometriai

értékelésre mindezidáig nem került sor.

7.2. Az Aggteleki-karszt töbrös területeinek morfometriai elemzése

Az Aggteleki-karszt dolinás felszíneit összesen 14 részterületre osztottam,

els�sorban k�zettani, földtani és domborzati megfontolások alapján. A mérések alapjául

a vidék 1:10.000 méretarányú topográfiai térképe szolgált18. A 7-1. ábra mutatja be a

karsztvidék töbrös területeit, melyeken együttvéve 1088 db dolina található 111 km2-en

elszórva. A mért adatokat a 7-1. táblázat közli.

18 Fontos kérdés, hogy ez a méretarány alkalmas-e a töbrök vizsgálatára. Nagyszámú aggteleki

terepbejárás alapján úgy vélem, hogy Aggtelek esetében ez a méretarány megfelel�, elhanyagolható számú töbör hiányzik csak a térképekr�l. Más a helyzet a Mecsek tekintetében (vö. HEVESI A., 2001; HOYK E., 2002), illetve külföldi adatok (pl. DAY, M.J., 1983) is ismertek arra vonatkozóan, hogy az 1:10.000 méretarány esetében akár a töbrök fele is hiányozhat a térképekr�l. Fiatal, s�r�n dolinás magashegységi területeken a helyzet még kritikusabb lehet.


7-1. ábra: Az Aggteleki-karszt töbrös területei

Telbisz T.: Karsztos felszínfejl�dés és beszivárgás m

atematikai m

odellezése 91

Átlag, összesen

110,92

1088

9,81

4,64

4 740

232

82

65

53

1,65

0,84

0,83

6,38

16,28

25 642

0,51

Zomboly

Wm, Wd

3,41

64

18,77

5,55

2 957

199

71

55

44

1,72

0,79

0,80

3,16

25,41

7 454

0,57

Teresz-tenye

Sm, (Gm, Et)

2,34

28

11,94

12,17

10 187

328

115

93

77

1,48

0,83

0,84

6,93

17,95

70 393

0,51

Szögliget

Wm, Wd

4,63

22

4,75 (9,69*)

5,69 (11,0*)

11 980

354

122

99

88

1,49

0,80

0,84

9,98

13,62

109 349

0,40

Szinpetri

Wm, Wd

16,39

111

6,77 (10,02*)

3,27 (4,71*)

4 833

245

88

68

53

1,79

0,79

0,80

5,14

20,68

22 309

0,57

Szin

Sm, (Gm)

2,50

26

10,39

4,11

3 955

222

81

64

50

1,78

0,82

0,80

5,69

19,21

19 953

0,41

Szalonna

Sm, Gm, Dtm,Szm

6,04

28

4,64

2,84

6 128

262

91

77

66

1,48

0,87

0,86

6,71

15,35

35 280

0,35

Nagyoldal

Wm, Wd

12,91

143

11,08

4,13

3 406

207

74

58

46

1,76

0,82

0,81

6,04

16,33

14 812

0,62

Magas-tet�

Wm

2,35

58

24,69

7,13

2 889

186

64

53

46

1,44

0,82

0,84

5,96

12,96

13 682

0,59

Láz-tet�

Gm

0,58

3

5,18

2,29

4 426

247

84

72

60

1,65

0,81

0,85

5,67

24,41

18 682

kevés adat

Haragistya

Wm, Wd

14,75

170

11,53

4,38

3 890

217

77

61

48

1,66

0,84

0,83

4,49

17,33

13 583

0,57

Derenk

Wm,Sm, Gm,Hm,

Pm,Dm,Bh

14,42

77

5,34

2,20

4 118

212

76

58

45

1,67

0,82

0,83

3,33

28,63

10 908

0,44

Béke

Sm

12,36

91

7,36

7,09

9 638

352

128

95

76

1,87

0,76

0,77

6,90

17,73

57 050

0,62

Alsó-hegy

Wm

12,46

244

19,58

6,52

3 330

193

66

57

48

1,47

0,87

0,88

9,67

7,44

24 008

0,63

Aggtelek

Wm

5,77

23

3,99

4,56

11 439

387

137

101

80

1,86

0,70

0,76

6,57

20,90

69 301

0,41

Terület neve

K�zet

Terület (km2)

Töbörszám

Töbörs�r�ség (1/km2)

Töbrösödési arány (%)

Alapterület (m2)

Kerület (m)

Hossz (m)

Körátmér� (m)

Szélesség (m)

Vízszintes megnyúltság

Kerekítettség

Kompaktság

Mélység (m)

Függ�leges megnyúltság

Térfogat (m3)

Legközelebbi szomszéd mutató (korrigált)


7-1. táblázat: Az Aggteleki-karszt töbrös területeinek k�zettani adottságai és morfometriai adatai. Jelmagyarázat:* Csak a mészköves területre számított érték

karsztos k�zetek: Wm = Wettersteini mészk�; Wd = Wettersteini dolomit; Gm = Gutensteini mészk�; Sm =

Steinalmi mészk�;Hm = Halstatti mészk�; Pm = Pötscheni mészk�; Dm = Derenki mészk�; Dtm = Dunnatet�i mészk�; Szm = Szinpetri

mészk� nemkarsztos k�zetek:

Bh = Bódvaszilasi Homokk�; Et = Edelényi Tarkaagyag

7.2.1. A morfometriai tényez�k kapcsolata faktoranalízis és

korrelációszámítás alapján

A morfometriai adatok közti összefüggések feltárására és az egymással szoros

kapcsolatban álló tényez�k kimutatására MILLS, H.H. – STARNES, D.D. (1983) a

faktoranalízis módszerét javasolta, melyet �k egy Tennesse állambeli karsztos

mintaterületre alkalmaztak. Hasonló vizsgálatot végeztem az Aggteleki-karszt töbreire

vonatkozó adatok alapján, melynek eredményei a 7-2. táblázatból olvashatók ki. Ennek

alapján a töbrök jellemz� adatait három csoportba sorolhatjuk, melyeken belül az egyes

tényez�k szoros kapcsolatban állnak egymással, így akár csoportonként egy-egy

tényez� is jól jellemezheti egy adott terület dolina-sokaságát.

Faktorsúlyok Morfometriai mutató 1. Faktor 2. Faktor 3. Faktor

Körátmér� 0.9806 -0.0831 -0.0235 Szélesség 0.9778 0.0768 -0.0007 Kerület 0.9664 -0.1849 -0.0589 Terület 0.9548 -0.0579 -0.0663 Hossz 0.9370 -0.2711 -0.0701 Térfogat 0.8623 0.0362 0.0779 Mélység 0.6678 0.1070 0.5993 Kompaktság -0.1446 0.9390 0.1324 Vízszintes megnyúltság -0.1585 -0.8982 -0.0634 Kerekítettség -0.2309 0.8433 0.1487 Függ�leges megnyúltság -0.0611 -0.1386 -0.8540 Tsz.f. magasság -0.1760 0.0993 0.7447

7-2. táblázat: A morfometriai mutatók csoportosítása az aggteleki töbrök adatsorain elvégzett faktoranalízis alapján

Az els� faktor a töbrök méretét meghatározó tényez�ket jelöli ki. Az 1-hez

közeli faktorsúlyok világosan jelzik, hogy a dolinák vízszintes méretei között er�s

meghatározottság áll fenn. Ehhez képest a térfogat és f�leg a mélység már gyengébb

összefüggést mutat az els� faktorral, ami arra utal, hogy a töbrök mélysége sok esetben

a töbör egyéb méreteit�l független tényez�k hatására fejl�dik (pl. beindul a


tányérosodás, vagy épp ellenkez�leg, szerkezeti okokra visszavezethet�en er�sebb a

függ�leges növekedés). Az els� paramétercsoporton belüli kapcsolatokat regresszió és

korrelációszámítással is igazolhatjuk (7-2. ábra). Az így nyert egyenletek segítségével a

töbrök mérettel összefügg� mutatóit átválthatjuk egymás között.

Hos

sz

Hossz = 2,72 · Szélesség 0,85 (r2=0,84)

0

100

200

300

400

500

600

Szélesség Te

rüle

t

Terület = 1,09 · Hossz 1,83 (r2=0,96)

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Hossz

Mél

ység

Mélység = 0,0686 · Körátmér� 1,04

(r2=0,45)

0

10

20

30

40

Körátmér�

Meg

nyúl

tság

Megnyúltság = 2,08 · Körátmér� -0,0689

(r2=0,02)

0

1

2

3

4

5

6

Körátmér�

7-2. ábra: Néhány morfometriai mutató regressziós kapcsolata az Aggteleki-Karszt töbrei alapján

A második faktor a töbrök alaprajz szerinti alakját jellemzi. Független

faktorként való megjelenése azt jelzi, hogy a töbrök méretbeli növekedése a töbrök

alakját kevéssé határozza meg. A dolinák tágulása általánosságban még nem jár

együtt sem a töbrök megnyúlásával, sem pedig a formák kikerekedésével. Elfogadott

tény, hogy a töbrök növekedése az esetek igen jelent�s részében a törésvonalak mentén

történik (ennek statisztikai igazolását ld. alább). Ebb�l kiindulva felmerülhet az az

elképzelés, hogy a törésvonal mentén lassan egyre elnyújtottabbá válik a töbör, vagyis a

méret növekedésével a megnyúltságnak is mérhet�en fokozódnia kellene. Ez a

kijelentés azonban az adatok tükrében egyértelm�en cáfolható, amit a korreláció teljes

hiánya bizonyít (7-2. ábra).

A harmadik faktor a töbrök függ�leges alakját írja le, leghangsúlyosabb

tényez�je a függ�leges megnyúltság, ami szavakba öntve, az 1 m mélységre jutó töbör-


átmér�t jelenti. Ez az érték minél kisebb, annál mélyebb viszonylagosan a töbör.

Figyelemreméltó, hogy ez a faktor szoros kapcsolatban áll a töbör magassági

helyzetével is. Ez statisztikailag igazolja, hogy a töbrök függ�leges fejl�désében a

tengerszint feletti magasság fontos befolyásoló tényez�. Az Aggteleki-karszt

magasabb karsztfennsíkjain elhelyezked� töbrök er�teljesebb vertikális oldódást

mutatnak. A jelenség összetett magyarázata feltehet�leg a karsztvízszintt�l való

nagyobb távolságban, a sekélyebb talajvastagságban és a szerkezeti viszonyokban rejlik,

amelyek az oldalirányú vízmozgással szemben inkább a függ�leges szivárgásnak

kedveznek. A harmadik faktor egyes tényez�i közti korrelációt vizsgálva

megjegyzend�, hogy a töbrök mélysége önmagában nagyon csekély összefüggést mutat

a tengerszint feletti magassággal (r2=0,05), hiszen ez a töbrök "általános" méreteit�l is

függ. A függ�leges megnyúltság szorosabb korrelációs kapcsolatban áll a magassággal

(r2=0,21), ezért a töbrök vertikális fejl�dése szempontjából kifejez�bb paraméter.

7.2.2. Az Aggteleki-karszt töbreinek jellemz� méretei

Az el�z� alfejezetben elmondottak alapján a méretek közül két tényez�t ragadok

ki mindössze: az alapterületet és a mélységet. Az Aggteleki-karszt térkép alapján

beazonosítható töbreinek területe a 60 m2-t�l a 107.740 m2-ig terjed. Ez utóbbi érték, a

karsztvidék legnagyobb dolinájára, a Szögliget melletti Páska-bükki töbörre vonatkozik

(melynek további említésre méltó méretei: 549 m hosszúság és 23 m mélység). A

töbör-alapterületek egész karsztvidékre összesített eloszlása (7-3. ábra a, rész)

lognormális jelleget mutat (a Kolmogorov-Szmirnov, χ2-tesztek is ezt er�sítik meg),

ami azt jelenti, hogy a viszonylag kicsi (de nem a legkisebb) töbör-méretekb�l van a

legtöbb, a nagy méretek felé haladva pedig a töbrök száma gyors ütemben csökken.

Lényegében ugyanez érvényes az egyes részterületekre is (bár a kis töbör-sokasággal

jellemezhet� részterületeken a gyakorisági görbe természetesen "lyukas" lehet). Ez

véleményem szerint a töbör-fejl�dés dinamikájával hozható kapcsolatba, a lassan

növekv�, id�nként összeolvadó töbrökb�l ez az eloszlás rajzolódik ki. A töbörfejl�dési

szimuláció során megfigyelt – szemilogaritmikus ábrázolás esetén – ferde jelleg�

eloszlásokra (6-8. ábra) nem találtam példát az Aggteleki-karsztvidéken. Ez arra utal,

hogy sem a sok apró, egyforma töbörrel jellemezhet� kezd�d� karsztosodási fázis nem


mutatható ki, sem pedig a felülr�l korlátozott növekedéssel jellemezhet� állapot nem

figyelhet� meg ezen a területen.19

gy

akor

iság

(%)

1.5 2.5 3.5 4.50

3

6

9

12

15

a, lg (töbör-alapterület, m2)

gyak

oris

ág (%

)

0 10 20 300

5

10

15

20

25

30

b, töbör-mélység, m

7-3. ábra: Az Aggteleki-karszt töbör méreteinek gyakorisági eloszlása a, töbör-alapterület; b, töbör-mélység

A töbrök mélysége a térkép alapján 0,5 m és 35 m között változik20. A

legmélyebb töbrök az Alsó-hegyen fordulnak el�. A töbör-mélység gyakorisági

görbéje (7-3. ábra b, rész) exponenciális eloszlással közelíthet� (bár a statisztikai

tesztek ezt elvetik, de ennek hátterében a szintvonalak miatti kvantált leolvasási értékek

állhatnak). Ennek értelmében a legsekélyebb dolinák (0-2m) jelentik a legnépesebb

csoportot, és a nagyobb méretek felé haladva számuk exponenciálisan csökken (ez az

eloszlás viszont nem minden részterületen érvényesül ebben a formában, az alsó-hegyi

töbör-mélységek modusza például 7 m-nek adódik).

Az el�bbi két mutatóból, az alapterületb�l és a mélységb�l adódik a töbrök

térfogata. Az alapterülethez hasonlóan ez is lognormális eloszlást mutat. Külön említést

azért érdemel, mert ez a térfogat végs�soron a felszínr�l hiányzó anyagmennyiséget

jelenti, amely túlnyomórészt oldásos lepusztulás révén távozott a mélybe. Így egy adott

egységben található töbrök össztérfogatát a területtel elosztva megkaphatjuk a

töbrökbe összpontosuló lepusztulás teljes felszínre vetített átlagértékét (7-4. ábra).

Ez fontos részeredmény az egyes részterületek oldásos lepusztulásának becsléséhez,

mely két további tényez� becslésével tehet� teljessé: a lepusztulás id�tartama, illetve a

töbrök közti részeken zajló átlagos lepusztulás meghatározása alkotja e két

megválaszolandó kérdést. Ezek megválaszolásához azonban más módszerekre van

szükség.

19 Ilyen jelleg� területek további keresését és morfometriai leírását egyébiránt fontos jöv�beli

kutatási feladatnak tartom. A keresés lehetséges színtereit többek között a karsztos magashegységek jelenthetik.

20 Itt meg kell jegyezni, hogy a leolvasás pontosságát a 2,5 m-es felez� szintvonalak szabják meg illetve az elenyész� számban kiírt konkrét magassági adatok.


7-4. ábra: A töbrökbe összpontosuló lepusztulás teljes felszínre vetített átlagértékei az

Aggteleki-karszt részterületein

A 7-4. ábra alapján elmondható, hogy a töbrösödés a Teresztenyei-fennsík, a

Szögliget melletti terület és az Alsó-hegy térségében okozta a legjelent�sebb átlagos

felszínalacsonyodást. Ennek megvalósulása azonban a fent említett területeken eltér�:

az els� esetben a viszonylag s�r� és f�leg nagy kiterjedés� töbröknek köszönhet� a

kiugró érték, a második esetben a karsztvidék legnagyobb óriástöbre játszik dönt�

szerepet, a harmadik helyezett viszont a rendkívül s�r�n elhelyezked� viszonylag

kicsiny, ám mély dolináinak köszönheti dobogós helyét.

7.2.3. Az Aggteleki-karszt töbreinek irány-statisztikai vizsgálata

Az irányítottság vizsgálata sokat elárul a töbrök kialakulásáról. A kett�s

alapkérdés az volt, hogy kimutatható-e egyáltalán határozott irányítottság, és ha igen,

akkor a tektonikus irányok játsszák-e a f�szerepet, vagy esetleg a mikroklimatikus

aszimmetria hatása érvényesül-e ebben is. A korábbi kutatásoktól eltér�en nem pusztán

a hossztengely azimutját vettem figyelembe, hanem a legközelebbi töbörszomszéd

irányát is. Ezek alapján tehát kett�s rózsadiagram készült minden vizsgált részterületr�l

(7-5. ábra).


Hossztengely Szomszéd azimut Hossztengely Szomszéd azimut

6

6

6

6

12

12

12

12

18

18

18

18

N

3

3

3

3

6

6

6

6

9

9

9

9

5

5

5

5

10

10

10

10

15

15

15

15

N

4

4

4

4

8

8

8

8

12

12

12

12

N

AGGTELEK SZALONNA

5

5

5

5

10

10

10

10

15

15

15

15

N

2

2

2

2

4

4

4

4

6

6

6

6

N

9

9

9

9

18

18

18

18

27

27

27

27

N

4

4

4

4

8

8

8

8

12

12

12

12

N

ALSÓ-HEGY SZIN

6

6

6

6

12

12

12

12

18

18

18

18

N

3

3

3

3

6

6

6

6

9

9

9

9

N

5

5

5

5

10

10

10

10

15

15

15

15

N

4

4

4

4

8

8

8

8

12

12

12

12

N

BÉKE SZINPETRI

5

5

5

5

10

10

10

10

15

15

15

15

N

2

2

2

2

4

4

4

4

6

6

6

6

N

6

6

6

6

12

12

12

12

18

18

18

18

N

3

3

3

3

6

6

6

6

9

9

9

9

N

DERENK SZÖGLIGET

4

4

4

4

8

8

8

8

12

12

12

12

N

2

2

2

2

4

4

4

4

6

6

6

6

N

5

5

5

5

10

10

10

10

15

15

15

15

N

3

3

3

3

6

6

6

6

9

9

9

9

N

HARAGISTYA TERESZTENYE

6

6

6

6

12

12

12

12

18

18

18

18

N

4

4

4

4

8

8

8

8

12

12

12

12

N

6

6

6

6

12

12

12

12

18

18

18

18

N

3

3

3

3

6

6

6

6

9

9

9

9

N

MAGAS-TET� ZOMBOLY


6

6

6

6

12

12

12

12

18

18

18

18

N

2

2

2

2

4

4

4

4

6

6

6

6

N

NAGYOLDAL

7-5. ábra: Töbör-hossztengely és a legközelebbi szomszéd azimutja alapján készült rózsadiagramok.

A hossztengely ábrája szimmetrikus, hiszen itt "tengely" jelleg� adatokról van szó, a legközelebbi szomszéd azimutja viszont 0° és 360° között változhat.

A rózsadiagramok elemzése alapján a következ� megállapítások tehet�k:

a, A hossztengelyek irányát egyértelm�en a tektonika határozza meg, mely szerint

a DDNy-ÉÉK-i irányú törés- illetve repedésrendszer a meghatározó. Másodlagos

tektonikai csapás az ÉÉNy-DDK-i (ez néhány területen – Aggtelek, Nagyoldal, Szin,

Szögliget – még markánsabb, mint az el�z�). Harmadikként (sokkal alárendeltebben,

váltakozva, de felismerhet�en) a NyÉNy-KDK-i irány és a NyDNy-KÉK-i irány

említhet�. A töbrök megnyúlásának és a szerkezeti irányoknak az egybeesése alapján

úgy t�nik, hogy a mikroklíma szerepe a töbrök megnyúlásában nem jelent�s.

Amennyiben a töbörsorok kialakulását az egykori folyóhálózathoz kötjük (mélységi

lefejezések sorozatát feltételezve), akkor a rózsadiagramok által jelzett er�s tektonikus

irányítottság alapján arra kell következtetnünk, hogy már a fedett karsztos id�szakban

is szerkezetileg el�rejelzett völgyek alakultak ki.

b, Meglep� eredménnyel szolgál a legközelebbi töbörszomszéd-irányokból kirajzolódó

rózsadiagramok képe. Bár nagyobb az adatok szórása, mint a hossztengely esetében,

mégis lesz�rhet� az a megállapítás, hogy számos esetben fölcserél�dnek a f�irányok a

hossztengelyhez képest. Ez azt jelenti, hogy a töbrök egy részénél a legközelebbi

szomszéd nem a megnyúlás irányával esik egybe! Itt fontos hangsúlyozni, hogy ez a

kett�sség nem feltétlenül a töbrök többségét jellemzi, de ahhoz elég jelent�s számú,

hogy statisztikailag kimutatható legyen.

Ez a tény a töbrök egy részének kialakulását illetve fejl�dését magyarázó

elmélethez jelent útmutatót. Számos lehet�ség végiggondolása után az alábbi elképzelés

valószín�síthet� leginkább (7-6. ábra):

a, A töbrök a repedésrendszer mentén kezdenek kialakulni (a fent említettek miatt ez

érvényes önálló és kihantolódó karszt esetén is), azon belül is különösen kedvez�

helyzetben vannak a törésvonalak metszéspontjai.


7-6. ábra: Töbörfejl�dés a törésvonalak metszéspontjai körül

b, Egy kialakuló dolina alatt a járatrendszer kitágul, így a vízelvezetés gyorsabbá válik,

és az oldalirányból becsatlakozó vízvezet� repedések is b�vülni kezdenek, ezzel

megindulhat a töbör környezetében az újabb kis dolinák képz�dése. Ezt nevezik "szül�-

leány" töbörterjedésnek (KEMMERLY, P.R., 1986).

c, Mivel a "szül�" töbör a f� szerkezeti csapásirány mentén kezd megnyúlni, ezért a

hosszanti irányban hozzá közel es� apró töbröket "felfalja"21. Legközelebbi "kis"

szomszédai viszont a másodlagos tektonikai irány mentén helyezkednek el.

A fent leírtak tükrében az sem lehet véletlen, hogy a megnyúltság átlagos értékei

(7-1. táblázat) az aggteleki- és a Béke-barlang menti karsztterületeken a legmagasabbak,

ahol a sortöbrök jelent�s arányt képviselnek.

Érdekesnek t�nt a rózsadiagramok megnyúltsággal való súlyozása is, de ez nem

hozott figyelemreméltó változást az ábrázolásban, s így új eredményeket sem

szolgáltatott.

7.2.4. Az Aggteleki-karszt töbreinek térbeli eloszlása

7.2.4.1. Töbörs�r�ség

Az összesítésb�l kit�nik, hogy az Aggteleki-karszton átlagosan km2-ként 9.81

dolina található. Hogy ez sok vagy kevés, arra nehéz viszonyítási alapot találni, hiszen

WHITE, W. (1988) és FORD, D.C. – WILLIAMS, P.W. (1989) összehasonlító táblázatai

alapján 1-80 dolina/km2-es s�r�ségi értékek egyaránt el�fordulnak, mégis azt lehet

mondani, hogy ekkora területen a 10 dolina/km2 körüli érték már aránylag "el�kel�nek"

számít.


7-7. ábra: A töbörs�r�ség és a töbrösödési arány értékei az alapk�zet szerinti bontásban

Megvizsgálva azt a természetesen adódó elképzelést, hogy a töbrök s�r�sége

függ-e az alapk�zet sajátosságaitól (7-7. ábra), arra a következtetésre juthatunk, hogy a

karsztvidék legelterjedtebb k�zete, a Wettersteini Mészk� Formáció kedvez

leginkább a s�r�n kialakuló töbröknek – ezen belül természetesen eltérés mutatkozik

a dolomitos illetve tiszta mészk� fáciesek között –, de a többi k�zet viszonylag

csekélyebb területaránya miatt ez az összefüggés nem tekinthet� statisztikailag

21 Ez nem mond ellent a megnyúltság mérett�l való függetlenségének (7.2.1 alfejezet), hiszen ha

a töbrök már kezdetben, fejl�désük korai szakaszában is a f� törésvonal mentén nyúltak el, akkor a megnyúltság értéke keveset változik ebben a szakaszban.


megalapozottnak. A töbrösödési arányt is tekintetbe véve pedig éppenséggel az derül ki,

hogy a Steinalmi Mészk� teljesen "egyenrangú" a töbrösödés szempontjából.

A töbörs�r�ség értéke ugyanakkor nyilvánvaló összefüggésben van a töbrök

méretével. Egy karsztvidék fejl�dése során általában a dolinák összeolvadása a jellemz�

folyamat, és ebb�l az elképzelésb�l levezethet�, hogy a töbrök átlagos alapterülete a

töbörs�r�ség csökkenésével növekszik. Ezt igazolja is az Aggteleki-karszt töbrös

területeire alkalmazott korrelációszámítás, amely szoros kapcsolatot jelez a vizsgált

területek többségi halmazára (7-8. ábra).

7-8. ábra: Töbörs�r�ség és átlagos alapterület összefüggése az Aggteleki-karszt részterületei

alapján

Mindemellett megfigyelhet� egy "renitens" csoport is, amelyet aránytalanul

nagy alapterület� töbrök jellemeznek. Kialakulásukat az ábra gondolatmenete szerint

nem magyarázhatjuk a töbrök összeolvadásával, hiszen akkor illeszkedniük kellene a

görbe baloldali meghosszabbítására. Emiatt a "rendellenesség" hátterét az eltér�

fejl�désmenetben érdemes keresni, az elkülönül� csoportba ugyanis f�leg a kitakarózott

karsztvidék D-i pereme tartozik, ahol a hajdani víznyel�k lényegesen nagyobb

vízhozamhoz jutottak a fedettkarsztos területek fel�l. Itt kapcsolódnak be JAKUCS L.

(1956, 2000) számításai, melyek szerint a nem karsztos vízgy�jt�terület határozza meg

a barlangi ágak méretét. Ezt a megállapítást kiterjeszthetjük (most már statisztikailag is


igazoltan) a barlangjáratok "kapuira" vagyis a víznyel�kre is és kimondhatjuk, hogy a

kisebb töbörs�r�séghez tartozó aránytalanul nagy alapterület� töbrök kialakulása

nem egy adott terület "önerejéb�l" valósult meg, hanem küls� segítség révén.

A szimulációs kísérletezés ezen a ponton is jól illeszkedik a természetben

megfigyelt eredményekhez, melyet igazol a kétféle adatsort közös koordinátarendszerbe

ötvöz� 7-9. ábra. Így a változások id�iránya és a morfometriai alapon feltételezett

fejl�désmenet újabb bizonyítást nyert. Ezek alapján belátható, hogy a karsztvidék

részterületeinek töbrös fejl�désére a következ� két állítás egyike igaz:

1. A karsztvidék egészére közelít�leg azonos lepusztulási ütemet feltételezve, a

töbörs�r�ség alapján megállapítható az egyes területek egymáshoz viszonyított

karsztosodási kora;

2. A karsztvidék egészére közelít�leg azonos kort feltételezve a töbörs�r�ség

alapján megállapítható az egyes területek egymáshoz viszonyított lepusztulási

üteme.

7-9. ábra: Töbörs�r�ség és átlagos alapterület összefüggése a szimulációs modell és az

Aggteleki-karszt morfometriai adatai alapján


7.2.4.2. Vízszintes eloszlási mintázatok

A töbrök eloszlási mintázatát a 4.3 alfejezetben bemutatott legközelebbi szomszéd

mutató segítségével vizsgálhatjuk. A 7-10. ábra megfigyelhet�, hogy az Aggteleki-

karszt valamennyi vizsgált részterületére számított index érték jóval 1 alatt marad.

7-10. ábra: Az Aggteleki-karszt vizsgált területeinek legközelebbi szomszéd mutatója

Az ezekhez hasonló alacsony értékeket KEMMERLY, P.R. (1986) a Kentucky-

karszton az irányítottságnál említett "szül�-leány töbör-terjedési modellel" értelmezte,

ahol elkülönítve számolt a "szül�" és a "leány" töbörsokasággal. Míg az el�bbiek

inkább szabályos elrendez�dés�nek t�ntek (egyfajta szabályos repedéshálózatra utalva),

addig az utóbbi sokaság jelent�s csoportosulási hajlandóságot mutatott egy-egy "szül�-

töbör" körül.

Az Aggteleki-karszt töbör-mintázatai szabad szemmel nézve nem mutatnak

látványos csoportosulásokat, még kevésbé fedezhet� fel a nagyobb mélyedések

szabályos elrendez�dése, ezért az alacsony index értékek valószín�leg inkább azt jelzik,

hogy a legközelebbi szomszéd mutató érzékeny a sorokba rendez�d� töbrökre is.

(Hiszen a soros elrendez�dés is rövid töbörközi távolságokat eredményez a

véletlenszer�höz képest.) A külföldi irodalomban ismertetett példák többségénél

magasabb index értékek fordulnak el�, mint a jelen vizsgálatokban, ami arra is utalhat,


hogy az Aggteleki-karszt fejl�désében azokhoz viszonyítva fontosabb szerepet játszott a

kihantolódó fedett karsztos völgyhálózat víznyel�ib�l átalakuló soros töbörfejl�dés.

7.2.4.3. Függ�leges eloszlás

A töbrök kialakulását a lejt�szög er�sen behatárolja, jobbára csak a közel sík

térszíneken alakulhatnak ki, a meredek lejt�kr�l hiányoznak. Emiatt magassági

eloszlásukat alapvet�en a karsztfennsíkok térbeli elrendez�dése szabja meg, amely

szépen kirajzolódik a 7-11. ábra.

mag

assá

g (m

)

Nag

yold

alA

lsó-

hegy

Har

agis

tya

Mag

as-t

etõ

Der

enk

Szal

onna

Agg

tele

kSz

öglig

etSz

inpe

tri

Szin

Bék

eT

eres

zten

yeL

áz-t

etõ

Zom

boly

250

350

450

550

650

7-11. ábra: Töbrök magassági eloszlása az Aggteleki-karszt egyes részterületein

8. Összegzés

A szakirodalom áttekintése alapján bemutattam a természetföldrajzi szemlélet

XX. század közepét�l végbement megváltozását az ún. kvantitatív forradalom során,

mely a természetben ható geomorfológiai folyamatok mérésében, a morfometriai

vizsgálatokban és a számítógépes modellek elterjedésében nyilvánult meg.

Megfogalmaztam a matematikai modellezés lehetséges céljait, melyek a következ�k:

gyakorlati feladatok megoldása; elméleti hipotézisek igazolása vagy elvetése; új

jelenségek felismerése; folyamatok megértése, oktatás.


A szakirodalomban fellelhet� egyenletek alapján kidolgoztam két egyszer�

számítógépes modellt: egy lejt�fejl�dési (2D) és egy felszínfejl�dési sejtautomata

modellt (3D). Ezek segítségével bemutattam, hogy már viszonylag egyszer�

alapfeltevésekb�l kiindulva is megmagyarázható és szimulálható néhány összetett

felszínforma illetve geomorfológiai jelenség (lejt�fejl�dés válogató lepusztulással,

vulkáni domborzat lepusztulása, réteglépcs�k kialakulása, antecedens völgyfejl�dés).

A karsztfejl�déssel foglalkozó kvalitatív és matematikai modellek áttekintése

után kidolgoztam egy új, összetettebb sejtautomata modellt a karsztos felszínformák

szimulációjához. A modell térbeli szerkezete arra a széleskörben elfogadott elképzelésre

támaszkodik, amely a karsztfelszín alakulását hármas tagolású (karsztökológiai)

rendszerben írja le: légkör – talaj – törmelékes zóna. A modell az alábbi folyamatok

figyelembevételével készült: csapadékhullás, evapotranszspiráció, beszivárgás a talajba,

beszivárgás az alapk�zetbe (törmelékes zónába), karsztos oldás (kitettséget is

figyelembevéve), lefolyás, erózió és akkumuláció, szivárgás a talajban (függ�legesen és

oldalirányban), lejt�s tömegmozgások és tektonika. A felszínalakító folyamatok

matematikai megfogalmazásában egyrészt a szakirodalomban megjelent egyenleteket

vettem alapul, másrészt a min�ségi jelleg� összefüggéseket egyszer� matematikai

alakba öntöttem, harmadrészt pedig a témavezet�mmel közösen elért kísérleti

eredményekre támaszkodtam. A folyamatok számítása három különböz� id�lépték

szerint zajlik: lefolyási (rövid) id�lépték, szivárgási (közepes) id�lépték és

geomorfológiai (hosszú) id�lépték szerint.

Ezt követ�en a karsztfejl�dési modell futtatási eredményeit elemeztem. A

szimulációs kísérlet alapján kapott eredmények számos tekintetben egyezést mutattak a

természetben megfigyelhet� formákkal, így morfológiai szempontból a modell alkalmas

a karsztos felszínformák vizsgálatára és a modell segítségével számos terepi tapasztalat,

vizsgálat igazolható, értelmezhet�. A töbrös felszínfejl�dési szimuláció alapján az

alábbi konkrét következtetéseket lehetett levonni:

1. Felszínalaktani jelleg� következtetések:

• A töbrök alján felhalmozódó üledékes kitöltésben végbemen� oldalirányú szivárgás

a beszivárgó vízmennyiséget egyenletesebben osztja el, ezzel járul hozzá a dolinák

szélesedéséhez, "tányérosodásához” .

• A lejt�s tömegmozgások a túl meredekké váló töbör-oldallejt�k ellankásításával

segítik a mélyedések tágulását.


• A beszivárgási képesség b�vülésének szomszédos cellákra gyakorolt hatása alapján

a töbrök szélesedésében a felszín alatti járatrendszer összefüggései is szerepet

játszanak.

• A felszínfejl�dés kezdeti szakaszát leszámítva a töbörs�r�ség enyhe, fokozatos

csökkenést mutat, ami a töbrök összenövésére vezethet� vissza.

• Az összenövéssel párhuzamosan – az égtáji kitettségnek köszönhet� aszimmetrikus

lepusztulás miatt – a töbrök "hátravágódnak" észak felé.

• A töbrök hossztengely irányai alapvet�en a kiindulási domborzat jellemz�

irányítottságát tükrözik („ átörökl�dés” ), a kitettség szerinti aszimmetria hatása

ebben nem mutatkozik meg.

2. Felszínfejl�dés dinamikájára vonatkozó következtetések

• Talán az egyik legmeglep�bb következtetés, hogy a küls� feltételek (csapadék,

egyensúlyi koncentráció, stb.) változatlansága ellenére a karsztfejl�dés során

önszabályozó ritmusok (töbör-mélyülési és szélesedési szakaszok) alakulhatnak ki.

Az önszabályozás a domborzat, a talajtakaró és a beszivárgási képesség id�beli

változásával összefügg� pozitív és negatív visszacsatolások révén valósul meg.

• A szimulációs id�sorok segítségével jól nyomon követhet�, hogy a kitakarózás

milyen alapvet�, többszöri áttételen keresztül is érvényesül� változásokat idézhet

el� a felszínfejl�dés folyamatában.

• Az oldásos lepusztulást dönt� mértékben a beszivárgott vízmennyiség határozza

meg, azonban az egész terület átlagos egyensúlyi koncentrációjának hosszútávú

változásai ezt „ cifrázzák” .

A további példák azt igazolták, hogy a modell alkalmas karsztos nagyformák

(fennsíkperem, toronykarsztok) és kisformák (szerkezeti karrok, vályúkarrok) oldásos

fejl�désének leírására is, azonban e tekintetben a modell még további finomításokra

szorul. Az eltér� lefolyási sebesség miatt kialakuló oldódásbeli különbségek miatt egy

karsztos fennsíkperem, tereplépcs�, a mögöttes részekhez képest lassabb lepusztulást

mutat, így id�vel "kipreparálódik" és egyfajta kiemelkedést képezhet. A modell keretein

belül a törésvonalakat a beszivárgási képesség megnövelt értékeivel lehetett szimulálni,

amelyek hatására karrkövezet kialakulása volt megfigyelhet�. A korróziós alapszint

feltételezésével, sok és intenzív csapadék hozzáadásával, a függ�leges irányú szivárgás

hangsúlyosabb szerepével a cockpit karszt - fengcong - fenglin - romkarszt fejl�dési sor

elemei modellezhet�k voltak.


Új eljárást dolgoztunk ki az alakmérések számítógépes elvégzéséhez, melyet

els�ként alkalmaztam a töbrös karsztvidékek vizsgálatára. A hazai kutatásokban eddig

nem szerepelt, f�leg az ún. eloszlási mintázatokhoz kapcsolódó új morfometriai

paramétereket (legközelebbi szomszéd iránya, legközelebbi szomszéd mutató (nearest

neighbour index)) vezettem be.

Az új módszer segítségével elvégeztem az Aggteleki-karszt szinte teljes

töbörállományának morfometriai elemzését. Az adatsorok alapján – faktoranalízist

felhasználva – kimutattam, hogy a morfometriai tényez�k (az irányítottságon kívül)

alapvet�en 3 nagy csoportba oszthatók: az els� a töbrök méretével kapcsolatos

tényez�ket jelenti, a második a töbrök alaprajz szerinti alakját jellemzi, a harmadik

pedig a töbrök függ�leges alakját írja le. Ezt a vizsgálatot korrelációszámítással is

kiegészítve statisztikailag igazolhatóvá vált, hogy:

• A töbrök mélysége sok esetben a töbör egyéb méreteit�l független tényez�k hatására

fejl�dik.

• A megnyúltság nem függ a töbör nagyságától, tehát a töbrök méretbeli növekedése a

töbrök alakját kevéssé határozza meg.

• A töbrök függ�leges fejl�désében a tengerszint feletti magasság fontos befolyásoló

tényez�, nevezetesen az Aggteleki-karszt magasabb karsztfennsíkjain elhelyezked�

töbrök er�teljesebb vertikális oldódást mutatnak.

A töbör-alapterületek egész karsztvidékre összesített eloszlása lognormális

jelleget mutat, míg a töbör-mélység gyakorisági görbéje inkább exponenciális

eloszlással közelíthet�. A töbrök össztérfogata és a vizsgálati egységek területe alapján

megkaphatjuk a töbrökbe összpontosuló lepusztulás teljes felszínre vetített átlagértékét,

melynek alapján elmondható, hogy a töbrösödés a Teresztenyei-fennsík, a Szögliget

melletti terület és az Alsó-hegy térségében okozta a legjelent�sebb átlagos

felszínalacsonyodást.

A töbrök irányítottsági vizsgálata szerint a szerkezeti irányok meghatározóak a

dolinák hossztengelyének megnyúlásában, amelyhez a sortöbrök összenövése (uvalák

képz�dése) is hozzájárul, miközben oldalirányban (a másodrend� repedések mentén)

kisebb töbrök húzódhatnak meg a nagy dolinák szomszédságában.

A töbrösödés szempontjából a terület két f� karsztosodó közete (Wettersteini

Mészk� és Steinalmi Mészk�) között statisztikailag nem tehet� különbség. A

töbörs�r�séget inkább a fejl�désmenet határozza meg. Általános összefüggésként

érvényesül, hogy az Aggteleki-karszt részterületei alapján a töbrök átlagos alapterülete a


töbörs�r�ség csökkenésével növekszik, ami a dolinák összenövésére vezethet� vissza. A

statisztikailag is megmutatkozó összefüggés alapján élesen elkülönülnek azok a

területek, ahol a sortöbrök kialakulását jelent�s nem karsztos vízgy�jt� is segítette.

A legközelebbi szomszéd mutató értékei az Aggteleki-karszt valamennyi

részterületére 1-nél jóval kisebb értékeket szolgáltattak. Mivel a kifejezetten csoportos

elrendez�dés nem figyelhet� meg, ezért az alacsony index-értékek mögött a sortöbrök

magas aránya állhat. A töbrök magassági eloszlását alapvet�en a karsztfennsíkok térbeli

elrendez�dése szabja meg.

Végeredményben kijelenthet�, hogy a jelen tanulmány keretében kidolgozott

töbör-morfometriai módszer és a statisztikai megközelítés számos új információval

gazdagíthatja illetve bizonyíthatja egy karsztvidék felszínformáiról és

felszínfejl�désér�l szóló elképzeléseinket. Ennélfogva a módszer más karsztterületekre

való alkalmazása fontos további kutatási feladatnak tekintend�.

A karsztos felszínfejl�dés számítógépes szimulációval történ� vizsgálatát

korántsem tekintem lezártnak, s�t éppen csak az els� lépésnek tekintem egy hosszú

úton, melyen számos lehetséges továbblépési irány jelölhet� ki:

a, A jelenlegi modellen belüli további vizsgálatok: itt els�sorban a modellben szerepl�

paraméterek pontos hatásvizsgálatát tartom fontosnak. Érdemes lehet megvizsgálni a

paraméterek egy lehetséges értelmezési tartományát és a többi paraméter rögzítése

mellett a létrejöv� eredmények alakulását. Ez – tekintettel a már meglév� paraméterek

nagy számára – igen szerteágazó feladatot jelenthet. Ezek közé sorolható annak

kiderítése, hogy a dolgozatban említett jelenségek, mint például a kialakuló töbrök

méretei, arányai, a lepusztulási ritmusok hossza, a kilengések mértéke milyen

tényez�kt�l, pontosan hogyan függenek.

b, A modell továbbfejlesztése – az alapvet� keretek között maradva: pl. a korábbiakban

említett talajképz�dés egyenletekkel való leírása, illetve más, esetleg fontos szerepet

játszó folyamatok beépítése, vagy a jelenlegi folyamatok esetenként részletesebb

ábrázolása.

c, A modell továbbfejlesztése – az alapvet� keretek fellazításával: itt els�sorban a

térbeli struktúrára gondolok, a rögzített cellaszerkezet helyett rugalmasabb megoldások

is elképzelhet�k (pl. TUCKER, G.E. – SLINGERLAND, R.L., 1997), ahol a cellák mérete,

horizontális elhelyezkedése nem állandó, ez lehet�vé tenné olyan alapvet� jelenségek

megfogalmazását is, mint az oldalirányú, laterális lepusztulás (pl. meanderkarrok


fejl�désében). Ez esetben az elvi, karsztra vonatkozó meggondolások érvényben

maradhatnának, ám a modell szerkezetének átalakítása rendkívül komoly munkával

járna. Ide tartozik az egyenletek megoldásának átfogalmazása is, a sejtautomata típusú

megoldási módszer helyett akár a véges-differencia, végeselem stb. módszerek is

szóbajöhetnek.

A b�vítések célja a karsztos felszínformák még tökéletesebb közelítése a modell

segítségével, melynek ellen�rzése továbbra is els�sorban a morfometria segítségével,

illetve más morfológiai alapon kidolgozott fejl�dési elméletekkel való egybevetésben

lehetséges.

Végezetül befejezésként – némiképp ironikusan – a mottóban is idézett szerz�t�l

szeretnék idézni, aki a biológiai evolúciós modellekr�l szóló könyvét zárta az alábbi

sorokkal:

"Mostanra már tudjuk, hogy a legegyszer�bb modellek némelyike teljesen

megjósolhatatlan módon képes viselkedni. Azok, akik mindig is azt állították, hogy az

életet nem lehet számításokkal megközelíteni, ebben megnyugvást találhatnak."

(Karl Sigmund: Az élet játékai)


9. Irodalomjegyzék

AHNERT, F., 1976: Brief description of a comprehensive three-dimensional process-response model of

landform development. – Z. Geomorph., Suppl. 25, pp.29-49.

AHNERT, F. – WILLIAMS, P. W., 1997: Karst landform development in a three-dimensional theoretical

model. – Z. Geomorph., Suppl.108, pp.63-80.

ALLISON, R. J. – KIMBER, O. G., 1998: Modelling failure mechanisms to explain rock slope change along

the Isle of Purbeck Coast, UK. – Earth Surface Processes and Landforms, 23, pp.731-750.

ANDERSON, M.G. – SAMBLES, K.M., 1988: A review of the bases of geomorphological modelling. – in:

ANDERSON, M.G. (edt.): Modelling Geomorphological Systems. – Wiley, Chichester, pp.1-32.

ARMSTRONG, A., 1976: A three-dimensional simulation of slope forms. – Z. Geomorph., Suppl. 25,

pp.20-28.

BALÁZS D., 1992: Karrformák - karregyüttesek. – Karszt és Barlang II, pp.117-122.

BÁRÁNY KEVEI I., 1992: Ecological regulation of karst development. – in: New perspectives in

Hungarian Geopgraphy. – Akadémiai Kiadó, Budapest, pp.77-80.

BÁRÁNY KEVEI I., 1993: A study of the Karst-Ecological System on the Example of the Bükk Dolines. –

Acta Geogr. Szegediensis, 31, pp.15-20.

BÁRÁNY KEVEI I., 1995: Factors of the environmental system of karst. – Acta Geogr. Szegediensis, 34

(Spec. Issue), pp.155-162.

BÁRÁNY KEVEI I. – MEZ�SI G., 1993: New morphometrical parameters for explanation of karst

development. – Acta Geogr. Szegediensis, 31, pp.27-33.

BÁRÁNY I. – MEZ�SI G., 1995: Ecological charachteristics of doline types in Aggtelek Hills (N-

Hungary). – Acta Geogr. Szegediensis, 34 (Spec Issue), pp. 135-146.

BECK, R.K. – BORGER, H., 1999: Soils and relief of the Aggtelek (NE Hungary): a record of the

ecological impact of palaeoweatheraing effects and human activity. – in: BÁRÁNY KEVEI I. –

GUNN, J. (edt.): Essays in the Ecology and Conservation of Karst, Acta Geographica Szegediensis

(Spec. Issue), Szeged, pp.13-30.

BOLL, J. – THEWESSEN, T.J.M. – MEIJER, E.L. – KROONENBERG, S.B., 1988: A simulation of the

development of river terraces. – Z. Geomorph. N. F., 32/1, pp.31-45.

BÖCKER, T., 1974: Beszivárgás meghatározása karsztvidéken a negyedévi határcsapadék

figyelembevételével. – in: Beszámoló a VITUKI 1974. évi munkájáról, Budapest.

BROOK, G.A., 1981: An approach to modelling karst landscapes. – S. Afr. Geog. J., 63, pp.60-76.

BUHMANN, D. – DREYBRODT, W., 1985a: The kinetics of calcite solution and precipitation in geologically

relevant situations of karst areas. 1: Open system. – Chemical Geology, 48, pp.189-211.

BUHMANN, D. – DREYBRODT, W., 1985b: The kinetics of calcite solution and precipitation in geologically

relevant situations of karst areas. 2: Closed system. – Chemical Geology, 53, pp.109-124.

BURROUGH, P.A. – MCDONNELL, R.A., 1998: Principles of Geographical Information Systems. – Oxford

University Press, Oxford, 306 p.

CLARK, P.J. – EVANS, F.C., 1954: Distance to nearest neighbour as a measure of spatial relationships in

populations. – Ecology, 35, pp.445-453.


COSTA-CABRAL, M.C.–BURGES, S.J., 1994. Digital elevation model networks (DEMON): A model of

flow over hillslopes for computation of contributing and dispersal areas. – Water Resources

Research, 30/9, pp. 1681-1692.

COULTHARD, T.J. – KIRKBY, M.J. – MACKLIN, M.G., 1996: A cellular automaton landscape evolution

model. – In: ABRAHART, R.J.(eds): Proceedings of the First International Conference on

GeoComputation (Volume 1), School of Geography, University of Leeds. pp. 248-281.

COULTHARD, T.J. – KIRKBY, M.J. – MACKLIN, M.G., 1997: Modelling hydraulic, sediment transport and

slope processes, at a catchment scale, using a cellular automaton approach. – In: PASCOE, R.

T.(eds): Proceedings of the second annual conference. GeoComputation 97, University of Otago,

Dunedin, New Zealand. pp. 309-318.

COULTHARD, T.J. – KIRKBY, M.J. – MACKLIN, M.G., 1998: Modelling the roles of magnitude and

frequency in the evolution of an upland catchment. – In: ABRAHART, R.J.(eds): Proceedings of the

Third Annual Conference on GeoComputation, University of Bristol, CD,

http://divcom.otago.ac.nz/ SIRC/ GeoComp/ GeoComp98/ 56/ gc_56.

CSEPREGI A., 1985: A karsztos beszivárgás számítási módszereinek összehasonlítása a vízszintváltozások

elemzése alapján. – Hidr. Közlöny, 65/3, pp.130-133.

CULLING, W.E.H., 1963: Soil creep and the development of hillside slopes. – J. of Geol., 71, pp.127-161.

CVIJI�, J., 1918: Hydrographie souterraine et evolution morphologique du karst. – Rec. Trav. Inst. Geog.

Alpine, 6(4), pp.375-426.

DARABOS, G., 1997: Mikroorganizmus-közösségek karsztkorróziós szerepének laboratóriumi vizsgálata

az Aggteleki-karszt talajain. – Kandidátusi értekezés, ELTE, Budapest, Kézirat.

DAVIS, D.G., 1930: Origin of limestone caverns. – Geol. Soc. Am. Bull., 41, pp.475-628.

DAVIS, J.C., 1986: Statistics and Data Analysis in Geology. (Second Edition) – John Wiley and Sons,

New York, 640. p.

DAY, M.J., 1983: Doline morphology and development in Barbados. – Annales of the Association of

American Geographers, 73/2, pp.206-219.

DE BOER, D.H., 1999: Self-organization in fluvial landscapes: sediment dynamics as an emergent

property. – In: ABRAHART, R.J.(eds): Proceedings of the Fourth Annual Conference on

GeoComputation, Mary Washington College, Virginia, USA, CD, http:// www.geovista.psu.edu/

geocomp/ geocomp99/ Gc99/074/ gc_074.htm

DRAKE, J. – FORD, D.C., 1972: The analysis of growth patterns of two generation populations: the

example of karst sinkholes. – Canad. Geog., 16, pp.381-384.

DRAKE, J. – WIGLEY, T.M.L., 1975: The effect of climate on the chemistry of carbonate groundwaters. –

Water Resources Research, 11, pp.958-962.

DREYBRODT, W., 1981: Kinetics of the dissolution of calcite and its application to karstification. –

Chemical Geology, 31, pp.245-269.

DREYBRODT, W., 1989: Karst Development in Its Initial State: a Model of Speleogenesis. – Proc. of the

10th Int. Cong. of Speleology, 13-20. August, 1989, Hungary, Budapest, pp.174-176.

DROGUE, C. – BIDAUX, P., 1992: Structural and hydrogeological origin of tower karst in southern China

(Lijiang plain in the Guilin region). – Z. Geomorph., 36/1, pp.25-36.


DUBLJANSZKIJ, J.V., 1987: Tyeoretyicseszkoje modelirovanyije gyinamiki formirovanyija

gidrotermokarsztovüh polosztyej. – Metodü Izucsenyija Geologicseszkih Javlenij, Novoszibirszk,

pp.97-111.

DUTKÓ, A., 2000: A Bükk dolináinak statisztikai elemzése. – Szakdolgozat, ELTE TTK, Budapest,

Kézirat.

FAIRFIELD, J. – LEYMARIE, P., 1991: Drainage networks from grid digital elevation models. – Water

Resources Research, 27/5, pp. 709-717.

FARSANG, A. – TÓTH, T., 1993: Morphometric investigation of dolines in Bükk mountains. – Acta

Geographica Szegediensis, 31, pp. 53-60.

FAVIS-MORTLOCK, D. – BOARDMAN, J. – PARSONS, T. – LASCELLES, B., 1998: Emergence and erosion: a

model for rill initiation and development. – In: ABRAHART, R.J.(eds): Proceedings of the Third

Annual Conference on GeoComputation, University of Bristol, CD, http://divcom.otago.ac.nz/

SIRC/ GeoComp/ GeoComp98/ 86/ gc_86.

FETTER, C. W., 1988: Applied Hydrogeology (2nd edition). – Macmillan, New York, 592 p.

FOKASZ NIKOSZ, 1999: Káosz és fraktálok. – Új Mandátum Könyvkiadó, Budapest, 310 p.

FORD, D.C. – WILLIAMS, P.W., 1989: Karst Geomorphology and Hydrology. – London, Unwin Hyman,

560.p.

FREEMAN, T.G., 1991: Calculating catchment area with divergent flow based on a regular grid.–

Computers and Geosciences, 17/3, pp. 413-422.

GOLDIE, H.S., 1995: Major protected sites of limestone pavement in Great Britain. – Acta Geographica

Szegediensis, Vol. 34 (Spec. Issue), pp.61-92.

GOSSMANN, H., 1976: Slope modelling with changing boundary conditions – effects of climate and

lithology. – Z. Geomorph., Suppl.25, pp.72-88.

GOURNELLOS, T., A821997: A theoretical Markov chain model of the long term landform evolution. – Z.

Geomorph. N. F., 41/4, pp.519-529.

GRIFFITHS, J. A. – COLLISON, A. J., 1998: The validity of using a simplified distributed hydrological

model for estimation of landslide probability under a climate change scenario. – In: ABRAHART,

R.J.(eds): Proceedings of the Third Annual Conference on GeoComputation, University of Bristol,

CD, http:// divcom.otago.ac.nz/ SIRC/ GeoComp/ GeoComp98/

GRUBER P. – KOVÁCS GY. – SOMLAI SZ., 1998: Vertikális karsztformák vizsgálata az ausztriai Totes-

Gebirgében. – in: Karsztfejl�dés II., Szombathely, pp.201-210.

GRUND, A., 1914: Der geographische Zyklus im Karst. – Ges. Erdkunde, 52, pp.621-640.

GUNN, J., 1981: Hydrological processes in karst depressions. – Z. Geomorph., 25/3, pp.313-331.

GUNN, J., 1986: Solute Processes and karst landforms. – in. TRUDGILL, S.T. (edt.): Solute Processes,

Wiley, Chichester, pp.363-437.

GUNN, J. – KEVEINÉ BÁRÁNY, I., 1998: Nagy-Britannia karsztvidékei. – Földr. Közl., 122(46)/1-2, pp.43-

58.

HAGGETT, P., 1994: Prediction and predictability in geographical systems. – Trans. Inst. Br. Geogr., 19,

pp.6-20.


HEVESI A., 2001: A Nyugati-Mecsek felszíni karsztosodásának kérdései. – Karsztfejl�dés VI.,

Szombathely, pp.103-112.

HEVESI, A., 1984: Karsztformák kormeghatározásáról és mészk�hegységeink újharmadid�szak végi-

jégkori arculatának megrajzolásában játszott szerepükr�l a Bükk hegység példáján. – Földr. Ért.,

33/1-2, pp.25-36.

HEVESI, A., 1986: Hidegvizek létrehozta kasztok osztályozása. – Földr. Ért., 35/3-4, pp.231-254.

HEVESI, A., 1991: Magyarország karsztvidékeinek kialakulása és formakincse I. és II. rész. – Földr. Közl.

140(39)/1-2., pp.25-35. ; 140(39)/3-4., pp. 99-120.

HORTON, R.E., 1940: An approach toward a physical interpretation of infiltration capacity. – Soil Science.

Soc. Am. Proc.. 4. pp.399-417.

HORTON, R.E., 1945a: Infiltration and runoff during snow-melting season, with forestcover. – Trans. Am.

Geo. Un.

HORTON, R.E., 1945b: Erosional development of streams and their drainage basins; hydrophysical

approach to quantitative morphology. – Geol. Soc. Am. Bull., 56, pp.275-370.

HOWARD, A.D., 1992: Modeling Channel Migration and Floodplain Sedimantation in Meandering

Streams. – in: P. A. CARLING – G. E. PETTS (edt.): Lowland Floodplain Rivers: Geomorphological

Perspectives. – John Wiley & Sons, Chichester.

HOWARD, A.D., 1994: A detachment-limited model of drainage basin evolution. – Water Resources

Research, 30, pp.2261-85.

HOWES, S. – Anderson, M.G., 1988: Computer simulation in geomorphology. – in: ANDERSON, M.G.

(edt.): Modelling Geomorphological Systems. – Wiley, Chichester, pp.421-440.

HOYK E., 2002: A nyugati-mecseki karszt dolináinak morfometriai vizsgálata. – in: Karsztfejl�dés VII.,


IJJASZ-VASQUEZ, E.J. – BRAS, R.L., 1995: Scaling regimes of local slope versus contributing area in

digital elevation models. – Geomorphology, 12, pp.299-311.

JAKUCS, L., 1956: Adatok az Aggteleki hegység és barlangjainak morfogenetikájához. – Földr. Közl., 4/1,

pp. 25-35.

JAKUCS, L., 1971: A karsztok morfogenetikája. – Akadémiai Kiadó, Budapest, 310.p.

JAKUCS L., 2000: A hordalékeróziós barlangfolyosók öblösségének kérdése. – Karsztfejl�dés V.,


JASKÓ, S., 1933: Morfológiai megfigyelések és problémák a Gömör-Tornai karsztvidék délkeleti

részében. – Földr. Közl., 61/9-10, pp.245-251.

JUHÁSZ, J. 1987: Hidrogeológia (2. kiadás). – Akadémiai Kiadó, Budapest, 972 p.

KANGNING, X., 1992: Morphometry and evolution of fenglin karst in the Shuicheng area, western

Guizhou, China. – Z. Geomorph., 36/2, pp.227-248.

KARÁTSON D., 1996: Rates and factors of stratovolcano degradation in a continental climate: a complex

morphometric analysis of nineteen Neogene/Quternary crater remnants in the Carpathians. – J.

Volcanology and Geo.Res., 73, pp.65-78.


KARÁTSON D. – SZTANÓ O. – TELBISZ T., 2002: Preferred clast orientation in volcaniclastic mass-flow

deposits: application of a new photo-statistical method. – J. of Sedimentary Research, 72 / 6, pp.

823-835

KARÁTSON D. – THOURET, J. C. – MORIYA, I. – LOMOSCHITZ, A. , 1999a: Erosion calderas: origins,

processes, structural and climatic control. – Bull. Volcanology, 61, pp.174-193.

KARÁTSON D. – TELBISZ, T. – SZTANÓ, O., 1999b: Change in particle orientation and shape in volcanic

breccias as a function of transport distance: a photo-statistical method. – IUGG 22nd General

Assembly, Birmingham, Abstract Vol. B., p. 168.

KARÁTSON D. – TELBISZ, T., 1999c: A photo-statistical method of coarse-grained deposits. – The ninth

Croato-Hungarian geographical colloquium, Starigrad, Abstract of Papers, p.20.

KEMMERLY, P. R., 1982: Spatial analysis of a karst depression population: clues to genesis. – Geol. Soc.

of America Bulletin, 93, pp. 1078-1086.

KEMMERLY, P. R., 1986: Exploring a contagion model for karst-terrane evolution. – Geol. Soc. of

America Bulletin, 97, pp. 619-625.

KENESSEY B., 1930: Lefolyási tényez�k és retenciók. – Vízügyi Közl. 1930/1.

KERTÉSZ Á., 1972: Matematikai-statisztikai módszerek alkalmazási lehet�ségei a geomorfológiában a

Tetves-árok és a Péli-völgy példáján. – Földrajzi Értesít�, 21, pp.487-502.

KERTÉSZ Á., 1974: A morfometria és morfometrikus térképezés célja és módszerei. – Földrajzi Értesít�,

23, pp.433-442.

KERTÉSZ Á., 1977: Új irányzatok az angol geomofológiában (Helyzetkép). – Földrajzi Értesít�, 26/1,

pp.145-150.

KERTÉSZ Á., 1979: A lejt�profil-analízis módszereinek alkalmazása a lejt�formálódás vizsgálatára

Nagybörzsöny környékén. – Földrajzi Értesít�, 28/1-2, pp.99-105.

KESSLER, H., 1954: A beszivárgási százalék és a tartósan kitermelhet� vízmennyiség megállapítása

karsztvidéken. – Vízügyi Közl. 1954/2.

KEVEINÉ BÁRÁNY, I., 1985: A karsztdolinák talajainak és növényzetének sajátosságai. – Földr. Ért., 34/1,

pp.195-207.

KEVEINÉ BÁRÁNY, I. – MEZ�SI, G., 1978: Adatok a karsztos dolinák talajökológiai viszonyaihoz. –

Földr. Ért., 27/1, pp.65-73.

KEVEINÉ BÁRÁNY I. – ZBORAY Z., 2001: Karszttájak változásainak vizsgálata térinformatikai

módszerekkel. – Karsztfejl�dés VI., Szombathely, pp.45-59.

KIRKBY, M. J., 1966: Measurement and theory of soil creep. – J. Geology, 75/4, pp. 359-378.

KIRKBY, M.J., 1971: Hillslope process-response models based on the continuity equation. – Inst. Br.

Geogr. Spec. Pub., 3, pp.15-30.

KIRKBY, M.J., 1976: Deterministic continuous slope models. – Z. Geomorph. N. F., Suppl. Bd. 25, pp.1-

19.

KIRKBY, M.J., 1986: Mathematical models for solutional development of landforms. – in: S. T. TRUDGILL

(edt.): Solute Processes. – Wiley, Chichester.

KIRKBY, M.J. – NADEN, P.S. – BURT, T.P. – BUTCHER, D.P., 1992: Computer Simulation in Physical

Geography (2nd edition). – John Wiley & Sons, Chichester.


KNAUER, J., 1996: Relation between morphology and rock-outcropping on some plateaus near Jósvaf�

(NE-Hungary). – Proceedings of the "Research, Conservation, Management" Conference,

Aggtelek, 1-5 May 1996, Vol 2, pp.209-219.

KONTUR, I. – KORIS, K. – WINTER, J., 1993: Hidrológiai számítások. – Akadémiai Kiadó, Budapest, 567

p.

KORBÉLY L., 1915: Az árvizekr�l. – Vízügyi Közl. 1915/1.

KÓSA, A., 1992: Nyolcvan év az Alsó-hegyen (Még egy szó a zsombolyokról). – Karszt és Barlang,

1992/1-2, pp. 9-14.

KOVÁCS, Gy., 1978: A talajnedvesség zónájának hidrológiai vizsgálata. – VGMT. 98. Vízdok., Budapest.

LAKSHMI, V. – WOOD, E.F., 1998: Diurnal cycles of evaporation using a two-layer hydrological model. –

J. of Hydrology, 204, pp.37-51.

LÁNG, S., 1955: Geomorfológiai tanulmányok az Aggteleki karsztvidéken. – Földr. Ért., 4/1, pp.1-17.

LEÉL-ÖSSY, S., 1953: Geomorfológiai és hidrológiai vizsgálatok a Szalonnai-karszton. – Földr. Ért., 2,

pp.323-335.

LEHMANN, H., 1936: Morphologische studien auf Java – Geog. Abhandl. III, Stuttgart, 114 p.

LEHMANN, H., 1954: Das Karstphaenomen in den verschiedenen Klimazonen. – Erdkunde, 8, pp.112-39.

LEOPOLD, L.B. – LANGBEIN, W.B., 1962: The concept of entropy in landscape evolution. – USGS Prof.

Papers, 500-A.

LESS, GY., 1998: Földtani felépítés. – in: BAROSS, G. (szerk.): Az Aggteleki Nemzeti Park., Mez�gazda

Kiadó, Budapest, pp. 26-66.

LESS, GY. – GRILL, J. – GYURICZA, GY. – RÓTH, L. – SZENTPÉTERY, I. , 1988: Az Aggtelek-Rudabányai-

hegység fedetlen földtani térképe. M=1:25.000. – MÁFI kiadványa.

MAUCHA L., 1990: A karsztos beszivárgás számítása. – Hidr. Közlöny, 70/3, pp.153-161.

MEZ�SI G., 1984: A Sajó-Bódva köz felszínfejl�dése. – Földr. Értesít�, 33/3, pp.181-205.

MEZ�SI G., 1993: Geomorfológiai térképezés. – in: BORSY Z. (szerk.): Általános Természetföldrajz. –

Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, pp.665-675.

MILLS, H.H. – STARNES, D.D., 1983: Sinkhole morphometry in a fluviokarst region: eastern Highland

Rim, Tennessee, U.S.A. – Z. Geomorph., 27/1, pp.39-54.

MING, T., 1992: Mathematical modelling of catchment morphology in the karst of Guizhou, China. – Z.

Geomorph, 36/1, pp.37-51.

MÓGA J., 1998: Felszínalaktani megfigyelések a Gömör-Tornai-karszton. – PhD-értekezés, ELTE TTK,

Budapest, Kézirat.

MURRAY, A. B. – PAOLA, C., 1994: A cellular model of braided rivers. – Nature, 371, pp.54-57.

MUTO, T., 1995: The Kolmogorov model of bed-thickness distribution: an assessment based on numerical

simulation and field-data analysis. – Terra Nova, 7, pp.417-423.

MÜLLER, P. – SÁRVÁRY, I., 1973: Pure Korrosive Model of the Development of Vertical Karst-Shafts. –

IGU European Reg. Conf. Symposium on Karst Morphogenesis. Papers. JATE, Szeged, pp.233-

243.

O'CALLAGHAN, J.F. – MARK, D.M., 1984: The extraction of drainage networks from digital elevation

data. – Computer vision, Graphics and Image Processing, 28, pp.323-344.


OWENS, I. F., 1969: Causes and rates of soil creep in the Chilton Valley, Cass, New Zealand. – Arctic and

Alpine Res., 1/3, pp.213-220.

PALMER, A. N., 1991: Origin and morphology of limestone caves. – Geological Society of America

Bulletin, 103, pp.1-21.

PARSONS, A.J., 1988: Hillslope form. – Routledge, London and New York, 212 p.

PÉNTEK, K. – VERESS, M. – SZUNYOGH, G., 2000: Karsztos formák matematikai leírása függvényekkel. –

Hidr. Közlöny, 80/4, pp.197-205.

PFEFFER, K.-H., 1995: Karstresearch – a traditional science involving recent applied tasks. – Acta

Geographica Szegediensis, 34 (Spec. Issue), pp. 7-24.

PLUMMER, L.N. – WIGLEY, T.M.L., 1976: The dissolution of calcite in CO2-saturated solutions at 25°C

and 1 atmosphere total pressure. – Geochimica et Cosmochimica Acta, 40, pp.191-202.

PLUMMER, L.N. – WIGLEY, T.M.L. – PARKHURST, D.L., 1978: The kinetics of calcite dissolution in CO2-

water systems at 5°C to 60°C and 0.0 to 1.0 atm CO2. – American Journal of Science, 278, pp.179-

216.

PROSSER, I.P.–RUSTOMJI, P., 2000: Sediment transport capacity relations for overland flow. – Progress in

Physical Geography 24/2, pp.179-193.

QUINN, P., BEVEN, K., CHEVALLIER, P., PLANCHON, O., 1991: The prediction of hillslope flow paths for

distributed hydrological modelling using digital terrain models. – Hydrological Processes, 5,

pp.59-79.

SÁSDI, L., 1990: Az Aggtelek-Rudabányai-hegység karsztjának földtani fejl�déstörténete. – Karszt és

Barlang, 1990/1, pp.3-8.

SÁSDI, L., 1998: Vízföldtan és vízrajz. – in: BAROSS, G. (szerk.): Az Aggteleki Nemzeti Park.,

Mez�gazda Kiadó, Budapest, pp. 118-159.

SAURO, U., 1995: Highlights on doline evolution. – Acta Geogr. Szegediensis, 34 (Spec. Issue), pp.107-

122.

SAVIGEAR, R.A.G., 1952: Some observations on slope development in South Wales. – Inst. Br. Geogr.

Trans., 18, p.31-51.

SCHEIDEGGER, A.E., 1961: Mathematical models of slope development. – Geol. Soc. Am. Bull., 72, pp.37-

50.

SCHEIDEGGER, A.E., 1964: Lithologic variations in slope development theory. – U.S.G.S. Circular, 485.

SCHEIDEGGER, A.E., 1990: Theoretical Geomorphology (3rd, Completely Revised Edition). – Springer-

Verlag, Berlin.

SIGMUND, K., 1995: Az élet játékai. – Akadémiai Kiadó, Budapest, 295 p.

SINGH, V.P. – KRSTANOVIC, P.F. – LANE, L.J., 1988: Stochastic models of sediment yield. – in:

ANDERSON, M.G. (edt.): Modelling Geomorphological Systems. – Wiley, Chichester, pp.259-286.

SMITH, D.I. – DREW, D.P. – ATKINSON, T.C., 1972: Hypotheses of karst landform development in

Jamaica. – Trans. Cave. Res. Gp. GB 14, pp.159-173.

STELCZER K., 2000: A vízkészlet-gazdálkodás hidrológiai alapjai. – ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 411

p.

SWEETING, M., 1972: Karst Landforms. – Macmillan, London


SWEETING, M., 1979: Problems in Karst Environments. – Z. Geomorph., Suppl. 32.

SZABÓ L., 1998: Karsztos mélyedések morfometriai vizsgálata a Totes-Gebirgében. – in: Karsztfejl�dés

II., Szombathely, pp.169-190.

SZABÓ L., 2001: Karrlejt�k összehasonlító morfometriai vizsgálata a Dachstein-fennsíkon. – in:

Karsztfejl�dés VI., Szombathely, pp.171-184.

SZABÓ P. Z., 1957: A karszt mint klimatikus morfológiai probléma. – Dunántúli Tud. Gy�jt.

SZÉKELY A., 1993: Geomorfológiai szintézis. – in: BORSY Z. (edt): Általános természetföldrajz. –

Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, pp.616-641.

SZUNYOGH G., 1994a: A horizontális karsztos lepusztulás folyamatának matematikai modellezése. –

BDTF Tud. Közl., Szombathely, 9, pp.173-197.

SZUNYOGH G., 1994b: Szabad, talajjal nem borított mészk�felszín karsztosodásának általános

egyenletrendszere. – in: Karsztfejl�dés I. (Totes Gebirge karrjai), Pauz Kiadó, Szombathely,

pp.145-164.

SZUNYOGH G., 1995a: A matematikai modellezés helye és szerepe a karsztosodással járó folyamatok

leírásában. – Karszt és Barlangkutatás, 10, pp.251-269.

SZUNYOGH G., 1995b: Karrvályúk vízszállító-képességének elméleti meghatározása. – IV.Karsztológiai

Szeminárium, Szombathely

SZUNYOGH G., 1998: Sziklakarrok karsztosodásának matematikai modellezése. – in: Karsztfejl�dés II.

(Totes Gebirge karrjai), Szombathely, pp.7-34.

SZUNYOGH G., 1999: Fejezetek a dinamikus földrajz tárgyköréb�l. – OSKAR Kiadó, Szombathely, 202 p.

TELBISZ T., 1998: A mészk�oldódás évszakos sajátosságai aggteleki vízminták elemzése alapján. – in:

Geográfus Doktoranduszok III. országos konferenciája, Debrecen, 1998.szeptember. 3-4., pp.39-

44.

TELBISZ T., 1999a: Számítógépes szimuláció a felszínalaktanban. – Földr. Közl., 123 (47) / 3-4, pp.151-

162.

TELBISZ T., 1999b: Karsztos felszínfejl�dés számítógépes szimulációja. – in: Geográfus Doktoranduszok

IV. Országos Konferenciája, Szegedi Tudományegyetem, Természeti Földrajzi Tanszék, CD,

http://phd.ini.hu.

TELBISZ T., 1999c: The qualitative and quantitative effect of precipitation on karst corrosion. – in:

ZÁMBÓ, L.–TELBISZ, T. (edt): Investigations of karst corrosion – ELTE TTK, Budapest, pp. 11-13.

TELBISZ T., 2000: Számítógépes töbör-morfometria az Aggteleki-karszt példáján. – in: Geográfus

Doktoranduszok V. országos konferenciája, Miskolc, 2000.október, pp.46-52.

TELBISZ T., 2001a: Felszínfejl�dési modellezés módszerei – in: A földrajz eredményei az új évezred

küszöbén, Magyar Földrajzi Konferencia, Szeged, 2001. okt. 25-27., CD.

TELBISZ T., 2001b: Töbrös felszínfejl�dés számítógépes modellezése. – in: Karsztfejl�dés VI., BDF,


TELBISZ T., 2001c: Új megközelítések a töbör-morfológiában az Aggteleki-karszt példáján. – Földrajzi

Közlemények, 125 (49) / 1-2, pp. 95-108.

TELBISZ T., 2001d: Computer simulation of karst landforms – 10th Hungarian-Croatian Geographical

Colloquium, Szentbékkálla, September 27-29th, 2001., p. 14.


TELBISZ T., 2002: New perspectives in doline-morphometry – Aggtelek Karst as an example. – "Soil

Effect on Karst Processes", Workshop, 12-16 September 2002, Budapest-Aggtelek, pp.27-33.

TELBISZ T. – VIGASSY, T. – ZÁMBÓ, L., 1999: Variances of karst corrosion on the basis of differences in

the solution of Ca- and Mg-carbonates. – in: BÁRÁNY KEVEI, I. – GUNN, J. (edt) : Essays in the

Ecology and Conservation of Karst. – Acta Geographica 36 (Spec. Issue), Szeged, pp.193-200.

THORNTHWAITE, C.W., 1948: An Approach toward a Rational Classification of Climate. – Geogr.

Review, 38, pp.89-94.

TRUDGILL, S., 1988: Hillslope solute modelling. – in: M. G. ANDERSON (edt): Modelling

Geomorphological Systems. – John Wiley & Sons, Chichester.

TUCKER, G.E. – BRAS, R.L., 1998: Hillslope processes, drainage density and landscape morphology. –

Water Resources Research, 34, pp.2751-2764.

TUCKER, G.E. – SLINGERLAND, R.L., 1997: Drainage basin response to climate change. – Water

Resources Research, 33/8, pp.2031-2047.

VAN DAM, J.C. – FEDDES, R.A., 2000: Numerical simulation of infiltration, evaporation and shallow

groundwater levels with the Richards equation. – J. Hydrology, 233, pp.72-85.

VELDKAMP, A., 1994: Evaluating Quaternary erosional dynamics at uplifting coastal areas by modelling

marine terrace formation. – Z. Geomorph. N. F., 38/2, pp.223-237.

VERESS M., 1995: Karros folyamatok és formák rendszerezésének szempontjai a Totes-Gebirgei példák

alapján. – in: Karsztfejl�dés I., Szombathely, pp.7-31.

VERESS, M., 2000: A középhegységi karsztok néhány típusa. – Földr. Közl., 124 (48)/1-4, pp.1-28.

VERESS, M. – PÉNTEK, K., 1990: Kísérlet a karsztos felszínek denudációjának kvantitatív leírására. –

Karszt és Barlang, 1, pp.19-28.

VERESS, M. – PÉNTEK, K., 1995: Kísérlet a felszíni vertikális karsztosodás kvantitatív leírására. –

Földrajzi Értesít�, 44/3-4., pp.157-177.

VERESS M. – TÓTH G., 2002: Egy dachsteini réteglapos térszínrészlet karros fejl�déstörténete. –in:

Karsztfejl�dés VII., Szombathely, pp.187-204.

VINCENT, P. J., 1987: Spatial dispersion of polygonal karst sinks. – Z. Geomorph. 31/1, pp.65-72.

WERNER, B. T. – HALLET, B., 1993: Numerical simulation of self-organized stone stripes. – Nature, 361,

pp.142-145.

WHITE, W. B., 1988: Geomorphology and Hydrology of Karst Terrains. – Oxford, University Press,

464.p.

WILLGOOSE, G. – BRAS, R. L. – RODRIGUEZ-ITURBE, I., 1991: Results from a new model of river basin

evolution. – Earth Surface Processes and Landforms, 16, pp.237-254.

WILLGOOSE, G. – RILEY, S., 1998: The long-term stability of engineered landforms of the Ranger

Uranium Mine, Northern Territory, Australia: application of a catchment evolution model. – Earth

Surface Processes and Landforms, 23, pp.237-254.

WILLIAMS, P.W., 1971: Illustrating morphometric analysis of karst with examples from New Guinea. – Z.

Geomorph., 15/1, pp.40-61.

WISCHMEIER, W. H. – SMITH, D. D., 1958: Rainfall energy and its relationship to soil loss. –

Transactions of American Geophysical Union, 39, pp.285-291.


YOSHIMURA, K. – INOKURA, Y., 1997: The geochemical cycle of carbon dioxide in a carbonate rock area,

Akiyoshi.dai Plateau, Yamaguchi, Southwestern Japan. – in: YUAN, D. (edt.): Proc. 30th Int. Geol.

Congr., vol.24, pp.114-126.

YOSHIMURA, K. – NAKAO, S. – NOTO, M. – INOKURA, Y. – URATA, K. – CHEN, M. – LIN, P.W., 2001:

Geochemical and stable isotope studies on natural water in the Taroko Gorge karst area, Taiwan –

chemical weathering of carbonate rocks by deep source CO2 and sulfuric acid. – Chemical

Geology 177, pp.415-430.

YOUNG, A., 1963: Soil movement on slopes. – Nature, 200, pp. 129-130.

ZÁMBÓ L., 1970: A vörösagyagok és a felszíni karsztosodás kapcsolata az Aggteleki-Karszt délnyugati

részén. – Földr. Közl., 18/4, pp.281-293.

ZÁMBÓ L., 1986: A talajhatás jelent�sége a karszt korróziós fejl�désében. – Kandidátusi értekezés,

Kézirat, 143 p.

ZÁMBÓ L., 1993: A karsztosodó k�zetek alaktana (karsztgeomorfológia). – in: BORSY Z. (szerk.):

Általános Természetföldrajz, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, pp.544-592.

ZÁMBÓ L., 1998a: Felszínalaktani jellemzés. – in: BAROSS G. (szerk.): Az Aggteleki Nemzeti Park.,

Mez�gazda Kiadó, Budapest, pp. 70-96.

ZÁMBÓ L., 1998b: Az Aggteleki-karszt felszínalaktani jellemzése. – Földr. Ért., 47/3, pp.359-378.

ZÁMBÓ L. – FORD, D. C. – TELBISZ T., 2000: Evaluation of Speleothem Age Data from Baradla Cave

(NE-Hungary) with respect to Late Quaternary Climatic Oscillations. – in: KERTÉSZ Á. –

SCHWEITZER F.(edt.): Physico-Geographical Research in Hungary, Budapest, Geographical

Research Institute, pp.135-142.

ZÁMBÓ L. – FORD, D. – TELBISZ T., 2002a: Baradla-barlangi cseppk�koradatok a kés�-negyedid�szaki

klímaingadozások tükrében. – Földtani Közlöny, 132 / Különszám, pp. 231-238.

ZÁMBÓ L. – FORD, D. – TELBISZ T., 2002b: Speleothem formation during Late Pleistocene in the Baradla

Cave. – "Soil Effect on Karst Processes", Workshop, 12-16 September 2002, Budapest-Aggtelek,

pp.22-26.

ZÁMBÓ L. – HORVÁTH G. – TELBISZ T, 2001: Investigations of microbial origin of karst corrosion of soils

depending on different temperatures – Chinese Science Bulletin, 46 / Supp. December, pp. 28-32.

ZÁMBÓ L. – TELBISZ T., 1999a: The influence of the soil zone on karst corrosion and karren development.

– in: Bárány Kevei, I. – Gunn, J. (edt) : Essays in the Ecology and Conservation of Karst. – Acta

Geographica 36 (Spec. Issue), Szeged, pp. 187-192.

ZÁMBÓ L. – TELBISZ T., 1999b: Karst corrosion dynamics in kluftkarren. – The ninth Croato-Hungarioan

geographical colloquium, Starigrad, Abstract of Papers, p.11.

ZÁMBÓ L. – TELBISZ T., 2000a: A karsztkorróziós talajhatás érvényesülése a karrfejl�désben. – in:

Karsztfejl�dés V., Szombathely, pp.103-114.

ZÁMBÓ L. – TELBISZ T., 2000b: A mikrobiális befolyásoltságú karsztkorrózió vizsgálata magyarországi

karsztok talajaiból származó kismintákon. – in: Karsztfejl�dés V., Szombathely, pp.21-39.

ZENTAI Z., 2000: Karrvályúk fejl�désének sajátosságai néhány héttó-völgyi (Júliai-Alpok, Szlovénia)

mintaterület adatainak felhasználásával. – in: Karsztfejl�dés V., Szombathely, pp.127-137.


ZEVENBERGEN, L.W. – THORNE, C.R., 1987: Quantitative Analysis of Land Surface Topography. – Earth

Surface Processes and Landforms, 12, pp. 12-56.

ZINGG, A. W., 1940: Degree and length of land slope as it affects soil loss in runoff. – Agric.

Engineering, 21, pp.59-64.

ZSENI, A. – KEVEINÉ BÁRÁNY, I., 2000: Nagy-Britannia mészk�járdái és a talaj hatása azok fejl�désében.

– in: Karsztfejl�dés V., Szombathely, pp.181-194.


10. Köszönetnyilvánítás

Az értekezésben testet ölt�, hosszú évekre nyúló kutatómunka során szerencsére

nem magamra hagyatva kellett dolgoznom, hanem igen sok segítséget kaptam másoktól

is. Nekik szeretném megköszönni útmutatásaikat, bíráló véleményüket, az anyagi és

tárgyi lehet�ségek biztosítását. Mindenekel�tt az ELTE Természetföldrajzi Tanszék

valamennyi munkatársának hálásan köszönöm, hogy az eltelt évek során mindig

számíthattam rájuk a kutatások közepette felmerül� technikai és elméleti nehézségek

leküzdésében. Különösen köszönöm dr. Gábris Gyula tanszékvezet�nek a tanszéki

munka lehet�ségét, dr. Karátson Dávidnak a temérdek együttm�ködés során

megtapasztalt igényességét és lendületét, dr. Mari Lászlónak a pontos, tárgyilagos

szemléletét, megjegyzéseit, amelyekkel hozzájárult az értekezés csiszolásához.

Kiemelten hálás vagyok dr. Zámbó Lászlónak, doktori témavezet�mnek, aki a

kezdetekt�l egyengette kutatói pályafutásomat. Fáradhatatlan terepi adatgy�jtése, a

karsztok iránt érzett lelkesedése igen sokat jelentett számomra mind emberi, mind

szakmai szempontból, ez számos közös cikkben, tudományos munkában is

megmutatkozott. Köszönet jár annak a felsorolhatatlanul sok embernek, akik szakmai

konferenciákon tett megjegyzéseikkel, beszélgetésekben, cikkek lektorálásával vagy

más módon segítették az értekezésben megfogalmazott gondolatok formába öntését.

Sok segítséget kaptam az ELTE geográfus és földrajzos egyetemi hallgatóitól is, többek

között Aradi Szilvesztert�l, Józsa Borbálától és Povázsay Zoltántól a morfometriai

mérések elvégzésében. A kutatások során számos pályázat résztvev�jeként (OTKA T-

022977, ..........., FKFP 0175/00, TÉT ......) kaptam anyagi hozzájárulást is az

elvégzend� munkához, melyért szintén köszönet jár.

Mindezeken túl alapvet� és mély köszönettel tartozom a családomnak:

szüleimnek, akik elültették bennem a természet szeretetét, a természettudományos

gondolkodás magvait és feleségemnek, gyermekeimnek, akik végig biztos, örömteli

hátteret jelentettek számomra munkám során.


11. Függelék

11.1. A karsztos modellben szerepl� mennyiségek, jelölések és

mértékegységek

Jelölés Elnevezés Mérték-egység

x,y vízszintes koordináták m dx elemi cella oldalhossza m A elemi cella területe m2 HB alapk�zet (törmelékes zóna) tengerszint feletti magassága

(bedrock) m

HR regolit (talajtakaró) vastagsága m ICB alapk�zet (törmelékes zóna) beszivárgási képessége

(infiltration capacity, bedrock) mm/min

∆tS lefolyási (rövid) id�lépték (small time step) min ∆tM szivárgási (közepes) id�lépték (medium time step) min ∆tL geomorfológiai (hosszú) id�lépték (long time step) a HB,0 alapk�zet kezdeti magassága m HR,0 regolit kezdeti vastagsága m ICB,0 alapk�zet beszivárgási képességének kezdeti értéke mm/min R átlagos csapadékesemény vízmennyisége (rainfall) mm ∆HB,S az alapk�zet tengerszint feletti magasságának változása

egy rövid id�lépés alatt m

∆HR,S a talajvastagság változása egy rövid id�lépés alatt m ∆ΙCB,S a beszivárgási képesség változása egy rövid id�lépés alatt mm/min IR a talajba beszivárgó vízmennyiség (infiltration to regolit) mm ∆HB,M az alapk�zet tengerszint feletti magasságának változása

egy közepes id�lépés alatt m

∆HR,M a talajvastagság változása egy közepes id�lépés alatt m ∆ΙCB,M a beszivárgási képesség változása egy közepes id�lépés

alatt mm/min

P éves csapadékösszeg (precipitation) mm/a N az átlagos csapadékesemények száma egy hosszú id�lépés

alatt –

Ri csapadék intenzitása (rainfall intensity) mm/min tR csapadékhullási id� (rainfall time) min E lehetséges párolgás értéke egy adott id�pillanatban

(evapotranspiration) mm

Ei a potenciális párolgási intenzitás (evapotranspiration, intensity)

mm/min

WR talajban szivárgó vízmennyiség (water in regolit) mm h talajfelszínt�l számított mélység m λ talajban szivárgó víz evapotranszspiráció általi fogyási

ütemét meghatározó konstans 1/m

HIR kritikus talajmélység (impermeable regolit) m kD,v függ�leges szivárgási együttható (Darcy, vertical) mm/min


TL lefolyási modul id�korlátja (time limit) min ICR a talaj beszivárgási képessége (infiltration capacity,

regolit) mm/min

ICR,0 a csapadékhullás kezdetén mérhet� beszivárgási képesség mm/min αΙ a beszivárgási képesség csökkenésének ütemét

meghatározó konstans (infiltration) 1/min

kI beszivárgás-b�vülési együttható (infiltration) 10-3/min DD a beszivárgó víz által feloldható mészk� mennyisége a

felszínt�l számított "nagyobb" mélységben (dissolution, depth)

m

RF járatteltségi mutató (ratio, full) – IB k�zetbe beszivárgó vízmennyiség (infiltration to bedrock) mm kIN szomszéd cellák beszivárgás-b�vülési együtthatója

(infiltration, neighbour) –

C koncentráció (feloldott CaCO3-ra számítva) mg/l A' az oldás során a vízzel érintkez� k�zetfelület m2 V az oldáshoz rendelkezésre álló víz térfogata mm·m2 kc az oldási reakció együtthatója

minlmmmg

⋅⋅

nc az oldási reakció rendje – Ceq egyensúlyi koncentráció (equilibrium concentration) mg/l ∆C víz koncentrációváltozása mg/l kSR a vízzel érintkez� k�zetfelület és a cellaterület aránya

(=A'/A, surface ratio) –

dw adott cellán található víz mélysége (depth, water) mm ∆HB k�zetfelszín alacsonyodása (bedrock) m ∆VB k�zetfelszínr�l leoldódott anyag térfogata (bedrock) m3 ∆mB k�zetfelszínr�l leoldódott anyag tömege (bedrock) kg ρ felszínk�zeli k�zets�r�ség kg/m3 ρL mészk� s�r�sége (limestone) kg/m3 n k�zet fajlagos hézagtérfogata – Vw adott cellán található víz térfogata (volume, water) mm·m2 SC kritikus telítési arány (saturation ratio, critical) –

2COP CO2 parciális nyomása ppm

KC kémiai reakciók egyensúlyi állandóiból adódó együttható – T h�mérséklet

°C

a1, b1 regressziós együtthatók KC h�mérséklet-függésének meghatározásában

–

a2, b2 regressziós együtthatók 2COP h�mérséklet-függésének

meghatározásában

–

Ceq,A kitettség hatását figyelembevev� egyensúlyi koncentráció (equilibrium concentration, aspect)

mg/l

kA kitettségi együttható (aspect) – Al adott cella kitettsége (local aspect) ° α lejt�szög ° ∆(HB+HR) a felszín magasságkülönbsége a kiindulási cella és a

lefolyási cella között m


∆l a kiindulási cella és a célcella távolsága (lefolyás, oldalirányú szivárgás esetén)

m

v lefolyó víz sebessége m/min kv sebesség-együttható m/min tp cellán töltött id� (time, pass) min ∆s lefolyó víz által megtett út m SC a lejt�n lefolyó víz hordalékszállító-képessége (sediment-

transport capacity) mm

kS, mS, nS eróziós paraméterek (sediment) – dz függ�leges felbontás m VR,max egy cella adott rétegének vízfelvev� képessége (volume in

regolit, max)) m3

IR,max egy közepes id�lépték alatt a talajba beszivárogható maximális vízmennyiség (infiltration to regolit, max)

mm

Q az áramlás irányára mer�leges keresztmetszeten átáramló vízhozam

*

kD Darcy-féle szivárgási együttható *

Ac az áramlás irányára mer�leges keresztmetszet (area, cross-section)

*

dldh

hidraulikus gradiens *

dS az átszivárgó vízmennyiség (depth, seepage) mm kD,h a vízszintes szivárgási együttható (Darcy, horizontal) mm/min ∆WR az adott talajréteg vízmennyiségének az átszivárgás

irányába mutatkozó csökkenése mm

∆(HB+HR)t a felszín id�beli magasságváltozása m km lejt�s tömegmozgási együttható mm/a UT(x,y) a tektonikus emelkedés mértéke adott id�egységre

vonatkozóan (uplift, tectonic) mm/a

BD peremcella és a szomszéd cella magasságának különbsége m *Modellben közvetlenül nem szerepl� mennyiség, ezért a mértékegység nincs megadva.


11.2. Ábrák és táblázatok jegyzéke

2-1. ábra: Lejt�fejl�dési modell eredményei ...........................................................................................12 2-2. ábra: Az általános felszínfejl�dési modell folyamatábrája ..............................................................16 2-3. ábra: Kráter kiindulási felszín pusztulásának menete 3D ábrázolásmóddal .....................................19 2-4. ábra: Réteglépcs�k kialakulása.........................................................................................................19 2-5. ábra: Antecedens völgy kialakulása tektonikus emelkedés esetén ...................................................20 4-1. ábra: Számítógép morfometriai alkalmazásának lépései. .................................................................27 5-1. ábra: A karsztfejl�dési modell térbeli szerkezete .............................................................................30 5-2. ábra: A karsztfejl�dési modell folyamatábrája .................................................................................33 5-3. ábra: A modellben számításbavett folyamatok .................................................................................35 5-4. ábra: Talajba beszivárgó vízmennyiség fogyása az evapotranszspiráció miatt ................................38 5-5. ábra: Talaj beszivárgási képességének id�beli csökkenése ..............................................................40 5-6. ábra: Járatkitöltöttségi index hatása a k�zet beszivárgási képességének id�beli alakulására ...........43 5-7. ábra: Kritikus telítettség hatása az oldás sebességére .......................................................................46 5-8. ábra: A talaj alatti egyensúlyi koncentráció függése a h�mérséklett�l .............................................48 5-9. ábra: Kitettség hatása a talaj alatti egyensúlyi koncentrációra .........................................................50 5-10. ábra: A cellán töltött id� a lejt�szög függvényében........................................................................52 5-11. ábra: A talajbeli szivárgás modelljének folyamatábrája .................................................................55 5-12. ábra: A modell (talajtakaró) rétegekre osztása...............................................................................55 6-1. ábra: Töbrös felszínfejl�dés kezdeti és végállapota (400.000 év elteltével).....................................65 6-2. ábra: É-D-i szelvény a kezdeti és a végs� domborzat illetve regolit-vastagság alapján ...................66 6-3. ábra: Töbörfejl�dési szimuláció id�sorai..........................................................................................68 6-4. ábra: Zárt mélyedések s�r�sége az id� függvényében......................................................................72 6-5. ábra: Lepusztulási térképek ..............................................................................................................73 6-6. ábra: Töbrök fejl�dése......................................................................................................................74 6-7. ábra: Töbörs�r�ség és töbör-terület összefüggése a modell alapján.................................................75 6-8. ábra: Töbör- morfometriai jellemz�k gyakorisági eloszlásai a szimuláció különböz� id�pontjaiban: a, alapterület logaritmusa; b, hossztengely irányok; c, legközelebbi szomszéd irányok.........76 6-9. ábra: Az oldásos lepusztulás függése a k�zetbe szivárgott vízmennyiségt�l ...................................78 6-10. ábra: Fennsíkperem oldásos fejl�dése ............................................................................................80 6-11. ábra: Szerkezetileg meghatározott karrok fejl�dése. ......................................................................82 6-12. ábra: Lejt�szög hatása a beszivárgás-mentes sziklafelszínen kifejl�d� karrvályúk lefutására. .....84 6-13. ábra: Kúpkarsztok fejl�dése ...........................................................................................................86 7-1. ábra: Az Aggteleki-karszt töbrös területei ........................................................................................90 7-2. ábra: Néhány morfometriai mutató regressziós kapcsolata ..............................................................93 7-3. ábra: Az Aggteleki-karszt töbör méreteinek gyakorisági eloszlása ..................................................95 7-4. ábra: A töbrökbe összpontosuló lepusztulás teljes felszínre vetített átlagértékei az Aggteleki-karszt

részterületein...........................................................................................................................96 7-5. ábra: Töbör-hossztengely és a legközelebbi szomszéd azimutja alapján készült rózsadiagramok. ..98 7-6. ábra: Töbörfejl�dés a törésvonalak metszéspontjai körül.................................................................99 7-7. ábra: A töbörs�r�ség és a töbrösödési arány értékei az alapk�zet szerinti bontásban ....................100 7-8. ábra: Töbörs�r�ség és átlagos alapterület összefüggése az Aggteleki-karszt részterületei alapján 101 7-9. ábra: Töbörs�r�ség és átlagos alapterület összefüggése a szimulációs modell és az Aggteleki-karszt

morfometriai adatai alapján ..................................................................................................102 7-10. ábra: Az Aggteleki-karszt vizsgált területeinek legközelebbi szomszéd mutatója .......................103 7-11. ábra: Töbrök magassági eloszlása az Aggteleki-karszt egyes részterületein ................................104

4-1. táblázat: Számított töbör-morfometriai mutatók...............................................................................26 6-1. táblázat: A töbrös felszínfejl�déshez beállított paraméterek ............................................................64 6-2. táblázat: Az egyes tényez�khöz tartozó faktorsúlyok (forgatás után) .............................................69 6-3. táblázat: Morfometriai mutatók a szimuláció különböz� id�pontjaiban...........................................76 6-4. táblázat: A fennsíkperem-fejl�dési szimuláció paraméterei .............................................................80 6-5. táblázat: A karrjárdás szimuláció paraméterei..................................................................................82 6-6. táblázat: A karrvályús szimuláció paraméterei .................................................................................83 6-7. táblázat: A kúpkarsztos szimuláció paraméterei...............................................................................85 7-1. táblázat: Az Aggteleki-karszt töbrös területeinek k�zettani adottságai ............................................92 7-2. táblázat: A morfometriai mutatók csoportosítása az aggteleki töbrök adatsorain elvégzett

faktoranalízis alapján.........................................................................................................92


11.3. Összefoglaló A felszínalaktanhoz kapcsolódó számítógépes szimulációk, valamint a

karsztfejl�déssel foglalkozó kvalitatív és matematikai modellek áttekintése után

kidolgoztam egy új, összetettebb sejtautomata modellt a karsztos felszínformák

szimulációjához. A modell futtatásai alapján kapott eredmények számos tekintetben

egyezést mutatnak a természetben megfigyelhet� formákkal, így morfológiai

szempontból a modell alkalmas a karsztos felszínformák vizsgálatára és a modell

segítségével számos terepi tapasztalat, vizsgálat igazolható, értelmezhet�.

A töbrös felszínfejl�dési szimuláció alapján az alábbi következtetéseket lehetett

levonni. A felszínfejl�dés kezdeti szakaszát leszámítva a töbörs�r�ség enyhe, fokozatos

csökkenést mutat, ami a töbrök összenövésére vezethet� vissza. A töbrök tágulásában a

talajban kialakuló oldalirányú vízszivárgás, a felszín alatti járatrendszer összefüggései

és a lejt�s tömegmozgások játszanak szerepet. Az összenövéssel párhuzamosan – az

égtáji kitettségnek köszönhet� aszimmetrikus lepusztulás miatt – a töbrök

"hátravágódnak" észak felé. A töbrök hossztengely irányai alapvet�en a kiindulási

domborzat jellemz� irányait tükrözik („ átörökl�dés” ), a kitettség szerinti aszimmetria

hatása ebben nem mutatkozik meg. A küls� feltételek (csapadék, egyensúlyi

koncentráció, stb.) változatlansága ellenére a karsztfejl�dés során önszabályozó

ritmusok (töbör-mélyülési és szélesedési szakaszok) alakulhatnak ki. Az önszabályozás

a domborzat, a talajtakaró és a beszivárgási képesség id�beli változásával összefügg�

pozitív és negatív visszacsatolások révén valósul meg. Az oldásos lepusztulást dönt�

mértékben a beszivárgott vízmennyiség határozza meg, azonban az egész terület átlagos

egyensúlyi koncentrációjának hosszútávú változásai ezt az általános összefüggést

bizonyos mértékig árnyalhatják.

A további példák azt igazolták, hogy a modell alkalmas karsztos nagyformák

(fennsíkperem, toronykarsztok) és kisformák (szerkezeti karrok, vályúkarrok) oldásos

fejl�désének leírására is, azonban e tekintetben még további finomításokra van szükség.

Új számítógépes alakmérési eljárást alkalmaztam a töbrös karsztvidékek

vizsgálatára. A hazai kutatásokban eddig nem szerepelt, új morfometriai paramétereket

(legközelebbi szomszéd iránya, legközelebbi szomszéd mutató) vezettem be. Az új

módszer segítségével elvégeztem az Aggteleki-karszt szinte teljes töbörállományának

morfometriai elemzését. Ennek során számos feltevést statisztikai módszerekkel is

igazolni tudtam a karsztvidék fejl�déstörténetére vonatkozóan.


11.4. Summary

Computer simulation in geomorphology, qualitative and quantitative models

referring to karst evolution have been reviewed. Based on earlier results, a new cellular

automaton karstic landscape evolution model has been developed. Simulation results

achieved by this model were in good accordance with natural landforms, so it is stated

that from a morphological viewpoint, the model is suitable for examining karst

landform evolution and field experiments can be interpreted within this framework.

The following conclusions have been drawn from the simulation of doline

evolution. After an initial phase of landform development, the doline density can be

characterized by a continuous but slow decrease. This fact is due to the coalescence of

dolines. The widening of dolines can be explained by three factors: lateral seepage in

the regolith mantle, network of subsurface conduit system and mass movements. Due to

the asymmetric denudation caused by differing slope aspect a slow northward shifting

of dolines could be detected. Long axis directions of dolines are mainly determined by

the initial orientation of the relief ("inheritance"), and the effect of exposition is

subordinate from this point of view. Self-organizing rhythms (doline widening and

deepening periods) may arise during karst evolution even in case of stationary exogenic

conditions (precipitation, equilibrium concentration, etc.). This self-regulation is due to

positive and negative feedback effects in connection with relief, regolith depth and

infiltration capacity. In most part, solutional denudation is determined by the amount of

infiltrated water, but this relationship is somewhat modified by the long-term changes in

the average equilibrium concentration of the area.

Further examples have demonstrated that this model is suitable for simulating

both small-scale (grikes, karren) and large-scale (plateau rim, tower karst) corrosion

forms. However, in these cases, the model requires further improvements for a better

agreement in process and form.

A new computer-aided morphometrical image analysis has been used for the

examination of doline karst areas. New morphometrical parameters (nearest neighbour

azimuth and index) have been introduced into Hungarian karst research. The

morphometrical analysis of the almost total doline population of the Aggtelek Karst has

been carried out with the help of this new method. Based on morphometrical

parameters, several ideas about the landform development of the territory have been

proved statistically.

telbisz phd dissertation

Documents