teknolojİ fakÜltesİ · 2019. 3. 21. · 20 10 n 60 4 6 2 x 2 u x mm mm j w t bc c 64.7mpa...

1

Page 1

TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ

MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ

Ders Kitabı : Mekanik Tasarım Temelleri, Prof. Dr. Nihat AKKUŞ

Yardımcı Kaynaklar:

Mechanics of Materials, (6th Ed) F. P. Beer E. R. Johnston, Jr. J. T. DeWolf

Mechanics of Materials (10th Ed.), R. C. HIBBELER

Mukavemet - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

Mukavemet

Doç. Dr. Garip GENÇ

(MAM2004 )

Burulma (Torsion)

Page 2www.garipgenc.com

Endüstriyel uygulamalarda en çok rastlanan yükleme tiplerinden birisi dairesel kesitli

millere gelen burulma momentleridir.

Burulma momenti vektörü sağ el kaidesine göre çubuk ekseni doğrultusundadır.

Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması

2


Bu konuda ilk amacımız burulma momenti sebebiyle mil kesitinde (dairesel kesitte)

oluşan gerilmelerin dağılımını bulmak ve her bir noktadaki değerini hesaplamaktır.

Hasar şekilleriSünek malzeme

Gevrek malzeme


Dönme veya başka ifade ile burulma açısı (f)

uygulanan tork değeri ve uzunlukla doğru orantılı

olarak değişir.

Tüm düzlem dairesel kesitler düzlem kalır ve şekli

değişmez. Kesitlerde herhangi bir çarpılma olmaz.(Dairesel kesitli olmayan elemanlarda çarpılma oluşur)

Kesit üzerine çizilen (markalanan) bir çap çizgisi

burulma sonrası yine düz kalır.

Bu kabullerden yola çıkarak, dairesel kesitli bir çubuk elemanda

elastik yüklemede, burulma açısı küçük olduğunda, şaftın

uzunluğunun ve yarıçapının değişmeden kalacağını varsayabiliriz.

Dolayısı ile burulma sonrası oluşan gerilme dağılımları ve şekil

değiştirmeler hesaplanabilir.

Millerin burulması için yapılan kabuller

Gözlemlere dayanarak, burulmaya maruz bir milde, elastik

sınırlar içerisinde aşağıdaki kabuller yapılabilir:

Dairesel kesitli çubuk elemanlara mil (shaft) denir.

3


dAdFTTiç

Gerilme ve Şekil Değiştirme Hesabı:

Bir mil her iki ucundan elastik sınırlar içinde burulma momentine maruz olsun. Denge halindeki

milin hayali bazda ayırdığımız her bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin etkisi ile dengededir

(ayırma prensibi)

dF : dA diferansiyel elemanına düşen iç kuvvet

𝜌𝑑𝐹: dF kuvvetlerinin merkeze göre momentlerinin toplamı : iç momente eşittir.


Kayma şekil değiştirmesi dönme açısı ve radyüsle orantılıdır

LLuzunluguyayAA

ff '

dALGdA

LGdAT ..... 2

ff

44

21 .

32

1dcJ 4142321

4

1

4

221 ddccJ

LGG

f ..(Hooke Bağıntısı)

T : burulma momenti (tork) (N.mm)

τ : kayma gerilmesi (N/mm2)

f: burulma (dönme) açısı (radyan)J : dairesel kesitin polar atalet momenti (mm4)

G: Malzeme Rijitlik modülü (MPa)

dA.2 : J : kesitin polar atalet momenti

L

JGT

..f

JG

LT

.

.f

JG

LT

L

G

.

..

.

J

T

İçi dolu mil İçi boş mil

A’

A’

4


b

c

r

J

T

Dairesel kesitteki kayma gerilmesi dağılımı:

Bir kesitteki T ve J değeri sabittir.

Değişen sadece merkezden olan uzaklık

( değeridir. Buna göre:

1. Merkezden aynı uzaklıktaki yani aynı

çember üzerindeki noktalardaki (örn:

a, b, c noktalarındaki) gerilmeler

birbirlerine eşittir.

2. Dışa doğru gidildikçe artacağı için,

gerilmeler de (doğrusal olarak) artar.

J

Ta

Kesit merkezinden r kadar uzak bir noktada kayma gerilmesi:

maxJ

Tr


b

c

r J

Ta

3. Maksimum gerilme en dış çemberde ortaya çıkar. Zira dış çemberde max = r dir.

4. Merkezde ise 0 olduğu için gerilme sıfırdır.

5. Kayma gerilmeleri çemberin o noktadaki teğeti doğrultusundadır.

J

T.c maxmax

J

T

Bazen r yerine c kullanılabiliyor.

maxJ

Tr

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑇𝜌𝑚𝑎𝑥𝐽=𝑇. 𝑟

𝐽

5


Kayma gerilmesinin kesitteki dağılımı

Burulma momentinden

kaynaklanan kayma gerilmesi

Düşey bir kesme kuvveti nedeni

ile oluşan kayma gerilmesi

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝐹

𝐴𝜏𝑚𝑎𝑥 =

𝑇. 𝑟

𝐽


Elastik Bölgede Burulma Açısı (f

JG

TLf

Bu açı mil ekseni (x) etrafında mil kesitlerinin birbirlerine göre dönme miktarını verir. Ve

burulmadaki hiperstatik problemler için kullanılır.

• Milin her iki uç kesitte eşit ve zıt T burulma

momenti vardır. Arada başka bir moment

yoktur.

• L boyunca malzeme ve kesit geometrisi

aynıdır.

JG

TLAB /f

G

Burulmada Şekil Değiştirme:

Bu formül;

Not: Bu şartlardan en az birisi sağlanamıyorsa mil

kademelidir, bölgelere ayrılarak çözülür.

6


i ii

ii

GJ

LTf

Kademeli millerde Burulma açısı:

• Herbir bölgede, L boyunca; T (dış yük), J(kesit) ve G (malzeme) sabit olmalıdır. Bunlardan

birisi değişirse bölge değişir.

Kademeli mil örneği


(f) açısının işareti:

İncelediğimiz kesite karşıdan dik olarak baktığımızda kesitteki İç moment (Tiç) yönü:

I – I

kesimleri

Saat ibresi yönünde

Saat ibresi tersi yönünde

• Saat ibresi yönünde ise f açısı pozitif ( + ) alınır.

• Saat ibresi tersi yönünde ise işareti negatif ( - ) alınır.

7


ÖrnekŞekildeki boru için emniyetli kayma gerilmesi değeri 120 MPa olduğuna göre:

a. Emniyet sınırları içerisinde uygulanabilecek burulma momentini

b. Bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini bulunuz.

c: yarıçapJ

T.c max

İçi boş kesitin polar atalet momenti:

max .min

max

max

.min .min

a)

b)


ÖrnekŞekildeki kademeli milin BC kısmının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış

çapı 120 mm’dir. Diğer kısımların içi dolu ve çapları “d ” dir.

Buna göre;

a. AB ve CD kısımları için izin verilebilir (emniyetli) kayma

gerilmesi değeri 65 MPa ise «d» minimum ne olmalıdır?

b. BC kısmındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini

bulunuz.

AB bölgesi BC bölgesi CD bölgesi

8


a)

b)

mm9.38

65Nmm106..3

2

6

.4

2

max

c

MPac

x

c

cT

J

cTemn

ABAB

mm8.772 cd

44444142 mm101392456022

mmmmccJ

MPa2.86

mm101392

60N102044

6

22max

mmmmx

J

cTBC

MPa7.64

MPa2.86

min

max

MPa7.64

101392

4510204

6

12min

x

J

cTBC

* CD kısmı içinde, iç moment değeri aynı

olduğundan aynı sonuç bulunur.


Örnek

Şekildeki çelik kademeli milin kayma modülü

G=77 GPa olduğuna göre A ucunun toplam

dönme (burulma) açısını bulunuz.

Mili 3 bölgeye ayırabiliriz (DC, CB, BA bölgeleri)

• Aslında bizden sorulan A düzleminin D düzlemine

göre dönme (burulma) açısıdır. ( ∅ = ∅𝐴𝐷 =? )• Bu ise D den A ya kadar olan bölgelerin birbirlerine

göre dönmelerinin toplamına eşittir. Yani;

∅𝐴𝐷 = ∅𝐶𝐷 + ∅𝐵𝐶+∅𝐶𝐴

C nin D’ye göre dönme açısı

I

I

II

IIIII

III

9


• Bölgeleri sırayla inceleyip ayırma prensibine göre iç momentleri bulacağız. Unutmayın, ∅formülünde T değeri bölgenin kesiminden elde ettiğimiz iç moment değeridir.

I-I kesimi

L1 =400mm

𝐽1 = 𝐽𝐴𝐵 =𝜋

2𝑐14 =𝜋

2154 = 795000𝑚𝑚4

∅𝐴𝐵 = +𝑇𝑖ç−1. 𝐿1

𝐺. 𝐽1=𝑇𝐴𝐵. 𝐿1𝐺. 𝐽1=250𝑥103𝑁𝑚𝑚.400𝑚𝑚

77000𝑀𝑃𝑎. 795000𝑚𝑚4= 0.01634𝑟𝑎𝑑

1.Bölge: AB kısmı

𝑀𝑥 = 0 → 𝑇𝐵𝐶 − 2000 − 250 = 0 → 𝑇𝐵𝐶 = 2250𝑁𝑚Statik denge şartı :

∅𝐵𝐶 = +𝑇𝑖ç−2. 𝐿2

𝐺. 𝐽2=𝑇𝐵𝐶 . 𝐿2𝐺. 𝐽2

=2250𝑥103𝑁𝑚𝑚. 200𝑚𝑚

77000𝑀𝑃𝑎. 1272000𝑚𝑚4= 0.00450𝑟𝑎𝑑

L2 =200mm ,

𝐽2 = 𝐽𝐵𝐶 =𝜋

2𝑐24 =𝜋

2304 = 1272000𝑚𝑚4

II -II kesimi

2.Bölge: CB kısmı

I-I kesitine dik ve karşıdan bakıldığında Tiç-1 saat ibreleri yönünde olduğundan f

pozitiftir.

Tiç-1


3.Bölge: CD kısmı

L3 =600mm

𝐽3 = 𝐽𝐶𝐷 =𝜋

2(𝑐24−𝑐14) =𝜋

2(304−224) = 904000𝑚𝑚4

∅𝐶𝐷 = +𝑇𝑖ç−1. 𝐿1

𝐺. 𝐽1=𝑇𝐴𝐵. 𝐿1𝐺. 𝐽1=250𝑥103𝑁𝑚𝑚. 600𝑚𝑚

77000𝑀𝑃𝑎. 904000𝑚𝑚4= 0.01939𝑟𝑎𝑑

∅𝐴𝐷 = 𝑇𝑖 . 𝐿𝑖𝐺𝑖 . 𝐽𝑖= ∅𝐶𝐷 + ∅𝐵𝐶+∅𝐶𝐴 = 0.01634 + 0.00450 + 0.01939 = 0.403𝑟𝑑

∅𝐴𝐷 = 0.0403𝑥180

𝜋= 2.31𝑜

10


• Bilinmeyen tepkileri bulmak için statik denklem sayısının yeterli olmadığı

burulma problemlerine denir.

• Önceden bilinen burulma açısından ek denklemler elde edilerek bilinmeyen

tepkiler bulunabilir.

Burulmada hiperstatik mil problemleri:


Şekildeki milin (yarısının içi boş) dış çapı 22 mm ve içi boş kısmın iç çapı ise 12 mm

dir. Mil A ve B noktalarından sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 120 N.m lik bir tork

uygulandığında A ve B noktalarında meydana gelen reaksiyon momentlerini

bulunuz?

mN 120TT BA

Örnek

CBACAB /// ffff

02

2

1

1 GJ

LT

GJ

LT BA

mN18.57 , mN82.62 BA TT

Statik dengeden:

B ve A ankastre olduğu için, bu kısımlarda dönme olmaz. Dolayısıyla

toplam dönme açısı ( B nin A ya göre burulma açısı) sıfırdır.

Mili iki bölgeye ayırırız.

ABAA xTTTTc

cc

91.011

611

2

.

2

).(

4

44

4

2

4

1

4

2

AB TJ

JT

1

2→ 𝐿1= 𝐿2 = 125𝑚𝑚 →

( 1 )

(1) ve (2) den

( 2 )

11


Güç Aktarma (Power Transmission) Şaftlarının Tasarımı

İletilecek güç ve şaftın dönme hızı bir aktarma şaftının tasarımındaki temel faktörlerdir.

Tasarımcı, belirli bir hızda gerekli gücü ileten şaftın malzemesini ve kesit boyutlarını,

maksimum kayma gerilmesini aşmayacak şekilde belirlemek durumundadır.

T torkuna maruz bir rijit cismin dönmesine ilişkin P gücü (ω: açısal hız, rad/s):

f: dönme frekansı, s-1,Hz T: Nm P: Nm/s (watt)

𝜔 = 2𝜋𝑓


Şafta uygulanacak T torku belirlendikten ve kullanılacak malzeme seçildikten sonra,

elastik burulma formülünden J/c parametresi belirlenir:

J

T.c max

𝐽

𝑐=𝑇

𝜏𝑚𝑎𝑥

𝐽 =1

2𝜋𝑐4

𝐽

𝑐=1

2𝜋𝑐3

Karşımıza en sık çıkan Güç-Devir-Tork formülleri şunlardır:

12


3.7 kW’lık bir motorun 3600 dev/dak ile çalışan rotorunun şaftındaki kaymagerilmesinin 60 MPa’lı aşmaması istendiğine göre, şaftın çapı ne olmalıdır?

Örnek

P=3.7 kW=3700 N.m/s

𝑓 = 3600𝐷𝑒𝑣

𝑑𝑎𝑘.1 𝐻𝑧

60 𝐷𝑒 𝑣 𝑑 𝑎𝑘= 60 𝐻𝑧 = 60 𝑠−1

𝑇 =𝑃

2𝜋𝑓=3700 𝑁 𝑚 𝑠

)2𝜋(60 𝑠−1= 9815 𝑁𝑚

𝐽

𝑐=𝑇

𝜏𝑚𝑎𝑥=9815 𝑁𝑚

60 𝑀𝑃𝑎= 163.58 𝑚𝑚3

1

2𝜋𝑐3 = 163.58 𝑚𝑚3

𝑐 = 4.705 𝑚𝑚

𝑑 = 2𝑐 = 9.41 𝑚𝑚


Dairesel Şaftlarda Gerilme Yığılmaları

Pratikte torklar şafta genellikle flanş çiftleri veya

kamalarla sabitlenmiş dişliler vasıtasıyla uygulanır.

Her iki halde de, torkların uygulandığı kesit içinde ve

yakınında gerilme yığılmaları meydana gelir.

Ani kesit değişikliği olan şaftlarda, süreksizlik

bölgesi yakınında gerilme yığılmaları ortaya çıkar. Bu

gerilme yığılmaları fatura ile düşürülebilir.

13


Faturadaki maksimum kayma gerilmesi:

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝑇. 𝑐

𝐽

Tc/J: küçük çaplı şafttaki kayma gerilmesi, K: gerilme yığılması faktörü

Not: Denklem, orantı sınırı aşılmadıkça geçerlidir


Bir Alan için Atalet Momenti (Inertia Moment) Ek:

Bir alanın atalet momenti, bir eksen etrafında hesaplanan geometrik bir özelliktir.

x ekseni için,

y ekseni için,

• Bu integrallerin fiziksel bir anlamı yoktur, fakat bunlar, bir maddenin dinamik bir özelliği

olan bir kütlenin eylemsizlik momentininin formülasyonuna benzedikleri için çok

isimlendirilmiştir.

Ayrıca, bir alanın z ekseni etrafındaki atalet momentini de hesaplayabiliriz. Bu atalet

momenti Polar Atalet momenti olarak adlandırılır.

Çünkü:

teknolojİ fakÜltesİ · 2019. 3. 21. · 20 10 n 60 4 6 2 x 2 u x mm mm j w t bc c 64.7mpa...

Documents