teknolojİ fakÜltesİ

1

Page 1

TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ

MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ

Ders Kitabı : Mekanik Tasarım Temelleri, Prof. Dr. Nihat AKKUŞ

Yardımcı Kaynaklar:

Mechanics of Materials, (6th Ed) F. P. Beer E. R. Johnston, Jr. J. T. DeWolf

Mechanics of Materials (10th Ed.), R. C. HIBBELER

Mukavemet - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

Mukavemet

Doç. Dr. Garip GENÇ

(MAM2004 )

Basit Eğilme (Bending)

Page 2www.garipgenc.com

Eğilme, uygulamalarda çok sık görülen bir yükleme biçimidir.

Yapılarda kullanılan kirişler,

Araçların geçtiği köprüler,

Vinçler, krenler vb.

eğilme yüklemesine maruzdur.

Eğilme Yüklemesine Maruz Yapı Örnekleri:

2


x

y

z

𝑴𝒚

B

Genel kural: Düzleme paralel moment eğilme; düzleme dik moment burulma momentidir.

z ekseni yönünde eğilme y ekseni yönünde eğilme

Not: Moment vektörü düzleme dik yani

düzlem normali yönünde (şekilde x ekseni )

olursa burulma momenti oluşacaktır.

y

z

x

𝑴𝒙

burulma

Eğilme ile Burulma Arasındaki Farkı nasıl anlarız?

Not: Moment indisleri eksen takımının yerleştirilmesine göre değişebilir, ancak genel kural

değişmez.

Eğilme yüklemesinde,

kesitteki moment vektörü (sağ

el kaidesine göre) düzlem

üzerindeki eksenler (y veya z

eksenleri) den birisi

yönündedir.


Eğilme Çeşitleri:

1-) Basit (Simetrik) Eğilme:

Kesitte sadece 1 eğilme

momenti vardır ve kesit en az

bir eksene göre simetriktir.

2-) Kesmeli Eğilme: Kesitte 1

eğilme momenti ve 1 kesme

kuvveti vardır ve kesit en az bir

eksene göre simetriktir.

3-) Simetrik olmayan (Eğik) Eğilme:

Simetrik kesitlerde en az 1 eğilme

momenti, simetrik olmayan kesitlerde en

az 2 eğilme momenti vardır.

x

y

z

𝑴𝒚

𝑴𝒛

3


Eğilme yüklemesinde oluşan gerilme cinsi:

Eğilme momenti sonucu acaba kesitte kayma gerilmesi mi yoksa normal gerilme mi oluşur? Önce buna karar

vereceğiz. Daha sonra kesitteki gerilme dağılımını formüle edeceğiz.

Şekildeki elastik çubuğun lif lif olduğunu düşünelim ve bu çubuğa eğilme uygulayalım:

Eğilme momenti sonucu üstteki liflerin kısaldığını alttaki

liflerin uzadığını görürüz.

Bu durumda üst liflere basma alt liflere çekme kuvvetleri gelir.

O halde liflerde normal gerilmeler oluşur.

Üst lifler kısalacağı için basma gerilmeleri (-sx), alt lifler

uzayacağı için çekme gerilmeleri (sx) oluşacaktır.

En üstteki lif en fazla kısalır en alttaki lif en fazla uzar. Bu

durumda bu liflerde şiddet olarak en büyük gerilmeler oluşur.

Alttan üste doğru gidildikçe liflerdeki uzama azalır. Bir geçiş

noktasında lifte uzama sıfır olur. Bu lifin bulunduğu kesitteki

yatay çizgiye tarafsız eksen denir. Bu liften üstteki liflerde

artık uzama negatif olur yani kısalma başlar.


Basit ve kesmeli eğilme de yapılan kabuller:

Düzlem kesitler eğilmeden sonra da düzlem kalmaya

devam eder.

Tarafsız eksenden en uzak noktalarda en fazla uzama ve

kısalma; dolayısıyla da maksimum çekme ve minimum basma

gerilmeleri oluşacaktır.

Tarafsız eksendeki tüm noktalarda gerilmeler sıfırdır. Her kesitte

tarafsız eksen vardır. Bu durumda tüm tarafsız eksenler kiriş

boyunca bir düzlem teşkil ederler ki buna tarafsız düzlem denir.

Birbirine dik lifler (çizgiler) eğilmeden sonra yine dik

kalır.

4


Basit eğilme de elastik gerilme hesabı:

DE: Tarafsız düzlem üzerindeki liftir. Boyu değişmez. Bu durumda

DE = D’E’

JK : tarafsız düzlemden y kadar uzaklıktaki liftir. Son boyu J’K’ dür.

Tüm liflerin İlk boyları eşittir. JK = DE

JKDEEDyKJ '',''

JK lifi için;

Son boy:

Toplam uzama : yyJKKJ ''

yy

Lx

s

yEE xx ..

Birim elastik uzama :

Elastik bölgede normal gerilme:

Not: Mukavemette aksi söylenmedikçe

şekil değiştirmemiş ilk durumdaki

geometriye göre işlem yapılır. (JK lifi nin

ilk hali yatay bir çizgidir. İşlemler bunun

üzerinden yapılmaktadır. J’K’ yayına göre

değil.)

000 ydAydAE

dAy

EdAF xx

s

Kesitte, normal yönde toplam iç kuvvet (Fx) yoktur. Yani sıfırdır.

0

dA

dAyyAğırlık merkezi tanımından:

Ağırlık merkezinin y koordinatı (𝑦) sıfır çıktı. O halde tarafsız eksen

kesitin ağırlık merkezinden geçer.

Not: Eğilmede eksen takımı mutlaka ağırlık merkezine

yerleştirilmelidir.


ydAM xz .s

Kesitteki y mesafesindeki bir noktada dA elemanına gelen iç kuvvet: dAxs

dA elemanın tarafsız eksene göre momenti: ydAx ).( s

Kesitteki toplam iç moment:

z

zzz

I

MEI

EdAy

EdAyy

EM

).()..( 2

s

yEE xx .. idi.

z

zx

I

yMs

+y tarafındaki noktalarda basma gerilmesi varken,

bunlar pozitif Mz momentine sebep olur. y > 0, sx < 0

ise Mz nin pozitif çıkması için denklemin başına –

koyulmalıdır.

Not: Bazı kaynaklarda eksen takımı farklı alınınca eksi işareti olmayabilir. Eksi işareti olup olmayacağını

kendimiz anlayabiliriz. Mz>0 iken Tarafsız eksenin üstündeki noktalarda (y>0) basma oluşması gerektiğini

görünüz. Bu durumda sx in negatif çıkması için denklemin başında mutlaka – olmalıdır.

Bu formül,

Basit veya kesmeli eğilmede,

elastik yükleme de,

İzotropik malzemeler

için geçerlidir.

5


Basit eğilmede normal gerilme dağılımı

Kesitte herhangi bir noktadaki gerilme formülü:

Not: Mz ve Iz bir kesit için sabittir. Gerilme ise

aynı kesitte noktadan noktaya değişir. Tarafsız

eksenden eşit uzaklıkta olan, yani aynı y

koordinatına sahip noktalarda gerilmeler aynıdır.

Kesit en az bir eksene

göre simetrik olmalı. Kirişin önden görünüşünün bir

kısmı. Gerilme dağılımını

dikkatlice inceleyiniz.

z

zx

I

yMs

Mz: kesitteki z yönünde iç moment.

Iz: kesitin z eksenine göre atalet momenti

y: noktanın y koordinatı (orjin mutlaka ağırlık merkezidir.)


z

Az

DxAxI

yMss

z

Bz

cxBxI

yMss

z

Hz

HxxI

yMss

max

z

Ez

ExxI

yMss

max

Maksimum ve minimum gerilmeler tarafsız

eksenden en uzak noktalarda meydana gelir.

6


Elastik Bölgede Gerilme ve Deformasyonlar

15x103 mm2

200mmh = 150mm

75mmb =100mm

Not: Aynı A değerine sahip iki kirişten daha yüksek h

değerine sahip olanı eğilmeye karşı daha dirençlidir.

Elastik eğilme formülleri

Elastik kesit modülü:

Not: S’nin büyük değerleri için aynı eğilme momenti altında daha düşük gerilme değerleri elde

edilir.

S =I

C=

112bh3

h2

=1

6bh2 =

1

6Ah

S =I

C



Elastik eğilme formülleri

Elastik kesit modülü =

Farklı kiriş kesitleri

7



• M eğilme momentinin neden olduğu deformasyon, tarafsız yüzeyin eğriliği ile ölçülür.

• Eğrilik, ρ eğrilik yarıçapının tersi olarak tanımlanır.


Şekildeki kiriş için akmayı başlatacak

eğilme momentini bulunuz.

MPa250ak s

kNmNmmM

MPa

Mxmmxmm

mmM

z

akma

zz

33000000

250

1033,8

12

)60()20(

)30(

max

5

3max

ss

s

Çözüm:

z

Bz

z

Biç

BI

yM

I

yMssmax

I-I kesitindeki yüklemeye göre alttaki lifler uzar. Maksimum çekme gerilmesi en alt

noktalarda (örneğin B noktasında) ortaya çıkar.

B noktasında çekme gerilmesi olacağını önceden göremeseydik bile, sB nin

pozitif çıkması yine çekme gerilmesi olduğunu gösterir.

smi

n

smax

akmaA sss min

Not: Bununla birlikte sünek malzemelerde basma ve çekmedeki akma mukavemeti birbirine eşit kabul

edilebilir. Denkleminden de aynı sonuç bulunabilir.

Örnek:

8


T kesitli ankastre çubuğun çekme ve basıdaki akma mukavemeti 120MPa dır. Çubuğun serbest

ucuna 3 kNm lik bir moment uygulandığında çubukta akma olup olmayacağının kontrolünü

yapınız.

Çözüm:

Uygulanan moment vektörel olarak yüzeye paralel (-z yönünde) olduğundan ve kesit simetrik

olduğundan basit eğilme oluşur.

Bu durumda maksimum ve minimum normal gerilmeleri hesaplamalıyız ve akma gerilmesi ile

karşılaştırmalıyız.

M= 3 kN.m

y

x

z

Örnek:


M= -3 kN.m

Miç =M =-3kNm

yI

Nmm

I

yM

zz

zx

610.3s

Iz: Ağırlık merkezinden geçen yatay eksen (z) e göre atalet momentini bulmalıyız.

9


2dAIIA

Ayy z

mm 383000

10114 3

i

ii

A

Ayy

3

3

3

32

i

101143000

104220120030402

109050180090201

mm ,mm ,mm A

iii

iii

AyA

Ayy

mm10868

18120040301218002090

43

23

12123

121

23

1212

z

iiiiiiziz

I

dAhbdAII


-Mz momenti olduğu için A noktasında maksimum çekme, B noktasında minimum basma gerilmeleri

meydana gelir.

3

6

min

3

6

max

max

10868

)38(10 3

10868

2210 3

z

BzB

A

Z

Az

I

yM

I

yM

ss

ss

s MPa 0.76As

MPa 3.131Bs

akmaBB MPa sss ,3.131 akma oluşur.

10


Kesit merkezinden geçmeyen çekme veya basma yüklemesine denir. Bu durumda oluşan gerilmeleri

hesaplayalım:

yI

dP

A

Pxxx

.içiç MF

sss

Not: Kesit en az bir eksene göre simetriktir.

Eksantrik eksenel yükleme

Şekildeki gibi eğrisel bir çubuğa P çekme yükü uygulandığında DE kısmındaki I-I kesitinin G ağırlık

merkezinde bir iç çekme kuvveti (Fiç) oluşur.

Bu durumda P ile Fiç in momentlerinin dengelenebilmesi için bir Miç eğilme momenti de oluşacaktır.

Fiç ve Miç in süperpozisyon yöntemine göre ayrı ayrı etkilerini toplar isek, bir noktadaki toplam normal

gerilmeyi elde ederiz.


Şekildeki dökme demir (gevrek) parçanın çekmedeki emniyetli mukavemet değeri (emniyet

gerilmesi) 30 MPa, basmadaki mukavemet değeri ise 120 MPa olduğuna göre; elemana

uygulanabilecek en büyük P kuvvetini bulunuz. (Kesitin ağırlık merkezi G noktasındadır)

Örnek:

11


Emniyetli kuvvet değeri için:

kN 0.77Pİzin verilebilir emniyetli kuvvet:

Süperpozisyon metodu ile gerilmeler;

P559.1

10868

3810P28

103

10P

I

Mc

A

P

P377.010868

2210P28

103

10)kN(P

I

Mc

A

P

3

3

3

3

AB

3

3

3

3

AA

s

s

kN0.77PMPa120P559.1

kN6.79PMPa30P377.0

B

A

s

s

23 mm103A mm38Y 43 mm10868zI

mm281038 d

Bir önceki örnekte aynı kesit kullanılmıştı. Aşağıdaki değerler oradan alınabilir:

Çözüm:


Şekildeki eğik alüminyum çubuk verilmiştir. A noktasına

göre uygulanabilecek emniyetli P yükünü hesaplayınız.

(Akma mukavemeti 140 MPa, çubuk kesiti 24x30mm,

emniyet katsayısı n=2 dir.)

kNNP

MPax

P

x

Py

I

M

A

PemnA

z

zA

109.66109

70)12(

12

2430

)1245.(

3024.3

ss

Örnek:

Çözüm:

12


Çubuk, düşey simetri düzleminde etkiyen, iki eşit ve zıt yönlü

kuvvet çiftine maruzdur.

Çubuğun akmasına neden olan M eğilme momentinin değerini

belirleyiniz.

σY = 250 MPa olduğunu varsayınız.

20 mm

60 mm

Örnek:

Tarafsız eksen, kesitin C merkezinden geçer.

30 mm

20 mm

60 mm

Çözüm:

I =1

12bh3=

1

1220mm 60mm3 = 360x103mm4

M =I

Cσem =

360x10−9m4

0.03m(250MPa)

M = 3kN.m


Yarım çember kesitli alüminyum çubuk ρ = 2.5 m ortalama yarıçaplı bir

çember yayı şeklinde eğilmiştir.

Çubuğun düz yüzü, yayın eğrilik merkezine doğru döndüğüne göre,

çubuktaki maksimum çekme ve basınç gerilmesini belirleyiniz.

E = 70 GPa alınız.

Örnek:

Çözüm:

13


Kavislerin etkisini ihmal ederek,

(a) emniyet katsayısı 3.00 olacak şekilde

M eğilme momentini,

(b) tüpün karşı gelen eğrilik yarıçapını

belirleyiniz.

Tüp malzemesi: alüminyum. σY = 275 MPa, σU = 415 MPa, E = 73 GPa. Örnek:

Eylemsizlik Momenti.

I =1

1280mm 120mm3 −

1

1268mm 108mm3

I = 4,382x106mm4


a. EğilmeMomenti:

EmniyetGerilmesi.

b. EğrilikYarıçapı:

AlternatifÇözüm:

σem =σuEK=415MPa

3.00= 138.33MPa

σem =𝑀𝑐

IM =I

Cσem =

4.382x10−6m4

0.06m138.33MPa

M = 10.1kN.mc =1

2120mm = 60mm

1

ρ=M

EI=

10.1kN.m

73GPa)(4.382x10−6m4= 0.0316m−1

ρ = 31.7m

ϵem =σ𝑒𝑚

E=138MPa

73GPa= 1.8904x10−3mm/mm

ϵem =c

ρρ =c

ϵem=60mm

1.8904x10−3= 31.73m

14


Kesit boyutları uzunluğuna göre çok daha küçük olan yatay elemanlara kiriş denir.

Örneğin bulunduğunuz binaya dikkat ettiğinizde yatay beton elemanlar kiriştir. Düşey

elemanlara ise kolon ismi verilir.

Farklı kiriş kesitleri

Düşey Yüklü Kirişlerin Eğilmesi


Düşey Yüklü Kirişlerin Yükleme Çeşitleri

Kirişler düşey olarak genellikle tekil ve/veya yayılı yüklere maruz kalırlar.

Uygulanan kuvvetler kirişin kesitlerinde iç kesme kuvveti (V)

ve eğilme momenti (M) meydana getirirler.

Eğilme momentinden dolayı ise normal gerilmeler oluşur:x

𝜏 =𝑉. 𝑄

𝐼. 𝑡(Bu konu daha farklı bir

başlık altında incelenir.)

z

zx

I

yMs

Amacımız kirişte ortaya çıkan şiddetçe maksimum

normal gerilmeyi hesaplamaktır.

Burada en önemli nokta eğilme momentinin kesitten

kesite farklılık göstermesidir. En kritik kesit (gerilme

şiddetinin en fazla olduğu kesit), momentin şiddetinin

en fazla olduğu kesittir.

Yayılı yük (N/m)

Tekil yük (N) bir noktaya, yayılı yük belli bir uzunluğa düşer (N/m)

Tekil yük (N)

Kesit üzerinde kesme iç kuvvetinden den dolayı kayma

gerilmeleri meydana gelir. Kayma gerilmelerinin dağılımı:

15


Düşey yüke maruz kirişlerde işlem sırası

1. Mesnet Tepkileri belirlenir,

İç kuvvet ve momentin Pozitif Yönleri:

Sol kısmın dengesi incelenirken M: saat ibresi tersi yönde, V: aşağı doğru

Sağ kısmın dengesi incelerken M: saat ibresi yönde , V: yukarı doğru

2. Kesme Kuvveti – Eğilme Momenti diyagramları çizilir.

3. En kritik kesit belirlenir. (Eğilme momentinin mutlak değerce en büyük olduğu kesit, en

kritik kesittir.)

4. Kritik kesitteki şiddetçe maksimum Gerilme hesaplanır. Bu gerilme aynı zamanda

kirişteki en büyük gerilmedir. Buna göre mukavemet analizleri yapılır. (Emniyet

kontrolü, boyut tayini, malzeme seçimi vb.)


a. Kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti

diyagramlarını çiziniz.

b. Kirişte ortaya çıkacak maksimum normal

gerilmenin yerini ve değerini bulunuz.

kN14kN46:0 DBBy RRMF

kNMkNV

içinx

MkNV

içinx

50,20

5.2

,0,20

0

11

11

1 2 3I

I

II

II

III

III

I-I kesimi (sağ kısım)

Örnek:

Çözüm:

Şekilde verilen kirişi inceleyerek;

1. Bölge için: (0x2.5)

𝐹𝑦 = 0 − 20𝑘𝑁 − 𝑉1 = 0 𝑉1 = −20𝑘𝑁

𝑀𝑘1 = 0 20𝑘𝑁 𝑥 +𝑀1 = 0 𝑀1 = −20𝑥

16


1 2 3I

I

II

II

III

III

II-II kesimi (sağ kısım)

III-III kesimi (sol kısım)

kNmMkNV

içinx

kNmMkNV

içinx

28,26

5.5

,50,26

5.2

21

22

0,0

5.7

,28,26

5.5

33

33

MV

içinx

kNmMkNV

içinx

2. Bölge için: (2.5x5.5)

𝐹𝑦 = 0 − 20𝑘𝑁 + 46𝑘𝑁 − 𝑉2 = 0 𝑉2 = 26𝑘𝑁

𝑀𝑘2 = 0 20𝑥 +𝑀2 − 46 𝑥 − 2.5 = 0 𝑀2 = 26𝑥 − 115

3. Bölge için: (5.5x7.5)

𝐹𝑦 = 0 14𝑘𝑁 + 𝑉3 = 0 𝑉3 = −14𝑘𝑁

𝑀𝑘3 = 0 14 7.5 − 𝑥 −𝑀3 = 0 𝑀3 = 14(7.5 − 𝑥)


mkN50min BMM

2

250.

25080

mN10503

121

6

maxmax

x

yI

Mba

z

B

sss

Pa60max Ms

V ise kayma gerilmesine sebep olur. Ancak kayma

gerilmesi dağılımının incelenmesi ise farklı bir

konudur ve bu bölümde incelenmeyecektir.

Şiddetçe en büyük moment B kesitinde ortaya

çıkmıştır. O halde kritik kesit B kesitidir.

Bu kesitte maksimum gerilme:

17


Yayılı yük, kesme kuvveti ve moment arasındaki ilişki

xwV

xwVVVFy

0:0

wdx

dV

Yayılı yük ile kesme kuvveti arasındaki ilişki:

221

02

:0

xwxVM

xxwxVMMMMC

D

C

x

x

CD dxVMM

Kesme kuvveti ile eğilme momenti arasındaki ilişki:

CD VV

D

C

x

x

CD dxwVV

- (CD arasında yayılı yük eğrisi

altında kalan alan)

Vdx

dM

CD MM (CD arasında kesme kuvveti eğrisi

altında kalan alan)


Şekildeki kirişin;

a. Kesme kuvveti ve eğilme

momenti diyagramlarını çiziniz.

b. Kirişteki maksimum ve

minimum normal gerilmeyi

bulunuz.

Çözüm:

yayılı yükün bileşkesi:

1 metreye 2kN luk yük düşerse, 4

metreye 2x4 =8kN luk yük düşer.

Örnek:

18



19



Ağırlık merkezinin yeri:

𝜎𝑥−𝑚𝑎𝑥 = −𝑀𝑧−𝐸𝐼𝑍𝑦𝑏 = −

5𝑥106

79687500(−75)

𝜎𝑥−𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑥−𝑏 = 4,7𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑥−𝑚𝑖𝑛 = −𝑀𝑧−𝐸𝐼𝑍𝑦𝑎 = −

5𝑥106

79687500(200 − 75)

𝜎𝑥−𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑥−𝑎 = −7,84𝑀𝑃𝑎

teknolojİ fakÜltesİ

Documents