LAPORAN HASlL PENELITIAN FUNDAMENTAL TAHUN 11

TEKNIK RUANG HILBERT UNTUK MASALAH MlNlMlSASl Dl DALAM RUANG DlMENSl DUA

Dr. Abdul Rouf Alghofari, MSc Drs. Mohamad Muslikh, MSi

Dibiayai Oleh Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Departemen Pendidlkan Nasional, melalui DlPA Universitas Brawiiava berdasarkan SK Rektor Nomor : 039lSK12010, - ~ - ~~~

taiggal 17 Pebruari 2010.

UNIVERSITAS BRAWIJAYA NOPEMBER 2010 . - . . . ' , . _ , . , _... , , .

- . . , :.-, , '~ " , " . ,, , . . . ~. , . ~ ..:,

2 . , . . ,, I . .

HAIAMAN PENGESAHAN LAPORAN HASlL PENELlTlAN FUNDAMENTAL

1. Judul Penelitian :Teknik Ruang Hilbert untuk Masalah Minirnisasi di dalarn Ruang Dirnensi Dua

2. Peneliti Utama a. Narna lengkap : Dr. Abdul Rouf Alghofari, MSG b. Jenis Kelarnin : L c. NIP : 196709071992031001 d. PangkatIGolongan : Penata Muda Tk 11 Ill b e. Jabatan fungsional : Lektor f. FakultasIJu~san : MIPAJMatematika g. Perguruan Tinggi : Universitas Brawijaya h. Pusat Penelitian : Lernbaga Penelitian dan Pengabdian kepada

Masyarakat 3. Jurnlah Tim Peneliti : 2 4. Lokasi Penelitian : Laboratoriurn Matematika FMlPA UB 5. Kerjasarna dengan lnstitusi Lain

a. Narna lnstitusi - b. Alarnat -

6. Masa Penelitian : 8 Bulan 7. Biaya yang Diperlukan : Rp. 26.500.000 (Dua Puluh Enam Juta Lima Ratus

Ribu Rupiah)

Malang, 29 Oktober 2010 Ketua Peneliti,

Menyetujui,

r-

., .. 5141980022001

Dr. Abdul Rouf Alghofari NlP.196709071992031001

RINGKASAN DAN SUMMARY

Mencari fungsi interpolasi yang nilainya d i i u i pada batas suatu domain dan di sebanyak

hingga titik internal domain tersebut serta meminimumkan suatu fungsional adalah masalah

yang sering dihadapi oleh para scientist. Masalah ini tidak hanya dijumpai di bidang

matematika, tetapi juga di bidang-bidang biologi, fisika, kimia dan teknik. Matematikawan

biasanya tertarik kepada existensi dan ketunggalan penyelesaian. Jika ha1 ini dapat dijamin,

mengkonstuksi penyelesaian secara a d i t i k dan terutama merancang skema penyelesaian

nurnerik adalah tantangan berikutnya.

Teknik (technique) ruang Hilbert dapat digunakan untuk menjawab problem eksistensi dan

ketunggalan penyelesaian dan syarat-syarat apa yang merupakan syarat perlu dan cukup

dengan mengkonshuksi mang Hilbert dari fimgsi-fungsi licin yang didefvlisikan pada persegi

panjang satuan yang memenuhi syarat batas yang diberikm Keberadaan fungsi interpolan

juga dapat ditunjukkan dengan mengkonstruksi fungsi tersebut di ruang fungsi yang

dibangkitkan menurut kondisi yang ada pada batas dan titik-titik internal daerah d e f ~ s i

fungsi. Kemudian suatu penyelesaian nurnerik dapat diperoleh dengan menggunakan rumus

beda pusat yang diturunkan dari deret (ekspansi) Taylor fungsi u.

PRAKATA

Alhamdulillaah, segala puji hanyalah untuk Allah swt, karena rahmat clan pertolongan

Nya laporan akhir penelitian fundamental ini dapat diselesaikan sesaai dengao jadual yang

telah ditetapkan. Kemudian pada kesempatan ini kami sampaikan banyak terima kasih kepada

DPZM, Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi, dan Departemen Pendidikan Nasional yang telah

memberikan dana untuk penelitian ini. Terima kasih juga kami sampaikan kepada LP2M

Universitas Brawijaya yang telah mencurahkan segenap energi dan jerih payahnya dalam

mengelola penelitian-penelitian di lingkungan Universitas Brawijaya Last but not least

apresiasi yang besar patut kami berikan kepada Dekan Fakultas MIPA, Ketua Jurusan

Matematika FMIPA dan Ketua Laboratoriurn Matematika yang telah memfasilitasi kegiatan

penelitian ini sehingga tidak ada kendala berarti yang kami alami.

Laporan akhir Penelitian Fundamental ini adalah laporan h a d untuk tahun kedua dari usulan

penelitian Fundamental yang kami ajukan untuk periode 2 (dua) tahun, yaitu tahun 2009 dan

tahun 2010.

Untuk kesempurnaan Laporan Penelitian ini, kami mengharapkan saran dan kritik yang

membangun dari para pembaca.

Malang, 29 Oktober 2010

Peneliti

DAFTAR IS1

HALAMAN PENGESAHAN

RINGKASAN DAN SUMMARY

PRAKATA

DAFTAR IS1

DAFTAR LAMPIRAN

BAB I PENDAHULUAN

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB Ill TUJUAN DAN MANFAAT PENELlTlAN

BAB IV METODE PENELlTlAN

BAB V HASlL DAN PEMBAHASAN

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

i i

iii

Iv

V

vi

1

4

8

9

10

24

26

DAFTAR LAMPIRAN

Makalah yang dipresentasikan pada "The First International Conference on Mathematics and

Statistics AUS-ICMS '10", Sharjah, UAE.

Pemnalia Tim Peneliti

BAB I PENDARCTLUAN

Permasalahan aproksimasi fungsi [baik interpolasi maupun ekstrapolasi) yaitu bagaimana

mengkonstruksi suato fungsi yang mempunyai nilai-nilai tertentu pada titik-titik yang

diberikan dan mernenuhi satu atau lebih kondisi adalah problem yang sering dihadapi

para ilmuan yang muncul dari pernasalahan nyata di banyak bidang seperti statistika,

matematika, fisika, biologi, kimia dan lain sebagainya (Gnmau and Sweets 1998, Pinsky

1998). Di bidang ilrnu geomatematika, satelit-satelit yang mengorbit di atas pennukaan

bumi melakukan pengukum kuantitas fisik seperti gravitasi bumi atau medan magnetik

atau yang lainnya dan kemudian mengirirnkannya kembali ke bumi. Setelah melewati

waktu yang panjang, ground track dari satelit berupa kurva-kurva tertutup atau lintasan

pada pennukaan bumi yang padanya data diketahui. Permasalahan yang muncul adalah

bagaimana kita menduga (rnelakukan aproximasi) kuantitas fisik di titik-titik di dalam

k u ~ a tertutup di atas dengan syarat-syarat tertentu.

Di dalam masalah interpolasi pada mang dimensi satu R diperhatikan hirnpunan

berhingga pasangan t e ~ ~ t {(xi, cJ: i = 1, 2, . . ., k), di mana x, adalah titik-titik di dalam

interval [0,1] yang memenuhi 0 =XI < x2 < ... < xk= 1. Untuk menentukan suatu fungsi u

yang memenuhi

u(x,) = c,, untuk setiap i 5 1,2, . .., k,

metode yang telah dikenal di antaranya cubic spline di manapenyelesaian dibatasi hanya

pada polinomial derajat tiga (Davis, 1965 dan Mathews, 1992). Demikian juga pada

metode lain seperti regresi non linier.

Di dalam penelitian yang telah dilakukan oleh pengusul (Alghofari 2002) dibuktikan

eksistensi dan ketunggalan fungsi interpolan bernilai kompleks u dan didiskusikan

bagaimana mengkonstruksi hngsi tersebut yang memenuhi

dan merninimimkan fungsional

Metode ini tidak membatasi pada kelas apa fungsi penyelesaian yang dicari, sehmgga

mempunyai cakupan yang luas yang dapat menyesuaikan pennasalahan yang ada.

Kemudian, hasil ini dipemmum (Alghofari 2006) untuk fungsi bemilai real dengan

meminimimkan suatu fungsional yang lebih sering dijumpai pada masalah-masalah

fisika, mekanika, dl1 (Grunau and Sweers 1998), yaitu

Dengan menggunakan technique mang Hilbert kita dapat menjawab problem tersebut

yang berkaitan dengan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian serta syarat-syarat apa

yang me~pZ%kafl syarat perlu dan cukup.

Untuk keperluan praktis penyelesaian numerik sangat penting perannya. Dalam banyak

kasus penyelesaian analitis sangat sulit di dapatkan dan hams menggunakan metode yang

sangat advance dan kompleks.

Pada masalah di mang dimensi satu diperhatikan suatu interval terbatas sebagai domain

di mana suatu fungsi didefinisikan. Untuk permasalahan di mang dimensi dua,

perhatikan penegi panjang satuan S di bidang (x, y). Misalakan f adalah suatu fungsi licin

yang didefinisikan pada batas dari S. Diberikan n bilangan real c,, c2, ..., c.. Perfanyam

yang sangat mendasar di dalam analisis matematika adalah apa syarat-syarat perlu dan

cukup untuk keujudan (existence) dan ketunggalan (uniqueness) fungsi penyelesaian u di

dalam S yang memenuhi

u = f, pada batas S

u(x, .Y, 1 = c,

dan meminimurnkan fungsional I yang diberikan oleh

atas semua fungsi licin v yang memenuhi persamaan syarat batas (1) dan (2).

Jika jawaban dari pertanyaan di atas adalah positif, pertanyaan yang segera muncul

adalah bagaimana mengkonstmksi fungsi penyelesaian u pada S.

Penelitian masalah ini sangat penting karma tidak sebagaimana pada metode yang ada

seperti spline interpolation yang hanya memperhatikan kelas-kelas fungsi tertentu

sebagai fungsi penyelesaian.

BAB I1

TINJAUAN PUSTAKA

Untuk masalah interpolasi pada ruang dimensi dua, khususnya interpolasi di dalam

daerah terbuka S di dalam R' yang berupa cakram satuan, yaitu

pengusul telah meneliti (Alghofari 2007) bagaimana mengkonstruksi secara eksplisit

fungsi u yang memenuhi

h2u = 0 di dalam S

u = f pada 6%

di mana 8S adalah batas (boundary) dari S dan n menyatakan vektor normal satuan luar.

Dalam ha1 ini b2u = A(Au) dan AadaIah operator Laplace yang diberikan oleh

Beberapa teknik mencari dan menentukan keberadaan penyelesaian suatu masalah syarat

batas yang melibatkan pmamaan differensial parsial telah dikenal, di antaranya adalah

dengan menggunakan teknik pernisahan variabel (separation of variables) dan caIcuIus of

variation (Evans 1998 dan Pinsky 1998).

Di dalam teknik pemisahan variabel, diasumsikan penyelesaian u dan syarat-syarat batas

pada (3) adalah fungsi-fungsi dengan variable terpisah, yaitu

Kemudian dengan mengerjakan operator diferensial pada u, diperoleh

Setelah dipilih kelas fungsi-fungsi X dan Y yang sesuai, syarat batas digunakan untuk

menentukan hngsi u yang di inginkan.

Di dalam teknik Calculus of variation (Evans 1998 dan Pinsky 1998), masalah syarat

batas dipandang sebagai masalah mencari fungsi ekstrim (extremal problem). Masalah

syarat batas pada persamaan (3) adalah ekuivalen dengan masalah mencari fungsi u yang

memenuhi syarat-syarat batas dan meminiialkan "generalised energy integraP' yang

diberikan oleh

Menyelesaikan persamaan biharmonic dengan syarat batas nonhomogen yang diberikan

oleh persamaan (3) dapat dilakukan dengan mentransformasikannya lebih dahulu menjadi

masalah syarat batas dengan syarat batas homogen, yaitu dengan menggunakan Teorema

Trace (Evans 1998). Selain itu masalah syarat batas di atas juga dapat dikonstruksi

penyelesaiannya langsung tanpa melakukan transformasi dahulu dengan menggunakan

operator integral.

Dari teori persamaan diferensial parsial, diketahui bahwa unmk fimgsi mulus h yang

didefinisikan pada aS, ekspresi yang berbentuk

di mana p adalah fungsi kernel Poisson untuk S, memenuhi masalah syarat batas yang

melibatkan persamaan harmonic

APh = 0 di &lam S

~ h = h pada as.

Kemudian operator integral K yang diberikan oleh

Khf x ) = jk(x,y)h(y)dy 3

R~

I di mana k(x, y ) = -loglx - y( rnemenuhi persamaan

2x

h K h = h di dalam S.

Dengan rnenggunakan kombinasi linier dari dua operator ini suatu fungsi biharmonic u

dapat dikonstmksi yang mmpakan penyelesaian dari masalah syarat batas di atas.

Misalkan u adalah fungsi yang diberikan oleh

u = Ph, + KPh,

rnaka u adalah biharmonic dan padabatas aS memenuhi

dan

Lebih jauh dengan memeriksa hubungan antara solusi dengan syarat batas akan diketahui

secara persis fungsi-fungsi apa saja yang memungkinkan permasalahan di atas dapat

diselesaikan. Karena fungsi u juga hams memenuhi syarat batas yang diberikan hams

diperiksa kekontinuan dan keterdiferensialan kornbinasi tersebut dengan menggunakan

pendekatan analisis kompleks.

Pmasalahan ini dapat dikembangkan dengan memperhatikan d a d di bidang dua yang

benrpa persegi panjang S dengan syarat tambahan bahwa fungsi interpolan harus bemilai

tertentu di sebanyak hingga titik di dalarn S sebagaimana yang dilakukan pada penelitian

ini. Pennasalahan interpolasi di dalam daerah bidang dua berupa persegi panjang banyak

juga ditemui pada masalah-masalah nyata.

BAB In TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

Tujuan dan manfaat penelitian fundamental untuk ini dapat diuraikan secara singkat

sebagai berikut.

3.1. Tujnan Penelitian

Untuk meneliti bagaimana mengkonstruksi secara eksplisit fungsi penyelesaian

rnasalah interpolasi pada persegi panjang di bidang dua R' yang meminimumkan

suatu fungsional dan kemudian menyusun skema numerik penyelesaian masalah

di atas untuk memenuhi kebutuhan praktis.

3.2. Manfaat Penelitian

Dari penelitirin ini diharapkan muriciil feoii dM pendeMk%i baru di &lam

menyelesaikan rnasalah interpolasi, baik penyelesaian analitik maupun

penyelesaian numetik.

BAB IV METODE PENELITIAN

4.1. Desaio dan Metode Penelitian

Analisis keberadaan dan ketunggalan penyelesaian dari masalah interpolasi yang

diberikan dapat dilakukan dengan mengkonstruksi ruang Hilbert dari hngsi-fungsi licin

yang didefinisikan pada persegi panjang satuan yang memenuhi syarat batas yang

diberikan. Analisis norm-norm ekuivalen di dalam ruang Hilbert dilakukan dengan

memperhatikan kesesuaiannya dengan fungsional yang terlibat dalam pernasalahan.

Kemudian kita koleksi secara menyelumh semua hgsi-fungsi yang menjadi kandidat

penyelesaian rnasalah interpolasi dan kita lakukan investigasi sifat-sifat yang dirniki oleh

koleksi ini di dalam kerangka mang Hilbert. Keterkaitan antara norm dan fungsional

memungkinkan kita untuk melakukan analisis dengan teori minimim norms di dalam

mang Hilbert.

Untuk keperluan praktis, penyelesaian numerik akan dibahas pada penelitian ini, baik

yang berkaitan dengan fungsional di dalam ruang Hilbert, maupun operator-operator yang

terlibat seperti operator diferensial dan operator integral dengan memperhatikw

keduanya untuk mencari penyelesaian optimal. Simulasi dengan komputer akan

diberikan.

BAB V

Hasil dan Pembahasan

Untuk menghindari sdah paham dm bias mengenai istilah dan notasi diberikan

pengertian-pengertian dan sifat-sifat mendasar mengenai ruang bernorma dan

ruang Banach serta operator linear yang didefmisikan di dalamnya yang akan

digunakan pada bab ini.

5.1 Ruang Banach

Sebelum kita diskusikan pengertian dan sifat-sifat ruang bernorma, kita defin-

isikan dahulu apa yang dimaksnd dengan ruang met&.

Ddnisi 5.1.1. Suatu mang metvik (metric space) adalah suatu pasangan

( X , d), di mana X adalah suatu hampunan dan d adalah suatu metrik pads

X, yaatu suatu fungsi d : X x X --+ IR yang memenuhz

2. d(x, y) = 0 jika dun hanya jika x = 0

untuk semua x, y, z di dalam X.

Definisi 5.1.2. Suatu nornt pada suatu mang vektor X adalah suatu fungsi

bernzlaa real )1 . (1 : X + W dare X ke IR yang memenuha

3. Ilffxll = 1 ~ 1 1 1 ~ 1 1

4. 112 + YII 5 llxll + I l ~ l l >

lrntak aemua x , l~ di dalant X dan, skalar

Suatu norm I ) . I I pada X mendefinisikan suatu metric d yang diberikan oleh

untuk semua x dan y di dalam X.

Definisi 5.1.3. Ruang bernoma X adalah suatu ruang vektor gang di dalam-

nya dtdefinisikan suatu norm. Ruang Banach adalah ruang bernoma yang

lengkap (terhadap metnk yang diturunkan dari norm), yaitu jika setiap b a h a n

Cauchy di dalamnya adalah konvergen dz dalam mang tersebut.

Suatu ruang bagian Y dari ruang hernorma X adalah ruang bagian dari

ruang vektor X dengan norm yang diperoleh dengan memhatasi norm pada

Y. Jika Y tertutup, make Y disehut ruang bagian tertutnp dari X.

Teorema 5.1.4. Suatu ruang bagian Y dari auatu ruang Banacla X adalah

lengkap jika dan hanya jika Y tertutup.

Deflnisi 5.1.5. Suatu bansan (s,) di dalam ruang bemorma X adalah kon-

vergen jika X memuat x sedemikian sehingga

Iim llxn - xll = 0, n+m

yaitu untuk setiap 6 > 0 terdapat bilangan aslz N yang memenuhz

untuk semua n > N . Kita tzllzskan x, t x dan dzkatakan x adaluh lzrnit dart

( 4 .

Definisi 5.1.6. Suatu baresan (x,) dz dalam ruang b e m o m a X dzsebut barisan

Canrhy jaka untuk setzap F > 0 terdapat bslangan a.dz N yang memenuhz

untuk semua m, n > N

Definisi 5.1.7. Suatu ruang metrik (metric space) X dikatakan kompak (com-

pact) jika setiap barisan dz dalam X mempunyai subbarwan yang konuergen.

Suatu himpunan bagian M dan' X adalah kompak jika M adalah kompak se-

bagai ruang bagian dari X , yaitu jaka setiap barisan da dalam M mempunyai

auatu subbarisan konuergen gang lrmitnya di dalam M.

Lemma 5.1.8. Setiap himpunan bagian kompak M dari suatu ruang metrik

X adalah tertutup dan terbatas.

Teorema 5.1.9. Jika setiap bola satuan tertutvp M = (~111x11 5 111 di dalam

suatu ruang bernorma X adalah kompak maka X adalah berdimensi hingga.

Teorema 5.1.10. Misalkan X dun Y adalah ruang-ruang metrik dan T :

X -+ Y suatu pemetaan kontinu. Maka peta dari matu himpunan bagian

kompak M di dalam X oleh T adalah kompak.

Definisi 5.1.11. Suatu operator linearT adalah suatu operator yang memenuhi

1. Domain V ( T ) dari T adalah suatu ruang vektor dan range R(T) dari

T adalah suatu rvang bagian dari ruang uektor atas rnedan skalar yang

sama.

2. Untuk semua x, y di dalam V ( T ) dan skalar a berlaku

(a) T ( x +. y) = T x + Ty

(b) T(ax) = aTx

Di sini kita gunakan notasi T x untuk menyatakan peta T ( x ) dari x oleh

operator T .

Definisi 5.1.12. Suatu pemetaan T : V(T) --i Y disebut tnjektaf (znjectzue)

jika implikasi berikut berlaku: XI # 22 =+ Tzl # Txz atau Txl = Tx2 =+ XI =

x2 cz.

Dalam kasus ini terdapatlah pemetaan

yang memetakan setiap y E R(T) x E V ( T ) untuk mana Tx = y. Pemetaan

T-' disebut invers dari T.

Teorema 5.1.13. Mzialkan X dan Y adalah ruang-ruang vektor, keduanya

atas medan skalar yang sama W atau @. Misalkan T : D(T) + Y adalah

suatu operator linear dengan D(T) C X dan 'R(T) g Y. Maka

1. Jnvers T-' : R(T) + V ( T ) ada jika dan hanya jika

2. Jika T-' ado, maka T-' adalah suatu operator linear.

9. Jika dimV(T) = n < CG dan T-I ada, maka dimR(T) = dimV(T).

Definisi 5.1.14. Mzsalkan X dan Y adalah mang-mang bernonna dan oper-

ator T : V ( T ) --+ Y suat~r operator linear, di mana D(T) g X . T dzkatakan

terbatas jrka terdapat bilangan real c yang memenuhi

i~ntuk semua x E V(T) .

Jika suatu operator linear T adalah terbatas, maka kita notasikan

dan IlTll disebut norm dari T.

Teorema 6.1.15. Misalkan T adalah suatu operator linear terbatas, maka

llTII= SUP IITxll. ~ED(T)llrl l=~

Teorema 5.1.16. Jzka suntu ruang bernoma X berdzmensi hingga, maka

setzap operator linear T pada X adalah terbatas.

Teorema 5.1.17. Mtsalkan X dan Y adalah ruang-ruang bernoma dun T :

V ( T ) i Y adalah suatu operator linear, di mana V ( T ) & X . Maka

1. T adalah kontinu jika dan hanya jika T terbatas

2, Jika T kontinu dz suatu titzk, maka T adalah kontinu.

Definisi 5.1.18. Misalkarc X dan Y adalah mang-mang bernoma. Suatu

operator T : X + Y dwebut suatu operator linear kompak (compact) jalca T

adalah lznear dan jika crntuk setiap himpunan bagian terbatas A4 dari X , peta -

T ( M ) adalah kompad relatzf (relatively compact), yaitu tutup T ( M ) adalah

kompak.

Teorema 5.1.19. Mwalkan X dan Y adalah mang-mang bernorma. Maka

setiap operator linear kompak T : X + Y dari X ke Y adalah terbatas dan

karenanya kontinu.

Teorema 5.1.20. Mtsalkan T : X 4 Y adalah suatu operator linear darz

mang Banach X ke ruang Banach Y . maka T adalah kornpak jika dan hanya

jika jika T memetalcan setiap barisan terbatas (x,) di dalam X pada suatu

barz'san (Tz,) dz dalam Y yang mempunyaz suatu subbarisan konvergen.

Dengan kata lain, T adalah kompak jika dan hanya jika peta setiap barisan

terbatas oleh T adalah kompak di dalam Y.

Misalkan X dan Y adalah mang-ruang bernorma yang keduanya atas skalar

field yang sama ral atau ko~npleks. Kita notasikan B ( X , Y) untuk hiihpunan

semua operator-operator linear terbatas dari X ke Y.Di dalam B ( X , Y) di

defenisikan operasi-operas1 penjumlahan dar~ perkalian operator dengan skalar

sebagaimana biasa. maka kita mempunya teorema sebagai berikut.

Teorema 5.1.21. B(X, Y ) adalah suatu ruang bernorma dengan norm yang

dzberakan oleh

l l T x l ' - sup IITzII. 1ITII = sup --- - zEX,+a l l x l l %€xc=1

Teorema 5.1.22. Jzka Y adalah suatu man.9 Banach maka B ( X , Y ) adalah

suatu ruang Banach

Teorema 5.1.23. Misalkan X adalah suatu ruang Banach dan T E B(X , X ) .

Jika T 5 1 maka (I - T ) mempunyai invers dan ( I - T)-' adalah suatu

operator linear terbatas pada X yang diberikan olela

5.2 Ruang Hilbert

Di dalam sub bab ini kita a h mereview konsepkonsep di dalam ruang fungsi,

khususnya ruang Hilbert. Kita sajikan beberapa definisi dan fakta tanpa bukti.

Bukti lengkap dapat ditemukan di dalam buku-buku elementer seperti [5], [Z].

Definisi 5.2.1. Suatu himpunan bagaan A dari suatu runga vektor V dikatakan

konveks (convex) jika untuk semua x, y di dalam A, maka

adalah di dalam A untuk semua 0 5 a 5 1.

Definisi 5.2.2. Mzsalkan V adalah suatu mang uektor a t m medan kompleks

@. Suatu hasilkali dalarn (inner product) (., .) pada V adakah suatu fungsz dari

V x I) ke @ yang memenuhz sifat-sifat berikut:

1. (u + v, w) = (u, w) C (u, w),

2. (au, V) = a(u, v) , -

3. (u, = (v, 4,

4. (u, u) 2 0 and (14, u) = 0 jzka dan hanya jika x = 0,

untuk semva U , U , U J di dalam V dan a d i dalam @. Rvang vektor V bersama-

sama dengan haszl kalz dalam dzsebut suatu ruang hasrlkali dalarn (inner prod-

uct space) utas mang pre-Halbert.

Fnngsi 11.11 : V -+ W yang diberikan

mendefinisikan suatil norm di dalam V.

Definisi 5.2.3. Suatu mang hosilkali dalam yang lengkap disebut suatu mang

Hzlbert.

Lemma 5.2.4. Misalkan 31 adalah suatu mang Hilbert dengan hasilkdi dalam

( ) Jaka E adalah suatu himpunan tidale kosong yang tertutup dan terbatas

di dalam 31, maka tenlapatiah dengan tunggal suatu elemen di dalam E dengan

norm terkeczy.

Dengan kata lain, terdapat tepat satu uo di dalam E yang memenuhi

I(uo(l 5 llull untuk setiap u di dalam E, yaitu,

Lemma 5.2.5. Jika V adalah suatu mang bagian tertutup dard suatv mang

Hilbert X, maka

?l=va3v1,

dz mana V L adalah suatu kamplemen orthogona (orthogonal complement) d a n

V di dalan 31.

Dalam hsus ini, setiap u di dalam X dapat dinyatakan secara tunggal oleh

di mana x E V dan y E VL. Persamaan (5.1) mendefinisikan suatu opera-

tor proyeksi (proJeetron operator) atau suatu proyeksi orthogonal (orthogonal

projectton) P dari 31 pada V, yaitu

untuk sernua u di dalam 31

Lemma 5.2.6. Jzka PI and P2 adalah proyeksz-pmyeksi pada X, maka seliszh,

adalah juga suatu proyeksz pada 71 pka dan hanya jika Pl( l i ) C Pz(31)

5.3 Aproksimasi Fungsi

Misalkan u adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada persegi satuan S di

bidang x, y, dan kita mengetahui nilai-nilai u di titik-titik (xt, yi), di mana

z = 1 ,2 , . . . , k dan j = 1,2, . . . , 1 . Akan didiskusikan bagaimana menyelesaih

permasalahan berikut:

Minimalkan

dengan syarat u(x,, Y ~ ) = Q~ jika i = 1 , . . . , k, 3 = 1,2, . . . ,1.

Misalkan (x;, yi) memenuhi

dan Q,I = el,, = ck.1 = ck,, = 0. Asumsikan fungsi licin u yang nilai-nilainya

adalah G , di titik-titik (x,, yj) dapat dinyatakan dalam bentuk

urituk (x,, y,) E [O, 11 x [0,1]. Kita akan tunjukkan bahwa terdapat dengan

tunggal penyelesaian dalam masalah ini di dalam ruang semua fungsi dua

variable yang deret Fourier sinusnya adalah konvergen uniform.

5.3.1 Keberadaan dan Ketunggalan Penyelesaian

Akan di buktikan bahwa terdapat dengan tunggal penyelesaian permasalahan

minimisasi di atas.

Lemma 5.3.1. Mzsalkan W adalah ruang vektor sernua fungsi f yang didefin-

iaikars pada [O, 11 x [0, l] dalam bentuk f (x, y) = a,,sin max sin(nry)

sedemzkian xehingga

Maka W adalah suatu mang Hilbert terhadap hasilkali dalain (., .) yang diberikan

oleh

( f , 9) = x (mZ + n?'a,,b,, (5.2) m,n€Z+

untuk semua f dan g di dalam W , di mana

g(z) = x b,, sin(m?rx + m y )

Bukti Bukti adalah rutin dan ditinggalkan untuk pembaca.

Catat bahwa deret sinus setiap fungsi di dalam W konvergen uniform s e

hingga fungsi tersebut adalah kontinu. Dengan fakta ini kita dapat membuk-

tikan lemma berikut.

Lemma 5.3.2. Mzsakan V adalah suatu ruang bagian W dam semua fungsi

yang bernelai no1 di (x,,$) untuk semua i , j dz dalam hrmpunan index berhingga

I = {1,2, . . . , k ) dan L = {1 ,2 , . . . ,1), yaztu,

V = { f E W : f (x,, y,) = 0 untuk semua i E I , j E J} .

Misalkan U adalah himpunan bagian dari W yang diberikan

U = { f E W : f(zz,y,) = G, untuk semua a E I , j E J ] .

Then V adalah tertutup dnn U adalah tzdak kosong, tertutup dan konueks.

Bukti Buktinya adalah routin dan ditinggalkan untuk pembaca

Teorema 5.3.3. untuk semua z E I = (1,. . . , k), j E J = {1,2, . . . , 1 ) ,

n~esalkan (rc,, y,) adalah bilangan real gang rnemenuhi 0 = xl < xz < ... <

x, = 1, dan 0 = y1 < yz < ... < yh = 1 dan mzsalkan c,, adalah bzlangan-

bzlangan yang memenuhz ~1.1 = cl,k = cJ,lr= c3,t = 0. Maka terdapat dengan

tunggal fungsi u di dalam ruang Hilbert W yang memenuhi u(x,, y,) = cSJ dan

rneminzmalkan fungszonal

dan solusinya diberikan oleh

untuk sebarang palihan s E U , d i mana {t,,,, : n E iZi} adalah suatu basis

orthonormal untvk V .

Bukki Ambil u dalam bcntuk

Dari deret Fourier, meminimalkan integral

adalah ekuivalen meminimalkan deret

Misalkan s adalah suatu fungsi di dalam U . Catat bahwa s t v di dalam U

untuk sebarang v di dalarn V. Karena U adalah suatu himpunan bagian tak

kosong dan konveks dari W, terdapat dengan tunggal suatu fungsi v di dalam

V sedeaikian sehingga 11s + vll adalah dengan norma terkecil. Jika u = s + v, maka u(x,, yj) = G , untuk semua i E I, j E J dan

llull = inf 11s+ 2111. WEV

Dengan kata lain, keberadaan dan ketunggalan penyelesaian dijamin.

Sekarang ingat bahwa V adalah ruang bagian tertutup dari W. Misalkan

{&,, : m,n E Z+) adalah suatu basis o~%onormaluntuk V. Dengan teori

aproksimasi terbaik best approsimatzon di dalam ruang Hzlbert [5] , kita peroleh

yang melengkapi bukti

5.3.2 Suatu Hasil Aproksimasi

Untuk semua bilangan-bilangan bulat N > k, definisikan WN, VN dan UN oleh

VN = {f E W N : f (xZ, y3) = 0 untuk semua i E I, j E J )

UN = (f E WN : f (x,, y3) = c , , ~ untuk semua 9: E I, j E J).

Misalkan PN dan P adalah proyeksi dari W pada VN dan V berturut-turut.

Maka P - PN adalah juga suatu proyeksi pada W . Maka tidaklah sukar untuk

menunjukkan bahwa hasil-had di atas tetap sahih jika kita ganti W, V dan

U dengan WN, VN dan UN bertumt-turut. Karena WN adalah berdimensi

hingga, kita dapat mengkunstrnksi suatu solusi eksplisit UN di dalam WN

menggunakan aljabar linear. Kita tutup diskusi ini dengan teorema berikut.

Teorema 5.3.4. Mzsalkan No > k tetap dan s~~ ddi dalam VNO. Mi~alkan u

dan U N adalah solusi optirnal de' dalam W dun WN bertumt-tu~ut. Maka

( ( u - uN(I = (((P - P N ) ~ ~ , , ( I -+ 0 untuk N -4 oo.

Bukti Misalkan N > No. Maka SN, E U N . Sehiigga, u = S N , - P ( s N o ) ,

dan U N = Sjvo - P N ( s . m O ) . Akibatnya

Dengan teorema barisan naik monoton [5], PN adalah operator yang konvergen

kuat ke P. Oleh karena itu

sebagaimana diinginkan.

Dengan memperhatilutn ketaksarnaan ini, kita dapctt melihat bagaimana

cepat ( 1 % - uN\\ rnenuju 0.

5.3.3 Suatu Peayelesaian Numerik

Untuk menentukan fungsi u yang yang di definisikan pada persegi S yang memenuhi

u = f , pada batas S

~ c ~ , ~ v , ) = c l

dapat dilakukan dengan pendekatan metode beda hingga untuk persamaan difetensial

partial. Formula untuk cenhol drflewnce ditumnkan dari ekspansi Taylor:

dan

Sehingga diperoleh

yang jika diselesaikan untukf'(x) rnemberikan

4 (6) f"(x) = f ( x + h ) - 2 f ( x ) + f ( x - h ) - 2 h 2 f t 4 ) ( x ) - 2h f (x)

2 4! 6!

Jika persamaan terakhir ini kita potong sampai pada turunan Ice empat, terdapat c di

dalam [x - h, x + h] sedemikian rupa berlaku

di mana f : = f (x + ih) . Hal ini memberikan fornula untuk aproksimasi f '(x) dengan

detajat kesalahan derajat dua OF'), yaitu

Untuk mencari penyelesaian numerik masalah interpolasi di stas, kita dapat membagi

daerah definisi hngsi u menjadi beberapa bagian (persegi panjang yang lebih kecil)dan

mengasumsikan bahwa titik-titik yang diketahui nilai fungsinya di bagian dalam daerah

defmisi sekarang menjadi titik-titik pada batas persegi panjang kecil. Dengan mengetahui

nilai-nilai pada batas setiap persegi panjang kecil, dapat melakukan interpolasi di titik-

titik yang lain dengan menggunakan persamaan harmonic

yang rumus beda tengahnya diberikan oleh

yang disebut rumus beda dengan 5 titik. Untuk menentukan nilai u,, diperlukan 4 nilai

titik-titik di sekitamya.

Sebagai contoh, misalkan fungsi f pada masalah di atas diberikan oleh

dan di dalam daerah definisi S = [0,4]x [0,4], fungsi u memenuhi

Dengan rnenggunakan pernograman komputer MATLAB packeges k i i peroleh hasil

berikut.

Tabel 5.1. Penyelesaiw numerik Masalah interpolasi

Cambar 5.2. Orafik fungsi u penyelesaian numerik

23

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini a h diuraikan kesimpulan dan saran yang dapat disarikan dari pembahasan-

pembahasan sebelumnya.

6.1. Kesimpulan

Masdah interpolasi di daerah dimensi satu yang meminimumkan fungsional telah

dibahas oleh penulis di [2] dan [3]. Dengan melakukan generalisasi dapat dibuktikan

bahwa ha i l yang diperoleh dapat dipertahankan untuk ~ a n g dimensi yang lebih tinggi

yaitu pada persegi panjang satuan di ruang dimensi dua.

Misalkan S adalah persegi panjang satuan di bidang (x, y) dan f adalah suatu fungsi licin

yang didefinisikan pada batas dari S. Diberikan n bilangan real cl, c2, ..., c, dan n

pasangan (x,, y,). Misalkan r adalah grid yang dihasilkan dengan menghubungkan x,, y,

dengan garis I t yang sejajar dengan sumbu x atau y. Maka terdapat dengan tunggal fungsi

penyelesaian u di dalam S yang rnemenuhi

u = f , pada batas S

ufx, .yi)=c,

dan meminimumkan fungsional I yang diberikan oleh

atas semua fungsi licin v yang memenuhi persamaan pada syarat batas di atas dan

meminimumkan

Keberadaan fungsi u juga dapat ditunjukkan dengan mengkonstruksi fungsi tersebut di

ruang Hilbert fungsi-fungsi yang dibangkitkan menurut kondisi pada batas dan titik-titik

internal pada persamaan (1). Kemudian suatu penyelesaian numerik dapat diperoleh

dengan menggunakan rumus beda pusat yang diturunkan dari deret (ekspansi) Taylor

fungsi u.

6.2. Saran

Dari hasil yang diperoleh dalam penelitian fundamental ini yaitu berkaitan dengan suatu

skema numerik yang memungkinkan untuk mendapatkan penyelesaian numeric muncul

pertanyam syarat apa yang perlu ditarnbahan pada pennasalahan interpolasi di atas

sehingga dapat disusun skema numerik yang lebih bagus.

DAFTAR PUSTAKA

[I] P. J . Davis, Interpolation and Appruzimation, Blaisdell Publishing Com-

pany, New York, 1965.

[2] N. Dunford and S. Schwartz, Linear Opemtors, Pad I: Geneml Theory,

Interscience, New York, 1958.

[3] L. C. Evans, Partial Diflerential Equations, American Mathematical So-

ciety, USA, 1998.

[4] W. Freeden, T. Gervens and M. Schreiner, Conslructive Appmximation

on the Sphere with Applications to Geomathernatics, Oxford University

Press, New York, 1998.

[5] E. Kreyszig, Introducto y Functzonal Analvszs with Apptications, John Wi-

ley and Sons, USA, 1978.

161 J. H. Mathews, Numencal Methods for Mathematics, Science, and

EngzneertngPrantice-Hal1 International, USA, 1992.

[7] M. Pinsky, Partial DijBerential Equations and Boundavy Value Problems

wtth Applications, International Series in Pure and Applied Mathematics,

McGwar-Hill, Boston, 1998.

[8] M. Renardy and R. C. Rogers, An intrudwtaon to Partzad Diferentral

Equations, Springer-Vrrlag, New York, 1993.

19) E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cam-

bridge University Press, Cambridge, 1990

Lampiran I

Makalah yang dipresentasikan pada Konperensi lnternasional AUS-ICMSlO di American University of Sya rjah

Syarjah, United Arab Emirates

Reference No.: AUSICMSIO-10035 Date: November 1 I, 2009

Dr. Abdul Rouf Alghofari Participant's Address: Universitas Brawijaya, JI. VeteianMalang, Indonesia, 65145

NOTIFICATION OF ACCEPTANCE OF ARSI'KACT FOR PRESENTATION IN THE FIRST INTERNATIONAL CONFERENCE ON MATHEMATICS AND STATISTICS (ICMSIO)

Dear Dr. Abdul Rouf Alghofan'

On behalf of the Organizing Committee, we would like to thank you for y o u interest in our International Conference. Your abstract ent~tled "The Biharmonic Problem In Curvilinear Grids" has been accepted for presentation at The First International Conference on Mathematics and Statistics (ICMS'IO) to be held at the American University of Shajah, Shajah, UAE from March 18 -21,2010.

In order to confirm your participation and for your presentation to be included in the conference program, please pay the registration fees no later than December 15, 2009. For more information about how to pay the registration fees, Please visit the conference website at

Thank you.

Sincerely yours

Dr. Mahmoud Anabtawi C hainnan The First International Conference on Mathematics & Statistics (AUS-ICMS10)

THE BIHARMONIC PROBLEM IN CURVILINEAR GRIDS

Abdul Rouf Alghofari Jurusan Matematika Univenitas Brawijaya

Abstract

In this paper we discuss the problem of reconstructing a sficiently smooth function in a domain 11 that minimizes an energy-type integral and assumes specified value on a curvilinear grid T inside the domain. Using tools from the theory of second order boundary value problems, functional analysis and calculus of variations we show that given a function in the Sobolev space H 3 I 2 ( ~ ) , there exists a unique function in p(0) whose restriction to the grid is the given function, and which minimizes an energy-type integral.

Formally, let f be a function defined on the curvilinear grid T so that f is in H 3 I 2 ( ~ ) . Then there exists a unique function uo E HZ(Q) such that u o l ~ = f and ug minimizes the functional

over all u in H z @ ) . Further, away from the grid, u0 is biharmonic. Keywords: the biharmonic problem, boundary value problems, Sobolev space.

1 Introduction We first give some definitions and fiindamental facts we will nse through out in this article.

Definition 1.1. For any nonnegative integers m,p, we define the Sobolev space

WT(U) to be the set of all dzstnbutions u in U such that, for all la1 5 m,

For each u E WF(U), the nonnegatzve real valued functzon given by

dejines a n o m in WT(U)

If m $ 35, then m = Lrn] + [, where 0 < E < 1 and Lrnl is the snteger pad of m,

and we define the Soboleu space W T ( U ) to be the set of all distributions u such that

u E wim' (U)

and, when la1 = LmJ,

I Duu(x) - Dau(y) l p ~ + S P dxdy < CQ.

The norm on W T ( U ) ss defined by

Very often, one writes Hm instead of W,". For each u € W,"(U), m E Z, the nonnegative real valued function given by

defines a norm in W;(U). The norm on W T ( U ) , m $ Z is defined by

We know that there exists a unique solution u to the Laplace equation with Dirichlet bo~mdary condition given by

We showed that i f f is in H ~ / ' ( ~ C ) , then u is in H Z( C ) , and vice versa.

Lemma 1.2. L p t C be the untt square in Rz Then for any u zn Ly(C and f in

HYr2(aC) there exzsts a unique function u zn H Z( C ) such that

Proof. Extend v to be 0 on RZ \ C , and observe that AKv = v , where

where k(x, y) is given by 1

k(x,y) = -log /x - y(. 27T

Now Ku is in H 2 ( E Z ) , and so ( K U ) ( ~ ~ is in H ~ / ~ ( ~ C ) by the Restriction Theorem.

We take u1 in C such that

Then u = u1 + Ku solves the boundary value problem (2).

Suppose that '1~2 and us are solutions of (2). Then u2 - u3 satisfies

80 llua - ua1lFyCI = O1 whence uz = u3, that is, the solution is unique.

We regard the Laplace operator A as an operator from the Banach space P ( C ) into LZ(C) given by

11, H Au for all u E H2(C) .

Lemma 1.3. The operator A es h e a r , continuous and surjective.

Proof. The linearity is obvious.

To prove the continuity, observe that

By Lemma 1.2, for each u in L2(C), there exists u in H 2(C) such that

so A is onto as wall.

From Lemma 1.2, wc may define a new norm on P ( C ) and derive some impor- tant properties.

Definition 1.4. For all T L in H2(C) we define the norm 11.11, b y

With this definition we prove the following two lemmas. The first concerns the equivalence of two norms and the second deals with the continuity of a real valued function on H 2( C ) with the new norm II.(I*.

Lemma 1.5. The two normv ((.I(, and (( .((2,2,c are equivalent, that as,

I I - I I * = 11.112,2,~.

Proof. We know from Lemma 1.3 that

is a continuous operator from p ( C ) into L2(C). Also the trace theorem asserts

that the map

u ++ ~ l e c

is continuous from H 2(C) into H ~ / ~ ( ~ C ) .

Define the norm I I . \ I . in L Z(C) x H3I2(aC) by

Since H 2(C) and H 3 f 2 ( t E ) are Hilbert spaces, so is the product space. We define

the operator T : P ( C ) --+ (L 2(C) x H312(C)C)) by

Since T is continuous and linear, there exists a positive constant C1 such that

Since the null-space N ( T ) of T is (0) and T is surjective, T is a bijection. So T-'

exists. By the open mapping theorem, T-' is continuous and hence bounded. Thus

there exists a positive real number C2 such that

The lemma follows.

Lemma 1.6. The real valued junction defined on @ ( C ) given b y

zs contznuous.

Proof. Consider a sequence {u,);P=, in HZ(C) such that u, -+ u as n + oo, then

we have

u - u 0 as n -+ oo.

By definition this implies that

But

(IIAunllz - I ~ A u I I z I I IIAu, - Aullz,

from which we conclude that

In other words, the sequence {IlAu,ll~)~="=,in JR converges to 11 Aullz. AS a conse-

quence, the mapping u e HAu1I2 is continuous. il

2 Biharmonic Problems

Consider the fourth order partial differential equation with homogeneous boundary conditions

n 2 u = f in c )

where OC is the boundary of C. Here au/an denotes the outer normal derivative of u on and n the unit vector pointing outward from and normal to the boundary I ~ C . It is known that thew exists a unique solution in the space H:(C) see, for example, 171.

Suppose that we can find a solution u in the Sobolev space HZ@) to the following biharmonic problem with nonhomogeneous boundary conditions given by

where f and y are smooth functions in the space L2(aG) of square intcgrnblc func- tions defined on 8C. Then the solution is unique, since if u1 is another solution,

then u - u, satisfies

So u1 = u by the uniqueness result above. We consider the biarnionic problem with boundary conditions:

(4) au - = an

g on 8C

where f E H ~ / ~ ( ~ C ) , g E I T ~ / ~ ( ~ E ) , and f ,g satisfy the compatibility conditions:

-lirng(O, y) = lim y+l

For the rest of this article we use the following notation, unless otherwise stated. Let xo = 0, xk+l = 1 and yo = 0, y,+l = 1. Suppose that the unit square C is cut into small rectangles C,,l by k vertical lines x = xi, where 0 < x, < < 1 and 1 horizontal lines y = yj, where 0 < y j < y,+~ < 1, and z E {l , . .., k), and J E {I, . . . , I ) . SO for any z E {0,1,. . . , kJ and j 6 {0,1,. . . , l } , the set C , , is given

Denote the resulting grid in C by r and the boundary of C by ax. Then the grid I' is given by

~ = { ( x , y ) : x = x , f o r s o r n e i ~ I , o r y = 1 ~ j f o r s o m e ~ € J } ,

where I = {0,1,. . . , k + 1) and J = {0,1,. . . , 1 + 1). Given a function defined on the grid, the problem is whether there exist a function

in the unit square, which agrees on the grid with the given function and minimising some 'generalised energy'.

3 The Existence and Uniqueness Solution This section is d ~ v o t ~ d to discuss the existence and uniqueness solution of the prob- lem above.

Theorem 3.1. Let f be a funchon defined on the grid I? whose restnctaon to any

line segment L in r, denoted by f It, is in @ i 2 ( ~ ) . Then there exists a unique

no E H2(C) such that uo(r = f and the fvndianal

as manimzrm. Moreover A2*tio = 0 an Cij and no E Crn(CBd) for all z 6 {1,2,. . . , k), j € { 1 , 2 ,..., 11.

Proof. To prove the existence of no in H Z(C) minimising the functional

over all functions u in H 2(C) such that n = f on r, we define the subset V of H2(C)

by v = {U : 1 1 ~ 1 1 * < CO, n = f on r}.

It is obvious that V is closed and convex. The closedness of V can be proved by

considering the Cauchy sequence {v,):=~ in V which is eonvergen in V.

To show that V is not the empty set, consider the domains CSJ and C,+l,3 for

some z and j . Here C,+, and Ci+lj are adjacent and the line segment x = x , + ~ c r is the comrnon boundary for both C, , and Denote the common boundary by

L and choose a smooth function g,,, and g,+l,j deked on r,, and 1',+1,3 respectively

such that

and

Let fta3 be the restriction of f to aC,,. Then f , , is in H ~ I ~ ( ~ C , , ) . Then there

exist u,, in H2(C, , j ) and n, + I , in HZ(C,tl,3) such that

and

Here on the common boundary segment L, the standard boundary condition takes

the form

which implies that, au,, au,+l, -- - ax ax '

From the conditions on u,, and &+I,, we find that u, given by

u ~ , ~ in C,, UZ+I,~ in Z+lj fw on ax,, fz+~,j On ~ % + I J

is in P ( C , , U C,+,,, U L).We can generalise this to obtain a function u in H2(C)

such that u = f on I'. In other words, V is not empty.

Let, 6 be the nonnegative real number so that

6 = inf llAu112. "EV

Then there exists a sequence {v,) in V such that

Define 6, = IlAv,JI,. NOW we want to show that {v,)?~, is a Cauchy sequence. For

all m, n, tom + vn)/2 is in V because V is a convex set. We observe that

But on the other hand,

Moreover, we may define the norm II.II* in HZ(C) given by

IIuII* = (Il AuIIi + Ilule~ll;/2,z,ac) 112

Hence we have

since u, and am both are in V, that is,

From equation (6 ) , we find that for m, n --+ w

We have proved that the sequence {v,,)?=~ is a Cauchy sequence. Since V is closed,

{v,}?=~ is convergent and so for some ug E V

But b is the infimum of the set (IlAv112 : v E V}. Hence we have

Since v, --t uo in the norm )I./)., it follows that Au, --+ AUU in LZ(C). Thus

llAu01I = 8. Hence we have

IlAuollz = ;;$ I lA~I lz~ (9)

To prove the uniqueness of the minimiser uo in V, assume that u1 and u:, both

satisfy

Il Auxllz = Il Auzllz = 6. (10)

Then

But (ul + u2)/2 is in V and llA(ul +u2)/211: > 62. SO equation (11) becomes

Here since the norm is always nonnegative, ul-uz solves the boundary value problem

A(u1 - u2) = 0 in all

ul - u2 = 0 on r

whose the only solution is zero function: ul - u2 = 0.

Now using the calculus of variations we shall show that uo is a biharmonic func-

tion in each CsJ and hence is infinitely many times continuously differentiable. For

this purpose denote by I the integral functional on V:

Let v be any function in HZ(G) so that supp(v)f~C~, is closed in W2. Then u = 0 on

I?, and uo + v is in V and for any real number E we define the real valued function

J on W as follows

J ( E ) = I(uo + cv). (13)

Since uo is the infimum of I(v) over all v in V, J7(c) = 0 when r = 0, provided that

the derivative exists.

which expands out t,o

1 AUO(X. Y ) Audx, Y ) + Z~Auo(x, Y ) Au(x , y )

+ ?Au(x, y ) Au(x, y ) dx dy.

Hence

J'(E) = ~ A U O ( X , 9) Av(x. Y ) + 2tAu(z.v) Av(x, Y ) dx d y .

Since

l ~ U 0 ( ~ , Y ) l 2 d ~ d Y

is minimised, S(O) = 0, and hence

Using Green's formula for integration by parts, we obsem that

Since for each z E { O , 1 , . . . , k}, j E { O , l , . . . , 1 } , supp(v) n C , , is closed in WZ, we find that v and its normal derivative vanish on that is,

Bv ~(ao. , , = 0 and --I = 0.

an a x ,

From equation (16), therefore, for each i E {0,1,. . . , k), j f { O , l , . . . , 1 ) we find

that

L,., A ( ~ U O ~ ( X , Y ) v ( x , Y ) dy = =,

which implies that hzuo = 0 in C Z f for all i, j .

The solution uo is in C"(C,,J) because

i.e., iio is biharmonic in C a d . This leads uo t o be a function in Hk(&) for all non-

negative integers k. Therefore, a0 is infinitely many times continuously differentiable

in C,,, n

Corollary 3.2. Suppose that f E H3I2(8C) and g E H'/2(aC) satisfy the compat-

abzlity condition. (5). Then there mists a unique function u0 E Cm(Z) such that

A2uo = 0, and = f and i)u/8nlas = g .

Proof. By Theorern 3.1, therc There exists u E H2(C) such that U [ ~ C = f and

au/anlaz: = g. Now lninimise llAullz, subject to u satisfying these boundary eon-

ditions. Then, as argued above, there exists a unique minimiser, which is bihar-

tonic.

Definition 3.3. Suppose that U is a nezghbourhood of the closed unzt square C i n

the plane, and that Q, : U -+ V as a smooth bijectzon wth a smooth mverse. Then

the zmage @(r) of r zn V zs called a curvzlzaear gnd.

Denote the curvilinear grid @(r) by A, and @(C) by 0. Our result extends to the existence and uniqueness of the solution when the rectangular grid I? is replaced by a curvilinear grid.

Theorem 3.4. Let f be a functzon defined on the curvilinear grid A so that f as in

H3I2(A). Then there exists a unique function uo E H2(0) such that uolA = f and

the functional

ct llDeliau(x, y)('dxdy

is minimum. firthe?, away from the g n d ,

Proof. Under the smooth change of variable (5, a = W1(x, y),

\Au(x, y)I2 dx d y = IAAii(5, g)12 dx dy,

Ti = u o @, involving the Jacobian of the change of variables. Further fi varies over

H2 (C) as u varies over H2(Cl).

References

[I] Robert A. Adams, Sobolev Spaces, Acatiemic Press, New York, 1975.

[2] N. Aronszajn, R. D. Brown, R. S. Butcher, Construction of the solutions of boundary value problems for the bihamonic operator an a rectangle Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 23 (1973), no 3, 49-89.

131 L. Benaissa, N. Daih, About Bihamon~c Problem vaa a Spectral Approuch and Decomposatzon Technaques, Acta Universeitatis Apulensis, No 17, 2009.

[4] Philippe G. Cialet, The Finite Element Method for Elliptic problems, North- Holland Publishing Company, Amsterdam, 1978.

[5] Charles V. Coffn~an, On the comtruction of series solutions to the first bihar- monic boundary value problem in rectangle, SIAM J . Math. Anal. 17 (1986), no. 2, 384-402.

[6] L. C. Evans, Partial Dafferential Equations, American Mathematical Society, USA, 1998.

[7] P. (Pierre) Grisvard, Ellzptic Problems in Nonsmooth Domazns, Pitman Ad- vanced Publising Program, Boston, 1985.

[8] H.-Ch. Grunau and G. Sweers, The role of positive boundary data in generalazed clamped plate equations, Z, angew. Math. Phys. ZAMP, 49, 1998,420-435.

[9] Y. Guo and J. Wei Supercritical bihamonic elliptic problems in domains weth small holes, Mathematische Nachrichten, Volume 282 Issue 12, Pages 1724 - 1739, 2009.

[ID] M. Pinsky, Partial Dafferential Equations and Boundary Value Problems with Applications, InternationaI Series in Pure and Applied Mathematics, McGwar- Hill, Boston, 1998.

[Ill M. Renardy and R. C. Rogers, An introduction to Partial Daflerential Equa- tions, Springer-Verlag, New York, 1993.

(121 E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonalaty, and Oscilatory Integrals, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1993.

[13] E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysts on Euclidean Spaces, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1971.

Biodata Tim Peneliti

A. Biodata Ketua Penelltl

Nama Lengkap : Dr. Abdul Rouf Alghofari, MSG NIP : 19970907 199203 1001 Tempat I Tanggal lahir : Sukoha rjo, 7 September 1967 PanakaVGollJabatan : Penata Muda Tk lllllbRektor en: Kelamin : Laki-laki Alamat Kantor : Jurusan Maternatika F.MIPA Universitas Brawijaya

Malang 65145 Alamat Rumah : Villa Bukit Sengkaling AS 15 Landungsari Malana - Bidang Keahlian : Analisis ~atematika,-~unctional ~ n a i s i s Mata Kuliah yang diasuh : Analisis Fungsional, Topologi. Auabar Linier,

Aljabar Linier Lanjut : abdul-rouf@brawijaya.ac.id

Pendidikan

No

1

2

3

Pengalaman penelitian yang relevan dengan proposal penelitian yang diajukan

4

Tempat Pendidikan

Sarjana, Universitas Gadjah Mada Diploma of Science, The University of Tasmania Master of Science, The University of Tasmania Doctor of Philosophy, The University of New South Wales

No

1

KotalNegara

Yogyakarta

Australia

Australia

2

Australia

Judul Penelitian

Penggunaan Operator Integral untuk Mengkonstruksl Penyelesaian Eksplisit Persamaan Biharmonic di dalarn Cakram Satuan

Tahun Lulus

1991

1996

1998

Operator Linier pada Ruang Banach dan Aplikasinya

Bidang Stud1

Maternatika

Matematika

Matematika

2007

Ketua PenelitilAnggota

Ketua

Matematika

Ketua

Dana DPPISPP

Tahun

2007

SP4 2006 -

Seminar llmiah

Malang, 29 Oktober 2010

Dr. Abdul Rouf Alghofari, MSc NIP. 19670907 199202 1 001

B. Biodata Anggota Peneliti

Nama Lengkap NIP Tempatrranggal lahir PangkaffGoVJabatan Jenis Kelamin Alamat Kantor

Alamat Rumah Bidang Keahlian Mata Kuliah yang diasuh Email

Pendldikan

: Drs. Mohamad Muslikh, MSi : 19591031 198912 1 001 : Pekalongan, 31 Oktober 1959 : PembinallValLektor Kepala : Laki-laki : Jurusan Matematika F.MIPA Universitas Brawijaya

Malang 65145 : JI. Bukit Hijau F1117A Malang 65144 : Analisis Matematika, Function Spaces : Analisis Real I dan II. Teori Ukuran. Topologi : mslk@brawijaya.ac.id

1 No 1 Tempat Pendldikan ( Kotal Negara I Tahun Lulus ( Bidang Studi (

Penelitian

1 2

Model Hidrodinamika Gelombang Pasang Surut dari Selat Makasar

Sarjana, Universitas Padjajaran Magister Sain, Universitas Gadjah Mada

Bandung Yogyakatta

1987 1996

Matematika Matematika

sistem dinamik untuk mendapatkan orbit yang

Pengabdian pada Masyarakat

Graph bagi Guru Mat. dim

Benjor Kec. Turnpang

Publlkasi llmiah

Semlnar llmiah

Matematika Xlll

Closed Bounded Valued

Pelatlhan, Kursus

Matematika Ekologi

Karya Tulis

Riwayat Jabatan

Tahun

2003

NIP. 19591031 198912 1 001

Pemberi dana lhak terbit

Universitas Muhammadiyah Malang

Judul

Kalkulus I

No

1

Periode

1997 - 2000

2000 - 2003

2003 - 2006

2007 - Sekarang

No

1

2

3

4

Karya Tulis

Buku Ajar

.

Jabatan

Ketua Laboratonum Matematika F. MlPA Unibraw

Ketua Program Studi Matematika F. MlPA Unibraw

Sekretaris Jurusan Matematika F. MlPA Unibraw

Ketua Program Diploma 3 MlTEK F. MlPA Unibraw