Tehniška mehanika 1

Osnovni pojmi

Togo in deformabilno telo, ter masno središče

Obnašanje togega telesa lahko obravnavamo, kot obnašanje točke, v kateri je zbrana vsa masa telesa

m. To točko imenujemo masno središče. Lego masnega središča v prostoru določa krajevni vektor :

∫

Kjer smo z V označili geometrijsko območje, ki ga telo zavzema v prostoru. Če se omejimo na

Zemljino ali na katero koli drugo homogeno gravitacijsko polje masno središče sovpada s težiščem

telesa.

Splošni gravitacijski zakoni in sila teže

Gravitacijski zakon: Telesi se privlačita z gravitacijsko silo velikosti F, ki je premo sorazmerna

produktu njunih mas in in obratno sorazmerna kvadratu razdalje r med njima:

κ=gravitacijska konstanta= 6.67 ×

Sila teže G je privlačna sila med telesom z maso m in Zemljo z maso .

[N]

Kjer je g=

=9.81 ⁄ .

1. Newtonov zakon

Masno središče telesa miruje ali se giblje premo ali enakomerno, če je vektorska vsota vseh nanj

delujočih sil Fi enaka 0.

∑

Telo se vrti enakomerno, če je vsota vseh zunanjih momentov (navorov) Mi enaka 0.

∑

2. Newtonov zakon

Rezultanta zunanjih sil ∑ , ki delujejo na telo je enaka spremembi gibalne količine

masnega središča S v enoti časa.

Če se masa m ne spreminja, je sila premosorazmerna s pospeškom masnega središča telesa .

Rezultanta vseh momentov, ki delujejo na telo, enaka spremembi vrtilne količine v enoti časa:

3. Newtonov zakon

(Zakon o akciji in reakciji)-> Če prvo telo deluje na drugo telo s silo, deluje drugo telo na prvo z

nasprotno usmerjeno enako veliko silo.

Razstavljanje sile

= =

Vrste sil

Glede na območje delovanja delimo sile na:

- Točkovne,

- Linijske,

- Ploskovne.

Glede na vlogo sil v telesu pa sile delimo na:

- Aktivne sile (konstrukcija obremenjena z njimi)

- Reakcijske sile (pojavijo se na mestu pritrditve konstrukcije na okoliško podlago-posledica

aktivnih sil; ravnovesje)

- Interakcijske sile (pojavijo se med posameznimi dedtavnimi deli konstrukcije)

- Notranje sile (posledica delovanja aktivnih sil-v konstrukciji)

Definicija momenta (navora)

Vektor momenta je pravokoten na ravnino, ki jo določata vektorja ročice r in sile F.

Moment sile Mv definiramo, kot vektorski produkt vektorja ročice r in sile F.

Vektor ročice r je relativni krajevni vektor, ki povezuje vrtišče V s prijemališčem sile F. Velikost

momenta Mv je:

Ravnotežne enačbe

∑ ∑ ∑

Enako velja za navor.

Sile med togimi telesi, trenje

Sila trenja

Če klado postavimo na nagnjeno, idealno gladko površino, se bo klasa začela pospešeno gibati zaradi

tega, ker rezultanta vseh sil ni enaka 0. Da dosežemo vsoto vseh sil je enako 0, mora v tem primeru

biti podlaga hrapava tako, da se ustvari sila trenja. Kontaktno silo (sila podlage) lahko

razstavimo na dve komponenti in sicer tangentno in pravokotno na ravnino dotika.

Koeficient trenja

Kot ϕ med smerjo kontaktne sile in smerjo normale na dotikalno ploskev določa tudi razmerje med

obema komponentama kontaktne sile.

Obstaja seveda maksimalni kot kjer se kontaktna sila še uravnoteži. Z njim definiramo

koeficient trenja μ:

Sile s skupnim prijemališčem

Ravnotežje sil s kupnim prijemališčem

Če je rezultanta vseh sil, ki delujejo na telo in imajo skupno prijemališče, enaka nič, je telo v

ravnotežju. Če nekaterih sil ne poznamo, za namen njihove določitve zapišemo pogoj

ravnotežja(ravnovesne enačbe). Izračun izvedemo tako, da sile razporedimo na posamezne

komponente, vsota le teh pa mora biti enaka nič.

∑

∑

Sile brez skupnega prijemališča Govorimo takrat, ko se smernice sil delujoče na telo ne sekajo v isti točki. Lahko povzročijo tudi

pospešeno vrtenje telesa.

Če sta sili in , ki ne ležita na isti smernici, enako veliki a nasprotno usmerjeni, telesa ne

premikata ampak ga vrtita v ravnini obeh sil. Velikost momenta dvojice M=Fa je odvisna le od

velikosti sil njune medsebojne razdalje, ne pa oddaljenosti od vrtišča.

Silo togemu telesu lahko vzporedno prestavimo v poljubno točko. Preneseni sili moramo dodati tudi

moment, ki ga ta sila povzroča v svojem prvotnem položaju.

Konstrukcija je statično določena, če ravnotežne enačbe zadoščajo za enoličen izračun vseh reakcij in

notranjih veličin problema.

Statično predoločene konstrukcije, če je ravnotežnih enačb preveč, da bi iz njih lahko enolično

izračunali vse reakcije in notranje veličine. Miruje v labilnem ravnotežju. Takšne konstrukcije so

mehanizmi.

Statično nedoločene konstrukcije se pojavijo takrat, ko je ravnotežnih enačb premalo, da bi iz njih

lahko izračunali vse reakcije in notranje veličine. Lahko so:

- Zunanje statično nedoločene, kar pomeni da so podprte večkrat, kot je potrebno.

- Notranje statično nedoločene, kar pomeni da ravnotežne enačbe zadoščajo za izračun

reakcij, vendar je povezovalnih elementov konstrukcije preveč.

Če želimo ugotoviti, če je konstrukcija statično nedoločena, predoločena ali določena izračunamo

stopnjo statične nedoločenosti .

je število statičnih neznank problema in število ravnotežnih enačb.

Ločimo:

- Ns=0 (konstrukcija je statično določena)

- Ns<0 (konstrukcija je statično predoločena)

- Ns>0 (konstrukcija je statično nedoločena)

Vrste členkov in njihova vloga:

So konstrukcijski elementi, ki konstrukciji povečajo določene prostostne stopnje. Če so v konstrukciji

prisotni členki, je stopnja statične določenosti manjša, kot če jih ne bi bilo, saj se preko členka

prenašajo samo sile. Konstrukcijo preko členkov vedno navidezno režemo. Pri analizi sil pa

upoštevamo zakon akcije in reakcije.

Notranje veličine Če hočemo ugotoviti, kako je posamezen prerez obremenjen, na tistem mestu prerežemo predmet.

Kar se pojavi na prerezu mora uravnotežiti učinek zunanje sile F. Če naj bo obravnavani del palice v

ravnotežju, mora biti rezultanta teh sil po velikosti enaka, po smeri pa nasprotna sili F:

∑

Sila s katero uravnotežimo zunanjo silo F imenujemo notranja osna sila (N).

Notranje veličine:

So rezultirajoči učinki , ki se pojavijo na teh mestih. V ravninskih primerih se na prerezni ploskvi

pojavijo naslednje notranje veličine:

- Notranja osna sila N,

- Notranja prečna sila T,

- Notranji upogibni moment M.

NTM diagram:

Notranje veličine se vzdolž nosilca spreminjajo tako po velikosti, kot tudi po smeri. Njihovo

spreminjanje prikazujejo diagrami notranjih osnih sil N(x), notranjih prečnih sil T(x) in notranjih

momentov M(x).

Polje nosilca:

Polje je območje nosilca, kjer se funkcijski predpisi za notranje statične seličine N(x), T(x) in M(x) in

kinematične veličine ne spremenijo. Novo polje vzdolž nosilca v splošnem definira:

- Vsaka sprememba v funkcijskem predpisu materiala, geometrije, ter obremenitve.

- Vsaka skokovita sprememba materiala, geometrije, ter obremenitve.

Kako določimo zapise za NTM diagrame:

1. Izračunamo reakcije.

2. Določitev funkcijskih predpisov notranjih veličin posameznih polj.

3. Prikažemo notranje veličine na ločenih diagramih.

Zveze med notranjimi statičnimi veličinami

- Notranja prečna sila T(x) je odvod notranjega momenta M(x).

- Zunanja prečna zvezna obtežba q(x) je odvod notranje prečne sile T(x).

- Zunanja osna zvezna obtežba n(x) je odvod notranje osne sile N(x).

Uporabnost notranjih veličin:

Iz NTM diagramov določamo, katera osnovna obremenitvena stanja se v konstrukciji pojavijo. NTM

diagrami so osnova za izračun napetosti v konstrikciji.

Risanje NTM diagramov:

Skiciranje diagramov notranjih sil N(x) in T(x) je preprosto, kadar so reakcije že znane. Pomembne so

za oceno lokacije potencialnih kritičnih mest konstrukcije, ter za preverjanje pravilnosti izračunanih

diagramov.

- NT diagrami prikazujejo spreminjanje notranjih sil vzdolž nosilca. Funkcijski predpis notranje

sile je v tem polju konstanta.

- Če je polje obremenjeno s konstantno obtežbo q(x) je funkcijski predpis notranje sile linearna

funkcija.

- Vsiljen in reakcijski moment se ne odražata neposredno v diagramih notranjih sil. Na mestu

zunanjega momenta torej skoka v diagramu sil ni.

Notranji moment M(x):

Je sorazmeren z ukrivljenostjo nosilca (bolj, kot je ukrivljen->večji je moment):

Predznak notranjega momenta lahko določimo tako, da pogledamo spodnjo stran nosilca. Kjer je

nosilec raztegnjen(dol) je moment pozitiven, kjer pa je stisnjen(gor) pa je negativen.

Kako skiciramo diagrame notranjih momentov M(x):

Ne skiciramo od leve proti desni tako, kot diagrama T(x) in N(x), vendar se osredotočimo na ničle,

skoke, obliko funkcije notranjega momenta, ter predznak.

Napetosti in deformacije Pri napetostih in deformacijah statično ravnotežje ni dovolj za mirovanje telesa. Telo ne miruje, če

materialne lastnosti telesa niso ustrezne. Poleg sil potrebujemo nove veličine, ki bodo pojasnile, kdaj

so zunanje obremenitve še dopustne. Izraz dopustnost lahko pomeni porušitev sistema ali

nestabilnost, lahko pa tudi mejo plastičnosti nad katero se konstrukcija več ne povrne v prvotno

obliko. Za določitev obremenjenosti zato uvedemo napetosti. Preden lahko razumemo napetost

moramo spoznati kaj je napetostni vektor.

Za telo, sestavljeno iz neskončnega števila neskončno majhnih gradnikov, definiramo napetostni

vektor pi na obravnavani elementarni ploskvici z limitinim procesom:

Elementarni delec:

Če je telo sestavljeno iz neskončnega števila neskončno majhnih kock, potem to poimenujemo

elementarni delec. Želimo ugotoviti kakšni so učinki na ta delec in ga zato »izrežemo« iz telesa.

Delovanje okolice na telo oz. kocko predstavljajo napetostni vektorji.

Napetostne vektorje (pi) označimo glede na ploskev na katero se pojavijo. (px na osi x, py na osi y in

pz na osi z) Napetostni delci v vseh šestih ploskvah ohranjajo elementarni delec v ravnotežni legi.

Obremenjenost elementarnih delcev:

Primer: (palica) Navidezno jo prerežemo in opazujemo medsebojni učinek. Vsak elementarni delec na

površini prevzame del zunanje obremenitve F, tako da jo skupaj uravnotežijo. Ob predpostavki, da se

sila enakomerno porazporedi po površini potem je velikost vektorja enaka ⁄ .

Napetosti:

Če napetostni vektor razstavimo na komponenti dobimo napetosti. Komponento napetostnega

vektorja, ki je pravokotna na odrezno ploskev, imenujemo normalna napetost σ, komponento, ki leži

na ravnini pa tangencialna ali strižna napetost τ. Normalno napetost σ na določeni ploskvi delec

občuti, kot raztegovanje ali stiskanje, strižno napetost τ pa, kot učinek striženja.

Indeksi napetosti:

Najprej označimo vrsto napetosti σ, τ. Nato najprej označimo usmerjenost normalne ploskve, na

kateri se napetost nahaja, drugi indeks pa podaja usmerjenost napetosti.

Napetostni tenzor:

Napetostno stanje elementarnega delca napišemo z napetostnim tenzorjem, ki ima 9 komponent.

Ravninsko napetostno stanje:

Enako, kot napetostni tenzor samo da obravnava 2D prostor. (samo x in y os)

Napetosti v koordinatnem sistemu:

Glavne napetosti:

Pri nekem kotu α=ϕ opazimo, da je τ=0. Normalni napetosti sta v tem položaju delca, ko strižnih

napetosti ni. To imenujemo glavni napetosti. Večjo označimo z , manjšo pa z :

Največje strižne napetosti:

Iščemo orientacijo delca ϕ, pri katerem je strižna napetost τ največja. Izkaže se, da je strižna napetost

največja v ravnini, ki leži pod kotom 45 glede na koordinatne osi glavnih napetosti in .

Velikost je podana z enačbo:

Posebni primeri napetostnih stanj:

- Enoosno stanje (pojavita se le dve enako veliki normalni napetosti na nasprotnih ploskvah)

- Hidrostatično stanje (se pojavi takrat, ko se na vseh ploskvah delca pojavijo samo normalne

napetosti, ki so med seboj po velikosti enake. (telesa, ki so potopljena v tekočini))

- Čisti strig (stanje pri katerem se delcu pri obremenjevanju prostornina ohranja)

Normalne deformacije:

Spremembo dolžine vlakna delca podajamo z normalnimi deformacijami ε. Za majhne raztezke pa

zadostuje:

(inženirska normalna deformacija)

Deformacijski tenzor:

Ravninsko deformacijsko stanje:

Podobno, kot deformacijski tenzor, le prez z komponent. ( 2D )

Deformacije v novem koordinatnem sistemu:

Glavne deformacije:

O njih govorimo kadar se v deformiranem stanju pravi koti elementarnega delca ohranijo, oziroma po

analogiji z glavnimi napetostmi, kadar so kotne deformacije nič:

Sprememba prostornine:

Spremembo prostornine telesa ΔV z začetno prostornino popisuje volumska deformacija :

Osnovni Hookov zakon:

Pravi, da sta napetost σin deformacija ε v primeru enoosnega stanja premosorazmerni,

sorazmernostni koeficient pa imenujemo modul elastičnosti E:

Podobno sta tudi strižna napetost τ in kotna deformacija γ premosorazmerni v primeru čistega striga.

G je strižni modul.

Modul elastičnosti (YOUNGOV modul):

Modul elastičnosti E predstavlja naklon krivulje elastičnega območja.

Poissonov količnik:

To je velikost prečnega skrčka ali raztezka posameznega materiala. Definiran pa je, kot razmerje

prečne proti vzdolžni deformaciji pri enoosni obremenitvi.

Strižni modul:

Je sorazmernostni koeficient med strižno napetostjo τin kotno deformacijo γ:

Hookov zakon za prostorsko napetostno stanje:

Povezuje komponente napetostnega tenzorja s tenzorjem deformacij pri splošnem

napetostno-deformacijskem stanju:

Stanje obremenitve:

Upoštevamo, da je splošno napetostno stanje posledica kombinacije osnovnih obremenitvenih stanj:

- Enoosno (nateg-tlak)

- Upogib

- Strig

- Torzija.

Primerjalna napetost:

Primerjalna napetost nam v praksi pove npr. iz katerega materiala naj bojo sestavni deli konstrukcije,

kakšnih dimenzij morajo biti, itd., da bo napetostno stanje v konstrukciji še dopustno.

Če je konstrukcija obremenjena s kombinacijo različnih osnovnih obremenitvenih stanj, se pojavi v

vsaki točki konstrukcije šest različnih napetostnih komponent, ki sestavljajo napetostni tenzor.

Napetostno stanje se od točke do točke spreminja. Tu naletimo na dve oviri:

- Obremenjenost vsake materialne točke opišemo s šestimi komponentami tenzorja.

- Za nobeno izmed šestih komponent nimamo nobene referenčne vrednosti.

Če bi hoteli preveriti ali je neko napetostno stanje dopustno ali ne bi morali to preveriti z mnogimi

eksperimenti. Zato se problema lotimo drugače. Potrebujemo primerjalno napetost , s katero vse

komponente tenzorja pretvorimo v eno samo vrednost. Mesto najbolj obremenjene točke pa

imenujemo kritično mesto konstrukcije.

Primerjalna napetost predstavlja mero obremenjenosti posamezne točke. Zanima nas ali je

napetostno stanje v tej točki še dopustno ali ne. Se pravi potrebujemo še neki dopustno napetost s

katero bomo kasneje primerjali. Za izračun uporabimo domneve izmed katerih je najbolj primerna

Misesova hipoteza. To je le ena izmed primerjalnih napetosti. Misesova primerjalna napetost:

V primeru nosilcev, kjer se napetosti pojavijo samo v prerezu nosilca se enačba poenostavi na:

Poseben pomen primerjalne napetosti je v tem, da lahko splošno napetostno stanje točke telesa

primerjamo z enoosnim, saj je za enoosno stanje kar enaka osni napetosti.

Kritična mesta konstrukcije: so mesta, kjer so vrednosti primerjalne napetosti največje. Lokacije

kritičnega mesta nosilca v splošnem vnaprej ni moč določiti. Primerjalno napetost lahko izračunamo

za vsa mesta konstrukcije za katere presodimo, da bi bila lahko kritična.

Dimenzioniranje in kontrola obremenjenosti, ter dopustna napetost:

Pri obravnavanju konstrukcij imamo lahko naslednje naloge:

- Dimenzioniranje konstrukcije

- Kontrola napetostnega stanja,

- Izračun nosilnosti konstrukcije.

Pri vseh nalogah pa izhajamo iz zahteve, da primerjalna napetost nikakor nesme preseči dopustne.

S stališča porabe materiala je optimalno, da vzamemo . Dopustna napetost je za faktor

varnosti v zmanjšana meje tečenja pri enoosnem nateznostnem preizkusu:

Enoosni primeri, paličje uklon O enoosnem napetostnem stanju govorimo, kadar se v prerezu pojavijo samo normalne napetosti σ v

osni smeri elementa. Te elemente imenujemo palice. Integral normalnih napetosti po prečnem

prerezu imenujemo notranja osna sila N:

∫

Izračun napetosti:

Napetost v poljubnem prečnem prerezu vzdolž palice pri enoosnem napetostnem stanju izračunamo

kot:

Pri čemer je N notranja osna sila na opazovanem prereznem mestu in A ploščina tega prečnega

prereza.

Raztezek posameznega polja:

Raztezek posameznega polja je posledica mehanskih in temperaturnih vplivov. Raztezek

izračunamo kot:

Kjer so E modul elastičnosti, Δ temperaturna sprememba, ter linearna temperaturna razteznost

posameznega polja.

Statična določenost paličja:

Ravninsko paličje je :

- Statično določeno (če lahko iz ravnotežnih enačb izračunamo vse notranje osne sile v palicah

in reakcije),

- Statično predoločeno

- Statično nedoločeno (če vseh osnih sil v palicah in reakcij ne moremo določiti le s pomočjo

ravnotežnih enačb, ampak potrebujemo še dodatne->deformacijske).

Izračun notranjih sil v palicah:

1. Navidezno izrežemo vsako posamezno vozlišče, na odrezana mesta dorišemo reakcijske

in notranje osne sile, ter zapišemo ravnotežne enačbe.

2. Iz sistema linearnih enačb izračunamo reakcije in notranje sile v palicah.

Uklon palice:

Če palico obremenimo tlačno, se le-ta pri dovolj veliki obremenitvi lahko ukloni. Uklon je nestabilno

stanje, ki vodi v izbočitev palice, kar se lahko dogodi tlačno obremenjenim palicam. Prečni poves

palice f pa se pri tem s povečevanjem tlačne notranje osne sile ne povečuje sorazmerno.(uklon se

pojavi nemudoma)

Vitkost palice:

Vitkost palice λ je definirana kot:

Pri čemer je minimalni vztrajnostni polmer, A je ploščina prereza, pa minimalni vztrajnostni

moment prereza .

Dimenzioniranje natezno obremenjenih palic:

Primerjalna napetost je v enoosnih primerih kar enaka enoosni napetosti v konstrukciji. Velikost

prereza A določimo:

(primer enoosnega elementa, ki prenaša le natezne obremenitve je na primer vrv)

Dimenzioniranje tlačno obremenjenih palic:

Palica se ukloni, če velikost notranje osne sile N ne preseže vrednosti kritične uklonske sile :

Glede na velikost vitkosti λ palice iz konstrukcijskega jekla kritično silo izračunamo kot:

- Za λ> 105 (Eulerjeva formula):

- Za 50 105 (Tetmajerjeva formula):

- Za λ <50: (v tem primeru palica doseže mejo plastičnosti, kot pa se ukloni).

Upogib O upogibu govorimo, ko je konstrukcijski element obremenjen tako, da se njegova vzdolžna os pri

obremenitvi ukrivi. Tako obremenjene elemente, ki imajo vzdolžno dimentijo znatno večjo od

debeline in širine, imenujemo nosilci. Če se nosilec zaradi obremenitve upogne, se v prečnem prerezu

pojavijo normalne napetosti v osni smeri, ki jih imenujemo tudi upogibne napetosti. Čisti upogib

nastane takrat, ko notranjih sil ni, obstaja pa samo notranji moment. (NTM diagram)

Velikost notranjega momenta M na mestu prereza x vzdolž nosilca je definirana, kot seštevek

momentov ΔMi, ki jih na vsak delec prereza povzročajo sile.

Porazdelitev upogibnih napetosti po prerezu:

Pri čistem upogibu okoli osi y se normalne napetosti v smeri x osi linearno spreminjajo po višini

prereza.

Kjer je e razdalja med osjo upogibanja in od nje najbolj oddaljeno točko prereza, pa največja

napetost, ki se v prerezu pojavi prav v tej najbolj oddaljeni točki. Sledi:

Maksimalna napetost:

Pri čemer je

odpornostni moment prereza glede na y os. Porazdelitev napetosti po prerezu

tako popisuje enačba:

Dimenzioniranje v primerih čistega upogiba:

Primerjalna napetost, ki jo pri dimenzioniranju enačimo z dopustno je v primeru čistega upogiba

enaka največji upogibni oz. normalni napetosti v konstrukciji. Velikost momenta W lahko

določimo iz enačbe:

Izračun težišča likov:

Koordinati težišča glede na predpostavljen koordinatni sistem.

Drugače določimo težišče z enačbama:

Izračun statičnega momenta prereza:

Statični moment je dan z:

Oz.:

Premik koordinatnega sistema in Steinerjevo pravilo:

Če poznamo vztrajnostne momente prereza glede na osi težiščnega koordinatnega sistema, lahko

vztrajnostne momente glede na osi novega koordinatnega sistema izračunamo s pomočjo

Steinerjevega pravila:

Izračun vztrajnostnih momentov prereza:

Po navadi razdelimo na N elementarnih likov, katerih težišča in težiščne vztrajnostne momente

poznamo. Vztrajnostni moment celega prereza dobimo tako, da momente posameznih likov skupaj

seštejemo.

Zasuk koordinatnega sistema:

Glavni vztrajnostni momenti prerezov:

Vztrajnostni moment prereza je največji možni vztrajnostni moment danega prereza, pa

najmanjši:

Kot med prvo glavno osjo in y osjo označimo z :

Poševni upogib:

Na koncu dobimo napetostno stanje, ki se pojavi pri poševnem upogibu:

Odpornostni moment prereza:

Definiran, kot:

Upogibnica Je krivulja povesov w(x), ki ponazarja potek deformacijske črte upogibno obremenjenega nosilca. Pri

upogibu navadno z os usmerimo navzdol, zato so povesi navzdol pozitivni in obratno.

Diferencialna enačba upogibnice 2. Reda:

Notranji moment je premosorazmeren z ukrivljenostjo upogibnice w(x).

Diferencialna enačba upogibnice se glasi: (drugi odvod->pove približek ukrivljenosti)

Kjer je E modul elastičnosti, I pa vztrajnostni moment prereza glede na upogibno os.

Izračun upogibnice s pomočjo diferencialne enačbe:

- Določitev reakcij

- Določitev funkcije notranjega momenta

- Določitev enačbe upogibnice w(x)

Če imamo upogibnico znano lahko izračunamo:

- Zasuk upogibnice ϕ(x),

- Notranji moment M(x),

- Notranjo prečno silo T(x).

Strig in torzija

Čisti strig:

Če se elementarnemu delcu telesa spremeni samo oblika, ne pa njegove dimenzije, nastalo

napetostno stanje imenujemo stanje čistega striga. Lahko je podan z glavnimi napetostmi in sicer kot:

Strig v vezanih elementih: (gred in zobnik)

Pri preračunu striga v veznih elementih navadno predpostavimo, da je porazdelitev napetosti v strižni

coni po celotni prerezni površini A enaka. Strižne napetosti izračunamo kot:

Kjer je T notranja prečna sila v strižni coni.

V primeru, da vse strižne cone prenašajo enako obremenitev, potem velja:

Kjer je m število veznih elementov, ter n število strižnih mest posameznega veznega elementa.

Produkt nm predstavlja število vseh strižnih con v sestavu.

Dimenzioniranje veznih elementov:

V primeru, da je vezni element obremenjen pretežno na strig, lahko predpostavimo stanje čistega

striga. Primerjalna napetost, ki jo pri dimenzioniranju enačimo z dopustno je v primerih čistega striga

enaka (enačba). Velikost prereza veznega elementa A tako določimo iz enačbe:

Strig v nosilcih:

V nosilcih se čisti strig pojavi samo takrat, kadar ni notranjega momenta, sicer pa se strižne napetosti

najpogosteje pojavijo skupaj z normalnimi, kot posledica upogiba. Strig se v upogno obremenjenih

nosilcih pojavi takrat, kadar se vzdolžne plasti nosilca med seboj različno raztegujejo oziroma krčijo.

Izračun strižnih napetosti v nosilcu:

Strižne napetosti se po višini simetričnega prereza spreminjajo po enačbi:

Kjer je T notranja prečna sila (navidezno prerezano mesto), Sy(z) je statični moment označenega dela

prereza, b(z) širina prereza na višini z in Iy aksialni vztrajnostni moment celotnega prereza glede na y

os.

Dimenzioniranje nosilcev z upoštevanjem striga:

Ker se v nosilcih redko pojavi samo strig, zaradi striga napetosti kombiniramo z napetostmi, ki se pod

vplivom ostalih obremenitvenih stanj v nosilcu še pojavijo. Vpliv strižne napetosti upoštevamo z

izračunom primerjalne napetosti. Vpliv striga je pri dimenzioniranju tako zajet v enačbi:

√

Torzija:

Je napetostno-deformacijsko stanje, ki ga povzroča moment , ki deluje okrog vzdolžne osi nosilca.

Odziv nosilca na takšno obremenitev prereza imenujemo notranji torzijski moment.

Kjer to τ strižne napetosti, ki se pojavijo kot posledica torzijske obremenitve. ( )

Torzijski vztrajnostni moment:

Torzijski vztrajnostni moment je geometrijska karakteristika prereza, ki v produktu s strižnim

modulom G predstavlja torzijsko togost gredi. predstavlja sorazmernostni koeficient med

notranjim torzijskim momentom in specifičnim kotom zasuka ϑ:

Torzija poljubnega prereza:

Zasučni kot posameznega polja gredi dolžine izračunamo z enačbo:

Največje strižne napetosti posameznega polja se pojavijo v točki na obodu gredi, ki je najbližja

težišču prereza. Izračunamo jih z enačbo:

Kjer je torzijski odpornostni moment i-tega polja gredi, ter notranji torzijski moment i-tega

polja gredi.

Dimenzioniranje gredi:

Če je napetostno stanje v gredeh stanje čiste torzije, je primerjalna napetost, ki jo pri dimenzioniranju

enačimo z dopustno enaka √ . Velikost prereza tako določamo glede na potrebni torzijski

odpornostni moment ,ki ga določimo z enačbo:

Torzija gredi in cevi krožnega prereza:

Torzijski vztrajnostni moment za gredi in cevi krožnega prereza je enak polarnemu vztrajnostnemu

momentu :

Za gredi zunanjega premera R in dolžine L velja:

Pri čemer je zasučni kot prostega konca gredi dolžine L. Največje strižne napetosti, ki se

pojavijo na obodu gredi, izračunamo z enačbo:

Torzija tankostenskih cevi poljubnega prereza:

Težavnost obravnavanja torzijskih problemov je, da je za veliko večino prerezov težko izračunati

torzijski vztrajnostni moment ter s tem torzijske napetosti τ. Za tankostenske cevi lahko

predpostavimo, da je strižna napetost po debelini stene prereza konstantna. Napetost podaja 1.

Bredtova enačba:

Kjer je Asr ploščina, ki jo omejuje srednjica tanke stene debeline t. Torzijski vztrajnostni moment

izračunamo z 2.Bredtovo enačbo:

Za cevi konstantne debeline t(s)=t zgornja enačba preide v:

Kjer je Osr obseg cevi po srednjici tanke stene. Zasučni kot pri x=L za tankostenske cevi izračunamo z

enačbo:

Statično nedoločeni primeri Konstrukcija je zunanje statično nedoločena, če je neodvisnih ravnotežnih enačb manj, kot je število

neznanih reakcij. Deformacijske enačbe so dodatne enačbe za pomoč pri računanju ravnotežnih

enačb. Deformacijske enačbe predstavljajo zvezo med deformacijami.

Princip superpozicije:

Konstrukcijske sestave, na katere deluje več učinkov hkrati, lahko obravnavamo po principu

superpozicije. To pomeni, da lahko posamezne učinke na konstrukciji obravnavamo ločeno. Odziv

konstrukcije tako predstavlja seštevek vseh posameznih odzivov. Seštevanju delnih odzivov rečemo

tudi superponiranje odzivov. Superponiramo kinematične, kot tudi statične veličine.

Reševanje statistično nedoločenih linijskih konstrukcij:

Statično nedoločena konstrukcija je konstrukcija, ki ima več podpor, kot jih sicer za stabilno

ravnotežje potrebuje. Velikost reakcij samo z ravnotežnimi enačbami ne moremo določiti. V tem

primeru nedoločeno konstrukcijo pretvorimo v določeno. Pri reševanju moramo upoštevati

kinematične pogoje iz statično nedoločene konstrukcije.

1. Izoliramo konstrukcijo od okolice, ter razklenemo vezi znotraj konstrukcije. (ločimo

posamezne elemente)

2. Iz prostega telesa ugotovimo stopnjo statične nedoločenosti.

3. Spremenimo ns reakcij/interakcij v nadomestne aktivne obtežbe.

4. Narišemo statično določeno konstrukcijo.

5. Poiščemo ns deformacijskih enačb (pogojne enačbe).

6. Primer obravnavamo po princupu superpozicije.

Prostostna stopnja torzijskih problemov:

Zasuk gredi okrog vzdolžne osi i-tega polja dolžine Li s konstantnim torzijskim momentom podaja

enačba:

Deformacijska enačba se v primeru torzije nanaša na vzdolžne zasuke posameznih prerezov

konstrukcije.

Deformacijska enačba za enoosne primere:

Raztezek i-tega polja s konstantno notranjo osno silo Ni podaja enačba:

Deformacijska enačba se v enoosnih primerih nanaša torej na raztezke posameznih polj konstrukcije

.