tehnicka mehanika 2 - osnovne akademske …...k=1 t k s.br£i¢, s. ri¢o ehni£kta mehanika 2...
TRANSCRIPT
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
TEHNI�KA MEHANIKA 2
Osnovne akademske studije, III semestar
Doc. dr Stanko �ori¢email: [email protected]
Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu
�k. god. 2019/20
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija mat. ta£ke
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
De�nicija kineti£ke energije
T =1
2m (~v)2
Skalarni oblik u Dekatrovim koorinatama
T =1
2m(x2 + y2 + z2)
Skalarni oblik u prirodnim koordinatama
T =1
2ms2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Generalisane koordinate q1, q2, q3- polarno-cilindarske ρ, ϕ, z- sferne kordinate R,ϕ, ϑ
Vektor poloºaja ta£ke ~r = ~r(q1, q2, q3)
Bazni vektori generalisanog sistema ~gi =∂~r
∂qi(i = 1, 2, 3)
Kineti£ka energija se dobija u obliku:
T =1
2
3∑i=1
3∑j=1
gij qi qj
gde su gij koe�cijenti metri£ke forme gij = ~gi · ~gj = gjiS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Broj materijalnih ta£aka: N
Broj stacionarnih holonomnih veza: r
Broj stepeni slobode: n = 3N − rGeneralisane koordinate: qi = qi(t) (i = 1, 2, . . . , n)
Vektor poloºaja ta£ke Pk je ~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn)
Vektor brzine proizvoljne ta£ke sistema je
~vk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
qi
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija sistema mat. ta£aka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija jedne ta£ke Pk je
Tk =1
2mk(~vk)
2 =1
2mk
(n∑i=1
∂~rk∂qi
qi
) n∑j=1
∂~rk∂qj
qj
Ukupna kineti£ka energija sistema je jednaka
T =
N∑k=1
Tk
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Posle sre�ivanja moºe da se dobije T kao homogena kvadratna
forma po generalisanim brzinama (za stacionarne veze)
T =1
2
n∑i=1
n∑j=1
Aij qi qj
gde su Aij elementi generalisane mase:
Aij = Aji =
N∑k=1
mk∂~rk∂qi
∂~rk∂qj
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija krutog tela
De�nicija kineti£ke energije krutog tela:
T =1
2
∫m(~v)2dm
Kako je
(~v)2 = (~vA + ~ω × ~ρ)2 = (~vA)2 + 2~vA · (~ω × ~ρ) + (~ω × ~ρ)2
kineti£ka energija se dobija u obliku:
T =1
2m(~vA)
2 + (~vA × ~ω) ·∫m~ρ dm+
1
2
∫m(~ω × ~ρ)2 dm
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija krutog tela
Integral u sredini izraza je jednak nuli
(~vA × ~ω) ·∫m~ρ dm = 0
u slu£ajevima:
• Op²te kretanje A ≡ S ⇒∫~ρdm = 0
• Sferno kretanje ~rA = const ⇒ ~vA = 0• Zavojno kretanje ~vA ‖ ~ω ⇒ ~vA × ~ω = 0• Translatorno kretanje ~ω = 0 ⇒ T = 1
2m(~vA)2
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija krutog tela
Uvek je ispunjen jedan od navedenih uslova, pa je
T =1
2m(~vA)
2 +1
2
∫m(~ω × ~ρ)2 dm
Prvi deo je kineti£ka energija translacije, a drugi deo kineti£ka
energija rotacije
Integral u kineti£koj energiji rotacije se dobija u vidu proizvoda
momenata inercije i koordinata vektora ~ω = {p, q, r}:∫m(~ω × ~ρ)2 dm = p2Jξ + q2Jη + r2Jζ
+ 2pqJξη + 2qrJηζ + 2rpJζξ
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija krutog tela u op²tem slu£aju kretanja
(A ≡ S) je data sa:
T =1
2m(~vS)
2 +1
2(p2Jξ + q2Jη + r2Jζ)
+ (pqJξη + qrJηζ + rpJζξ)
U slu£aju sfernog kretanja (referentna ta£ka A je nepokretna),
kineti£ka energija je:
T =1
2(p2Jξ + q2Jη + r2Jζ)
+ (pqJξη + qrJηζ + rpJζξ)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija krutog tela
U referentnoj ta£ki (S ili A) se za materijalne ose biraju glavne
ose inercije (1), (2) i (3). Vektor ~ω = {ω1, ω2, ω3}Kineti£ka energija krutog tela u op²tem slu£aju kretanja
(A ≡ S) je data sa:
T =1
2m(~vS)
2 +1
2(ω2
1J1 + ω22J2 + ω2
3J3)
U slu£aju sfernog kretanja (referentna ta£ka A je nepokretna),
kineti£ka energija je:
T =1
2(ω2
1J1 + ω22J2 + ω2
3J3)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija krutog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija krutog tela moºe da se prikaºe i u
matri£nom obliku (za op²te kretanje tela):
T =1
2{vS}T [m]{vS}+
1
2{ω}T [J ](S){ω}
Prvi deo izraza predstavlja kineti£ku energiju translacije, a
drugi deo je kineti£ka energija rotacije
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija krutog tela
U izrazu za T sa{vS} i {ω} su matri£no prikazani vektori
brzine sredi²ta mase i ugaona brzina krutog tela:
{vS} =
vSξvSηvSζ
{ω} =
pqr
dok su [m] i [J ] matrica mase i matrica inercije:
[m] =
mm
m
[J ](S) =
Jξ Jξη JξζJηξ Jη JηζJζξ Jζη Jζ
(S)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija
Kineti£ka energija krutog tela - ravno kretanje
Kineti£ka energija krutog tela u slu£aju ravnog kretanja je:
T =1
2m(~vS)
2 +1
2JS ω
2
Prvi deo izraza predstavlja kineti£ku energiju translacije, a
drugi deo je kineti£ka energija rotacije
~vS je vektor brzine sredi²ta mase, ω je ugaona brzina, dok su
m i JS masa tela i centralni momenat inercije tela za osu
upravno na ravan kretanja
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Kineti£ka energija materijalne ta£keKineti£ka energija sistema materijalnih ta£akaKineti£ka energija krutog tela
Kineti£ka energija krutog tela - ravno kretanje
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sile - materijalna ta£ka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sile - materijalna ta£ka
Elementarni rad sile, odn. rad sile na elementarnom
pomeranju, je, za materijalnu ta£ku, de�nisan sa:
dA = ~F · d~r
Prema de�niciji vektorskog proizvoda, elementarni rad sile je
dA = |~F | |d~r| cos(~F , d~r)
Koordinatni oblici elementarnog rada sile su
- Dekartov sistem (x, y, z) . . . dA = Xdx+ Y dy + Zdz- Prirodni sistem (τ, n, b) . . . dA = Fτds
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sile - materijalna ta£ka
Ako na ta£ku istovremeno deluje vi²e sila, elementarni rad svih
sila je dat sa
dA = ~FR · d~r
gde je ~FR rezultanta sila koje deluju na ta£ku
Ako je sila ⊥ na elementarno pomeranje, elementarni rad je
nula:~F⊥d~r ⇒ dA = 0
(jer je cos(~F , d~r) = 0)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sile - sistem materijalnih ta£aka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sila - sistem mat. ta£aka
Posmatra se sistem mat. ta£aka sa reonomnim
(nestacionarnim) holonomnim vezama Pk, (k = 1, . . . , N)
Sistem ima n stepeni slobode i generalisane koordinate su
qi = qi(t)
Za takav sistem vektor poloºaja proizvoljne ta£ke Pk je dat sa
~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)
Prema tome, elementarno pomeranje je dato sa:
d~rk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
dqi +∂~rk∂t
(k = 1, 2, . . . , N)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sile - sistem mat. ta£aka
Elementarni rad sila na sistemu materijalnih ta£aka je:
dA =
N∑k=1
~Fk · d~rk =
N∑k=1
n∑i=1
~Fk ·∂~rk∂qi
dqi +
N∑k=1
~Fk ·∂~rk∂t
dt
U dvostrukoj sumi se promeni redosled sabiranja
(komutativnost):
N∑k=1
n∑i=1
~Fk ·∂~rk∂qi
dqi =
n∑i=1
dqi
(N∑k=1
~Fk ·∂~rk∂qi
)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sile - sistem mat. ta£aka
Uvodi se oznaka za generalisanu silu koja odgovara
generalisanoj koordinati qi:
Qi =N∑k=1
~Fk ·∂~rk∂qi
(i = 1, 2, . . . , n)
ili, u razvijenom obliku,
Qi =
N∑k=1
(Xk∂xk∂qi
+ Yk∂yk∂qi
+ Zk∂zk∂qi
)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Materijalna ta£ka i sistem mat. ta£aka
Sa ovim se dobija ukupan elementarni rad sila koje deluju na
sistem materijalnih ta£aka u obliku:
dA =
n∑i=1
Qi dqi +
N∑k=1
~Fk∂~rk∂t
dt
U slu£aju sistema sa stacionarnim holonomnim vezama je
dA =
n∑i=1
Qi dqi
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila - kruto telo
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sila na krutom telu
Posmatra se slobodno kruto telo
Na telo deluje sistem koncentrisanih sila ~Fk u napadnim
ta£kama Pk (k = 1, 2, . . . , N)
Elementarni rad sila koje deluju na kruto telo je dat sa
dA =
N∑k=1
~Fk · d~rk
gde su d~rk elementarna pomeranja napadnih ta£aka sila
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sila na krutom telu
Kod krutog tela je elementarno pomeranje d~rk napadne ta£ke
Pk dato sa:
d~rk = d~rA + �~θ × ~ρkgde je d~rA elementarno pomeranje referentne ta£ke A, dok je
�~θ vektor elementarne rotacije tela, a ~ρk vektor poloºaja ta£ke
Pk u odnosu na referentnu ta£ku A
Prema tome, elementarni rad sila koje deluju na kruto telo je
dat sa
dA =
N∑k=1
~Fk · (d~rA + �~θ × ~ρk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sila na krutom telu
Me²oviti proizvod u izrazu za dA se transformi²e
~Fk · (�~θ × ~ρk) = �~θ · (~ρk × ~Fk)
Vektori d~rA i �~θ ne zavise od sabiranja (jedinstveni su za
telo), tako da se dobija
dA = d~rA ·N∑k=1
~Fk + �~θ ·N∑k=1
(~ρk × ~Fk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Elementarni rad sila
Elementarni rad sila na krutom telu
Elementarni rad sila koje deluju na kruto telo se dobija u obliku
dA = ~FR · d~rA + ~M(A)R · �~θ
gde su uvedene oznake za glavni vektor sila ~FR =∑N
k=1~Fk
i za glavni vektor momenata za redukcionu referentnu ta£ku A
~M(A)R =
N∑k=1
(~ρk × ~Fk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sile - materijalna ta£ka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sile - materijalna ta£ka
Virtuelni rad sile - materijalna ta£ka
Virtuelni rad sile koja deluje na materijalnu ta£ku, odnosno,
rad sile na virtuelnom pomeranju ta£ke, de�ni²e se sa:
δA = ~F · δ~r
Virtuelni rad sile koja deluje na materijalnu ta£ku moºe da se
prikaºe u obliku
δA = |~F | |δ~r| cos(~F , δ~r)
Virtuelni rad je jednak nuli ako je
~F⊥δ~r ⇒ δA = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Posmatra se sistem sa holonomnim nestacionarnim vezama
Vektor poloºaja svake ta£ke sistema Pk, (k = 1, . . . , N),
prikazuje se kao
~rk = ~rk(q1, q2, . . . , qn, t)
Virtuelni rad sila koje deluju na sistem materijalnih ta£aka je:
δA =
N∑k=1
~Fk · δ~rk
gde su δ~rk virtuelna pomeranja ta£aka sistema
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Vektor virtuelnog pomeranja ta£ke Pk je dat sa
δ~rk =
n∑i=1
∂~rk∂qi
δqi
Kod virtuelnih pomeranja se vreme ne menja, tako da nema
parcijalnog izvoda ~rk po vremenu, iako su veze nestacionarne
Virtuelni rad postaje
δA =
N∑k=1
n∑i=1
~Fk ·∂~rk∂qi
δqi
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Redosled sabiranja se promeni:
δA =
n∑i=1
δqi
N∑k=1
~Fk ·∂~rk∂qi
Imaju¢i u vidu de�niciju generalisane sile koja odgovara
generalisanoj koordinati
Qi =N∑k=1
~Fk ·∂~rk∂qi
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
kona£an izraz za virtuelni rad sila koje deluju na sistem mat.
ta£aka je
δA =
n∑i=1
Qi δqi
Izraz za virtuelni rad omogu¢ava e�kasnije odre�ivanje
generalisanih sila izra£unavanjem virtuelnog rada
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Virtuelni rad sila - sistem materijalnih ta£ka
Ako se posmatra vitruelno pomeranje kod koga samo jedna od
generalisanih koordinata qi dobije virtuelni prira²taj:
δqj = 0, j = 1, 2, . . . , (i− 1), (i+ 1), . . . , n δqi 6= 0
onda je virtuelni rad jednak:
δA = Qi δqi
Drugim re£ima, generalisana sila je koe�cijent u izrazu za
virtuelni rad uz varijaciju generalisane koordinate, za slu£aj
virtuelnog pomeranja kod kojeg sa samo jedna od
generalisanih koordinata virtuelno menja (δqi 6= 0)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila na krutom telu
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila na krutom telu
Virtuelni rad sila na krutom telu
Posmatra se slobodno kruto telo
Na telo deluje sistem koncentrisanih sila ~Fk u napadnim
ta£kama Pk (k = 1, 2, . . . , N)
Virtuelni rad sila na krutom telu je de�nisan kao i za sistem
mat. ta£aka
δA =
N∑k=1
~Fk · δ~rk
gde su δ~rk virtuelna pomeranja napadnih ta£aka sila
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila na krutom telu
Virtuelni rad sila na krutom telu
Kod krutog tela je virtuelno pomeranje δ~rk napadne ta£ke Pkdato sa:
δ~rk = δ~rA + δ~θ × ~ρkgde je δ~rA virtuelno pomeranje referentne ta£ke A, dok je δ~θvektor virtuelne rotacije tela, a ~ρk vektor poloºaja ta£ke Pk u
odnosu na referentnu ta£ku A
Prema tome, virtuelni rad sila koje deluju na kruto telo je dat
sa
δA =
N∑k=1
~Fk · (δ~rA + δ~θ × ~ρk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila na krutom telu
Virtuelni rad sila na krutom telu
Me²oviti proizvod u izrazu za δA se transformi²e
~Fk · (δ~θ × ~ρk) = δ~θ · (~ρk × ~Fk)
Vektori δ~rA i δ~θ ne zavise od sabiranja (proizvoljni su, ali su
jedinstveni za telo), tako da se dobija
δA = δ~rA ·N∑k=1
~Fk + δ~θ ·N∑k=1
(~ρk × ~Fk)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto teloVirtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad sila na krutom telu
Virtuelni rad sila na krutom telu
Virtuelni rad sila na krutom telu se dobija u kona£nom obliku
δA = ~FR · δ~rA + ~M(A)R · δ~θ
gde je
- δ~rA virtuelno pomeranje referentne ta£ke A- δ~θ vektor virtuelne rotacije oko proizvoljne ose kroz referentnuta£ku A
- dok su ~FR i ~M(A)R glavni vektor sila i glavni vektor momenata
za ta£ku A
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Drugi Njutnov zakon
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Sistem od N mat. ta£aka sa r veza, odn. sa n = 3N − rstepeni slobode kretanja
Na svaku ta£ku k deluje aktivna sile ~Fk (moºe da bude i nula,
a ako ima vi²e sila na jednu ta£ku, onda je ~Fk njihova
rezultanta)
Veze se uklone i zamene odgovaraju¢im reakcijama veza ~Rk
Posmatra se sistem slobodnih ta£aka Pk
Na svaku slobodnu ta£ku deluju dve sile: ~Fk i ~Rk
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Primeni se Drugi Njutnov zakon (aksiom) na svaku slobodnu
ta£ku:
mk ~ak = ~Fk + ~Rk (k = 1, 2, . . . , N)
Kako je ubrzanje ~ak drugi izvod ~rk, to se dobija sistem
diferencijalnih jedna£ina kretanja:
mk ~rk = ~Fk + ~Rk (k = 1, 2, . . . , N)
Neophodno je da se poznaju i po£etni uslovi kretanja
t = 0 : ~rk(0) = ~rk0 ~rk(0) = ~vk0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Ukupan broj skalarnih diferencijalnih jedna£ina kretanja je 3N
Ukupan broj nepoznatih je: n+ r:
- n generalisanih koordinata- r reakcija veza
Kako je broj stepeni slobode kretanja (odn. broj generalisanih
koordinata) odre�en sa n = 3N − r , iz dif. jedna£ina
kretanja napisanih direktnom primenom 2. Njutnovog zakona
se (na£elno) odre�uju i generalisane koordinate i reakcije veza
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Dalamberov princip za materijalnu ta£ku
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Dalamberov princip
Posmatraju se dif. jed. kretanja sistema napisane primenom
Drugog Njutnovog zakona:
mk ~ak = ~Fk + ~Rk (k = 1, 2, . . . , N)
De�ni²e se inercijalna sila koja deluje na ta£ku Pk:
~F ink = −mk ~ak
Drugi Njutnov zakon za svaku ta£ku moºe da se napi²e u
obliku:
~Fk + ~Rk + ~F ink = 0 (k = 1, 2, . . . , N)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Dalamberov princip
Dalamberov princip: (za mat. ta£ku i sistem mat. ta£aka)
Tokom kretanja materijalne ta£ke ili sistema materijalnih
ta£aka, aktivne, reaktivne i inercijalne sile su u "ravnoteºi"
~Fk + ~Rk + ~F ink = 0 (k = 1, 2, . . . , N)
Inercijalna sila za materijalnu ta£ku, ili za materijalnu ta£ku
izdvojenu iz sistema mat. ta£aka, de�nisana je sa
~Fin = −m~a odn. ~F ink = −mk ~ak
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Dalamberov princip
Relacija predstavlja uslove kvazi-ravnoteºe aktivnih, reaktivnih
i inercijalnih sila
Formalno gledano, problem kretanja sistema je transformisan u
kvazi-mirovanje, odn. diferencijalne jedna£ine kretanja su
prikazane kao jedna£ine "ravnoteºe" aktivnih, reaktivnih i
inercijalnih sila
Inercijalne sile se nazivaju i "�ktivne sile inercije" jer nemaju
svoje poreklo u drugim telima, ve¢ se izraºavaju preko mase i
ubrzanja posmatranog tela
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Dalamberov princip
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Op²ta jedna£ina dinamike
Posmatra se sistem materijalnih ta£aka sa idealnim vezama
koje su de�nisane sa relacijom:
N∑k=1
~Rk δ~rk = 0
(ukupan virtuelni rad reakcija veza za ceo sistem je jednak nuli)
Ako se uklone veze u posmatranom sistemu i zamene
reakcijama veza, na svaku slobodnu ta£ku deluje aktivna ~Fk i
reaktivna sila ~Rk
Napi²e se 2. Njutnov zakon za svaku slobodnu ta£ku sistema
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Op²ta jedna£ina dinamike
Svaka od jedna£ina se pomnoºi sa virtuelnim pomeranjem
posmatrane ta£ke:
mk~ak = ~Fk + ~Rk / · δ~rk (k = 1, 2, . . . , N)
Ako se sve jedna£ine saberu, dobija se:
N∑k=1
mk~akδ~rk =
N∑k=1
~Fkδ~rk +
N∑k=1
~Rkδ~rk
Imaju¢i u vidu de�niciju idealnih veza, drugi zbir na desnoj
strani je jednak nuli
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Op²ta jedna£ina dinamike
Dalamber-Lagranºova jedna£ina ili Op²ta jedna£ina dinamike:
U svakom trenutku kretanja materijalnog sistema sa idealnim
vezama zbir radova svih aktivnih i inercijalnih sila na virtuelnim
pomeranjima ta£aka sistema jednak je nuli:
N∑k=1
[~Fk + (−mk~ak)]δ~rk = 0
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Op²ta jedna£ina dinamike za sistem sa idealnim vezama:
N∑k=1
mk~akδ~rk =
N∑k=1
~Fkδ~rk
Kako je ~ak =d~vkdt , kao i
∑Nk=1
~Fkδ~rk =∑n
i=1Qiδqi, to se
dobijaN∑k=1
mkd~vkdtδ~rk =
n∑i=1
Qiδqi (1)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Iz relacijed
dt(~vkδ~rk) =
d~vkdtδ~rk + ~vk
dδ~rkdt
se dobijad~vkdtδ~rk =
d
dt(~vkδ~rk)− ~vk
dδ~rkdt
Sa ovim, imaju¢i u vidu da je mk = const, relacija (1) postaje
d
dt
N∑k=1
mk~vkδ~rk −N∑k=1
mk~vkdδ~rkdt
=
n∑i=1
Qiδqi (2)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Obzirom na komutativnost operatora d i δ, sledi:
dδ~rkdt
= δ
(d~rkdt
)= δ~vk
pa relacija (2) postaje
d
dt
N∑k=1
mk~vkδ~rk −N∑k=1
mk~vkδ~vk =
n∑i=1
Qiδqi (3)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Tako�e je virtuelno pomeranje ta£ke Pk dato sa
δ~rk =n∑i=1
∂~rk∂qi
δqi / · ddt
pa se, diferenciranjem po vremenu, dobija
δ~vk =
n∑i=1
∂~vk∂qi
δqi
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Na taj na£in relacija (3) postaje
d
dt
N∑k=1
mk~vk
n∑i=1
∂~rk∂qi
δqi −N∑k=1
mk~vk
n∑i=1
∂~vk∂qi
δqi =
n∑i=1
Qiδqi
(4)
Ranije je pokazano da vaºi relacija
∂~vk∂qi
=∂~rk∂qi
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
odn., izvod vektora brzine po generalisanoj brzini jednak je
izvodu vektora poloºaja po generalisanoj koordinati
Unose¢i to u relaciju (5), uz promenu redosleda sabiranja,
dobija se:
n∑i=1
[d
dt
N∑k=1
mk~vk∂~vk∂qi
]δqi −
n∑i=1
(N∑k=1
mk~vk∂~vk∂qi
)δqi =
n∑i=1
Qiδqi
(5)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Kineti£ka energija sistema je data sa
T =1
2
N∑k=1
mk(~vk)2
pa se dobijaju relacije
∂T
∂qi=
N∑k=1
mk~vk∂~vk∂qi
∂T
∂qi=
N∑k=1
mk~vk∂~vk∂qi
(6)
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Unose¢i (6) u (5), dobija se
n∑i=1
[d
dt
(∂T
∂qi
)− ∂T
∂qi
]δqi =
n∑i=1
Qiδqi (7)
Kako se posmatra sistem sa holonomnim vezama, to su
varijacije δqi me�usobno nezavisne
Zbog toga jedna£ine (7) postaju
d
dt
(∂T
∂qi
)− ∂T
∂qi= Qi (i=1,2,. . . ,n) (8)
odn. dobijaju se Lagranºeve dif. jedna£ine kretanja II vrsteS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Sa T je ozna£ena kineti£ka energija sistema
T =1
2
n∑i=1
n∑j=1
Aij qi qj
dok su Qi generalisane sile date sa
Qi =
N∑k=1
~Fk∂~rk∂qi
(i = 1, 2, . . . , n)
U Lagranºevim diferencijalnim jedna£inama kretanja nema
reakcija veza - �guri²u samo generalisane koordinate
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Lagran princip
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Sadrºaj
1 Kineti£ka energija
Kineti£ka energija materijalne ta£ke
Kineti£ka energija sistema materijalnih ta£aka
Kineti£ka energija krutog tela
2 Elementarni i virtuelni rad
Elementarni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
Virtuelni rad: materijalna ta£ka, sistem, kruto telo
3 Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakon
Dalamberov princip
Op²ta jedna£ina dinamike
Lagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrste
Primer: matemati£ko klatno
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
PRIMER:
Posmatra se matemati£ko klatno mase m i duºine `(materijalna ta£ka mase m je vezana nerastegljivim uºetom
duºine ` za nepokretnu ta£ku i kre¢e se u vertikalnoj ravni)
Napisati diferencijalne jedna£ine kretanja klatna primenom:1 Drugog Njutnovog zakona2 Dalamberovog principa3 Op²te jedna£ine dinamike4 Lagranºevih jedna£ina II vrste
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2
Kineti£ka energijaElementarni i virtuelni rad
Diferencijalne jedna£ine kretanja sistema
Drugi Njutnov zakonDalamberov principOp²ta jedna£ina dinamikeLagranºeve diferencijalne jedna£ine kretanja II vrstePrimer: matemati£ko klatno
Primer: Matemati£ko klatno u vertikalnoj ravni
S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2