1

Abstract — Prezenta lucrare prezintă principalele metode de

detecţie a conturului utilizate în acest moment. Dată fiind

importanţa problemei în domeniul procesării imagistice, de-a

lungul timpului s-au dezvoltat mai multe tehnici. Acestea au un

comportament relativ apropiat în conditii de zgomot, dar în

situaţii practice, unele se pot arăta mai avantajoase decât

celelalte. Lucrarea are ca scop o scurtă prezentare conceptuală şi

matematică a celor mai populare metode de detecţie a conturului

şi anume: detectorii ce folosesc operatori de gradient, detectorii

laplacieni Zero Crossing, detectorii gaussieni, detectorii color şi

Laplacianul Gaussianului.

Index – detecţie, muchie, gradient, contur, operator

I. INTRODUCERE

NA dintre cele mai folosite operaţii în domeniul analizei

imaginilor şi în acelaşi timp una dintre problemele

fundamentale în acest domeniu este detecţia de contur. Un

contur sau o muchie, reprezintă limita dintre obiect şi fundal,

aşadar cunoaşterea acestuia este folositoare pentru următoarele

etape de analiză a imaginii: segmentare, registrare şi

identificarea obiectelor .

Din punct de vedere ştiinţific, un contur este definit ca fiind

totalitatea pixelilor în care există discontinuităţi abrupte de

nivele de gri.

În imaginile binare, punctele de graniţă se definesc ca fiind

pixelii negri având cel puţin un vecin alb în vecinătate, aşadar

locaţia pixelilor de forma (m,n)

pentru care u(m,n)=0 şi g(m,n)=1, unde:

u (1)

unde reprezintă operaţia de “sau exclusiv”.

Pentru o imagine continuă f(x,y), derivata sa presupune un

maxim local în direcţia muchiei. Aşadar, o metodă de detecţie

a muchiei este măsurarea gradientului lui f de-a lungul lui r în

direcţia lui :

(2)

Valoarea maximă a

se obţine când

Adică:

(3)

(4)

Unde este direcţia muchiei.

Fig.1. Gradientul lui f(x,y) de-a lungul direcţiei r [1]

Pe baza acestor concepte, vom vedea mai departe două

tipuri de detectori de muchie: operatorii de gradient şi

operatorii de compas. Pentru imaginile digitale, aceşti

operatori, care se mai numesc şi măşti, reprezintă aproximări

cu diferenţe finite ori pentru gradienţii ortogonali sau

pentru gradientul direcţional

.

Fie matricea H o mască de dimensiuni p x p. Pentru o

imagine arbitrară U, în [1] produsul scalar al acestora la

locaţia (m,n) este definit ca:

(5)

Aşadar discontinuităţile de intensitate (muchiile) reprezintă

sumele obţinute prin convoluţia imaginii procesate cu măţile

corespunzătoare.

Tehnici de detecţie de contur

Zbăganu Alexandra, Stănoiu Iulia

U

2

II. GENERALITĂŢI

Detecţia muchiilor este o problemă fundamentală în

prelucrarea imaginilor, deoarece permite extragerea

informaţiei de bază dintr-o imagine, necesară mai departe în

analiza şi înţelegerea computerizată a acesteia. Detecţia

frontierelor în imagini se bazează pe operatori care

aproximează în planul discret gradientul sau laplacianul

imaginii [3].

Clasificarea detectorilor de contur poate deveni

problematică, însă simplifică mult procesarea de imagini în

vederea artificială, prin asocierea a diferitor reguli de

procesare pentru fiecare tip de muchie (vezi fig.2)

Fig.2. Tipuri de muchii: a) muchie ascuţită; b) muchie fină; c) muchie tip

acoperiş convex; d) muchie tip acoperiş concav

În funcţie de aceste tipuri de muchii şi ţinând cont de

operatorii care pot fi folosiţi, se poate face următoarea

clasificare:

Detectori care folosesc operatori de gradient (derivata

de ordin întâi)

Detectori laplacieni Zero Crossing (care folosesc

derivata de ordinul doi)

Laplacianul Gausianului

Detectori gausieni

Detectori color

Problemele care pot apărea în extragerea contururilor şi în

segmentare sunt următoarele [2]:

1. Modificarea condiţiilor de iluminare

2. Modificarea funadalului

3. Luminanţa şi caracteristicile geometrice

4. Nivelul de zgomot, care are un impact foarte mare în

conturarea muchiei

5. Nedetectarea anumitor muchii

6. Detecţia falsă a muchiilor

7. Schimbarea poziţiei muchiei detectată de la adevărata

locaţie (dislocarea muchiei)

III. TEHNICI DE DETECŢIE

A. Operatori de gradient

Operatorii clasici

Vectorul gradient reprezintă direcţia şi mărimea variaţiei

maxime de intensitate într-un punct al unei imagini şi este

definit în funcţie de derivatele parţiale ale funcţiei imagine

f(x,y):

(6)

Operatorii de gradient sunt reprezentaţi printr-o pereche de

măşti H1 şi H2, care măsoară gradientul imaginii u(m,n) în

două direcţii ortogonale. (Fig.3)

Fig.3. Schema detecţiei de contur ce utilizează operatorii de gradient

Dacă definim aceşti gradienţi bidirecţionali ca:

şi

atunci vectorul gradient va fi descris de:

(7)

(8)

Pentru reducerea volumului de calcul, de multe ori gradietul

de calculează folosind:

(9)

Operatorii de gradient uzuali sunt Roberts, Prewitt, Sobel şi

Isotropic. În Tabelul 1 sunt prezentate măştile cu care aceştia

operează. Calitatea contururilor identificate cu ajutorul acestor

operatori, pentru o imagine cu tonuri de gri, este dependentă

de spectrul imaginii. Cu cât spectrul este mai larg, cu atât

contururile sunt mai slabe [3].

În cazul în care imaginea este afectată de zgomot, fiecare

operator poate fi descris ca un model discret de funcţii wavelet

ortogonale, în acest caz fiind necesară o subţiere de contur

ulterioară.

Locaţia (m,n) a pixelului este declarată o locaţie de muchie

dacă g(m,n) depăşeşte un prag t, numit threshold. Locaţia

punctelor de pe muchie reprezintă harta muchiei ɛ(m,n), care

se defineşte ca:

3

(10)

Unde

(11)

TABEL I

OPERATORI DE GRADIENTI UZUALI

H1 H2

Roberts

Prewitt

Sobel

Isotropic

Harta muchiei furnizează date suficiente pentru trasarea

contururilor obiectelor în imagine. De regulă t se alege

folosind histograma cumulativă a g(m,n) astfel încât sunt

declaraţi ca făcând parte din contur de la 5 la 10% dintre

pixelii cu gradientul cel mai mare.

Operatorii de compas

Operatorii de compas măsoară gradientul într-un număr de

direcţii. (Fig.4).

Fig. 4. Schema detecţiei de contur ce utilizează operatorii de compas

În Tabelul 2 sunt prezentate câteva dintre măştile

operatorilor de compass pentru detecţia muchiilor verticale. O

shiftare circulară în sens invers a acelor de ceasornic a celor

opt elemente de muchie ale acestor măşti produce o rotaţie de

45o a direcţiei gradientului.

TABEL II

GRADIENTI DE COMPAS (MUCHII VERTICALE)

1)

3)

2)

(Kirsch) 4)

Cei opt gradienţi de compas corespunzători celui de-al

treilea operator din Tabelul 2 sunt:

Fie gradientul de compas în direcţia

.

Gradientul în punctul (m,n) este definit ca:

(12)

Iar dacă acestuia îi aplicăm un threshold obţinem harta

muchiilor.

B. Operatorii Laplace si Trecerile prin Zero

Metodele anterioare de estimare a gradienţilor funcţionează

cel mai bine atunci când tranziţiile nivelelor de gri sunt

abrupte, asemănătoare funcţiei treaptă. Cum regiunea de

tranziţie devine mai largă (Fig.5), este mai avantajoasă

aplicarea derivatelor de ordinul doi.

Un operator foarte des întâlnit este operatorul laplacian,

definit ca:

(13)

Fig.5. Derivatele de ordinul întâi şi doi pentru detecţie de muchie

În tabelul de mai jos sunt prezentate trei aproximări discrete

pentru acest tip de operator.

TABEL III

OPERATORI LAPLACIENI DISCRETI

1)

2)

3)

4

Operatorul Laplacian cere mai puţine calcule, însă el este

mai sensibil la tranziţiile bruşte de intensitate, şi la zgomot. De

asemenea, mărimea de threshold a lui produce câteodată

muchii duble. Din aceste motive, împreună cu faptul că nu

detectează nici direcţia muchiei, operatorul Laplacian este

considerat un operator nu foarte bun pentru detecţie de muchii.

Acest operator se utilizează mai degrabă în relaţie cu

trecerile sale prin zero, fapt care a dus la generarea unui nou

detector de muchie, numit Zero Crossing. Acesta are

caracteristici fixe în toate direcţiile şi este sensibil la zgomot,

la fel ca operatorul Laplacian din care provine.

Un astfel de detector zero crossing este definit ca:

(14)

Unde contolează mărimea nucleului Gausian şi c

normalizează suma elementelor unei măşti date.

Trecerile prin zero ale unei imagini, convolutate cu h(m,n),

dau locaţiile muchiilor. h(m,n) este răspunsul impulsului de

eşantionare a unui filtru analogic trece-bandă al cărui răspuns

în frecvenţă este proportional cu

(15)

Aşadar, detectorul de treceri prin zero este echivalent cu un

filtru trece jos cu un răspuns în impuls de tip Gausian, urmat

de un operator Laplacian. Parametrul controlează răspunsul

în amplitudine al ieşirii filtrului fără să modifice poziţia

trecerilor prin zero. [1]

Din (1) rezultă:

(16)

Informaţia legată de direcţie poate fi obţinută căutând prin

trecerile prin zero ale derivatei de ordin doi de-a lungul lui r,

pentru fiecare variaţie a lui . [4]

C. Laplacianul Gaussianului (LoG)

Acest tip de detecţie a fost inventată de Marr şi Hildreth în

1980. Pentru o detecţie eficace a muchiilor, metoda combină

filtrarea Gausiană cu operatorii Laplace şi sparge imaginea în

locurile în care intensitatea variază. [5]

Este vorba de un operator de gradient care foloseşte

Laplacianul pentru a extrage derivata de ordinul doi a unei

imagini. O diferenţă de intensitate în imagine va apare în

graficul derivatei de ordinul al doilea ca o trecere prin zero.

Un algoritm general pentru acest tip de detecţie este [6]:

1. Netezirea imaginii folosind un filtru Gausian (reducerea

zgomotului);

2. Aplicarea transformatei Laplace (13), (căreia i se mai spune

şi „operatorul Pălărie Mexicană” datorită formei sale

invariante la rotaţii) operaţie reprezentând derivata de ordinul

doi a imaginii;

Fig.6 – Operatorul Pălărie Mexicană

3. În imaginea astfel modificată se caută schimbări de semn.

Dacă există o schimbare de semn căreia îi corespunde o pantă

mai mare decât un anumit prag, atunci se marchează pixelul

respectiv ca fiind muchie.

Operatorul Marr-Hildreth a început să fie folosit la scară

largă pentru următoarele motive:

1. Cercetătorii au descoperit la anumite animale (de regulă

pisici şi macaci) recptori care se comportă exact ca acest

operator;

2. Operatorul este simetric. Muchiile sunt determinate în toate

direcţiile, spre deosebire de operatorii direcţionali care

folosesc derivata de ordinul întâi;

3. Trecerile prin zero ale derivatei de ordinul doi sunt mai

simplu de determinat decât sunt maximele în derivate de

ordinul întâi, deoarece tot ce este sufficient de ştiut sunt

schimbările de semn în semnal;

4. Trecerile prin zero ale unui semnal generează mereu

contururi închise, ceea ce este foarte util în cazul în care se

doreşte separarea obiectelor în scenă.

Există totuşi câteva probleme:

1. Fiind un operator ce foloseşte derivata de ordinul doi,

influenţa zgomotului este una considerabilă;

2. Animalele au mai multe tipuri de receptori, aşa că

asemănarea aceasta nu este suficientă;

3. Câteodată generarea contururilor închise nu este una

realistă, operatorul Marr-Hildreth creând contururi şi în locuri

în care acestea nu există.

5

D. Detectorii Gausieni

Aceştia sunt simetrici de-a lungul muchiei, şi de asemenea

reduc zgomotul prin netezirea imaginii. Cei mai importanţi

operatori din această categorie sunt operatorul Canny şi

operatorul ISEF (Shen-Castan).

Operatorul Canny este cel mai folosit în prezent, deşi nu

face chiar parte din categoria detectorilor cei mai noi, fiind

inventat în anul 1986. A fost creat de John Canny în cadrul

lucrării sale de dizertaţie pentru un Master MIT. El a tratat

problema detecţiei de muchii ca pe o problemă de optimizare a

unei procesări de semnal [7], aşadar a implemenat o funcţie

pentru ca mai apoi s-o optimize şi să o folosească în

proiectarea operatorului.

Funcţia a fost gândită astfel încât:

- Să maximizeze RSZ pentru a oferi o detecţie bună,

- Să realizeze o bună localizare pentru a marca cu precizie

marginile,

- Să minimizeze numărul de răspunsuri pentru o singură

muchie. Acest lucru favorizează identificarea adevăratelor

negative, ceea ce presupune marcarea punctelor care nu sunt

muchii.

Global, algoritmul detecţiei de contur implementat de

Canny este următorul:

1. Netezirea imaginii

Multe implementări ale acestui detector împart acest proces

în doi paşi: primul pas este convolutarea imaginii cu o

gausiană pentru netezire, iar al doilea pas este cătarea de

maxime în derivatele parţiale de ordin întâi ale semnalului

rezultat (folosind măşti similare măştilor Sobel). Aşadar

imaginea poate fi convolutată cu 4 măşti, pentru a căuta

muchii orizontale, verticale şi diagonale.

Astfel, la acest pas operatorul Canny caută maximele funcţiei

unde

, I este imaginea iar G

gausiana.

2. Suprimarea non-maximelor

Muchiile apar în locurile în care apar maximele gradientului.

Aşadar, toate celelalte puncte trebuie anulate. Pentru a face

aceasta, trebuie calculată mărimea şi direcţia gradientului

pentru fiecare pixel în parte. Apoi trebuie verificat dacă pentru

aceşti pixeli dimensiunea gradientului este mai mare la o

distanţă de un pixel în oricare din direcţiile pozitive sau

negative perpendiculare pe gradient. Dacă pixelul nu este mai

mare decât amândouă, atunci trebuie şters.

3. Subţierea muchiilor şi eliminarea celor neimportante

(thresholding)

Metoda folosită de Canny poartă numele de “hysteresis”.

Aceasta implică folosirea a două valori diferite de threshold,

valoarea cea mare de threshold fiind de regulă de trei ori mai

mare decât cea mică. Orice pixel aflat într-o listă de muchii

care are un gradient mai mare decât valoarea maximă de

threshold este clasificat ca muchie validă. Oricare pixeli

conectaţi la aceaste puncte de muchie valide, care au o valoare

a gradientului peste vloarea minimă de threshold sunt de

asemenea clasificate ca puncte de muchie. Aceasta înseamnă

că odată ce o muchie este începută, aceasta nu se termină până

când gradientul muchiei nu scade considerabil.

Un alt tip de operator gausian este operatorul ISEF (Shen-

Castan). Acesta este, ca şi Canny, un detector optimal de

muchie, şi seamănă cu acesta din câteva puncte de vedere,

cum ar fi convoluţia cu un nucleu de netezire urmată de

căutarea muchiilor.

Funcţia care se doreşte a fi minimizată în acest caz este:

(17)

Iar funcţia filtrului optim inventată de Shen şi Castan este

filtrul exponenţial infinit simetric [8]. În spaţiul

unideimensional, ISEF este de forma:

(18)

Algoritmul ISEF este următorul:

1. Imaginea este filtrată folosind filtrul recursiv ISEF pe

orizontală şi pe verticală;

2. Se aproximează laplacianul imaginii prin scăderea imaginii

filtrate din imaginea originală. Prima derivată a funcţiei va

avea extreme în locurile corespunzătoare muchiilor din

imagine, iar derivata de ordinul doi va fi zero în aceleaşi

poziţii;

3. Suprimarea punctelor de non-maxim în scopul subţierii

muchiilor;

4. Se caută punctele de gradient. Gradientele punctelor de

muchie sunt fie puncte de maxim, fie de minim. Dacă derivata

de ordinul doi îşi schimbă semnul de la pozitiv la negativ

atunci acea trecere prin zero se consideră pozitivă, iar dacă îşi

schimbă semnul de la pozitiv la negativ se consideră trecere

prin zero negativă. Astfel trecrile prin zero pozitive vor avea

gradient pozitiv, iar cele negative vor avea gradient negativ, în

timp ce toate celelalte treceri prin zero se consideră a fi false

(şi nu fac parte din muchie);

5. Thresholding. Zgomotul produce o problemă des întâlnită în

detecţia contururilor, şi anume dungarea muchiilor, care apar

întrerupte. Această dungare poate fi combătută prin

thresholding-ul de hysteresis, metodă folosită şi de algoritmul

Canny prezentat mai sus;

6. Subţierea muchiilor.

6

Atât Canny cât şi ISEF sunt algoritmi optimi de detecţie a

muchiilor. Diferenţa este că primul foloseşte o gausiană pentru

a aproxima muchiile, în timp ce ISEF foloseşte un filtru

exponenţial. ISEF se dovedeşte a da o aproximare mai bună a

contururilor, aşadar un RSZ superior.

Totuşi, schemele de detecţie bazate pe detectori de gradient

suferă de mai multe probleme, însă rămân în continuare cei

mai utilizaţi în aplicaţiile de vedere artificială. Câteva dintre

aceste probleme sunt:

1. Trebuie să se aleagă valorile de threshold şi lăţimea măştii.

Lăţimea măştii (adică nivelul de netezire al imaginii) afectează

poziţiile trecerilor prin zero şi gradienţii de maximă intensitate

din imagine. Însă poziţia estimată a muchiei nu ar trebui să fie

afectată de mărimea măştii de convoluţie;

2. Colţurile câteodată sunt ratate, deoarece în acele zone

gradientul de ordinul 1 este mic;

3. Operatorii de acest tip găsesc caracteristici generale. Pentru

găsirea liniilor, de exemplu, trebuie să se folosească alt

operator (nu se mai caută treceri prin zero, ci m axime);

4. Există un risc destul de mare de apariţie a muchiilor acolo

nu există (fals pozitiv) sau de neconturare a muchiilor

existente (fals negativ).

E. Gradienţii stocastici

Tehnicile de detecţie prezentate până acum nu sunt foarte

eficace în cazul imaginilor zgomotoase. Zgomotul nu este

redus sufficient atunci când imaginea trece printr-un filtru

trece-jos. O alternativă ar fi proiectarea unor măşti de

extragere a muchiilor, care iau în considerare prezenţa

zgomotului într-un mod controlat [1].

Figura de mai jos arată un model de muchie a cărei regiune

de tranziţie are lăţimea de un pixel [8], şi vrem să detectăm

prezenţa unei muchii la locaţia P.

Fig. 7- Model folosit pentru exemplificarea gradientului stochastic

Pentru aceasta calculăm gradientul orizotal folosind formula:

unde reprezintă estimatul antegrad şi

estimatul retrograd al lui u(m,n) din observaţii zgomotoase

într-o fereastră W definită ca:

Estimaţii antegrazi de-a lungul orizonatlei pot fi definiţi ca:

Şi similar, putem găsi în punctual P(m,n).

În aceeaşi manieră se găseşte gradientul vertical în punctul

P(m,n).

Fie g2(m,n). Din g1(m,n) şi g2(m,n) calculăm g(m,n)

folosind shiftarea circular în sensul acelor de ceasornic a celor

8 elemente de margine ale măştii [8] şi se obţine:

F. Detecţia de muchii color

Majoritatea detectorilor de muchii funcţionează pe imagini

cu nivele de gri. Acest lucru împarte din start la trei cantitatea

de date cu care se lucrează (un singur canal în loc de trei), fapt

care produce de asemenea şi pierderea detaliilor. Prin

includerea componentei color a imaginii, detectorul ar trebui

să fie în stare să detecteze muchii chiar şi în regiuni cu variaţii

color mari şi variaţii mici de intensitate.

Există mai multe tipuri de detectori color. Detectori care

folosesc metode de fuziune, metode de gradient

multidimensional şi metode vectoriale.

Metodele de fuziune fac detecţia de muchie pentru fiecare

canal în parte, R, G şi B, după care combină cele trei hărţi de

muchii într-una singură. În [10] Alberto Salinas et al. prezintă

aceast algoritm, utilizând o metodă de regularizare pentru a

constrânge harta muchiilor să se potrivească cu imaginea şi să

aibă cât mai puţine întorsături.

Metodele de gradient multi-dimensional folosesc trei canele

în acelaşi timp pentru a calcula un singur gradient. Pornind de

la derivatele direcţionale în fiecare canal, Di Zenzo arată în

[11] formulele de calcul pentru mărimea şi direcţia acestui

gradient, care în spaţiul color este un tensor cu 3 dimensiuni.

Se folosesc mai multe metode care procesează pixelul din

punct de vedere vectorial. Yang şi Tsai [12] utilizează o

metodă cu thresholding pe două nivele, folosind blocuri 8x8

pentru a găsi cea mai bună axă de proiecţie 3D cu ajutorul

căreia să convertească fiecare bloc în nivele de gri. Însă poate

7

cel mai cuprinzător articol pe această temă este [13], unde

Trahanias şi Venetsanopoulos folosesc statistici de ordine a

vectorilor şi calculează diverse mărimi, precum valoarea de

median, pentru a face detecţia muchiilor. Algoritmii care

folosesc mai multe operaţii vectoriale sunt de preferat celor

care folosesc mai puţine [14]. Chiar dacă mecanica percepţiei

culorilor presupune trei procese separate, senzaţia noastră de

culoare, analog senzaţia de muchie, este omogenă.

IV. COMPARAŢIE ÎNTRE TEHNICILE DE DETECŢIE

O comparaţie între metodele de detecţie este greu de făcut,

întrucât trebuie să ţină seama de mai multe criterii, cum ar fi:

probabilitatea de apariţie a falsurilor pozitive, probabilitatea

de aparţie a falsurilor negative, eroarea de estimare a

unghiului muchiei, distanţa dintre muchia estimată şi

adevărata muchie, toleranţa metodei la distorsiuni precum

colţuri şi întreruperi [15].

Însă de-a lungul timpului, diversi autori au studiat şi

folosit aceste metode în detecţia de contururi, şi au ajuns la

diverse concluzii, care pot fi sintetizate ca în tabelul de mai

jos, sub formă de avantaje/dezavantaje:

TABEL IV

AVANTAJE SI DEZAVANTAJE ALE OPERATORILOR STUDIATI

Operator Avantaje Dezavantaje

Gradient Uşor de

implementat.

Detectează orientarea

muchiilor.

Sensibilitate la

zgomot.

Susceptibilitate la erori.

Laplace Detectează orientarea

muchiilor.

Au caracteristici

fixe în toate direcţiile.

Sensibilitate la zgomot.

LoG Localizează

corect muchiile.

Testează o arie

mai mare în

jurul pixelului.

Dau erori la

colţuri, curbe, şi în locurile în care

intensitatea

nivelului de gri variază.

Nu furnizează

oientarea

muchiilor.

Gausian Utilizează probabilităţi în

găsirea ratelor

de eroare.

RSZ mai bun.

Detecţie mai bună în special

în condiţii de

zgomot.

Calcule complexe.

Treceri false prin

zero.

Consumă timp.

Color Precişi.

Mai eficienţi în recunoaşterea

obiectelor.

Complicat de

implementat.

Calcule complexe.

V. CONCLUZII

Scopul acestei lucrări este de a prezenta diferite abordări ale

problemei detecţiei de muchii. Pentru aceasta am făcut un

rezumat al caracteristicilor diferiţilor operatori care s-au

folosit de-a lungul timpului referitor la această problemă.

În cazul imaginilor foarte zgomotoase nu există diferenţe

calitative foarte mari între aceşti operatori. Însă pentru

aplicaţii practice, unde se lucrează cu imagini obişnuite, cel

mai folosit la ora actuală este algoritmul Canny. Iar prin

metode de fuziune a planurilor de culoare, detectorul Canny

color oferă rezultate chiar mai bune decât varianta cu nivele de

gri.

În acest domeniu există încă numeroase posibilităţi de

cercetare, iar din acest motiv, pe viitor plănuim să proiectăm

un algoritm care să ofere o nouă abordare pentru detecţia de

muchii, în scopul recunoaşterii de obiecte.

REFERINŢE

[1] A.K.Jain, „Fundamentals of Digital Image Processing”, Prentice Hall,

USA, 1989

[2] S.Lakshmi, V.Sankaranarayanan, „A Study Of Edge Detection Techniques for Segmentation Computing Approaches”, CASCT for

Imaging and Biomedical Applications, 2010

[3] R.Oancea, “Transformata Wavelet versus operatorii clasici pentru detecţia muchiilor”

[4] R.M.Haralick, “Trecerile prin zero ale detectorului de muchie ce

foloseşte derivata direcţională de ordinal doi”, Robot Vision (A.Rosenfeld, ed.),SPIE 336, 1982

[5] D.Marr, E.C.Hildreth, „Teoria detecţiei de muchii”, Proc. R. Soc. Lond.

B270, 1980 [6] P.Sandhu, M.Juneja, E.Walia, “Comparative Analysis of Edge Detection

Techniques for extracting Refined Boundaries”, 2009 International

Conference on Machine Learning and Computing, IPCSIT vol.3 (2011) © (2011) IACSIT Press, Singapore

[7] E.Nadernejad, S.Sharifzadeh, H.Hassanpour, „Tecnici de detecţie a

muchiilor: evaluări şi comparări”, Ştiinţe matematice Aplicate, Vol.2, 2008, nr.31, 1507-1520.

[8] K.J.Pithadiza, C.K.Modi, J.D.Chauhan, „Selecţia celei mai favorabile

tehnici de detecţie e muchiilor pentru inspecţia nivelului de lichid în sticle”, International Journal of Computer Information Systems and

Industrial Management Applications (IJCISIM), Vol 3, pp: 034-044,

2011 [9] K.Sau, M.Pal, P.Karmaka, „Unique Techniques for edge detection

methods In digital Image Processing”, Department of Computer Science

& Engineering, Institute of Engineering & Management, Salt Lake, Kolkata, 2011

[10] R. Alberto Salinas, C. Richardson, M.A. Abidi and R.C. Gonzalez. Data

fusion: Color edge detection and surface [11] S. Di Zenzo. A note on the gradient of a multi-image. CVGIP,

33(1):116–125, January 1986.

[12] C.K.Yang, W.H.Tsai, “Reduction of Color Space Dimensionality by

Moment-Preserving Thresholding and its Application for Edge-

Detection in Color Images”, Pattern Recognition Letters, vol.17, no.5,

pp.481-490, May 1996. [13] P.E.Trahanias , A.N.Venetsanopoulos, „Vector Order-Statistic

Operators as Color Edge Detectors”, IEEE Trans. Systems, Man and

Cybernetics, vol. B-26, no. 1, pp. 135-143, Feb. 1996.

[14] M.A.Ruzon, C.Tomasi, „Edge, Junction and Corner Detection Using Color Distributions”, IEEE transactions on Pattern Analysis and

Machine Intelligence, Vol.23, No.11, Vov.2001

[15] R.Owens, „Lecture 6” Computer Vision IT412, 1997. http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/OWENS/

LECT6/lect6.html