tehnical drawing, tehničko crtanje, tehnička dokumentacija, sato olevic ch 14

TEHNIČKA DOKUMENTACIJA

153

14 CRTANJE GEOMETRIJSKIH KRIVULJA I LIKOVA

14.1. DUŽI Okomica na pravu kroz tačku A, koja leži na pravoj. Izabere se proizvoljni radijus r sa središtem u tački A i označi tačka B i C. Sa radijusom BC nacrta se luk sa ishodištima u tačkama B i C. Presjecište lukova predstavlja tačka D, kroz koju prolazi okomica sa ishodištem u tački A (slika 14.1).

Slika 14.1. Okomica sa ishodištem u tački A Slika 14.2. Simetrala duži

Simetrala duži AB. Izabere se radijus r, čija veličina prelazi polovinu duži AB. Pesjecište lukova iznad i ispod dužine AB predstavlja tačke C i D, kroz koje prolazi simetrala (slika 14.2). Okomica na krajnju tačku duži AB. Luk sa radijusem r i središtem u tački B presjeca duž AB u tački C. Presjecište lukova sa središtem u C i B predstavlja tačka D, koja isto tako predstavlja središte kruga sa jednakim radijusom. Produženjem dužine CD do kružnice, dobiva se na kružnici tačka E, kroz koju prolazi okomica na krajnju tačku duži B (slika 14.3). Konstruiranje okomice na pravu iz tačke A izvan prave. Sa izabranim radijusom r, koje ima središte u izabranoj tački, na proizvoljnoj pravoj g nalaze se presjecišta B i C. Iz tačaka se opišu lukovi čija presjecišta opisuju tačku D. Prava, koja prolazi kroz tačke A i D, je okomica na g (slika 14.4)


154

Slika 14.3. Okomica na krajnju Slika 14.4. Okomica kroz tačku duži proizvoljnu tačku

Konstruiranje usporednice - paralele kroz zadanu tačku. Proizvoljnim radijusom r, koje ima središte u tački D na dužiAB, odredi se presjecište E. Presjecište lukova sa centrom u tačkama C i E daju tačku F, pa usporednica prolazi kroz C i F (slika 14.5).

Dijeljenje dužine na jednake dijelove. Pod uglom koji je manji od 90° nacrta se proizvoljna duž AC. Duž se podjeli na jednake dijelove. Krajnje tačke duži AC i AB povežu se sa duži BC. Zatim se povlači kroz tačke D i E njene usporednice, koje dijele duž AB na tri jednaka dijela (slika 4.6).

Dijeljenje duži ABu odgovarajućem omjeru. U tački B nacrta se okomica na dužinu AB i novonastala tačka C poveže sa početnom tačkom duži A. Duž AC presječe se sa CB, pri čemu je središte u tački C, a dobiva se tačka D. Sa lukom radijusa AD (središte u A) vrši se spuštanje na AB. Tako se

Slika 14.5. Konstrukcija usporednicesa dužinom kroz proizvoljnu tačku

Slika 14.6.Dijeljenje dužine naproizvoljan broj jednakih dijelova


155

dobiva omjer podjele a:b=b:c. Takav omjer podjele a:b dobiva vrijednost 0.618 (slika 14.7).

Slika 14.7. Djeljenje duži u omjeru 1:0.618

14.2. UGLOVI

Simetrala proizvoljnog ugla. S proizvoljnim radijusom r, koji ima središte u tački A, definiše se najkraći krak u C i B. Tačke su ishodišta koja daju presjecište D, koje povezano sa tačkom A polovi ugao po simetrali AD (slika 14.8).

Slika 14.8. Simetrala proizvoljnog ugla

Simetrala ugla, kojem se ne poznaje središte krakova. Sa uporednicom kraka g1 presjeca se u tački S krak g2. Kružnica sa radijusom r presjeca krak g2 i uporednicu sa g1 u tačkama A i B. Tetiva AB se produži do tačke C, pa polovina AC predstavlja simetralu ugla (slika 14.9).


156

Slika 14.9. Simetrala ugla sa nepoznatim središtem krakova 14.3. KRUGOVI Određivanje središta kruga. Nacrta se tetiva AB i CD, koje nisu uporedne. Sjecište njihovih simetrala u tački M predstavlja središte kruga (slika 14.10)

.

Slika 14.10. Određivanje središta kruga

Konstruiranje tangente kroz tačku na kružnici. U tački P nacrta se luk sa radijusom kruga r. Presjecište na kružnici u tački A predstavlja novo središte za luk, koji na produženom pravcu kroz MA opisuje tačku B. Pravac kroz PB predstavlja tangentu na kružnicu, koja prolazi kroz tačku P (slika 14.11).

Konstruiranje tangente kružnice. Iz bilo koje tačke (npr. tačka P) izvan kružnice mogu se na kružnicu povući dvije tangente. Na proizvoljnoj razdaljini MP odredi se simetrala, koja na presjecištu sa duži MP definiše položaj središta polukruga. Pravac kroz tačke A i P predstavljaju tangentu na kružnici kroz tačku A (slika 14.12).

Slika 14.11. Tangenta kroz tačku na kružnici


157

Konstruiranje trokutu opisane kružnice. Presjecište simetrala dviju stranica trokuta (tačka M) predstavlja središte opisane kružnice trokuta (slika 14.13).

Slika 14.12. Konstruiranje tangente na kružnicu Konstruiranje trokutu upisane kružnice. Presjecište simetrala dva unutrašnja ugla trokuta (tačka M) predstavlja središte upisan (unutrašnje) kružnice trokuta (slika 14.14).

Slika 14.14. Upisana kružnica trokuta Rektifikacija kružnice. Rektifikacija kružnice je konstrukcija dužine kojoj bi duljina bila približno jednaka opsegu kružnice (O=2rπ). Na horizontalnu simetralu kruga nanese se, od središta kruga M, prečnik kruga d i dobije se tačka C. U tački D konstruirana je tangenta. Sa lukom poluprečnika kruga (r=d/2), sa središtem u tački A, presječe se kružnica i dobije se tačka B. Pravac CB siječe tangentu u tački E. Dužina tangente DE predstavlja 1/12 opsega kružnice (slika 14.15).

Slika 14.13.Opisana kružnica trokuta

Slika 14.15. Rektifikacija kružnice


158

14.4. PRAVILNI MNOGOUGLI

Istostranični trokut. Sa lukom poluprečnika d/2, koji ima središte u tački D, odredi se presjecište u tačkama A i B. Tako se odrede tjemena jednakostraničnog trougla. Dužina strnice trokuta s izračuna se na osnovu slike 14.16 u odnosu na prečnik kruga, pa je s=0.866⋅d.

Četverougao – i osmougaonik. Tačke ABCD, koje leže na presjecištu simetrala kružnice, predstavljaju tjemena (vrhove) kvadrata. Presjecišta simetrala pojedinačnih stranica kvadrata sa kružnicom daju tjemena osmougaonik d=1.1414⋅a, obzirom da je a=0.707⋅d (slika 14.17).

Slika 14.16. Jednakostranični trokut

Slika 14.17. Konstrukcija četvero – i osmougaonika


159

Petougaonik – i desetougaonik. Poluprečnik MC se popolovi, te tačka E postane središte luka sa radijusom EB. Luk presjeca poluprečnik AM u tački F. Presjecište luka BF sa kružnicom, predstavlja dužinu stranice petougaonika BG. Presjecišta simetrala pojedinačnih stranica petougla sa kružnicom daje tjemena deseterougla (slika 14.18).

Slika 14.18. Konstrukcija pet - i desetougaonika

Šestougaonik – i dvanaesterougaonik. Poluprečnik kruga r nanese se, počev od tačke B ili D, šest puta po obsegu kružnice i presjecišta se međusobno povežu. Nastali lik je šestougaonik. Ako stranice šestougaonka popolovimo, dobiće se na kružnici tjemena dvanaestougaonik (slika 14.19).

Konstrukcija šestougaonika sa unutrašnjom kružnicom. Na horizontalnu simetralu kruga, nanese se lijevo i desno od središta M poluprečnik kruga r i dobiju se tačke E i F. Kroz tačke E i F povuku se tangente na obe strane kružnice i dobivaju se njihova presjecišta u tačkama B i D. Sa tangentama u tačkama A i C dobit će se preostala tjemena šestougaonika (slika 14.20)

Sedmougaonik. Sa lukom poluprečnika r i središtem u tački A dobiva se na kružnici presjecišta označena tačkama B i C. Polovina vrijednosti tetive BC, koja predstavlja dužinu stranice, nanose se po kružnici i dobiva se sedmerougao (slika 14.21).

Slika 14.19. Konstrukcija šest – i dvanaestougaonik


160

Slika 14.20. Konstrukcija šestougaonika sa unutrašnjom kružnicom

Slika 14.22. Konstrukcija devetougaonik

Devetougaonik. Sa lukovima prečnika kruga, koji imaju središte u tačkama A i B, dobiva se na horizontalnoj simetrali tačke C i D. Vertikalna osa AB razdijeli se na devet jednakih dijelova Kroz tačke na vertikali AB i kroz tačke C i D povlače se pravci. Prejecišta pravaca sa kružnicom predstavljaju tjemena devetougaonika (slika 14.22). Jedanaestougaonik. Horizontalna simetrala po prečniku AB podjeli se na jedanaest jednakih dijelova. Horizontalna osa AB i vertikalna osa CD produži se za jedan razdiok i dobiju se tačke E i F. Pravac kroz tačke E i F presjeca kružnicu u tački G. Povezivanjem tačke G i trećeg razdioka na horizontalnoj osi dobiva se dužina stranice jedanaestougaonika (slika 14.23).

Slika 14.21.Konstrukcijasedmougaonika

Slika 14.23. Konstrukcijajedanaestougaonik


161

14.5. KRIVULJE PRESJEKA

14.5.1. Elipse Opće. Elipsa je krivulja, kod koje su zbir rastojanja pojedinačnih tačaka u odnosu na središta F1 i F2 uvjek konstantna vrijednost i iznose 2a (r1+r2=2a). Središta F1 i F2 nazivaju se žarišta ili fokusi elipse. Elipsa ima veliku AB i malu osu CD, koje se uvijek sijeku pod pravim uglom. Fokusi F1 i F2 leže na velikoj osi i isti se nalaze na presjeku luka sa radijusom a, a koji ima središte u tačkama C i D. Tangenta i normala u proizvoljnoj tački elipse P polovi ugao (slika 14.24), koji nastaje spajanjem fokusa F1 i F2 sa posmatranom tačkom P. Ako su poznate vrijednosti velike ose 2a i male ose 2b elipsa se crta kako je to prikazano na slici 14.25.

Slika 14.24. Normala i tangenta na elipsu

Slika 14.25. Konstrukcija elipse kada su poznate velika i mala osa


162

Konstrukcija elipse pomoću tjemenih kružnica. Konstruišemo dvije kružnice sa središtem u tački M, poluprečnika AB/2 i CD/2. Krug se razdjeli na proizvoljan broj prečnika (npr. 12). Od njihovih sjecišta sa malom kružnicom povučene su horizontale, a od sjecišta sa velikom kružnicom povučene su vertikale. Sjecišta vertikala i horizontala jesu tačke elipse (slika 14.26) .

Konstrukcija elipse pomoću kružnih lukova tjemenih kružnica zakrivljenosti. Određene su velika AB i mala CD osa elipse. Pravac AC razdjeli se na odsječke CE i AE. Razdaljina CE je određena sa razlikom između polovine velike ose i male ose (CE=AM - MC). Na dužini AE povuče se simetrala, koja produžena presjeca veliku osu u tački H1 i malu u tački G. Tačke H1 i H2 su središta krajnjih, a tačke G i G1 bočnih krivulja elipse.

Slika 14.26. Konstrukcija elipse pomoću tjemenih kružnica Konstrukcija elipse pomoću para konjugiranih promjera. Konjugirani promjeri predstavljaju dva promjera koja imaju uzajamno svojstvo da polovišta tetiva paralelnih s jednim od tih promjera leže na drugom, i obrnuto. Jedini par konjugiranih promjera koji su međusobno okomiti jesu osi elipse. Kada je a=b (tj. za kružnicu), svaki par konjugiranih promjera siječe okomito. U krajnjim tačkama konjugiranih promjera elipse nacrtane su paralele sa zadanim konjugiranim promjerom. One čine paralelogram koji dotiče elipsu u krajnjim tačkama A, B, C i D konjugiranih promjera. Polovice vodoravnih stranica dirnog paralelograma EC, FC, GD, HD. kao i CO, DO razdjeljene su na jednake dijelove (u primjeru na 5). Povučene su spojnice A4, A4, A2, A1 i zrake polupravci AI, AII, AIII, AIV. Sjecišta

Slika 14.27.Konstrukcija elipsepomoću kružnih lukova tjemenihkružnica zakrivljenosti


163

jednako numerisanih spojnica i zraka – polupravaca povučenih iz tjemena A i B jesu tačke elipse (slika 14.28).

Slika 14.28. Konstrukcija elipse pomoću para konjugiranih promjera

Slika 14.29. Određivanje velike i male ose elipse

Određivanje osa elipse. U središtu M nacrta se krug sa proizvoljnim prečnikom, koji sječe elipsu u četiri tačke. Kroz tačke se povuku četiri tetive, a njihove simetrale predstavljaju ose elipse (slika 14.29).


164

14.5.2. Parabola

Opće. Parabola je krivulja, kod koje su sve tačke jednako udaljene od jednog pravca – ravnalice ili direktrise (L) – i jedne čvrste tačke – žarišta ili fokusa (F). Pri tome su dužine PF i PL jednake vrijednosti (PF=PL). Tangenta u tački P na paraboli polovi ugao što ga tvore krakovi LP i FP, dok je normala na simetralu ugla (odnosno tangentu) normala parabole u tački P (slika 14.30).

Slika 14.30. Opća pravila za crtanje parabole

Konstruiranje parabole pomoću direktrise i žarišta. Poznate su vrijednosti za ravnalicu i žarište, kao i presjecište SL=FL/2. Kroz žarište F povuče se vertikala i potraži presjecište sa lukom promjera LF. Presječne tačke su tačke prabole. Ako se žarište odmakne od vertikale L, time se povećava poluprečnik LF. Tako nastaju nove tačke koje tvore parabolu (slika 14.31), koje se na kraju međusobno povežu. Konstruiranje parabole, kada je poznato središte S i dvije simetrične tačke P1 i P2. Nacrta se pravougaonik B1P1P2B2, a zatim se rastojanje B1P1 i B2P2 razdjeli na jednake dijelove koji se odgovarajuće označe i povežu sa presjecištem S. Postupak se ponovi i za verikalu P1R i RP2, pri čemu se podjele razdvoje pravcima, koji su paralelni sa osom SC. Presjecišta jednako označenih pravaca definišu tačke parabole (slika 14.32).

Slika 14.31. Konstruiranje parabole pomoću vertikale


165

Slika 14.32. Konstruiranje parabole sa poznatim parametrima S, P1, P2

Konstruiranje parabole pomoću tangente. Tangente SA i SB razdjele se na jednake dijelove, a zatim se od A prema S i od S prema B redosljedom numerišu. Tačke jednakih brojeva međusobno se povežu i dobiju se nove tangente. Parabola se proteže tako da dotiču presjecišta novonstalih tangenti (slika 14.33).

14.5.3. Hiperbola

Hiperbola je skup tačaka ravnine kojima je stalna razlika udaljenosti od fokusa F1T - F2T = ± 2a. Udaljenosti od jedne tačke krivulje do fokusa zovu se radijus-vektori (F1T = r1, F2T = r2). Hiperbola se sastoji od dviju grana. Tačke A i B su tjemena hiperbole. AB je realna osa, CD je imaginarna osa hiperbole. Udaljenost e fokusa F od centra O hiperbole zove se linearni ekscentricitet (e2= a2 + b2) (slika 14.34).

Slika 14.33. Konstruiranje parabole pomoću tangenti


166

Slika 14.34. Hiperbola

14.5.4. Spirale

Arhimedova spirala nastaje ako se jedna tačka kreće konstantnom brzinom po jednoj zraci koja se okreće konstantnom brzinom oko pola. Na isti način konstruiše se druga grana Arhimedove spirale ili više zavoja. Dužina koju prevali tačka pri jednom okretaju zrake zove se uspon, nagib ili udaljenost između torzija.

Slika 14.35. Konstruiranje Arhimedove spirale


167

Logoritamska spirala. Pomoćni krug razdjeli se na 12 dijelova, a tačke koje leže nasuprot jedna drugih povežu se pravcem. Na horizontalnoj osi MA počne se sa konstruiranjem spirale, koja proističe iz jednačine n p a⋅. Na taj način izračunava se udaljenost tačke M na pojedinačnim dijelovima od 1 do 12. Pri tome je a poluprečnik spirale, a p konstantan faktor, koji je zadan ili se predhodno izračuna (slika 4.46).

Slika 14.36. Konstruiranje logoritamske spirale

14.6. CIKLIČKE KRIVULJE

14.6.1. Evolventa

Evolventa kružnice je krivulja koju opisuje tačka sa prave (izvodnice) koja se bez klizanja kotrlja po kružnici (direktrisi).

Na slici 14.37 je prikazana evolventa kružnice koju opisuje tačka T sa prave p tako što se prava p bez klizanja kotrlja po kružnici d poluprečnika r u pravcu okretanja kazaljke na satu.

Kružnica d se podijeli na osam jednakih dijelova (s tačkama 1, 2, ..., 7, 8). Na pravoj p se konstruiše duž T-8 koja je jednaka obimu kružnice, pa se zatim podijeli na 8 jednakih dijelova (s tačkama 1, 2, ..., 7, 8). Za vrijeme kotrljanja prave tačka 1 pada u 1, tačka 2 u 2, itd.

Da se odredi tačka IV na evolventi e nacrta se tangenta kružnice d u tački 4, i prenese se na tu tangentu duž 4-T jednaka dužini luka 4-T, itd.

Kad bi se prava p kotrljala u suprotnom smjeru, dobila bi se evolventa koja je na slici 14.37 prikazana isprekidanom linijom.


168

Slika 14.37. Konstrukcija evolvente kružnice

14.6.2. Cikloida

Cikloida je kriva koju opisuje tačka sa kruga (izvodnice) koji se bez klizanja kotrlja po pravcu (direktrisi). Na slici 14.38 je prikazana cikloida koju opisuje tačka sa kruga, kad se krug kotrlja bez klizanja po pravoj x, koja leži u njegovoj ravni.

Slika 14.38. Konstrukcija cikloide


169

Određena je dodirna kružnica (izvodnica) poluprečnika r. U donjoj tački A vertikalnog prečnika konstruisana je tangenta (direktrisa). Dodirna kružnica podijeljena je na 12 dijelova. Rektificirana je 1/12 kružnog luka kružnice i određeno je 12 dijelova na tangenti. Kroz tačke dodirne kružnice povučene su usporednice sa tangentom - osa x, u tačkama direktrise podignute su normale koje određuju središta O1, O2, ..., O12. Oko tih središta su sa poluprečnikom r opisane pomoćne kružnice koje presijecaju jednako numerisane usporednice u tačkama cikloide koje su spojene u krivulju.

Osim prikazane konstrukcije cikloide, koja se naziva "obična", jer se tačka T nalazi na kružnici k, konstrukcija može biti još i "produžena", ako je tačka T izvan kružnice čvrsto vezana sa središtem S, te "prikraćena", ako je tačka T unutar kružnice, čvrsto vezana za centar S .

14.6.3. Epicikloida

Epicikloida je kriva koju opisuje proizvoljna tačka prečnika dodirne kružnice (izvodnice) kad se kotrlja bez klizanja po kružnoj putanji (direktrisi). Ovisno o položaju tačke na izvodnici - na obimu, unutar ili izvan izvodnice - dobije se obična, prikraćena ili produžena epicikloida.

Slika 14.39. Konstrukcija obične epicikloide

Određena je kružnica poluprečnika R i dodirna kružnica (izvodnica) poluprečnika r. U dodirnoj tački (na primjer A) konstruisana je zajednička tangenta t. Izvodna kružnica poluprečnika r podijeljena je na 12 dijelova, rektificiran je 2rπ/12 na kružni luk poluprečnika R i nanesen 12 puta na kružni luk direktrise poluprečnika R. Oko O opisani su kružni lukovi preko podjela na izvodnoj kružnici poluprečnika r. Određeni su O1, O2, ..., O12. Opisani su kružni lukovi poluprečnika r oko tih tačaka do presjecišta sa


170

jednako numerisanim uporednim kružnim lukovima koja daju tačke A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K obične epicikloide (slika 14.39).

14.6.4. Hipocikloida

Hipocikloida je kriva koju opisuje proizvoljna tačka prečnika dodirne kružnice (izvodnice) kad se kotrlja bez klizanja u konkavnoj kružnoj putanji (direktrisi). I hipocikloida može biti obična, prikraćena i produžena.

Određena je direktrisa poluprečnika R i izvodnica poluprečnika r. U dodirnoj tački A konstruisana je zajednička tangenta t. Izvodnica poluprečnika r podijeljena je na 12 dijelova, i rektificiran je 2rπ/12 na kružni luk poluprečnika R. Oko O opisani su uporedni kružni lukovi preko podjela na izvodnoj kružnici poluprečnika r. Određeni su O1, O2, ..., O12. Opisani su kružni lukovi poluprečnika r oko tih tačaka do presjecišta sa jednako numerisanim uporednim kružnim lukovima koja daju tačke A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K obične hipocikloide (slika 14.40).

Slika 14.40. Konstrukcija obične hipocikloide

14.7. Sinusoida

Krivulja sinusoide odgovara putanji jedne tačke koja titra slobodno i neprigušeno u smjeru y ±, a tačka se kreće jednolikom brzinom u smjeru ose x. Kružnica se razdjeli na 12 jednakih dijelova (40°). Opseg kružnice nanjet je na osu x i takođe podjeljen na 12 dijelova. Kroz razdjelne tačke kružnice povučene su usporednice prema osi x i u razdjelnim tačkama ose x podignute su okomice. Sjecišta jednako numerisanih vodoravnih i okomitih usporednica tačke su sinusoide - ,... S, S, S3 2 1(slika 14.41).


171

Slika 14.41. Konstrukcija sinusoide

14.8. ZAVOJNICA

Zavojnicu opisuje tačka koja jednoliko rotira oko jedne ose, i pri tome se kreće stalnom brzinom pralelno sa osi. Razvijanjem zavojnice nastaje pravougli trougao.

Slika 14.42. Konstruiranje zavojnice


172

Ugao uspona α je ovisan o promjeru stabla d i usponu (koraku) P. Opseg kružnice i uspon (korak) razdjeljen je na jednak broj dijelova – npr.12 dijelova i kontinuirano numeriran. Sjecišta vodoravnih linija i okomitih izvodnica označenih istim brojevima daju tačke zavojnice (slika 14.42).

Zavojna ploha – helikoid ima dvije zavojnice. Nastaje ako se jedna dužina (npr. AB, slika 14.43) kreće oko jednog kružnog valjka promjera d tako da jedna tačka dužine (npr. tačka B) na valjku prolazi kroz jednu zavojnicu. Produžetak užine AB prolazi pri tom stalno kroz osu valjka.

Slika 14.43. Zavojna ploha

Plosnati zavoj zavojnice sastoji se od različitog broja zavojnica (zavisno od oblika površine) koje se konstruiraju kao što je prije opisano. Nastaje ako se npr. jedan pravokutnik ABCD kreće oko jednog kružnog valjka tako da dvije, jedna pored druge, ležeće kutne tačke pravokunika na valjku (C i D) prolaze kroz zavojnice, a produžene okomite stranice pravokutnika ( AB i BC) prolaze kroz osu rotacije (slika 14.44). Tijelo, kojeg definišu 4 zavojnice je navoj.


173

Slika 14.44. Ulijevo zavijeni plosnati zavoj zavojnice


174

tehnical drawing, tehničko crtanje, tehnička dokumentacija, sato olevic ch 14

Documents