Cálculo III Tarea examen de curvas diciembre de 2012

1. Una partícula se mueve a lo largo de la elipse 3x2 + y2 = 1 con vectorde posición γ(t) = (f(t), g(t)). El movimiento es tal que la componentehorizontal del vector velocidad en el instante t es −g(t).

a) ¿Se mueve la partícula en dirección a favor o contraria a las manecillasdel reloj?

b) Demuestren que la componente vertical del vector velocidad en el ins-tante t es proporcional a f(t) y hallen el factor de proporcionalidad.

c) ¿Cuánto tiempo se necesita para que la partícula recorra una vez laelipse?

2. Sea γ : [a, b]→ R2 continua en [a, b] y derivable en (a, b). Demuestren queexiste c ∈ (a, b) tal que (γ(b) − γ(a))⊥ · γ′(c) = 0, donde si P = (x, y),entonces P⊥ = (−y, x). Interpreten geométricamente.

3. a) Demuestren que la longitud de una curva es invariante bajo parame-trizaciones equivalentes.

b) Demuestren que la curvatura de una curva es invariante bajo para-metrizaciones equivalentes.

Nota: Parametrizaciones equivalentes en los dos incisos previos (y en lossucesivos) incluyen las directamente equivalentes y las inversamente equi-valentes.

4. Sea α : [0, 1] → R2 tal que α(t) = (t, t sen(π/t)) si t 6= 0 y α(0) =(0, 0). Hagan un dibujo de la curva. Demuestren que es continua en todoel intervalo [0, 1] (la dificultad está en t = 0. . . y tampoco es muchoproblema, ¿verdad?) ¿Es derivable en t = 0? En este ejercicio se trata deprobar que esta curva no es rectificable:

a) Demuestren geométricamente que la longitud de la porción de curvacorrespondiente al intervalo

[1

n+1 ,1n

]es mayor o igual que 2

n+1/2.

(Sugerencia: la curva en dicho intervalo tiene longitud mayor o igualque `1 + `2 (ver figura 1). Comprueben que `1 ≥ 1

n+1/2, para i = 1, 2.

En el punto ξn la curva tiene un máximo.)b) Concluyan del inciso anterior que la curva no es rectificable (i.e.

tiene “longitud infinita”). (Sugerencia: Para cada N ∈ N mostrarque la longitud de la curva en el intervalo

[ 1N , 1

]es mayor o igual

que 2∑Nn=1

1n+1 y, por lo tanto, tiende a∞ si N →∞. Otra idea (que

en el fondo es lo mismo. . . pero no es igual) es construir, para cadaN ≥ 1, una partición de [0, 1] que incluya los puntos 0, 1

N , 1N−1 ,. . . ,

12 ,

1 de modo que la longitud de la poligonal correspondiente sea mayoro igual que 2

∑Nn=1

1n+1 . . . Así, las longitudes de dichas poligonales

crecen fuera de toda cota si N →∞.)

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Figura 1:

5. Para cada una de las proposiciones siguientes sobre la curva descrita poruna partícula móvil en el espacio de 3 dimensiones, den una demostracióno pongan un contraejemplo.

a) Si el vector velocidad es constante, entonces la curva es plana.b) Si la rapidez es constante, entonces la curva es plana.c) Si el vector aceleración es constante, entonces la curva es plana.d) Si el vector velocidad es perpendicular al vector aceleración en cada

instante, entonces la curva es plana.e) Si la curvatura es constante, entonces la curva es plana.

6. Sea Γ ⊆ R2 y P = γ(t) ∈ Γ con κ(t) > 0. Al número 1/κ(t) se le llamaradio de curvatura de Γ en P . A la circunferencia que pasa por P de radio1/κ(t) y con centro en un punto c(t) ∈ R2 que está a una distancia 1/κ(t)de P en dirección de la normal principal N(t) se le llama circunferenciaosculante de Γ en P . Al punto c(t) se le llama centro de curvatura de Γ enP . A la curva formada por todos los centros de curvatura de Γ se le llamala evoluta de Γ.

a) Hagan ver geométricamente que la circunferencia osculante a Γ en Pnecesariamente es tangente a Γ en P (i.e. Γ y la circunferencia tienenuna recta tangente común en P ).

b) Hagan ver que la evoluta la podemos parametrizar como

c(t) = γ(t) + 1κ(t)N(t), t ∈ I.

c) Demuestren que c′(t) es perpendicular a γ′(t) para toda t ∈ I. Haganun dibujo que dé idea de esta propiedad.

d) Hagan un dibujo que muestre la evoluta de una elipse; explíquen-lo geométricamente (no es necesario calcular la evoluta, la puedeninvestigar en algún libro).

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7. Demuestren que si u y v son vectores unitarios en R3 ortogonales entresí y c ∈ R3 es un vector fijo, entonces γ(ξ) = c + r cos( ξr )u + r sen( ξr )v,con ξ variando en el intervalo [0, 2πr], es una parametrización de rapidezunitaria de una circunferencia.

8. Generalizando el problema 6, den una definición de circunferencia oscu-lante a Γ en P donde Γ es una curva en R3.

a) Usando el problema anterior obtengan una parametrización de rapi-dez unitaria de la circunferencia osculante a Γ en P . Demuestren queesta circunferencia está en el plano osculador de Γ en P . No olvidencalcular explícitamente el centro de tal circunferencia.

b) Sea β una parametrización de rapidez unitaria de Γ y δ una parame-trización de rapidez unitaria de la circunferencia osculante a Γ en P ;supongamos que β(0) = δ(0) = P . Demuestren que

β(0) = δ(0), β’(0)=δ’(0) y β′′(0) = δ′′(0).

Demuestren ahora que sólo hay una circunferencia que pasa por P y sa-tisface las igualdades anteriores (i.e. la circunferencia osculante es única).

9. Si γ : I → R3 con κ(t) > 0 para toda t ∈ I, entonces a la evoluta c(t) se lellama la curva central de Γ y consiste también en el conjunto de todos loscentros de curvatura de Γ. (Aquí también la parametrización está dadapor c(t) = γ(t) + 1

κ(t)N(t).)Para cualesquiera dos números R y b distintos de cero, sea βRb la héliceβRb(s) = (R cos(s/c), R sen(s/c), bs/c), con c =

√R2 + b2.

Demuestren que la curva central de βRb es βdb con d = −b2/2. Deduzcande aquí que la curva central de βdb es la hélice original βRb. Hagan undibujo de βRb y βdb si R = 1 y b = 1/2).

10. Sea Γ ⊆ R3 y supongamos que βi : Ii → Rn, con i = 1, 2, son parametri-zaciones equivalentes de Γ, ambas con rapidez unitaria. Demuestren quesi β1 = β2 ◦ g con g : I1 → I2, entonces:

a) Existe alguna constante c ∈ R tal que se cumple g(ξ) = ±ξ + c paratoda ξ ∈ I1 (¿cómo interpretan esto?).

Si denotamos por Ti,Ni, Bi, κi, τi, respectivamente, a la tangente unitaria,la normal principal, etc., de Γ con la parametrización βi, para i = 1, 2,demuestren que:

a) T1 = ±T2, N1 = N2, B1 = ±B2, κ1 = κ2 y τ1 = τ2.

¿Qué conclusiones sacan de aquí?

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11. Sea Γ ⊆ R3 una curva parametrizada por longitud de arco, y sea A :[0, `(t)] → R3 definida por A(s) = τ(s)T (s) + κ(s)B(s) (escriban simple-mente A = τT + κB). Demuestren que las fórmulas de Frenet-Serret seconvierten en:

T ′ = A× T , N ′ = A×N y B′ = A×B

12. a) Demuestren el siguiente teorema: Si γ es cualquier parametrizaciónregular de Γ ⊆ R3 suficientemente diferenciable (para que se puedacalcular lo necesario), entonces:

T (t) = γ′(t)‖γ′(t)‖ , N(t) = B(t)× T (t), B(t) = γ′(t)× γ′′(t)

‖γ′(t)× γ′′(t)‖ ,

κ(t) = ‖γ′(t)× γ′′(t)‖‖γ′(t)‖3 y τ(t) = (γ′(t)× γ′′(t)) · γ′′′(t)

‖γ′(t)× γ′′(t)‖2

b) Calculen el aparato de Frenet-Serret de la curva γ(t) = (cos t, sen t, et)y hagan un dibujo que lo ilustre.

13. a) Si Γ es la curva plana parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), demues-tren que la curvatura de Γ en el punto γ(t) está dada por:

κ = |x′y′′ − x′′y′|

(x′2 + y′2)3/2

(por supuesto, lo anterior evaluado en cada t).b) Calculen la curvatura de una cicloide.

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