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Tecnologie delle CostruzioniTecnologie delle Costruzioni Aerospaziali
CRITERI DI ROTTURA STATICICRITERI DI ROTTURA STATICIPER MATERIALI ISOTROPI
PARTE 1
Prof. Claudio ScarponiIng. Carlo Andreotti
TIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONETIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONEUn provino può essere sottoposto a 2 tipi
di sollecitazione:di sollecitazione:
1. SempliceStaticaMonodirezionale (per esempio trazione)La forma del provino è semplice (peresempio un’asta)La verifica delle condizioni critiche puòessere effettuata tramite prove sperimentalisemplici (per esempio una prova disemplici (per esempio una prova ditrazione)I dati a disposizione nei manuali sonodirettamente confrontabili
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direttamente confrontabili
TIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONETIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONE
2. CompostaStaticaBiassiale o triassialeLa forma del provino può esserecomplessacomplessaLa verifica delle condizioni criticherichiede procedimenti lunghi e costosiI dati a disposizione nei manuali nonsono direttamente confrontabili
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TEORIE DELLA ROTTURAO O U
N i l il bl d llNascono per risolvere il problema dellaverifica delle condizioni critiche nel caso disollecitazioni composte.sollecitazioni composte.Restano valide nel caso di sollecitazionisemplici con una netta semplificazione deicalcoli.Si basano sulla conoscenza degli assiprincipali (sforzi principali e Cerchio diprincipali (sforzi principali e Cerchio diMohr).
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TEORIE DELLA ROTTURAO O U
fIDEA: qualora si riuscisse a definirela combinazione più gravosa delle σprincipali si potrebbe attraversoprincipali, si potrebbe, attraversoalcune ipotesi semplificative,escogitare un criterio perescogitare un criterio perconfrontare i diversi stati disollecitazione composta con i dati ao a o o po a o da adisposizione sui materiali.
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TEORIE DELLA ROTTURAO O U
SOLUZIONE ll b d ll diSOLUZIONE: sulla base delle diverseipotesi, riguardanti il cedimento deimateriali, si definisce tensioneequivalente o ideale quella tensionemonoassiale, esprimibile con la relazione
( )φche provoca lo stesso effetto della
ll i i l
( )321 ,, σσσφσ =i
sollecitazione composta realmenteapplicata.
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TEORIE DELLA ROTTURAO O U
L i id l ò f ilLa tensione ideale può essere facilmenteconfrontata con i dati a disposizione suimateriali.materiali.La relazione fondamentale per la verificadella resistenza è la seguente:
βσσ U
i ≤
Il pedice “U” sta per “ultimo”. Il simbolo βindica un coefficiente di sicurezza.
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TEORIE DELLA ROTTURAO O U
Principali teorie di rottura:Principali teorie di rottura:
Teoria della massima tensione normale(Rankine, Lamé, Navier)(Rankine, Lamé, Navier)Teoria della massima tensione tangenziale(Saint Venant, Tresca, Guest)Teoria della massima deformazione(Poncelet Saint Venant Grashof)(Poncelet, Saint Venant, Grashof)Teoria della massima energia dideformazione (Beltrami, Huber, Haigh)Teoria della massima energia digdistorsione (Von Mises, Hencky, Huber)Teoria della massima tensione tangenzialeottaedrale (Rôs, Eichinger)
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TEORIE DELLA ROTTURAO O U
Metodo di esposizione per ogni teoria:Metodo di esposizione per ogni teoria:
Ipotesi di rottural l di di inel caso generale di stato di tensione
triassialenel caso generale di stato di tensione
bi i l l ti ll t i i
iσ
iσbiassiale, relativo alle tensioni , ,Rapporto
xσ yσ xyτUU τσ
I simboli e indicano rispettivamente i valoridella σ e della τ in corrispondenza dei quali ilmateriale si trova al limite della resistenza.
Il pedice “U” sta per “ultimo”
Uσ Uτ
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Il pedice U sta per ultimo .
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N l di ll it i i t ti h i dNel caso di sollecitazioni statiche si deveoperare una distinzione tra materialiduttili e materiali fragili:
Materiali duttili⎩⎨⎧
==
SU
SU
ττσσ
Materiali fragili
⎩ SU
⎨⎧ = RU σσ
Materiali fragili
Il pedice “S” indica lo snervamento, mentrel d “ ” d l
⎩⎨ = RU ττ
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il pedice “R” indica la rottura.
TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
) I t i di tta) Ipotesi di rottura
P l i i t t di t i iPer qualsiasi stato di tensione, siverifica il cedimento del materialein un punto qualora il valore dellain un punto qualora il valore dellamassima tensione normale(positiva o negativa) raggiunga in
il l d ll iesso il valore della tensionelimite .Uσ
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
b) l l di t t dib) nel caso generale di stato ditensione triassiale
iσ
Nel caso di stato di tensione triassiale, si hala seguente situazione:
La condizione critica si verifica se321 σσσ ≥≥
MAXτ
a trazionea compressione
Uσσ =1
Uσσ =3 2σ 1σ
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
é èPoiché lo stato di crisi è espressodalla relazione
l’espressione della tensione idealelid l l è
Ui σσ =
valida nel caso generale èa trazione1σσ =ia compressione3σσ =i
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
) l l di dic) nel caso generale di stato ditensione biassiale, relativo alletensioni
iσ
σ σ τtensioni , ,
Nel caso di stato di tensione piano,
xσ yσ xyτ
l’espressione della tensione idealerisulta:
22
2
22 xyyxyx
i τσσσσ
σ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+=
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
d) Rapporto
Nel caso di semplice torsione o taglio
UU τσ
Nel caso di semplice torsione o taglio( ), la precedenterelazione diventa:
0== yx σσrelazione diventa:
La condizione critica si raggiunge perxyi τσ =
La condizione critica si raggiunge per
UMAXxyi τττσ ===
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE
éPoiché
Ui σσ =
si ricava
Ui
UUi τσσ ==σ
1=U
U
τσ
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U
TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
a) Ipotesi di rottura
Per qualsiasi stato di tensione, siverifica il cedimento del materialei l il l d llin un punto qualora il valore dellamassima tensione tangenzialeraggiunga in esso il valore dellaraggiunga in esso il valore dellatensione limite .Uτ
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
b) l l di t t dib) nel caso generale di stato ditensione triassiale
iσ
Nel caso di stato di tensione triassiale si hala seguente situazione:
La condizione critica si verifica se321 σσσ ≥≥
MAXτ
σ1σUMAX τσστ =
−=
231
3σ
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2σ
TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
Nel caso monodimensionale si ha oppure PoichéσNel caso monodimensionale si ha oppure . Poichédal cerchio di Mohr si ricava
21στ =MAX
MAXτ1σ 3σ
Ponendo
lo stato di crisi è espresso dalla relazione
2
1σσ =i 1σlo stato di crisi è espresso dalla relazione
Di conseguenza l’espressione della tensione ideale
Ui
MAX τστ ==2
Di conseguenza l espressione della tensione idealevalida nel caso generale è
31 σσσ −=i
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31i
TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
) l l di dic) nel caso generale di stato ditensione biassiale, relativo alletensioni
iσ
σ σ τtensioni , ,
Nel caso di stato di tensione piano
xσ yσ xyτ
l’espressione della tensione idealerisulta:
( ) 22 4 xyyxi τσσσ +−=
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
d) Rapporto
Nel caso di semplice torsione o taglio
UU τσ
Nel caso di semplice torsione o taglio( ) la precedente relazionediventa:
0== yx σσdiventa:
La condizione critica si raggiunge perxyi τσ 2=
La condizione critica si raggiunge per
UMAXxyi τττσ 222 ===
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TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALETEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE
éPoiché
Ui σσ =
si ricava
Ui
UU τσ 2=
2=U
U
τσ
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Uτ
TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONETEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
a) Ipotesi di rottura
Per qualsiasi stato di tensione, siverifica il cedimento del materialei l il l d llin un punto qualora il valore dellamassima deformazione principale(positiva o negativa) raggiunga in(positiva o negativa) raggiunga inesso un valore limite.
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TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONETEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
b) l l di t t di t i b) nel caso generale di stato di tensione triassiale
N l di t t di t i t i i l i h l
iσ
Nel caso di stato di tensione triassiale si ha la seguente situazione:
321 σσσ ≥≥La condizione critica si verifica se
a trazione
321
( )[ ] UEεσσνσε =+−= 3211
1
a compressionedove ν è il Coefficiente di Poisson ed E è il Modulo di
E( )[ ] UE
εσσνσε =+−= 21331
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dove ν è il Coefficiente di Poisson ed E è il Modulo di Young del materiale.
TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONETEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
N l di i l i h σNel caso monodimensionale si ha oppure . Di conseguenza:
1σ3σ
Ui σσ
Confrontando le precedenti relazioni, EEU
Ui
MAXσεσε ===
l’espressione della tensione ideale valida nel caso generale è
( ) a trazione
a compressione
( )321 σσνσσ +−=i
( )213 σσνσσ +−=i
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( )
TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONETEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
) l l di dic) nel caso generale di stato ditensione biassiale, relativo alletensioni
iσ
σ σ τtensioni , ,
Nel caso di stato di tensione piano
xσ yσ xyτ
l’espressione della tensione idealerisulta:
( ) ( ) 22
21
21 xy
yxyxi τ
σσν
σσνσ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+±
+−=
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22 ⎠⎝
TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONETEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE
d) Rapporto
Nel caso di semplice torsione o taglio
UU τσ
Nel caso di semplice torsione o taglio( ) la precedente relazionediventa:
0== yx σσdiventa:
La condizione critica si raggiunge per( ) xyi τνσ += 1
La condizione critica si raggiunge per
( ) ( ) ( ) UMAXxyi τντντνσ +=+=+= 111
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y