redalyc.herramientas tecnológicas en el desarrollo de ... · herramientas tecnológicas en el...

Perfiles Educativos

ISSN: 0185-2698

[email protected]

Instituto de Investigaciones sobre la

Universidad y la Educación

México

Santos Trigo, Manuel; Benítez Mojica, David

Herramientas tecnológicas en el desarrollo de sistemas de representación para la resolución de

problemas

Perfiles Educativos, vol. XXV, núm. 100, 2003, pp. 23-41

Instituto de Investigaciones sobre la Universidad y la Educación

Distrito Federal, México

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=13210003

Cómo citar el artículo

Número completo

Más información del artículo

Página de la revista en redalyc.org

Sistema de Información Científica

Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal

Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

http://www.redalyc.org/revista.oa?id=132

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=13210003

http://www.redalyc.org/comocitar.oa?id=13210003

http://www.redalyc.org/fasciculo.oa?id=132&numero=5898

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=13210003

http://www.redalyc.org/revista.oa?id=132

http://www.redalyc.org

23PERFILESEDUCATIVOS

Los estudiantes manifiestan sus formas de pensar y resolver problemas a partir del empleo de modelos que involucran distintos sistemas de representación. En este estudio,

un problema de rutina se emplea como plataforma para que los estudiantes expresen, construyan y refinen sus ideas acerca de conceptos que involucran cambio o variación. El uso

de la tecnología desempeña un papel importante en la presentación, identificación y exploración de conjeturas y relaciones. En particular, se observa que la utilización

de distintas representaciones se transforma en un puente para conectar temas que tradicionalmente aparecen en áreas como cálculo, geometría, aritmética y álgebra.

An important goal in mathematics instruction is that students develop powerful conceptual systems that lead them to solve mathematical problems. We recognize that students use models that involve descriptions,

explanations, and in general system of representations to externalize their ideas about mathematics and problem solving. Thus, models function as a means for students to exhibit and refine their repertoire

of resources and mathematical problems solving strategies. In this study, a routine problem is used as a platform to encourage students to search for multiple ways to solve and transform the nature of the problem into a set of learning activities. In this process, the use of technology

becomes an important tool to understand and connect concepts from areas that include arithmetic, algebra, geometry and calculus.

Maestros / Enseñanza-aprendizaje / Sistemas de representación / Problemas matemáticos / BachilleratoTeachers / Teaching-learning / Representation systems / Mathematical problems / High school

Herramientas tecnológicasen el desarrollo de sistemas de representación

para la resolución de problemas*MANUEL SANTOS TRIGO Y DAVID BENÍTEZ MOJICA**

INTRODUCCIÓN

Recientes reformas curriculares sugierenque los maestros deben diseñar e implan-tar actividades de aprendizaje en las cua-les los estudiantes tengan la oportunidadde desarrollar y usar diversos sistemas derepresentación para resolver tareas matemá-ticas (National Research Council, 1998;National Council of Teachers of Mathe-matics, 2000). Sin embargo, los maestrosreconocen la dificultad que enfrentan altratar de formular problemas que ayudena sus estudiantes a desarrollar hábitos delpensamiento que sean consistentes conestas reformas. ¿Qué recursos matemáti-cos y didácticos son importantes en elproceso de diseñar problemas o activida-des de aprendizaje?, ¿existen principiosque puedan guiar el diseño o la formula-ción de problemas?, ¿cómo transformarlos problemas y ejercicios rutinarios queemplean los maestros en sus prácticas co-tidianas, en actividades de resolución deproblemas?

En este trabajo se documentan los dis-tintos métodos de solución que empleanestudiantes del nivel medio superior cuan-do efectúan actividades de resolución deproblemas. En particular, los mismosejemplos que los maestros emplean en susclases pueden usarse como plataformaspara proponer distintos métodos de solu-ción. En este proceso, el uso de la tecno-logía se convierte en una herramientaimportante para presentar métodos de

solución con cualidades matemáticas queno necesariamente se perciben cuando losestudiantes usan solamente papel y lápiz.

En el desarrollo del trabajo se sostieneque una actividad fundamental en la reso-lución de problemas consiste en que losestudiantes generen distintas formas ométodos de solución y examinen las pro-piedades inherentes a cada uno de estosmétodos (Schoenfeld, 1998). En este con-texto, trabajar con problemas da una opor-tunidad a los estudiantes para desarrollarmodelos matemáticos que incluyan el usode descripciones, explicaciones y de diver-sos sistemas de representación. En particu-lar, el uso de la tecnología puede ofrecerlesuna ventana interesante para observar yexaminar conexiones y relaciones.

MARCO CONCEPTUAL

La idea de marco conceptual que emplea-mos en el estudio se basa en el trabajo deEisenhart (1991). En esta dirección, unmarco conceptual se considera un sopor-te estructural de justificación en lugar deun esquema de explicación (ibid., p.10).Se reconoce como “un argumento queincluye diferentes puntos de vista y cul-mina en una serie de razones para adop-tar algunos puntos… y no otros” (ibid.,p. 10). Desde este enfoque, un marcoconceptual es un razonamiento que justi-fica los conceptos que intervienen en lainvestigación y el tipo de relaciones queserán apropiadas y de utilidad en el pro-blema de estudio o investigación. Demanera similar a los marcos teóricos, losmarcos conceptuales se basan en la inves-tigación previa; sin embargo, éstos seconstruyen a partir de las fuentes queexisten, incluyendo aquí posibles nuevosarreglos o ajustes que emerjan durante eldesarrollo de la investigación.

Herramientas tecnológicas en el desarrollo de sistemas... M. Santos y D. Benítez (2003), vol. XXV, núm. 100, pp. 23-41


* El presente estudio se desprende del proyecto “Procesos deresolución de problemas en ambientes que promueven elempleo de herramientas tecnológicas”, financiado porCONACYT (referencia núm. 42295).

** Investigadores del Centro de Investigación y ServiciosAvanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN), Universidad Autónoma de Coahuila.

Un principio fundamental en la ins-trucción matemática es que los estudian-tes, al resolver problemas, deben desarro-llar el hábito de buscar varias formas desolución e investigar ventajas y limitacio-nes de las representaciones que aparecenen el proceso de resolución.

En la práctica actual, gran parte de la enseñan-za tiene lugar dentro de un solo sistema derepresentación. Se dedica mucho tiempo yesfuerzo a que los estudiantes desarrollen habi-lidades para operar el lenguaje formal simbóli-co, y relativamente poco tiempo se dedica alempleo de otras representaciones de la mismaidea (Goldenberg, 1995, p. 156).

El empleo de distintas representacio-nes desempeña un papel importante en elentendimiento de ideas matemáticas y enla resolución de problemas. En esta direc-ción, es necesario que los estudiantesconstruyan sistemas de representaciónque les permitan analizar y entender con-ceptos matemáticos desde varios ánguloso perspectivas. En particular, el uso de dis-tintas herramientas tecnológicas (Excel,calculadoras, software dinámico) ayuda aque visualicen e identifiquen propiedadesy relaciones que son parte de la estructu-ra profunda de los conceptos o proble-mas. Lesh (en prensa) establece que “for-mas poderosas de pensar se generan enprocesos iterativos y recursivos a travésdel desarrollo de perspectivas que involu-cran múltiples representaciones”. En estecontexto, resolver un problema va másallá de presentar una respuesta final; invo-lucra investigar, representar, aplicar, inter-pretar y evaluar diferentes maneras deresolver el problema (Schoenfeld, 2002).Es decir, aprender matemáticas es un pro-ceso de construcción continua de mode-los del pensamiento matemático que

deben evaluarse de manera constante yeventualmente transformarse en entida-des más robustas.

Los estudiantes emplean modelos alinterpretar situaciones matemáticamente.Estos modelos se fundamentan en siste-mas conceptuales que se expresan a travésde distintos medios, los cuales involucranel uso de diversos tipos de representacio-nes, descripciones, o explicaciones. Enesta dirección es importante reconocerque la única forma de acceder a los siste-mas conceptuales internos de los estu-diantes es por un medio externo. Tanpronto como ellos desarrollan un sistemaconceptual para encontrarle el sentido auna situación, emplean ese sistema con-ceptual para moldear sus experiencias.Así, cuando una persona o grupo estáresolviendo un problema, las formas depensar se expresan usando un medioexterno que les ayuda a clarificar, modifi-car, refinar o revisar cada forma indivi-dual de pensamiento. Existe la tendenciaa pensar que la única forma en que pode-mos conocer lo que pensamos es exterio-rizando nuestra forma de pensar; y elmismo acto de exteriorizar nuestra formade pensar tiende a inducir nuevos cam-bios, produciéndose de esta manera esla-bones importantes entre las representa-ciones y el pensamiento. Así, cuando unestudiante primero dibuja y luego exami-na un diagrama, su manera de pensarpuede haber cambiado en una formaimportante.

La tecnología ofrece a los estudiantesun medio que puede favorecer el acceso yel desarrollo de recursos matemáticos queles ayuden en la construcción de esos mo-delos (Devlin, 1997). En particular, larepresentación de relaciones en formadinámica les permite realizar exploracio-nes que frecuentemente conducen a la



identificación y formulación de conjetu-ras. Además, en las representaciones diná-micas, los estudiantes fácilmente puedenconstruir y mover elementos en tal repre-sentación o configuración para poderanalizar propiedades o relaciones de fami-lias de figuras. Aquí los alumnos even-tualmente reconocen la necesidad deplantear argumentos que fundamentensus propias conjeturas.

Es importante aceptar que puedenexistir distintos puntos de vista acerca delo que significa pensar matemáticamentey que diferentes comunidades puedendistinguir o caracterizar el pensamientomatemático de acuerdo con sus propiasexperiencias profesionales. Aquí resultainteresante generar una visión amplia,que ayude a proponer un marco donde seidentifiquen los fundamentos de la disci-plina, los cuales garanticen una forma-ción en los estudiantes que les permitaajustarse adecuadamente a los constantesdesarrollos del campo de estudio. ¿Quétipo de experiencias necesitan desarrollaren la resolución de problemas para en-frentar situaciones o problemas fuera dela escuela?, ¿cuáles son las herramientasconceptuales o modelos que necesitanpara enfrentar esos problemas?, ¿cómopueden los estudiantes mismos desarrollarmecanismos de aprendizaje que les per-mitan compartir, reutilizar, refinar y mo-dificar o robustecer sus modelos de reso-lución de problemas? Lesh (en prensa) haempleado lo que identifica como “estu-dios de expertos en evolución” para tratarde investigar preguntas como las anterio-res. En este tipo de estudios, los partici-pantes trabajan en ciertas actividades queles permiten reconocer y transformar suspropios modelos de pensamiento. En estesentido, se establece un ambiente donde:

• Los participantes continuamente arti-culan, examinan, comparan y contras-tan sus formas de pensar acerca de lasmatemáticas, la enseñanza, el aprendi-zaje y la resolución de problemas. Esdecir, las herramientas conceptuales ymodelos que utilizan para realizar lasactividades reflejan sus formas de pen-samiento.

• Los participantes revisan y refinan lasherramientas conceptuales a partir deuna interacción dentro de una comu-nidad que valora las contribuciones detodos los miembros.

• Los participantes desarrollan herra-mientas y formas de pensar que ellosmismos evalúan en términos de susaplicaciones potenciales. Además, ge-neran información sobre cómo tal he-rramienta ha llegado a ser funcionalpara ellos.

Un aspecto fundamental en el desarro-llo de las experiencias de aprendizaje delas matemáticas en los estudiantes es queel empleo de distintas representacionesfavorece la integración y la conexión decontenidos de la disciplina. Así, las múl-tiples formas de representar la informa-ción de una situación pueden resultar unvehículo para utilizar ideas que incluyenaspectos numéricos, algebraicos, geomé-tricos o de cálculo.

PROCEDIMIENTOS Y ACTIVIDADES INSTRUCCIONALES

Un grupo de 35 estudiantes de tercero debachillerato participó en un curso de cál-culo con énfasis en la resolución de pro-blemas. Los estudiantes abordaron seriesde problemas que incluyen ejercicios delibros de texto (además de problemas di-señados para ese curso) durante un se-





mestre. Las actividades de instrucción in-cluyeron las presentaciones por parte delmaestro, el trabajo en forma individualde los alumnos y en grupos de cinco, asícomo discusiones de todo el grupo. Losestudiantes tuvieron acceso al uso de lacomputadora y calculadora; cuando tra-bajaron en grupos siempre había al menosuno que tenía cierta experiencia en el usode estas herramientas, y éste ayudaba a queotros alumnos se familiarizaran rápida-mente con el empleo de tales herramien-tas. La idea era que en el uso de la herra-mienta se adquiriera “transparencia” encuanto a que no fuera un obstáculo que lesimpidiera vincularla directamente con laexploración matemática de los problemas.

En la fase inicial, los estudiantes enforma individual resolvían el problema,después compartían sus ideas dentro delequipo de cinco alumnos y eventualmen-te algunos de los métodos de solución deestos equipos se discutían con todo elgrupo. El papel del maestro, además delas presentaciones ante la clase, fue coor-dinar y monitorear el desempeño indivi-dual y de los grupos de discusión. En al-gunos casos, proponía preguntas, pedíaalguna explicación a los estudiantes, osugería la consideración de cierta formade representar la información. Durante elcurso, la participación de los alumnos fueun ingrediente fundamental para el desa-rrollo de las actividades.

La información que se recolectó en eldesarrollo del curso incluye el trabajoescrito que presentó cada grupo de discu-sión, los archivos del trabajo que se alma-cenaron en la computadora o calculadoray entrevistas con algunos estudiantes.Durante el análisis de los resultados sepone atención a los aspectos globales quecaracterizan el trabajo de los estudiantes.Es decir, se reportan los distintos acerca-

mientos que emergieron en el desarrollode las actividades. En particular, las uni-dades de análisis se centran en el funcio-namiento y los aportes de los grupos pe-queños y las discusiones con toda la clase.El análisis se presenta a partir de la consi-deración de un problema donde se ilus-tran las distintas ideas que los estudiantessugieren y emplean en el tratamiento deun problema rutinario. Nos interesaidentificar y analizar los diferentes tiposde representaciones que ayudan a siste-matizar la información y resolver el pro-blema. ¿Existe otra forma de resolverlo?Esta fue una pregunta importante queresultó obligatoria para todos los estu-diantes en su interacción con los proble-mas. Además, la búsqueda intencional dedistintas soluciones es fundamental paraestablecer conexiones o extensiones rela-cionadas con el problema original.

Es necesario mencionar que las repre-sentaciones que emplearon los estudian-tes en la solución del problema que aquíse ilustra, refleja el ambiente que se fueconstruyendo en el salón de clases. Lapresencia de representaciones múltiplesen los acercamientos de los estudiantesresultó un aspecto fundamental paramostrar que gran parte de los problemasque aparecen en libros de texto puedentransformarse en actividades que resulteninteresantes para los estudiantes.

EL PROBLEMA INICIAL1

La distancia entre dos postes que se em-plean en las instalaciones telefónicas es de10 m, como se muestra en la figura 1. Lalongitud de cada poste es de 3 y 5 m. Amanera de soporte, un cable que une laparte superior de los dos postes se sujetaráa un punto en tierra, localizado sobre lalínea que une los dos postes. ¿Dónde debe

situarse el punto sobre la tierra de tal ma-nera que la longitud del cable sea la menor?

FIGURA 1 • Dos postes y un cable que une los

extremos superiores con un punto sobre la recta

que une a los postes.

COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA

Un aspecto importante en el proceso desolución de este problema es reconocerque la longitud del cable varía cuando elpunto P se mueve sobre el segmentoentre los dos postes y plantear la necesi-dad de cuantificar este cambio. En la re-presentación inicial propuesta por losestudiantes se destaca el empleo de unanotación particular para identificar loselementos clave del problema (figura 2).

FIGURA 2 • Representación del problema

e introducción de una notación.

¿Cómo podemos saber si la longituddel cable cambia cuando el punto P semueve a lo largo del segmento entre losdos postes?, ¿cómo podemos determinarla distancia entre un poste y el punto P?,¿qué datos tenemos?, ¿cómo podemosusar el teorema de Pitágoras?

Éstas fueron las preguntas inicialesque ayudaron a los estudiantes a identi-ficar la información relevante y a explo-rar la relación entre la longitud del cabley la localización del punto P. Con baseen la representación del problema, algu-nos estudiantes observaron que el punto Ppodía estar ubicado en cualquier punto delsegmento AB. También reconocieron quela hipotenusa en cada triángulo representaparte de la longitud del cable. Esto es, lasuma de las dos hipotenusas representala longitud total del cable. Además, obser-varon que el procedimiento que emplea-ban para determinar la longitud del cable,en un caso en particular, era el mismo paracalcular la longitud del cable cuando elpunto P se movía sobre el segmento AB.La hoja de cálculo (Excel) eventualmenteapareció como una herramienta importan-te para calcular y representar la informa-ción del problema. A continuación se es-bozan las ideas esenciales que emergierondurante este acercamiento:

El uso de una tabla

Algunos estudiantes se enfocaron en cal-cular casos particulares para la ubicacióndel punto P. En este sentido, hicieron usode diferentes representaciones (tabularesy gráficas) en Excel para resolver el pro-blema (figura 3).

FIGURA 3 • Análisis de casos particulares para el

punto P.



Partiendo de esta gráfica, los estudian-tes construyeron, usando Excel, una tablapara organizar los datos (figura 4).

FIGURA 4 • Cálculo de la longitud del cable para

varios casos.

En la primera columna pusieron unvalor de AP igual a cero. Para construir lasegunda columna (el valor de PC), escri-bieron la fórmula siguiente:

=10- A2

Esto constituye una representación, enel lenguaje de Excel, de que la distanciaentre los dos postes es 10 m.

Para construir la tercera y cuarta co-lumnas (los valores de BP y PD respecti-vamente), emplearon el teorema de Pitá-goras y escribieron las fórmulas siguientes:

=RAIZ(9+A2^2)=RAIZ(25+B2^2)

Estas expresiones representan los valo-res de las hipotenusas de los triángulosrectángulos PAB y PCD.

Los valores de la quinta columna re-presentan la longitud total del cable y losestudiantes emplearon la expresión:

=C2+D2

Con la información anterior resultósencillo completar la tabla (figura 5).

FIGURA 5 • Cálculos de la longitud del cable

para una partición entera del segmento que une

los postes.

Con esta partición del segmento AC, losestudiantes observaron que la menor longi-tud del cable era aproximadamente igual a12.81 m y se da para AP = 4 m. Con elpropósito de encontrar una mejor aproxi-mación a la solución, se dieron cuenta deque era necesario refinar la partición alre-dedor de la distancia AP = 4 m (figura 6).

FIGURA 6 • Mejora de la partición: el uso de

números decimales.

En la tabla observaron que la longitudmínima se encuentra en un valor cercanoa AP = 3.75 m. En este acercamiento, losestudiantes emplearon la idea de varia-ción mediante procesos de refinación dela partición del segmento que une los dospostes. Lo importante en esta idea es quelos alumnos observaron que era necesa-



rio considerar números decimales paraobtener una mejor aproximación. Losingredientes fundamentales de estemodelo de pensar el problema incluyenla selección de casos particulares (distin-tas posiciones para P), el refinamientode la partición, el empleo de la tabla y eluso de la herramienta, en este caso lahoja de cálculo.

Una aproximación visual

Después de que los estudiantes genera-ron la tabla anterior, construyeron lagráfica correspondiente y observaron quemientras más acercaban el punto a cual-quiera de los postes, la longitud total delcable aumentaba. Observaron tambiénque cuando el punto estaba a 3.75 m delposte más corto, la longitud total del ca-ble alcanzaba su mínimo valor (figura 7).

FIGURA 7 • Representación visual de la longitud

del cable.

Una pregunta que surgió de esta ima-gen visual del problema fue: ¿cuándo obajo qué condiciones el punto medio delsegmento determina la mínima cantidadde cable? Los alumnos argumentaron quecuando la longitud de los postes era lamisma, entonces el punto medio del seg-mento nos da la mínima longitud decable, y cuando la longitud de los postes

no era la misma, entonces el punto po-dría ser localizado hacia el lado del postede menor longitud.

Otra forma en que los estudiantes res-pondieron incluye la gráfica de la funciónque relaciona valores del segmento AP yla longitud correspondiente (figura 8).

FIGURA 8 • Representación gráfica de la

variación del cable en función de la ubicación

del punto sobre la línea que une los postes.

Se debe resaltar que en este procesode refinación de la partición del segmen-to de 10 m de longitud, los estudiantesvieron la necesidad de pasar de unarepresentación discreta de los datos auna representación continua de los mis-mos.

Aproximación algebraica combinada con el uso de la calculadora

Los estudiantes reconocieron que unaparte importante en la búsqueda de lalongitud del cable para cada punto esidentificar que existen dos triángulos rec-tángulos involucrados en la situación.También observaron que el punto P divi-de el segmento que une los dos postes endos segmentos que son lados de dos trián-gulos rectángulos. Con base en la figura9, propusieron encontrar la expresióngeneral para la longitud del cable.



FIGURA 9 • Uso de lenguaje algebraico.

Los estudiantes expresaron la hipote-nusa de cada triángulo rectángulo como

y , respectivamente,y la longitud total del cable como lasuma de esas dos expresiones. Esto es,

. ¿Cómo podemosencontrar el mínimo valor de l(x) en estaexpresión?, ¿podemos graficar esta fun-ción? Con la ayuda de una calculadora,obtuvieron la gráfica e identificaron elvalor de l(x) que nos da el mínimo valorde (figura 10).

FIGURA 10 • Representación gráfica y localiza-

ción de la longitud mínima del cable.

Otros estudiantes pensaron en el usode conceptos del cálculo para encontrar elmínimo valor de l(x) (figura 11). Algunosemplearon la calculadora para encontrarel punto donde l(x) alcanza dicho valor.Al emplear este instrumento, enfrentaronel problema de decidir las dimensionesapropiadas de la “ventana” para que la grá-

fica pudiese mostrar los aspectos relevan-tes en el comportamiento de la función.

FIGURA 11 • Uso de la calculadora para realizar

operaciones y determinar el punto donde el cable

alcanza el menor valor.

Otros estudiantes recurrieron a proce-dimientos algebraicos para determinar elvalor de x en el cual l(x) alcanzara sumínimo valor. La primera meta fue elencontrar la derivada de l(x) y determinarcuándo esa derivada es cero. Simbólica-mente, esto significa que:

esta última ecuación se transforma en:

.

Ahora, dividiendo ambos lados entre4, tenemos que:

Usando la fórmula general para resol-ver la ecuación cuadrática tenemos que:



Durante este procedimiento algebraicofue evidente que los estudiantes tuvieronla oportunidad de usar una serie de pro-piedades de números reales, que les per-mitió transformar y determinar los valorescorrespondientes. Este aspecto es un in-grediente fundamental en el desarrollo dela competencia matemática de los estu-diantes y se complementa con el procedi-miento donde se emplea la calculadora.

Es importante mencionar que el mo-delo de pensamiento que se refleja en esteacercamiento es básicamente algebraico.Aquí hay una representación general de laubicación del punto P sobre el segmentoy se establece una expresión que describela longitud del cable. La calculadora lesayuda a visualizar el comportamiento dela función. Además, funciona como unmonitor para aquellos que emplearonprocedimientos algebraicos para encon-trar la solución del problema. Al realizarlas operaciones algebraicas los estudiantestambién tienen oportunidad de apreciarel potencial del empleo de las propieda-des de los números que tienden a reducirla complejidad de los cálculos.

Aproximación geométrica

Otro método sugerido por el maestrofue examinar el caso en el cual un postese ve reflejado en una línea vertical res-pecto al segmento que une los dos pos-tes (figura 12).

FIGURA 12 • Reflejo del punto C sobre la línea

AB.

Los estudiantes reconocieron que eneste caso el segmento ED que intersecta alsegmento AB en el punto P es la mínimalongitud de cable. Ellos argumentaronque cualquier otro punto diferente comoP’, generaría un triángulo EP’D en el cualla suma de EP’ y P’D sería siempre máslarga que ED (figura 13).

FIGURA 13 • Se argumenta que el segmento ED

es la mínima distancia.

¿Cómo podemos determinar la longi-tud total del cable? Los estudiantes iden-tificaron un triángulo rectángulo (figura14) en el cual nuevamente la hipotenusaera la longitud total del cable. Esto es,



FIGURA 14 • Uso del teorema de Pitágoras para

encontrar la distancia ED.

Otros estudiantes decidieron encontrarla distancia entre el punto A y el punto P.Para ello, introdujeron un sistema de coor-denadas usando como origen el punto A(figura 15). Entonces encontraron la ecua-ción de la recta DE que pasa por el puntoE (0,-3) y tiene pendiente . Esto es,

y cuando y=0, ellos reportaron quela distancia entre AP era .

FIGURA 15 • Introducción de un sistema de coor-

denadas para encontrar la distancia AP.

Algunos estudiantes mencionaron quelos triángulos APE y BPD eran semejan-tes. Consecuentemente, los lados corres-pondientes eran proporcionales, esto es

, que conduce a .

Los ingredientes fundamentales de estemodelo de pensamiento involucran laspropiedades de la reflexión de segmentosy uso de relaciones entre triángulos (se-mejanza y congruencia). Además, aquí elestudiante tiene la oportunidad de iden-tificar la importancia de un sistema de re-ferencia y emplear conceptos básicos quedescriben propiedades de la línea recta.

Aproximación dinámica: dos casos

1. Otra aproximación que los estudiantesmostraron mientras resolvieron el pro-blema fue mediante el uso de un soft-ware dinámico. Esto les permitió de-terminar gráficamente la relación entrela distancia AP y la longitud total delcable (CP + PD). Moviendo el puntoP a lo largo del segmento AB se generauna gráfica del comportamiento de lalongitud total del cable. Es importantemencionar que el software permite ge-nerar una tabla que incluya algunosvalores de la distancia CP y el valorcorrespondiente de CP + PD.

En este caso, el reporte de los estu-diantes fue una aproximación de lamínima longitud del cable, es decir,12.81 cm, que corresponde a una dis-tancia AP=3.7cm (figura 16). En esteproceso, los estudiantes exploraron elcomportamiento del área generada porlos dos triángulos cuando P se muevea lo largo del segmento AB. Se sor-prendieron al ver que la gráfica de lasuma de esas dos áreas era el segmentomostrado en la figura.

2. Otro acercamiento de los estudiantesse relaciona con la identificación deuna familia de elipses. Es importantemencionar que el software dinámicopermite explorar comportamiento dedistintas relaciones de manera simple.



Por ejemplo, al observar la representa-ción del problema los estudiantes sugi-rieron explorar el comportamiento dela suma BP + PD=MN para un valordeterminado del segmento MN (figu-ras 17 y 18).

FIGURA 17 • Se conecta el problema

original con la definición de la elipse.

La manera como realizaron la cons-trucción de esta familia de elipses se des-cribe en los siguientes pasos:a) Primero se construye el segmento AC

y los segmentos AB y CD perpendicu-lares a AC y con las medidas del pro-blema. Se identifica un punto P sobreel segmento AC.

b) Se construye un segmento MN, cuyamedida es BP + PD = MN. Se ubicaun punto Q sobre MN.

c) Con centro en B y radio MQ se trazauna circunferencia. Con centro en D yradio QN se traza otra circunferencia.Se pide el lugar geométrico de las in-tersecciones de estas circunferenciascuando el punto Q se mueve a lo largodel segmento MN.

FIGURA 18 • Construcción de una familia

de elipses.

Se ha encontrado una familia de elip-ses. Sin embargo, la solución es aquella enla cual MN sea el mínimo; la medida delsegmento MN no puede ser cero porquerepresenta la longitud del cable. Para en-



FIGURA 16 • Representación dinámica que incluye la representación del problema,

la gráfica y un cuadro.

contrar esta solución, se arrastra el puntoP hasta encontrar un lugar en el cual elsegmento AC sea tangente a la elipse (figu-ra, 19).

FIGURA 19 • Identificación de la solución del

problema.

Un aspecto importante aquí fue lanecesidad de que los estudiantes constru-yeran un argumento para apoyar la afir-mación de que la elipse tangente al seg-mento AC era la que interesaba en lasolución del problema. Durante la discu-sión de todo el grupo y con la guía delmaestro, se planteó un argumento desdelas siguientes consideraciones:

FIGURA 20 • Se justifica la solución.

En la figura 20 se identifican los pos-tes y una elipse, de tal manera que el seg-mento AC es tangente a ella en el puntoP. Consideremos otro elemento de la fa-milia de elipses que tienen focos en los

puntos B y D, de tal manera que la líneaque pasa por A y C es una secante. Sea Qun punto sobre tal elipse. Se trazan los seg-mentos BQ y DQ, se encuentran los pun-tos R y S, que son las intersecciones de laelipse original con estos segmentos. Bajoestas condiciones, se cumple que: BQ >BR y DQ > DS, con lo cual se tiene queBQ + DQ > BR + DS (a).

Utilizando la desigualdad del triangu-lar en los triángulos BQS y DRQ, setiene: BS + SQ > BR + RQ (b); DR + RQ> DS + SQ (c).

A partir de estas dos últimas desigual-dades se concluye que: BS + DR > BR +DS (d).

Recordemos que los puntos R y Sestán sobre la elipse; por ello se satisfacenlas siguientes igualdades: BR + DR = k yBS y SD = k, siendo k una constante. Uti-lizando estas igualdades en la expresión(d), se tiene:

BS + DR > k (e)

Sumando BS + DR en ambos lados dela desigualdad (a) se obtiene:

BQ + DQ + (BS + DR) > 2k (f )

De las desigualdades (e) y (f ) se puedeconcluir que:

BQ + DQ > k

Lo cual prueba que la mínima longi-tud de cable se da cuando el segmentoAC es tangente a la elipse.

Aquí es importante señalar que el mo-delo que emplean los estudiantes paraabordar el problema se basa en el diseñode una construcción dinámica del proble-ma. En particular se destaca la relaciónfuncional entre la longitud del segmento



y la del cable sin el empleo de un lengua-je simbólico. Además, el software les per-mite explorar familia de casos fácilmentey establecer ciertas conjeturas que despuéstienen que ser sustentadas. Se resalta lanecesidad de plantear un argumento quele dé racionalidad a sus observaciones oconjeturas.

Extensión 1

En la discusión de las cualidades de los dis-tintos acercamientos, un estudiante pre-guntó acerca del punto de intersecciónentre los cables si ahora se unían de losextremos a las bases opuestas. El problemaa explorar quedó en los siguientes términos:

Suponiendo que la longitud de los postes es ay b y que la distancia entre ellos es d. Los ca-bles están ahora atados desde el extremo supe-rior de cada poste hasta la base del posteopuesto. La intersección de los cables es elpunto P. ¿Cuál es la altura de ese punto de in-tersección con respecto a la línea que uneambos postes?

Cuando los estudiantes discutieron enel grupo los aspectos importantes de cadaforma de resolver este problema, resultónatural pensar en un caso en general, enel cual estos números particulares usadospara los postes, y la distancia entre ellosfueran reemplazados por cualquier canti-dad. En este proceso fue relevante identi-ficar relaciones entre triángulos semejan-tes (figura 20).

Partiendo de la representación, el obje-tivo era encontrar la longitud del segmen-to QP. En la figura se observó que la rectaEF es paralela a AB y que los triángulosAQP y PFC eran semejantes. Los triángu-los EDP y PQB también fueron identi-ficados como semejantes. Las siguientes

FIGURA 20 • Una extensión y el caso general.

operaciones aparecieron en la solucióndel problema:

Si AQ es x, QP es h, entonces tenemosque:

esto implica que

.Análogamente, de los triángulos EDP

y FQB tenemos que:

de la cual tenemos que:

De las dos expresiones anteriores tene-mos que:

Esto es,

Para el caso en particular cuando a =3, b = 5 y d = 10, entonces h = 15/8.

Extensión 2

Los estudiantes observaron que los acer-camientos geométricos y dinámicos no



involucraron procedimientos algebraicospara encontrar la solución. Aquí, el maes-tro propuso el problema siguiente:

Sea C un punto en el interior de unángulo dado. Encontrar los puntos A y Bsobre lados del ángulo tales que el perí-metro del triángulo ABC sea mínimo(figura 21).

FIGURA 21 • Exploración de relaciones

y conexiones con el problema original.

FIGURA 22 • Relación con el problema

inicial.

La idea inicial fue tratar de relacionareste problema con el que habían estadotrabajando. Con la ayuda del softwaredinámico, los estudiantes empezaron aconstruir la representación del problemay eventualmente identificaron la relacióncon el problema inicial (figura 22).

Las ideas fundamentales se describen acontinuación:

1) Sean los rayos OR y OR’ con un pun-to común O, y C un punto en el inte-rior del ángulo ROR’.

2) La meta inicial es encontrar la longi-tud mínima desde el punto C a cual-quier lado del ángulo. Así, desde elpunto C se traza una perpendicular acualquiera de los rayos. Por ejemplo,desde C se traza una recta perpendicu-lar al rayo OR’; esta recta corta a OR’en Q. Ahora, sobre el rayo OR se tomaun punto A cualquiera y desde A setraza una perpendicular al rayo OR’.Esta perpendicular corta al rayo OR’en P.

3) En esta construcción se reconoce quelos segmentos AP y CQ son los postesdel problema anterior unidos por PQ.Así, para encontrar el punto B sobrePQ para que la distancia AB + BC seamínima se procede de manera similara uno de los acercamientos del pro-blema anterior. Se construye A’, elpunto simétrico de A respecto a P. Alunir el punto A’ con el punto C seobtiene el punto B (punto de inter-sección del segmento PQ con A’C) yes el punto que determina la menordistancia para AB + BC.

4) Se observa que al mover el punto Asobre el rayo OR se genera una familiade triángulos. Así, para cada distanciaOA existe un triángulo con cierto perí-metro y para determinar el de menor



perímetro de toda esa familia se dibujala gráfica que asocia a cada punto Adel rayo R con su perímetro correspon-diente (utilizando el comando Locus).Se observa que para un valor del seg-mento OA igual a 6.20 le correspondeel de menor perímetro igual a 9.04.

En la figura 23 se observa que cuandose realiza una construcción semejantepero ahora la perpendicular se traza delpunto C al rayo OR, se obtiene la mismasolución.

FIGURA 23 • Se verifica la solución

al problema.

Conexiones

En la parte final de la sesión, el maestropropuso el siguiente problema:

Sean T1 y T2 dos trenes que viajan ensentidos opuestos por vías paralelas (figu-ra 24). Los trenes parten simultáneamen-te de dos ciudades A y B que están a unadistancia de 10 millas. El tren T1 viaja auna velocidad de 3mi/h, mientras que el

tren T2 viaja a 5mi/h. ¿A qué distanciarespecto a la ciudad A se encontrarán lostrenes?, ¿cuánto tiempo transcurre hastaque los trenes se encuentran?

FIGURA 24 • Representación geométrica.

La idea central era contestar las pre-guntas anteriormente planteadas y tratarde encontrar la conexión de este nuevoproblema con el originalmente planteado.

Los estudiantes construyeron sobre unsegmento AB, dos puntos T1 y T2 con lacondición que si T1 recorre una distanciax, el punto T2 recorrerá una distancia .

En la siguiente gráfica, el punto P re-presenta la distancia recorrida por el trenT1 para un tiempo t, mientras que elpunto Q representa la distancia recorridapor el tren T2 en el mismo tiempo t.

Para encontrar la distancia recorrida yel tiempo que transcurre hasta que lostrenes se encuentran, los estudiantesarrastraron el punto T1 y observaron lahuella de los puntos P y Q. La solucióndel problema son los puntos de corte delas dos rectas (figura 25).

FIGURA 25 • Solución dinámica.



Fue importante observar que al finalde las sesiones los estudiantes trataron deanalizar y encontrar el sentido a los pro-blemas en términos del empleo de la tec-nología, en especial mediante las repre-sentaciones generadas con el softwaredinámico.

Cualidades matemáticas de los modelos de solución empleados por los estudiantes

El contenido inicial que examinaron losestudiantes por medio de sus aproxima-ciones en este problema fue el conceptode variación. Sin embargo, en el desarro-llo de los distintos métodos de soluciónaparecen contenidos que comúnmente seasocian con otras disciplinas como geo-metría euclidiana, analítica y álgebra. Es-to refuerza la idea de que hay que rompercon la visión de pensar la educación delos estudiantes en términos de materiasbien definidas. En su lugar, los alumnospueden emplear conceptos e ideas devarias disciplinas, no sólo en la soluciónde un problema, sino en la organizacióny selección de los contenidos en general.Además de estudiar distintos contenidos,es importante que los estudiantes desarro-llen estrategias que les permitanrepresentar, analizar, interpretar y comu-nicar resultados. Cada representaciónque apareció en el tratamiento del pro-blema inicial posee importantes cualida-des matemáticas. Por ejemplo, el empleode una tabla para presentar diferentes cir-cunstancias es una estrategia poderosapara introducir la idea de aproximacióny límite. Los estudiantes que inicialmen-te identificaron ejemplos de dos enteroscuya suma es 10 para calcular los diferen-tes valores de la longitud del cable, pos-teriormente se dieron cuenta de que esasoperaciones pueden ser resueltas también

con la ayuda de Excel. En ese momento,ellos propusieron no sólo números deci-males, sino que introdujeron un caminosistemático para organizar los datos. Eltrabajar con distintas formas de repre-sentación de los números (decimales o ra-cionales) ofrece ciertas ventajas en el en-tendimiento de relaciones y resultados(Santos, 2002).

El proceso de graficar los datos de unatabla permitió a los estudiantes visualizarel comportamiento de la longitud del ca-ble. En particular, observaron que cuan-do el punto P está más cerca de uno delos postes, la longitud total del cable au-menta. Aquí descubrieron que la longitudde los postes era relevante para encontrarla localización del punto P. Por ejemplo,reconocieron que cuando los postes tie-nen la misma longitud, entonces la longi-tud total del cable alcanza su mínimovalor en el punto medio del segmentoque los une. Fue evidente que no sola-mente estuvieron interesados en encon-trar la respuesta del problema, sino enexplorar otros posibles casos.

Durante la aproximación de la tabla,identificaron ideas que fueron necesariaspara expresar la longitud del cable en tér-minos de información dada. Por ejemplo,reconocieron que existían dos triángulosrectángulos de los cuales se podía calcularsus lados correspondientes y que la longi-tud del cable era la suma de sus dos hipo-tenusas.

Los estudiantes que se enfocaron enencontrar una función que expresara lalongitud total del cable en términos de ladistancia x, eventualmente daban unafórmula. El uso de una calculadora resul-tó importante para graficar la función ypara encontrar la mínima longitud delcable, así como para encontrar la deriva-da de dicha función.



La aproximación geométrica fue tam-bién importante para relacionar este pro-blema con diferentes líneas de contenidoque incluyen triángulos rectángulos, sis-tema de coordenadas cartesianas, ecuaciónde una recta, triángulos semejantes, ladefinición de elipse, la ecuación cuadráti-ca, el teorema de Pitágoras y la conexióncon problemas de física. Los estudiantesreconocieron que dibujar el reflejo de unode los postes fue una estrategia poderosapara resolver el problema.

La aproximación dinámica ofreció alos alumnos la oportunidad de explorardirectamente qué pasa con la longitud delcable cuando el punto P se mueve a lolargo del segmento. Además, construye-ron una tabla en la que se mostraban losvalores de la distancia desde un postehasta el punto P y su correspondientelongitud de cable. La principal diferenciaentre esta representación y la obtenidacon la calculadora es que los estudiantespudieron realmente construir la represen-tación del problema con la ayuda de unsoftware dinámico, y además desplazar lalocalización del punto para observar sucomportamiento; en cambio, con la cal-culadora la gráfica se obtenía directamen-te. El empleo del software dinámico nosólo les permite explorar relaciones, sinotambién construir su propio repertorio deresultados matemáticos (Santos y Espino-sa, 2002). Resulta evidente que el empleode distintas herramientas ofrece ciertasventajas en el proceso de trabajar con losproblemas. Aquí es necesario que los es-tudiantes tengan acceso directo al empleode estas herramientas y posteriormentecontrasten las cualidades matemáticas queemergen en sus procesos de solución. Esdecir, en lugar de adoptar el uso de unasola herramienta es importante que elalumno se acostumbre a la tarea de poder

seleccionar varias alternativas que le per-mitan explorar distintos enfoques o ángu-los del problema en estudio.

OBSERVACIONES FINALES

Cuando en los ambientes de aprendizajese valora la participación de los estudian-tes y explícitamente se reconoce la impor-tancia de buscar distintas formas de resol-ver problemas, se observa que éstosdesarrollan una disposición hacia la cons-trucción de distintos modelos de pensa-miento. En este camino, para ellos es unreto importante generar representacionesmúltiples de los problemas que les ayu-den a detectar y explorar formas diferen-tes de solución. Algunos problemas queaparecen con frecuencia en los libros detexto regulares pueden ser tomados comola plataforma que motive a los estudian-tes a practicar actividades propias delquehacer matemático.

En las diferentes aproximaciones a lasolución del problema discutido en esteartículo resultó evidente que el uso de latecnología:

• Posibilita la utilización de imágenesvisuales de las ideas matemáticas y per-mite a los estudiantes observar com-portamientos o relaciones importantesen el problema.

• Puede facilitar la organización y el aná-lisis de datos, y realizar cómputos efi-cazmente y con precisión.

• Puede ayudar a expresar los datos endiferentes sistemas de representación(tabulares, gráficos y analíticos). Comoconsecuencia, resulta una herramientapoderosa para establecer conexionesentre diferentes áreas de las matemáti-cas (geometría, cálculo, álgebra y arit-mética).



Estos elementos son ingredientes bási-cos que permiten a los estudiantes mani-festar y refinar sus propios modelos, queulteriormente se transforman en herra-mientas poderosas para buscar extensio-nes y posibles conexiones entre distintoscontenidos de la disciplina.

REFERENCIAS

DEVLIN, K. (1997), “The logical structure of computer-aidedmathematical reasoning”, en The American MathematicalMonthly, vol. 104, núm. 7, pp. 632-646.

EISENHART, M. A. (1991), “Conceptual frameworks for rese-arch circa 1991: Ideas from a cultural anthropologist; im-plications for mathematics education researchers (Plenaryaddress)”, en Proceedings of the Thirteenth Annual Meetingof PMENA, Blacksburg, Virginia.

GOLDENBERG, Paul (1995), “Multiple representations: A vehi-cle for understanding understanding”, en David N.Perkins, Judah L. Schwartz, Mary Maxwell West y Mar-tha Stone (eds.), In software goes to school. Teaching forunderstanding with new technologies, Oxford, Oxford Uni-versity Press, pp. 155-171.

LESH, R. (en prensa), Beyond constructivism: A new paradigm foridentifying mathematical abilities that are most needed forsuccess beyond school in a technology based age of information,Australia, Queensland University of Technology.

NATIONAL Council of Teachers of Mathematics (2000),Principles and standards for school mathematics, Reston, VA,The Council.

NATIONAL Research Council (1998), High school mathematicsat work. Essays and examples for the education of all stu-dents, Washington, D. C., National Academic Press.

SANTOS, M. (2002), Students’ use of mathematical representa-tions in problem solving. Mathematics and computer educa-tion, pp.101-114.

SANTOS, M. y H. Espinosa (2002), “Searching and exploringproperties of geometric configurations via the use of dyna-mic software”, en International Journal of MathematicalEducation in Science and Technology, vol. 33, núm. 1, pp.37-50.

SCHOENFELD, A., H. (1998), “Reflections on a course in mat-hematical problem solving”, en Research in CollegiateMathematics Education III, pp. 81-113.

— (2002), “Research methods in (mathematics) education”,en L. D. English (ed.), Handbook of international researchin mathematics education: Directions for the 21st century,Mahwah, NJ, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 435-487.

NOTAS

1. Este problema se le atribuye a Heron de Alejandría y enalgunos textos aparece como: “Sean A y B dos puntosdados sobre el mismo lado de una recta L. Encontrar unpunto D sobre L tal que la suma de las distancias del pun-to A al punto D y del punto D a B sea la mínima”.



redalyc.herramientas tecnológicas en el desarrollo de ... · herramientas tecnológicas en el...

Documents