técnicas de processamento imagens fourier 1d e 2d material melhorado pelo prof. ricardo j. ferrari
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Técnicas de Processamento Imagens
Fourier 1D e 2D
Material melhorado pelo prof. Ricardo J. Ferrari
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Agenda
Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos Série de Fourier Transformada de Fourier – 1D & 2D
– Contínua & discreta Principais propriedades
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Motivação
Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor & sons
Sinais são representados por funções que se caracterizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos)
Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência
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O que é freqüência de uma função ?
Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas
A = amplitude da função (valores max e min assumidos)
= indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1]
0 ),2cos()( AtAtf
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O que é freqüência de uma função ?
a b
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O que é freqüência de uma função ?
Qual a região contém mais componentes de alta freqüência ?
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Introdução Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Teoria publicada em 1822
Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier)
Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier)
Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação
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Introdução:Representação de sinais complexos
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Série de Fourier
Resta achar uma forma de calcular os coeficientes
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Série de Fourier – Valores médios de uma função
S = A Y
<Y> = (S1-S2)/A
<Y> = (S1-S2)/A = 0
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Série de Fourier – Calculando coeficientes
< f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3 sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ...
f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...
Vamos calcular a3. Multiplicando os dois lados por sem(3x)
f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3 sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ...
Tomando as médias de cada termo da equação:)
a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).
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Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...
a0 = < f(x) > = média de f(x).an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).
f(x) = 1 (de 0 a )f(x) = 0 (de a 2)
a0 = 1/2
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Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
a1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π
a2 = 0
a0 = 1/2;an = 0 - para todo n PAR;an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.
a3 = 2 < f(x) sen(3x) > = 2/3π
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Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada
f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3x) + (2/(5 π)) sen(5x) + (2/(7 π)) sen(7x) + ...
Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos
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Definições matemáticas importantes
Número complexo
Conjugado complexo
Módulo
Fase
jIRC *
jIRC
22 IRC
R
Iarctan
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Definições matemáticas importantes
Fórmula de Euler
Função impulso (delta de Dirac)
)2sin()2cos(2 utjute utj
)(t
0 se0
0 se)(
t
tt
Interpretação física: pulse de amplitude infinita e duração zero
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Função impulso (propriedades)
Definições matemáticas importantes
1)()()(
dttdttt
a
x
at a
1lim)( 0
x
-a/2 a/2
1/a
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Função impulso : Propriedade Sift
Definições matemáticas importantes
)()()()()( 000 tfdttttfdttttf
-a/2 a/2
1/a
A )( 0xxA
0x
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Definições matemáticas importantes
Trem de impulsos
nT Tntts )()(
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Série de Fourier
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Série de Fourier
f(x) é periódica de período T se – f(x) = f(x +nT), para qualquer n inteiro e positivo
Seja f(x) uma função periódica de período 2n. A série de Fourier para esta função é dada como:
–
Observe que b0 não é indicado pois
112 sincos)( kxbkxaxf kka
00sin
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Série de Fourier
Casos particulares– f(x) = função par, isto é, f(-x) = f(x), então
os coeficientes bk são nulos
– f(x) = função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x), então os coeficientes ak são nulos
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Série de Fourier
Na prática utiliza-se um número finito de componentes (sin/cos) para a representação das funções
Ex.: representação de uma onda quadrada
Com apenas 5 componentes já se consegue uma boa approximação
xxxxxf 7sin5sin3sinsin45)( 74
54
34
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‘Série de Fourier
xxxxxf 7sin5sin3sinsin45)( 74
54
34
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Série de Fourier
1a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua.
2a. componente: (4sinx) tem o mesmo período ( ) do sinal. Portanto, é chamado de oscilação fundamental
As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal
Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico
2T
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Transformada de Fourier (sinal contínuo 1D)
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Transformada de Fourier (sinal contínuo)
– Onde s é a função no espectro e t no tempo
Inversa
Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!
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Transformada de Fourier
Nota 1) A FT existe se f(t) for contínua e integrável e F(s) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática
Nota 2) da linearidade da integral, segue que a FT também é um operador linear, ou seja, FT(f+g) = FT(f) + T(g) ; FT(f) = FT(f)
Nota 3) F(s) é uma isometria em , ou seja2L
2L gfgfgf ,,ˆ,ˆ,
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Transformada de Fourier
Como conseqüência da Nota 3,
- teorema de Plancherel
A energia da função é preservada na transformação.
22f̂f
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Transformada de Fourier
uXj
uXjuXjuXjuXj
XuxjX
euXu
A
eeeuj
Ae
uj
A
euj
AdxuxjA
dxuxjxfuF
)sin(
][2
]1[2
][2
]2exp[
]2exp[)()(
2
02
0
2sin
1
j
eex
ea
dxe
jxjx
axax
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Transformada de Fourier
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Exemplos:
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Onda quadrada - Pulso
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Algumas propriedades da FT
Linearidade
x(t) + y(t) X(f) + Y(f)
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Simetria
H(t) h(-f)
Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então:
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Deslocamentos no tempo e na freqüência Deslocamentos no tempo (fase)
h(t-t0) H( f )e-j2ft0
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Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.
22 IRC
R
Iarctan
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Deslocamento na freqüência
h(t) ej2f0 H( f -f0)
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Convolução
Uma das propriedades mais importante da FT
h(t) H( f ) e g(t) G( f )
(h*g)(t) H( f )G( f )
h(t)g(t) (H * G)( f )
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Convolução
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Conservação da energia
Teorema de Parseval
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Amplitude e Fase
O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária)
Ou através da fase e amplitude do spectro
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Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo:
– seja z um número complexo definido como: z = x + yi
z = |z| = x2 + y2
– | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2
Fase é dada por:
Im[ ( )]( ) arctan
Re[ ( )]
E tt
E t
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Transformada de Fourier (sinal contínuo 2D)
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Transformada de Fourier 2D
O par de transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis:
freqüência de valoresos são vu, onde
)](2exp[),(),(
)](2exp[),(),(
dudvvyuxjvuFyxf
dxdyvyuxjyxfvuF
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Transformada de Fourier 2D
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Transformada Discreta de Fourier1D-DFT
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Transformada Discreta de Fourier A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:
)}]1[(,),2(),(),({ 0000 TNtfTtfTtftf
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Onde t assume valores discretos (0,1,2,…,N-1), então
A seqüência {f(0}, f(1), f(2), …, f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente
Transformada Discreta de Fourier
)]1[()( 0 TNtftf
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O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:
Transformada Discreta de Fourier
1-N,0,1,2, tpara ],/2exp[)()(
1-N,0,1,2,u para ],/2exp[)(1
)(
1
0
1
0
Nutjuftf
NutjtfN
uF
N
u
N
t
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Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t
Repetimos para todos os N valores de u
Teremos então NxN adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2)
Transformada Discreta de Fourier
1-N,0,1,2,u para ],/2exp[)()(1
0
NutjtfuFN
t
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DFT - shifting Quando realizado a DFT de uma onda
quadrada obtemos:
0 1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
Observe houve um deslocamento
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DFT – shifting, (fftshift-matlab)
A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o
resultado.
0 1 2 3 4 5 6 70
50
100
150
200
250
300
350
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DFT – shifting, (fftshift-matlab)
Lembrando que:
e fazendo
h(t) ej2u0 H(f -u0)
tttj
tj
je
eNtNjNtuj
)1(]sin[cos)(
]/)2/(2exp[]/2exp[ 0
2/0 Nu
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DFT – shifting, (fftshift-matlab)
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Transformada Discreta de Fourier2D-DFT
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No caso de duas variáveis, o par DFT é:
freqüência de valoresos são vu, onde
])//(2exp[),(),(
])//(2exp[),(1
),(
1
0
1
0
1
0
1
0
M
x
N
y
M
x
N
y
NvyMuxjvuFyxf
NvyMuxjyxfMN
vuF
Transformada Discreta de Fourier
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A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente
Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função
para x = 0,1,2,…,M-1 e y = 0,1,2, …, N-1
Transformada Discreta de Fourier
),( 00 yyyxxxf
yNv
xMu
1 ,
1
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Trem de pulso usado para amostragem puntual
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Aliasing fenômeno em imagem
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Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier
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Algoritmo 2D de 1D
FFT 1D para cada linha
Matriz A Separar em linhas
Compor linhas em
matriz
Separar em colunas Matriz
FFT 1D para cada coluna
FFT 2D de A
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Amplitude e Fase
original
amplitude
fase
|F(u,v)|
F(u,v)
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DFT aplicada na detecção de defeitos
SEM = Scanning Electron Microscope
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Transformada de Fourier discreta - 2D
0
2
4
6
8
10
12
14
16
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Propriedades DFT - Translação
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|F(u,v)| F(u,v)
Propriedades DFT - Translação
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Rotação
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Combinação Linear (soma)
+
+
=
=
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Expansão
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Relação de freqüência espaço/espectro
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Alguns pares...
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Combinando Amplitude e Fase
As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases.
f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}]
Do mesmo modo, F() = Mag{F()} exp[ i Phase{F()}]
Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.
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Pictures reconstructedusing the Fourier phase
of another picture
The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.
Rick Linda
Mag{Linda}Phase{Rick}
Mag{Rick} Phase{Linda}
Combinando Amplitude e Fase
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Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência
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Bibliografia Digital Image Processing, 3rd. Edition, Rafael
C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2008
Digital Image Processing, Kenneth R. Castleman, 1996
21o. Colóquio Brasileiro de Matemática, Wavelets: Teoria, Software e Aplicações, Jonas Gomes, Luiz Velho, Siome Goldenstein, 1997