técnica del balance armónico -...

3. TÉCNICA DEL BALANCE ARMÓNICO

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Capítulo 3

Técnica del Balance Armónico

3.1 Introducción

En el análisis de circuitos no lineales, podemos recurrir a la teoría de circuitos clásica para obtener las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento del circuito. Una vez tenemos esas ecuaciones, podemos resolverlas numéricamente mediante integración. Sin embargo, aunque en el dominio del tiempo es viable analizar circuitos que tienen sólo elementos de parámetros concentrados, es común que los circuitos tengan componentes distribuidos, tales como líneas de transmisión, cuyos modelos incluyen pérdidas, dispersión, y efectos de acoplamiento. Estos componentes distribuidos son muy difíciles y poco prácticos de analizar en el dominio del tiempo, ya que se describen mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Y aunque es posible aproximar los componentes distribuidos con conjuntos de componentes concentrados, estas aproximaciones necesitan normalmente ser de un orden muy alto para lograr una precisión adecuada, por tanto, requieren un gran número de componentes concentrados.

Además, hay que recordar que es común que los circuitos de microondas tengan

una naturaleza pseudo lineal, con señales de entrada sinusoidales suficientemente pequeñas para producir sólo unos poco armónicos. El análisis en el dominio del tiempo no explota la naturaleza pseudo lineal de estos circuitos, y a menudo requiere un gasto computacional excesivo cuando se pretende encontrar la respuesta en régimen permanente (steady-state). El uso de un simulador tradicional en el dominio del tiempo para encontrar esa solución, requiere que el circuito sea simulado hasta que la respuesta transitoria se desvanezca, lo que puede necesitar un elevado tiempo de simulación.

Emplear la simulación en el dominio de la frecuencia evita estos problemas, y facilita el problema de formular las ecuaciones de elementos distribuidos, al transformar las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo en ecuaciones algebraicas


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complejas. Las señales se representan usando sus series de Fourier, y no como funciones temporales, así que sólo pueden ser representadas señales periódicas, y se evitan los transitorios. Además, la naturaleza pseudo lineal de estos circuitos se explota, ya que el gasto de tiempo requerido en una simulación en el dominio de la frecuencia es proporcional al número de frecuencias presentes. Y por último, normalmente es posible encontrar descripciones algebraicas en forma cerrada, en el dominio frecuencial, para componentes distribuidos, lo que facilita la simulación de estos componentes [1].

Una de las técnicas para encontrar la solución periódica en régimen permanente, en el dominio de la frecuencia, de circuitos no lineales, es el método del balance armónico. Así, podemos decir que el balance armónico es una de las técnicas más importantes para analizar circuitos no lineales. Es una forma de convertir una ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones algebraicas, que pueden resolverse con la solución periódica de la ecuación diferencial. Es especialmente útil en circuitos fuertemente o débilmente no lineales que tienen una excitación monotono. El análisis de balance armónico es aplicable a una gran variedad de problemas en circuitos de microondas tales como amplificadores de potencia, multiplicadores de frecuencia o mezcladores sujetos a una sola excitación (oscilador local). Además, una propiedad beneficiosa de este análisis es que funciona particularmente bien en circuitos que tienen una mezcla de constantes de tiempo grandes y pequeñas. De hecho, el balance armónico fue propuesto inicialmente para resolver los problemas inherentes al análisis de esos circuitos.

Sin embargo, aunque este proyecto se base en el uso de este método, evidentemente no es el único. Es por ejemplo, el análisis basado en series de Volterra, el elegido para el cálculo de distintos fenómenos no lineales, ya que soluciona algunos de los problemas inherentes al balance armónico. La principal ventaja del uso de series de Volterra frente al balance armónico, es que no es un método iterativo, necesita menos memoria y no requiere el cómputo de transformadas de Fourier para pasar del dominio del tiempo al de la frecuencia. Por tanto, el gasto computacional es inferior, y es preferible usarlo sobre todo cuando la excitación está compuesta por varios tonos, ya que la eficiencia de los algoritmos basados en balance armónico se reduce de modo importante a medida que aumenta el número de señales de entrada. En cambio, los métodos basados en series de Volterra, a contrario del balance armónico, están limitados a pequeñas excitaciones y no linealidades débiles. Por tanto, vemos que ambos métodos tienen ventajas e inconvenientes, por lo que pueden aplicarse de forma complementaria en algunos análisis. Es eso lo que ocurre con el método conocido como gran señal-pequeña señal.


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3.2 Balance Armónico

El balance armónico puede verse como una extensión del análisis fasorial de ecuaciones diferenciales lineales a ecuaciones diferenciales no lineales. En análisis fasorial, la solución en régimen permanente de una ecuación diferencial lineal cuyo estímulo es sinusoidal, se encuentra asumiendo que la solución tiene la forma

( )tjXetx 0Re)( ω= , donde X es la amplitud compleja o fasor de la solución, sustituyendo esa solución en la ecuación diferencial, calculando las derivadas, y resolviendo la ecuación algebraica resultante para X. Cuando la ecuación diferencial es no lineal, mediante el balance armónico se propone una solución aproximada. Se asume que la solución es puramente sinusoidal, y se elige su magnitud y fase de forma que satisfagan la ecuación diferencial sólo a la frecuencia fundamental. Así, la solución aproximada

( )tjXetx 0Re)( ω= se sustituye en la ecuación diferencial, todas las componentes de frecuencia generadas distintas a la fundamental se ignoran, y la ecuación algebraica resultante se resuelve para X.

La solución asumida al usar balance armónico no necesita ser puramente sinusoidal, pero lo apropiado es que sea una combinación lineal de sinusoides. Se asume que esas sinusoides están armónicamente relacionadas, haciendo la solución periódica. Si la ecuación diferencial fuese tal que una vez sustituida la solución, la solución resultante puede ser factorizada en una suma de términos sinusoidales puros, entonces la superposición y la ortogonalidad de las sinusoides a diferentes armónicos pueden ser usados para transformar la ecuación algebraica resultante en un grupo de ecuaciones más simples, una para cada armónico. Las ecuaciones se resuelven encontrando los coeficientes de las sinusoides que determinan el balance de la ecuación algebraica asociada a cada armónico. De aquí viene el nombre de balance armónico.

Así, vamos a expresar la aplicación del balance armónico como el siguiente procedimiento [1]:

0) Dada una ecuación diferencial ( ) 0,', =uxxf , donde u ∈ )( 0TP es la

forma de onda del estímulo, x es la forma de onda desconocida que queremos encontrar, y f es continua y real. 1) Asumimos que la solución x existe, es real, y pertenece a )( 0TP .

Entonces:

∑∞=

−∞=

=k

k

tjk oekXtx ω)()( , donde 0

0

2

T

πω = (3.1)

2) Sustituimos la solución asumida y sus derivadas en f. El hecho de que x

∈ )( 0TP implica que x’∈ )( 0TP , y ya que u ∈ )( 0TP , entonces

( )uxxf ,', ∈ )( 0TP . Escribiendo la ecuación resultante como serie de

Fourier:

( ) ∑∞=

−∞=

=k

k

tjk oekUXFtutxtxf ω),,()(),('),( , (3.2)


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donde

[ ]TXXXX LL ),1(),0(),1(, −=

[ ]TUUUU LL ),1(),0(),1(, −=

∑∞=

−∞=

=k

k

tjk oekUtu ω)()(

3) Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas no lineales: 0),,( =kUXF para toda k ∈ Ζ

3.3 Análisis de circuitos usando Balance Armónico

La Figura 3.1 muestra un circuito general que describe muchos tipos de componentes de microondas no lineales.

Figura 3.1: Circuito equivalente de un componente no lineal de 2 puertos.

El circuito está compuesto por un dispositivo de estado sólido conectado a una

carga y a una fuente de excitación de gran señal. Inicialmente, asumiremos que la fuente de excitación únicamente contiene una componente de frecuencia, la fundamental (aunque cualquier excitación periódica puede acomodarse fácilmente), y que la alimentación de continua (DC) se aplica a la entrada y tal vez a la salida. Las redes de adaptación se usan tanto en la entrada como en la salida para optimizar el comportamiento, para el acoplamiento de las tensiones de alimentación al dispositivo, y para el filtrado adecuado de varios armónicos. Con frecuencia, el dispositivo de estado sólido es un transistor o un diodo, y asumiremos que puede ser descrito por un circuito equivalente quasiestático, que incluye tanto elementos lineales como no lineales. Los circuitos de adaptación son invariablemente lineales y tienen propiedades de filtrado y de transformación de impedancias.

Aparentemente, el problema de analizar este tipo de circuitos no parece demasiado complejo. Podríamos pensar en escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo que describan la combinación del dispositivo no lineal y los circuitos de adaptación, resolverlas para obtener el voltaje en régimen permanente a través de la carga, y aplicar la transformada de Fourier para obtener la componente de frecuencia correspondiente al armónico de salida deseado. Las


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ecuaciones diferenciales deberían, por supuesto, ser no lineales y tendrían que ser resueltas numéricamente. De hecho, muchos circuitos no lineales se analizan con éxito de este modo.

Pero hay varios problemas, que ocurren con frecuencia, que pueden hacer que las técnicas en el dominio del tiempo sean poco prácticas. Esos problemas son los siguientes:

- los circuitos de adaptación pueden contener elementos como líneas de

transmisión dispersivas y discontinuidades en las líneas de transmisión, que son difíciles, si no imposibles, de analizar en el dominio del tiempo. La mejor forma de caracterizarlas es usar parámetros S o Y en cada armónico de la frecuencia de excitación. Sin embargo, estos parámetros son valores en el dominio de la frecuencia, y no pueden usarse para caracterizar la parte no lineal de un circuito.

- el circuito puede tener constantes de tiempo grandes comparadas con la inversa

de la frecuencia fundamental de la excitación. Cuando esto ocurre, se hace necesario continuar la integración numérica de las ecuaciones a través de muchos, quizás miles, de ciclos de excitación, hasta que la parte transitoria de la respuesta haya decaído y sólo permanezca la parte de régimen permanente. Esto hace que los errores al truncar los números puedan irse acumulando en esa larga integración y se reduciría la precisión de la solución

- el tercer problema con el análisis en el dominio del tiempo es que cada elemento

reactivo lineal o no lineal del circuito, añade una ecuación diferencial al conjunto de ecuaciones que describen al circuito. Un circuito de gran tamaño puede tener muchos elementos reactivos, por lo que el conjunto de ecuaciones que debe ser resuelto sería enorme.

Es preferible emplear teoría de circuitos multipuerto para simplificar al menos parte del circuito, agrupando todos los elementos lineales en una matriz de tamaño limitado. Al describir la parte lineal del circuito como red multipuerto, necesita ser evaluada sólo una vez a cada armónico, con los resultados almacenados en forma de matrices, y sin necesidad de una evaluación posterior. El análisis con balance armónico permite usar esta aproximación.

Los elementos del circuito en la Figura 3.1 pueden reagruparse como se muestra en la Figura 3.2, de modo que formen un subcircuito lineal y un número de elementos no lineales (subcircuito no lineal). La parte lineal puede tratarse como una red multipuerto y describirse por sus parámetros Y, parámetros S, o cualquier otra matriz multipuerto. Los elementos no lineales son modelados por sus características I/V o Q/V, y deben ser analizados en el dominio del tiempo. Así, el circuito queda reducido a una red de N+2 puertos, con elementos no lineales conectados a N de los puertos, y con fuentes de tensión conectadas a los otros dos puertos (los puertos N+1 y N+2 representan los puertos de entrada y salida en una red de 2 puertos. Normalmente, una fuente sinusoidal se conecta sólo a uno de esos puertos, pero se han mostrado en ambos puertos en la figura X para hacerlo más general). Zs(w) y ZL(w), las impedancias de fuente y carga respectivamente, se incluyen dentro de subcircuito lineal; están en serie con los puertos de entrada y salida, y para algún propósito, será preciso rescatarlas


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luego. Las tensiones y corrientes en cada puerto pueden expresarse en el dominio del tiempo o de la frecuencia, pero debido a los elementos no lineales, las tensiones y corrientes en los puertos deben tener componentes de frecuencia a armónicos de la excitación. Aunque en teoría existen un número infinito de armónicos en cada puerto, se asumirá en este trabajo que la componente DC y los K primero armónicos (k=0...K) describen adecuadamente todas las tensiones y corrientes. Consecuentemente, los armónicos más altos serán ignorados.

Figura 3.2: Circuito no lineal, dividido en subcircuitos lineal y no lineal.

El circuito de la Figura 3.2 es analizado con éxito cuando las formas de onda de la tensión o la corriente en régimen permanente de cada puerto son conocidas. Alternativamente, el conocimiento de las componentes de frecuencia en todos los puertos constituye una solución, ya que las componentes de frecuencia y las formas de onda (dominio del tiempo) están relacionadas mediante series de Fourier. Así, si por ejemplo se conocen las tensiones en los puertos en el dominio frecuencial, puede usarse la matriz de parámetros Y para el subcircuito lineal para calcular las corrientes en los puertos. Esas corrientes también pueden calcularse a partir de las formas de onda de las tensiones, que se obtendrían antitransformándolas, del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo. La idea del balance armónico es encontrar un conjunto de formas de onda de tensiones de los puertos (o alternativamente las componentes armónicas de tensión), que dan las mismas corrientes tanto en las ecuaciones de la subred lineal como en las ecuaciones de la subred no lineal. Cuando se encuentran esas tensiones, podemos estar ante una solución.


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Si expresamos las componentes de frecuencia de las corrientes de los puertos

como vectores, la ley de Kirchoff de la corriente obliga a que se cumpla la expresión (3.3):

=

+

0

0

0

0

,

1,2

0,2

,1

2,1

1,1

0,1

,

1,2

0,2

,1

2,1

1,1

0,1

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

KN

K

KN

K

Î

Î

Î

Î

Î

Î

Î

I

I

I

I

I

I

I

(3.3)

donde In,k representa la componente armónica k-ésima de la corriente en el puerto n, calculada a través de las tensiones en los puertos y la matriz Y de admitancias de la subred lineal; În,k es la componente de corriente calculada a través de las tensiones en los puertos y los elementos no lineales. Esa ecuación muestra la forma general en la que usaremos los vectores de tensión, corriente y carga. Los vectores incluyen únicamente componentes de frecuencias positivas, porque las componentes negativas, que son las complejas conjugadas de las positivas, pueden calcularse de forma inmediata si se necesitasen. Eliminar las componentes de frecuencia negativas reduce considerablemente la complejidad.

En primer lugar consideraremos la subred lineal. Las ecuaciones de admitancia son:

=

+

+

++++++

++++++

++

++

+

+

2

1

3

2

1

2,21,22,21,2

2,11,12,11,1

2,1,,2,1,

2,31,3

2,21,2

2,11,1,12,11,1

2

1

3

2

1

N

N

N

NNNNNN

NNNNNN

NNNNNNNN

NNN

N

N

N

V

V

V

V

V

V

YYYY

YYYY

YYYYY

YY

YY

YYYYY

I

I

I

I

I

I

M

M

LLL

LLL

LL

MMMOMM

MMMOMM

MMMLL

MMMLL

LL

M

M

(3.4)

El vector de corrientes I de la expresión (3.3), puede escribirse como un conjunto de subvectores, donde:


30

=

Kn

n

n

n

n

I

I

I

I

I

,

2,

1,

0,

M

M (3.5)

In es el vector de corrientes armónicas del puerto n-ésimo. Y similarmente,

=

Kn

n

n

n

n

V

V

V

V

V

,

2,

1,

0,

M

M (3.6)

Los elementos de la matriz de admitancias Y que aparecen en (3.4) son todos matrices. Cada una de esas submatrices es una diagonal, cuyos elementos tienen los valores Ym,n evaluados en cada armónico k=0...K de la frecuencia fundamental Pω de la excitación:

[ ])(,, Pnmnm kYdiagY ω= , k=0,1,2.......K (3.7)

es decir,

=

)(000

0)2(00

00)(0

000)0(

,

,

,

,

,

Pnm

Pnm

Pnm

nm

nm

KY

Y

Y

Y

Y

ω

ω

ω

L

MOMMM

L

L

L

(3.8)

Los vectores de excitación, VN+1 y VN+2 , tienen la forma:


31

=

+

+

0

0

0

0

2

1

2

1

M

M

M

B

S

B

N

N

V

V

V

V

V (3.9)

donde VB1 y VB2 son las tensiones de continua (DC) en los puertos N+1 y N+2 respectivamente, y VS es la tensión de excitación en el puerto N+1. Esa ecuación implica que el puerto N+1 incluye una fuente de tensión continua y una fuente de tensión alterna (fuente de frecuencia fundamental Pω ), mientras que el puerto N+2 sólo incluye la fuente de continua. Esa es la situación normal, por ejemplo, de un amplificador FET que tenga alimentación en la puerta y drenador y una excitación en la puerta. Un dispositivo de dos terminales tendría normalmente sólo una fuente de alimentación de continua, y en ese caso, el puerto N+1 podría eliminarse. Además, si la excitación no fuese sinusoidal, el vector de la derecha en la expresión (3.9) incluiría las componentes armónicas de la excitación en vez de ceros.

Descomponiendo (3.4) podemos obtener la siguiente expresión para el vector de corrientes en los puertos 1 a N:

+

=

+

+

++

++

++

NNNNN

N

N

N

N

NNNN

NN

NN

N V

V

V

YYY

YYY

YYY

V

V

YY

YY

YY

I

I

I

M

L

MOMM

L

L

MMM

2

1

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

2

1

2,1,

2,21,2

2,11,1

2

1

(3.10)

es decir,

I = IS + YNxN V (3.11) donde YNxN es la submatriz NxN de Y correspondiente a las N primeras filas y columnas, Is representa un conjunto de fuentes de corriente en paralelo con los N primeros puertos. La primera matriz en (3.10) transforma las excitaciones de los puertos de entrada y salida en ese conjunto de intensidades, con lo que los puertos N+1 y N+2 no necesitan ser considerados en adelante. La representación equivalente se muestra en la Figura 3.3. Esa transformación nos permite expresar las ecuaciones de balance armónico como funciones de intensidad a través de sólo los N primeros puertos, es decir, los conectados a elementos no lineales.


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Figura 3.3: Circuito de la Figura 3.2 modificado, con las fuentes de tensión en los

puertos N+1 y N+2 transformadas en fuentes de corriente en los puertos 1 a N.

Las corrientes de los elementos no lineales, representados por el vector Î en (3.3), pueden resultar de capacidades o conductancias no lineales.

Antitransformando las amplitudes complejas de las tensiones en cada puerto, se

obtienen las tensiones en el dominio del tiempo:

( )tvVF nn →−1 (3.12)

Primero trataremos las capacidades no lineales. La forma de onda de la carga de

una capacidad puede ser expresada como una función de las tensiones de los puertos:

( ))(),.....(),()( 21 tvtvtvftq Nqnn = (3.13)

Aplicando la transformada de Fourier se obtienen las amplitudes complejas de la

capacidad no lineal de cada puerto:

nn QtqF →)( (3.14)

y el vector de carga Q es:


33

=

=

KN

K

K

N

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

,

,2

0,2

,1

2,1

1,1

0,1

3

2

1

M

M

M

M

(3.15)

donde vemos que el vector Q está formado por la carga de la capacidad no lineal de cada nodo, y que a su vez cada una de ellas es también otro vector, con los distintos armónicos.

La corriente de la capacidad no lineal es la derivada de la carga. En el dominio de la frecuencia, la derivada temporal equivale a multiplicar por ωj , con lo que queda:

knPn

nc Qjkdt

tdqti ,,

)()( ω↔= (3.16)

o reescribiéndolo de otro modo:

QjIC Ω= (3.17)

donde Ω es la matriz diagonal:

=Ω

P

P

P

P

P

P

K

K

ω

ω

ω

ω

ω

ω

LLLLLLL

MOMM

MMM

LLLMM

LLLMM

LLOLMM

LLL

MOMM

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

000

2

00000

000000

00000

0000000

00200

0000

00000

(3.18)

Esta matriz tiene N ciclos de (0.....K) Pω a través de la diagonal principal.


34

De modo similar, la corriente en una conductancia no lineal (o fuente de intensidad controlada por tensión) es:

( ))(),.....(),()( 21, tvtvtvfti Nnng = (3.19)

Aplicando la transformada de Fourier:

nGng ItiF ,, )( → (3.20)

Y puede construirse un vector con los armónicos de la corriente no lineal en cada nodo:

=

=

KNG

KG

G

KG

G

G

G

NG

G

G

G

G

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

,,

,2,

0,2,

,1,

2,1,

1,1,

0,1,

,

3,

2,

1,

M

M

M

M

(3.21)

Sustituyendo (3.11), (3.17) y (3.21) en (3.3), obtenemos:

0)( =+Ω++= GNxNS IQjVYIVF (3.22)

Esa ecuación es la que tiene que cumplirse para que un conjunto de componentes de tensión de los puertos sea la solución correcta. Es decir, si F(V)=0, entonces V es una solución válida. También representa una ecuación que puede ser resuelta para obtener el vector V de tensiones de los puertos. La ecuación (3.22) es a veces llamada ecuación de balance armónico. F(V), llamado vector de error de corriente, representa la diferencia entre la corriente calculada en las subredes lineal y no lineal, en cada puerto y en cada armónico, para un determinado vector solución V [2]. En el dominio del tiempo podríamos verlo del siguiente modo:

( ) ( ) ( ) ( )∫∞−

=+−++=t

S tidvtytvqdt

dtvitvf 0)()()()(, τττ (3.23)

donde ℜ∈t es el tiempo; v es el vector de las formas de onda de tensión de los nodos;

Si es el vector de formas de onda de corriente de fuente; i y q son funciones derivables

que representan, la suma de corrientes que entran en los nodos desde los conductores no lineales, y la suma de carga que entra en los nodos desde las capacidades no lineales; y es la respuesta impulsiva matriz-evaluada del circuito con los dispositivos no lineales


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eliminados; y f es la función que mapea las formas de onda de tensión de los nodos en la suma de intensidades que entran en cada nodo.

Para aplicar el balance armónico sobre esta última expresión, es preciso transformar )(vf y v al dominio de la frecuencia. Para hacer el problema numéricamente tratable, el número de armónicos considerado se trunca a un número finito. El teorema de muestreo de Nyquist indica que este truncamiento es análogo a la discretización de tiempo cuando se integran ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo, y teóricamente no es una limitación, porque para todos los circuitos realizables, existe una frecuencia más allá de la cuál hay una potencia despreciable [1].

3.4 Algoritmos De Resolución

Vamos a ver distintas técnicas que pueden usarse para resolver el sistema de

ecuaciones algebraicas que resultan de la aplicación del balance armónico, es decir, para encontrar la solución de F(V) [2].

Hay muchos algoritmos para solucionar eficientemente el sistema de ecuaciones no lineales descrito por la expresión (3.22). La selección de un algoritmo adecuado depende de una gran variedad de factores, como pueden ser la eficiencia computacional, requerimientos de memoria, propiedades de convergencia, facilidad de implementación, o la necesidad de una estimación inicial de la solución. Algunos de estos factores están interrelacionados. Por ejemplo, si el algoritmo tiene buenas propiedades de convergencia, la solución inicial estimada no necesita estar muy cerca de la solución correcta, y puede ser generada fácilmente. Además de las técnicas que se abordarán a continuación, otras han sido propuestas, la mayoría de ellas variaciones o mejoras de éstas. 3.4.1 Optimización (Programming)

A primera vista, resolver (3.22) es muy parecido a un problema de optimización, por lo que podría resolverse minimizando la función de coste )()( VFVF T∗∈= .

Una ventaja de este método podría ser que la mayoría de ordenadores tienen librerías instaladas con subrutinas científicas que incluyen funciones de optimización. Así nos ahorraríamos parte de la tarea de la programación. Sin embargo, estas rutinas de optimización son relativamente lentas, y pueden tener problemas de convergencia, especialmente cuando un gran número de variables deben ser optimizadas simultáneamente.

Si un circuito con 20 nodos se simula con 8 armónicos, entonces habrá 320 variables que tienen que ser optimizadas. Si hay muchos nodos en el circuito que sólo tienen dispositivos lineales conectados, entonces es posible reducir el número de variables a optimizar si se considera el conjunto de todos los dispositivos lineales como un subcircuito multiterminal. Estos nodos sin partes no lineales conectadas se


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convierten en nodos internos al subcircuito y no necesitan ser consideradas como variables a optimizar. La Figura 3.4 muestra un modo conveniente de visualizar el análisis una vez que los circuitos lineales se han colocado en el subcircuito. Aquí se ha usado el teorema de sustitución para reemplazar los dispositivos no lineales por fuentes [1].

Figura 3.4: Circuito que interpreta la técnica de optimización.

Pero cuando se simulan MMICs, cada nodo en un circuito monolítico tiende a tener unido a él tanto dispositivos lineales como resistores o capacidades no lineales. Por tanto, usar optimización para resolver ecuaciones de balance armónico es ineficiente.

Así, debido a las limitaciones que presenta, la optimización sería una técnica válida sólo para problemas relativamente simples, en los que la facilidad de programación pesa más que la ineficiencia. Son los métodos de relajación y de Newton los más ampliamente usados. 3.4.2 Relajación por división (Splitting)

Hay distintos métodos de relajación, simples de implementar, y especialmente atractivos cuando el comportamiento no lineal del circuito es muy suave. Los más populares son los de Splitting, que analizamos aquí, y el algoritmo de reflexión, que veremos más adelante.

El splitting es una técnica de relajación que se desarrolló inicialmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y luego se generalizó para el manejo de sistemas no lineales. Como introducción, podemos considerar el sistema lineal:

bAx = (3.24)


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y considerar la división de A en la suma

CBA −= (3.25) donde B es no singular y el sistema dBx = es fácil de resolver. Entonces, una iteración que puede aplicarse para encontrar la solución del sistema es:

( )bCxBx jj += −+ )(1)1( (3.26) La iteración converge si todos los autovalores de CB 1− tienen una magnitud inferior a 1.

Este método de relajación por división puede usarse con el balance armónico rescribiendo la expresión (3.22) como:

( ) ( ) Sjj

Gj

NxN IVQjVIVY −Ω−−=+ )()()1( (3.27)

( ) Sjj

NxN IVÎVY −−=+ )()1( (3.28)

y como ÎI −= , queda:

( )( )SjNxN

j IVIZV −=+ )()1( (3.29)

El algoritmo requiere una estimación inicial de V, 0V . 0Î se calcula

antitransformando 0V para obtener )(0 tvn , sustituyendo )(0 tvn en las relaciones I/V y

Q/V de los elementos no lineales para obtener las formas de onda de la corriente y la carga, y realizando de nuevo la transformada de Fourier. Después se estima 0I como -

0Î , y se tiene un nuevo vector 1V . Este proceso se repite hasta que se alcanza la convergencia. En la práctica, muchas veces no se logra converger, y se aplica una variación:

( )( )SjNxN

j IVIZU −= )()( (3.30)

( ) )()()1( 1 jjj VssUV −+=+ (3.31) donde s es una constante real, 10 << s , llamada coeficiente splitting. Valores pequeños de s favorecen lentamente la convergencia. Incrementar s da una convergencia más rápida, hasta el punto en el que empieza la oscilación, entonces la tasa de convergencia va decrementando, y el proceso puede llegar a ser inestable. Un valor típico puede ser s=0.2.

Para ilustrar como trabaja este método de relajación, puede considerarse la red mostrada en la Figura 3.5. En el método de Splitting, en cada iteración, las tensiones de los dispositivos no lineales se fijan a los valores de la iteración previa. Así, en la ecuación ( ) ( ) S

jjG

jNxN IVQjVIVY −Ω−−=+ )()()1( , las corrientes no lineales se mueven

al término de la derecha con las constantes, y en la Figura 3.5 son reemplazadas con fuentes de corriente, según el teorema de sustitución. Esto linealiza el circuito, y las tensiones de los nodos pueden encontrarse por eliminación gaussiana. Estas nuevas tensiones de los nodos se aplican a los dispositivos no lineales, y la nueva corriente se


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calcula y aplica al circuito linealizado, requiriendo que vuelva a evaluarse en la siguiente iteración. Como el circuito linealizado nunca cambia, para la reevaluación sólo hace falta sustituir hacia delante y hacia atrás [1].

Figura 3.5: Circuito que implementa el método de relajación.

3.4.3 Método de Newton

Este es un algoritmo muy potente para encontrar los ceros de una función, por lo que usar este método es una elección obvia, ya que queremos encontrar los ceros de F(V). Este método iterativo podemos aplicarlo a F(V)=0 así:

( ) 0)(

)( )1()(

)(

)( =−=∂

∂− +jj

j

j VVVVV

VFVF (3.32)

)()( )(

)(

1)()1( j

j

jj VFVVV

VFVV

=∂

∂−=

−

+ (3.33)

)()( )()(1)()1( jjF

jj VFVJVV −+ −= (3.34) donde FJ es el jacobiano de F.


39

V

VI

V

VQjY

V

VFVJ G

NxNF∂

∂+

∂

∂Ω+=

∂

∂=

)()()()( (3.35)

El jacobiano se organiza como una matriz de bloques:

∂

∂=

n

mF V

VFVJ

)()( , m,n ∈ N,.....,2,1 (3.36)

donde N es el número de nodos (conectados a elementos no lineales). Y a su vez, cada uno de esos elementos, es otra matriz:

∂

∂=

∂

∂

)(

),()(

lV

kVF

V

VF

n

m

n

m , k,l ∈ K,.....,2,1,0 (3.37)

donde K es el número de armónicos que van a tenerse en cuenta. Así tenemos una matriz de matrices:

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

)(

),(

)1(

),(

)0(

),(

)(

),(

)1(

),(

)0(

),(

)1(

)1,(

)0(

)1,()(

)0,(

)(

)0,(

)1(

)0,(

)0(

)0,(

)(

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

KV

KVF

V

KVF

V

KVF

KV

KVF

V

KVF

V

KVF

V

VF

V

VFKV

VF

KV

VF

V

VF

V

VF

VJ

N

NNN

N

F

LLL

MMMLMM

MML

MMMMMM

LLLL

LL

(3.38) Cada uno de los elementos se define así [7]:

)(

),(

)(

),(),(

)(

),(),,( ,

,, lV

kVI

lV

kVQjklkY

lV

kVFlkVJ

n

mG

n

mPnm

n

mmnF

∂

∂+

∂

∂+=

∂

∂= ω (3.39)

donde =

=eoc

lkkYlkY

Pnm

nm...................,.........0

.....),........(),(

,

,

ω

A continuación vamos a desarrollar los términos de las derivadas parciales.

Partimos de las definiciones de la transformada de Fourier:


40

∫−=

T tjkmgmG dteti

TkVI P

0 ,, )(1

),( ω (3.40)

∫−

=T tjk

mm dtetqT

kVQ P

0)(

1),( ω

(3.41)

donde T es el periodo fundamental, P

Tω

π2= . Las derivadas serían:

∫−

∂

∂=

∂

∂ T tjk

n

mg

n

mG dtelV

ti

TlV

kVIP

0

,,

)(

)(1

)(

),( ω (3.42)

∫−

∂

∂=

∂

∂ T tjk

n

m

n

m dtelV

tq

TlV

kVQP

0 )(

)(1

)(

),( ω (3.43)

Aplicando la regla de la cadena:

∫−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ T tjk

n

n

n

mg

n

mG dtelV

tv

tv

ti

TlV

kVIP

0

,,

)(

)(

)(

)(1

)(

),(ω

(3.44)

∫−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ T tjk

n

n

n

m

n

m dtelV

tv

tv

tq

TlV

kVQP

0 )(

)(

)(

)(1

)(

),( ω (3.45)

donde ∑∞

−∞=

=k

tjknn

PekVtv ω)()(

por lo que:

tjl

n

n PelV

tv ω=

∂

∂

)(

)( (3.46)

Y si definimos )(kGmn y )(kCmn como los coeficientes de Fourier de las

derivadas de la conductancia y capacidad no lineales:

∫−

∂

∂=

T tjk

n

mgmn dte

tv

ti

TkG P

0

,

)(

)(1)( ω

(3.47)

∫−

∂

∂=

T tjk

n

mmn dte

tv

tq

TkC P

0 )(

)(1)( ω

(3.48)

donde k=-K,...,0,...K Nos queda:

)()(

),(, lkGlV

kVImn

n

mG−=

∂

∂ , )(

)(

),(lkC

lV

kVQmn

n

m −=∂

∂ (3.49)


41

Por tanto:

)()(),()(

),(),,( , lkGlkCjklkY

lV

kVFlkVJ mnmnPnm

n

mF −+−+=

∂

∂= ω (3.50)

La principal ventaja del método de Newton es que hace un uso completo de

todas las derivadas de la función de error con respecto a cada variable en cada puerto. Por esta razón es capaz de lograr convergencia con un número muy grande de variables, cuando la no linealidad no es demasiado fuerte y la estimación inicial es razonablemente buena (de hecho, el algoritmo converge con un simple paso si el circuito es lineal).

La desventaja del método está en la gran cantidad de carga computacional y memoria requerida para generar el jacobiano y resolver las ecuaciones de matrices. El jacobiano es una matriz cuadrada compleja. Por ejemplo, con 3 elementos no lineales y 8 armónicos (más DC), el jacobiano sería 27x27. Y debido a que el jacobiano es complejo, implica la resolución de un conjunto de 54x54 ecuaciones lineales reales, una tarea quizás no difícil, pero que consume mucho tiempo, por lo que es cara. Además, la matriz entera, la solución, y los vectores de actualización, deben permanecer en memoria simultáneamente; por lo cual se necesita mucha memoria computacional. Y por último, general el jacobiano requiere un gran número de derivadas. Este cálculo no consume mucho tiempo si hay expresiones en forma cerrada para esas derivadas, sin embargo eso no ocurre para muchos elementos no lineales, por lo que las derivadas tienen que ser, a menudo, calculadas numéricamente, lo que también consume mucho tiempo del ordenador.

Hay distintos métodos para minimizar el tiempo requerido en calcular el jacobiano, que veremos más adelante.

Podríamos decir que hay dos grandes fuentes de error que resultan de interés en el balance armónico. La primera resulta de truncar el número de armónico a un número finito, y la segunda viene de la no convergencia completa de la iteración usada para resolver el sistema no lineal de ecuaciones algebraicas.

Si se usa el método de Newton, la segunda fuente de error puede llegar a ser de muy pequeño nivel en relativamente pocas iteraciones, debido a la propiedad de convergencia cuadrática de ese método. Así que con este método, esa fuente de error se ignorará.

De todos modos, en muchas ocasiones pueden encontrarse problemas de convergencia en este algoritmo, especialmente en circuitos complejos con grandes excitaciones. Un modo para solucionarlo es empezar con la excitación establecida a un nivel muy bajo, de modo que las no linealidades sean débiles y la solución se obtenga fácilmente. Después va incrementándose la excitación, y la solución anterior se usa como estimación inicial para la próxima. Este proceso se va repitiendo hasta que se obtenga la solución al nivel de excitación deseado. Excepto si el circuito es inherentemente inestable, la solución puede encontrarse normalmente de este modo, incluso cuando la no linealidad del circuito sea fuerte y la convergencia difícil.


42

Ejemplo de aplicación del método Como ejemplo, vamos a aplicar este método al sencillo circuito de las Figuras 3.6 a) y b):

Figura 3.6: a) Circuito con un diodo b) Circuito simplificado. Como sólo existe un elemento no lineal, N=1 y 1VV = .

Tendríamos 22,11, VYII SS == ,

=

0

.

.

02

S

b

V

V

V

Por lo que queda:

1,11,122,1)( GIVYVYVF ++= (3.51)

1

1 )()(

V

VFVJ F

∂

∂= (3.52)


43

)(

),(),(

)(

),(),,(

1

1,1,1

1

1

lV

kVIlkY

lV

kVFlkVJ G

F∂

∂+=

∂

∂= (3.53)

∫−−−

∂

∂=

∂

∂ T

T

tlkjgG dtetv

ti

TlV

kVIP

2/1

2/1

)(

1

1,

1

1,

)(

)(1

)(

),(ω (3.54)

)(1

)(tvv

g

v

itg

=∂

∂= (3.55)

)(),()(

),(),,( 111,1

1

1 lkGlkYlV

kVFlkVJ F −+=

∂

∂= (3.56)

+−−

−−+

−−−+

−−−+

=

)0()()2()1()(

)2()0()2()1()2(

)1()1()0()()1(

)()2()1()0()0(

111,1111111

11111,11111

1111111,111

111111111,1

GKwYKGKGKG

KGGwYGG

KGGGwYG

KGGGGY

J

P

P

P

F

L

MOMMM

L

L

L

(3.57) Y la solución se encuentra siguiendo los siguientes pasos: 1- Formar una estimación inicial de la forma de onda )(1 tv

2- Aplicar la transformada de Fourier a )(1 tv para obtener 01V , estimación inicial en el

dominio de la frecuencia. El superíndice representa el número de la iteración. 3-Encontrar la forma de onda de la conductancia g(t) y hacerle la transformada de Fourier. 4-Formar FJ y )( 0VF .

5-Resolver una iteración del método de Newton, para encontrar 11V .

6-Aplicar transformación de Fourier a la corriente del diodo, encontrada en el paso 3, y formar el vector 1,GI .

7-Determinar )( 1VF

8-Si las magnitudes de las componentes de )( 1VF son suficientemente pequeñas, se ha encontrado la solución. En caso contrario, se aplica transformada inversa de Fourier para obtener )(1 tv , y repetir desde el paso 3 para obtener 2

1V . Variaciones del método de Newton

Se trata de modificaciones del método de Newton en las que el inverso del jacobiano se multiplica por un factor amortiguante λ . Este factor será menor que la unidad )10( << λ . Si recordamos la interpretación geométrica del método de Newton, el salto hacia la solución que se da es λ veces menor. La expresión del método sería:

)()( )()(1)()1( jjF

jj VFVJVV −+ −= λ (3.58)


44

Según el método escogido, el parámetro λ puede ser fijo o variable según la iteración o el error. Al ir reduciendo uniformemente el cambio en los elementos de V en cada iteración, se mejoran las propiedades de convergencia. Escogiendo un valor próximo a

5.0=λ , se minimiza el número de iteraciones para alcanzar la convergencia. 3.4.4 Algoritmo de Reflexión

En este algoritmo se construye la solución a partir del análisis del circuito no lineal en régimen transitorio. Si se trata de un circuito estable, es de esperar que se pueda describir el régimen permanente a partir del transitorio [2].

Para implementar el algoritmo, el circuito equivalente de la Figura 3.2 se redibuja como se muestra en la Figura 3.7, de modo que se divide en subcircuitos lineales y no lineales. Según nos convenga, el subcircuito lineal puede ser analizado en el dominio de la frecuencia o del tiempo. El subcircuito no lineal, debe contener todos los elementos no lineales, pero también puede contener elementos lineales. Vemos que se han introducido un conjunto de líneas de transmisión entre los puertos de las subredes lineal y no lineal. Estas líneas de transmisión se suponen que son ideales, y con longitud un número entero de longitudes de onda a la frecuencia fundamental de excitación, por lo que no afectan a la respuesta en régimen permanente del circuito.

Figura 3.7: Circuito de la Figura 3.2 con líneas de transmisión ideales ficticias.


45

Debido a la desadaptación entre las impedancias de la subred lineal y las impedancias características de las diferentes líneas de transmisión, se producen múltiples reflexiones en ambos extremos de las líneas a los diferentes armónicos que se consideran. Conforme se van produciendo reflexiones, éstas se añaden a la expresión instantánea de la onda de tensión en la línea de transmisión. Las condiciones de régimen permanente se alcanzarán cuando la contribución de la reflexión sobre la onda incidente sea mínima.

En el momento en el que se aplica la excitación, hay un intervalo de tiempo en el que no existen ondas reflejadas (mientras que la onda llega de un extremo al otro). En ese intervalo, cada línea de transmisión puede reemplazarse por su impedancia característica, ya que coincide con la impedancia de entrada. Esas ondas incidentes originales, )(0

, tv in , n=1,...,N, pueden hallarse mediante análisis directo de la subred

lineal.

Cuando esas ondas alcanzan el subcircuito no lineal, las ondas que se reflejan, )(0

, tv rn , se determinan analizando la subred lineal para determinar la intensidad )(0 tin , y

formando:

cnninrn Ztitvtv )()()( 00,

0, −= (3.59)

Para construir la nueva onda incidente hay que conocer las componentes de la

onda reflejada en el dominio de la frecuencia, ( ))()( 0,

0, Prnrn kwVtvF ⇒ , para poder

multiplicar cada armónico por el correspondiente coeficiente de reflexión.

tjkwK

KkPrnPninin

PekwVkwtvtv ∑−=

Γ+= )()(2

1)()( 0

,0,

1, (3.60)

Después de la iteración p-ésima, la nueva onda incidente es:

tjkwK

KkP

prnPnin

pin

PekwVkwtvtv ∑−=

+ Γ+= )()(2

1)()( ,

0,

1, (3.61)

Hay que hacer notar que el término del sumatorio se añade siempre a la onda

incidente inicial, no a la previa. El coeficiente de reflexión )( Pn kwΓ viene dado por:

cnPn

cnPnPn ZkwZ

ZkwZkw

+

−=Γ

)(

)()( (3.62)

donde )( Pn kwZ es la impedancia vista a la entrada del puerto n a la frecuencia Pkw .

Una vez que el proceso ha convergido, tras P iteraciones, la forma de onda de las tensiones de los puertos es:

)()()( ,, tvtvtv Prn

Pin

Pn += (3.63)


46

Dos complicaciones suelen emerger de la implementación del algoritmo de reflexión. La primera concierne a la elección de la impedancia característica cnZ . El

algoritmo no suele ser muy sensible a la elección de cnZ , pero afecta a la tasa de

convergencia de algún modo. cnZ puede seleccionarse para minimizar los coeficientes

de reflexión a los armónicos más bajos de la frecuencia de excitación. Esta elección mejora la velocidad de convergencia, ya que son los armónicos más bajos los que controlan el proceso de convergencia. La segunda complicación es que la impedancia de fuente en DC de cada puerto, en la mayoría de circuitos, es 0. Así, 1)0( −=Γn , y la

componente DC de las ondas de las líneas de transmisión cambian de polaridad con cada iteración, convergiendo muy lentamente hacia su valor correcto. Esta amplia variación suele introducir inestabilidad numérica; y también puede forzar algunas de las tensiones del circuito no lineal, durante iteraciones intermedias, a exceder el rango del modelo. La forma más sencilla para evitar este problema es establecer artificialmente la impedancia de fuente en DC de cada puerto a un valor igual a cnZ , haciendo cero el

coeficiente de reflexión. Este cambio afectará a los valores DC de las tensiones de los elementos no lineales, con lo que el valor de la fuente de polarización tendrá que ser offset para compensar. 3.4.5 Selección del número de armónicos y muestras de tiempo

En general, las formas de onda generadas en el análisis no lineal tienen un número infinito de armónicos, por lo que una descripción completa del funcionamiento de un circuito no lineal requeriría vectores de corriente y tensión de dimensiones infinitas. Afortunadamente, las magnitudes de las componentes de frecuencia decrecen necesariamente con la frecuencia; visto de otro modo, las formas de onda (en el tiempo) representarían potencia infinita. Así, siempre es posible ignorar todos los armónicos por encima de algún número máximo, al que hemos llamado anteriormente K.

Una consideración importante a la hora de implementar un análisis de balance armónico es la selección de K. Una elección de K demasiado pequeña resulta en una pobre precisión y a menudo pobre convergencia. Por otro lado, elegirlo demasiado grande relentiza mucho el proceso para hallar la solución, consumiendo tiempo y memoria del ordenador. Por lo tanto, elegir un K inadecuado, ya sea grande o pequeño, puede salirnos caro.

Quizás, el criterio más simple para seleccionar K sea considerar las magnitudes de las capacidades en el circuito equivalente del dispositivo. Por encima de alguna frecuencia, las susceptancias capacitivas son mayores que las conductancias del circuito, por lo que efectivamente son cortocircuitos y sus componentes de tensión despreciablemente pequeñas.

Otra consideración importante para seleccionar K es la fuerza de la no linealidad

dominante y la magnitud de la excitación. A menudo es posible generar un circuito equivalente simplificado para el dispositivo no lineal y aproximar las tensiones y corrientes en él lo suficientemente bien como para formar una estimación aproximada de las magnitudes de las componentes de frecuencia.


47

La naturaleza del problema a resolver crea a veces limitaciones sobre K. Si tiene que encontrarse la intensidad o la tensión a algún armónico k, K>k es una limitación lógica. Quizás sea menos obvio que los errores introducidos por el truncamiento de armónicos suele ser mayor en los armónicos más grandes, por lo que realmente deberíamos elegir K>>k. El cálculo adecuado de magnitudes de armónicos altos también requiere que la convergencia sea más completa, para que los errores en las componentes de armónicos altos sean pequeños comparados con la deseada tensión o corriente armónica. Una convergencia más precisa requiere un mayor número de armónicos.

Las propiedades de la transformada rápida de Fourier (FFT), usada para obtener las componentes de frecuencia a partir de las formas de onda en el tiempo, también crea limitaciones sobre K. Un requerimiento de la FFT es que el número de armónicos producido debe ser siempre un entero potencia de 2. El segundo, consecuencia del teorema de muestreo, es que el número de muestras de tiempo debe ser dos veces el número de las componentes de frecuencia. No es necesario incluir todos estos armónicos en las ecuaciones de balance armónico; así por ejemplo, pueden usarse sólo diez armónicos en las ecuaciones, pero calcular dieciséis a través de la FFT. Sin embargo, es esencial usar todas las muestras de tiempo requeridas por la FFT. Por tanto, hay buenas razones para usar incluso más muestras de tiempo. Usar el mínimo número de muestras requeridas por el teorema de muestreo puede provocar errores de aliasing, donde los armónicos altos eliminados afectan a la precisión de componentes armónicas más bajas. La forma más simple de eliminar errores de aliasing es sobremuestrear, es decir, usar una tasa de muestreo al menos un 25-30% mayor que el mínimo, o de 2.5 a 2.6 veces el número de componentes requeridas.

¿Qué significa realmente el proceso de descartar los armónicos k>K? En la mayoría de los casos, implica que la tensión a través de los elementos no lineales a esas frecuencias es cero, por lo que son cortocircuitos. En el algoritmo de reflexión, significa en cambio que el coeficiente de reflexión de la red es cero, o que el elemento está terminado en la impedancia característica de la línea de transmisión imaginaria. A veces es posible, aunque no siempre práctico, formular un caso dual, donde son las intensidades de los elementos, y no las tensiones, las variables independientes. En ese caso, el truncamiento armónico establecería las intensidades a cero, lo que implica circuitos abiertos a las más altas frecuencias [2]. 3.4.6 Comparación de algoritmos

Inevitablemente, surgen dudas en la elección de uno de estos algoritmos para resolver un problema específico. La selección de un algoritmo u otro implica una determinada velocidad y fiabilidad de convergencia, propiedades que dependen en gran medida del tipo de circuito, magnitud de la excitación, y fuerza de las no linealidades [2].

Por ejemplo, el método de Newton tiene la clara ventaja de que converge mucho

más rápidamente en circuitos casi lineales que en los no lineales, por lo que podría ser una buena elección para el primer caso. Usar algoritmos de Splitting para circuitos casi lineales no sería muy adecuado, ya que no son mucho más eficientes en estos que en los no lineales. Consideraciones similares se aplican a la fiabilidad de la convergencia; por


48

ejemplo, el requerimiento de que haya que hacer una estimación inicial de valor cercano a la solución para lograr convergencia, es una desventaja en un programa de análisis de circuitos de propósito general, pero puede no ser una desventaja en un programa diseñado para analizar un tipo específico de circuitos.

En este problema de la selección de un algoritmo, la mayoría de literatura existente sobre el tema se decanta por el uso del método de Newton o por optimización. La razón de este elección no está necesariamente es que sean métodos superiores, sino en que estos algoritmos son, generalmente, bien conocidos, y las subrutinas de ordenador para implementarlos están ya, a menudo, disponibles. De hecho, por razones que hemos visto anteriormente, la optimización es un método relativamente ineficiente para resolver ecuaciones de balance armónico, y el método de Newton tiene frustrantes limitaciones que otras técnicas pueden salvar.

Debido a que no requiere la evaluación de derivadas, el algoritmo de reflexión es mucho más rápido por iteración que el método de Newton, y al menos en principio, alcanza la solución más rápidamente. El algoritmo de reflexión puede requerir muchas iteraciones al aplicarse a circuitos casi lineales, pero puede hacerse que converja en una sólo iteración si las impedancias son resistivas, a pesar de la fuerza de la no linealidad: sólo es necesario hacer las resistencias igual a las impedancias características de las líneas de transmisión imaginarias. Bajo estas condiciones, todos los coeficientes de reflexión son cero y la solución se reduce a una integración en el dominio del tiempo de las ecuaciones del circuito no lineal. Además, el algoritmo de reflexión no requiere una estimación inicial de la solución para empezar. Esta propiedad le hace atractivo para usarse en programas de propósito general.

Las propiedades de convergencia del algoritmo de reflexión también son muy buenas. Converge rápidamente en los pasos iniciales hacia la solución, pero luego cuando la solución está cerca, la tasa de convergencia se hace más lenta, y progresivamente suele ir siendo más lenta la convergencia alrededor de los valores finales. El momento en el que ocurre esta lentitud suele ser ya dentro de la precisión necesaria para la mayoría de propósitos prácticos, así que raramente es ésta una desventaja seria. Si se encuentran problemas serios de convergencia, seguro que son en ecuaciones diferenciales que describen el subcircuito no lineal, no propiamente en el algoritmo. Otras ventajas de este algoritmo son su relativamente facilidad de implementación y su bajo requerimiento de memoria computacional. Por tanto, converge fácilmente con un gran número de armónicos y elementos no lineales, porque el número de puertos (Figura 3.7) puede ser mucho menor que el número de no linealidades.

Un inconveniente significativo del algoritmo de reflexión es la necesidad de usar una impedancia DC artificial igual a la impedancia característica de la línea de transmisión. Si sale corriente DC del circuito no lineal, tensión DC cae a través de esta resistencia y la componente DC de la tensión del puerto no es igual a la tensión de polarización de fuente. Sería necesario aumentar la tensión de polarización para compensar la caída de tensión, pero debido a que la corriente DC se desconoce a priori, el voltaje de la polarización debe variarse iterativamente para obtener las componentes DC requeridas de las tensiones de los puertos. Por tanto, si hay más puertos que fuentes, puede ser incluso necesario añadir fuentes de polarización ficticias. Esta situación puede llegar a ser intratable en circuitos multipuerto. Afortunadamente, hay poca dificultad en


49

obtener los valores correctos de polarización para circuitos de uno o dos puertos, que constituyen la mayoría de los problemas de circuitos no lineales de microondas.

La velocidad y el uso de memoria en el método de Newton depende fuertemente de la necesidad de calcular el jacobiano. El tamaño del jacobiano se va incrementando dramáticamente al añadir cada armónico o elemento no lineal. Aunque la resolución de la ecuación (3.34) consume normalmente la mayor parte del tiempo computacional necesario para efectuar cada iteración en este método, los tiempos requeridos para realizar las derivadas de las formas de onda, transformarlas al dominio de Fourier, y crear la matriz también es significativo. El coste que hay que pagar usando el método de Newton, se recupera dada su fuerte convergencia en una amplia variedad de aplicaciones a una velocidad que varía directamente con la complejidad del problema a resolver. Por tanto, la velocidad le hace ser un método atractivo para problemas simples, y su robustez también le hace atractivo para otros problemas más complejos.

Una propiedad importante que tiene el método de Newton es que la velocidad y fiabilidad de convergencia dependen fuertemente de la estimación inicial del vector solución. Formular esa estimación de inicio puede no ser muy complicado al analizar un tipo específico de circuito, pero es difícil concebir un modo de formar la estimación inicial en un programa de análisis de circuitos de propósito general, que debe acomodarse a una amplia gama de circuitos que tienen una amplia variedad de posibles respuestas. Pero esta propiedad no siempre es una desventaja. Muchos problemas requieren la generación de una tabla de niveles de salida como función de un nivel de entrada; en estos casos, los resultados de un cálculo a un nivel puede usarse como una buena estimación inicial para el próximo. Así, cada cálculo comienza con una buena estimación inicial, con lo que converge rápidamente.

Una ventaja del método de Newton, que puede no ser obvia antes de usarse, es que genera, en cada iteración, una medida del error en las corrientes en cada puerto, en cada armónico. Esto es particularmente útil cuando la mayoría de la información importante que quiere obtenerse del cálculo es un armónico específico en un puerto concreto. Esta es una forma simple de examinar el error de la intensidad en el puerto y armónico deseado, para comprobar que el error sea adecuadamente bajo. La habilidad para comprobar las contribuciones de errores individuales es especialmente importante en armónicos altos. Las componentes de corriente a altos armónicos son pequeñas en magnitud, por lo que contribuyen de una forma mínima a la magnitud del vector de error. Así, el error de la intensidad a un armónico alto puede ser relativamente grande incluso cuando la magnitud del vector de errores es pequeña.

técnica del balance armónico -...

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