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Page 1: tdp2

Tema ��

El cuerpo de los n�umeros complejos�

���� El cuerpo de los n�umeros complejos�

De�nici�on ����� �Hamilton� ����� Sea C � f�x� y�jx � R � y � Rg � R � R� de�nimosla estructura �C��� ��� donde

� � C� C �� C� tal que �a� b� � �c� d� � �a� c� b� d��

� � C� C �� C� tal que �a� b� � �c� d� � �ac� bd� ad� bc��

Proposici�on ����� �C��� �� es cuerpo�

���� Otras propiedades de C� Forma bin�omica

Proposici�on ����� �C��� �� no es cuerpo ordenado�

Proposici�on ����� Sea �C��� �� el cuerpo complejo� y sea A � f�x� ��jx � Rg� entoncesse veri�ca

i� �A��� �� es subcuerpo de �C��� ��� siendo � y � restricciones a A de las operacionesen C�

ii� �A��� �� es isomorfo� a �R��� ��� mediante ���a� ��� � a�

De�nici�on ����� �forma binomica�De�niremos i � ��� ��� � � ��� ��� supuesta conocida la estructura de R � R como

R�espacio vectorial� es claro que

�a� b� � a��� ��� b��� �� � a� bi�

Esta de�nicion conlleva que ��� ����� �� � ���� �� � ��� Luego i� � ��� por consiguientei �

p���

���� Conjugado� m�odulo� argumento� Propiedades

De�nici�on ����� �conjugado� Sea z � a � bi� se llama conjugado de z y se representapor z� al complejo a� bi� es decir z � a� bi�

De�nici�on ����� �parte real� imaginaria y modulo�Sea z � a � bi� se llama parte real de z y se representa por Re�z� � a� al primer

elemento del par �a� b�� analogamente se llama parte imaginaria de z� Im�z� � b� al segundoelemento de �a� b�� Se denomina modulo del complejo z� y se representa por jzj� al numeroreal no negativo jzj � p

a� � b� �p

Re�z�� � Im�z���

Proposici�on ����� �propiedades del conjugado� Sean z� w � C� se cumplen las siguientespropiedades

�Se dice que dos cuerpos �L����� y �M������ son isomorfos� si y solo si� existe una biyecci�on � �L ��M tal que �x� y � L� i� ��x� y� � ��x� � ��y�� ii� ��x� y� � ��x�� ��y�

Page 2: tdp2

i� z � z�

ii� z � z Im�z� � ��

iii� �z � �z�iv� z � w � z � w�

v� zw � z w�

vi� Si z � �� z�� � �z����

Proposici�on ���� �propiedades del modulo� Sean z� w � C� se cumplen

i� z � � jzj � ��

ii� jzj � jzj y j � zj � jzj�iii� jRe�z�j � jzj y jIm�z�j � jzj� jzj � jRe�z�j� jIm�z�j�iv� jzj� � zz�

v� jzwj � jzj jwj�vi� Si z � �� jz��j � �jzj����

vii� jz � wj � jzj� jwj�De�nici�on ���� � argumento y argumento principal�

Sea un complejo z � C� z � �� y tal que z � a � bi� de las propiedades del modulo sededucen �jzj � Re�z� � jzj y �jzj � Im�z� � jzj� por tanto dividiendo por jzj� tendremos

�� � Re�z�jzj � � y �� � Im�z�

jzj � �� Ademas �Re�z�jzj �� � �Im�z�jzj �� � �� por consiguiente

el sistema de ecuaciones

���

sen � � Im�z�jzj

cos � � Re�z�jzj �

tiene solucion� Llamaremos � � arg�z�

a cualquiera de los valores que sean solucion de ambas ecuaciones� Al unico valor � ���� �� que las satisface le llamaremos Arg�z�� o argumento principal� Se cumple quearg z � Arg�z� � k�� con k � Z�De�nici�on ���� � forma polar o modulo�argumental�

Las expresiones jzj � pa� � b�� cos � � a

jzjy sen � � b

jzj� permiten determinar jzj y

Arg�z�� a partir de �a� b� � C�� Rec�procamente a � jzj cos � y b � jzj sen �� nos permitenobtener �a� b� conociendo el par �jaj�Arg�z��� que llamaremos forma polar del complejo�a� b�� En textos de caracter tecnico se escribe a veces jzjArg�z��

De�nici�on ����� � forma trigonometrica � Sea z � a � bi� como a � jzj cos� y b �jzj sen �� podemos escribir z � jzj�cos ��i sen ��� que se conoce como forma trigonometricade un complejo�

Proposici�on ���� �propiedades del argumento�Sean z� w � C� entonces se veri�ca

i� arg z � � arg z � k��

Page 3: tdp2

ii� arg�zw� � arg z � argw � k��

iii� Sea w � �� arg z

w� arg z � argw � k��

iv� Sea n � N� entonces arg�zn� � n arg z � k��

���� F�ormula de De Moivre

Teorema ����� Sea z � jzj�cos� � i sen ��� y n � N� entonceszn � jzjn�cosn� � i senn���

���� Potencias y ra�ces

De�nici�on ����� Sea z � C� y n � N� se dice que w � C� es ra�z n�esima de z� si y solosi� wn � z�

Proposici�on ����� Sea z � jzj�cos� � i sen �� � �� y n � N� existen n ra�ces n�esimasdistintas de z� que vienen dadas por

wk � npjzj�cos�k � i sen�k��

siendo

�k ��

n�

k�

n� k � �� �� � � � � � n� ��

��� F�ormula de Euler� Exponenciales� logaritmos y potencias comple�jas� Funciones circulares complejas�

De�nici�on ��� � De�nimos ez � C � C tal que si z � a � bi� entonces ez � ea�cos b �i sen b�� Entendiendo que el ea� que aparece a la derecha� es la exponencial de argumentoreal� utilizada hasta ahora� De esta de�nicion se desprenden tres propiedades inmediatas�x � R

e� � e���i � e��cos � � i sen �� � ��

e� � e���i � e��cos � � i sen �� � e�

ex � ex��i � ex�cos � � i sen �� � ex�

Proposici�on ����� �propiedades presumibles de ez� Sean z� w � C� entonces se cumplen

i� ez�w � ezew�

ii� ez � �� �z � C�iii� e�z � �

ez�

iv� ez

ew� ez�w �

Teorema ����� �formula de Euler� Sea � � R� entoncese�i � cos�� i sen��

ademas

cos� �e�i � e��i

� y sen� �

e�i � e��i

i�

Page 4: tdp2

De�nici�on ������ La formula de Euler permite introducir una nueva forma de represen tar un complejo

z � jzj�cos� � i sen �� � jzje�i�

esta nueva forma jzje�i se conoce como forma exponencial� de un numero complejo�

De�nici�on ������ Sea z � C�� llamaremos logaritmo neperiano de z� ln z� al numerocomplejo al que hay que elevar e para que de z� Veremos que� sorprendentemente� existenuna cantidad numerable de complejos que son logaritmos de z�

Proposici�on ��� � Sea z � C�� entonces

ln z � ln jzj� i arg�z� � k�i� k � Z

el valor Ln z � ln jzj� iArg�z� se conoce como logaritmo principal�

De�nici�on ������ �complejo elevado� a complejo�Sean z� w � C con z � �� zw � ew�ln z�

De�nici�on ������ �funciones hiperbolicas reales� Sea x � R� llamaremos funciones hiperbolicasreales a

coshx �ex � e�x

� y senh x �

ex � e�x

De�nici�on ������ �funciones circulares e hiperbolicas complejas� Sea z � C� entoncesde�nimos

cos z �eiz � e�iz

� sen z �

eiz � e�iz

i�

cosh z �ez � e�z

� senh z �

ez � e�z

tan z �sen z

cos z� tanh z �

senh z

cosh z�

Teorema ����� Sea Pn�z� � a� � a�z � a�z� � � � �� anz

n un polinomio con coe�cientesreales� es decir� ak � R� �k � f�� � � � � � ng� entonces si z � a � bi es ra�z de Pn�z��z � a� bi tambien es ra�z de Pn�z��

Referencias

��� Emanuel Fischer� Intermediate Real Analysis� Springer Verlag� �����

�� Michael Spivak� C�alculus� vol� II� Editorial Revert�e� Barcelona �����

�La f�ormula de Euler permite relacionar entre si los n�umeros m�as �importantes� en matem�aticas�e�i � � �

�Las primeras calculadoras de mesa daban error al calcular� por ejemplo �� ��� por aplicar indiscrimi�nadamente la f�ormula de esta de�nici�on