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Tema ��
El cuerpo de los n�umeros complejos�
���� El cuerpo de los n�umeros complejos�
De�nici�on ����� �Hamilton� ����� Sea C � f�x� y�jx � R � y � Rg � R � R� de�nimosla estructura �C��� ��� donde
� � C� C �� C� tal que �a� b� � �c� d� � �a� c� b� d��
� � C� C �� C� tal que �a� b� � �c� d� � �ac� bd� ad� bc��
Proposici�on ����� �C��� �� es cuerpo�
���� Otras propiedades de C� Forma bin�omica
Proposici�on ����� �C��� �� no es cuerpo ordenado�
Proposici�on ����� Sea �C��� �� el cuerpo complejo� y sea A � f�x� ��jx � Rg� entoncesse veri�ca
i� �A��� �� es subcuerpo de �C��� ��� siendo � y � restricciones a A de las operacionesen C�
ii� �A��� �� es isomorfo� a �R��� ��� mediante ���a� ��� � a�
De�nici�on ����� �forma binomica�De�niremos i � ��� ��� � � ��� ��� supuesta conocida la estructura de R � R como
R�espacio vectorial� es claro que
�a� b� � a��� ��� b��� �� � a� bi�
Esta de�nicion conlleva que ��� ����� �� � ���� �� � ��� Luego i� � ��� por consiguientei �
p���
���� Conjugado� m�odulo� argumento� Propiedades
De�nici�on ����� �conjugado� Sea z � a � bi� se llama conjugado de z y se representapor z� al complejo a� bi� es decir z � a� bi�
De�nici�on ����� �parte real� imaginaria y modulo�Sea z � a � bi� se llama parte real de z y se representa por Re�z� � a� al primer
elemento del par �a� b�� analogamente se llama parte imaginaria de z� Im�z� � b� al segundoelemento de �a� b�� Se denomina modulo del complejo z� y se representa por jzj� al numeroreal no negativo jzj � p
a� � b� �p
Re�z�� � Im�z���
Proposici�on ����� �propiedades del conjugado� Sean z� w � C� se cumplen las siguientespropiedades
�Se dice que dos cuerpos �L����� y �M������ son isomorfos� si y solo si� existe una biyecci�on � �L ��M tal que �x� y � L� i� ��x� y� � ��x� � ��y�� ii� ��x� y� � ��x�� ��y�
i� z � z�
ii� z � z Im�z� � ��
iii� �z � �z�iv� z � w � z � w�
v� zw � z w�
vi� Si z � �� z�� � �z����
Proposici�on ���� �propiedades del modulo� Sean z� w � C� se cumplen
i� z � � jzj � ��
ii� jzj � jzj y j � zj � jzj�iii� jRe�z�j � jzj y jIm�z�j � jzj� jzj � jRe�z�j� jIm�z�j�iv� jzj� � zz�
v� jzwj � jzj jwj�vi� Si z � �� jz��j � �jzj����
vii� jz � wj � jzj� jwj�De�nici�on ���� � argumento y argumento principal�
Sea un complejo z � C� z � �� y tal que z � a � bi� de las propiedades del modulo sededucen �jzj � Re�z� � jzj y �jzj � Im�z� � jzj� por tanto dividiendo por jzj� tendremos
�� � Re�z�jzj � � y �� � Im�z�
jzj � �� Ademas �Re�z�jzj �� � �Im�z�jzj �� � �� por consiguiente
el sistema de ecuaciones
���
sen � � Im�z�jzj
cos � � Re�z�jzj �
tiene solucion� Llamaremos � � arg�z�
a cualquiera de los valores que sean solucion de ambas ecuaciones� Al unico valor � ���� �� que las satisface le llamaremos Arg�z�� o argumento principal� Se cumple quearg z � Arg�z� � k�� con k � Z�De�nici�on ���� � forma polar o modulo�argumental�
Las expresiones jzj � pa� � b�� cos � � a
jzjy sen � � b
jzj� permiten determinar jzj y
Arg�z�� a partir de �a� b� � C�� Rec�procamente a � jzj cos � y b � jzj sen �� nos permitenobtener �a� b� conociendo el par �jaj�Arg�z��� que llamaremos forma polar del complejo�a� b�� En textos de caracter tecnico se escribe a veces jzjArg�z��
De�nici�on ����� � forma trigonometrica � Sea z � a � bi� como a � jzj cos� y b �jzj sen �� podemos escribir z � jzj�cos ��i sen ��� que se conoce como forma trigonometricade un complejo�
Proposici�on ���� �propiedades del argumento�Sean z� w � C� entonces se veri�ca
i� arg z � � arg z � k��
ii� arg�zw� � arg z � argw � k��
iii� Sea w � �� arg z
w� arg z � argw � k��
iv� Sea n � N� entonces arg�zn� � n arg z � k��
���� F�ormula de De Moivre
Teorema ����� Sea z � jzj�cos� � i sen ��� y n � N� entonceszn � jzjn�cosn� � i senn���
���� Potencias y ra�ces
De�nici�on ����� Sea z � C� y n � N� se dice que w � C� es ra�z n�esima de z� si y solosi� wn � z�
Proposici�on ����� Sea z � jzj�cos� � i sen �� � �� y n � N� existen n ra�ces n�esimasdistintas de z� que vienen dadas por
wk � npjzj�cos�k � i sen�k��
siendo
�k ��
n�
k�
n� k � �� �� � � � � � n� ��
��� F�ormula de Euler� Exponenciales� logaritmos y potencias comple�jas� Funciones circulares complejas�
De�nici�on ��� � De�nimos ez � C � C tal que si z � a � bi� entonces ez � ea�cos b �i sen b�� Entendiendo que el ea� que aparece a la derecha� es la exponencial de argumentoreal� utilizada hasta ahora� De esta de�nicion se desprenden tres propiedades inmediatas�x � R
e� � e���i � e��cos � � i sen �� � ��
e� � e���i � e��cos � � i sen �� � e�
ex � ex��i � ex�cos � � i sen �� � ex�
Proposici�on ����� �propiedades presumibles de ez� Sean z� w � C� entonces se cumplen
i� ez�w � ezew�
ii� ez � �� �z � C�iii� e�z � �
ez�
iv� ez
ew� ez�w �
Teorema ����� �formula de Euler� Sea � � R� entoncese�i � cos�� i sen��
ademas
cos� �e�i � e��i
� y sen� �
e�i � e��i
i�
De�nici�on ������ La formula de Euler permite introducir una nueva forma de represen tar un complejo
z � jzj�cos� � i sen �� � jzje�i�
esta nueva forma jzje�i se conoce como forma exponencial� de un numero complejo�
De�nici�on ������ Sea z � C�� llamaremos logaritmo neperiano de z� ln z� al numerocomplejo al que hay que elevar e para que de z� Veremos que� sorprendentemente� existenuna cantidad numerable de complejos que son logaritmos de z�
Proposici�on ��� � Sea z � C�� entonces
ln z � ln jzj� i arg�z� � k�i� k � Z
el valor Ln z � ln jzj� iArg�z� se conoce como logaritmo principal�
De�nici�on ������ �complejo elevado� a complejo�Sean z� w � C con z � �� zw � ew�ln z�
De�nici�on ������ �funciones hiperbolicas reales� Sea x � R� llamaremos funciones hiperbolicasreales a
coshx �ex � e�x
� y senh x �
ex � e�x
�
De�nici�on ������ �funciones circulares e hiperbolicas complejas� Sea z � C� entoncesde�nimos
cos z �eiz � e�iz
� sen z �
eiz � e�iz
i�
cosh z �ez � e�z
� senh z �
ez � e�z
�
tan z �sen z
cos z� tanh z �
senh z
cosh z�
Teorema ����� Sea Pn�z� � a� � a�z � a�z� � � � �� anz
n un polinomio con coe�cientesreales� es decir� ak � R� �k � f�� � � � � � ng� entonces si z � a � bi es ra�z de Pn�z��z � a� bi tambien es ra�z de Pn�z��
Referencias
��� Emanuel Fischer� Intermediate Real Analysis� Springer Verlag� �����
�� Michael Spivak� C�alculus� vol� II� Editorial Revert�e� Barcelona �����
�La f�ormula de Euler permite relacionar entre si los n�umeros m�as �importantes� en matem�aticas�e�i � � �
�Las primeras calculadoras de mesa daban error al calcular� por ejemplo �� ��� por aplicar indiscrimi�nadamente la f�ormula de esta de�nici�on
�