td07_lectura

Estadstica para la toma de decisiones

ESTADSTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.

1

Sesin No. 7

Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables continas.

Objetivo

Al trmino de la sesin el estudiante diferenciar las distribuciones de

probabilidad continuas, a travs de la resolucin de ejercicios para practicar el

clculo de probabilidad con la distribucin normal estndar y resolver problemas

del rea econmica administrativa.

Contextualizacin En esta sesin se estudian las variables aleatorias continuas tipo uniforme,

exponencial y normal; as como la distribucin de probabilidad normal estndar

mayormente utilizada en los procesos estadsticos.

Trabajaremos directamente con el clculo de probabilidades a travs de la

variable normal estndar y aprenderemos a usar la tabla de probabilidades de

esta misma distribucin.


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Introduccin al Tema Cul es la caracterstica primordial de una variable aleatoria continua?

Sabes definir una variable como aleatoria contina?

Cul es la caracterstica principal de una variable aleatoria normal?

Fuente: http://files.apuntes-de-analisis-de-sistemas.webnode.es/200000005-160df17a77/Imagen2.jpg

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar valores dentro de un

rango ininterrumpido.


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Explicacin Las distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas son:

Distribucin uniforme, Distribucin exponencial

Distribucin normal y normal estandarizada.

Distribucin uniforme

Si definimos una variable aleatoria continua x como aquella que est entre axb

cuya funcin de probabilidad es: () = 1

, entonces decimos que x tiene una

distribucin uniforme continua.

Caractersticas:

Una distribucin uniforme en el rango de cero a uno, es la base para generar

valores a otras distribuciones de probabilidad. Sirve para estimar el

comportamiento de las variables aleatorias cuando se tiene poca informacin

sobre estas, porque se asume que varan aleatoriamente entre dos valores (a, b).

Distribucin exponencial

Esta distribucin se usa en fenmenos de lneas de espera para representar los

tiempos entre llegadas de clientes a un sistema. Otras aplicaciones son el

tiempo para completar una tarea y el tiempo de falla en componentes

electrnicos. Su funcin est dada por: (, ) = , para 0 < x <

Fuente: http://www.biorom.uma.es/contenido/UIB/bioinfo/imagenes/dexponencial.gif


4

Distribucin normal

La variable aleatoria normal x representa el comportamiento de muchos

fenmenos naturales, sociales, econmicos, industriales, etc. Por lo que es de

bastante uso.

La distribucin se origina cuando el nmero de ensayos en una variable aleatoria

discreta se vuelve muy grande.

Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distribucion-normal-01.gif

Caractersticas de la curva normal:

Tambin es llamada Campana de Gauss, curva de Gauss o curva normal.

Es simtrica respecto a su valor central () Su punto mximo coincide con la media() Tiene puntos de inflexin situados a ambos lados de la media () a una

distancia () de ella. (n = 1,2,3) Su rea total bajo la curva es 1 (100%)

Esta funcin no tiene una solucin sencilla para calcular valores de

probabilidad, por lo que se requiere de una variable especial llamada

variable normal estndar (z).


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Distribucin normal estndar.

La distribucin de probabilidad normal es una curva simtrica en forma de

campana. La curva en su totalidad vale 1, como es simtrica si se divide a la

mitad, cada una de ellas vale 0.5, porque 0.5 + 0.5 = 1.00 que es el rea total de

esta curva. Observe la Figura 1.

Figura 1. Distribucin de probabilidad normal

Para trabajar con la distribucin normal se utiliza la distribucin normal estndar,

esta distribucin se divide a la mitad con la media que vale cero y con

desviaciones estndar de valor 1. Observe la Figura 2.

Figura 2. Distribucin normal estndar

Recuerde que la desviacin estndar es la distancia promedio que hay entre un

punto y la media, por ejemplo, la distancia que hay entre x (0) y s (1) es una

desviacin estndar o la distancia que hay entre x y -3s es tres desviaciones

estndar. Observe la Figura 3. No existen distancias negativas, entonces una

desviacin estndar negativa slo indica que sta ubicada a la izquierda de la

media y una desviacin estndar positiva sta ubicada a la derecha de la media.

1.00

0.5 0.5

1s 2s 3s -1s -2s -3s x

-3 -2 -1 0 1 2 3

Variable transformada en valores de

Variable x

x = media aritmtica

s = desviacin estndar


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Figura 3. Distancia de la media y una desviacin estndar

Con la distribucin normal se calculan reas bajo la curva, por ejemplo, el rea

que hay entre la media y una desviacin estndar positiva se presenta en la

Figura 4. Esta rea tiene un valor que a continuacin se explicar como

obtenerla.

Figura 4. rea entre la media y una desviacin estndar positiva

Cuando se presenta un problema a resolver con la distribucin normal la variable

implicada x se transforma a un valor de z, que son las unidades en trminos de

desviaciones estndar que utiliza la distribucin normal, la frmula empleada

para esta transformacin es la siguiente.

Valor z: s

xxz

= donde: z = valor en trminos de desviaciones

estndar x = media aritmtica

s = desviacin estndar

s 2s 3s -s -2s -3s x

1 desviacin estndar

3 desviaciones estndar

s x

rea


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Para calcular los valores de z se utiliza la Tabla 1 reas bajo la curva normal estndar, que se presenta a continuacin.

Ejemplo 1. Suponga que a varios solicitantes de trabajo se les hace una prueba de aptitud. Los resultados de la prueba forman una distribucin normal con media aritmtica de 80 y

una desviacin estndar de 4.

a) Qu proporcin de resultados obtuvieron entre 80 y 84? b) Qu proporcin de resultados se encuentra entre 75 y 83? c) Qu proporcin de resultados quedaron entre 75 y 78? d) Qu proporcin de resultados es superior a 85? e) Qu proporcin de resultados est abajo de 85?


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a) Qu proporcin de solicitudes obtuvieron entre 80 y 84?

80=x s = 4

Si x = 80 04

0

4

8080==

=

=

s

xxz como x es la media el valor de z siempre es 0,

la media es el centro entonces NO tiene rea.

Si x = 84 14

4

4

8084==

=

=

s

xxz una desviacin estndar, su rea es 0.3413

P(80 x 84) = P(0 z 1) = 0.3413 34.13%

Para obtener el rea se utiliza la Tabla 1 reas bajo la curva normal estndar, al valor de 1,

se le agregan dos ceros porque la distribucin normal emplea un entero y dos decimales,

es decir, 1.00, entonces se busca 1.0 en la columna z y como falta un cero busco en la

columna .00, la interseccin de estas columnas es la rea, es decir, 0.3413.

b) Qu proporcin de resultados se encuentra entre 75 y 83?

Si x = 75 1.254

5

4

8075=

=

=

=

s

xxz desviaciones estndar, su rea es 0.3944

Si x = 83 75.04

3

4

8083==

=

=

s

xxz su rea es 0.2734

0.3413

1 0

80 84

Variable transformada en valores de z

Variable x, resultados de la prueba


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P(75 x 83) = P(1.25 z 0.75)

= P(1.25 z 0) + P(0 z 0.75) = 0.3944 + 0.2734 = 0.6678 66.78%

La Tabla 1 reas bajo la curva normal estndar presenta slo valores positivos, pero,

como es simtrica, la rea de 1.25 y 1.25 es el misma. Entones para obtener el rea de

1.25 se busca 1.2 en la columna z y como falta un cinco busco en la columna .05, la

interseccin de estas columnas es la rea, es decir, 0.3944.

Para la rea de 0.75 se busca .7 en la columna z y como falta un cinco busco en la

columna .05, la rea es decir, 0.2734.

c) Qu proporcin de resultados quedaron entre 75 y 78?

Si x = 78 5.04

2

4

8078=

=

=

=

s

xxz desviaciones estndar, su rea es 0.1915

0.2734

0 0.75 -1.25

0.3944

75 80 83

0.6678

0 -0.5 -1.25

75 80 78

0.2029

0.1915

0.3944


10

P(75 x 78) = P(1.25 z 0.5)

= P(1.25 z 0) P(0.5 z 0) = 0.3944 0.1915 = 0.2029 20.29%

d) Qu proporcin de resultados es superior a 85?

80=x

s = 4

Si x = 85 25.14

5

4

8085==

=

=

s

xxz su rea es 0.3944

P(x > 85) = P(z > 1.25)

= P(z 0) P(0 z 1.25)

= 0.5 0.3944

= 0.1056 10.56%

e) Qu proporcin de resultados est abajo de 85?

0 1.25

85 80

0.3944

0.5

0.1056

0 1.25

85 80

0.3944

0.5

0.8944


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P(x < 85) = P(z < 1.25)

= P(z 0) + P(0 z 1.25)

= 0.5 + 0.3944

= 0.8944 89.44%


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Conclusin

Las distribuciones continuas vistas en esta sesin son las ms importantes en el

uso de variables continuas. De la distribucin normal vimos su descripcin,

grfica y caractersticas y por qu se utiliza la variable normal estandarizada.

La distribucin normal estndar es la de uso ms extendido dentro de las

aplicaciones de probabilidad. Ello debido a que modela prcticamente cualquier

fenmeno presente en situaciones de todo tipo.


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Para aprender ms En este apartado encontrars ms informacin acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando el siguiente sitio de Internet.

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias.

http://brd.unid.edu.mx/distribuciones-de-probabilidad

Distribucin normal.

http://brd.unid.edu.mx/distribucion-normal/

http://brd.unid.edu.mx/la-distribucion-normal/

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, porque te permitir

desarrollar los ejercicios con ms xito.


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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesin acerca de la distribucin de probabilidad normal

resuelve los siguientes ejercicios:

1. El proceso de empaque de una productora de cereales ha sido ajustado

para que cada paquete contenga un promedio de 13 onzas de cereal. A

causa de las fuentes aleatorias de variabilidad la desviacin estndar del

peso neto real es de 0.10 onzas, y se sabe que la distribucin de pesos

sigue una distribucin normal de probabilidad. Determine la probabilidad

de que:

a) Un paquete aleatoriamente elegido contenga entre 13 y 13.2 onzas. b) El peso del cereal exceda de 13.25 onzas. c) El peso del cereal se encuentre entre 12.9 y 13.1 onzas.

2. Una persona con una buena historia crediticia tiene una deuda promedio

de $15 015. Suponga que la desviacin estndar es de $3540 y que los

montos de las deudas estn distribuidos normalmente.

a) Cul es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena

historia crediticia sea mayor a $18,000?

b) De qu la deuda de una persona con buena historia crediticia sea de

menos de $10,000?

c) De qu de la deuda de una persona con buena historia crediticia este

entre $12,000 y $18,000?

d) De qu la deuda de una persona con buena historia crediticia sea

mayor a $14,000?

3. De acuerdo con la Sleep Foundation, en promedio se duermen 6.8 horas

por noche. Suponga que la desviacin estndar es 0.6 horas y que la

distribucin de probabilidad es normal.


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a) Cul es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar

duerma ms de ocho horas?

b) De qu una persona tomada aleatoriamente duerma 6 horas o

menos?

c) Los mdicos aconsejan dormir entre siete y nueve horas por noche.

Qu porcentaje de la poblacin duerme esta cantidad?

Entregar esta actividad en formato de Prctica de Ejercicios y sbelo a la plataforma. Recuerda que la actividad vale el 5% de la calificacin final.


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Bibliografa

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadstica para

administracin y economa. (10 ed.). Mxico: Editorial Cengage Learning.

ISBN: 970-686-278-1

Levine, David M., Krehbiel, Timothy C. y Berenson, Mark L. (2012):

Estadstica descriptiva. Mxico: Pearson Educacin

Lind Douglas A., Marchal William G. y Wathen Samuel A. (2008):

Estadstica aplicada a los negocios y la economa. Mxico: McGraw-Hill.

Cibergrafa

ngel, J. Sedano, M. Vila, A. (s.f.). La distribucin normal. Recuperado

de: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Distrib_Normal.pdf

Hernndez, J. (s.f.). Distribuciones de probabilidad para variables

aleatorias. Recuperado de:

http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/distribuciones%

20discretas.pdf

Lejarza, J. (s.f.). Distribucin normal. Recuperado

de: http://www.uv.es/ceaces/pdf/normal.pdf

Sesin No. 7Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables continas.ContextualizacinIntroduccin al TemaExplicacinConclusinPara aprender msActividad de AprendizajeBibliografa

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distribucin normal estndar

variable aleatoria normal

variable normal estndar

curva normal

distribucin uniforme

misma distribucin

normal as

variable aleatoria continua