Como dibujar a estima los diagramas de esfuerzos y la deformada de una estructura sencilla

Índice 1. La carga

2. Relaciones entre q, V y MF

3. Tipo de ley de cortante y flector

4. Pendiente del cortante y el flector

5. Saltos debidos a cargas y momentos puntuales

6. Valor de los esfuerzos en los extremos de la estructura

7. Cómo dibujar los diagramas de esfuerzos a estima

8. Cómo dibujar la deformada a estima

Objetivos • En este tutorial, aprenderás a dibujar, sin hacer cálculos, de forma

estimada, los diagramas de esfuerzos y la deformada de estructuras isostáticas sencillas.

• Ello te servirá para comprender su funcionamiento e identificar los puntos de esfuerzos máximos, que luego puedes calcular por la técnica del corte.

• La técnica que usarás consiste en aplicar las relaciones existentes entre la carga, el cortante y el flector.

• Para estimar la deformada utilizarás la relación entre el flector y la curvatura de esta.

1. La carga • La carga es en principio el único dato del que disponemos. A partir de la

carga dibujarás el cortante, a partir del cortante dibujarás el flector.

• En edificación hay principalmente dos tipos de carga:

1. Cargas (o momentos) puntuales

2. Carga uniforme

NOTA: en edificación también podemos encontrar cargas triangulares (aunque es menos habitual). Por ejemplo, el empuje del terreno en un muro de contención es una carga triangular.

P

La densidad de carga • La densidad de carga es la carga por unidad de longitud. Se designa por q.

• Se mide en kN/m. Una densidad de carga de 30 kN/m (habitual en vigas de edificación) implica que sobre cada metro de viga actúa una carga de 30 kN (3 toneladas).

En las barras con cargas y momentos puntuales, la densidad de carga es nula.

En las barras con cargas uniforme, la densidad de carga es constante (q = cte).

NOTA: en las barras con carga triangular, la densidad de carga es lineal (q = ax+b)

2. Relaciones entre q, V y MF

• La densidad de carga es la derivada del cortante. q = dV/dx.

• El cortante es la derivada del flector. V = dMF/dx

Como la derivada de una función es la pendiente de la curva (o recta) que resulta de representar esa función, se puede concluir que:

• La densidad de carga es la pendiente del cortante en cada punto.

• El cortante es la pendiente del flector en cada punto.

Si la pendiente es positiva, la curva es CRECIENTE

Si la pendiente es negativa, la curva es DECRECIENTE.

Si la pendiente es nula, la curva tiene TANGENTE HORIZONTAL.

NOTA: para el desarrollo teórico de las relaciones entre q, V y MF, consultar el tema 7: esfuerzos-solicitaciones.

3. Tipo de ley de cortante y flector • De las relaciones entre q, V y MF se puede deducir el tipo de ley de cortante y flector

que debe tener la barra en función del tipo de carga.

Si la densidad de carga es nula:

• El cortante es constante en cada tramo.

• El flector es lineal en cada tramo.

Si la densidad de carga es constante:

• El cortante es lineal.

• El flector es una curva de 2º grado.

q = 0

q cte

4. Pendiente del cortante y el flector

La pendiente del cortante en cada punto es la densidad de carga. Como consecuencia:

• Si la densidad de carga es positiva (carga hacia arriba), el cortante es creciente.

• Si la densidad de carga es negativa (carga hacia abajo), el cortante es decreciente.

• Si la densidad de carga es nula, el cortante tiene tangente horizontal.

La pendiente del flector en cada punto es el cortante. Como consecuencia:

• Si el cortante es positivo, el flector es creciente*.

• Si el cortante es negativo, el flector es decreciente*.

• Si el cortante es cero, el flector tiene tangente horizontal.

q < 0 → V decreciente

V

MF

V

tg horizontal

* Nota: como el flector está dibujado al revés (la parte positiva debajo), un flector creciente va hacia abajo.

5. Saltos debidos a cargas y momentos puntuales

• Las cargas puntuales dan lugar a saltos en el diagrama de cortante, y cambios bruscos de pendiente (picos) en el de flector.

• Los momentos puntuales dan lugar a saltos en el diagrama de flector.

Salto de valor P

Pico

Salto de valor M

6. Valor de los esfuerzos en los extremos de la estructura

• En los extremos, el cortante es igual a la reacción o carga puntual que haya aplicada en el extremo

Esta regla se demuestra fácilmente haciendo un corte en los dos extremos, A y B, de la viga, y calculando el cortante por equilibrio.

En la rebanada A, el cortante tiene que equilibrar a la reacción P/3

En el otro extremo, el cortante tiene que equilibrar a la reacción 2P/3. Como la reacción es hacia arriba por la derecha, el cortante será negativo

Diagrama de cortante

Valor de los esfuerzos en los extremos de la estructura

• En los extremos, el momento flector es igual al momento puntual que haya aplicado en el extremo (si no hay momento puntual, el flector en el extremo es nulo).

En el extremo A, flector tiene que equilibrar al momento en el empotramiento (de 160 mkN).

El flector es en este caso, negativo.

En el otro extremo, tan sólo actúa en el trozo considerado una carga uniforme sobre una longitud x que tiende a cero al aproximarse al extremo.

En el extremo, el flector (al no haber otras fuerzas) es cero

A

B

Diagrama de flector

7. Cómo dibujar los diagramas de esfuerzos a estima

• Aplicando las reglas básicas expuestas en los apartados anteriores, podrás dibujar, de forma aproximada, los diagramas de esfuerzos de estructuras isostáticas sencillas.

• Para ello debes seguir los pasos que se explican a continuación:

Ejemplo: dibujar los diagramas de esfuerzos y la deformada de una viga biapoyada con carga uniforme en mitad del vano.

7.1. Dibujar reacciones • Las reacciones se estiman aplicando las ecuaciones de equilibrio.

Resultante de la carga uniforme

• Aplicando equilibrio de momentos respecto a A: como la resultante de la

carga hace un momento horario → RB debe empujar hacia arriba para

contrarrestarlo haciendo un momento antihorario.

• Aplicando equilibrio de momentos respecto a B: análogamente,

obtenemos que RA también empuja hacia arriba.

7.2. Cortante: tipo de ley

• Tramo 1: q = 0 → cortante constante

• Tramo 2: q constante → cortante lineal

Tramo 1

Tramo 2

El tipo de ley de cortante depende de la densidad de carga en cada tramo

7.3. Cortante: valores extremos

• Extremo izquierdo: el cortante en A es igual a la reacción, RA.

• Extremo derecho: el cortante en B es igual a la reacción, RB.

A B

RA RB

7.4. Cortante: pendiente

• Tramo 1: q = 0 → cortante constante

• Tramo 2: q < 0 → cortante decreciente

q < 0

q = 0

7.5. Cortante: saltos

• Como no hay cargas puntuales, no hay saltos en el cortante.

7.6. Dibujar diagrama de cortante

• Con todos los datos recopilados previamente, se dibuja el diagrama de cortante.

V

cte

RA

-RB

7.7 Flector: tipo de ley

• Tramo 1: cortante constante → flector lineal

• Tramo 2: cortante lineal → flector curva de 2º grado (parábola)

Tramo 1 Tramo 2 V

El tipo de ley de flector depende del cortante en cada tramo

Diagrama de cortante

7.8. Flector: valores extremos

• Extremo izquierdo: como no hay momento puntual aplicado en el

extremo, el flector en A es nulo.

• Extremo derecho: como no hay momento puntual aplicado en el extremo,

el flector en B es nulo.

A B

Nota: en general, el flector es nulo en las articulaciones y apoyos (a no ser que haya un momento puntual exterior aplicado, lo cual es infrecuente), y no lo es en los empotramientos.

0 0

7.9. Flector: pendiente

• Tramo 1: cortante positivo → flector creciente

• Tramo 2:

a. Cortante positivo → flector creciente

b. Cortante positivo → flector tangente horizontal

c. Cortante negativo → flector decreciente

7.10. Flector: saltos • Como no hay momentos puntuales, no hay saltos en el flector.

V +

Tramo 1 Tramo 2

b

7.11. Dibujar diagrama de flector

• Con todos los datos recopilados previamente, se dibuja el diagrama de flector.

MF

tang.horiz

MF =0

lineal

2º grado

MF =0

8. Como dibujar la deformada a estima Conocido el diagrama de flector, podrás dibujar la deformada a estima basándote en dos principios básicos:

a) La curvatura de la deformada depende del signo del flector:

Si el flector es positivo, la deformada es cóncava

Si el flector es negativo, la deformada es convexa

Si el flector es nulo, la deformada es una línea recta (curvatura nula)

b) La deformada debe respetar las coacciones que imponen los enlaces:

• En los apoyos, está impedido el desplazamiento en el plano perpendicular al apoyo.

• En las articulaciones, el desplazamiento está impedido.

• En los empotramientos, el desplazamiento y el giro están impedidos.

Articulación Apoyo

Empotramiento

Giro = 0 (tangente horizontal)

Movimiento permitido

8.1 Ejemplo

• El flector es positivo en toda la viga → la deformada es cóncava

• En la articulación y el apoyo no puede haber desplazamiento vertical*.

MF Para dibujar la deformada es necesario obtener antes el diagrama de flector

Dibujar a estima la deformada de la viga biapoyada con carga uniforme en mitad del vano

*Nota: aunque el apoyo permite el desplazamiento horizontal, en este caso este no se produce.

Dibujar la deformada

Curvatura cóncava

En la articulación, el movimiento está impedido

En el apoyo, el movimiento vertical está impedido (el horizontal no se produce con esta carga)

8.2 Otro ejemplo

Dibujar a estima la deformada de la viga biapoyada con un momento puntual en el extremo

Como en el ejemplo anterior, para dibujar la deformada es necesario obtener antes el diagrama de flector

• Flector negativo → curvatura convexa

• Desplazamiento nulo en la articulación y el apoyo

DEFORMADA