tau 2

LINEARNI I NELINEARNI, VREMENSKI KONTINUALNISISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

K?

ISTOČNO SARAJEVO, 2007.

Čedomir S. Milosavljević (1940., s. Jovac, Vladičin Han, Srbija). Osnovnu školu pohađao u s. Jovcu, Vranju i s. Stublu, a srednju (elektroenergetika) diplomirao 1959. u Nišu. Kao tehničar radio u Termoelektrani RTB-Bor. Studije započeo 1960. u Skoplju (elektromašinstvo), nastavio u Nišu (elektro-nika), gde 1962. postaje pogonski inženjer. Kao stipendista EI-Niš (1962.-66.) studije nastavlja u Moskvi, na Moskovskom energet-skom institutu (Fakultet za Automatiku i računarsku tehniku, Profil za automatiku). Kao Dipl. inž. radio u EI-Niš (Fabrika profe-sionalne elektronike (1966.-74.), Istraživačko razvojni institut (1974.-77.)). Magistrirao (1975.) na Elektronskom fakultetu u Nišu iz oblasti automatike (Optimalno upravljanje procesom apsorpcije u apsorberima sa ispu-nom). 1977.-78. godine je profesor Više škole za obrazovanje radnika u Nišu. Od 1978. radi na Elektronskom fakultetu u Nišu. Doktorirao na Elektrotehničkom fakultetu u Sarajevu (1982.) iz oblasti Automatskog upravljanja (Neki problemi diskretne realiza-cije zakona upravljanja sistema sa promen-ljivom strukturom). Osnivač je Katedre za automatiku na Elek-tronskom fakultetu u Nišu i njen šef (1985.-2002.) Organizovao je diplomsku i post-diplomsku nastavu iz oblasti automatike na Elektronskom fakultetu u Nišu.

Autor je osam udžbeničkih publikacija i preko 200, stručnih i drugih radova, objavljenih u poznatim nacionalnim i internacionalnim časopisima ili u zbor-nicima radova naučnih konferencija. Pionir je u istraživanju digitalnih siste-ma promenljive strukture, sa u svetu zapaženim rezultatima (Citation index iznad 100). Autor je V poglavlja: “Discrete-Time VSS” u monografiji: “Variable structure systems: from prin-ciples to implementation”, Ed.: A. Ša-banović, L. Fridman, S. Spurgeon, The IEE Press, London, 2004. Osnivač je Laboratorije za automatiku na Elektronskom fakultetu. Konstruisao je oko 50 uređaja i sistema iz oblasti automatike za lab. vežbe studenata i za industrijsku proizvodnju a neki od njih su bili u serijskoj proizvodnji (servosta-bilizatori mrežnog napona, tiristorski stabilizatori napona, tiristorski regula-tori brzine obrtanja jednosmernih mo-tora, regulatori temperature, frekventni regulatori brzine obrtanja asinhronih motora i dr.). Kao mentor uspešno je vodio veliki broj diplomaca, 12 magistranata i četiri doktoranta. Kao gostujući profesor od 1997. god. izvodi nastavu iz Teorije au-tomatskog upravljanja na Elektroteh-ničkom fakultetu u Istočnom Sarajevu. Recenzent je časopisa: Automatica Internacionalne federacije za automa-tiku (IFAC); IEEE Trans. on Automatic Control, IEEE Trans. on Industrial electronics i dr. Bio je External exa-miner jedne doktorske disertacije na Indian Institut of Technology, Bombay. Jedan je od osnivača Društva za ener-getsku elektroniku u N. Sadu, član je Programskog odbora konferencija: Ee, N. Sad i CONTI Temišvar, Rumunija.

Detaljne reference videti na sajtu: http://www.elfak.ni.ac.yu/phptest/new/licne_prezentacije/cedomir_milosavljevic/index.htm

http://www.elfak.ni.ac.yu/phptest/new/licne_prezentacije/cedomir_milosavljevic/index.htm



KRATAK SADRŽAJ

Predgovor

Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1

Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45

Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91

Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133

Glava 6: Metoda faznog prostora 143

Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157

Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema 169

Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja 203 Registar 239

a

DETALJAN SADRŽAJ

Predgovor

Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1 1.1 Uvod 1 1.2 Modelovanje mehaničkih sistema 2 1.3 Metoda prostora stanja sistema 8 1.3.1 Matrični model linearnih električnih mreža 11 1.4 Transformacija matematičkih modela iz prostora stanja u kompleksni domen 14 1.4.1 Primena MATLAB-a za transformacija modela iz prostora stanja - kompleksni domen 16 1.5 Transformacija modela ulaz-izlaz u prostor stanja. Računarska simulacija dinamičkih sistema 18 1.5.1 Simulacija dinamičkih sistema na osnovu funkcije prenosa 22 1.5.1.1 Direktno programiranje 22 a) Kanonička kontrolabilna forma 22 b) Modifikovana kanonička forma 24 c) Kanonička opservabilna forma 25 1.5.1.2 Redno programiranje 30 a) Redno programiranje sistema bez konačnih nula 30 b) Redno programiranje sistema s konačnim nulama 31 1.5.1.3 Paralelno programiranje 34 a) Funkcija prenosa ima proste polove. Dijagonalna forma 34 b) Funkcija prenosa ima višestruke polove. Blok-dijagonalna forma 35 1.5.2 MATLAB transformacija modela ulaz-izlaz - prostor stanja 38 Literatura 40 Pitanja za samoproveru 40 Zadaci za vežbu 42

Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45 2.1 Fundamentalna matrica i odziv sistema 45 2.1.1 Primena MATLAB-a za nalaženje odziva sistema 47 2.2 Diskretni model vremenski kontinualnog sistema 48 2.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju modela u diskretni domen 50 2.3 Fundamentalna matrica Džordanove submatrice 51 2.4 Fundamentalna matrica kompanjon forme 52 2.5 Transformacija modela u prostoru stanja 55 2.5.1 Svođenje sistema na dijagonalnu formu 56 2.5.1.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u dijagonalnu formu 57

a 2.5.2 Svođenje sistema na kanoničku kontrolabilnu formu 58

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 2.5.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u kontrolabilnu formu 60 2.5.3 Svođenje sistema na Džordanov oblik 60 2.5.3.1 Primena MATLAB-a za svođenje na Džordanov oblik 62 2.6 Procesi u linearnim SAU 62 Literatura 64 Pitanja za samoproveru 65 Zadaci za vežbu 66

Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67 3.1 Uvod 67 3.2 Kontrolabilnost (Upravljivost) 68 3.2.1 Kontrolabilnost vremenski diskretnih sistema 69 3.2.2 Kontrolabilnost vremenski kontinualnih sistema 70 3.2.2.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje kontrolabilnosti 71 3.2.3 Kontrolabilnost izlaza sistema 72 3.3 Opservabilnost (stanjemerljivost) sistema 72 3.3.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje opservabilnosti 3.4 Princip dualnosti 73 3.5 Alternativni testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti 74 3.5.1 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala) 74 3.5.2 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu kanoničke dijagonalne forme 75 3.5.3 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti u s-domenu 76 3.6 Superkontrolabilnost 78 3.7 Dekompozicija sistema 78 3.7.1 Primena MATLAB-a za dekompoziciju sistema 80 3.8 Stabilizabilnost sistema 81 3.9 Zadatak minimalne realizacije 82 3.10 Prostor stanja i stabilnost sistema 83 3.10.1 Druga (direktna) metoda Ljapunova 83 3.10.1.1 Primena MATLAB-a za ispitivanje stabilnosti sistema 86 Literatura 87 Pitanja za samoproveru 87 Zadaci za vežbu 89

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91 4.1 Uvod 91 4.2 Povratna sprega po stanju ili po izlazu 91 4.2.1 Sistem s povratnom spregom po stanju 92 4.2.2 Sistem s povratnom spregom po izlazu 93 4.3 Projektovanje povratne sprege po stanju 93 4.3.1 Izbor spektra polova 93 4.3.2 Podešavanje spektra polova sistema 94 4.3.2.1 Sistemi sa skalarnim upravljanjem 95 4.3.2.2 Akermanova formula 98 4.3.2.2.1 MATLAB i Akermanova formula 4.3.3 Sistemi s vektorskim upravljanjem 99

b

TAU-2: Sadržaj 4.3.3.1 Prvi način sinteze - svođenje na skalarni slučaj 99 4.3.3.2 Drugi način sinteze - slučaj prostih sopstvenih vrednosti 100 4.3.3.2.1 MATLAB i podešavanje polova 102 4.3.3.3 Treći način sinteze - opšti slučaj 105 4.4 Projektovanje optimalne povratne sprege po stanju 111 4.4.1 MATLAB i optimalna povratna sprega 4.5 Sinteza neinteraktivnih sistema. Rasprezanje 116 4.5.1 Metoda Boksenboma i Huda 117 4.5.2 Rasprezanje kombinovanim kompenzatorom 121 4.6 Opserveri. Sinteza opservera 122 Literatura 129 Pitanja za samoproveru 130 Zadaci za vežbu 131

Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133 5.1 Uvod 133 5. 2 Strukturna blok-šema nelinearnih SAU 134 5.3 Tipične nelinearnosti i njihove karakteristike 135 5.4 Matematički modeli nelinearnih elemenata 137 5. 5 Linearizacija nelinearnih elemenata 138 5.5.1 Satička linearizacija 138 5.5.2 Diferencijalna linearizacija 138 5.5.3 harmonijska linearizacija 138 5.5.4 Stohastička linearizacija 139 Literatura 141 Pitanja za samoproveru 141 Zadaci za vežbu 142

Glava 6: Metoda faznog prostora 143 6.1 Pojam faznih trajektorija, fazne ravni i faznog portreta 143 6.2 Osobine faznih trajektorija 144 6.3 Jednačine faznih trajektorija 144 6.4 Načini konstrukcije faznih trajektorija 146 6.5 Fazni portreti linearnih sistema 146 6.6 Singularne fazne trajektorije 150 Literatura 154 Pitanja za samoproveru 155 Zadaci za vežbu 156

Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157 7.1 Uvod 157 7.2 Određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije 159 7.3 Primena kriterijuma Mihajlova za utvrđivanje parametara samooscilacija 162 7.4 Primena kriterijuma Nikvista za utvrđivanje parametara samooscilacija. Metoda Goljdfarba 163 Literatura 167 Pitanja za samoproveru 167

c Zadaci za vežbu 168

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2 Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema 169 8.1 Definicija stabilnosti nelinearnih sistema 169 8.2 Definicija stabilnosti po Ljapunovu 172 8.2.1 Prva (indirektna) metoda Ljapunova 175 8.2.2 Druga (direktna) metoda Ljapunova 177 8.3 Lurjeov problem 181 8.4 Frekvencijska metoda Popova 184 8.4.1 Geometrijska interpretacija kriterijuma Popova 187 8.4.2 Modifikacija kriterijuma stabilnosti Popova 189 8.4.2.1 Cipkinov parabolični kriterijum apsolutne stabilnosti 190 8.4.3 Apsolutna stabilnost sistema sa nestacionarnom nelinearnošću 192 8.5 Stabilnost prinudnih procesa u nelinearnim sistemima 193 Literatura 199 Pitanja za samoproveru 199 Zadaci za vežbu 201

Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja 203 9.1 Klasični nelinearni zakoni upravljanja 203 9.1.1 Dvopozicioni regulatori 203 9.1.1.1 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu

prvog reda bez kašnjenja 205 9.1.1.2 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 207 9.1.1.3 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na astatičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 208 9.1.1.4 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu prvog reda bez kašnjenja 208 9.1.1.5 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 209 9.1.1.6 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na statičkom objektu prvog reda s kašnjenjem 213 9.1.1.7 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu drugog reda 213 9.1.1.8 Dvopozicioni impulsni regulator 214 9.2 Zakoni upravljanja promenljive strukture. Klizni režimi 215 9.2.1 Uvod 215 9.2.2 SUPS Jemeljjanova s kliznim režimom. Kvazirelejni algoritam upravljanja 217 9.2.3 Relejni algoritam upravljanja 221 9.2.4 Kombinovani i drugi algoritmi upravljanja 223 9.2.5 Metoda ekvivalentnog upravljanja 230 9.2.5.1 Skalarno upravljanje 230 9.2.5.2 Vektorsko upravljanje 232 Literatura 236 Pitanja za samoproveru 236 Zadaci za vežbu 238 Registar 239

d

PREDGOVOR

Teorija automatskog upravljanja (TAU) - naučno-tehnička disciplina s burnim razvojem u drugoj polovini XX veka. Ova knjiga je udžbenik za predmet pod nazivom TAU-2, za studente Elektrotehničkog fakulteta Univerziteta u Istočnom Sarajevu, gde je autor izvodio nastavu u proteklom desetogodišnjem periodu u okviru predmeta: TAU, za studente profila Automatika i elektronika i Sistemi automatskog upravljanja (SAU), za studente profila Elektroenergetika. Prelaskom na Bolonjski proces studiranja, nastava iz TAU odvija se u dva jednosemestralna predmeta: TAU-1 i TAU-2. Prvi predmet obuhvata klasičnu teoriju vremenski kontinualnih SAU, u kojoj se analiza i sinteza vrši u kompleksnom domenu, primenom funkcija prenosa sistema odnosno modela ulaz-izlaz. Drugi predmet obuhvata oblast koja se može nazvati savremena teorija vremenski kontinualnih SAU i sastoji se iz dve tematske celine: koncepcija prostora stanja u analizi i sintezi linearnih sistema upravljanja (četiri poglavlja) i osnove teorije nelinearnih sistema upravljanja (pet poglavlja). U prvom poglavlju - Matematičko modelovanje dinamičkih sistema- opisane su metode za dobijanje matematičkih modela dinamičkih sistema u prostoru stanja. Najpre se daju Lagranžeove jednačine kao najpogodniji način za dobijanje matematičkih modela mehaničkih (i ne samo mehaničkih) dinamičkih sistema. Na nekoliko primera linearnih i nelinearnih sistema prikazan je postupak primene ovog načina. Zatim se prikazuje jedan postupak za dobijanje matematičkog modela u prostoru stanja linearnih električnih mreža, a koji se uspešno može koristiti i za mehaničke i elektromehaničke sistema uz primenu elektromehaničkih analogija. Nakon dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja, daje se postupak transformacije tog modela u model ulaz-izlaz. U

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja -2

drugom delu ovog poglavlja obrađeni su postupci transformacije matematičkog modela ulaz-izlaz u model u prostoru stanja putem tzv. metoda programiranja analognih računara. Na taj način se delimično dotiču problemi simulacije dinamičkih sistema na računarima. S obzirom na to da današnji personalni računari imaju mogućnost imitacije rada analogmnih računara, ova oblast modelovanja je od izuzetne važnosti za savremene inženjere. Detaljno su obrađene tehnike direktnog, rednog i paralelnog programiranja i neke njihove modifikacije. Na nizu primera prikazuju se postupci primene ovih tehnika za dobijanja matematičkih modela sistema u prostoru stanja. Savremena softverska podrška omogućava brza i tačna rešavanja niza praktičnih problema iz područja upravljanja na personalnim računarima. Zbog toga su u ovom kursu uključeni elementi MATLAB-a, jednog od najpoznatijih softverskih paketa za sisteme upravljanja. U ovom poglavlju su dati instrukcije i primeri za primenu MATLAB-a u transformaciji modela iz prostora stanja u funkciju prenosa, kao i transformacije funkcije prenosa u model u prostoru stanja. Drugo poglavlje - Odzivi sistema u prostoru stanja- je posvećeno nalaženju odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja. Najpre se definiše fundamentalna matrica sistema i njen oblik za kanoničku dijagonalni formu matematičkog modela sistema. Zatim se definišu impulsni i odskočni odzivi sistema u prostoru stanja i odziv na bilo koju pobudu uz istovremeno delovanje i početnih uslova. Takođe se uvodi diskretni model vremenski kontinualnog sistema. U nastavku su izvedene relacije za određivanje fundamentalne matrice za blok-dijagonalnu (Džordanovu) formu i kompanjon formu matrice stanja. S obzirom na pogodnosti primene različitih modela u analizi i sintezi, date su metode za transformaciju matematičkih modela u prostoru stanja: svodjenje na dijagonalnu formu, svodjenje na kanoničku kontrolabilnu formu i svodjenje na blok-dijagonalnu formu. Poglavlje se završava analizom procesa u linearnom sistemu. Sva teorijska izlaganja su propraćena odgovarajućim numeričkim primerima. Takođe su dati MATLAB prilazi za određivanje odziva sistema i transformaciju matematičkih modela u prostoru stanja. Treće poglavlje- Prostor stanja i osobine sistema- je posvećeno osobinama sistema proisteklim iz koncepcije prostora stanja sistema kao što su: kontrolabilnost, opservabilnost, stabilizabilnost. Najpre je dat kraći istorijski osvrt njihovog nastanka, a zatim su izvedeni uslovi kontrolabilnosti vremenski diskretnih i vremenski kontinualnih sistema; uslovi opservabilnosti, princip dualnosti, dekompozicija sistema, stabilizabilnost, minimalna realizacija. Poglavlje se završava analizom stabilnosti sistema u prostoru stanja na osnovu direktne metode Ljapunova. Kao i u prethodna dva poglavlja izlaganje je propraćeno nizom numeričkih primera i instrukcijama za primenu MATLAB-a u određivanju kontrolabilnosti, opservabilnosti, dekompozicije i stabilnosti sistema. Četvrto poglavlje - Sinteza sistema u prostoru stanja - započinje analizom primene povratne sprege po stanju i povratne sprege po izlazu. Zatim se raz-matra problem podešavanja sopstvenih vrednosti sistema uvodjenjem povratne

ii

Predgovor

sprege po stanju. Date su dve metode projektovanja sistema sa skalarnim upravljanjem. Prva metoda je izvedena preko kanoničkog kontrolabilnog mode-la sistema, a druga koristi Akermanovu formulu. Za projektovanje sistema sa vektorskim upravljanjem daju se tri načina sinteze. Prvi svodi problem na skalarni slučaj. Drugi prilaz se odnosi na sisteme sa zahtevanim prostim sopstvenim vrednostima, dok je treći - opšti prilaz koji se može primeniti kako za proste tako i za višestruke zahtevane sopstvene vrednosti. Dalje se izlaže projektovanje optimalne povratne sprege (Kalmanovog regulatora), sinteza raspregnutih sistema, gde si izlažu dva prilaza: metoda Boksenboma i Huda, pogodna za sisteme sa manjim brojem ulaza i izlaza i model sistema ulaz-izlaz i kombinovana metoda za primenu na modele u prostoru stanja. Poglavlje se završava sintezom opservera. Sva izlaganja su propraćena adekvatnim numeričkim primerima i primerima korišćenja MATLAB-a u sintezi povratne sprege po stanju i Kalmanovog regulatora. U petom poglavlju - Uvod u nelinearne SAU - date su osnovne odlike nelinearnih u odnosu na linearne SAU, tipizacija nelinearnih elemenata, matematičko modelovanje istih i metode linearizacije nelinearnih elemenata. Šesto poglavlje - Metoda faznog prostora- je skoncentrisano na faznu ravan i definiciju osnovnih tipova faznih portreta linearnih sistema, na odlikama faznih portreta nelinearnih sistema kao i na mogućnost kompozicije faznih portreta nelinearnih sistema na osnovu faznih portreta linearnih sistema. Na jednom primeru je detaljno pokazan način kompozicije faznih portreta sa različitim tipovima nelinearnih elemenata u upravljačkom delu sistema. Sedmo poglavlje- Metoda harmonijske linearizacije - je posvećeno jednoj inženjerskoj metodi analize nelinearnih sistema u kojima je oscilatorni režim normalni radni režim rada, a zadatak se svodi na određivanju parametara samooscilacija. Najpre je definisana opisna funkcija nelinearnih elemenata, zatim način određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije. Zatim se daju dve metode za utvrđivanje egzistencije samooscilacija u sistemu: prva je zasnovana na kriterijumu stabilnosti Mihajlova, a druga - na kriterijumu stabilnosti Nikvista. Daju se numerički primeri određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije i nalaženja parametara samooscilacija u sistemu. Osmo poglavlje - Stabilnost nelinearnih sistema - detaljno obrađuje osnovne probleme u analizi stabilnosti nelinearnih SAU. Izložene su osnovne istorijske činjenice u vezi sa ovom složenom materijom u okviru kojih su istaknute hipoteze Ajzermana i hipoteza Kalmana, zatim su obrađene indirektna i direkt-na metoda Ljapunova, Lurjeov problem u određivanju funkcije Ljapunova sa prilogom Lefšeca i Lasala. Detaljno je izvedena frekvencijska metoda Popova za sisteme sa stabilnim i njene modifikacije za sisteme sa nestabilnim linearnim delom. Poglavlje se završava analizom stabilnosti procesa neautonomnog nelinearnog sistema. Materija je ilustrovana brojnim numeričkim primerima. U poslednjem, devetom poglavlju - Nelinearni zakoni upravljanja - dati su neki nelinearni zakoni upravljanja, U prvom delu su analizirani sistemi sa dvopozicionim regulatorima sa ili bez histerezisa u upravljanju statičkim ili

iii


astatičkim objektima prvog reda sa ili bez transportnog kašnjenja. Osnovna pažnja je posvećena određivanju parametara samooscilacija u sistemu. U drugom delu su dati osnove teorije sistema upravljanja promenljive strukture kao jedne podklase nelinearnih sistema sa relejnim upravljanjem. Sva izlaganja su propraćena numeričkim primerima i simulacionim rezultatima. Svako poglavlje u knjizi se završava spiskom korišćene literature za to poglavlje. Posebno treba istaći da se na kraju svakog poglavlja nalaze Pitanja za samoproveru znanja i Zadaci za vežbu. Pitanja za samoproveru su tako koncipirana da se na njih može odgovarati ako se dobro poznaje materija predmetnog poglavlja. To su ustvari iskazi u kojima su izostavljene pojedine ključne reči koje treba student da unese. Ova pitanja - iskazi- mogu poslužiti kao test pitanja prilikom polaganja kolokvijuma ili ispita. Zadaci za vežbu se mogu koristiti kao domaći zadaci koje studenti rešavaju u procesu učenja. Ova knjiga se bazira na materiji izloženoj u knjigama Osnovi automatike - I deo (koncepcija prostora stanja) i Osnovi automatike - II deo u izdanju Elektronskog fakulteta u Nišu i Elektrotehničkog fakulteta u Istočnom Sarajevu, 2002. godine. Pored ispravke uočenih grešaka, u ovoj knjizi su unete brojne izmene kao što su uvođenje elemenata primene MATLAB-a u analizi i sintezi sistema, nove opšte metode za sintezu povratne sprege po stanju, proširen je broj numeričkih primera, uvedena su Pitanja za samoproveru znanja i Zadaci za vežbu. U procesu učenja kod studenata postoje dva prilaza. Dominantan prilaz je da se učenje odvija putem rešavanja numeričkih zadataka bez dubljeg ulaženja u teoriju. Drugi prilaz je da se najpre dobro izuči teorija a da se provera usvoje-nosti gradiva vrši na numeričkim primerima. Dugogodišnje nastavno iskustvo autora je pokazalo da prvi prilaz učenju ne daje dobre rezultate. Moj savet studentima je da se orjentišu na drugi način osvajanja znanja iz ove (i drugih) oblasti. Osim toga, proces studiranja podrazumeva svestrano izučavanje odgo-varajuće oblasti putem praćenja klasične i savremene literature. Ako se u procesu učenja najpre redovno pohađaju sva predavanja i vežbe i na njima aktivno sudeluje vođenjem beležaka, postavljanjem pitanja i aktivnim učešćem u rešavanju zadataka na auditornim vežbama; izučavanjem tih beležaka istog dana nakon nastave, uz konsultaciju sa osnovnim udžbenikom i drugom dostupnom literaturom, tada je za završnu pripremu ispita potrebno samo nekoliko dana na osnovu beležaka, odnosno ispit se uspešno završava putem kolokvijuma i domaćih zadataka. Avgusta 2007. Autor

iv

Glava 1: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema 1.1 Uvod 1

1.2 Modelovanje mehaničkih sistema 2

1.3 Metoda prostora stanja sistema 8

1.3.1 Matrični model linearnih električnih mreža 11

1.4 Transformacija matematičkih modela iz prostora stanja

u kompleksni domen 14 1.4.1 Primena MATLAB-a za transformacija modela

iz prostora stanja - kompleksni domen 16

1.5 Transformacija modela ulaz-izlaz u prostor stanja.

Računarska simulacija dinamičkih sistema 18

1.5.1 Simulacija dinamičkih sistema na osnovu funkcije prenosa 22 1.5.1.1 Direktno programiranje 22

a) Kanonička kontrolabilna forma 22

b) Modifikovana kanonička forma 24

c) Kanonička opservabilna forma 25

1.5.1.2 Redno programiranje 30

a) Redno programiranje sistema bez konačnih nula 30

b) Redno programiranje sistema s konačnim nulama 31

1.5.1.3 Paralelno programiranje 34

a) Funkcija prenosa ima proste polove. Dijagonalna forma 34

b) Funkcija prenosa ima višestruke polove. Blok-dijagonalna forma 35

1.5.2 MATLAB transformacija modela ulaz-izlaz - prostor stanja 38

Literatura 40

Pitanja za samoproveru 40

Zadaci za vežbu 42

Glava 1.

MATEMATIČKO MODELOVANJE DINAMIČKIH SISTEMA

1.1 Uvod U prethodnom kursu »Teorija automatskog upravljanja-1« istaknut je značaj matematičkog modelovanja sistema automatskog upravljanja kao dinamičkih sistema radi njihove naučne (matematičke) analize i sinteze. Istaknuto je da se matematički modeli dinamičkih sistema dobijaju na dva načina: (i) na osnovu primene fiziko-hemijskih zakona na procese koji se odvijaju u sistemu i (ii) na osnovu eksperimentalnih ogleda. Kod linearnih dinamičkih sistema matematički model se može zadavati u dva osnovna oblika: (i) u obliku funkcija prenosa ili (ii) u obliku diferencijalnih jednačina. Kada se radi o nelinearnim dinamičkim sistemima, modelovanje primenom funkcija prenosa nije moguće, osim kao simbolički prikaz, već se isključivo mora koristiti modelovanje pomoću difren-cijalnih jednačina koje postaju nelinearne. Jedan poseban oblik zapisivanja diferencijalnih jednačina je tzv. normalan Košijev oblik, kada se na levoj strani nalaze prvi izvodi promenljivih sistema. Njegova primena na dinamičke sisteme je korišćena još u 19. veku. Međutim, u prvoj polovini 20. veka, kada su intenzivno izučavani procesi u linearnim sistemima upravljanja, dominantan način modelovanja sistema je bio putem funkcija prenosa, tj. analiza i sinteza sistema upravljanja se vršila u kompleksnom, odnosno frekvencijskom domenu. Sadržaj kursa »Teorija automatskog upravljanja-1« bio je u celosti posvećen analizi i sintezi sistema u tom domenu. U drugoj polovini 20. veka, u vezi sa intenzivnim razvojem sistema upravljanja i njihove primene za rešavanje problema vođenja složenih, nelinear-nih procesa, sve više se koristi modelovanje, analiza i sinteza sistema u vremenskom domenu, korišćenjem diferencijalnih jednačina kao prirodnog matematičkog prilaza. Upotrebom Košijeve normalne forme kao oblika zapisivanja diferencijalne jednačine, kod sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom, odnosno sistema diferencijalnih jednačina, kod sistema sa više ulaza i više izlaza, dovodi do intenzivnog korišćenja matrično-vektorskog prilaza u

^. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

2

opisivanju sistema, što je rezultovalo uvođenjem prostora stanja sistema kao kompaktnog oblika matematičkog modelovanja dinamičkih sistema. U nastavku ovog poglavlja najpre ćemo dati jedan opšti postupak dobijanja matematičkog modela mehaničkih sistema primenom Lagranžeovih jednačina, na osnovu kojih se može lako dobiti model u Košijevom normalnom obliku. Nakon toga biće date osnovne definicije modela sistema u prostoru stanja i pokazati kako se dobija model u prostoru stanja linearnih električnih mreža. Zatim ćemo dati postupak transformacije linearnog matematičkog modela iz prostora stanja u kompleksni domen u cilju korišćenja metoda analize i sinteze sistema upravljanja u kompleksnom domenu. Drugi deo ovog poglavlja je posvećen transformaciji linearnih modela iz kompleksnog domena u prostor stanja. Radi toga se najpre uvodi simulacija dinamičkih sistema na računaru i tehnike programiranja analognih računara koje će nam pomoći da dobijamo različite pogodne modele u prostoru stanja za linearne dinamičke sisteme. 1.2 Modelovanje mehaničkih sistema Najopštiji način modelovanja mehaničkih sistema1 je primena Lagranžeove jednačine, koja predstavlja sistem od n diferencijalnih jednačina drugog reda, koje opisuju dinamiku sistema pomoću generalisanih koordinata qi i generali-sanih brzina iq& . Lagranžeova jednačina u vektorskom obliku, za slobodan konzervativan sistem, je:

Qq

qqq

qq=

∂∂

−

∂

∂ ),(),(dd &

&

& kk WWt

, (1.1)

a u skalarnom obliku:

.,1 ,dd niQ

qW

qW

t ii

k

i

k ==∂∂

−

∂∂&

(1.2)

U ovim izrazima su: Wk - ukupna kinetička energija sistema koja je skalarna veličina, a Q-generalisana sila, n - je broj stepena slobode mehaničkog sistema. Ako sistem nije konzervativan, tada Lagranžeova jednačina ima oblik

kqq

qqq

qqq

=∂

∂+

∂∂

−

∂

∂&

&&

&

& )(),(),(dd DLLt

, (1.3)

ili

.,1 ,)(),(),(dd nik

qD

qL

qL

t iiii

==∂

∂+

∂∂

−

∂

∂&

&&

&

& qqqqq . (1.4)

U ovim izrazima su: ),( qq &L - Lagranžeova funkcija, koja predstavlja razliku između kinetičke ),( qq &kW i potencijalne Wp(q) energije sistema, tj. )(),(),( qqqqq pk WWL −= &)& , (1.5) a )(q&D - je disipativna Relejeva funkcija 1 Ovaj prilaz se može primeniti i na druge fizičke sisteme.

Glava 1.: Matematičko modelovanje dinamičkih sistema

3

[ ]nT

n

iii bbbqbD ,...,,diag;

21

21)( 21

1

2 === ∑=

BqBqq &&&& , (1.6)

k - vektor spoljašnjih sila, bi-koeficijent viskoznog trenja. Primer 1.1. Razmotrimo mehanički sistem koji se sastoji od tela mase m koje se pod dejstvom sile F translatorno kreće brzinom v, u sredini bez trenja. Ukupna kinetička

a) b)

Sl. 1. 1. Grafički prikazi sistema iz primera 1.1.

energija sistema je 2

21 mv , potencijalna

energija je ravna nuli. Lagranžova jednačina je:

FdtdvmFmv

vt=⇒=

∂∂ ))

21((

dd 2 ,

što predstavlja Njutnov zakon: sila je proizvod mase i ubrzanja.

Primenjujući Laplasovu transformaciju na ovu relaciju, pri nultim početnim uslovima, i razrešavajući je u odnosu na brzinu V(s) dobija se

)(1)( sFsm

sV = ,

što se može predstaviti blok dijagramom ili signalnim grafom kao na sl. 1.1.

Nulti početni uslovi ukazuju na to, da u sistemu nije bilo akumulirane ener-gije u trenutku dovođenja ulaznog signala. U posmatranom slučaju to znači da je telo mirovalo do trenutka delovanja sile. Primer 1.1 je prost primer u kome sistem čini samo jedan element. Razmotrimo sada složeniji mehanički sistem koji se sastoji iz više elemenata.

Primer 1.2. Primenićemo Lagranžeovu jednačinu za dobijanje matematičkog mo-dela mehaničkog sistema sastavljenog iz dve rotirajuće mase momenata inercije J1 i J2, spojene međusobno elastičnom spregom koeficijenta krutosti k12

2, a koje rotiraju u sredini gde postoji viskozno trenje okarakterisano koeficijentima viskoznog trenja b1, b2.. Na date mase deluju spoljašnji momenti M1 i M2, sl. 1.2. U ovom slučaju brzine i generalisane koordinate su: ;; 2211 ω=ω= qq &&

Sl. 1.2 . Šematski prikaz mehaničkog sistema s dve mase.

222111 ; θ=ω=θ=ω= ∫∫ dtqdtq . Ukupna kinetička energija je

)(5,0 222

21121 ω+ω=+= JJWWW kkk ,

a potencijalna, usled elastične veze (opruge), je

22112 )(5,0 θ−θ= kWp .

Funkcija Lagranža (1.5) je

θθ

=θ=

ωω

=ω=θ−θ−ω+ω=2

1

2

122112

222

211 ;];)([

21),( qqqq && kJJL .

Relacija (1.4) se može sada napisati u obliku

2 Često se koeficijent krutosti k pogrešno poistovećuje s koeficijentom elastičnosti.


4

;][

21

)(21))((

21[

dd

222

211

22112

222

211

22112

222

211

M

][

=ω+ωω∂∂

+

θ−θ−ω+ωθ∂∂

−θ−θ−ω+ωω∂∂

bb

kJJkJJt

odnosno

.)(

, )(

21221122

2

11121121

1

Mbkdt

dJ

Mbkdt

dJ

−=ω+θ−θ−ω

=ω+θ−θ+ω

Pri izvođenju ovog modela vodilo se računa o smeru delovanja spoljašnjih sila, u datom slučaju: momenta M1 koji deluje u smeru brzine ω1 i momenta M2, koji deluje suprotno od smera brzine ω2, pa nosi znak minus. Prethodne relacije se mogu napisati u Košijevom normalnom obliku3

,)(1

,)(1

22

221

2

122

2

2

11

121

1

121

1

1

ω−θ−θ+−=ω

ω−θ−θ−=ω

Jb

Jk

MJdt

dJb

JkM

Jdtd

(1.7)

ili u operatorskom obliku, nakon primene Laplasove transformacije,

[ ]

[ ]. )())()(()(1)(

, )())()(()(1)(

22211222

2

11211211

1

sbssksMsJ

s

sbssksMsJ

s

Ω−θ−θ+−=Ω

Ω−θ−θ−=Ω

Strukturna blok-šema i graf toka signala ovog sistema prikazani su na sl. 1.3a i b, respektivno

Sl. 1.3 Strukturna blok-šema (a) i graf toka signala (b)

mehaničkog rotacionog sistema s dve mase. 3 Gore je rečeno da se primenom Lagranžovih jednačina dobija n jednačina drugog reda. Ako se uzme u obzir da je ugaona brzina izvod ugla po vremenu, ove jednačine će postati jednačine drugog reda.


5

Prethodni primeri su bili primeri koji se mogu modelovati linearnim diferencijalnim jednačinama. Razmotrimo sada dva primera čije modelovanje dovodi do nelinearnih difrencijalnih jednačina. Primer 1.3 Na sl. 1.4 prikazan je mehanički sistem. Telo mase m1 se pod dejstvom sile F kreće translaciono duž x- ose bez trenja. Za to telo je, preko štapa, čija se masa može zanemariti, obešeno telo mase m2, koje se u trenutku posmatranja nalazi pod uglom θ u odnosu na vertikalnu y-osu. Na telo m2 deluje zemljina teža. Odrediti matematički model ovog sistema.

Sl. 1.4. Mehanički sistem sa kombinovanim kretanjem.

U posmatranom sistemu imamo kombinovano kretanje: translaciono i rotaciono. Masa m1 se kreće translaciono pa je njena kinetička energija

211 2

1xk vmW = . (1.8)

Masa m2 kreće se translaciono, brzinom vx, i rotaciono, brzinom θ=ω & . S obzirom na to da je ova masa vezana za štap koji se ne deformiše, ona ima samo jedan stepen slobode i kreće se po kružnoj putanji poluprečnika l. Tangencijalna komponenta brzine usled lučnog kretanja je ω=θ lv , (1.9) a njene projekcije na x i y osu su:

. sin,cos

θ=θ=

θθ

θθ

vvvv

y

x (1.10)

Rezultujuća brzina centra mase m2 je θω+ω+=++= θθ cos2)( 222222 lvlvvvvv xxyxxc . (1.11) Stoga je kinetička energija mase m2

θω+ω+== cos21

22 222

2

2

2

2

22 xxc

k vlmlmv

mv

mW . (1.12)

Ukupna kinetička energija sistema je

θω+ω++=+= cos21)(

21

222

22

2121 xxkkk vlmlmvmmWWW . (1.13)

Primena Lagranžeove jednačine daje: - za kretanje duž x ose


6

Fvlmlmvmm

x

vlmlmvmmvdt

d

xx

xxx

=

θω+ω++

∂∂

−

θω+ω++

∂∂

cos21)(

21

cos21)(

21

222

22

21

222

22

21

(1.14)

[ ] ⇒=θω++ Flmvmmt x cos)(

dd

221

Flmlmxmm =θω−θθ++ sincos)( 22211

&&& . (1.15) - za kružno kretanje

Gxx

xx

Mvlmlmvmm

vlmlmvmmt

=

θω+ω++

∂θ∂

−

θω+ω++

∂ω∂

cos21)(

21

cos21)(

21

dd

222

22

21

222

22

21

(1.16)

θ=θω+

θθ−θ+ω

⇒=θω+θ+ω

sinsindd)sin(cos

sin]cos[dd

22222

2

222

2

glmlvmt

lvmvlmlm

Mlvmlvmlmt

xxx

Gxx

&&

(1.17)

0sin)(cos =θ−θ+θ⇒ gxl &&&& . (1.18) Prema tome, posmatrani mehanički sistem se opisuje sledećim matematičkim modelom4

.0sincos

,sincos)( 22221

=θ−θ+θ

=θθ−θθ++

gxl

Flmlmxmm&&&&

&&&&& (1.19)

Kao što se vidi (1.19) je sistem od dve nelinearne diferencijalne jednačine drugog reda. Uvodeći oznake: 121121 ; ; , θ=θ=== && θθxxxx , (1.19) se može zapisati u Košijevom normalnom obliku:

4 Do istog rezultata može se doći i primenom drugog zakona mehanike i Dalamberovog principa. Sile koje deluju duž x-ose su: aktivna sila F i sile inercije masa m1 i m2. Međutim, i sila teže G, iako deluje vertikalno, dovodi do lučnog kretanja mase m2 pa će zbog toga postojati horizontalna projekcija sile inercije usled ovog lučnog kretanja. Tangencijalna brzina lučnog kretanja je θ=θ

&lv , a njena projekcija na x-osu je θθ=θ cos&lv x . S toga je komponenta ubrzanja

duž x-ose θθ−θθ==ε θθ sincosd/d 2&&& lltv xx . Komponenta sile inercije mase m2 duž x-ose usled tangencijalnog ubrzanja je xx mF θθ ε= 2 . Druge dve sile inercije duž x- ose su xmFxmF xmxm &&&& 2211 ; == . Jednačina ravnoteže sila duž x-ose je FFFF xxmxm =++ θ21 , što daje prvu relaciju u (1.19). S druge strane, tangencijalna komponenta sile inercije usled kretanja mase m2 duž ose x je θ=θ=θ coscos 22 xmFF xmx && . Moment ove sile u odnosu na tačku oko koje rotira masa m2 je θ=θ cos2 xlmM x && , a moment inercije usled rotacionog kretanja

je θ=θ=θ&&&& 2mlJM . Moment usled sile teže G je θ=θ= sinsin 2 glmlGM G Jednačina ravnoteže

momenata u zglobu je Gx MMM =+ θθ , što dovodi do druge relacije u (1.19).


7

),,,(

,

),,,(,

212

21

212

21

Ff

Ffxxx

x

θθ=θ

θ=θ

θθ==

θ&

&

&

&

gde su: xf i θf izrazito nelinearne funkcije. Primer 1.4. U sistemu iz prethodnog zadatka postoji statčko (Kulonovo) trenje tela mase m1 sa vođicama. Odrediti matematički model sistema. Sila usled trenja odredjuje se kao proizvod koeficijenta trenja (f) i sile koja deluje normalno na površinu trenja. U ovom zadatku postoje statičke i dinamičke sile. Statičke sile su sila težine masa. One deluju u celosti vertukalno na ravan kretanja. Dinamičke sile su sila inercije mase m1. Postoje dve sile inercije - tangencijalna i radijalna. Tangencijalnu sila inercije projektovana na y-osu je

θθ+θθ=θθ=ε= θθ cossin)sin( 22222&&&& lmlml

dtdmmF y . (1.20)

Radijalna komponenta, koju u prethodnom zadatku nismo uzimali u obzir, jer se uravnotežava unutrašnjim silama u štapu, je

22

2

2 θ== θ &lml

vmFr , (1.21)

a njena projekcija na y-osu je θθ= cos2

2&lmFry . (1.22)

Sila trenja menja smer sa promenom smera kretanja. S obzirom da se suprotstavlja kretanju ona nosi znak minus. U ovom slučaju slila trenja je )sgn()]cossin()[( 2

221 xlmgmmfFtr θθ+θθ++= &&& . Sada je matematički model sistema sa trenjem

.0sincos

,)sgn()]cossin()[(

)cossin()(2

221

2211

=θ+θ+θ

=θθ+θθ++

+θθ+θθ++

gxl

Fxlmgmmf

lmxmm

&&&&

&&&

&&&&&

(1.24)

U poslednja dva primera imali smo nelinearni dinamičke sisteme. Njihova analiza je znatno složenija od analize linearnih sistema. Obično je prvi korak u analizi nelinearnih dinamičkih sistema njihova linearizacija u okolini mirne radne tačke, odnosno stanja ravnoteže. Model u primeru 1.3 dozvoljava linearizaciju u okolini stanja ravnoteže );0;0;0( π=θ==θ= xx . U primeru 1.4 nije moguća linearizacija razvojem u Tajlorov red, već se mora primenjivati drugi tip linearizacije. O linearizaciji dinamičkih sistema biće reči u drugom delu ovog kursa. Prvi deo biće posvećen analizi i sintezi linearnih sistema upravljanja korišćenjem metoda prostora stanja sistema, pretpostavljajući da je model nelinearnog sistema sveden na linearni model primenom tzv. diferencijalne realizacije.


8

1.3 Metoda prostora stanja sistema

Metoda prostora stanja zasniva se na pojmu stanja sistema. Stanje dina-mičkog sistema opisuje se skupom promenljivih x1, x2,...,xn, koje karakterišu buduće ponašanje sistema ako su poznati početno stanje istog i spoljašnje sile koje na njega deluju. Matematički model sistema u prostoru stanja je zapravo Košijev oblik zapisivanja diferencijalne jednačine (sistema diferencijalnih jednačina) u kome se na levoj strani nalaze prvi izvodi, a na desnoj - neka funkcionalna zavisnost u kojoj diferencijali ne učestvuju. Takav matematički model se zapisuje obično u vektorsko-matričnoj formi:

),,(dd t

tuxfxx ==& , (1.25)

kao diferencijalna jednačina stanja sistema, gde su: T

21 ],...,,[ nxxx=x - n - dimenzionalni vektor koordinata stanja sistema, čije su komponente koordinate stanja xi, ni ,1= . U opštem slučaju broj koordinata stanja, n, jednak je broju elemenata koji mogu da akumuliraju energiju, odnosno broju elemenata koji imaju sposobnost da »pamte«. T

21 ],...,,[ nxxx &&&& =x - n-dimenzionalni vektor prvih izvoda koordinata stanja sistema, odnosno diferencijal vektora stanja; T

21 ],...,,[ ruuu=u -r-dimenzionalni vektor upravljačkih veličina (uprav-ljanja), čije su koordinate spoljašnje sile koje deluju na sistem; T

21 )],,(),...,,,(),,,([),,( tftftft n uxuxuxuxf = - n - dimenzionalna vektor-funkcija promenljivih stanja i upravljanja. Znak T označava transpoziciju vektora, odnosno transpoziciju matrice. Izraz (1.25) nije dovoljan za potpuni opis sistema, jer on povezuje koordinate stanja (unutrašnje promenljive sistema) sa spoljašnjim uticajima (ulazima u sistem). Zbog toga je neophodna još jedna vektorska relacija koja povezuje unutrašnje promenljive (koordinate stanja) i upravljanja s izlazima sistema. Ta funkcionalna zavisnost se naziva jednačina izlaza. Ona je algebarska jednačina, u opštem slučaju nelinearna, oblika c g x u= ( , , )t , (1.26)

gde su: T21 ],...,,[ mccc=c - m-dimenzionalni vektor izlaznih veličina (signala);

T21 )],,(),...,,,(),,,([),,( tgtgtgt m uxuxuxuxg = -m-dimenzionalni vektor-

funkcija izlaza zistema. Ako je sistem linearan ali nestacionaran, vektor-funkcije stanja i izlaza su linearne funkcije. Tada diferencijalna jednačina stanja (1.25) ima oblik )()()()()( ttttt uBxAx +=& , (1.27) a algebarska jednačina izlaza: )()()()()( ttttt uHxDc += , (1.28) gde su: A(t) - n × n - matrica stanja sistema; B(t) - n × r - matrica ulaza;


9

D(t) - m × n - matrica izlaza sistema;H(t) - m × r - matrica direktne sprege ulaz-izlaz.5 Ako je dinamički sistem linearan i stacionaran (vremenski invarijantan) tada su sve matrice u (1.27) i (1.28) konstantne matrice. Međutim, ako je makar i jedan član u bilo kojoj matrici nestacionaran tada će i sistem u celini biti nestacionaran. Takođe, treba ukazati da sistem može biti u celini nelinearan ali linearan po upravljanju. U tom slučaju model sistema ima oblik )()(),()( tttt uBxfx +=& , (1.29) i predstavlja jednu potklasu nelinearnih sistema veoma interesantnu sa stano-višta mogućnosti kvalitetnog upravljanja istim. Kada su upravljanje i izlaz istovremeno vektori, tada imamo multivarijabilni sistem upravljanja. Bez obzira na broj izlaza sistema, ako je upravljanje vektorska veličina, imamo sistem s vektorskim upravljanjem. Ako je, pak, upravljanje skalarna veličina (sistem s jednim ulazom) onda govorimo o sistemu sa skalarnim upravljanjem, bez obzira na broj izlaza. Kada su i upravljanje i izlaz sistema skalari, onda imamo, sistem s jednim ulazom i jednim izlazom. Pre nego što razmotrimo primere, potrebno je ukazati i na još jedan oblik zapisivanja modela sistema u prostoru stanja. Kako na sistem deluju spoljašnje sile, a neke od njih možemo da kontrolišemo, odnosno da njima upravljamo, takve spoljašnje uticaje zaista treba nazivati upravljanjem. Međutim, neke spoljašnje sile koje deluju na sistem ne možemo da menjamo, tj. da na njih utičemo. Takve sile nazivamo poremećajima. Zbog toga je, umesto modela sistema u obliku (1.28) ispravniji zapis u formi: )()()()()()( tttttt puBxAx ++=& . (1.30) Pored spoljašnjih poremećaja, u sistemu postoje i unutrašnji - parametarski poremećaji kao posledica promene parametara sistema u vremenu. U opštem slučaju smatraćemo da su svi poremećaji obuhvaćeni vektorom poremećaja p(t). Primer 1.5. Razmotrimo, ponovo, mehanički sistem sa sl. 1.2. Odredimo njegov model u prostoru stanja. Ranije smo, primenjujući Lagranžove jednačine, dobili matematički model ovog sistema u Košijevom normalnom obliku, relacije (1.7). Posmatrajući ovaj model, vidimo da na desnoj strani imamo veličine θ1 i θ2 koje treba da imaju ulogu koordinata stanja, a to znači da, u matematičkom modelu, njihov izvod mora biti na levoj strani. Ako ovaj model preuredimo, uzimajući u obzir da su brzine obrtanja diferencijali ugla obrtanja, dobićemo:

,1

,

11

21

121

1

11

1

121

11

MJJ

kJb

Jk

dtddt

d

+θ+ω−θ−=ω

ω=θ

(1.31a)

5 U savremenoj literaturi matematički model linearnog dinamičkog sistema se zapisuje u obliku:

.;;;

; ; ;; rmnmrnnn

mrn

×××× ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈

+=+=

HDBAcux

HuDxcBuAxx&


10

.1

,

22

22

22

2

121

2

122

22

MJJ

bJk

Jk

dtddt

d

−ω−θ−θ=ω

ω=θ

(1.31b)

ili u matričnom obliku

2

2

11

2

2

1

1

2

2

2

12

2

12

1

12

1

1

1

12

2

2

1

1

1-000

00

10

01000

0-0010

M

J

MJ

Jb

Jk

Jk

Jk

Jb

Jk

dtd

+

+

ωθωθ

−−

−=

ωθωθ

. (1.32)

U ovom slučaju smo pretpostavili da moment M2 ima ulogu poremećaja, a M1 ulogu upravljanja, pa sistem ima oblik zapisivanja (1.32), tj.

=

=

=

−

−=

ωθωθ

=

2

2

2

2

1

2

2

2

12

2

12

1

12

1

1

1

12

2

2

1

1

-000

1-000

)(;

00

10

;

01000

0-0010

;

JM

M

J

tJ

Jb

Jk

Jk

Jk

Jb

Jk

pbAx .

Na osnovu datog modela, zaključujemo da je sistem četvrtog reda, jer se opisuje sistemom od četiri diferencijalne jednačine prvog reda. Treba obratiti pažnju i na činjenicu da će, na primer, matrica stanja A imati drugačiji oblik ako promenimo redosled jednačina u (1.32). To ukazuje na činjenicu da za jedan te isti dinamički sistem mogu postojati, po formi, različiti matematički modeli, što nije slučaj u primeni kon-cepcije ulaz-izlaz sistema, tj. funkcije prenosa sistema. . U sistemu iz ovog primera, koordinate stanja su veličine koje imaju fizički smisao, jer se mogu meriti neposredno ili posredno. U opštem slučaju, u matematičkom modelu sistema u prostoru stanja, koordinate stanja ne moraju imati fizički smisao, pa se zbog toga ne mogu ni meriti. Osim toga u ovom primeru koordinate stanja su neposredno povezane s elementima koji imaju mogućnost da akumuliraju energiju. U datom slučaju, obrtne mase, okarakte-risane momentima inercije J1 i J2, imaju sposobnost akumuliranja kinetičke, a torziona opruga (k12) akumulira potencijalnu energiju. U sledećem odeljku prikazaćemo jedan način dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja za linearne električne mreže. S obzirom na to da se linearni mehanički sistemi mogu, primenom elektromehaničkih analogija, svesti na ekvivalentnu šemu električnog sistema, postupak koji će biti izložen može se primeniti i na linearne mehaničke sisteme i za linearne elektromehaničke sisteme. Kod nelinearnih elektromehaničkih sistema može se koristiti prilaz preko Lagranžeovih jednačina u kojima se koriste pojmovi generalisane kinetičke i potencijalne energije.


11

1.3.1 Matrični model linearnih električnih mreža Za elektroinženjere je od posebnog interesa poznavanje metoda dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja električnih mreža. Pre nego što pristu-pimo uopštavanju i prikazu jednog pogodnog algoritma za dobijanje tog modela, obratimo ponovo pažnju na naš primer mehaničkog sistema, čija je analogna električna šema data na sl. 1.5, i u koju su, radi lakšeg razumevanja, uvedene uobičajene oznake električnih elemenata. Prirodne promenljive stanja u ovom sistemu, koje se mogu meriti, su struje kroz induktivne kalemove i napon na kondenzatoru. Prema tome, u jednačinama stanja sistema, na levoj strani moraju biti diferencijali struja kalemova i diferencijal napona na kondenzatoru, dok je jednačina izlaza algebarska jednačina. Usvojićemo da je izlazni signal napon na kondenzatoru. Prema tome, opšti oblik jednačina stanja za posmatranu

Sl. 1.5. Električna šema sistema.

Sl. 1.6. Pomoćna električna mreža.

mrežu imaće oblik

.,,

,

23213133232131

222121232222212

212111132121111

c

cc

c

c

ucububuaiaiasuububuaiaiasi

ububuaiaiasi

=++++=++++=++++=

(1.33)

Ovde s ima ulogu operatora diferenciranja. Uzimajući u obzir da su:

, , , , 212

21

121 iii

Cisu

Lu

siLu

si cc

cLL −==== (1.34)

(1.33) se može napisati u obliku

.,

,,

23213133232131

22221212232222222122

21211111131212111111

c

cc

cL

cL

ucuCbuCbuCaiCaiCai

ubLubLuaLiaLiaLuubLubLuaLiaLiaLu

=++++=

++++=++++=

(1.35)

Posmatrajući ove relacije, uočavamo da se na njihovoj levoj strani nalaze naponi na krajevima induktivnih kalemova i struja kroz kondenzator. Ako taj oblik zapisivanja primenimo, koristeći poznate zakone elektrotehnike dobićemo za posmatranu mrežu, sl. 1.5, relacije


12

,,

,

,

21

222

111

2

1

c

c

cL

cL

uciii

uuiRu

uuiRu

=−=

−+−=

+−−=

(1.36)

kojima odgovara električna otporna mreža kao na sl. 1.6. sa strujnim i naponskim izvorima. U njoj su sve induktivnosti zamenjene pseudoizvorima struja, a kapacitivnosti - pseudoizvorima napona. Zamenjujući (1.36) u (1.34) dobija se

,111

111

1

11 u

Lu

Li

LRsi c +−−=

,

),(1

,11

21

222

22

22

c

c

c

uc

iiC

su

uL

uL

iLR

si

=

−=

−+−=

ili u matričnom obliku:

.

,00

1/L001/L

0/1/11/L/-01/L-0/

dd

2

12

1

2

1

222

111

2

1

c

cc

uc

uu

uii

CCLR

LR

uii

t

=

+

−

−=

(1.37)

Način dobijanja matematičkog modela u prostoru stanja za električne nedegenerisane mreže se može uopštiti i iskazati sledećim algoritmom: 1. Svi kondenzatori i svi kalemovi (elementi koji akumuliraju energiju) zamenjuju se ekvivalentnim naponskim i strujnim izvorima, respektivno. Na taj način se data električna mreža transformiše u otpornu mrežu s izvorima napona i struja, gde su, pored stvarnih izvora napona i struja, uključeni i pseudoizvori napona i struja, kondenzatora i kalemova, respektivno. 1. Na osnovu tako dobijene otporničke mreže, koristeći osnovne zakone elektrotehnike, nalaze se izrazi za napone na pseudoizvorima struja i struje kroz pseudoizvore napona, u funkciji napona i struja stvarnih izvora napona i struja, prisutnih otpornosti kao i struja pseudoizvora struja i napona pseudo-izvora napona. Time se dobija sistem algebarskih jednačina na čijoj levoj strani se nalaze naponi na krajevima induktivnih kalemova i struje kroz kondenzatore. 3. Na kraju se, na levoj strani tako dobijenih jednačina, umesto izraza za napone na induktivnim kalemovima i struja kroz kondenzatore zapisuju

tU

Ct

iL kj C

kL

j dd

,d

d, respektivno, i deli leva i desna strana sa Lj, odnosno Ck.

Na taj način se dobija sistem jednačina stanja u opštem obliku:


13

rrnrqk

kz

rpj

jz

nC

L

nnqqk

kv

pqk

ki

qpj

jv

ppj

ji

nC

jL

rznpkvpji

CQ

LP

CG

CN

LM

LR

tk

j

k

ℜ∈=+==

+

=

××

×

×

×××

××

×

u

uui

ui

;,1 ;,1, ;,1,

;dd

11 (1.38)

U onim slučajevima kada su mreže degenerisane, dati postupak se ne može primeniti. Pod degenerisanim mrežama se podrazumevaju električne mreže u kojima se ne mogu nezavisno zadavati početni uslovi na induktivnim kalemovima ili na kondenzatorima. Na primer, ako se neka zatvorena kontura sastoji iz dva ili više redno vezanih kondenzatora s naponskim izvorom, tada se na kondenzatorima ne mogu proizvoljno zadavati početni uslovi. Isto tako, ako su u jednom čvoru sa strujnim izvorom nalazi veći broj induktivnih kalemova, na njima se, takođe, ne mogu proizvoljno zadavati početni uslovi. O načinu dobijanja matematičkih modela takvih mreža videti u [5]. Primer 1.6 Obratimo ponovo pažnju na matematički model sistema sa sl. 1.2, koji je analog sistema sa sl. 1.4. Zamenjujući električne veličine njihovim mehaničkim ekvivalentima, model (1.37) postaje

.

,00/100/1

0/1/010/

dd

12

2

12

1

12

2

1

1212

222

11

12

2

1

Mc

MM

JJ

MkkJJb/J-Jb

Mt

=

−+

ωω

−−

−=

ωω

(1.39)

Upoređujući modele (1.7), (1.32) i (1.39), koji opisuju jedan te isti mehanički sistem sa sl. 1.2, uočava se njihova različitost. Prvi ima dve, drugi - četiri, a treći - tri diferencijalne jednačine. Na prvi pogled reklo bi se da dati modeli ne opisuju isti sistem. Već smo konstatovali da model (1.7) iako formalno ima normalnu Košijevu formu, ne može se smatrati valjanim modelom prostora stanja, jer na njegovoj desnoj strani figurišu veličine θ1 i θ2, koje su s koordinatama stanja ω1 i ω2 u funkcionalnoj zavis-nosti, što je i iskorišćeno za dobijanje modela (1.32), koji ima valjanu formu modela u prostoru stanja. Model (1.39) se, u suštini, ne razlikuje od modela (1.32), samo je kompaktniji. Naime, ako se moment koji deluje na krajevima spiralne opruge M12 izrazi putem koeficijenta torzione krutosti i uglova obrtanja dveju obrtnih masa dobija se: )( 211212 θ−θ= kM Diferencirajući ovaj izraz po vremenu dobija se

2121122

121

1212 dd

dd

dd

ω−ω=θ

−θ

= kkt

kt

kMt

,

što je, zapravao, treća jednačina u modelu (1.39). Ona se može dobiti iz modela (1.32) oduzimanjem treće od prve jednačine i množenjem leve i desne strane s k12. Prema tome, pokazali smo da su sva tri modela ekvivalentna, a da je model (1.39) najkompaktniji u smislu modela sistema u prostoru stanja. Ukažimo, ponovo, da taj model sadrži tri diferencijalne jednačine i da su promenljive stanja posledica prisustva


14

tri fizička elementa koji mogu akumulirati energiju: dve obrtne mase i jedne opruge (dva induktivna kalema i jednog kondenzatora). Pored opšteg postupka dobijanja modela u prostoru stanja, na osnovu električnih šema, mogući su i drugi prilazi. S obzirom na to da je funkcija prenosa takođe matematički model sistema, postoje metode za prevođenje funkcije prenosa u model u prostoru stanja, odnosno modela prostora stanja u funkciju prenosa. 1.4 Transformacija matematičkih modela iz prostora stanja u kompleksni domen

Neka je dat linearan, stacionaran sistem opisan diferencijalnom jednačinom stanja i algebarskom jednačinom izlaza: )()()( ttt BuAxx +=& , (1.40) )()()( ttt HuDxc += . (1.41) Zahteva se da se ovaj model sistema, dat u vremenskom domenu, transformiše u kompleksni (s) domen. Usvajajući nulte početne uslove (x(0)=0) u sistemu (1.40) i primenjujući Laplasovu transformaciju na (1.40), (1.41), dobija se:

s s s s

s s sX AX BUC DX HU

( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ).

= += +

(1.42)

Rešavajući prvu matričnu algebarsku jednačinu u (1.42) po X(s) ima se )(][)( 1 sss BuAIX −−= , (1.43) gde je I - jedinična n×n matrica. Sada se, zamenom X(s) u izraz za C(s), dobija )(]][[)( 1 sss UHBAIDC +−= − . (1.44) Relacija (1.44) povezuje kompleksne likove ulaznih i izlaznih signala sistema. Zbog toga se izraz HBAIDG +−= −1][)( ss (1.45) naziva matricom funkcija prenosa sistema. Ona ima sledeći opšti oblik:

=

)(...)()(............

)(...)()()(...)()(

)(

21

22221

11211

sGsGsG

sGsGsGsGsGsG

s

mrmm

r

r

G . (1.46)

Elementi matrice su funkcije prenosa. Tako na primer, element Gij je funkcija prenosa od j-tog ulaza do i-tog izlaza, koja se definiše kao odnos kompleksnih likova signala na i-tom izlazu i j-tom ulazu, pri svim početnim uslovima i svim ostalim ulaznim signalima jednakim nuli. Na sličan način, izraz BAIG 1

1 ][)( −−= ss (1.47) je matrica funkcija prenosa od ulaza do stanja sistema.


15

Ako je sistem s jednim ulazom i jednim izlazom (skalarni ulaz - skalarni izlaz) tada se veza između ulaza i izlaza određuje izrazom hssG +−= − bAId 1T ][)( , (1.48) koji predstavlja klasičnu definiciju funkcije prenosa sistema, određenu na osno-vu modela sistema u prostoru stanja. Primer 1.7. U cilju ilustracije metode odredimo funkciju prenosa sistema datog modelom (1.39) za ulaz M1 i izlaz ω2, pri M2=0. Relevantne matrice sistema su:

[ ] 0;010;00

1

;

0

10

10

T1

1212

22

2

11

1

==

=

−

−

−−

= hJ

kkJJ

bJJ

b

dbA ;

[ ]

[ ]. ())(()(1

det;

s

10

10

21122112212

12213

2121

1212

22

2

11

1

bbksJJkbbsJbJbsJJJJ

s

kkJJ

bs

JJbs

s

+++++++

=−

−

−+

+

=− AIAI

S obzirom na to da vektor b ima samo prvi, a vektor d - samo drugi element različit od nule, za dobijanje inverzne matrice matrici [ ]AI −s u [ ]AI −sadj treba odrediti samo član u prvoj koloni i drugoj vrsti, a to znači kofaktor determinante matrice [ ]AI −s kada se precrta njena prva vrsta i druga kolona, uz izmenu znaka. Tako se dobija

[ ]

T

xxx

xxJk

xxxs

=−2

12adj AI ,

sledi:

[ ][ ] [ ][ ] [ ]AIAI

bAIAId

−=

−=

−−

=s

JJk

J

xxx

xxJk

xxx

ssssG

det00

1

010det

1detadj)( 21

121

2

12

Zamenom ]det[ AI −s , posle sređivanja, dobija se izraz


16

)()(()()(

)()(2112211221

21221

321

12

1

2

bbksJJkbbsJbJbsJJk

sMssG

+++++++=

Ω= .

1.4.1 Primena MATLAB-a za transformaciju modela iz prostora stanja u funkciju prenosa

U programskom paketu MATLAB postoji potprogram za transformaciju modela iz prostora stanja u funkciju prenosa. Moguće su dve opcije: ss2tf, ss2zp. Prva daje nefaktorizovan, a druga - faktorizovan oblik funkcije prenosa. Ako je dat model (1.40), (1.41) naredbe su oblika, respektivno: iu)H,D,B,ss2tf(A,den][NUM, = , iu)H,D,B,ss2zp(A,k]p,[Z, = , gde su: NUM - u principu matrica koja ima onoliko vrsta koliko sistem ima izlaza, a svaka vrsta sadrži onoliko elemenata koliki je red sistema; den je vektor-vrsta koji sadrži koeficijente polinoma u imeniocu funkcije prenosa; iu -je indeks koji definiše ulaz u odnosu na koji se određuje funkcija prenosa; Z- je matrica koja sadrži nule sistema, takva da svakom izlazu odgovara jedna kolona; p-vektor kolona koja sadrži polove funkcije prenosa; k- vektor kolona koja sadrži pojačanja sistema sa onoliko elemenata koliko ima izlaza. Primer 1.8 Model sistema u prostoru stanja je

[ ] .8;203847;100

;356

100010

T =−−−=

=

−−−= hdbA

prevesti dati model u funkciju prenosa. Kao rešenja u MATLABU dobijaju se: >> A=[0,1,0;0,0,1;-6,-5,-3];B=[0;0;1];D=[-47,-38,-20]; H=8;

[NUM,den]=ss2tf(A,B,D,H,1) NUM = Columns 1 through 2 8.0000 4.0000 Columns 3 through 4 2.0000 1.0000 den = Columns 1 through 2 1.0000 3.0000 Columns 3 through 4 5.0000 6.0000 Dakle, funkcija prenosa je:

6531248)( 23

23

++++++

=sssssssW

>> [Z,p,k]=ss2zp(A,B,D,H,1) Z = 0.0000 + 0.5000i 0.0000 - 0.5000i -0.5000 p = -2.0000 -0.5000 + 1.6583i -0.5000 - 1.6583i k = 8 Dakle, funkcija prenosa je:

)6538.15,0)((6538.15.0)(2()5.0)(5.0)(5.0(8)(jsjss

sjsjssW++−++

++−=


Primer 1.9. Model sistema u prostoru stanja je dat sa:

[ ] .8;81616;111

;211

052006

T =−−−=

=

−−−−−

−= hdbA

Prevesti dati model u kompleksni domen tako da je funkcija prenosa u faktorizovanom obliku. >> A=[-6,-2,-1;0,-5,-1;0,0,-2];B=[1;1;1];D=[-16,-16,-8];H=8; [Z,p,k]=ss2zp(A,B,D,H) Z = -4.0000 -1.0000 -3.0000 p = -6 -5 -2 k = 8 Primer 1.10 Model sist

=

−

−=

11

;52

01BA

>> A=[-1,0;2,-5];B=[1,0;1,1[Z1,p1,k1]=ss2zp(A,B,D,H,Z1 = -3.0000 -5.0000 p1 = -5 -1 k1 = 1 1 [Z2,p2,k2]=ss2zp(A,B,D,H,Z2 = -1 Inf p2 = -5 -1 k2 = 1 0 Kao što se vidi, programvrednosti polova, koji su isulaze i izlaze. Prema dobifunkcije prenosa sistema.

Dakle, funkcija prenosa je )4)(3)(1( +++ sss

ema u prostoru stanja je dat sa

=

0110

;10

D

];D=[0,1;1,0];H=[0,0;0,0]; 1)

)6)(5)(2(

8)(+++

=sss

sW .

Napomena 1.1: program zahteva da matrice B i H imajuisti broj kolona, a D i H isti broj vrsta pa je zbog togauvedena nulta 2 x 2 matrica H.

2)

daje vrednosti ti bez obzira na jenim u MATLA

3)(1 +ssC

17

nula za sve izlaze pri odgovarajućem ulazu, ulaz, i vrednosti pojačanja za odgovarajuće

B-u rezultatima dati su elementi matrice

.0)()()(

;)5(

1)()()(

;)1(

1)()()(

;)5)(1()(

)(

2

222

2

112

1

221

111

==

+==

+==

++==

sUsCsW

ssUsCsW

ssUsCsW

sssUsW


18

1.5 Transformacija modela ulaz-izlaz u prostor stanja. Računarska simulacija dinamičkih sistema

U tehnici, a u automatici posebno, veoma često se primenjuje računarska simulacija sistema iz više razloga kao što su: složenost matematičkih modela kojima se opisuju realni dinamički procesi, postojanje nelinearnih i/ili nesta-cionarnih funkcionalnih veza koje onemogućavaju analitičko rešavanje. Ali i onda kada je analitičko rešavanje moguće, pogotovu kada se koriste inženjerske metode za sintezu sistema, poželjno je dobijene rezultate proveriti modelova-njem. Pored fizičkog modelovanja koristi se matematičko modelovanje, odnosno računarska simulacija, kao poseban oblik matematičkog modelovanja sistema. U realizaciji konkretnog sistema, posle analitičkog projektovanja, sledi računarsko modelovanje (simulacija), a zatim fizičko modelovanje, putem izrade laboratorijskog modela sistema, kao prethodne etape u izradi industrij-skog prototipa. Iako je računarska simulacija ponikla u okrilju automatike, danas je to oblast od izuzetnog značaja ne samo za tehničke već i za mnoge druge naučne discipline (ekonomija, medicina, meteorologija, astronomija...). Za potrebe automatike najpre su bili razvijeni elektronski analogni računari koji su odigrali izuzetno značajnu ulogu u razvoju teorije dinamičkih sistema. S razvojem digitalnih računara, s porastom njihove brzine računanja, uloga analognih računara sve vreme slabi. Danas su razvijeni softverski paketi koji imitiraju rad analognih računara, smanjujući vreme potrebno za razvoj i izradu programa primenom standardnih programskih jezika tipa FORTRAN, BASIC, C i dr. Široko korišćenje personalnih računara sa simulacionim programskim paketima kao što su: Vissim, Simnon, MATLAB-Simulink, i dr. omogućava široko korišćenje računarske simulacije u svakodnevnoj delatnosti inženjera. S obzirom da je problem računarske simulacije i modelovanja sistema posebna oblast, koja se detaljnije izučava na odgovarajućem kursu, ovde će biti govora samo o osnovama računarske simulacije sa stanovišta dobijanja matematičkih modela sistema u prostoru stanja na osnovu funkcija prenosa, odnosno matrica funkcija prenosa. U ovom odeljku biće isključivo reči o simulaciji linearnih dinamičkih sistema. Za simulaciju linearnog dinamičkog sistema na digitalnom računaru, koji oponaša analogni računar, neophodni su sledeći operacioni elementi6: integra-tori, sumatori, pojačavači (atenuatori). Za njih su usvojene grafičke oznake kao na sl. 1.7. (u donjem redu su oynake u MATLAB-Simulinku). Integrator ostvaruje sledeću matematičku funkciju

∫ ττ+=txyty

0d)()0()( . (1.49)

Sumator algebarski sumira signale dovedene na njegove ulaze, tj. ∑=

=ki i txty

1)()( . (1.50)

6 Različiti programski jezici za simulaciju linearnih dinamičkih sistema na digitalnom računaru imaju različite pristupe i oznake elemenata. Neki koriste integratore samo s jednim ulazom, dok drugi koriste sumacione integratore, kao npr. na sl. 1.15., str. 27.


19

Sl. 1.7. Oznake operacionih elemenata analognog računara: a) integratora, b) sumatora, c) pojačavača (k>1) ili atenuatora (k<1). U donjem redu su oznake

korišćene u MATLAB-Simulinku.

Na sl. 1.7 prikazan je sumator samo s tri ulaza, a u relaciji (1.50) s k ulaza. Pojačavač (atenuator) pojačava (slabi) ulazni signal a puta, tj. y t ax t( ) ( )= . (1.51) Postupak modelovanja (simulacije) prikazaćemo na primeru koji smo već više puta koristili za različite namene - na primeru mehaničkog sistema s dve mase, čiji je matematički model dat relacijma (1.31) koje ćemo neznatno modifikovati:

d

dd

d1

θω

ωθ ω θ

11

1

112 1 1 1 12 2 1

t

t Jk b k M

=

= − − + +

,

( ), (1.51a)

d

dd

d1

θω

ωθ θ ω

22

2

212 1 12 2 2 2 2

t

t Jk k b M

=

= − − −

,

( ). (1.51b)

Sistem diferencijalnih jednačina prvog reda je veoma pogodan za mode-lovanje. Svaka od ovih diferencijalnih jednačina zahteva primenu samo jednog integratora. Suština sastavljanja simulacione šeme je u striktnom ostvarivanju jednakosti leve i desne strane. U cilju bližeg pojašnjenja, najpre ćemo posma-trati samo drugu diferencijalnu jednačinu u (1.51a). Iz nje se vidi da je diferen-cijal brzine ω1 jednak algebarskoj sumi ponderisanih promenljivih na njenoj desnoj strani, što se pomoću datih operacionih blokova i linija za vezu između tih blokova (provodnici za spajanje kod analognog računara) može predstaviti kao na sl. 1.8. Pri tome je izlaz integratora spojen s ulazom ω1, jer se radi o istim veličinama (“potencijalima”). Veličina M1 je spoljašnja sila, a θ1 je unut-rašnja koordinata sistema, i, prema prvoj relaciji (1.51a), ona je integral brzine ω1. Na isti način se modelira i četvrta jednačina. Objedinjavanjem dobija se simulacioni dijagram sistema kao na sl. 1.9.


20

Sl. 1.8. Simulaciona šema druge jednačine sistema (1.51a)

Sl. 1.9. Simulaciona šema sistema (1.51).

Kao što se vidi, simulaciona šema sa sl. 1.9 u potpunosti zamenjuje matematički model (1.51). Iz nje se uočava da su izlazni signali integratora istovremeno i koordinate stanja sistema, te se na osnovu simulacione šeme jednoznačno mogu napisati diferencijalne jednačine stanja, tako što se diferencijali koordinata stanja (ulazni signali integratora) izjednačavaju s algebarskom sumom signala koji se dovode na ulaze integratora. Simulacione šeme se mogu koristiti i za predstavljanje sistema datih u vektorsko-matričnom obliku

,,

HuDxcBuAxx

+=+=&

(1.53)

Sl. 1.10. Opšti simulacioni dijagram multivarijabilnog sistema.


21

uz napomenu da se ovde, umesto skalarnih primenjuju vektorski operacioni elementi. Međutim, postupak konstruisanja simulacionih šema je potpuno isti. Na sl. 1.10 data je simulaciona šema za sistem (1.53). Na sl. 1.10 su vektorski pojačavači označeni pravougaonicima, a sumatori kružićem s oznakom Σ. Pokazali smo kako se na osnovu matematičkog modela u prostoru stanja konstruiše simulaciona šema za analogni računar. Ali, matematički model sistema u prostoru stanja nije, kao što smo videli, jedini način matematičkog modelovanja sistema. Tu su i modeli u obliku funkcije prenosa ili matrice funkcija prenosa, kao i modeli u obliku sistema diferencijalnih jednačina koje nisu u Košijevoj normalnoj formi, odnosno u obliku prostora stanja. Pre nego što pređemo na konstrukciju simulacionih šema za sisteme čiji su matematički modeli dati u obliku funkcije prenosa, ukažimo na postupak simulacije diferencijalne jednačine n-tog reda oblika: a x a x a x a x b un

nn

n+

−+ + + + =1 2 1, ( ) , ( ) , ,. . . ' '1 .

Opšti postupak za simulaciju ovog tipa diferencijalne jednačine je sledeći: najpre se cela jednačina podeli koeficijentom uz najveći izvod ( an+1

, ) i jednačina reši po njemu, tj.

x a x a x a x bu aa

ai n b b

an

nn

ii

n n

( ) ( ),

, ,... ' ; , , ; '

= − − − − + = = =−

+ +

1 2 11 1

1 , (1.54)

zatim se nacrta sistem od n redno vezanih integratora, čiji je ulaz najveći izvod promenljive x, a izlaz - promenljiva x, sl. 1.11. Sada se, jednostavno, s izlaza svakog integratora, preko odgovarajućih pojačavača i sumatora dovodi signal na ulaz integratorskog sistema u skladu s izrazom (1.54). Ako na ovu simulacionu šemu primenimo pravilo da su, za model u prostoru stanja, promenljive stanja izlazne veličine integratora, tada se, na osnovu sl. 1.11, može napisati:

Sl. 1.11. Simulaciona šema sistema (1.54).

.

;11, ,

1

1

buax

nixxn

iin

ii

+−=

−==

∑=

+

&

&

(1.55)

Matrica stanja ovog sistema je


22

,)1(11

)1()1(1)1(

−−

=−

−−−

nx

nxnxn

a aI0

A (1.56)

gde su: 0 - nulti vektor-kolona dimenzije n-1×1, I - jedinična matrica, a vektor -vrsta ],...,,[ 32 naaa=a . Ovakva matrica stanja se naziva kompanjon forma. Vektor b takođe ima specifičan oblik: ],0,0,...0[T b=b . (1.57) Matematički model sistema (1.55) se naziva kanonička kontrolabilna forma. O njoj će biti još reči kasnije. Za simulaciju poseban problem predstavljaju sistemi (1.54) kod kojih na desnoj strani, osim ulaznog signala figurišu i njegovi izvodi. Postoje različiti prilazi za rešavanje tog problema. Preporučujemo da se, primenom Laplasove transformacije, matematički model prevede u oblik funkcije prenosa i da se pri-meni postupak direktnog programiranja, što će biti sadržaj narednog odeljka.

1.5.1 Simulacija dinamičkih sistema na osnovu funkcije prenosa Postoji nekoliko tehnika simulacije sistema na osnovu funkcije prenosa, koje se, obično, nazivaju tehnikama programiranja analognih računara. Najčešće su u primeni tri: direktno programiranje, redno programiranje i paralelno programiranje. Ovde ćemo izučiti sve tri navedene tehnike programiranja, a obratićemo pažnju i na izvesne raznovidnosti tehnika direktnog i rednog programiranja. 1.5.1.1 Direktno programiranje. a) Kanonička kontrolabilna forma. Ova tehnika programiranja je veoma jednostavna kada je model sistema dat kao funkcija prenosa oblika:

G s C sU s

b s b s b s bs a s a s a

m nmm

mm

nn

n( )

( )( )

...

. . .,= =

+ + + +

+ + + +<+

−

−1

12 1

12 1

. (1.58)

Ukoliko je m=n postupak se neznatno modifikuje, o čemu će biti reči kasnije. Ako je koeficijent uz kompleksnu promenljivu sn različit od jedinice, tada se brojilac i imenilac funkcije prenosa deli s tim koeficijentom i funkcija prenosa svodi na (1.58). Pomnožićemo brojilac i imenilac desne strane (1.58) s E(s) i napisati dve očigledne relacije: C s b s E s b s E s b sE s b E sm

mm

m( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )= + + + ++−

11

2 1 , (1.59)

U s s E s a s E s a sE s a E snn

n( ) ( ) ( ) . .. ( ) ( )= + + + +−12 1 . (1.60)

Ako je s operator diferenciranja, što proističe iz primene Laplasove transfor-macije, tada je (1.60) diferencijalna jednačina koja se može simulirati na prethodno opisani način (sl. 1.11). Izdvajajući najveći diferencijal na levoj strani, zapisujemo: s E s U s a s E s a sE s a E sn

nn( ) ( ) ( ) . .. ( ) ( )= − − − −−1

2 1 , (1.61) odnosno:


23

e t u t a e a e a e tnn

n( ) ( )( ) ( ) .. . ' ( )= − − − −−12 1 . (1.62)

Sl. 1.12. Simulaciona šema sistema (1.58) dobijena postupkom direktnog

programiranja, za m=n-1, bez isprekidane linije s elementom h.

Simulaciona šema ove diferencijalne jednačine je kao na sl. 1.11. U njoj su, sada, izlazi integratora, respektivno s leva na desno: e e e en n( ) ( ), , . . . , ' ,− −1 2 ,

odnosno s E s s E s sE s E sn n− −1 2( ), ( ), . .. , ( ), ( ) . S obzirom da sada imamo pro-

menljive s E s i ni ( ), = −1, 1 , jednačina (1.59) se lako simulira, jer predstavlja algebarsku sumu ponderisanih faktora (promenljive E(s)) koje već imamo. Na sl. 1.12 data je kompletna simulaciona šema sistema (1.58), dobijena postup-kom direktnog programiranja (bez isprekidane linije). Lako se dâ uočiti da je konstrukcija simulacione šeme krajnje jednostavna. Gledajući na funkciju prenosa (1.58) direktno se konstruiše šema, odnosno zapisuje model, bez potrebe da se primenjuje postupak koji je korišćen samo u cilju objašnjenja. Usvajajući da su koordinate stanja x x xn1 2, ,... , izlazi integratora, kako je to na šemi označeno, mogu se napisati sledeće relacije:

.

,

,11,,

1

1

1

1

∑

∑+

=

=

+

=

+−=

−==

m

jjj

n

iiin

ii

xbc

uxax

nixx

&

&

(1.63)

Napomena 1.2: ukoliko funkcija prenosa ima isti stepen imenioca i brojioca, tada se, deljenjem brojioca imeniocem, sistem svodi na paralelnu spregu funkcije prenosa oblika (1.58), u kojoj je brojilac za jedan stepen niži od imenioca, i pojačavačkog elementa s pojačanjem h. Usled toga će se u izrazu za izlaz C(s) pojaviti ta proporcionalna komponenta, pa će u modelu sistema (1.63) zadnja relacija imati oblik:

c b x huj jj

m= +

=

+∑

1

1, (1.64)


24

a kompletna simulaciona šema biće kao na sl. 1.12, uključujući i isprekidane linije s elementom h. Ako u funkciji prenosa postoji izdvojeno pojačanje, k, koje množi razlomak oblika (1.58), tada druga relacija u (1.63) postaje

kuxan

iiin +−= ∑

=1x& . (1.65)

Matrica stanja sistema je oblika

A0 I

a=

− −

− − −

−

( ) ( ) ( )

( ),n x n x n

x na1 1 1 1

1 1 1[ ],,...,, 32 naaa=a (1.66)

dok su ostali elementi matričnog zapisa: . ],,...,,[ ,]10...0[ 121

TT hbbbk m === + hdb (1.67) Pored ove, kanoničke kontrolabilne forme modela sistema u prostoru stanja, koriste se i drugi oblici kao što su modifikovana kanonička kontrolabilna forma i kanonička opservabilna forma. Napomena1.3: Pretpostavimo da su u šemi na slici 1.12 izlazi integratora, za koje vezujemo koordinate stanja, označeni obrnutim redosledom, tj. s leva na desno: x1, x2,...,xn. Tada bi model sistema dobio oblik

];,,...,,[; 12211)1()1()1(

aaaaa

nnnnn

n−−

×−−×−=

−−= a

0Ia

A (1.68)

. ],,...,,[ ,]00...1[ 11T hbbb mm === + hdb (1.69)

b) Modifikovana kanonička forma. Neka, u opštem slučaju, funkcija prenosa ima isti stepen brojioca i imenioca, tj

G sC sU s

b s b s b s bs a s a s a

nn

nn

nn

n( )

( )( )

...

.. ..= =

+ + + ++ + + +

+−

−1

12 1

12 1

(1.70)

Matematički model sistema potražićemo u obliku

.

,...,1,1 ,

1

2211

1

ukxcukxaxaxax

niukxx

o

nnnn

iii

+=+−−−−=

−=+= +

&

&

(1.71)

Iz ovog sistema jednačina se jasno vidi da je matrica stanja A u kompanjon formi i direktno se piše iz modela funkcije prenosa. Potrebno je, za potpunu definiciju modela sistema u prostoru stanja, odrediti koeficijente k i ni , , = 0 . U tom cilju izvršimo diferenciranje poslednje relacije u prethodnom sistemu jednačina, uz uzimanje u obzir prve, za i=1: ukukxukxc oo &&&& ++=+= 121 . (1.72) Vršeći dalje sukcesivno diferenciranje sve dok se ne dobije n-ti izvod izlazne promenljive, uz istovremeno uzimanje u obzir (1.71), dobićemo:


25

.......

...

,...

..............................................,

,

12211

1

121

1

20123

212

usksukukxaxaxa

usksukxcs

usksukukxcs

usksukukxcs

sukukxsc

nonnnn

nonn

n

nonnn

n

o

++++−−−−

=+++=

++++=

+++=

++=

−

−

−−−

−

&

(1.73)

Na osnovu treće relacije u (1.71) može se zapisati ukcx o−=1 , a na osnovu prve, druge,..., i-te relacije iz (1.73):

....

..........................................,

,

121

1

212

23

12

usksukukcsx

usksukukcsx

sukukscx

nonn

nn

o

o

−−−

− −−−−=

−−−=

−−=

Zamenjujući ove relacije u poslednju relaciju (1.73), posle razdvajanja promen-ljivih i objedinjavanja članova s istim stepenom promenljive s, ima se:

( .. . ) ( )

( ) (

) .. . (

.. . )

( ).s a s a s a C s

k s k a k s k a k

a k s k a ka k a k

U snn

no

nn o

nn

nn

n n n

n n o

+ + + + =

+ + + + +

+ + + +

+ +

−

−

−−

−

− −

12 1

11

2 1

1 02

1

1 2 1

Upoređujući poslednji izraz s datom funkcijom prenosa, dolazi se do sledećih rekurentnih relacija za sračunavanje koeficijenata ki, ni ,0= .

∑−

=+−+−+

−−

+

−=

−−=−=

=

1

011

01112

1

1

.

.....................................,

,,

i

jjjinini

nnn

onn

no

kabk

kakabkkabk

bk

(1.74)

Očigledno je da se dati postupak može primeniti i na slučaj kada je stepen polinoma u brojiocu funkcije prenosa manji od stepena imenioca. Tada se odgovarajući bi izjednačavaju s nulom. c) Kanonička opservabilna forma. Daćemo još jedan oblik kanoničke forme, koja je u [6] definisana kao opservabilna forma7. Razmotrimo ponovo relaciju za funkciju prenosa (1.70). Deo funkcije prenosa, 7 Pojam opservabilnosti sistema biće uveden u trećoj glavi, kada će moći da se sagleda zašto je ovaj oblik dobio naziv kanonička opservabilna forma.


26

E sU s s a s a s an

nn

( )( ) ...

=+ + + +−

11

2 1

, (1.75)

se, osim na gore opisani način, može simulirati modelom kao na sl. 1.13, što se lako može proveriti nalaženjem ukupne funkcije prenosa iz simulacione šeme.

-an-an-1

-a2-a1

x1x2

xn-1xnU s( )

E s( )

Sl. 1.13. Simulaciona šemal funkcije prenosa (1.75).

Na osnovu te šeme se zapisuju jednačine stanja:

.,

........................,

,

11

121

3112

211

uxaxxxax

xxaxxxax

n

nn

n

n

+−=

+−=

+−=+−=

−

−

&

&

&

&

Ako se, na osnovu ukupne funkcije prenosa (1.70), napiše jednakost:

)( ...

)(1

1 121

1

sUasasas

sbsCn

in

nn

ii∑

+

=−

−

++++= ,

uočava se da se izlaz dobija kao suma diferencijala ulaznog signala, pomno-ženih odgovarajućim faktorima i funkcijom prenosa (1.75) čiji je simulacioni dijagram već dat. Svaki od sabiraka naznačenih u sumi predstavlja neku funkciju prenosa od ulaza U(s) do izlaza. U cilju potpunijeg razumevanja, obratimo se grafu toka signala prethodne simulacione šeme, predstavljenom na sl. 1.14, kome su pridodati ulazi u1 ,...,un i odredimo funkcije prenosa od svakog ulaza do izlaza C(s). Iz grafa nalazimo:

nn

nn

n

iiin

sasasas

sas 1)....(1)( 12

1

1

1 ++++=+=∆ −

=

+−∑ .

Sl. 1. 14. Graf toka signala opservabilne forme.

Pridružene determinante grafa za direktne puteve od ulaza do izlaza su 1,1 ,1)( +==∆ nisi , jer sve zatvorene konture dodiruju bilo koji direktni put. Prenos i-tog direktnog puta je

1,1,1)( 1 +== +− nis

sP ini .


27

-an-an-1

-a2-a1

x1x2

xn-1xn

u

b b b b b1 2 1 1 n- n n+

c

Sl. 1. 15. Simulacioni dijagram kanoničke opservabilne forme.

Prema tome, prenos od i-tog ulaza do izlaza biće

W sP s s

ss

s s a s a s ai

i ii n

n nn

n( )

( ) ( )

( ) ( .. . . )= =

+ + + +=

− −

− −

∆∆

1

12 1

.1,1,.... 12

1 +=++++ − ni

asasass

nn

n

i

Iz ovog izraza vidimo da i-ta funkcija prenosa sadrži i-1-vi diferencijal ulaznog signala. Najzad, ostaje da samo te parcijalne funkcije prenosa pomnožimo odgovarajućim težinskim faktorima bi da se dobiju tražene relacije. Na taj način se dobija simulaciona šema kao na sl. 1.15. Na osnovu te šeme piše se model sistema u prostoru stanja:

.....................................

,)(,)(

1113112

1211

ubabxxaxubabxxax

nnnn

nnnn

+−−−

+

−++−=−++−=

&

&

.

,)(,)(

11

11111

122121

ubxcubabxax

ubabxxax

n

nn

nnn

+

+

+−

+=−+−=

−++−=&

&

Prema tome, model sistema u vektorsko-matričnoj formi biće:

[ ] .0......01

,..................

0......001...0..................0100...01

1

111

122

111

1

1

2

1

ubc

u

babbab

babbab

aa

aa

n

n

n

nnn

nnn

n

n

+

+

+

+−−

+

−

+=

−−

−−

+

−−

−−

=

x

xx& (1.76)


28

Primer 1.11. Dat je sistem: .6531248

)()()( 23

23

++++++

==ssssss

sUsCsG Odrediti modele u

prostoru stanja. S obzirom da je stepen brojioca isti kao stepen imenioca, za prvi postupak (kontrolabilna forma) moramo najpre podeliti brojilac imeniocem, što daje

653

4738208)()()( 23

2

+++++

−==sss

sssUsCsG ,

a odatle se odmah može napisati model:

ucu 8]203847[ ;100

356100010

+−−−=

+

−−−= xxx& .

Sl. 1.16. Simulacione šeme za primer 1.11: kontrolabilna (a),

modifikovana kontrolabilna (b) i opservabilna forma (c).


29

Napomena 1.4: Ako izvršimo promenu redosleda označavanja izlaza integratora (praktično zamenimo mesta x1 i x3 na šemi 1.16a) dobićemo model u obliku

[ ] ucu 8473820 ;001

010001653

+−−−=

+

−−−= xxx& (*)

Drugi postupak (modifikovana kontrolabilna forma) daje:

.786)20(52231,2285)20(32

,20834,8

3

2

1

−=⋅−−⋅−⋅−==⋅−−−=

−=⋅−==

kkkko

Sada je model sistema

[ ] .8001 ;13

2220

356100010

ucu +=

−

−+

−−−= xxx&

Na slici 1.16 su prikazane simulacione šeme kontrolabilne (a) i modifikovane kontrolabilne (b) forme modela ovog zadatka. Za opservabilnu formu imamo neposredno:

[ ] .80......01

,473820

006105013

861852834

006105013

uc +=

−−−

+

−−−

=⇒

⋅−⋅−⋅−

+

−−−

=

x

uxxuxx && (**)

Na sl. 1.16c prikazana je simulaciona šema opservabilne forme. Napomena 1.5: Skrećemo pažnju da se matrica A observabilne forme (**) dobija transpozicijom matrice A kontrolabilne forme (*), dok je vektor b opservabilne forme (**) jednak vektoru d kanoničke kontrolabilne forme (*). Drugim rečima, ako je model

(*) zapisan u obliku:,

,T huc

ux

+=

+=

xd

bAx&opservabilni model je:

.

,T

T

huc

ux

+=

+=

xb

dAx&

Ovakvi modeli sistema nazivaju se dualnim modelima (videti odeljak 3.4). Na osnovu ovog primera i prethodne analize, zaključujemo da je direktno programiranje najlakši put za dobijanje modela u prostoru stanja kada je poz-nata funkcija prenosa. Po jednostavnosti dolazi zatim kanonička opservabilna forma pa modifikovana kontrolabilna forma. Koji će se od navedenih oblika koristiti zavisi od tipa problema koji se rešava kao i od istraživačevog afiniteta. Na kraju, ukažimo još jednom da se za jedan te isti sistem mogu dobiti mnogi modeli. Na primer, ako se u korišćenim simulacionim šemama izvrši preindeksacija promenljivih tako da promenljiva stanja x1 postane xn itd., doći će i do odgovarajuće promene matrica u modelu sistema. Ostavlja se čitaocu da sam dođe do takvih kanoničkih modela.


30

1.5.1.2 Redno programiranje Primenjuje se u slučajevima kada je funkcija prenosa data u faktorizovanom obliku. Razlikovaćemo dve varijante: (a) kada brojilac nema konačne nule i (b) kada brojilac ima konačne nule. a) Redno programiranje sistema bez konačnih nula. Funkcija prenosa je:

W s k

s sii

n( )

( )=

−=∏

1

(1.77)

i može se predstaviti i u obliku

W s ks sii

n( )

( )=

−=∏

1

1,

što predstavlja rednu vezu elementa s pojačanjem k, i n elemenata, čiji opšti predstavnik ima funkciju prenosa

)()(

)(1)(

sUsX

sssW

i

i

ii =

−= ,

na osnovu koje se generiše diferencijalna jednačina prvog reda: iiiiiiii uxsxsUsXsssX +=⇒+= &)()()( , čija je simulaciona šema data na sl.1.17a, odnosno u kompaktnijem obliku na sl.1.17b, gde je isprekidanom vertikalnom linijom naznačeno da se signal ix& dobija kao algebarska suma signala koji dolaze u integrator.

uiui

si

sn si s1

si

a) b)

ku

cx1xi

xn

xi

xi

xi xi.

.

xi.

c) Sl.1.17. Simulacioni dijagrami: (a) i-tog elementa sa sumatorom, b) sa sumacionim

integratorom, (c) kompletna šema dobijena rednim programiranjem. S obzirom na to da su ovakvi elementi vezani na red, simulaciona šema celog sistema dobija se u obliku kao na sl. 1.17c. Ako se, sada, izlazi integratora proglase koordinatama stanja x x xn1 2, ,..., redosledom kako je naznačeno na pomenutoj slici, što nije i jedini mogući redosled označavanja, onda se model sistema u prostoru stanja dobija u sledećem obliku:


31

u

ks

ss

n

+

=...00

0...00.....0...0100...01

2

1

xx& , (1.78)

[ ]x0...01=c .

b) Redno programiranje sistema s konačnim nulama. Kada u funkciji prenosa sistema postoje i konačne nule, ona se može napisati u obliku

nmpssss

ssksW

mqmpj

pjq j

qp

i i=+

−

−

−= ∏∏

=+=

+===

,)(

1)(1

11. (1.79)

Sl. 1.18. Simulaciona šema sistema sa konačnim nulama dobijena postupkom rednog

programiranja.

Kao što se vidi, funkcija prenosa je redna veza dva podsistema: podsistema bez konačnih nula, čija je funkcija prenosa data sa (1.77) i simulacioni dijagram kao na sl. 1.17c, i podsistema sa istim brojem polova i nula:

W ss s

s sq

jqj p

j p mq m

21

1

( ) =−

−== +

= +=

∏ , (1.80)

čiju simulacionu šemu treba sastaviti. Zapisujući, kao i ranije, jedan od faktora (1.80), zatim, deleći brojilac imeniocem, dobija se:

j

j

j

qj

j

q

k

k

ssd

ssss

ssss

sUsC

−+=

−

−+=

−

−= 11

)()( , (1.81)


32

čija je simulaciona šema data na sl. 1.18a. Kombinacijom datih simulacionih dijagrama, konačno se dobija simulaciona šema celog sistema (1.79) kao na sl. 1.18b, gde je qjj ssd −= . Na osnovu simulacione šeme, po ranijoj metodologiji, model sistema u prostoru stanja je:

,...,

....................................,

,,

.....................................,...

,...

12211

2111

1

1111

14433222

13322111

+

++++

+

+−−−

+

+

++++=+=

+=+=

++=

+++++=+++++=

mmm

nnn

mmmm

mmmm

mmmkmm

kkk

kkk

xxdxdxdckuxsx

xxsxxxsx

xxdxsx

xxdxdxdxsxxxdxdxdxsx

&

&

&

&

&

&

(1.82)

ili u matričnom obliku:

[ ] .0 ... 0 1...

,

000..0

.

1

...010.01

........0.01..0.01...

.

.

21

2

1

432

321

1

2

1

x

xx

00

0

m

n

m

m

m

m

m

n

k

k

dddc

u

ks

s

ss

dddsddds

x

xx

xx

=

+

=

=

+

++

&

&

&

&

&

& (1.83)

Moguća je i druga varijanta, kada se promeni redosled podsistema u prethodnoj šemi: najpre se poređaju faktori podsistema sa konačnim nulama a zatim faktori podsistema bez konačnih nula, pojačanje k se prenese na izlaz. Tada će matrice modela imati oblik (1.84) (posle preindeksacije).

[ ]. 0...0

;

1::1110:0

;

.........

...

...

...

......001...00010

001

13

132

1321

321

2

1

ks

ds

ddsdddsdddds

s

s

n

pnp

pnp

pnp

pnp

=

=

=

−−+

−−+

−−+

−

d

bA

00

0

(1.84)


33

Moguće su i druge kombinacije. Preporučuje se čitaocima da nacrtaju simulacioni dijagram za druge moguće kombinacije i izvedu model, a zatim da pokažu da je model sistema ulaz-izaz invarijantan u odnosu na tip modela u prostoru stanja. Redno programiranje se ređe koristi, pogotovu kada postoje konačne nule, jer zahteva faktorizaciju brojioca i imenioca funkcije prenosa, što često nije jednostavno. Jedan oblik rednog programiranja se koristi u postupku paralelnog programiranja, kada postoje višestruki polovi, o čemu še biti reči kasnije.

Primer 1.12. Dat je sistem opisan modelom:)5)(3()1(

)7)(2()( 2 +++++

=sss

ssksW .

Primenom rednog programiranja prevesti ovaj model u prostor stanja. Zapisaćemo najpre model u obliku

)5

21)(3

11()1(

157

32

)1(1)( 22 +

++

−+

=++

++

+=

sssk

ss

ss

sksW

Simulacioni dijagram prikazan je na slici 1.19a.

-1-1

-5 -3

2

-1

u ck

x2x3 x1

x4

a)

-1

-1

-5 -3

2

-1

uk

x2x3 x1x4

b)

Sl. 1.19 Simulacione šeme za primer 1. 12. Na osnovu simulacione šeme, sl. 1.19a prema usvojenim oznakama izlaza integratora, dobijamo model

[ ] . 0121- ;000

1000110001500123

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

=

+

−−

−−

=

xxxx

cu

kxxxx

xxxx

&

&

&

&

Za simulacioni model na sl. 1.19b imamo:

[ ] . 000 ;

1110

5000230021100011

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

=

+

−−−−

−

=

xxxx

kcu

xxxx

xxxx

&

&

&

&


34

1.5.1.3 Paralelno programiranje. Ovaj oblik programiranja dovodi do najpogodnijeg matematičkog modela u prostoru stanja, u kome matrica stanja ima dijagonalan (kada funkcija prenosa ima proste polove) ili blok-dijagonalan oblik (kada funkcija prenosa ima i višestruke polove). Neka je funkcija prenosa sistema oblika

W s C sU s

N sP s

( )( )( )

( )( )

= = , (1.85)

i neka je stepen polinoma u brojiocu (m) manji od stepena polinoma u imeniocu (n). Ukoliko su stepeni isti (m=n), onda se deljenjem brojioca imeniocem, sistem prevodi u paralelnu vezu pojačavačkog elementa s pojačanjem h i podsistema funkcije prenosa, čiji je stepen brojioca za jedinicu manji od stepena imenioca. Razmotrimo, najpre, slučaj prostih polova i m<n.

a) Funkcija prenosa ima proste polove. Dijagonalna forma

Rastavljanjem funkcije prenosa na proste razlomke (primenom Hevisajdovog razvitka ili na osnovu rezidijuma), data funkcija prenosa se može napisati u obliku:

W s N sP s

ks s

i

ii

n( )

( )( ) ( )

= =−=

∑1

, kN sP si

i

i=

( )

' ( ). (1.86)

Svaki od sabiraka se modelira šemom kao na sl.1.17b. S obzirom da je (1.86) paralelna veza elemenata simulaciona šema biće kao na sl. 1.20. Kada se izlazi integratora usvoje za koordinate stanja, tada model sistema u prostoru stanja postaje:

Sl. 1.20. Simulaciona šema dobijena paralelnim programiranjem funkcije

prenosa sa prostim polovima.

[ ] ....

(1.87) ;

1...11

..0....000000

21

2

1

x

xx

n

n

kkkc

u

s

ss

=

+

=&

Kao što se vidi, matrica A je dijago-nalna, s polovima funkcije prenosa kao elementima u glavnoj dijagonali. Vektor b je vektor-kolona sa je-diničnim elementima, a vektor d je vektor-vrsta s elementima ki. Ovakav oblik matrice stanja je veoma pogodan za dalju primenu. U literaturi se ovaj oblik matrice naziva dijagonalna ili Lurjeova kanonička forma.

Ukazujemo na činjenicu da se u simulacionoj šemi faktori pojačanja sastav-nih elemenata (ki) mogu, umesto na izlazu tih elemenata (kontrolabilna forma),


35

postaviti na njihovim ulazima (opservabilna forma). Tada će, umesto vektora b, jedinične elemente imati vektor d, tj. oni će zameniti elemente. Postavlja se pitanje koji od ovih modela je bolji? Odgovor na ovo pitanje ostavićemo za kasnije, kada budemo izučavali osobine sistema.

Primer 1.13. Neka je 6116

1213)( 23

3

++++−

=sss

sssW . S obzirom da su stepeni brojioca

i imenioca isti, vršeći njihovo delenje dobija se );(1)( 1 sWsW +=

3

122

301

121)(;3

122

301

126116

6246)( 23

2

1 ++

+−

++=

++

+−

+=

++++−−

=sss

sWssssss

sssW ;

Simulaciona šema ovog sistema je data na sl. 1.21. Prema tome, model sistema je:

[ ] .123012

,111

3-0002-0001-

3

2

1

3

2

1

uc

uxxx

xxx

+−=

+

=

=

x

x&

&

&

&

ili

[ ] .111

,1230

12

3-0002-0001-

3

2

1

3

2

1

uc

uxxx

xxx

+=

−+

=

=

x

x&

&

&

&

Poslednja dva modela su ista sa stanovišta ulaz - izlaz, međutim, koordinate stanja u ovim modelima nisu identične.

Sl. 1.21. Simulacione šeme sistema iz primera 1.13.

b) Funkcija prenosa ima višestruke polove. Blok-dijagonalna forma. Džordanova matrica. Postupak paralelnog programiranja se usložnjava kada funkcija prenosa ima višestruke polove, zbog kompleksnijeg postupka rastav-ljanja na proste razlomke. Osim toga, matrica stanja se ne dobija u kanoničkom (dijagonalnom) obliku kao kod sistema sa prostim polovima. Ali, ipak,

Napominjemo da su iova dva modela sistemamedjusobno dualni mo-deli (videti odeljak 3.4)


36

paralelno programiranje i u ovom slučaju dovodi do jednog pogodnog matema-tičkog modela s matricom stanja u blok-dijagonalnom obliku, s Džordanovim submatricama. Ne gubeći na opštosti, pretpostavićemo da u funkciji prenosa postoji samo jedan pol (sj) višestrukosti ν, tj.

W s C sU s

K N sP s

KN s

s s s sj ii

n( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )= = =

− −= +∏ν

ν 1

. (1.88)

Funkcija prenosa (1.88) se razlaže na proste razlomke pomoću sledećeg Hevisajdovog razvoja [2]

W s C sU s

k

s sk

s sj p

jpp

i

ii

n( )

( )( ) ( ) ( )

,= =−

+−

−−

=

−

= +∑ ∑

νν

ν

ν0

1

1 , (1.89)

pri čemu se koeficijenti k j p,ν− , p=0,1,...,v-1, određuju po formuli:

jss

jp

p

pj sPsNKss

dsd

pk

=

ν−ν

−=

)()()(

!1

, , (1.90)

a koeficijenti ki po obrascu

k KN sP s

i nii

i= = +

( )

' ( ), , 1ν . (1.91)

sn

xv+1

sv+1

xn

xj,v-1kj,v-1

kv+1

kj,2

kj,v

xj,v

kj,1

sjsj

sj

x1

si

Σ

kn

kn-1xiu

c

x2

1.22. Simulaciona šema sistema (1.89).

Posmatrajući (1.89) uoča-vamo da je drugi sabirak (druga suma) čista para-lelna veza od n-v eleme-nata koji potiču od prostih polova funkcije prenosa. Taj deo sistema se mode-luje kao ranije (sl. 1.20). Prva suma istog izraza, ta-kođe, asocira na paralelnu vezu. Međutim, članovi te sume, osim jednog, se sas-toje iz redne veze različitog broja elemenata (od dva do v) sa identičnim imenio-cima. I ovaj deo sistema se lako modeluje kao redna veza od v identičnih eleme-

nata sa odgovarajućim izlazima pomnoženim težinskim koeficijentima (1.91). Kompletna simulaciona šema data je na sl. 1.22.


37

Na osnovu simulacione šeme može se zapisati matematički model sistema u obliku:

.

;,1 ;

;

;1, ;

1

0 11,

11

∑ ∑−

= +=+−

+

+=

+=+=

+=

=+=

v

p

n

viiippvj

iii

vjv

jjj

xkxkc

nviuxsx

uxsx

vjxxsx

&

&

&

(1.92)

ili u vektorsko-matričnoj formi:

[ ] .;

,0

21

2

1

2

1

=

+

=

i

j

i

j

i

j

c

u

xx

dd

bb

xx

A0A

xx&

&

(1.93)

[ ] [ ] ;...;,...,, T21

T21 nivj xxxxxx +ν+ν== xx

[ ] [ ]T2T

1 1,...,1,1;0,...,0,1 == bb ;

= +

+

=

n

v

v

j

j

j

s

ss

s

ss

0......0.....................00.........0

;

0......0..................010......01

2

1

21 AA ; (1.94a)

[ ] [ ]nvvjvjvj kkkkkk ...;... 2121,1,,1 ++− == dd . (1.94b) Iz (1.94) se vidi da se matrični model sistema dobija u blok-dijagonalnom obliku koji nazivamo Džordanovom formom, takođe pogodnom za dalju primenu. U opštem slučaju, ako funkcija prenosa ima veći broj višestrukih korena, tada se matrica stanja sistema dobija u blok-dijagonalnom obliku:

=

kJ

JJ

A

0...0...............00......0

2

1

, (1.95)

pri čemu Džordanove submatrice Ji imaju oblik matrice A1 u (1.94a) dimenzija q x q, ako potiču od pola višestrukosti q, ili je oblika A2 u (1.94a), odgovarajućih dimenzija, kada potiču od prostih polova. Isto tako, vektor b se sastoji iz odgovarajućeg broja subvektora, kod kojih su svi elementi jednaki nuli, osim zadnjeg, koji je jednak jedinici, kod dela sistema generisanog višestrukim polovima, odnosno svi njegovi elementi su jednaki jedinici, ako taj deo sistema odgovara prostim polovima.


38

Primer 1.14. Dat je sistem )5)(3()1(

)2(10)( 2 ++++

=sss

ssW . Prevesti dati model u

prostor stanja paralelnim programiranjem. Ovde imamo jedan pol (s=-1) višestrukosti ν=2 i dva prosta pola: s3=-3 i s4=-5. Prema (1.89) imamo

∑∑=

= −ν−ν

−+

−=

4

3

1

0

,

)()()(

i i

ip p

j

pj

ssk

ssk

sW ;

;45

)5)(3()1()2(10)1(

!01

12

20

0

2, =

+++

++=

−=ssssss

dsdk j

;165

)5)(3()1()2(10)1(

!11

12

21, =

+++

++=

−=ssssss

dsdk j

;45

)5()1()2(10

323 −=++

+= −=sss

sk ;1615

)3()1()2(10

524 =++

+= −=sss

sk

Sada je )5(

16/15)3(

4/5)1(

16/5)1(

4/5)( 2 ++

+−

++

+−=

sssssW .

Simulacioni dijagram je prikazana na sl. 1.23

-1

-5

-3

-1

u

c

x2

x3

x1

x4

5/4

5/16

-5/4

15/16

Sl. 1.23. Simulacioni dijagram uz primer 1.14.

;

1110

5000030000100011

u

+

−−

−−

= xx&

x

−=

1615

45

165

45c

1.6 MATLAB transformacija modela ulaz-izlaz - prostor stanja Za transformaciju sistema iz s-domena (funkcije prenosa) u prostor stanja može se koristiti MATLAB. To se ostvaruje naredbom:

tf2ss za funkciju prenosa u nefaktorizovanom obliku, odnosno naredbom:

zp2ss za funkciju prenosa u faktorizovanom obliku.

Naredbe su sledećeg oblika: ),(2],,,[ denNumsstfHDBA = , odnosno

),,(2],,,[ kpzsszpHDBA =


39

Primer 1.15 . Prevesti funkciju prenosa 6531248)( 23

23

++++++

=sssssssW u model u

prostoru stanja. Program u MATLAB-u: >> NUM=[8,4,2,1];den=[1,3,5,6];[A,[B,D,H]=tf2ss(NUM,den) A = -3 -5 -6 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 D = -20 -38 -47 H = 8

Napomena 1.6: Treba obratiti pažnju da u MATLAB rešenju matrica stanja A, matrica (vektor) ulaza b, i matrica (vektor) d su dati u kanoničkoj kontrolabilnoj formi (direktno programiranje). Dobijeni model ima ovaj oblik

[ ] .8473820

;001

010001653

3

2

1

3

2

1

3

2

1

uxxx

c

uxxx

xxx

+

−−−=

+

−−−=

&

&

&

Vidite napomenu u paragrafu za direktno programiranje.

Primer 1.16 . Prevesti funkciju prenosa)6)(5)(2()4)(3)(1(8)(

++++++

=sssssssW u model u

prostoru stanja primenom MATLAB-a >> z=[-1;-3;-4];p=[-2;-5;-6];k=8; >> [A,B,D,H]=zp2ss(z,p,k) A = -1.0000 0 0 -1.0000 -11.0000 -5.4772 0 5.4772 0 B = 1 1 0 D = -8.0000 -31.0000 -26.2907 H = 8

Prema tome, model je

[ ] .82907,26328

;011

04772,504772,5111002

3

2

1

3

2

1

3

2

1

uxxx

c

uxxx

xxx

+

−−−=

+

−−−

−=

&

&

&

Dobijeni model se razlikuje od polaznog koji je generisao funkciju prenosa u zadatku transformacije modela iz prostora stanja u funkciju prenosa (videti primer 1.9). To još jedanput potvrđuje da ne postoji jednoznačnost modela u prostoru stanja.


40

LITERATURA [1] Kuo, B. C.: Automatic Control Systems, Prentice-Hall, Inc. Englewood Clifs, NJ,1982. [2]. Stojić, M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd, 1996. [3] Чаки, Ф.: Современная теория управления , «Мир», Москва, 1975. [4] Чиликин, М. Г., Ключев, В. И., Сандлер, А. С.: Теория автоматизированного

электропривода, «Энергия» , Москва, 1979. [5]. Mayhan, J. R.: Discrete-Time and Continuous-Time Systems, Addison-Wesley

Publishing comp, 1984. [6]. Franklin, G. F., Powel, J. D., Emami-Naeni, A.: Feedback Control of Dynamic Systems,

Addison-Wesley Publishing comp., 1986. [7] Воронов, А. А.: Устойчивость, управляемость наблюдаемость,, «Наука»,

Москва, 1979. [8] Воронов, А. А.: Введение в динамику сложных управляемых систем, «Наука»,

Москва, 1975. [9] Cю, Д.,Мейер, А.: Современная теория автоматического управления, «Машино-

строение», Москва, 1972. [10] Ćalasan, L., Petkovska, M.: MATLAB i dodatni moduli Control Systems Toolbox i

SIMULINK, »Mikro knjiga«, Beograd, 1995.

Pitanja za samoproveru U navedenim rečenicama (iskazima) treba popuniti izostavljene reči ili matematičke izraze 1. Za dobijanje matematičkog modela mehaničkog sistema u opštem slučaju

najpogodnija je primena _______________________ jednačina. 2. Lagranžeova funkcija predstavlja razliku ______________ i ____________

energije sistema. 3. Generalisane koordinate predstavljaju translacione ili rotacione_____________ i

___________ . 4. Relejeva funkcija je reprezent ________________sila u mehaničkom sistemu. 5. Košijeva normalna forma zapisivanja diferencijalnih jednačina pretpostavlja da

se na levoj strani modela nalaze ___________________ promenljivih veličina, a na desnoj strani _______________ zavisnost tih veličina i spoljnih uticaja.

6. Matematički model u prostoru stanja je definisan ____________ jednačinom stanja i ____________ jednačinom izlaza.

7. Diferencijalna jedčina stanja sistema je u opštem obliku data relacijom _________, a za linearne stacionarne sisteme ima formu _____________.

8. Algebarska jednačina izlaza u opštem obliku se daje izrazom _________, a za linearne stacionarne sisteme se zapisuje relacijom _____________.

9. Matrica stanja linearnog sistema je _______-dimenzionalna matrica koja definiše funkcionalnu zavisnost između vektora___________________________ i vektora ____________.

10. Matrica izlaza linearnog sistema je _________- dimenzionalna matrica koja definiše funkcionalnu zavisnost između vektora _______________________ i vektora _______.


41

11. Matrica ulaza definiše funkcionalnu zavisnost između vektora ___________ i vektora _____________________.

12. Matrica direktne sprege određuje funkcionalnu zavisnost između vektora _______ i vektora _______________.

13. Matrica funkcija prenosa sistema na osnovu modela sistema u prostoru stanja ___________________definiše se relacijom__________________________.

14. Za jedan dinamički sistem broj koordinata stanja jednak je broju elemenata koji mogu da ____________________energiju.

15. Električna linearna mreža se svodi na mrežu sa otpornicima tako što se svi ________ i __________ zamene pseudoizvorima _________ i ________, respektivno.

16. MATLAB naredba za transformaciju sistema iz prostora stanja u kompleksni domen, kada se funkcija prenosa dobija u nefaktorizovanom obliku je data relacijom_______________________________________.

17. MATLAB naredba za transformaciju sistema iz prostora stanja u kompleksni domen, kada se funkcija prenosa dobija u faktorizovanom obliku je data relacijom ________________________________.

18. Za simulaciju linearnih dinamičkih sistema na analognom računaru potrebna su sledeća tri operaciona elementa _______________________________________.

19. Za simulaciju diferencijalne jednačine n-tog reda potrebno je ______ integratora. 20. Za transformaciju modela ulaz-izlaz u model u prostoru stanja koristimo tri

osnovne tehnike programiranja analognih računara i to:_____________ _____________________________________.

21. Sa stanovišta brzine dobijanja modela u prostoru stanja na osnovu modela ulaz-izlaz najbolje je koristiti tehniku __________________programiranja.

22. Primenom tehnike direktnog programiranja matrica stanja sistema ima oblik koji se naziva _____________forma, a ceo model sistema se naziva ______________ _______________________ forma.

23. Primenom tehnike paralelnog programiranja, kada su polovi funkcije prenosa prosti, dobija se matrica stanja sistema u _______________ obliku, a matematički model se naziva ___________ ili ______________ forma.

24. Primenom tehnike paralelnog programiranja, kada su polovi funkcije prenosa višestruki, dobija se matrica stanja sistema u _______________________ obliku, a matematički model se naziva ________________________ forma.

25. Data je funkcija prenosa sistema )/()()(/)( jq sssssUsC ++= simulaciona šema sistema za analogni računar je kao na slici,

a matematički model u prostoru stanja ima oblik ________________________ 26. Za jedan te isti matematički model u kompleksnom domenu postoji _________

modela u prostoru stanja.


42

Zadaci za vežbu 1. Za mehaničke sisteme sa slika 1.24 i 1.25 formirati matematički model: a) primenom Lagranžeovih jednačina; b) na osnovu ekvivalentne šeme Komentarisati dobijene modele.

K1

K2

b

m2

m1

F

x2

x1

Sl. 1.24

m1 m2

x1k2

b1b2

x1 x2

F1 F2

Sl. 1.25

x

F2

F1

M

m

θ

Sl. 1.26 2. Za mehanički sistem dat na slici 1.26 primenom Lagranžeovih jednačina naći matematički model, a zatim napisati isti u Košijevom normalnom obliku. 3. Za električne mreže prikazane na slikama 1.27a-f odrediti matematičke modele u prostoru stanja

i t( )

u t( )

R1 R2

C

L

c=uC a)

u c

b)

c)

d)

R1R2

R3

C1

C2

L c t( )u

e)

R1

R2R4R3

C1C2

L c t( )

u

f)

Sl. 1.27.


43

4. Odrediti funkciju prenosa sistema čija se dinamika opisuje relacijama: a) ]3,1[];1;1[];2,0;0,1[ ==−−= dbA ;. b) ]0,3,1[];2;1;1[];5,0,2;4,2,0;0,0,1[ ==−−−= dbA ;[0,4,-39,-73];[1,-2,-13,-10] c) ]3,1,0[];0;1;1[];1,0,4;2,2,0;0,1,0[ ==−= dbA ; d) ]0,0,3,1[];1;0;1;1[];0,1,1,0;0,10,5,2;5,0,2,0;2,0,0,1[ ==−−−= dbA .

5. Odrediti matricu funkcija prenosa sistema opisanog sa: a) ]1,0,0;0,0,1[];1,0;0,1;0,0[];2,1,1;3,4,0;0,1,0[ ==−−−= DBA ; b) ]1,0,1;0,1,1[];1,1;0,1;0,1[];2,1,1;3,4,2;0,1,1[ ==−−−= DBA ; c) ]1,0,1;1,1,1[];1,8;0,1;0,5[];2,1,8;3,4,4;0,1,2[ ==−−= DBA ; d) 0,0,1,1] [1,0,0,1; 0,1;1,0]; [0,0;1,0; 0,1,2,0]; 1,2,0;1, 4,3;0,2, [1,0,1,0; ==−−−= DBA 6. Na slici 1.28 je prikazan graf toka signala sistema. a) Nacrtati simulacioni dijagram za simulaciju datog sistema na računaru. b) Napisati model sistema u prostoru stanja.

u 1

-2

112s-1 s-1

s-1

ck

Sl. 1.28 x

x

xσ

jω

0

j2

-j2

-4 -2-6 k

Sl. 1.29

7. Povratni prenos sistema ima raspored kritičnih frekvencija kao na slici 1.29. Sistem je obuhvaćen negativnom povratnom spregom. Nacrtati simulacioni dijagram sistema i napisati matematički model sistema u prostoru stanja.

8. Sistem je opisan sa:

2122

21211

25,34

uyyyuuyyy

=+++=++

&&&&

&&&

Napisati model sistema u prostoru stanja i nacrtati simulacioni dijagram. 9. Dat je sistem opisan modelom

.)34(

86)(22

2

++++

=sss

sssW

Primenom tehnika programiranja nacrtati simulacione dijagrame i napisati odgovarajući model u prostoru stanja primenom:

a) direktnog programiranja; b) paralelnog programiranja; c) rednog programiranja 10. Funkcija prenosa sistema je

)34)(5()84)(1()( 2

2

++++++

=sssssssW

Primenom tehnika programiranja nacrtati simulacione dijagrame i napisati odgovarajući model u prostoru stanja primenom:

a) direktnog programiranja; b) paralelnog programiranja; c) rednog programiranja.

Glava 2: Određivanje odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja45

2.1 Fundamentalna matrica i odziv sistema 45

2.1.1 Primena MATLAB-a za nalaženje odziva sistema 47

2.2 Diskretni model vremenski kontinualnog sistema 48

2.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju modela u diskretni domen 50

2.3 Fundamentalna matrica Džordanove submatrice 51

2.4 Fundamentalna matrica kompanjon forme 52

2.5 Transformacija modela u prostoru stanja 55

2.5.1 Svođenje sistema na dijagonalnu formu 56 2.5.1.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u dijagonalnu formu 57

2.5.2 Svođenje sistema na kanoničku kontrolabilnu formu 58 2.5.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u kontrolabilnu formu 60

2.5.3 Svođenje sistema na Džordanov oblik 60 2.5.3.1 Primena MATLAB-a za svođenje na Džordanov oblik 62

2.6 Procesi u linearnim SAU 62

Literatura 64


Zadaci za vežbu 66

a

Glava 2.

ODREDJIVANJE ODZIVA SISTEMA NA OSNOVU MODELA U PROSTORU STANJA

2.1 Fundamentalna matrica i odziv sistema Modeli sistema u prostoru stanja, kao što je već rečeno, obezbeđuju kom-paktnost zapisivanja složenih, multivarijabilnih ili velikih sistema. Oni su omogućili otkrivanje novih osobina nepoznatih u klasičnoj teoriji SAU, kao što su kontrolabilnost, opservabilnost, stabilizabilnost, o čemu ćemo govoriti kasnije. Posebna pogodnost modela u prostoru stanja je istovremeno određi-vanje odziva sistema na svim izlazima, pri delovanju pobudnih signala na svim ulazima, uz prisustvo svih početnih uslova. Neka je, najpre, dat sistem s jednim ulazom i jednim izlazom, čiji je model u prostoru stanja

.

,Txd

bAxx

=

+=

c

u& (2.1)

Potrebno je odrediti impulsni, odskočni ili odziv sistema na bilo koju pobudu. Za rešavanje tog zadatka može se poći različitim putevima. Jedan od njih je, s obzirom da je sistem s jednim ulazom i jednim izlazom, pretpostaviti nulte početne uslove, prevesti model u oblik funkcije prenosa, uz korišćenje ranije datih postupaka u kursu TAU-1. Pretpostavimo najpre da je sistem autonoman i da se on kreće samo pod dejstvom nenultih početnih uslova. Tada model (2.1) postaje

.

0,const)0(,Txd

xxAxx

=

≠===

co&

(2.2)

Primenimo li na ovu homogenu diferencijalnu jednačinu, u cilju njenog rešava-nja, Laplasovu transformaciju dobijamo:

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja -2

46

.)(][)(][)(

)(][)()0()(

0011

01 xxAIxxAIX

xXAIAXxX

tstss

sssss o

Φ=−=⇒−=

⇒=−⇒=−−−− L

(2.3)

Obratimo sada pažnju na ][)( 11 −− −= AIst LΦ . Očigledno je da je to matrica, jer je ][ AI −s matrica. Pretpostavimo dalje da je matrica A dijagonalna (dobijena postupkom paralelnog programiranja). Njeni dijagonalni elementi si su polovi funkcije prenosa, odnosno sopstvene vrednosti matrice stanja A, sistema (2.1), pa je matrica ][ AI −s :

−

−−

=−=−=

n

nii

ss

ssss

sss

0...0...............000...0

dij][ 2

1

1,

AI . (2.4)

Zbog specifičnog oblika ove matrice, njena inverzna matrica je niisss 1,

11 )dij(][ =−− −=− AI , (2.5)

pa je

]dij[1dij)( 1 ts

i

iess

t =

−

= −LΦ . (2.6)

Rešavajući, sada, zadatak - određivanje normalnih odziva (početni uslovi su nulti), primenjujući isti postupak, dobija se:

,d)()d)()()(

)(][)()(][)(

00

111

∫∫ ττ−τ=τττ−=

⇒−=⇒−= −−−

tt

tuutt

sUstsUss

bbx

bAIxbAIX

(ΦΦ

L

(2.7)

jer se inverzna Laplasova transformacija proizvoda dveju kompleksnih funkcija dobija konvolucionim integralom. Na taj način određene su sve koordinate stanja sistema. Izlaz sistema, pri delovanju Dirakovog/Hevisajdovog signala, uzimajući u obzir (2.6) i (2.7) biće, respektivno:

w t t ttt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,= − = −∫∫d b d bT T

00

d dΦ Φτ δ τ τ τ δ τ τ (2.8a)

j t t h h ttt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = −∫∫d b d bT T

00

d dΦ Φτ τ τ τ τ τ . (2.8b)

Ako se zahteva određivanje odziva na bilo koji ulazni signal s nenultim početnim uslovima, koristeći princip superpozicije, dobiće se izrazi:

x x b x b( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t u t t u to

t

o

t= + − = + −∫ ∫Φ Φ Φ Φτ τ τ τ τd d

0 0

, (2.9a)

c t t( ) ( )= d xT . (2.9b)

Glava 2.: Određivanje odziva sistema u prostoru stanja

47

Drugi način za dobijanje rešenja diferencijalne jednačine stanja sistema (2.1) je korišćenje analogije s načinom rešavanja skalarnih diferencijalnih jednačina. Razmotrimo, opet, samo homogeni deo matrične diferencijalne jednačine stanja dato),()( 0 −= xAxx tt& . (2.10) Odgovarajuća skalarna diferencijalna jednačina ima oblik ,dato),()( 0 −= xtaxtx& a njeno rešenje je 0)( xetx at= . Pretpostavimo da je i rešenje naše homogene matrične diferencijalne jednačine analogno rešenju skalarne, 0)( xx Atet = . (2.11) Ako je (2.11) zaista rešenje, onda ono mora da zadovoljava datu diferencijalnu jednačinu. Diferencirajući (2.11) po t i zamenjujući u (2.10) dobija se identitet. Prema tome, (2.11) je zaista rešenje (2.10). Upoređujući (2.3) i (2.11) dolazimo do zaključka da je tet A=)(Φ . (2.12) Matrica )(tΦ se naziva fundamentalnom matricom, tranzijentnom matricom ili

matričnim eksponentom ( e tA ). Treći prilaz u nalaženju fundamentalne matrice se zasniva na metodi sukcesivne integracije diferencijalne jednačine, dovodeći do izraza [6]:

∑∞

=== 0 !

1)( kkkt t

ket AAΦ , (2.13)

što je, zapravo, razvoj matričnog eksponenta u red. Ovaj poslednji način se koristi pri numeričkom izračunavanju fundamentalne matrice. Pri tome se uzima konačan broj članova i, naravno, fundamentalna matrica se izračunava s određenom greškom koja se može unapred zadati. Mi ćemo dalje pokazati da takav numerički postupak nije neophodan, jer se analitička forma fundamentalne matrice može dobiti u eksplicitnom obliku ne samo za sisteme s dijagonalnom matricom stanja, dobijene paralelnim progra-miranjem u prisustvu prostih polova, već i za matrice stanja sistema dobijene postupkom direktnog programiranja, odnosno postupkom paralelnog progra-miranja, kada postoje višestruke sopstvene vrednosti matrice stanja. 2.1.1 Primena MATLAB-a za nalaženje odziva sistema Za određivanje odziva sistema, kada su nam potrebni numerički odnosno grafički rezultati može se koristiti MATLAB programski paket. Naredba je oblika [Y,X,t]=initial(A,B,D,H,x0) za odziv sistema na početne uslove, [Y,X]=impulse(A,B,D,H,iu,t), za normalni impulsni odziv; [Y,X]=step(A,B,D,H,iu,t), za normalni odskočni odziv; [Y,X]=lsim(A,B,D,H,U,t), za normalni odziv na bilo koju pobudnu funkciju. Ovde su: Y - matrica izlaznih promenljivih, X - matrica promenljivih stanja, t - vreme trajanja odziva, x0-vektor početnih uslova, iu, su odgovarajuće ulazne funkcije.


48

Primer 2.1 Sistem je dat sa: [ ] ;0;01;10

;0010

==

=

= hdbA Primenom

MATLAB-a odrediti odskočni odziv izlaza i stanja sistema u intervalu vremena od 0 do 1 s. t=linspace(0,1,11);A=[0,1;0,0];B=[0;1];D=[1,0];H=0; >> [Y,X]=step(A,B,D,H,1,t) Nakon startovanja izvršenja programa dobijaju se vektori Y,X i t (u sledećoj tabeli su samo date vrednosti za t , x1 i x2, jer je Y=x1. t 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 x1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 x2 0 0.005 0.02 0.045 0.08 0.125 0.180 0.245 0.320 0.405 0.500 Posle dobijenih numeričkih vrednosti u MATLAB-u komandom plot(t,X) dobiće se grafički prikaz x1 i x2 u funkciji od vremena. Izgled je prikazan na sl. 2.1 (kontinualne linije). Naredba t=linspace(0,1,11) definiše vreme od 0 do 1s u 11 diskretnih ekvidistantnih trenutaka. Primer 2.2 Odrediti normalni nagibni odziv sistema iz prethodnog zadatka t=linspace(0,1,11);A=[0,1;0,0];B=[0;1];D=[1,0];H=0;U=t; [Y,X]=lsim(A,B,D,H,U,t) Posle izvršenja programa dobijaju se numeričke vrednosti promenljivih:t,Y i X. Komandom plot(t,X) dobiće se grafički prikaz kao na slici 2.2 (kontinualne linije).

2.2 Diskretni model vremenski kontinualnog sistema Za simulaciju vremenski kontinualnih dinamičkog sistema pomoću digital-nog računara, kao što je rečeno, koriste se specijalni programi. S obzirom na to da je digitalni računar sekvencijalni automat koji radi u diskretnim vremenskim trenucima, matematički model sistema mora biti prilagođen takvom načinu računanja. Pomenute metode za simulaciju rada analognog računara na digitalnom računaru pretpostavljaju da se signali upravljanja dinamičkog sistema ne menjaju u toku trajanja jedne periode diskretizacije (T). Naime, računar uzima vrednost signala upravljanja na početku periode odabiranja; s tom vrednošću računa odziv sistema koji će biti na kraju te periode i upisuje taj odziv u svoju memoriju. Novodobijena vrednost odziva je novo početno stanje sistema. S početkom naredne periode odabiranja uzima se nova vrednost signala upravljanja i ceo proces računanja ponavlja. Sa stanovišta tačnosti simulacije poželjno je da perioda diskretizacije bude što manja. Međutim, to usporava rad računara i predstavlja poseban problem za rad sistema u realnom vremenu, kada se računar nalazi u konturi regulacije. Osim toga, zbog ograničene tačnosti u predstavljanju analognih signala, zbog diskretizacije, može doći do nagomilavanja grešaka u računanju. Zato se izboru periode odabiranja, kako pri simulaciji dinamičkih sistema, tako i za rad računara u upravljačkoj konturi, u realnom vremenu, mora posvetiti dužna pažnja. Preporučuje se da perioda odabiranja bude bar nekoliko puta manja od najmanje vremenske konstante dinamičkog sistema koji se simulira ili upravlja


49

pomoću računara. Pri tome treba voditi računa ne samo o dinamici objekta upravljanja, već i o dinamici celokupnog (spregnutog) sistema u čijoj konturi radi računar. Mi ćemo ovde, polazeći od odziva sistema na bilo koje upravljanje, odrediti diskretni model sistema koji će davati vrednosti stanja sistema i izlaza u trenut-cima odabiranja, pretpostavljajući da se signal upravljanja do početka nove periode diskretizacije nije promenio. Pođimo od izraza za odziv stanja sistema (2.9a), napisanom u obliku

x x BuA A( ) ( ) ( )t e e ttt

= + −∫00

dτ τ τ , (2.14)

i pretpostavimo da su stanje sistema i upravljanje poznati na početku k-te pe-riode odabiranja. Usvojimo početak k-te periode kao nulti trenutak i pretpos-tavimo da se upravljanje ne menja do kraja te periode odabiranja. Tada je stanje sistema na kraju te periode odabiranja:

x x BuA A(( ) ) ( ) ( )k T e kT e kTTT

+ = + ∫10

dτ τ . (2.15)

S obzirom na to da je u(kT)=const, (2.15) možemo zapisati kao

x x B uA A(( ) ) ( ) ( ) ( )k T e kT e kTTT

+ = + ∫10

dτ τ . (2.16)

Izraz (2.16) je rekurentna relacija za izračunavanje stanja sistema. To znači da se proces računanja odziva stanja dinamičkog sistema na digitalnom računaru opisuje relacijom ,...2,1,0 );()())1(( =+=+ kkTkTTk dd uBxAx (2.17) gde su:

τ==== ∫ τ d)( ,)(0

d BBBAA AA

TT

d eTeT , (2.18)

matrica stanja i ulaza vremenski diskretizovanog sistema. Naravno, izlaz sistema se izračunava na osnovu poznate algebarske jednačine izlaza kao: c Dx Hu( ) ( ) ( )kT kT kT= + . (2.19) Na taj način se određuju odzivi sistema putem sekvencijalnog računanja.

Primer 2.3. Neka se dinamički sistem opisuje sa ;10

;0010

=

= bA

[ ];01T =d . 0=H . Model sistema je dat u kanoničkoj kontrolabilnoj formi Fundamentalna matrica sistema je, na osnovu (2.3):

=⇒=

=

−=

−−

101

)(10

10

1)( Φ

11 T

Tet

ss

t t AAL .


50

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

x1

x2

x(t),

x(kT

)

t, s Sl. 2.1. Odzivi stanja sistema iz primera 2.2: stvarnog (kontinualne linije) i diskre-tizovanog modela (stepenaste linije) pri delovanju jediničnog odskočnog signala.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

x1

x2x(t),

x(k

T)

t, s Sl. 2.2. Odzivi stanja sistema iz primera 2.2: stvarnog (kontinualne linije) i diskre-tizovanog modela (stepenaste linije) pri delovanju jediničnog nagibnog signala.

).(2/d10

101

d2

00

TT

TeTT

bbA =

=τ

τ=τ ∫∫ τ

Prema tome, diskretni model sistema je

)(2/

)()(

101

))1(())1(( 2

2

1

2

1 kuT

TkTxkTxT

TkxTkx

+

=

++

Neka je T=0,1 s i neka je upravljanje Hevisajdova funkcija. Tada je

.1)( );(1,0)())1((

),(005,0)(1,0)())1((

22

211

=+=+++=+

kTukTukTxTkxkTukTxkTxTkx

Pretpostavimo nulte početne uslove. Odziv stanja sistema biće kao na sl. 2.1. Kao što se sa slike vidi, diskretne vrednosti se u trenucima odabiranja poklapaju sa stvarnim vrednostima, dok izmedu trenutaka odobiranja diskretizovani signali imaju konstantnu vrednost. U cilju isticanja značaja nepromenljivosti signala upravljanja između trenutaka odabiranja, na sl. 2.2 je prikazan odziv kontinualnog i diskretnog modela sistema pri delovanju jediničnog nagibnog signala na ulazu. Kao što se s te slike vidi, vrednosti stanja diskretizovanog sistema u trenucima odabiranja nisu više jednake vrednostima kontinualnog modela u tim istim vremenskim trenucima. Iz ovog primera se i vidi značaj korišcenja što manje periode diskretizacije. Medutim, kao što je ranije rečeno, nije celishodno ići na suviše malu periodu diskretizacije zbog dužine računanja, kao i zbog mogućeg gomilanja grešaka usled diskretizacije.

2.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju model u diskretni domen Za transformaciju vremenski kontinualnog modela sistema u vremenski diskretni model može se koristiti MATLAB. Naredba je oblika [Ad,Bd]=c2d(A,B,T), gde su Ad=A(T) i Bd=B(T), T - perioda diskretizacije.


51

2.3 Fundamentalna matrica Džordanove submatrice Postupkom paralelnog programiranja, kada funkcija prenosa poseduje višestruke polove (videti odeljak 2.4.1.3b), dolazi se do matrice stanja sistema koja ima blok-dijagonalni oblik, s Džordanovim submatricama oblika

Sl. 2.3. Simulacioni model za određi-

vanje fundamentalne matrice Džordanove submatrice

J k

k

k

k p p

s

s

s

=

×

1 0 0

0 1 0

... . . . . . . . . .

0 ... 0

.

Do izraza za fundamentalnu matricu doći ćemo posmatrajući simulacioni dijagram dela sistema koji odgovara višestrukom polu sk, sl. 2.3.

S obzirom na to da smo u odeljku 2.1 fundamentalnu matricu određivali iz homogenog dela diferencijalne jednačine stanja, pri dejstvu početnih uslova, i ovde ćemo postupiti na isti način. Iz simulacionog dijagrama se vidi da je:

( )

......

,)0()0(

)(

,)0(

)()()0()(

12111

k

p

k

pppkpp

k

pppkpppkp

ssx

ssx

sXxsxx

ssx

sXsXsxssXxsx

−+

−=⇒+=

−=⇒=−⇒=

−−−−&

&

⇒−=+= −+−− ;1,0 ;1 pixsxx ipkipip&

( ) ( ) ( ) ( ) .

)0(...

)0()0()0()( 1

211

k

ipi

k

pi

k

pi

k

pip ss

xss

xss

xss

xsX

−++

−+

−+

−= −

−−−

+− (2.20)

Koristeći sledeće pravilo inverzne Laplasove transformacije:

L−−

−

+

=

−1

111( ) ( )!s a

tn

en

nat ,

original (2.20) postaje

x t t

ie x t

ie x t

ie x

e x i p

p i

is t

p

is t

p

is t

p

s tp i

k k k

k

−

−

−

−

−

−

= +−

+−

+

+ = −

( )!

( )( )!

( )( )!

( )

.. . ( ); , .

01

02

0

0 0 1

1

1

2

2

(2.21)

Na taj način se dobija: - za i=p-1:

x t tp

e x tp

e x tp

e x e xp

s tp

ps t

p

ps t

ps tk k k k

1

1 2

1

3

2 110

20

30 0( )

( )!( )

( )!( )

( )!( ) ... ( )=

−+

−+

−+ +

− −

−

−

−


52

- za i=p-2:

x t tp

e x tp

e x tp

e x e xp

s tp

ps t

p

ps t

ps tk k k k

2

2 3

1

4

2 220

30

40 0( )

( )!( )

( )!( )

( )!( ) .. ( )=

−+

−+

−+ +

− −

−

−

−

..............................................................................................

- za i=2: x t t e x te x e xps t

ps t

ps t

pk k k

− − −= + +2

2

1 220 0 0( )

!( ) ( ) ( );

- za i=1: x t te x e xps t

ps t

pk k

− −= +1 10 0( ) ( ) ( );

- za i=0: x t e xps t

pk( ) ( )= 0 .

Ove relacije možemo napisati u matričnom obliku

. )0()(

)0()0(

...)0()0(

...............

2)!-(....

2!

1)!-(... ...

2!

)()(

...)()(

)(

1

2

122

12

1

2

1

xΦx

0

t

xx

xx

ete

e

petettee

petettee

txtx

txtx

t

p

p

ts

ts

ts

tsptststs

tsptststs

p

p

k

k

k

kkkk

kkkk

=

=

=

−

−

−

−

Fundamentalna matrica, za ovaj slučaj, može se napisati u kompaktnom obliku

;

1 .... ........1

...)!(

... 1

)(0

pp

vj

tstvj

t

eet kk

×

−

−

== JΦ (2.22)

vrstebroj redni1,1,kolone broj redni,2 −−=−= pvpj .

2.4 Fundamentalna matrica kompanjon forme Postupajući na isti način kao u prethodnom slučaju, tj. razmatrajući autonomni sistem koji se kreće pod dejstvom samo početnih uslova, nalazeći kompleksne likove koordinata stanja u funkciji početnih uslova i njihovih inverznih Laplasovih transformacija, dobiće se eksplicitni oblik fundamentalne matrice kanoničke kontrolabilne forme. Na sl. 2.4 prikazan je graf toka signala dela sistema, predstavljenog u kompanjon formi, koji se sada razmatra. Determinanta grafa je

∆( ). .. ( )s

s a s a s as

D ss

nn

n

n n=

+ + + +=

−12 1 . (2.23)

Odredimo, najpre, operatorsku vrednost stanja x1 u funkciji od svih početnih uslova promenljivih stanja. S grafa se uočava da je prenos direktnog puta i-tog


53

početnog uslova P s si

i( ) = − . (2.24) Osim toga, vidi se da se sve zatvorene putanje dodiruju, a direktnu putanju i-tog početnog uslova ne dodiruje samo n-i zatvorenih putanja koje joj prethode. Zbog toga su pridružene determinante grafa

∆ in k

k

k n j

n ik

n i

jj i

j i

n

nsa

s sa s a( ) ,= + =− +

= −

−=

+−

=+=∑ ∑1

11.1

1

-

1 1 (2.25)

P ss s

a ss

a si i i n i jj i

j i

n

n jj i

j i

n

∆ ( ) .= =− +

−

=+

−

=∑ ∑

1 1 11 1 (2.26)

x1x2x3xn-1xn

x x x x xn n-(0) (0) (0) (0) (0)1 3 2 1

s-1s-1 s-1s-1 s-1 s-1

s-1 s-1s-1

-a1

-a2-a3-an-1-an

xn.

Sl. 2. 4. Graf toka signala dela sistema opisanog

modelom u prostoru stanja u kanoničkom kontrolabilnom obliku.

Kako je sistem linearan, koordinata X1(s) se dobija na osnovu principa super-pozicije:

X ss

P xii

ni i1

1

10( )

( )( )=

=∑

∆∆

= +−

==∑∑

10

1∆( )( )

s sa s x

n jj i

j i

n

i

ni

11

⇒ =

+

−

==∑∑ 1X s

D sa s xj

j i

j i

n

i

ni1

1

10( )

( )( ); (2.27)

D s a sn ii

n n i( ) = −− +=

−∑ 10

karakteristični polinom sistema.

Označimo sa w t wD s

( )( )

= =

−L 1 1 , a sa w sD s

jj

( )

( )=

−L 1 -j-ti izvod w(t).

Tada se original x1(t) dobija iz (2.27) u obliku

x t asD s

x a w xj

j i

j i

n

ii

n

jj i

j i

n

i

n

i11

11

11

0( )( )

( ) ( )=

=

−+

−

==+

−

==∑∑ ∑∑L (0) ,

odnosno u vektorsko-matričnom obliku

= ∑∑∑

−=

+−+

=

−+

=

−+

(0)...(0)(0)

...)( 2

1

1

)1(1

2

)2(1

1

)1(11

n

n

nj

njjk

n

j

jj

n

j

jj

x

xx

wwawawatx .

Vektor-vrsta u prethodnom izrazu je prva vrsta fundamentalne matrice Φ(t) posmatranog sistema. S obzirom na specifičan oblik matematičkog modela, kada je naredna promenljiva stanja diferencijal prethodne, ostale vrste se dobi-jaju diferenciranjem prethodnih. Međutim, daljim korišćenjem gore datog pos-


54

tupka i na ostale promenljive stanja, dobiće se, za teorijsku analizu, pogodniji oblik fundamentalne matrice, koji glasi [4]:

.,1+=;,2=

;1-2,= ;,2=

;

............

...............

......

...............

......

)(

kolona ta-............... kolona ta-................ kolona 1.

0

)1(1

)1()1(1

)2(1

)(1

1

)1(1

nrzrq

nrnu

wa

wwawa

wwawa

t

nr

r

j

zrjj

un

rj

qrjj

u

n

rj

rjj

n

j

jj

−=

∑

∑

∑∑

=

−+−+

−

=

−+−+

−

=

−+

=

−+

Φ (2.28)

Konačno, kada se radi o konkretnom sistemu, fundamentalna matrica se prosto dobija korišćenjem opšteg člana prve vrste oblika

φ1r jj r

j r

nt a w r n( ) ,( )= +

−

=∑ 1 = 1, . (2.29)

čijim se sukcesivnim diferenciranjem dobijaju opšti članovi 2., 3., ..., n-te vrste. Osnovni problem u nalaženju ove fundamentalne matrice sastoji se u dređivanju

)()( 11 sDwtw −−== L . To zahteva nalaženje korena karakteristične jednačine. Ali, i kada je polazni sistem dat u obliku funkcije prenosa sa nefaktorizovanim imeniocem, za korišćenje drugih tipova modela (dijagonalna, blok-dijagonalna forma) moraju se, takođe, odrediti koreni karakteristične jednačine. Tada postupak preko direktnog programiranja u mnogim slučajevima može biti kraći.

Primer 2.4. Za sistem dat sa:

[ ] [ ] [ ]011;100;6 11;6

0 TT

21

22 ==−−=

−

= dbaaI

Ax

x .

Odrediti normalni odskočni odziv. Karakteristični polinom sistema je 6116 23 +++ sss . Njegovi koreni su: =1s

,1− .3,2 32 −=−= ss Stoga je )()( 11 sDtw −−=L ttt eee 32 5,05,0 −−− +−= Normalni odskočni odziv biće

[ ] ττ

τ−φτ−φτ−φτ−φτ−φτ−φτ−φτ−φτ−φ

=ττ= ∫∫ τ− d)(100

)()()()()()()()()(

011d)()(0

333231

232221

131211

0

)( httttttttt

hetjtt

t bd A

[ ] [ ]∫∫

∫∫∫ ∫

τ−+−+τ+−=

ττ−+ττ−=ττ−φ+ττ−φ=

τ−−τ−−τ−−τ−−τ−−τ−−t

tttt

ttt

ttt t

eeeeee

twdtwtt

0

)(3)(2)(

0

)(3)(2)(

000 02313

d 5,125,0d 5,05,0

d)(')(d)(d)(

[ ] )1(21)1(

31d 23

0

)(3)(2 ttt

tt eeee −−τ−−τ−− −−−=τ−= ∫ .


55

2.5 Transformacije modela u prostoru stanja U prethodnim odeljcima smo pokazali kako se vrši transformacija matema-tičkog modela sistema iz prostora stanja u funkciju prtenosa i obrnuto - funkcije prenosa u prostor stanja. Na osnovu direktnog, rednog i paralelnog programira-nja uveli smo nekoliko različitih modela zapisivanja sistema u prostoru stanja. Često puta je potrebno transformisati jedan oblik matematičkog modela u prostoru stanja u drugi. Osnovna potreba za takvom transformacijom leži u pogodnosti jednog modela nad drugim pri rešavanju konkretnih problema analize i sinteze. Generalno uzevši, najpogodniji oblik je dijagonalna forma, koju smo dobijali postupkom paralelnog programiranja, kada sistem poseduje proste polove. Ako svi polovi nisu prosti, dobija se blok-dijagonalni oblik matrice stanja sistema s Džordanovim submatricama. Konačno direktno programiranje dovodi do kanoničke kontrolabilne forme, veoma pogodne za projektovanje povratne sprege po stanju sistema. Neka je dat model sistema u prostoru stanja, dobijen nekim od načina programiranja:

),()()(),()()(

tttttt

HuDxcBuAxx

+=+=&

(2.30)

i neka je model tog istog sistema dobijen drugim načinom programiranja:

).()()(

),()()(

ttt

ttt

uHxDc

uBxAx)))

)))&)

+=

+= (2.31)

Potrebno je naći konstantnu nesingularnu matricu P koja sistem (2.31) prevodi u sistem (2.30), odnosno koja stanje x) transformiše u stanje x, tj.: )()( tt xPxxPx &)&

) =⇒= .1 (2.32) Sprovodeći očigledne transformacije:

),()()(

),()()(

)()()(11

tttttt

ttt

HuxDPcBuPxAPPx

BuxAPxP

+=+=

⇒+=−−

)

)&)

)&)

dobijaju se:

. ,

, , 11

HHDPD

BPBAPPA

==

== −−

))

))

(2.33a)

ili

. ,

,ˆ ,ˆ1

1

HHDPD

BPBPAPA

==

==−

−

) (2.33b)

11 Moguće je postupiti i na sledeći način: TBuxTATxxTxTxx +=⇒=⇒= −− ˆˆˆˆ 11 &


56

2.5.1 Svodjenje sistema na dijagonalnu formu U cilju određivanja elemenata matrice transformacije P, prvu relaciju iz (2.33a) zapišimo u obliku APAP =

). (2.34)

U (2.34) znamo matricu A i znamo da matrica A)

mora biti dijagonalna, s elementima ravnim sopstvenim vrednostima matrice A, pa prethodni izraz zapisujemo u obliku:

[ ] [ ]n

n

n

s

ss

pppAppp ...

0...0...............00......0

... 212

1

21 =

, (2.35)

gde su nii ,1, =p - vektori kolone matrice P. Posle množenja dobija se: .,1 ,0)( niss iiiii ==−⇒= pAIApp (2.36) Ova matrična algebarska jednačina predstavlja sistem od n-skalarnih, algebar-skih, homogenih jednačina čije su nepoznate veličine elementi vektora pi (pi1, pi2 , pi3,..., pin, koji će imati jedinstvena rešenja samo u slučaju ako je njegova determinanta jednaka nuli [11], tj: 0]det[ =− AIs , (2.37) za svako niss i ,1, == . Prema tome, koreni karakteristične jednačine sistema, odnosno polovi funkcije prenosa, su ujedno i sopstvene vrednosti matrice stanja sistema. Vektori pi se nazivaju sopstevnim vektorima sistema. Napomena 2.1: Kada je matrica polaznog sistema A u kompanjon formi i ima sve proste sopstvene vrednosti (si≠sj), tada se kao matrica transformacije za prevođenje u dijagonalnu formu može primeniti Van der Mondova matrica:

==

−−− 112

11

222

21

21

.........

.........

...1111

nn

nn

n

n

sss

ssssss

WP . (2.38)

Primer 2.5: Dat je sistem A B D=−

−

=

=

1 1

0 2

1 1

1 0

0 1

1 2 ; ; .

Prevesti dati sistem u dijagonalni oblik. Sopstvene vrednosti ove matrice su koreni jednačine

[ ]. 2, 1

02)1)((020

110det

2

1

−=−=

⇒=++⇒=+−+

⇒=−ss

sss

ss AI

Koristeći (2.34) može se napisati


57

.12p- odabrano) no(proizvolj 1 odabrano); no(proizvolj 1=;0p

2222

2011

2001

1222121211

2221

2221

22122111

2221

1211

2221

1211

2221

1211

−=⇒+−==⇒=

⇒

−−

+−+−=

−−−−

⇒

−

−=

−

−

ppppp

pppppp

pppp

pppp

pppp

=

−= −

1011

, 1011 1PP ,

==

==

== −−

1110

,0112

,2-0

01- 11 DPDBPBAPPA)))

.

Iz prethodnog se vidi da matrica transformacije nije jedinstvena.

2.5.1.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u dijagonalni formu U MATLAB-u postoji potprogram za ovu transformaciju. Koristi se naredba oblika [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,’modal’), što u primeni na ovaj primer imamo: >> A=[-1,1;0,-2];B=[1,1;1,0];D=[0,1;1,2];H=[0,0;0,0]; [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,'modal') Ab = -1 0 0 -2 Bb = 2.0000 1.0000 1.4142 0 Db = 0 0.7071 1.0000 0.7071 Hb = 0 0 0 0 T = 1.0000 1.0000 0 1.4142.

Primer 2.5. Naći matricu transformacije koja prevodi sistem iz primera 2.4 u dijagonalni oblik. S obzirom da je matrica stanja datog sistema u kompanjon formi i njene sopstvene vrednosti su proste, kao matrica transformacije se može primeniti Van der Mondova matrica

−−−==941321

111WP .

Napomena 2.2: u MATLAB-u je korišćena zamenaTxx =ˆ . Veza između matrica transformacije P i T je

P=T-1. Takođe treba primetiti da su element matrice P p11 i p22 proizvoljno izabrane da imaju vrednost 1. Zadrugu izabranu vrednost, matrica P (odnosno matricaT) imaće drugu vrednost, tj. ne postoji jednoznačnostu izboru transformacionih matrica. Na primer, da smousvojili 7071,022 =p imali bi

1

7071,007071,01 −=

−= TP kao što je u MATLAB-u

dobijeno.


58

Zaista, proverom dobijamo: >> A=[0,1,0;0,0,1;-6,-11,-6];B=[0;0;1];C=[1,1,0];D=[0;0;0]; >> P=[1,1,1;-1,-2,-3;1,4,9]; >> P^-1*A*P ans = Columns 1 through 2 -1.0000 0.0000 0.0000 -2.0000 -0.0000 -0.0000 Column 3 -0.0000 0.0000 -2.0000

Napomena 2.3: Linearna transformacija ne menja sopstvene vrednosti sistema niti relacije ulaz-izlaz, u šta se možemo uveriti prelazeći iz prostora stanja u domen funkcija prenosa sistema. U to se možemo uveriti i na ovom primeru prevodeći polazni i transformisani model u kompleksni domen. Preporučuje se čitaocima da to sami urade. 2.5.2 Svodjenje sistema na kanoničku kontrolabilnu formu Neka je linearni stacionarni sistem sa skalarnim upravljanjem opisan relacijama (2.31) i neka ispunjava uslov

nn =− ]ˆˆ.... ˆˆˆˆˆrang[ 12 bAbAbAb , (2.39)

koji se naziva uslovom potpune kontrolabilnosti sistema, o čemu će biti reči kasnije. Tada postoji nesingularna transformaciona matrica P koja (2.31) prevodi u (2.30), tj. xPx ˆˆ = , u kome matrica stanja A ima kanoničku kontro-labilnu formu. Jasno je da relacije (2.33), s izmenjenim označavanjem, važe i u ovom slučaju, pa i relacija (2.34). Na osnovu nje, može se napisati:

−−−

=

− nnnn aaaa p

pp

A

p

pp

ˆ...ˆˆ

........

...01000...010

ˆ

ˆ...ˆˆ

2

1

121

2

1

, (2.40)

što daje sledeće relacije

,ˆˆˆ

............,ˆˆˆ

,ˆˆˆ

1

32

21

nn pAp

pAp

pAp

=

=

=

−

(2.41)

odakle se mogu napisati:


59

1,1 ;,2 ;ˆˆˆ

;,2 ;ˆˆˆ 1

−===

==

−

−

njni

nij

jii

ii

App

App (2.42)

Iz poslednjeg izraza zaključujemo da je za određivanje matrice P potrebno odrediti samo njenu prvu vrstu, tj. vektor vrstu 1p . Ovaj vektor ćemo odrediti koristeći specifičnost vektora b sistema datog u kanoničkom kontrolabilnom prostoru. S obzirom na drugu relaciju u (2.33) i na činjenicu da vektor-kolona b ima sve elemente jednake nuli, osim zadnjeg, koji je jednak jedinici, može se napisati:

=

⇒

=

⇒

=

⇒=

−− 10...0

ˆˆˆ...

ˆˆˆ

ˆˆ

10...0

ˆ

ˆˆ...

ˆˆˆ

10...0

ˆ

ˆ...ˆˆ

ˆˆ

11

1

1

11

21

1

2

1

bAp

bApbp

b

Ap

App

b

p

pp

bbP

nnn

. (2.43)

Poslednja relacija, nakon transpozicije, postaje

]10...0[]ˆˆ...ˆˆˆ[ˆ 11 =− bAbAbp n . (2.44)

Rešavajući po 1p dobija se: 11

1 ]ˆˆ...ˆˆˆ][10...0[ˆ −−= bAbAbp n . (2.45) Prema tome, ako je ispunjen uslov potpune kontrolabilnosti (2.39), tada postoji inverzna matrica matrice kontrolabilnosti, a vektor 1p se nalazi kao njena poslednja vrsta.

Primer 2.6. Sistem:

=

−

−=

001

ˆ;010702300

ˆ bA prevesti u kanoničku kontrolabilnu

formu. Na osnovu datih matrica proveravamo uslov potpune kontrolabilnosti, prema (2.39):

3200

020001

rang]ˆˆˆˆˆrang[ 2 =

−=bAbAb .

Sistem je potpuno kontrolabilan, pa je

[ ] [ ] [ ]5,000200020004

41 100

200020001

100ˆ

1

1 −=

−

−

−=

−=

−

p .

Ostali vektori-vrste matrice transformacije su:

].5,301[ˆˆˆ

];05,00[ˆˆˆ

23

12

==

==

App

App

Tražena matrica transformacije je


60

−=

5,30105,00

5,000P .

Sada je transformisani sistem dat sa:

==

−== −

100

ˆˆ ;076100010

ˆˆˆ 1 bPbPAPA .

2.5.2.1 Primena MATLAB-a za transformaciju u kontrolabilnu formu MATLAB-ov potprogram za ovu transformaciju je oblika

[Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,’companion’).

Za ovaj zadatak ima se: >> A=[0,0,-3;2,0,7;0,-1,0];B=[1;0;0];D=[1,0,0];H=0; [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,'companion') Ab = 0 0 6 1 0 -7 0 1 0 Bb = 1 0 0 Db = 1 0 0 Hb = 0 T = 1.0000 0 0 0 0.5000 0 0 0 -0.5000 2.5.3 Svodjenje sistema na Džordanov oblik Kada su sopstvene vrednosti matrice stanja višestruke, tada se takav sistem može transformisati u Džordanovu blok dijagonalnu formu. Kao i u prethodnom slučaju, potrebno je nesingularnom transformacionom matricom P prevesti sistem (2.30) u sistem (2.31), tako da dobijena matrica A ima Džordanov, a vektor b odgovarajući oblik (videti odeljak 2.4.1.3b). Koristeći (2.34) može se napisati

[ ] [ ]n

j

j

j

n

s

ss

pppAppp ...

0...0....... 010

.....01

... 2121 =

, (2.46)

odakle se dobijaju relacije

Napomena 2.4: Dobijeno rešenje u MATLAB-u imazaista kompanjon formu ali različitu od one kojusmo dobili prikazanim analitičkim postupkom. Lakose uočava da se transpozicijom matrice dobijeneMATLAB programom dobija matrica nađenaanalitički i obrnuto.


61

s s

s s

s s

j j

j j

n j n n j n n

p Ap I A p 0

p p Ap I A p p

p p Ap I A p p

1 1 1

1 2 2 2 1

1 1

= ⇒ − =

+ = ⇒ − = −

+ = ⇒ − = − −

. . . . . .

-

( ) ,

( ) ,

( ) .

(2.47)

Na osnovu njih nalaze se vrednosti vektora pi , pri čemu se neke njegove komponente zadaju proizvoljno.

Primer 2.7. Data je matrica A =−

0 6 5

1 0 2

3 2 4

čije se sopstvene vrednosti nalaze

iz relacije [ ] 0det =−AIs .

[ ] 223 )1)(2(254423

2156

detdet −−=−+−=

−−−−−

−=− sssss

ss

ss AI ,

pa su sopstvene vrednosti: s1 2 1 1= = =, , . s s2 3

Pošto imamo jednu sopstvenu vrednost višestrukosti 2, možemo matricu A svesti na Džordanov oblik

=

100110002

A ,

a za transformaciju polaznog sistema treba odrediti transformacionu matricu P. Primenjujući relacije iz (2.47), za nađene sopstvene vrednosti, dobiće se:

.1,5,0 sedobijaju 1 za0 223221562

312111

31

21

11

−=−==⇒=

−−−−−−−

pppppp

−−=⇒=

−−−−−

−⇒=−

7/57/3

1 0

323211

5610)( 2

23

22

12

22 ppAIppp

s ,

−−=⇒

−−=

−−−−−

−⇒−=−

49/4649/22

1

7/57/3

1

323211

561)( 3

23

22

12

232 pppAIppp

s ,

Matrica transformacije je [ ]321 pppP = ,

−−−−−−=

49/467/5149/227/32/1

1 1 1 P .


62

2.5.3.1 Primena MATLAB-a za svođenje na Džordanov oblik Primenom MATLAB-a se dobija >> A=[0,6,-5;1,0,2;3,2,4];B=[1;0;0];D=[1,0,0];H=0; >> [Ab,Bb,Db,Hb,T]=canon(A,B,D,H,'modal') Ab = 2.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000 Bb = 1.0e+007 * -0.0000 -2.8780 -2.8780 Db = 0.6667 -0.7683 0.7683 Hb = 0 T = 1.0e+008 * -0.0000 -0.0000 0.0000 -0.2878 -1.1512 0.2878 -0.2878 -1.1512 0.2878 Napomena 2.6: Prikazani analitički postupak ne zahteva poznavanje matrica B,D i H, dok MATLAB-ov program zahteva obavezno unošenje podataka za ove matrice. One se mogu uneti kao nulte matrice, što neće uticati na rezultat dobijanja transformisane matrice A i transformacione matrice T. Dobijena matrica T je analogna matrici P-1 u prikazanom analitičkom postupku, uz konstataciju da transformaciona matrica nije jedinstvena.

2.6 Procesi u linearnim SAU Kretanje sistema pod dejstvom pobudnih signala nazivamo procesom. Pri tizučavanju odziva najveću pažnju smo posvetili tipičnim normalnim odzivima sistema, kada na ulaz deluje tipična pobudna funkcija. Pod dejstvom pobudne funkcije nastaje prinudno kretanje - prinudni proces. Pored prinudnog kretanja, definisali smo i autonomno (slobodno) kretanje sistema, koje se, bez spoljašnje pobude, odvija na račun nenultih početnih uslova. U delu određivanja odziva sistema na osnovu modela u prostoru stanja, autonomnom kretanju smo, bez posebnog isticanja, posvetili više pažnje zbog određivanja fundamentalne matrice, dok smo za odziv na osnovu funkcije prenosa isključivu pažnju posvetili procesima izazvanim samo pobudnim signalom. Posmatrajući relaciju

∫ τττ−+=t

utttc

0 TT d)()()0()()( bdxd ΦΦ , (2.48)

koja definiše odziv sistema na bilo koji pobudni signal pri nenultim početnim uslovima, jasno uočavamo dve komponente: prva potiče od nenultih početnih

Napomena 2.5: Kao što se vidi, naredba je ista kao za svođenje na dijagonalni oblik, jer se ovde problem svodi na transformaciju u blok-dijagonalni oblik


63

uslova sistema x(0), a druga - `od spoljašnje pobude u(t). Prvu prvenstveno definiše fundamentalna matrica, dok drugu - konvolucioni integral te matrice i spoljašnje pobude. Pre nego što pristupimo daljoj analizi procesa u linearnom sistemu, razmotrimo jedan prost primer sistema sa skalarnim upravljanjem. Primer 4.8. Neka je dat sistem prvog reda xcuaxx =+−= ,& , na koga u trenutku t=0 deluje Hevisajdov jedinični odskočni signal )()( thtu = , pri čemu je sistem imao nenulte početne uslove 0)0( ≠x . Na osnovu (2.8b) odziv sistema je

).(1)()0()(1)(1)0(=

)()1(1)0(d)()0()(

-

0 )(

tha

eathxth

athe

axe

thea

xehexetc

atatat

atatt taat

+

−=+−

−+=ττ+=

−−

−−τ−−− ∫

U u odzivu sistema iz ovog primera uočavamo tri komponente: 1.- uslov-ljenu nenultim početnim uslovima ( ( )e xat− 0 ); 2.- koja isključivo zavisi od ulaznog pobudnog signala ( ( / ) ( )1 a h t ), i 3.- koja zavisi od pobudnog signala i

fundamentalne matrice ( ( / ) ( )1 a e h tat− ). Nazovimo ove komponente procesa: slobodnim, prinudnim i prelaznim procesom, respektivno. I u opštem slučaju, kod bilo kog sistema, kada jednovremeno deluju nenulti početni uslovi i spoljašnja pobuda, istovremeno postoje sve tri komponente procesa. Ukoliko su početni uslovi nulti, imaćemo samo dve komponente procesa: prelazni proces i prinudni proces. Isto tako, možemo uočiti da se komponenta prinudnog procesa dobija kao rešenje algebarske jednačine, nastale iz diferencijalne jednačine u kojoj su svi diferencijali anulirani. Prema tome, komponenta prinudnog procesa u sistemu opisanom modelom , , TxdbAxx =+= cu& se određuje na osnovu relacije c u∞

−= −d A bT 1 . (2.49) Komponenta prelaznog procesa se, dakle, može odrediti iz izraza

]d)()([)( 1

0 T uuttc

tp bAbd −+τττ−= ∫ Φ . (2.50)

S druge strane, prinudni proces se može tretirati kao proces koji nastaje posle dovoljno dugog vremena od dovođenja pobude na sistem. S obzirom na to da, po pretpostavci, početni uslovi deluju u trenutku t=0 i ono je isključivo za njih rezervisano, da bi imali dovoljno dug vremenski interval za nastanak prinudnog procesa u trenutku posmatranja t, pobudni signal treba da deluje ne u trenutku t=0 već u trenutku t=-∞. Tada se može napisati

∫ ∞−∞ τττ−=t

uttc

T d)()()( bd Φ . (2.51)

Zamenom promenljivih t v v v t v− = ⇒ = − = −∞⇒ = ∞ = ⇒ =τ τ τ τd d , , 0 i oznaka v →τ dobija se ∫

∞

∞ ττ−τ=

0

T d)()()( tutc bd Φ . (2.52)


64

Mogli bi smo zaključiti da su prinudni procesi opisivani relacijama (2.49) i (2.52) identični. Ta konstatacija važi samo za stabilne sisteme. Za nestabilne sisteme relacija (2.52) nije validna. Ako proces u sistemu, nastao delovanjem samo spoljašnje pobude,

∫ τττ−=t

uttc

0 T d)()()( bd Φ , (2.53)

nazovemo opštim procesom, tada se prelazni proces u sistemu nalazi kao razlika opšteg (2.53) i prinudnog procesa (2.52), tj.

∫∞

∞ ττ−τ−=−=

T d)()()()()(

tp tutctctc bd Φ . (2.54)

Izvedeni zaključci o procesima važe kako za sisteme sa skalarnim, tako i za sisteme s vektorskim upravljanjem, za sisteme s jednim ili s više izlaza.

Literatura [1] Dorf, R. C., Bishop, R. H.: Modern Control Systems, Addison-Wesley

Publishing Compani, 1995. [2] Иващенко, Н. Н.: Автоматическое регулирование, »Машиностроение«, Москва,

1978. [3] Kuo, B. C.: Automatic Control Systems, Prentice-Hall, Inc. Englewood Clifs,

NJ, 1982. [4] Milosavljević, Č.: Matematički model jedne klase diskretnih sistema promenljive

strukture, Automatika 5-6 (1983), 267-271. [5] Novaković, B.: Regulacijski sistemi, Sveučilište u Zagrebu, 1985. [6] Stojić, M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd,

1996. [7] Cю, Д.,Мейер, А.: Современная теория автоматического управления,

»Машиностроение«, Москва, 1972. [8] Ćalasan, L., Petkovska, M.: MATLAB i dodatni moduli Control Systems

Toolbox i SIMULINK, »Mikro knjiga«, Beograd, 1995. [9] Воронов, А. А.: Основы теории автоматического управления : Особые линей

ные и нелинейн ые системы, «Энергоиздат», Москва, 1981. [10] Воронов, А. А.: Теория автоматического управления, «Высшая школа», Москва,

1986. [11] Чемоданов, Б., К.: Математические основы теории автоматического

регулирования , «Высшая школа», Москва, 1971. [12] Уткин, В. И.: Скользящше режимы в задачах оптимизации и управления,

«Наука», Москва, 1981. [13] Цыпкин, Я. З.: Основы теории автоматических систем, «Наука», Москва, 1977.


65

Pitanja za samoproveru 1. Dinamički sistem, opisan modelom HuDxcBuAxx +=+= ;& , ima funda-

mentalnu matricu _____ koja se može odrediti na osnovu izraza __________________.

2. Fundamentalna matrica se može dobiti i na osnovu sume beskonačnog reda, tj. __________________

3. Odziv stanja autonomnog sistema na nenulte početne uslove određen je izrazom _________________________, a odziv izlaza sistema - izrazom _________________.

4. Normalni impulsi odziv sistema određen je izrazom ______________________, normalni odskočni odziv - izrazom __________________________, a normalni odziv na bilo koju podudnu funkciju - izrazom ______________________________.

5. Odziv neautonomnog sistema pri nenultim početnim uslovima za bilo koji ulazni signal odrejuje se izrazom ____________________________.

6. Matrica stanja diskretizovanog vremenski kontinualnog sistema određuje se izrazom ______________________.

7. Matrica ulaza diskretizovanog vremenski kontinualnog sistema određena je izrazom _____________________.

8. Diskretizovani model vremenski kontinualnog sistema je dat izrazom _________________________________.

9. Periodu diskretizacije (odabiranja) ______ treba birati tako da bude manja od ____________________________ vremenski kontinualnog sistema koji se diskretizuje.

10. Vrednosti odziva diskretizovanog i vremenski kontinualnog sistema biće iste u trenucima odabiranja ako je _____________________ nepromenljiv u toku _______________________.

11. Fundamentalna matrica kanoničke dijagonalne forme može se predstaviti izrazom __________________________, gde su si - rešenja jednačine ______________.

12. Fundamentalna matrica sistema čija matrica stanja je Džordanovog oblika i sastoji se od dva moda J1 i J2. Prvi mod, J1, odgovara prostim sopstvenim vrednostima, a drugi, J2, višestrukim sopstvenim vrednostima. Oba moda su dimenzija 2 x 2. Fundamentalna matrica takvog sistema data je izrazom:

13. Sistem je opisan modelom dobijenim direktnim programiranjem. Fundamentalna

matrica se može dobiti na taj način što se izraz za prvu vrstu te matrice, koji je dat izrazom ______________________________________ diferencira n-1 puta i svaka vrsta fundamentalne matrice je diferencijal prethodne. U navedenom izrazu w(t) su normalni _____________ odziv prenosa ______________, gde je D(s) karakteristični polinom sistema.

14. Osnovna relacija za transformaciju linearnog modela HuDxcBuAxx +=+= ;&

u model uHxDcuBxAxs& +=+= ˆ ;ˆˆˆˆ ima oblik ____________________________,

gde je P - matrica transformacije.


66

15. Linearna transformacija menja ne menja sopstvene vrednosti sistema niti relaciju ulaz izlaz (podvucite odgovarajuću reč napisanu kurzivom).

16. Za transformaciju sistema iz kompanjon forme u dijagonalni oblik, kada su sve sopstvene vrednosti proste, može se koristiti __________________ matrica kao transformaciona matrica, čije se vrste mogu napisati kao ________________________, gde su si - sopstvene vrednosti sistema.

17. MATLAB naredba za transformaciju sistema u dijagonalni (blok-dijagonalni) oblik je __________________________________.

18. MATLAB naredba za transformaciju sistema u kanonički kontrolabilni oblik je _____________________________________.

19. MATLAB naredba za dobijanje odskočnog odziva je ____________________ 20. MATLAB naredba za dobijanje odziva na bilo koji signal je oblika

_____________________________________. 21. MATLAB naredba za dobijanje odziva na nenulte početne uslove je

___________________________. Zadaci za vežbu 1. Sistem upravljanja je opisan funkcijom prenosa

)()(

1222

122

asassbsbssW++++

=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 а1 -3 3 5 12 16 32 40 60 56 а2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 b1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

a) Napisati model u prostoru stanja primenom direktnog programiranja b) Naći fundamentalnu matricu datog sistema c) Odrediti jedinični odskočni odziv datog sistema d) Odrediti odziv sistema bez pobude, kada je početna vrednost vektora stanja sistema x(0)=[0,0,0,1] e) Odziv sistema pri delovanju jediničnog odskočnog signala na ulazu sistema i nenultih početnih uslova definisanih pod d).

2. Dinamički sistem je opisan relacijama

;0

100010

21

−−=

aaA [ ]001;

100

T =

= db .

Prevesti dati model u dijagonalnu formu. Parametri sistema su dati u gornjoj tabeli.

3. Vremenski kontinualni sistem je opisan modelom

[ ]2T

1211;

0;

10b

baa=

=

−−

= dbA .

Odrediti vremenski diskretni model datog sistema i nacrtati normalni jedinični odskočni odziv sistema za izabranu periodu diskretizacije.

Glava 3: Prostor stanja i osobine sistema 67

3.1 Uvod 67

3.2 Kontrolabilnost (Upravljivost) 68

3.2.1 Kontrolabilnost vremenski diskretnih sistema 69

3.2.2 Kontrolabilnost vremenski kontinualnih sistema 70 3.2.2.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje kontrolabilnosti 71

3.2.3 Kontrolabilnost izlaza sistema 72

3.3 Opservabilnost (stanjemerljivost) sistema 72 3.3.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje opservabilnosti

3.4 Princip dualnosti 73

3.5 Alternativni testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti 74 3.5.1 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti

na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala) 74

3.5.2 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti

na osnovu kanoničke dijagonalne forme 75

3.5.3 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti u s-domenu 76

3.6 Superkontrolabilnost 78

3.7 Dekompozicija sistema 78

3.7.1 Primena MATLAB-a za dekompoziciju sistema 80

3.8 Stabilizabilnost sistema 81

3.9 Zadatak minimalne realizacije 82

3.10 Prostor stanja i stabilnost sistema 83

3.10.1 Druga (direktna) metoda Ljapunova 83 3.10.1.1 Primena MATLAB-a za ispitivanje stabilnosti sistema 86

Literatura 87


Zadaci za vežbu 89

a

Glava 3.

PROSTOR STANJA I OSOBINE SISTEMA 3.1 Uvod Metode analize i sinteze SAU u prostoru stanja se intenzivno koriste od sedamdesetih godina XX veka. Do tada su, uglavnom, korišćeni matematički modeli u obliku funkcije prenosa, tj. modeli tipa ulaz-izlaz. Taj prilaz je čisto inženjerski, jer se, na tom stadijumu razvoja tehnike, od inženjera zahtevalo da projektuje stabilan sistem za regulaciju (stabilizaciju) ili praćenje zadatog refe-rentnog signala s tačnošću i brzinom ne manjom od zadate. Pri tome se nisu postavljali strogi uslovi na druge performanse sistema kao što su minimalizacija nekih kriterijuma kvaliteta: optimalnost po brzini delovanja, po utrošku energije i dr. S razvojem tehnike, a posebno u vezi s kosmičkim istraživanjima, u prvi plan se ističu problemi optimalnosti, što dovodi do razvoja teorije optimalnih sistema. Umesto inženjera, razvoj tih sistema preuzimaju matematičari. Oni, za razliku od inženjera, problemu prilaze analitički, bez početnih uprošćavanja koje, obično, inženjeri koriste. S obzirom na nelinearnosti, prisutne u elemen-tima sistema, ili zbog potrebe uvođenja nelinearnih zakona upravljanja, inženjerski prilazi preko modela ulaz-izlaz (funkcija prenosa) nisu pogodni, pa se prešlo na metode analize u vremenskom domenu, putem neposrednog korišćenja diferencijalnih jednačina. Najpogodniji oblik zapisivanja diferen-cijalnih jednačina je Košijev normalni oblik, što je i dovelo do uvođenja pojma prostora stanja. Pri prevođenju matematičkog modela iz prostora stanja u model ulaz-izlaz mogu se događati skraćivanja polova i nula. Ta skraćivanja dovode do toga da se dinamika tog dela sistema ne manifestvuje na izlazu i, za inženjera, kao da taj deo sistema ne postoji. Ako se skraćivanje ostvaruje u stabilnoj oblasti, ono neće, s inženjerske tačke gledišta, stvoriti posebne proble-me. Ali, ako se skraćivanje odvija u nestabilnoj oblasti, tada se u sistemu mogu dogoditi unutrašnja katastrofična kretanja čije se odvijanje ne može uvek pratiti spolja, već se samo konstatuje neobjašnjiva havarija sistema.

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja - 2

68

Dublja analiza, preko prostora stanja, ukazala je na neophodnost uvođenja novih osobina sistema: kontrolabilnosti (upravljivosti), opservabilnosti (sta-njemerljivosti) i stabilizabilnosti. Upravljanje sistema se može ostvariti na dva načina: upravljanje vektorom stanja x(t) ili vektorom izlaza c(t) pomoću vektora ulaznih signala u(t). S obzirom na to da su stanja i izlazi sistema povezani algebarskim relacijama, najpotpuniji prilaz upravljanju je upravljanje vektorom stanja. Zbog toga se postavlja umesno pitanje: da li je moguće, izabravši na odgovarajući način vektor upravljanja, prevesti stanje sistema iz bilo kog početnog u bilo koje krajnje stanje, ostvarujući pri tome minimalizaciju (maksimalizaciju) nekog kriterijuma kvaliteta? Odgovor na to pitanje daje pojam kontrolabilnosti (upravljivosti) sistema (engl. controllability, ruski: управляeмость). S druge strane, za ostvarivanje optimalnog upravljanja, u navedenom smislu, ali i drugih savremenih metoda upravljanja, potrebno je, u svakom vremenskom trenutku, posedovati informaciju o stanju sistema. S obzirom na to da se fizički mogu meriti samo izlazi sistema koji, u opštem slučaju, nisu neposredno povezani sa svim koordinatama stanja, potrebno je, na osnovu merenih izlaza, rekonstruisati stanje sistema. To nije uvek moguće, na primer, ako postoji skraćivanje polova i nula u funkciji prenosa ili ako neka koordinata stanja nema uticaja na izlaz. Odgovor na pitanje da li je moguće na osnovu merenja izlaza sistema c(t), u nekom konačnom vremenskom intervalu, rekonstruisati stanje sistema x(t) na početku tog intervala, daje pojam opservabilnosti sistema (engl.: opservability; ruski: nablюdaemostь). Pored ova dva značajna pojma, za savremenu teoriju sistema veoma važan je i pojam stabilizabilnosti (engl.: stabilizability; ruski: stabiliziruemostь) koji potencira problem upravljanja sistema u slučaju njegove nepotpune uprav-ljivosti. S ovim pojmovima su neposredno povezani i pojmovi: dualni sistemi, dekompozicija sistema i minimalna realizacija.

3.2 Kontrolabilnost (upravljivost). Potpuna kontrolabilnost (upravljivost) sistema se definiše na sledeći način:

Sistem se naziva potpuno kontrolabilnim (upravljivim) ako za bilo koje vre-menske trenutke t0 i t1 (t1>t0) i bilo koja zadata stanja x0 i x1 postoji upravljanje u(t), (t0 <t<t1), koje prevodi početno stanje x0 u krajnje stanje x1.

Uvođenje ovog pojma u savremenu teoriju SAU se odvijalo sledećom hronologijom [1]: Oldenburg i Sartorijus (1944.)1, razmatrajući problem impulsnog upravljanja sistemom prvog reda, došli su do zaključka da se to može ostvariti za konačno vreme, što nije slučaj kod linearnih kontinualnih sistema. Međutim, taj rezultat nisu dalje eksploatisali smatrajući da je sistem prvog reda samo gruba aproksimacija realnog sistema i da se to ne može realno primeniti. Cipkin (1950.) je pokazao da se u linearnom impulsnom sistemu upravljanja n-tog reda može postići zadata vrednost za n intervala odabiranja.

1 Oldenburg, R. C., Sartorijus, H.:Dynamic selbstätige Regelungen, Berlin 1944.

Glava 3.: Prostor stanja i osobine sistema

69

Takve sisteme je on nazvao sistemi s beskonačnim stepenom stabilnosti. Kalman (1954.), ne znajući za rezultate Cipkina, dolazi do istog zaključka da se može postići konačno vreme regulacije u vremenski diskretnom linearnom SAU. Kasnije on uvodi pojam kontrolabilnosti sistema. 3.2.1 Kontrolabilnost vremenski diskretnih sistema. Pojam kontrola-bilnosti proistekao je iz mogućnosti da se proces regulacije vremenski dis-kretnih sistema ostvari u konačnom vremenu tj. za konačan broj perioda dis-kretizacije, jednak redu sistema n. Stoga ćemo uslove potpune kontrolabilnosti sistema definisati, najpre, na modelu vremenski diskretnog sistema. Neka je dat linearni, vremenski diskretni sistem, opisan diferencnom jedna-činom stanja: )()())1(( kTukTTk dd bxAx +=+ . (3.1) Potražimo skup vrednosti upravljanja (konstantnih unutar periode diskretizacije) koji će sistem (3.1) prevesti iz bilo kog početnog u bilo koje krajnje stanje za n intervala odabiranja. Kako je sistem linearan i stacionaran, uvek možemo izvršiti transformaciju stanja. Dalje ćemo smatrati da je krajnje stanje smešteno u koordinatnom početku prostora stanja. Prema tome, zadatak je da se sistem (3.1) prevede iz bilo kog početnog stanja u nulto stanje ravnoteže. Odredimo, najpre, fundamentalnu matricu diskretnog sistema (3.1) koja će nam omogućiti da nađemo stanje sistema u n-tom trenutku odabiranja, ako poznajemo početno stanje i sekvence upravljačkih signala u svakoj periodi diskretizacije. Primenjujući (3.1) sukcesivno imamo: )0()0()( uT dd bxAx += , (3.2) )()()2( TuTT dd bxAx += , (3.3) Zamenom (3.2) u (3.3) dobija se )()0()0()2( 2 TuuT dddd bbAxAx ++= . (3.4) Nastavljajući sukcesivno za treću, četvrtu ,..., n-tu preiodu diskretizacije nalazimo:

∑=

− −+=n

id

id

nd TinunT

1

1 ))(()0()( bAxAx . (3.5)

Ako je željeno krajnje stanje x(nT)=0, na osnovu (3.5) imamo:

0bAxA =−+∑=

−n

id

id

nd Tinu

1

1 ))(()0( . (3.6)

Množeći (3.6) s leve strane sa nd−A , ta relacija se transformiše u

∑=

−−= −+−n

idd Tinuin

1))(()0( )1( bAx . (3.7)

Zapišimo (3.6) u obliku )0(....)2()1()( 1 ununu d

ndddd

nd bAbAb0xA −++−+−−= 2 . (3.8)

2 Radi kratkoće zapisivanja umesto umesto u(kT) - u(k) .


70

Ovaj izraz se može napisati i kao:

−−

−= −

)0(...

)2()1(

] ... [)( 1

u

nunu

dndddd

nd bAbAb0xA . (3.9)

Matrica Ad je nesingularna. Mi treba da odredimo sekvence signala upravljanja u k k n( ), ,= −0 1 , takve da je (3.9) zadovoljeno. Jedinstveno rešenje će postojati ako je 0]...det[ 1 ≠−

dndddd bAbAb , (3.10)

tj. ako je nd

ndddd =− ]...[rang 1 bAbAb . (3.11)

3.2.2 Kontrolabilnost vremenski kontinualnih sistema Neka je linearni, vremenski kontinualan, stacionaran dinamički sistem opisan diferencijalnom jednačinom stanja BuAxx +=& . (3.12) Potrebno je ovaj sistem prevesti iz bilo kog početnog stanja x(0)=x0 u bilo koje krajnje stanje x(t1)=x1, za konačno vreme t1-to. Bez umanjenja opštosti, s obzirom da je sistem stacionaran, pretpostavićemo da je početni trenutak jednak nuli i da je krajnje stanje nulto stanje. Drugim rečima, želimo da bilo koje stanje sistema prevedemo u nulto stanje ravnoteže za konačno vreme. Ako je to moguće ostvariti, onda je sistem potpuno kontrolabilan. Na osnovu definicije odziva sistema na bilo koju pobudnu funkciju (3.9), imajući u vidu da je krajnje stanje nulto stanje ravnoteže, možemo napisati

∫ ττ+= τ−1 11

0 )( d)()0(

t tt ee Bux0 AA . (3.13)

Kontrolabilnost u ukazanom smislu postojaće samo u slučaju ako se relacija

∫ ττ= τ−1 1

0 )( d)(

t te Buy A (3.14)

može rešiti po u(t) pri bilo kojem n-dimenzionalnom vektoru y xA= −e t1 0( ) . Potražimo u(τ) u obliku [1,2]

[ ] zBzBu AA )(TT)( 1T

1)( τ−τ− ==τ tt ee , (3.15)

gde je z - n-dimenzionalni vektor. Zamenjujući

[ ] RBB AA =τ∫ τ−τ−1 1

0

T)()( dt tt ee , (3.16)

relaciju (3.14) zapisaćemo u obliku y Rz= . (3.17)


71

Prema tome, dovoljno je pokazati da je det R ≠ 0 . Pretpostavimo suprotno: det R = 0 , a to znači da za neki r-dimenzionalni vektor r≠0 je Rr=0. Tada je i r RrT = 0 i iz (3.16) imamo:

∫∫ τ=τ= τ−τ− 1 11 11

0 2)(T

0 T)(TT d][d][

t tt tt eee rBrrBBrRrr AAA , (3.18)

odakle sledi da je

r e BAT ( ) ( , )t t1 0 0 1− = ∀ ∈τ τ . (3.19)

Diferencirajući ovaj izraz po τ , koristeći formulu matričnog računa, dobija se 0,1,2,...=, 0)(T 1 kkt =τ− BAer A Za τ=t1 imamo r A BT ; = 0,1,2, .. .k k= 0 , što znači da je vektor r≠0 ortogonalan u odnosu na kolone matrice ]...[ 12 BABAABBM −= n

c . (3.20) Prema tome, kolone ove matrice ne formiraju bazis, pa je njen rang manji od n, što je u kontradikciji s postavljenim uslovom, a to znači da je detR≠0, pa se jednačine (3.17) i (3.13) mogu rešiti po z, odnosno po u, što je i trebalo dokazati. Prema tome, dovoljan uslov potpune kontrolabilnosti sistema je

,]...rang[rang 12 nnc == − BABAABBM (3.21)

što je potreban i dovoljan uslov potpune kontrolabilnosti sistema po Kalmanu. Napomena 3.1: ako je rangB=r (r je broj ulaza sistema), tada se kriterijum potpune kontrolabilnsosti uprošćava i glasi: nrn =− ]...rang[ 2 BABAABB . (3.22)

3.2.2.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje kontrolabilnosti Za analizu kontrolabilnosti sistema stoji nam na raspolaganju programski paket MATLAB Najpre se naredbom Mc=ctrb(A,B) formira matrica kontrolabinosti Mc, a zatim se naredbom r=rank(Mc) nalazi rang matrice kontrolabilnosti. Na taj način imamo za dati primer: >> A=[0,1,0;5,0,2;-2,0,-2];B=[-1;1;-1]; Mc=ctrb(A,B) Mc = -1 1 -7 1 -7 13 -1 4 -10 >> r=rank(Mc); r = 2


72

3.2.3 Kontrolabilnost izlaza sistema. Uslov kontrolabilnosti izlaza sistema se može dobiti na sličan način. Naime, znajući stanje sistema u funkciji ulaznih signala, može se lako naći izraz za izlaz sistema u funkciji ulaza, jednostavnim množenjem izraza za stanje matricom D. Prema tome, za utvrđivanje izlazne kontrolabilnosti potrebno je i dovoljno zatražiti da bude zadovoljen uslov: mn =− ]...rang[ 12 BDABDADABDB , (3.23) gde je m- broj izlaza sistema.

Primer 3.1. Dat je sistem [ ];012;1

11

;202

205010

T −=

−

−=

−−= dbA

Ispitati kontrolabilnost stanja i kontrolabilnost izlaza sistema. Sistem je trećeg reda (n=3) i ima samo jedan izlaz (m=1). Formirajmo matricu kontrolabilnosti stanja sistema

−−−

−−==

104 113 71 71 1

][ 2bAAbbM c Determinanta ove matrice je

jednaka nuli, pa sistem nije potpuno kontrolabilan po stanju, rangMc=2<n=3. Za utvrđivanje kontrolobalnosti izlaza sistema formirajmo matricu [ ] [ ]27932TTT −== bAdAbdbdccM . Pošto sistem ima samo jedan izlaz (m=1) i rangMcc=1, sistem je potpuno kontrolabilan po izlazu.

3.3 Opservabilnost (stanjemerljivost) sistema. Linearni, vremenski kontinualan, stacionarni dinamički sistem,

,,

HuDxcBuAxx

+=+=&

(3.24)

je potpuno opservabilan u trenutku t0 ako za bilo koje stanje x0 u trenutku t=t0 postoji takvo konačno vreme t1>to<∞, da se na osnovu poznatog ulaza u(t) i izlaza c(t) u toku intervala [t0,t1] može odrediti stanje x0.

Pošto je sistem stacionaran možemo usvojiti t0=0. Osim toga, kako je ulazni signal poznat na intervalu osmatranja, a sistem je linearan, njegov doprinos izlaznom signalu je poznat i može se odvojiti. To nam daje za pravo, bez umanjenja opštosti, da možemo posmatrati problem opservabilnosti za u(t)=0. Cilj nam je da utvrdimo uslove koje treba ispuniti pa da se na osnovu merenja izlaza c(t) u vremenskom intervalu [0, t1] može ustanoviti stanje sistema na početku tog intervala. Izraz za stanje sistema, pri datim uslovima, je x e xA( )t t= 0 , a za izlaz c De xA( )t t= 0 .


73

Diferencirajući ovaj izraz po vremenu i zamenjujući t=0, dobija se:

c DA x c x A D( ) ( )( ) , ( ) ( ) , , .k k

ok k k n0 0 0 10= ⇒ = = − T T T T

Sada se može napisati sistem jednačina

[ ]T1TTTTT0

)1(T)1(TT )(...)0(...)0()0( DADADxccc −−=

nn

.

Iz ovog izraza se vidi da se stanje x0 može odrediti samo ako je nn

o == − ])(...)(rang[rang T1TT2TTTT DADADADM , (3.25) što je Kalmanov potreban i dovoljan uslov potpune opservabilnosti sistema.

Primer 3.2 Utvrditi opservabilnost sistema iz prethodnog zadatka. Formiramo matricu opservabilnosti

−−

−−=

=

8205211452

2TT dAdAdMo .

2rang =oM . Prema tome sistem nije potpuno opservabilan.

3.3.1 Primena MATLAB-a za utvrđivanje opservabilnosti U MATLAB-u odgovarajuća naredba je: Mo=obsv(A,D);r=rank(Mo). Na taj način imamo: >> A=[0,1,0;5,0,2;-2,0,-2];D=[-2,1,0];Mo=obsv(A,D) Mo = -2 1 0 5 -2 2 -14 5 -8 >>r=rank(Mo) r=2

3.4 Princip dualnosti Kalman je otkrio sledeći princip dualnosti sistema: ako imamo dva sistema:

,,

HuDxcBuAxx

+=+=&

(3.26a)

i

,ˆˆ,ˆˆ

TT

TT

uHxBc

uDxAx

+=

+=& (3.26b)

tada su ta dva sistema međusobno dualni. očigledno je da je matrica kontrolabinosti prvog sistema istovremeno matrica opservabilnosti drugog i obrnuto. Drugim rečema, prvi sistem je kontrolabilan ako je njemu dualan sistem opservabilan, odnosno drugi je kontrolabilan ako je prvi opservabilan. Napomena 3.3: Modeli kanoničke kontrolabilne forme i opservabilne forme su primer dualnih sistema, kao i modeli dobijeni paralelnim programiranjem sa promenom mesta koeficijenata pojačanja (videti odeljak 1.4.1.1 i 1.4.1.3).

Napomena 3.2: Treba primetiti da je matrica opservabilnostiu MATLAB-u transponovana u odnosu na onu koju smodefinisali, što ni u kom slučaju ne menja izvedeni zaključak,jer se transponovanjem ne menja rang matrice.


74

3.5 Alternativni testovi kontrolabilnosti i opservabilnosti Kalmanovi matrični uslovi kontrolabilnosti (3.21) i opservabilnosti (3.25) su najpouzdaniji kriterijumi za utvrđivanje tih osobina sistema. Ipak, moguća je primena i drugih načina: na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala), na osnovu određenih oblika matrica A, B i D sistema ili na osnovu prevođenja modela sistema u s-domen - u matricu funkcija prenosa. Razmotrimo, ukratko svaki od navedenih načina.

3.5.1 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu simulacionih šema (grafa toka signala). Na osnovu simulacione šeme (grafa toka signala, strukturne blok-šeme) može se uočiti nepotpuna kontrolabilnost i nepotpuna opservabilnost. Naime, ako u simulacionoj šemi (grafu toka signala) ne postoji signalna veza koja spaja, direktno ili indirektno, neko (bilo koje) stanje sistema s nekim od ulaznih signala ili/i neko stanje sistema s nekim od izlaza, onda takav sistem nije potpuno kontrolabilan ili/i potpuno opservabilan. Ovi iskazi su ilustrovano na sl. 3.1a. Iz datog simulacionog dijagrama zaključujemo da stanja x1 i x5 nisu kontro-labilna, a stanja x4 i x5 nisu opservabilna, odnosno stanje x5 nije ni kontrolabilno niti opservabilno. Stanje x2 nije neposredno vezano s upravljanjem ali je kontrolabilno, jer ima posrednu vezu s ulaznim signalom. Isto tako, stanje x3 nije neposredno vezano s izlazom ali je opservabilno, jer ima posrednu vezu s izlazom.

Sl. 3.1 Simulacioni dijagrami sistema.

Treba ukazati na mogućnost pogrešnog zaključivanja o kontrolabilnosti (opservabilnosti) na osnovu simulacionih dijagrama. Naime, pretpostavimo da imamo sistem drugog reda koga čine dva podsistema vezana paralelno, na primer, kao na sl. 3.1b. Očigledno je da postoje neposredne veze između signala upravljanja i stanja sistema (preko integratora), pa bi se moglo tvrditi da je sistem potpuno kontrolabilan bez obzira na veličine s1 i s2. Primenimo li Kalmanov uslov kontrolabilnosti dobijamo:


75

[ ] 21122

1 za 2rangdet;11

ssssss

ccc ≠=⇒−=

== MMAbbM .

Drugim rečima, sistem nije potpuno kontrolabilan ako ima paralelno vezane iste modove (s1=s2). Ovaj rezultat se objašnjajva na sledeći način: posmatrani sistem se ne može prevesti iz bilo kog u bilo koje stanje, već samo u stanja x1=x2. S druge strane, ako preko simulacione šeme analiziramo opservabilnost, lako možemo doći, opet, do pogrešnog zaključka da je sistem na sl. 3.1b uvek opservabilan. Ako, pak, primenimo Kalmanov uslov opservabilnosti (3.25) imamo:

[ ] ⇒−=

−−

== 2112

11TTT det;1

sdss

sdoo MdAdM

rang M o d s s= ≠2 1 2 1 za . Zaključujemo da nećemo uvek imati potpunu opservabilnost datog sistema.

3.5.2 Utvrdjivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti na osnovu kanoničke dijagonalne forme.

Ako su sve sopstvene vrednosti matrice stanja (svi polovi funkcije prenosa) proste, tada se, kao što znamo, model sistema može svesti na kanoničku dijagonalnu formu, korišćenjem odgovarajuće transformacione matrice, odnosno primenom paralelnim programiranja. Imajući u vidu prethodno pokazan alternativni postupak utvrđivanja kontrolabilnosti i opservabilnosti putem simulacione šeme, možemo zaključiti:

Ako u matrici B sistema, svedenog na kanoničku dijagonalnu formu, postoji makar i jedna nulta vrsta ili/i u matrici D postoje makar i jedna nulta kolona, tada posmatrani sistem nije potpuno kontrolabilan ili/i nije potpuno opservabilan.

Ako sistem poseduje višestruke polove (sopstvene vrednosti), onda se on postupkom paralelno-rednog programiranja, odnosno odgovarajućom transfor-macionom matricom, svodi na blok-dijagonalnu ili Džordanovu formu. Za modove koji odgovaraju prostim sopstvenim vrednostima važi prethodna tvrdnja, a za modove proistekle od višestrukih sopstvenih vrednosti važi sledeće pravilo:

Potpuna kontrolabilnost sistema, svedenog na blok-dijagonalnu formu, se utvrđuje na osnovu potpune kontrolabilnosti pojedinih blokovskih celina, s tim što će potpuna kontrolabilnost bloka s Džordanovom submatricom postojati ako u odgovarajućoj submatrici ulaza poslednja vrsta nije nulta. Što se potpune opservabilnosti tiče, za submatrice od prostih sopstvenih vrednosti važi ranija tvrdnja, a za submatrice Džordanovog tipa u odgovarajućoj submatrici izlaza nesme biti prazna prva kolona. Ovim iskazima nisu potrebni dalji komentari, osim jednog primera.


76

Primer 3.3. Sistem sa sl. 3.1a. za s1=-1, s2=s3=-2, s4=4, s5=2, d1=2, ima model u prostoru stanja dat sa :

[ ]00012;

01100

;

2000004000002000012000001

T =

=

−−

−

= dbA .

Ovde imamo tri submatrice u matrici stanja i odgovarajuće subvektore u vektoru b i vektoru d. Na osnovu njih zaključujemo: da je prvo stanje nekontrolabilno, jer je odgovarajući subvektor u vektoru b nulti, što se odnosi i na peto stanje. Isto tako se zaključuje da su četvrto i peto stanje neopservabilni, jer su odgovarajuće kolone u vektoru d nulte. To se u pogledu kontrolabilnosti ne odnosi na drugo stanje, a u pogledu opservabilnosti na treće stanje, jer odgovarajući subvektori ulaza i izlaza imaju drugi, odnosno prvi element različit od nule.

3.5.3 Utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti u s-domenu. Već smo napomenuli, da postojanje dipola (istih nula i polova) u funkciji prenosa ukazuje na postojanje nekontrolabilnosti ili neopservabilnosti u sistemu. Navešćemo, najpre, jedan primer [3]. Neka se sistem sastoji iz redne veze dva podsistema, čije su funkcije prenosa, respektivno,

W s ss s

W s ss s1 2

11 2

11 3

( )( )( )

; ( )( )

( )( )=

−+ +

=+

− +,

i neka su ova dva podsistema povezana redno naznačenim redosledom. Rezultujuća funkcija prenosa je

W ss s

( )( )( )

=+ +12 3

.

Kao što se vidi, funkcija prenosa celog sistema je degenerisana, jer su iz nje ispali modovi (s+1) i (s-1). Objasnićemo da takvo skraćivanje nije korektno i može dovesti do katastrofalnih posledica. Pretpostavimo da smo na ulaz celog sistema doveli Hevisajdov signal. Prvi podsistem je stabilan i njegova reakcija biće ograničena. Prema tome, na ulaz drugog podsistema pojaviće se ograničen signal. Drugi podsistem je nestabilan (ima pol u desnoj poluravni)3 pa će se na izlazu uočiti enormno veliki signal koji je posledica eksponencijalnog rasta stanja koje odgovara modu (s-1) u funkciji prenosa drugog podsistema. Drugim rečima, ovaj nestabilan mod je opservabilan, jer se on nalazi bliže izlazu, ali je nekontrolabilan, jer ga dejstvo prethodne nule s=1 maskira. Pretpostavimo sada obrnuti redosled spajanja navedenih podsistema. Sada će stanje koje odgovara modu (s-1) biti kontrolabilno, međutim, neće biti opservabilno, jer se maskira nulom s=1, koja zatim sledi. U ovom slučaju mi nećemo spolja primetiti enormno povećanje unutrašnje koordinate stanja, jer sistem nije potpuno opservabilan. Izloženo se odnosi i na mod s polom s= -1, 3 Sistem je stabilan ako su sve sopstvene vrednosti matrice stanja ili svi polovi funkcije prenosa s negativnim realnim delom.


77

koji se maskira odgovarajućom nulom (s= -1) u pogledu kontrolabilnosti i opservabilnosti. Međutim, takav stabilni dipol ne može dovesti do unutrašnjih katastrofa. Na osnovu ovog razmatranja zaključujemo:

Ako se u funkciji prenosa sistema koja poseduje dipole, krećući se u smeru prostiranja signala, od ulaza prema izlazu, najpre javlja pol dipola a zatim njegova nula, takav mod je kontrolabilan ali neopser-vabilan; ako se najpre javlja nula dipola a zatim njegov pol, tada je posmatrani mod opservabilan ali nekontrolabilan. Skraćivanje dipola u desnoj poluravni je nedopustivo!

Iz ovog prostog primera uočava se složenost problema određivanja potpune kontrolabilnosti i/ili opservabilnosti u s-domenu. Može se zaključiti sledeće: ako pri nalaženju matrice funkcije prenosa od ulaza do stanja ili/i od stanja do izlaza, po formulama,

[ ][ ]BAI

AIG−−

=sss

detadj)( , [ ]

[ ]BAIAIDG

−−

=ssso det

adj)( ,

respektivno, u svim njihovim elementima dolazi do skraćivanja brojioca imeniocem istim faktorima, tada takav sistem nije potpuno kontrolabilan i/ili nije potpuno opservabilan; ako se skraćivanje događa samo u nekom od elemenata matrice funkcija prenosa, tada taj element nije potpuno kontro-labilan/opservabilan po nekom od separatnih ulaza. Naprimer, sistem iz zadatka 1.10 nije potpuno kontrolabilan (observabilan) po nekom od ulaza (izlaza) jer u matrici funkcija prenosa njeni elementi nemaju iste imenioce. Ovaj sistem nije kontrolabilan po drugom ulazu, i neopservabilan po drugom ilazu, ali je u celini uzevši potpuno kontrolabilan i opservabilan. Navedene iskaze treba uzimati s određenom rezervom. Pokazano je [1,2] da svako skraćivanje pri dobijanju funkcije prenosa i ne mora da znači, po automatizmu, nekontrolabilnost ili neopservabilnost. Na primer, ako se funkcija prenosa dobija primenom Kramerovih pravila, iz odgovarajućih operatorskih algebarskih jednačina, moguće je da se veštački poveća red sistema i da dolazi do skraćivanja, ali tako dobijena funkcija prenosa nije degenerisana i ne radi se o nekontrolabilnosti ili/i neopservabilnosti. Kada se radi o sistemu s povratnom spregom, sve promenljive u njemu su spregnute, a karakteristični polinom za bilo koju promenljivu imaće isti red, ako se sistem ne degeneriše. Znači, različiti stepen karakterističnog polinoma u sistemu sa zatvorenom povratnom spregom već ukazuje na degenerisanost. Ukažimo i na još jedan važan problem koji je u vezi sa skraćivanjem polova i nula dipola. Naime, u inženjerskoj praksi se veoma često koristi metoda kaskadne kompenzacije, čija je suština u eliminaciji neželjenih polova nepromenljivog dela sistema. Obično se eliminišu polovi blizu koordinatnog početka, jer oni usporavaju dinamiku sistema. Uvodeći kompenzacione nule ispred nepromenljivog dela sistema, mi te modove činimo nekontrolabilnim, pa je takva kompenzacija dozvoljena samo za polove u levoj poluravni s-ravni.


78

3.6 Superkontrolabilnost Sistem s vektorskim upravljanjem koji je potpuno kontrolabilan po svakom skalarnom ulazu pojedinačno nazvaćemo superkontrolabilnim. To je najkvali-tetnija forma kontrolabilnosti. Uslov superkontrolabilnosti se, tada, izražava sa: .1, ,],..., , ,rang[ 12 rini

niii ==− bAbAAbb (3.27)

bi - su kolone matrice B.

Primer 3.4. Dat je sistem [ ]10;0111

;3102

=

=

= dBA . Ispitati njegove

osobine. S obzirom da su n=2, r=2, m=1, koristeći (3.21) ili (3.22) sistem je potpuno kontrolabilan, jer je rangB=2. Osim toga, na osnovu [ ]21 bbB = , utvrđujemo potpunu kontrolabilnost po svakom ulazu

[ ] [ ] 21021

rangrang ;24121

rangrang 2211 =

==

= AbbAbb .

Prema tome, sistem je potpuno kontrolabilan po svakom ulazu, tj. superkontrolabilan je.

Ako bi matrica B bila

=

1101

B , sistem bi bio potpuno kontrolabilan po prvom

ulazu, a nekontrolabilan po drugom, tj. on bi bio potpuno kontrolabilan ali ne i superkontrolabilan. 3.7 Dekompozicija sistema U opštem slučaju, sistem može posedovati: kontrolabilna i opservabilna; kontrolabilna, a neopservabilna; nekontrolabilna, a opservabilna; i nekontrolabilna i neopservabilna stanja. Od praktičnog interesa je izvršiti rastavljanje sistema na podsisteme koji će imati date osobine. Ta operacija se naziva dekompozicija sistema. Pretpostavi-mo da je ona izvršena i da sistem predstavlja paralelnu vezu takvih podsistema. Imajući u vidu ranije dat alternativni postupak za određivanje potpune kontro-labilnosti i potpune opservabilnosti sistema, putem njegovog svođenja na dija-gonalni oblik, dekomponovani sistem možemo predstaviti u sledećem obliku:

[ ][ ] .

,

T42

2

1

44

3433

2422

14131211

dcba

d

c

b

a

d

c

b

a

xxxxD0D0c

u

00

BB

xxxx

A000AA00A0A0AAAA

xxxx

=

+

=

&

&

&

&

(3.28)


79

Iz ove relacije se vidi da je grupa stanja: xa i xb kontrolabilna, xc i xd - nekontrolabilna, xa i xc - neopservabilna, a xb i xd - opservabilna; prema tome, xa - je kontrolabilno, a neopservabilno; xb - je kontrolabilno i opservabilno; xc - je nekontrolabilno i neopservabilno; a xd - je nekontrolabilno, a opservabilno. Dalje ćemo pokazati jedan način dekompozicije sistema na kontrolabilni i nekontrolabilni podsistem [6]. Neka je data matrična diferencijalna jednačina stanja sistema: uBxAx +=& (3.29) koji je nekontrolabilan, što znači da par ( , )A B nije potpuno kontrolabilan, tj. da Kalmanova matrica kontrolabilnosti [ ]BABABABM 12 ... −= n

c (3.30) ima rang manji od reda sistema, tj. rang M c n n= < . (3.31) Potrebno je odrediti nesingularnu transformacionu matricu T=[T1,T2] koja će razdvojiti kontrolabilne i nekontrolabilne podsisteme. Neka se matrica T1 sastoji iz skupa bazisnih vektora-kolona matrice kontrolabilnosti Mc, a matrica T2 iz takvih vektora-kolona da kvadratna matrica T bude nesingularna. Jednačina kretanja sistema u odnosu na novi vektor stanja, Tx x= , (3.32) ima oblik uBTTxATx 11 −− +=& . (3.33) Rastavimo T-1 na dve submatrice

TUU

− =

1 1

2

, (3.34)

tako da matrica U1 ima iste dimenzije kao transponovana matrica T1. Tada se može napisati očigledna jednakost

[ ] nn x 2212

211121

2

11 ITUTUTUTU

TTUU

TT =

=

=− . (3.35)

Jasno je da je U T 02 1 = , što implicira U x 02 = . Sada se može napisati:

[ ]

.

,

2

1

2

11

2212

211121

2

11

=

==

=

==

−

−

BUBU

BUU

BTB

TAUTAUTAUTAU

TTAUU

TATA

(3.36)

Uzimajući u obzir da su U AT 0 U B 02 1 2= =, , konačno, transformisani sistem se može napisati u obliku

, 0

1

22

1211 u0

Bxx

AAA

xx

+

=

b

a

b

a&

& (3.37)

i time je dekompozicija sistema izvršena.


80

Primer 3.5: Dat je sistem

−−=

−−−−−=

100111

,433101

756BA .

Izvršiti dekompoziciju sistema na kontrolabilni i nekontrolabilni deo.

32110001111

rang101010010101111111

rangrang <=

−

−−=

−

−−−−−=cM 4.

Izaberimo matricu T1 na osnovu Mc , uzimajući, na primer, njene prve dve kolone:

−

−=

100111

1T

i odredimo matricu T2 tako da dobijemo nesingularnu matricu T. Biramo proizvoljno:

[ ]T2 111 −−=T ,

što daje:

−−−−−−−−

=⇒

−−−−

= −

111211101

110101111

1TT ,

=

−==

=

−== −−

0B

BTBAAA

TATA 11

22

12111

0010

01;

0200010201

.

Korišćenjem principa dualnosti neopservabilan sistem se može prethodno datim postupkom razložiti na opservabilni i neopservabilni deo.

3.7.1 Primena MATLAB-a za dekompoziciju sistema

U MATLAB-u postoji potprogram za dekompoziciju sistema. Razlaganje sistema na kontrolabilni i nekontrolabilni deo se ostvaruje naredbom [ARC,BRC,CRC,T,k]=crbf(A,B,D), Za dekompoziciju sistema na opservabilni i neopservabilni deo naredba je [ARO,BRO,CRO,T,k]=obsvf(A,B,D), gde su, redom: ARC (ARO), BRC (BRO) i CRC (CRO) - matrica stanja A, matrica ulaza B i matrica izlaza D transformisanog sistema, T- matrica transformacije, a k - ukazuje na indeks kontrolabilnosti (opservabilnosti).

4 U matrici Mc 1., 3. i 5. kolona su iste tako da se mogu dve odstraniti. Takođe su i 2. i 6. iste pa se jedna od njih odstranjuje.


81

Primer 3.6 . Za sistem iz primera 3.5 imamo: >>A=[6,5,7;-1,0,-1;-3,-3,-4];B=[-1,-1;1,0;0,1]; Mc=ctrb(A,B); Mc = Columns 1 through 4 -1 -1 -1 1 1 0 1 0 0 1 0 -1 Columns 5 through 6 -1 -1 1 0 0 1 >> r=rank(Mc) r = 2 Sistem nije potpuno kontrolabilan [ARC,BRC,CRC,T,k]=ctrbf(A,B,D) ARC = Columns 1 through 2 2.0000 0 -3.2660 -0.0000 -11.3137 -1.7321 Column 3 -0.0000 -0.5774 -0.0000

BRC = 0 -0.0000 -0.7071 0.7071 1.2247 1.2247 CRC = Columns 1 through 2 -0.5774 -0.7071 Column 3 2.0412 T = Columns 1 through 2 0.5774 0.5774 -0.0000 -0.7071 -0.8165 0.4082 Column 3 0.5774 0.7071 0.4082 k = 2 0 0 >>

Dobijen je transformisani sistem

;2247,12247,17071,07071,000

ˆ;07321,13137.115774.00266,3002

3137,11ˆ

−=

−−−−−= BA

iz koga se vidi da jedno stanje nije kontrolabilno, u ovom slučaju x1. 3.8 Stabilizabilnost sistema Od posebnog praktičnog interesa je dati odgovor na pitanje: da li je moguće stabilisati svaki dinamički sistem, primenom povratne sprege po stanju ili izla-zu? Jasno je da se povratnom spregom utiče na sistem posredstvom promene upravljačkog signala u(t). S obzirom na to da se nepotpuno kontrolabilni sistem, postupkom dekompozicije, može dekomponovati na upravljivi i neupravljivi deo, proizilazi da se povratnom spregom po stanju, ili po izlazu ne može uticati na neupravljivi deo. Ako je neupravljivi deo nestabilan, tada će i ceo sistem, bez obzira na primenjenu povratnu spregu, biti nestabilan. Prema tome,

potpuno kontrolabilan je istovremeno i stabilizabilan sistem. Ako je sistem nepotpuno kontrolabilan, potreban i dovoljan uslov stabilizabilnosti je da su nekontrolabilni modovi sistema stabilni.


82

Primer 3.7. Sistem u primeru 3.5 nije stabilizabilan jer neupravljivi deo ima nestabilni mod. S obzirom da se linearnom transformacijom sistema ne menjaju njegove sopstvene vrednosti, one su na osnovu matrice A: s1 1= , s s2 31 2= − = i . Prve dve sopstvene vrednosti pripadaju kontrolabilnom modu, dok treća - nekontrolabilnom. Iako kontrolabilan mod ima nestabilnu sopstvenu vrednost on se može stabilisati odgovarajućim upravljanjem. Međutim, zbog nestabilnog neupravljivog moda sistem u celini nije stabilizabilan. 3.9 Zadatak minimalne realizacije Na osnovu matrice stanja i matrice izlaza dekomponovanog sistema (3.28), matricu funkcija prenosa sistema možemo dobiti na osnovu (1.45), tj.:

[ ] [ ]

.)(

00

)()(

)()(

)(

21

2222

2

1

1444

1333

1222

1111

421

BAID

BB

AI000AI00

AI0AI

D0D0BAIDG

−

−

−

−

−

−

−

=

−×−××−×××−

×=−=

s

ss

ss

ss

(3.38)

Odavde se zaključuje da se ovaj sistem, u pogledu relacija ulaz-izlaz, svodi na sistem

.

,

22

22222

xDcuBxAx

=+=&

(3.39)

Prema tome, matrica funkcija prenosa sistema je reprezent samo kontrolabilnog i opservabilnog dela sistema. Ona ne sadrži informaciju o nekontrolabilnom i neopservabilnom delu sistema. To, s druge strane, nameće problem korektnosti prelaska s matrice funkcije prenosa na model u prostoru stanja. Najpre je potrebno odrediti triplet A, B, D tako da se dobije zadata matrica funkcija prenosa. Međutim, relaciji BAIDG 1][)( −−= ss (3.40) odgovara beskonačan broj takvih tripleta ali nisu svi oni rešenje postavljenog zadatka. Dimenzije vektora stanja nisu definisane ovim izrazom, jer se tom izrazu može dodati bilo koji broj suvišnih koordinata stanja, a da se matrica funkcija prenosa ne promeni. Te suvišne promenljive su nekontrolabilne i neopservabilne promenljive. Prema tome, za opisivanje sistema u obliku matrice funkcije prenosa moraju se rešiti dva zadatka: (i) triplet matrica (A,B, D) mora zadovoljiti relaciju (3.40); (ii) triplet mora biti kontrolabilan i opservabilan, tj. da matrica D mora da ima minimalnu realizaciju. Rešenje prvog zadatka je jednostavno, a drugog - prilično komplikovano.


83

3.10 Prostor stanja i stabilnost sistema U prethodnom kursu TAU-1 razmotreni su kriterijumi stabilnosti koji polaze od karakterističnog polinoma (jednačine) sistema ili od funkcije povratnog prenosa. Kada je model sistema dat u prostoru stanja u obliku Axx =& , (3.41) tada je karakteristični polinom određen izrazom ]det[)( AID −= ss , (3.42) na osnovu koga se, primenom odgovarajućih algebarskih kriterijuma stabilnosti ili metode Mihajlova, može ustanoviti stabilnost sistema.

3.10.1 Druga (direktna) metoda Ljapunova (1892.)* Drugi prilaz za utvrđivanje stabilnosti, na osnovu modela u prostoru stanja, zasniva se na primeni druge (direktne) metode Ljapunova. Ljapunov je za svoju metodu koristio model sistema u Košijevom normalnom obliku i, prema tome, prvi je primenio koncepciju prostora stanja u ispitivanju stabilnosti. Metoda Ljapunova je nezamenljiva u ispitivanju stabilnosti nelinearnih sistema, o čemu će biti više reči u II delu ove knjige. Njena primena na linearne sisteme nema posebnih prednosti u odnosu na druge metode i obično se ne koristi i ne izlaže u klasičnim udžbenicima iz teorije linearnih SAU. Međutim, s obzirom na to da se ta metoda može uspešno koristiti u oceni kvaliteta ponašanja linearnih sistema, kao i za sintezu optimalnih linearnih regulatora, mi ćemo joj posvetiti odgovarajuću pažnju i u ovom delu teorije linearnih SAU. Za ispitivanje stabilnosti sistema opisanog sa (3.41), primenom direktne metode Ljapunova, koristi se skalarna funkcija V vektora stanja x, V(x), koja mora da ispunjava sledeća tri uslova:

(i) da je neprekidna funkcija koordinata stanja u nekoj oblasti prostora stanja koja obuhvata stanje ravnoteže; (ii) da u toj oblasti ima neprekidne parcijalne izvode po koordinatama stanja sistema; (iii) da je u toj oblasti V(x)>0, osim za x=0 kada je jednaka nuli, tj. da je pozitivno definitna funkcija.

Primer 3.8: Funkcije 23

22

21321 ),,( xxxxxxV ++= i =),,( 321 xxxV x x x1

424

32+ + su

pozitivno definitne funkcije, dok funkcija 22

21321 ),,( xxxxxV += nije pozitivno

definitna, jer je jednaka nuli, ne samo za 0321 === xxx , već i za proizvoljno x3, kada su 021 == xx .

Takođe funkcija 2221

2121 2),( xxxxxxV ++= nije pozitivno definitna, jer je, osim za

021 == xx , jednaka nuli i za .21 xx −=

Funkcija 43

23

22

21321 3),,( xxxxxxxV −++= je pozitivno definitna u oblasti 33 <x .

U opštem slučaju, kvadratna forma oblika V ( )x x Px= T (3.43)

* Ляпунов, A. M., Oб oбщeй проблеме устойчивости движения, Харков, 1892.


84

biće pozitivno definitna ako je matrica P pozitivno definitna, tj. ako ona ispunjava Silvestrov kriterijum, koji zahteva da su sve njene dijagonalne determinante pozitivne.

Na primer, kvadratna forma s matricom

=

2212

1211

pppp

P biće pozitivno

definitna za 00 212221111 >−∩> pppp .

Za utvrđivanje stabilnosti po Ljapunovu primenjuje se sledeća teorema: Stanje ravnoteže, x=0, linearnog sistema (3.41) je asimptotski stabilno ako i samo ako, za bilo koju realnu, simetričnu, pozitivno definitnu matricu P postoji realna, simetrična, pozitivno definitna matrica Q, takva da je zadovoljena matrična algebarska jednačina Ljapunova A P PA QT + = − . (3.44)

Relacija (3.44) se dobija iz osnovne teoreme Ljapunova koja se može iskazati na sledeći način:

Ako postoji pozitivno definitna funkcija V(x) takva da je njen izvod po vremenu, duž trajektorija kretanja sistema ( )(xV& ), negativno definitna funkcija, tj.

0)( :0)( <>∃ xx VV & , tada je posmatrano stanje ravnoteže asimptotski stabilno.

Zaista, neka je V(x)>0 dato s (3.43). Tada je, uzimajući u obzir (3.44),

][ ;][=

)(dd

dd)(

TTTT

TTTTT

PAPAQQxxxPAPAx

PAxxPxAxxPxPxxPxxx

+−=−=+

=+=+=== &&&tt

VV

negativno definitna funkcija ako i samo ako je Q pozitivno definitna matrica, odnosno ako su ispunjeni uslovi navedene teoreme. Primer 3.9: Ispitati asimptotsku stabilnost sistema drugog reda

.2

,

22

11

xxxx−=−=

&

&

Neka je p p p12 11 120 1= = =, , tj. P=I, gde je I - jedinična matrica. Stoga je

[ ]

=

−

−−

−

−−=+−=

4002

2001

2001T AAQ .

Dobijena je pozitivno definitna matrica Q pa je sistem asimptotski stabilan. Kod linearnih sistema pojam stabilnosti označava zapravo asimptotsku sta-bilnost, jer se svi koreni karakteristične jednačine strogo levi5. Za takve sisteme važi sledeća teorema:

5 Stabilnost nelinearnih sistema po Ljapunovu je slojevita. Pored asimptotski stabilnih sistema postoje i prosto stabilni sistemi, kao analog linearnim sistemima na oscilatornoj granici stabilnosti.


85

Stanje ravnoteže, x=0, linearnog sistema (3.41) je asimptotski stabilno sa stepenom eksponencijalne stabilnosti σ ako i samo ako za bilo koju realnu, simetričnu, pozitivno definitnu matricu P u (3.43) postoji realna, simetrična, pozitivno definitna matrica Q, takva da je zadovoljena matrična algebarska jednačina Ljapunova − + + = −2σP A P PA QT . (3.45)

Primer 3.10. Odrediti stepen eksponencijalne stabilnosti sistema iz prethodnog primera. Na osnovu (3.58) i matrice P iz prethodnog primera ima se

+σ

+σ=⇒−=++σ−

)2(200)1(2

2 T QQAAI .

Da bi matrica Q bila pozitivno definitna mora biti ispunjen uslov σ>-1. Prema tome, dati sistem ima stepen eksponencijalne stabilnosti σ≤1. Zaista, koreni karakteristične jednačine sistema su -1 i -2, i realni deo najbližeg korena jω - osi definiše stepen eksponencijalne stabilnosti.

Izbor funkcije Ljapunova, čak i za linearne sisteme, nije jednostavan. Može se dogoditi da je izabrana pozitivno definitna funkcija V(x) koja, posle provedenog ispitivanja ukazuje na nestabilnost sistema, iako je on u stvarnosti stabilan. Pre nego što ukažemo na opšti prilaz ispitivanja stabilnosti za linearne sisteme na osnovu matrične jednačine Ljapunova, ilustrovaćemo prethodnu tvrdnju na jednom primeru.

Primer 3.11. Neka je dat je sistem drugog reda

,0, ; 2122112

21

>−−==

aaxaxaxxx

&

&

ispitati asimptotsku stabilnost stanja ravnoteže. Nije teško uočiti da je dati sistem asimptotski stabilan. Međutim, ako izaberemo matricu P kao u prethodnom zadatku, za matricu Q dobijamo

−

−=

21

1

2)1()1(0

aaa

Q ,

koja nije pozitivno definitna pa sistem nije asimptotski stabilan ?!

S obzirom na to da u ovom primeru matrica Q nije pozitivno definitna, nesme se tvrditi da je sistem nestabilan niti da je stabilan. To samo znači da možda nismo izabrali odgovarajuću funkciju Ljapunova i da treba probati s nekim drugim kandidatom za funkciju Ljapunova. Za linearne sisteme opšti postupak ispitivanja asimptotske stabilnosti prikazaćemo na prethodnom primeru. Primer 3.12. Na osnovu matrične jednačine Ljapunova sledi

−=

−−

+

−−

2212

1211

212212

1211

2212

1211

2

1 1010

qqqq

aapppp

pppp

aa

.

Birajući elemente matrice Q tako da ona bude pozitivno definitna nalaze se elementi


86

matrice P. Ako se kao rezultat dobija pozitivno definitna matrica P, posmatrani sistem je asimptotski stabilan. Neka je Q=I. Tada je

I−=

−−−−

+

−−

−−

22212221

12211121

2221212211

221121

pappapappa

pappappapa

,

I−=

−−−

−−−)(2

2

2221222112211

22112211121

pappapappapappa

,

odakle sledi:

).11(

22

),11(21 ;

21

,1)(2

,0,12

12

1

1

211

1222

112

22212

22112211

121

aaa

aap

aap

ap

pappapap

pa

++=

+==⇒

−=−=−−

=

S obzirom na to da su 0, 21 >aa 0,0 2211 >>⇒ pp . Lako se proverava da je i

02122211 >− ppp , pa je dati sistem asimptotski stabilan.

3.10.1.1 Primena MATLAB-a za ispitivanje stabilnosti sistema

MATLAB potprogram za utvrđivanje stabilnosti linearnih kontinualnih sistema primenom algebarske jednačine Ljapunova ostvaruje se naredbama: P=lyap(A,Q);det(P); Prvom naredbom se odredjuje matrica P, a drugom determinanta matrice P. Pri tome da bi sistem bio stabilan mora da se utvrdi pozitivna definitnost dobijene matrice P (primena Silvestrovog kriterijuma), tj. moraju sve dijagonalne determinante matrice P biti veće od nule. Primer 3.13 >> A=[1,0,0;-1,0,2;0,-1,1];Q=eye(3); >> P=lyap(A,Q) P = -0.5000 -0.2500 -0.1250 -0.2500 -2.0000 -0.3750 -0.1250 -0.3750 -0.8750 . Primer 3.14 A=[-5,8,0;-1,0,2;0,-1,1];P=lyap(A,Q) P = 19.8333 12.3333 8.7500 12.3333 8.0000 5.9167 8.7500 5.9167 5.4167 >> P1=[19.8333,12.333;12.333,8];

>> det(P1) ans = 6.5635 >> det(P) ans = 5.7188

Ovaj sistem je asimptotski stabilan.

Prikazan prilaz je opšti za linearne sisteme bilo kog reda. Može se uočiti da je primena metode Ljapunova na linearne sisteme dosta glomazna i zbog toga se, kao što je ranije rečeno, ređe koristi u odnosu na druge metode. Međutim, njena primena na nelinearne sisteme je veoma delotvorna.

Napomena 3.4: Dobijena matrica P nijepozitivno definitna jer je prvi element u prvojvrsti negativan i sistem je nestabilan.

eye(3)=I3x3


87

Literatura [1] Воронов, А. А.: Устойчивость, управляемость, наблюдаемость, «Наука»,

Москва,1979. [2] Воронов, А. А: Введение в динамику сложных управляемых систем, «Наука»,

Москва,1985. [3] Солодовников, В. В. (ред.): Основы теории и элементы систем автоматического

регулирования , «Машиностроение», Москва, 1985. [4] Stojić, R. M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd,

1996. [5] Сю, Д.,Мейер,А.: Современная теория автоматического управления

«Машиностроение», Москва, 1972. [6] Уткин, В. И.: Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. «Наука»,

Москва, 1981. [7] Franklin, G. F., Powel, J. D., Emami-Naeni, A.: Feedback Control of Dynamic

Systems, Addison-Wesley Publishing Comp., 1986. [8] Ćalasan, L., Petkovska, M.: MATLAB i dodatni moduli Control Systems

Toolbox i SIMULINK, »Mikro knjiga«, Beograd, 1995. [9] Рей, У.: Методы управления технологическими процессами, «Mир», Москва, 1983.

Pitanja za samoproveru 1. Kontrolabilnost je osobina sistema koja ukazuje na mogućnost da se sistem može

prevesti iz ____________ u _________________ stanje. 2. Kalmanov uslov potpune kontrolabilnost za sistem opisan diferencijalnom

jednačinom stanja ____________ iskazuje se relacijom_____________________. 3. Kontrolabilnost izlaza sistema opisanog diferencijalnom jednačinom stanja

________________ i algebarskom jednačinom izlaza _________________ definiše se relacijom ______________________________.

4. Opservabilnost sistema je takva osobina koja omogućava da se na osnovu merenja ________________ sistema može u konačnom vremenu odrediti _____________ ________________sistema.

5. Kalmanov uslov potpune opservabilnosti sistema opisanog diferencijalnom jednačinom stanja ____________________ i algebarskom jednačinom izlaza _____________________ definiše se relacijom _________________.

6. Alternativni testovi za utvrđivanje kontrolabilnosti i opservabilnosti sistema su: ________________________________________________________________,

7. Ako je model sistema dat u dijagonalnom obliku i matrica stanja ima sve proste sopstvene vrednosti, potpuna kontrolabilnost je obezbeđena ako u matrici _____ ______________________________, a potpuna opservabilnost - ako u matrici __ _______________________________.

8. Ako je model sistema dat u blok dijagonalnom obliku i sopstvene vrednosti dijagonalnih matrica su višestruke, potpuna kontrolabilnost biće obezbeđena ako u matrici ___ koja korespondira odgovarajućem dijagonalnom modu u poslednjoj _________ ima vrednost ____________________________.

9. Ako je sistem sveden na dijagonalnu formu i sve sopstvene vrednosti matrice _____ su proste, potpuna opservabilnost sistema je obezbeđena ako u matrici ___________ ne postoji ________________________.


88

10. Sistem je sveden na blok dijagonalnu formu. Podsistem koji odgovara modu sa višestrukim sopstvenim vrednostima biće opservabilan ako u odgovarajućoj submatrici _________ prva _________ nije ______________.

11. Ako u matrici funkcija prenosa u svim njenim elementima nisu ______________ identični sistem nije ________________________ ili ______________________ po svakom od ___________ ili _____________.

12. Sistem je predstavljen simulacionom šemom dobijenom paralelnim programiranjem. Taj sistem biće sigurno nepotpuno kontrolabilan i/ili nepotpuno opservabilan ako ne postoje __________ ili ___________ veze između upravljanja i _____________ u sve modove i/ili između svih modova i ______________ sistema.

13. Sistem se sastoji iz dva na red vezana podsistema, a predstavljen je modelom u kompleksnom domenu. Prvi podsistem ima nulu jednaku polu drugog podsistema. Takav sistem je nepotpuno _______________ ali ________________..

14. Sistem se sastoji iz dva na red vezana podsistema, a predstavljen je modelom u kompleksnom domenu. Prvi podsistem ima pol jednak nuli drugog podsistema. Takav sistem je nepotpuno ______________ ali ______________.

15. Superkontrolabilnost je takva osobina sistema kada je on _________________ po svakom od ________________.

16. Sistem upravljanja koji nije potpuno kontrolabilan i potpuno opservabilan može se dekomponovati na sledeća četiri podsistema: (1) kontrolabilan i opservabilan, (2)________________________, (3) __________________________________ (4) __________________________.

17. Nepotpuno kontrolabilan sistem opisan modelom BuAxx +=& se može dekomponovati na nekontrolabilan i kontrolabilan mod, tj. može se svesti na normalnu formu koja se zapisuje u obliku: _____________________________ _____________________________

18. Sistem se smatra stabilizabilnim ako njegov _________________ mod ima sve sopstvene vrednosti _________________________________________________.

19. Dva dinamička sistema se nazivaju dualnim ako su njihovi modeli dati relacijama: ______________________ _______________________ ______________________ _______________________

20. Matrica funkcija prenosa dinamičkog sistema je reprezent samo ______________ i __________________ dela sistema.

21. Autonomni linearni dinamički sistem je dat diferencijalnom jednačinom stanja oblika ____________. Dati sistem biće stabilan samo onda ako su sve _______________________ matrice stanja ___________________________.

22. Matrica P dimenzija n x n je pozitivno definitna ako ona ispunjava ___________ kriterijum, tj. ako su sve njene _________________ determinante ___________.

23. Skalarna funkcija V(x) je pozitivno definitna ako je ona ______________ u celom prostoru stanja i jednaka __________ za ______.

24. Linearan sistem je stabilan po Ljapunovu ako se iz matrične algebarske jednačine Ljapunova _________ za datu pozitivno definitnu simetričnu matricu _____ može naći ________________________________ matrica _____.

Zadaci za vežbu 1. Sistem je dat modelom prikazanim na slici i parametrima datim u tabeli 3.1


89

Σ

Σ

Σ

Σ

u1

u2

c1

c2

k1

k2

k3

k8 k9

k7

k4

k5

k6

W s1( )

W s2( )Wi( )=s

b s b2 1+a a a3 2 1s + s+2

Sl. 3.2 Tabela 3.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

)(1 sW

a1 a2 a3 b1 b2

1 1 0 1 0

-1 1 0 1 0

-1 1 0 1 0

-1 1 0 2 1

1 1 0 -2 1

0 1 0 1 1

1 1 0 0 1

-1 1 0 0 1

2 1 0 1 0

)(2 sW

a1 a2 a3 b1 b2

4 4 1 2 1

4 -4 1 -2 1

3 4 1 -1 1

3 4 1 1 0

3 -4 1 -1 1

0 0 1 -1 1

3 -4 1 1 0

3 4 1 1 0

0 0 1 1 1

)(3 sW

a1 a2 a3 b1 b2

2 1 0 1 0

2 1 0 1 1

-2 1 0 1 0

-2 1 0 0 1

1 1 0 0 1

0 1 0 1 0

-2 1 0 2 1

-4 1 0 4 1

4 1 0 -4 1

k1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 k2 1 1 1 0 0 1 0 1 1 k3 0 1 0 1 1 1 1 0 0 k4 1 0 1 0 1 1 0 1 1 ki k5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 k6 1 0 0 1 1 0 1 1 0 k7 0 0 0 1 1 1 0 0 1 k8 1 0 1 0 1 0 0 0 0 k9 1 1 0 1 1 1 0 0 1

Za dati sistem napisati model u prostoru stanja i odrediti: I. kontrolabilnost i opservabilnost primenom: a) Kalmanovih uslova; b) svođenjem sistema na dijagonalni oblik; c) na osnovu modela ulaz-izlaz; d) na osnovu simulacionog dijagrama; II. minimalnu realizaciju sistema 2. Ako je sistem iz zadatka 1. nekontrolabilan, odrediti: a) transformacionu matricu koja dekomponuje sistem na upravljivi i neupravljivi

mod; b) stabilizabilnost datog sistema.


90

3. Dat je autonomni sistem definisan sa ].,,;,,;,,[ 333231232221131211 aaaaaaaaa=A Vrednosti elemenata matrice A su date u tabeli 3.2 Tabela 3.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 a11 0 0 0 0 1 1 10 0 1 a12 1 0 -1 0 0 0 -2 10 20 a13 0 1 0 1 0 -1 0 -2 1 a21 5 1 0 -2 -8 1 5 0 -2 a22 0 -5 4 1 0 10 4 5 1 a23 2 4 0 0 4 0 0 1 -1 a31 -2 0 2 1 2 5 -3 -8 0 a32 0 -4 -6 0 1 0 2 0 5 a33 -2 -2 0 -5 0 -4 1 4 -10

Ispitati stabilnost datog sistema primenom metode Ljapunova, a rezultat proveriti primenom nekog od algebarskih kriterijuma stabilnosti. 4. Dat je sistem sa matricom stanja A čije su vrednosti elemenata kao u tabeli 3.2, osim elemenata navedenih u tabeli 3.3 koje se smatraju nepoznatim. Tabela 3.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Odrediti vrednosti tih elemenata tako da sistem, čija je matrica ulaza B sa elementima navedenim u tabeli 3.4, dobije maksimalni indeks kontrolabilnosti. Tabela 3.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 b11 0 1 0 0 1 1 1 0 1 b12 1 0 -1 1 0 0 -2 1 2 b21 0 1 0 1 0 -1 0 -2 1 b22 1 1 1 -2 -1 1 1 0 -2 b31 1 0 1 1 0 1 1 0 1 b32 0 1 1 0 1 0 0 1 0

5. Sistem je sastavljen od elemenata opisanih funkcijama prenosa

)3)(1()1()(;

)2)(1(1)( 21 +−

+=

++−

=ss

ssWss

ssW .

a) Elementi su povezani redno naznačenim redosledom; b) Elementi su povezani redno obrnutim redosledom.

Nacrtati simulacione dijagrame sistema pod a) i pod b), na osnovu kojih napisati: (i) matematičke modele u prostoru stanja; (ii) utvrditi kontrolabilnost i opservabilost tih sistema; (iii) u slučaju nekontrolabilnosti i neopservabilnosti izvršiti njihovu dekompoziciju.

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja 91

4.1 Uvod 91

4.2 Povratna sprega po stanju ili po izlazu 91

4.2.1 Sistem s povratnom spregom po stanju 92

4.2.2 Sistem s povratnom spregom po izlazu 93

4.3 Projektovanje povratne sprege po stanju 93

4.3.1 Izbor spektra polova 93

4.3.2 Podešavanje spektra polova sistema 94 4.3.2.1 Sistemi sa skalarnim upravljanjem 95

4.3.2.2 Akermanova formula 98

4.3.2.2.1 MATLAB i Akermanova formula

4.3.3 Sistemi s vektorskim upravljanjem 99 4.3.3.1 Prvi način sinteze - svođenje na skalarni slučaj 99

4.3.3.2 Drugi način sinteze - slučaj prostih sopstvenih vrednosti 100

4.3.3.2.1 MATLAB i podešavanje polova 102

4.3.3.3 Treći način sinteze - opšti slučaj 105

4.4 Projektovanje optimalne povratne sprege po stanju 111 4.4.1 MATLAB i optimalna povratna sprega

4.5 Sinteza neinteraktivnih sistema. Rasprezanje 116

4.5.1 Metoda Boksenboma i Huda 117

4.5.2 Rasprezanje kombinovanim kompenzatorom 121

4.6 Opserveri. Sinteza opservera 122

Literatura 129


Zadaci za vežbu 131

a

Glava 4.

SINTEZA SAU METODAMA PROSTORA STANJA

4.1 Uvod U prethodnom kursu, TAU-1, izložene su, na osnovu modela ulaz-izlaz (funkcije prenosa), klasične metode sinteze SAU. Problem sinteze se svodio na problem izbora tipa i parametara kompenzatora. Pri tome smo imali u vidu sisteme s jednim ulazom i jednim izlazom, kada je povratna sprega skalarnog tipa. Koncepcija prostora stanja sistema pruža izvanredne mogućnosti za sintezu visokokvalitetnih i optimalnih sistema u odnosu na izabrani kriterijum kvaliteta (videti odeljak 4.5). Sinteza na bazi koncepcije prostora stanja u osnovi pretpostavlja da se radi o multivarijabilnom sistemu, a da se za upravljanje objektom primenjuje povratna sprega po stanju ili po izlazu. U narednim odeljcima najpre će biti definisane povratne sprege po stanju i po izlazu. Zatim će biti prikazane metode za sintezu sistema sa skalarnim i sistema sa vektorskim upravljanjem. Kod sistema sa skalarnim upravljanjem detaljno se obrazlaže metoda projektovanja na osnovu kanoničke kontrolabilne forme, a zatim se ukratko opisuje primena Akermanove formule. Kod sistema sa vektorskim upravljanjem navode se tri metode. Prva koristi postupak svođenja na skalarni slučaj. Druge dve se odnose direktno na vektorsko upravljanje. Jedna od njih se koristi kada su željene sopstvene vrednosti sistema proste, dok je druga metoda univerzalna. Na kraju glave se daje postupak sinteze linearnog kvadratnog regulatora - Kalmanovog regulatora, sinteza neinteraktivnih sistema i sinteza opservera. 4.2 Povratna sprega po stanju ili po izlazu Neka je objekat, kojim treba upravljati, opisan relacijama

. ,

;, ,m

rn

ℜ∈+=

ℜ∈ℜ∈+=

cHuDxc

uxBuAxx& (4.1)

Zadatak sistema je da prati zadati referentni signal r(t)=const ili r(t)=var. U cilju formiranja potrebnog signala upravljanja u(t), možemo primeniti dva prilaza: (i) povratnu spregu po stanju ili (ii) povratnu spregu po izlazu.

Č. Milosavljević, Teorija automatskog upravljanja-2

92

4.2.1 Sistem s povratnom spregom po stanju. U ovom slučaju, prema sl. 4.1, matematički model sistema upravljanja postaje

.,,

xKruHuDxcBuAxx

x−=+=+=&

(4.2)

Posle zamene poslednje relacije u prvu i sređivanja, dobija se

( )( ) .~

,~

HrxDcHrxHKDc

BrxAxBrxBKAx

+=⇒+−=

+=⇒+−=

x

x && (4.3)

S obzirom da stabilnost linearnih SAU ne zavisi od veličine ulaznih signala pa samim tim i od poremećaja (ako su oni ograničeni), ona je određena matricom (A-BKx). Ako jednačina 0][det =+− xBKAIs (4.4) ima sve leve korene, posmatrani sistem je stabilan, pa se zaključuje:

povratna sprega po stanju utiče na stabilnost. Nestabilan objekat, ako ispunjava uslove potpune kontrolabilnosti ili uslove stabilizabilnosti, može se učiniti stabilnim primenom povratne sprege po stanju.

D

A

xΣΣ

uB

x c

OBJEKT

Σ

Kx

+

_

H

r

a)

D

A

xΣΣ

uB

x c

OBJEKT

Σ

Kc

+

_

H

r

b) Sl. 4.1. Sistem s povratnom spregom: (a) po stanju i (b) po izlazu.

Uvedena povratna sprega po stanju objekta, kao što se vidi, omogućava stabilizaciju nestabilnih objekata. S tim u vezi, a s ciljem upravljanja sistemom na globalnom nivou, može se postaviti pitanje: da li povratna sprega po stanju menja uslove kontrolabilnosti i opservabilnosti tako dobijenog sistema u odnosu na polazni objekat? Matrica kontrolabilnosti sistema s povratnom spregom po stanju je

Glava 4: Sinteza SAU metodama prostora stanja

93

xBKAABABABABM −== − ~];~...~~[ 12 nc . (4.5)

Ako je objekat bio kontrolabilan (nekontrolabilan), sistem s tim objektom i povratnom spregom po stanju može postati nekontrolabilan (kontrolabilan), jer zatvaranje povratne sprege po stanju može učiniti nekontrolabilnim (kontrolabilnim) neke modove (videti primere 4.4, 4.5). S druge strane, matrica opservabilnosti sistema s povratnom spregom po stanju postaje

( ) ( )

=

− T1TT2TTTT0

~~...~~~~~ DADADADMn

, (4.6)

na osnovu koje se može zaključiti da povratna sprega po stanju može imati uticaj na osobinu opservabilnosti. Naime ako je ~D 0= , tj. ako je D HK= x , sistem gubi osobinu opservabilnosti. Videti primer 4.16. 4.2.2 Sistem s povratnom spregom po izlazu, sl. 4.1b, definiše se relacijama: ][)( 1 DxKrHKIuHuKDxKrcKru ccccc −+=⇒−−=−= − ,

( )( ) .~~,)()(

,~~,)()(

111

111

rHxDcrHKIHxDKHKIHDc

rBxAxrHKIBxDKHKIBAx

+=⇒+++−=

+=⇒+++−=−−

−−

ccc

ccc && (4.7)

Na osnovu ovih izraza, odnosno matrica DBA ~,~,~ i H~ , mogu se proveriti stabilnost, Kalmanovi uslovi kontrolabilnosti i opservabilnosti. Međutim, iz razmatranja fizičke prirode problema, opservabilnost sistema posle uvođenja povratne sprege po izlazu neće biti narušena, jer ako su stanja bila opservabila sa izlaza sistema bez povratne sprege ona će biti opservabiulna i sa povratnom spregom pošto upravljanje nema uticaj na opservabilnost. Dakle, pod uslovom da su matrice ~ ~A 0 I D 01 1, i ≠ ≠ , osobine kontrolabilnosti i opservabilnosti sistema se ne menjaju u odnosu na adekvatne osobine objekta. Prema tome:

Povratna sprega po izlazu ne menja kontrolabilnost i opservabilnost sistema u odnosu na iste osobine objekta, ako su ispunjeni uslovi ~ ~A 0 I D 01 1, i ≠ ≠ .

4.3 Projektovanje povratne sprege po stanju Cilj projektovanja je ostvariti: (i) željeni spektar polova (sopstvenih vrednosti matrice stanja) ili (ii) optimalizaciju željenog kriterijuma kvaliteta.

4.3.1 Izbor spektra polova U klasičnom prilazu sintezi sistema, na primer na osnovu metode geometrijskog mesta korena, polazili smo od toga da se sistemi višeg reda ponašaju približno kao sistemi drugog reda s dominantnim konjugovano-kompleksnim polovima. Međutim, pri projektovanju sistema s povratnom spregom po stanju, potrebno je imati informaciju o položaju svih polova


94

sistema, jer i nedominantni polovi imaju svoj doprinos u ukupnom ponašanju sistema. Stoga je, za sintezu kvalitetnog sistema, potrebno imati međusobni raspored polova u zavisnosti od reda projektovanog sistema. Kao osnova za dobro projektovanje primenjuju se tzv. prototipi. Najčešće se koriste dva prototipa [5]. Jedan se zasniva na optimalizaciji kriterijuma kvaliteta oblika

J t e t t=∞

∫ ( )0

d , (4.8)

koji se u literaturi na engleskom jeziku skraćeno naziva ITAE (integral od proizvoda vremena i apsolutne vrednosti signala greške). Drugi prototip se zasniva na odzivu Beselovih funkcija. Kod prvog je karakterističan brži odziv ali i preskok u odzivu, dok je drugi bez preskoka u odzivu, ali je sporiji. U sledećim tabelama date su vrednosti polova za navedena dva prototipa, za normalizovanu sopstvenu frekvenciju oscilovanja, za sisteme do šestog reda. Za druge vrednosti sopstvenih frekvencija, vrednosti polova se dobijaju tako što se vrednosti iz tabele podele s želejnim ωn.

n Spektar polova za ωn=1 rad/s po ITAE kriterijumu 1 1− 2 707,0707,0 j±− 3 068,1521,0- ; 708,0 j±− 4 4141,0626,0 ;263,1424,0 jj ±−±− 5 5339,05758,0 ;292,13764,0;8955,0 jj ±−±−− 6 2873,07346,0 ;7828,05805,0 ;2634,13099,0 jjj ±−±−±−

n Spektar polova za ωn=1 rad/s po Beselovoj funkciji prenosa 1 1− 2 5,0866,0 j±− 3 7112,07455,0- ; 942,0 j±− 4 27111,09047,0 ;8302,006573,0 jj ±−±− 5 4427,08516,0 ;9072,05906,0;9264,0 jj ±−±−− 6 1856,09093,0 ;5622,07998,0 ;9617,05385,0 jjj ±−±−±−

4.3.2 Podešavanje spektra polova sistema Za obezbeđenje željene lokacije sopstvenih vrednosti matrice stanja kom-penzovanog sistema, putem uvođenja povratne sprege po stanju, koristi se veći broj metoda [3, 4, 5, 6]. Neke od njih se zasnivaju na primeni kanoničkog kontrolabilnog modela sistema i jednostavne su za primenu kod sistema sa skalarnim upravljanjem [4]. Na bazi njih je razvijena i tzv. Akermanova formula [5]. Jedna od metoda koristi opšti prilaz na osnovu fundamentalne matrice sistema i pogodna je za sisteme s vektorskim upravljanjem [3, 10].


95

4.3.2.1 Sistemi sa skalarnim upravljanjem Neka je polazni model objekta dat u kontrolabilnoj kanoničkoj formi. Tada je matrica stanja A u kompanjon formi i na osnovu nje može se direktno napisati karakteristični polinom polaznog (nekompenzovanog) sistema 12

21

1 ...)( asasasassD nn

nn

nn +++++= −

−− . (4.9)

Od sistema se zahteva da mu spektar sopstvenih vrednosti matrice stanja kom-penzovanog sistema bude: s s sn1 2, ,... , . Pri tome, u spektru željenih sopstvenih vrednosti, kompleksne vrednosti moraju biti u konjugovano-kompleksnim parovima. Tada se, na osnovu zadatog spektra, može napisati karakteristični polinom željenog (kompenzovanog) sistema:

122

11

1...)()( asasasassssD n

nn

nn

n

iik +++++=−= −

−−

=∏ . (4.10)

Istaknimo da se kontrolabilni kanonički prostor generiše modelom dobijenim direktnim programiranjem, sl. 4.2, u kome su koeficijenti karakterističnog poli-noma ustvari pojačanja lokalnih povratnih sprega od koordinata stanja do ulaza u sistem. Na slici su označeni koeficijenti karakterističnih polinoma nekompen-

u

-an-an - n-a 1- n-a 1-a2-a2

-a1-a1

x1x2xn-1xn

Sl. 4.2. Model sistema bez konačnih nula sa skalarnim upravljanjem u normalnoj,

kanoničkoj kontrolabilnoj formi. zovanog (ai) i kompenzovanog sistema ( ia ). Nije teško zaključiti da se kompenzator, ostvaren povratnom spregom po stanju, dobija tako što se svakom elementu ai lokalne povratne sprege, u modelu nekompenzovanog sistema, dodaje (paralelno vezuje) element: niaak iii ,1, =−= . (4.11) Prema tome, matrica povratne sprege po stanju je vektor-vrsta, čiji su elementi pojačanja ki . Pretpostavili smo da je polazni model sistema dat u kanoničkoj kontrola-bilnoj formi, što, naravno, nije uvek slučaj. Međutim, ako je par (A,b) kontro-labilan, sistem se može uvek svesti na taj oblik. U drugoj glavi je dat jedan postupak transformacije sistema u kanoničku kontrolabilnu formu. Ovde ćemo dati, kao gotov rezultat, matricu transformacije polaznog sistema u kontrolabilni kanonički model, koja se odlikuje eksplicitnošću, tj. ona se može direktno napi-sati na osnovu modela i koeficijenata karakterističnog polinoma nekom-penzovanog sistema. Ta transformaciona matrica ima oblik (4.14) [1,2,4], gde su: Mc - matrica kontrolabilnosti, a ai-koeficijenti karakterističnog polinoma polaznog, nekompenzovanog sistema. Prema tome, postupak projektovanja sistema svodi se na sledeći algoritam:


96

, (4.12) 1. Proverava se potpuna kontrolabilnost nekompenzovanog sistema (objekta) proverom ispunjenja relacije rang .M c n= (4.12) Ako je ovaj uslov ispunjen, projektovanje se nastavlja. U suprotnom slučaju potrebno je dekomponovati sistem na upravljivi i neupravljivi deo i proveriti uslov stabilzabilnosti. Ako je on ispunjen, može se dalji postupak sprovesti na upravljivi deo sistema ali ne mogu da se ostvare sve željene sopstvene vrdnosti već samo onoliko koliki je indeks kontrolabilnosti sistema. 2. Izračunavaju se koeficijenti karakterističnog polinoma ai nekompenzova nog sistema na osnovu relacije 0]det[ =− AIs (4.13) i formira vektor-vrsta od ovih koeficijenata po rastućim indeksima: ]...[ 21 naaa=a . 3. Određuje se matrica transformacije T i njena inverzna matrica T-1na osnovu

=

0...0010...01...............01...1...

43

32

n

n

c

a

aaaaa

MT (4.14)

4. Na osnovu zahtevanog spektra sopstvenih vrednosti, sračunava se karakteristični polinom kompenzovanog sistema po formuli (4.10) i formira vektor-vrsta čiji su elementi koeficijenti polinoma po rastućim indeksima: ]...[ 21 naaa=a . 5. Potrebna matrica povratne sprege po stanju kk je vektor-vrsta s elemen-tima ki određenim izrazima , tj. ][ aak −=k . 6. Dobijena matrica povratne sprege po stanju transformiše se u originalni (polazni) prostor stanja, tj. 11 ][ −− −== TaaTkk k . (4.15)

Primer 4.1. Nekompenzovani sistem je neprigušeni oscilator prirodne frekvencije oscilovanja ωn. Naći matricu povratne sprege po stanju, koja će obezbediti dvostruko veću prirodnu frekvenciju samooscilovanja i koeficijent relativnog prigušenja ζ=1. Matematički model sistema u kanoničkom kontrolabilnom prostoru stanja je

.

,

12

2

21

uxx

xx

n +ω−=

=

&

&

Karakteristični polinom nekompenzovanog sistema je

001

0]det[ 222 =ω+⇒=

ω−

⇒=− nn

ss

ss AI ,

odakle nalazimo: ]0 [,0 2212 nnaa ω=⇒ω== a .


97

Zahtevani spektar sopstvenih vrednosti je 22,1 122 ζ−ω±ωζ−= nn js nω−= 2 . Zato je

karakteristični polinom kompenzovanog sistema : ]4 4[4 ,444)2( 2

22

1222

nnnnnnn aasss ωω=⇒ω=ω=⇒ω+ω+=ω+ a . Elementi matrice povratne sprege po stanju su: k a a n1 1 1

23= − = ω ; k a a n2 2 2 4= − = ω . Matrica povratne sprege po stanju je [ ]nnk ωω= 43 2k . Na sl. 4.3 prikazan je rezultat simulacije polaznog i kompenzovanog sistema za iste početne uslove

Sl. 4.3. Odzivi nekompenzovanog (1) i kompenzovanog (2) sistema.

x x1 20 0 3 0 0 5( ) , ; ( ) ,= = − i ωo s= −1 1 . Primer 4.2. Sistem bez povratne sprege je dat parom (A,b):

A b= −−

=

1 0 0

1 0 2

0 1 1

1

0

0

; .

Odrediti koeficijente povratne sprege po stanju, tako da spregnuti sistem ima spektar polova: -1, -1, -2.

M Mc c= − −

=1 1 1

0 1 1

0 0 1

3; rang sistem je

potpuno kontrolabilan. 2,3,202320]det[ 321

23 −==−=⇒=−+−⇒=− aaassss AI . Kao što se vidi, polazni sistem je nestabilan. Matrica transformacije je, shodno (4.12),

−−−==

−−

=

−

−

−−= −

111110100

;1det;001011112

001012123

100110

1111

)12.4(TTT .

Karakteristični polinom kompenzovanog sistema je 254)1)(2( 232 +++=++ sssss . Razlika koeficijenata zahtevanog i nekompenzovanog karakterističnog polinoma daje ]624[=kk , pa je vektor koeficijenata povratne sprege po stanju kompenzovanog sistema

[ ] [ ]086111

110100

6241 −=

−−−== −Tkk k .

Model kompenzovanog sistema je

[ ] xxxx

−−−

=−

−

−−=

110201085

086 001

110201001

& ,

čije su sopstvene vrednosti jednake traženim.


98

4.3.2.2 Akermanova formula Osim datog, u literaturi se često koristi još jedan postupak - Akermanova formula koju dajemo bez dokaza. Vektor povratne sprege po stanju sistema izračunava se po formuli: k e M Ax n c D= −T 1 ( ) , (4.16) gde su: en- n-ti stubac jedinične matrice, Mc - matrica kontrolabilnosti sistema, a D(A) - karakteristični polinom željenog sistema s matricom stanja umesto kompleksne promenljive. Primenu Akermanove formule prikazaćemo na sledećem primeru.

Primer 4.3. Odrediti vektor povratne sprege po stanju za sistem iz prethodnog primera primenom Akermanove formule. Karakteristični polinom željenog sistema je 254)( 23 +++= ssssD .

Stoga je IAAAA 254)( 23 +++=D . Na osnovu Mc nalazi se njena inverzna matrica, a na osnovu date matrice A njen kvadrat i kub, tako da se može primeniti Akermanova formula :

[ ] [ ]⇒+++

−−=

−

IAAAk 254100110

111100 23

1

x

[ ]k x = − −

− −−

+ − −

− −

+ −

−

+

0 0 1

1 1 0

0 1 1

0 0 1

1 0 0

1 2 2

2 1 3

4

1 0 0

1 2 2

1 1 1

5

1 0 0

1 0 2

0 1 1

2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

[ ]086 −=xk . 4.3.2.2.1 MATLAB i Akermanova formula

Korišćenjem programskog paketa MATLAB, naredbom

p)B,acker(A,=k ,

gde je p-vektor željenih sopstvenih vrednosti sistema, može se dobiti vrednost vektora k povratne sprege po stanju. Primenom MATLAB-a za prethodni primer imamo: A=[1,0,0;-1,0,2;0,-1,1];B=[1;0;0];p=[-1;-1;-2];k=acker(A,B,p); Warning: Pole locations are more than 10% in error. >> k k = 6 -8 0. Napomena 4.1: Akermanova formula je numerički nepouzdana, naročito za sisteme reda većeg od 10 i za slabo kontrolabilne sisteme.


99

4.3.3 Sistemi s vektorskim upravljanjem. 4.3.3.1 Prvi način sinteze - svođenje na skalarni slučaj Prethodno opisana metoda može se primeniti i na sisteme s vektorskim up-ravljanjem. Najpre, moguće je da se vektorsko upravljanje svede na skalarni slučaj relacijom Bu Bq b= =u u , (4.17) gde je q- r-dimenzionalni vektor. Pri tome, sistem mora biti potpuno kontrola-bilan po vektoru ulaznih signala. Zatim, moguće je, takođe, ako je sistem potpuno kontrolabilan po nekom od r kanala upravljanja, uvesti na prethodno opisani način povratnu spregu po stanju samo po tom upravljanju.

Primer 4.4. Dat je sistem opisan sa [ ]10;1101

;3102

=

=

= dBA . Izabrati

povratnu spregu po stanju tako da sistem ima sopstvene vrednosti s s1 21 5= − = −, . Uočimo da je nekompenzovani sistem nestabilan, a da će postupak sinteze automatski dovesti do stabilnog sistema. Najpre ćemo pokazati kako se ovaj zadatak može rešiti svodeći dati sistem s vektorskim upravljanjem na prethodno opisan slučaj sa skalarnim upravljanjem. Zapišimo sistem u obliku

21 10

11

3102

uu

+

+

= xx& .

i proverimo potpunu kontrolabilnost sistema po svakom od ulaza. Lako se utvrđuje da je sistem potpuno kontrolabilan po prvom, a nepotpuno kontrolabilan po drugom ulazu. Stoga ćemo uvesti povratnu spregu po stanju po prvom ulazu. Drugim rečima, dalje ćemo razmatrati redukovani sistem1

111

3102

u

+

= xx& .

Karakteristični polinom nekompenzovanog sistema je 652 +− ss , tj. imamo 5]- 6[=a . Matrica transformacije je

−−

=⇒

−−

=

−

=

−= −

3111

21

1113

0115

4121

0115 1TMT c .

Zahtevani karakteristični polinom kompenzovanog sistema je =++ )5)(1( ss

⇒++ 562 ss 6] 5[=a . Prema tome, vektor povratne sprege po stanju je

[ ] [ ] [ ]16521

3111

111 1 −=

−−

−=−= −Taak .

Kompenzovani sistem imaće sledeći matematički model

[ ] ⇒

+

−−

+

= 2

2

11 1

0 165

11

3102

rxx

rxx&

1 Uvodeći, prema (4.17), vektror q=[1 0,5]T zadatak se svodi na isto.


100

2;1101

136167

xc =

+

−−

= rxx& .

Njegova karakteristična jednačina je 05696137 2 =++=++− ssss ))(( . Prema tome, dati prilaz je dao traženi spektar polova.

Interesantno je zadatak posmatrati i preko simulacionih dijagrama i strukturnih blok šema. Na osnovu modela sistema, može se nacrtati simulacioni dijagram i strukturna blok-šema polaznog i kompenzovanog sistema, sl. 4.4. I iz ovih dijagrama vidi se da je polazni sistem nepotpuno kontrolabilan po upravljanju u2 kao i potvrda napred sprovedenog postupka. Istaknimo da će spregnuti sistem imati željeni spektar polova, bez obzira u odnosu na koji ulaz deluje upravljanje,. Uočimo da je uvođenjem povratne sprege po stanju dobijeni sistem postao superkontrolabilan.

r2 r2

r1 r1

x2

x2

x1

x1

2

2

3

3

1

1

1

1

s-2

s-2

s-3

s-3

c

c

5-16

-16

5

c

c

u2 u2

u1u1

Sl. 4.4. Simulacioni dijagram i strukturna blok-šema sistema: a) nekompenzovani sistem ; b)

kompenzovani sistem. 4.3.3.2 Drugi način sinteze - slučaj prostih sopstvenih vrednosti U ovom odeljku biće izložen jedan postupak projektovanja povratne sprege po stanju za sisteme s vektorskim upravljanjem i prostim sopstvenim vred-nostima, polazeći od karakteristične jednačine, napisane u obliku

0])(det[]det[])(][det[ 11 =−+−=−+− −−xx ssss BKAIIAIBKAIIAI .(4.18)

Prethodni izraz biće ispunjen ako je makar jedan od činilaca jednak nuli. Prvi, ]det[ AI −s , je jednak nuli u polovima (sopstvenim vrednostima) polaznog,

nekompenzovanog sistema, jer je to njegov karakteristični polinom. Prema tome, ako želimo da karakteristični polinom kompenzovanog sistema ima zadati spektar polova dovoljno je zahtevati da

0])(det[ 1 =−+ −xs BKAII . (4.19)

S druge strane, poznato je da je )()( 11 −− −= AIst LΦ )()( 1 ss Φ=−⇒ −AI , pa se (4.18) može napisati u obliku 0])(det[])(det[ =+=+ BKIBKI ss xx ΦΦ . (4.20)


101

Iz ove jednačine potrebno je odrediti matricu Kx, tako da sistem ima željeni spektar polova, tj. ta relacija mora biti zadovoljena za svako s=sj, j=1,...,n, tj. za svako Φ( )s j . Pošto imamo n sopstvenih vrednosti, potrebno je imati sistem od n algebarskih jednačina. Taj sistem se dobija izjednačavanjem s nulom svih elemenata bilo koje vrste ili kolone determinante (4.20). Napišimo (4.20) u obliku 0])(...)()([]...[det 2121 =+ jnjjxn sss fffKeee , (4.21) gde su: ei- i-ti vektor-kolona jedinične matrice (i-ti ort), fi(sj)-i-ti vektor-stubac proizvoda matrica Φ( )s j B =F(sj). Na osnovu (4.21) dobijamo sistem od n algebarskih jednačina zapisanih u vektorskom obliku K f ex i j is( ) = − . (4.22) Međutim, ovaj sistem imaće jedinstvena rešenja samo ako predstavlja skup od n linearno nezavisnih jednačina. To će biti ispunjeno samo ako je polazni sistem potpuno kontrolabilan. Ograničavajući se samo na sisteme s prostim željenim polovima, uvek se može naći skup linearno nezavisnih jednačina, na osnovu koga se može napisati matrična algebarska jednačina oblika [ ] [ ]iniininiix sss eeefffK ...)(...)()( 212211 −= , iz koje se dobija matrica povratne sprege po stanju [ ][ ] 1

221121 )(...)()( ... −−= niniiiniix sss fffeeeK . (4.23)

Primer 4.5. Prethodni primer (primer 4.4) rešićemo i na upravo opisani način. Najpre, lako se utvrđuje da je sistem potpuno kontrolabilan, jer je

[ ] 2rang;34110201

=

== cc MABBM .

Zatim određujemo kompleksni lik fundamentalne matrice

[ ]

−−−

−=

−−

−=−=

−−

31

)3)(2(1

02

1

3102

)(1

1

sss

ss

sss AIΦ .

Dalje je

=

−−−−−=

−−−

−==

31

)39)2(1

02

1

1101

31

)3)(2(1

02

1

)()(

sssss

sss

sss BF Φ

[ ])()( 21 ss ff . Nalazimo vektore

;]283

71[)5(;]

61

31[)1( T

21T

11 −−=−=−=−= ss ff

.]810[)(;]

410[)1( T

22T

12 −=−=−= ss ff


102

Izborom grupe linearno nezavisnih vektora [ ])( )( 2211 ss ff ili [ ])( )( 1221 ss ff

nalazimo dva moguća rešenja za matricu povratne sprege po stanju:

a) [ ][ ]

−

=

−

−

−=−=

−

−

8403

81

61

0 31

1001

)( )(

1

1221121 ss ffeeK ;

b) [ ][ ]

−

=

−−

−

−=−=

−

−

4307

41

283

0 71

1001

)( )(

1

1122121 ss ffeeK .

Neposrednom proverom može se utvrditi da obe nađene matrice stanja obezbeđuju zadati spektar polova. Zaista:

.

130 5

4307

1101

3102~ )

;520 1

8403

1101

3102~ )

−−

−=

−

−

=−=

−

−=

−

−

=−=

BKAA

BKAA

b

a

Na sl. 4.5 prikazani su simulaciona šema i strukturni blok dijagram kompenzovanog sistema s matricom povratne sprege date pod a), čiji je matematički model

⇒

+

−

−

=

2

1

2

1

2

1

2

1

1101

8403

1101

3102

rr

xx

xx

xx&

&

+

−

−=

2

1

2

1

2

1

1101

5201

rr

xx

xx&

&.

4.3.3.2.1 MATLAB i podešavanje polova Za projektovanje povratne sprege po stanju može se koristiti gotov programski paket MATLAB-a. Komanda je: p)B,place(A,K = , gde je p-vektor željenog spektra sopstvenih vrednosti sistema. Primenom MATLAB-a za prethodni primer imamo: >> A=[2,0;1,3];B=[1,0;1,1];p=[-1;-5]; >> K=place(A,B,p) place: ndigits= 15 K = 3.0000 0 -2.0000 8.0000 >> s=eig(A-B*K) s = -5.000 -1.000

Uočava se da je u MATLAB-u dobijenamatrica povratne sprege po stanju različita odprethodno dobijenih, koja daje isti željenispektar polova.


103

r2

r2

r1

r1

x2x1

2 3

1 1s-2 s-3

c

-3

-8

83

4

4

c

Sl. 4.5 Simulacioni dijagram i strukturna blok-šema kompenzovanog sistema.

Iz ovih primera može se videti da su moguća različita rešenja postavljenog zadatka. Poslednje tri varijante se, u suštini, ne razlikuju. Razlika postoji u prilazu putem svođenja zadatka na skalarni slučaj i vektorskog prilaza. Prvi prilaz ima manji broj povratnih sprega. Međutim, konačni sud se može meri-torno izvesti samo nakon analize spreg-nutog sistema, jer ponašanje sistema zavisi i od konačnih nula. Nalazeći funkcije prenosa od svakog ulaza do izlaza za prvi (skalarni) i drugi (vektorski) način rešavanja zadatka, dobija se: a) za slučaj primene skalarne povratne sprege, sl. 4.4b:

)()5)(1(

7 )5)(1(

1)(][)()()( 1 sss

sss

ssssssC RBRAIdRG

++

−++

−=−== −

);

b) za slučaj primene vektorske povratne sprege (primer 4.5) G(s) je:

++

+++

+

+++

+)5(

1 )5(

1 b3) ;)5(

1 )5)(1(

2 b2) ;)5(

1 )5)(1(

3 )1sssss

ssss

sb .2)

Kao što se vidi, polovi spregnutog prenosa sistema su jednaki zahtevanim (-1, -5) u slučaju a). U prenosu prva metoda je dala neminimalno fazni sistem (desne konačne nule: 1 i 7). U drugom slučaju, u prenosu po r2 dolazi do skraćivanja pola i nule, pa je dobijeni sistem ostao nekontrolabilan po tom ulazu, a u slučaju b3) skraćivanja ima u oba kanala. To se vidi i na dijagramu na sl. 4.5, što kod prvog prilaza nije slučaj. Štaviše, polazni objekat je bio nepotpuno kontrolabilan po ulazu u2, a uvođenjem skalarne povratne sprege po stanju učinili smo da je sistem poprimio osobinu superkontrolabilnosti, tj. postao je potpuno upravljiv po svakom ulazu. U posmatranom primeru bolji je drugi prilaz, jer nema desnih nula. U svakom konkretnom slučaju projektant mora detaljno analizirati ponašanje projektovanog sistema i po potrebi izvršiti promenu zahtevanog spektra polova u cilju dobijanja što kvalitetnijeg sistema. Sa ciljem da se uoči razlika u projektovanju kada je matrica B nmnm <× , razmotrimo sledeći primer

Primer 4.6. ;111001

] [;020510

101

21

==

−−= bbBA Od sistema se zahteva da mu

sopstvene vrednosti budu 5,3,1 −−−=S . Proveravamo sopstvene vrednosti matrice stanja: eig(A)= 1.0000; 3.7016;-2.7016. Prema tome sistem je nestabilan. Proverom kontrolabilnosti po svakom ulazu lako se nalazi da je sistem superkontrolabilan. To znači da se za dobijanje traženog spektra polova može primeniti skalarni slučaj po jednom od ulaza ili vektorski slučaj, što ćemo i uraditi. Kompleksni oblik fundamentalne matrice je:

2 b1) i b2) su varijante iz primera 4.5, a b3) je rešenje dobijeno primenom MATLAB-a.


104

[ ]

−−−

−−−

−−−

−−

−−−−−−

−

=−=Φ −

)10(1

)10(20

)10(5

)10(0

)10(1

)10)(1(2

11

)(

22

22

22

1

sss

ss

sssss

ssssss

ss AI ;

Sada je

2321

22

22

22

2

)]()([

)10(3

)10(1

)10(5

)10(5

)10)(1(3

)10)(1(11

)()( ×=

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−−

−−−−

== ss

sss

sss

sss

ss

ssss

ssss

ss ffBF Φ .

Pošto je naš sistem trećeg reda (n=3), a broj ulaza m=2, matrica povretne sprege po stanju mora biti dimenzija 32×=× nm . Ona se određuje iz izraza (4.23) koji će za ovaj slučaj biti: 1−−= EGK , gde se matrica G dobija na osnovu linearno nezavisnih vektora 3,2,1;2,1),( == jis jif , a matrica E se sastoji iz jediničnih ortova-kolona koji korespondiraju indeksu i vektora

)( ji sf . Na taj način moguće su različite varijante rešenja:

a)

−−−−

−=

==

5/224/12/12/58/5

15/14/18/5;

100011

)];()()([ 322111 aaa sss GEfffG

b)

−−−−

−=

==

5/234/12/148/5

15/14/38/5;

110001

)];()()([ 322211 bbb sss GEfffG

c)

−−−−

−=

==

5/222/12/12/54/3

15/14/14/1;

101010

)];()()([ 322112 ccc sss GEfffG

d)

−−−−−−

=

==

10/324/14/12/58/560/74/18/5

;000111

)];()()([ 312111 add sss GEfffG

e)

−−−−

−=

==

5/232/12/143/2

15/14/34/1;

111000

)];()()([ 322212 aee sss GEfffG

Ovi slučajevi biće validni samo ako su dobijene matrice Gk nesingularne. Kao što se vidi, u formiranju matrice G moraju učestvovati sve zahtevane sopstvene vrednosti sistema. Poslednja dva slučaja se svode na skalarno upravljanje. Dobijaju se sledeća rešenja:


105

=

=

65.00 53.6923- 27.6923- 4.00- 3.6923 3.6923

;135.00 114.00- 60.00-22.00- 19.20 12.00

ba KK ;

=

=

0 0 015.80 12.72- 4.80-

;115.00 98.00- 60.00- 18.00- 16.00 12.00

dc KK ;

=

24.8889 16.6667- 9.3333 0 0 0

eK .

Lako se može proveriti da se sa datim povratnim spregama dobijaju tražene sopstvene vrednosti matrice stanja sistema. Prema tome, možemo da biramo najpogodnije u nekom smislu rešenje. Rešnje Kc je, na primer, najpogodnije zbog toga što su koeficijenti povratne sprege celobrojni. 4.3.3.3 Treći način sinteze - opšti slučaj

U prethodnom odeljku opisan je postupak projektovanja povratne sprege po stanju u slučajevima kada željeni spektar ima samo proste polove. U slučaju kada željeni spektar sadrži i višestruke polove, izloženi postupak se mora modifikovati. O jednoj modifikaciji videti u [3]. Ovde ćemo prikazati postupak, predložen u [10], koji se može primenjivati bez obzira na to da li zadati spektar polova ima proste ili višestruke polove. Neka je dinamički sistem opisan sa

rnnnrn ×× ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈+= BAuxBuAxx ,,, ;& . (4.24) Uvodi se povratna sprega po stanju

nr×ℜ∈−= KKxu ; . (4.25) Pretpostavlja se da je par (A,B) potpuno kontrolabilan, tj. da matrica kontrolabilnosti, ],...,,,[ 12 BABAABBM −= n

c , (4.26)

ima rang n. Sada se umesto matrice kontrolabilnosti (4.26) formira matrica M na sledeći način: najpre se, koristeći prvi stubac b1 matrice ],...,,[ 21 rbbbB = , formira prvi deo matrice M na način kao što se formira matrica kontrolabilnosti sistema s jednim ulazom (skalarni slučaj), tj.:

],...,,,[ 11

12

111 1 bAbAAbbM −= m , (4.27)

gde je m1 - indeks kontrolabilnosti sistema po prvom ulazu. Drugim rečima, ova matrica kontrolabilnosti po prvom ulazu se formira dotle dok se ne pojavi kolona m1 koja je linearno zavisna od prethodnih kolona. Dalje formiranje matrice M1 se prekida, a kolona m1 se isključuje iz matrice M. Zatim se na isti način postupa sa kolonoma b2, b3,..., br matrice B dok se ne dobije matrica M punog ranga, tj. ranga n. Ta matrica će u opštem slučaju imati oblik

[ ]

],,...,,,....,...,,,

;,...,,,[,...,,12

112

22

22

11

12

11211

rrm

rrm

mr

bAbAAbbAbAAbb

bAbAAbbMMMM−−

−== (4.28)


106

pri čemu je

nmr

ii =∑

=1

. (4.29)

Napomena 4.2: Može se dogoditi da je sistem potpuno kontrolabilan po prvom ulazu. Tada se vektorski slučaj projektovanja povratne sprege po stanju može svesti na skalarni ako se formira matrica (4.26) do m1=n. Međutim, matrice Mi ne moraju se formirati u celosti, tj. dok postoje linearno nezavisni vektori, već se njihovo formiranje može prekinuti i ranije. Bitno je da je dobijena matrica M punog ranga. Na primer, ako je rang matrice B jednak redu sistema, tada se odmah kao matrica M može primeniti matrica B, pri čemu će mi=1 za svako i=1,2,.. Pošto je matrica M nesingularna, ona će imati inverznu matricu. Definišimo q-vektor vrstu te inverzne matrice: ,,...2,1 , matrice vrsta- 1T riii == −Mq δ (4.30) gde je

∑=

=i

jji m

1

δ . (4.31)

Neka je željeni spektar polova sistema podeljen u r grupa, odnosno neka je karakteristični polinom sistema dat u obliku

∏=

=r

ii sDsD

1

)()( , (4.32)

gde je

iii

mim

im

i asassD ,1

1, ...)( +++= − . (4.33) Matrica povratne sprege po stanju određuje se po formuli GQK 1−= , (4.34) gde su matrice Q i G date izrazima:

=

−

−

−

BAq

BAqBAq

Q

1T

1T2

1T1

.......

2

1

rmr

m

m

, (4.35)

=

)(.......

)()(

T

2T2

1T1

Aq

AqAq

G

rr D

DD

, (4.36)

a )(AiD je

.,...,2,1 ;...)( 11, rimaaD ii

mi

mi

ii =+++= −AAA (4.37) Primenu ove metode prikazaćemo na nekoliko primera.


107

Primer 4.7. Dat je sistem opisan sa

=

−−=

001

;110201001

BA ,

projektovati povratnu spregu po stanju tako da željeni karakteristični polinom sistema bude )2()1()( 2 ++= sssD . Neposrednom proverom (videti primer 4.2) se utvrdjuje da je sistem potpuno kontrolabilan. S obzirom da je sistem sa skalarnim upravljanjem, onda je matrica M u ovom slučaju identična s matricom kontrolabilnosti datog sistema. Matrica kontrolabilnosti i njena inverzna matrica su

−−==100110

111

cMM ;

−−=−

100110

0111M .

Sada je m1=3, pa je 31

111 ==∑

=jmδ , te je [ ]100T

1 =q , tj. to je treća vrsta matrice

1−M . Sada je

[ ] [ ] =+++==

−== IAAAAbAQ 254)( ;111

1 100100 232 D

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]. 08610021105

1114312 100)(100)(

;100010001

2110201001

5111

22-1-001

4 312221

001

1T1

−=+−+−−+−===

+

−−+

−−+

−−−

AAqG DD

S obzirom na to da je ,11 == −QQ potrebna povratna sprega po stanju je [ ]086 −=k . Ovaj rezultat smo već dobili na osnovu kanoničkog kontrolabilnog modela sistema kao i primenom Ackermanove formule.

Primer 4.8. Sistem je opisan sa [ ]10;1101

;3102

=

=

= dBA . Projektovati

povratnu spregu po stanju tako da spektar polova sistema bude: .5,1 21 −=−= ss 1. Način. Sistem je potpuno kontrolabilan po prvom ulazu. Formiramo matricu M1

[ ]

−

−=⇒=⇒

== −

1124

21

4121 1

1111 MMMAbbM ,

[ ] [ ] ,142

5.05,0 ;5,05,02 T11 =

−=−=⇒=δ Qq

⇒++= 56)( 2 sssD


108

=

+

+

=++=

3211021

5005

186012

9504

56)( 2 IAAAD ;

[ ] [ ] [ ].1653211021

5.05.0)(T1 −=

−== ADqG ].165[−=⇒ k

Vidi se da je rezultat isti kao u primeru 4.4. 2. Način. Ovaj zadatak možemo rešiti i na sledeći način (videti napred datu napomenu): formirajmo matricu M tako što ćemo usvojiti da su m1=m2=1, što daje M=B. Pošto je rangB=2, to znači da je posmatrani sistem drugog reda potpuno kontrolabilan. Sada je:

[ ] [ ]11;01;2,1;1101

212111 −==⇒=δ=δ

−

== −− qqBM .

.8107

5)(

;4103

)(

)5)(1()(

2

1

=+=

=+=

⇒++=

IA

IA

AD

AD

sssD

[ ]

[ ]

=

⋅−

⋅

=

=

1001

1101

11

1101

01

02

01

BAqBAq

Q ,

[ ]

[ ]

−

=

⋅−

⋅

=

=

8603

8107

11

4103

01

)()(

22

11

AqAq

GDD

,

−

=

−

== −

8603

8603

10011GQK .

Zaista je

).5)(1(0)det(

5401

8303

3102

8603

1101

3102

++⇒=+−⇒

+−

+

=

−

+

−−

−=

−

+

−−

−=+−

ssss

s

ss

ss

s

BKAI

BKAI

Prema tome, data povratna sprega po stanju je obezbedila traženi spektar sopstvenih vrednosti.

Model ulaz-izlaz sistema je

[ ] =

++

+

+

=+−+−

=1101

)5)(1(14

05

10]det[][adj)(

sss

s

sss B

BKAIBKAIdW


109

[ ]

++=

++

+++ 5

11

115

0510

)5)(1(1

sssss

ss,

a simulacioni dijagram i strukturna blok-šema sistema sa povratnom spregom po stanju prikazana je na sl. 4.6. Ovde u modelu ulaz-izlaz došlo je do skraćivanja

r2 r2r1 r1x2

x1

2 3

1 1s-2 s-3

c

-3

-8

83

6

6

c

Sl. 4.6 Simulacioni dijagram i strukturna blok-šema projektovanog sistema.

Može se uočiti da se ovim načinom projektovanja dobio sličan rezultat kao kod prethodnog postupka projektovanja ali ipak različit. Ovde se drugi mod (s+5) skraćuje delovanjem preko upravljanja u1, dok drugi ulaz nema uticaj na stanje x1. S obzirom na to da se skraćivanje odvija u levoj poluravni, stabilnost sistema se ne može narušiti. Međutim, ovde drugi mod nije kontrolabilan sa strane prvog ulaza, a prvi mod nije opservabilan sa izlaza sistema.

Primer 4.9. Sistem je opisan modelom

.

01101111

;

2600128301522401

=

= BA

Projektovati povratnu spregu po stanju tako da spektar polova bude definisan sa . )168)(44()4()2()( 2222 ++++=++= sssssssD Koristićemo programski paket MATLAB za izračunavanja, pa matrice A i B zapisujemo u obliku: A=[1,0,4,2;2,5,1,0;3,8,2,1;0,0,6,2];B=[1,1;0,1;1,1;1,0]; Odredimo najpre spektar polova polaznog sistema naredbom eig(A). Dobija se odgovor: eig(A)=[9.2835; 0.9625 + 1.3221i ; 0.9625 + 1.3221i; -1.2084] Kao što se vidi, spektar polova nije onaj koji se traži; sistem nije stabilan, jer ima tri pola u desnoj poluravni. Sada ispitujemo potpunu kontrolabilnost sistema. MC=[B, A*B,A^2*B,A^3*B]; rank(MC) =4. Sistem je potpuno kontrolabilan. Utvrdimo kontrolabilnost po svakom od ulaza: >> b1=[1;0;1;1];b2=[1;1;1;0]; >> Mc1=[b1, A*b1,A^2*b1,A^3*b1];Mc2=[b2, A*b2,A^2*b2,A^3*b2]; >> rank(Mc1) = 4 >> rank(Mc2) = 4 Dakle, sistem je superkontrolabilan i zadatak se može rešiti na više načina. Usvojićemo m1=m2=2. Prema (4.31) nalazimo


110

422;22

12

1

11 =+==δ==δ ∑∑

== jj

jj mm ,

a zatim matricu M i njenu inverznu matricu M-1: >> M1=[b1, A*b1];M2=[b2, A*b2];M=[M1,M2];

=−

0.0244 0.0976 0.0244 0.1220- 0.7805- 0.1220- 0.2195 0.9024 0.1951 0.2195- 0.1951 0.0244 0.7073- 1.1707 1.7073- 0.5366

1M .

Sada se, na osnovu (4.30), izdvajaju druga i četvrta vrsta matrice M-1 kao vektori q1 i q2: >> q1=[ 0.1951 0.2195- 0.1951 0.0244 ]; >> q2=[ 0.0244 0.0976 0.0244 -0.1220 ]; Zatim se sračunavaju karakteristični polinomi D1(A) i D2(A): >> D1=A^2+4*A+4*eye(4); D2=A^2+8*A+16*eye(4); i nalazimo: >> Q=[q1*A*B;q2*A*B];G=[q1*D1;q2*D2]; K=Q^-1*G; Konačno se dobija matrica K:

=

0.2683- 1.5366 11.1463 1.46342.6341 4.8293 1.9512 0.3902

K

Proveravamo ispravnost nadjenog rešenja: >> eig(A-B*K) = [-4.0000 + 0.0000i; -4.0000 - 0.0000i; -2.0000 + 0.0000i; -2.0000 - 0.0000i] Kao što se vidi, uvođenjem povratne sprege po stanju, dobili smo traženi spektar polova. Rešićemo ovaj zadatak i primenom MATLAB-a. >> A=[1,0,4,2;2,5,1,0;3,8,2,1;0,0,6,2];B=[1,1;1,1;0,1;1,0];p=[-2;-2;-4;-4]; >> K=place(A,B,p) place: ndigits= 15 K = Columns 1 through 3 -4.4348 8.0870 -24.5217 4.9130 2.2174 23.6957 Column 4 -13.4783 12.3043 >> e=eig(A-B*K) e = -2.0000 -2.0000 -4.0000 -4.0000 Kao što se može videti dobijeno je drugačije rešenje za matricu povratne sprege K, ali je ostvaren isti spektar polova. To još jednom potvrđujemo da zadatak nema jednoznačno rešenje.


111

4.4 Projektovanje optimalne povratne sprege po stanju Poseban značaj u teoriji SAU ima optimalizacija parametara povratne sprege u odnosu na postavljeni kriterijum kvaliteta. Ta oblast teorije upravljanja prerasla je u samostalnu disciplinu pod nazivom Optimalni sistemi upravljanja. Mi ćemo se, ovde, ograničiti samo na jedan prilaz, s ciljem da ukažemo na izvanredne mogućnosti teorije optimalnog upravljanja. Razmatraćemo opštiji slučaj minimalizacije kriterijuma oblika

tJ d)(

0 TT∫

∞+= RuuQxx , (4.38)

gde su Q i R-pozitivno definitne, simetrične matrice odgovarajućih dimenzija, koji problem svodi na projektovanje Kalmanovog regulatora, korišćenjem Rikatijeve algebarske (diferencijalne) jednačine.3 Ovaj zadatak ima rešenje ako je par (A,B) sistema BuAxx +=& potpuno kontrolabilan. Tada se uvođenjem povratne sprege po stanju u Kx= − kriterijum kvaliteta (4.38) svodi na

tJ d)(

0 TT xRKKQx∫

∞+= . (4.39)

Uvedena povratna sprega mora da obezbedi stabilnost sistema, pa će sistem posedovati funkciju Ljapunova. Neka je ona data kao kvadratna forma oblika V x Px= T , (4.40) gde je P-realna, simetrična, pozitivno definitna matrica. Ako je to funkcija Ljapunova, njen izvod biće negativno definitna funkcija. Neka je on, s nega-tivnim znakom, jednak poditegralnoj veličini (4.39). Tada se može napisati

PxxxRKKQx TTT

dd)(t

−=+ . (4.41)

Nakon sprovedenog diferenciranja, prethodna relacija se svodi na 0RKKQPBKPAPBKPA =++−+− TTTT . (4.42) Iz ove matrične algebarske jednačine, treba naći vrednost matrice K koja mini-malizuje kriterijum kvaliteta (4.39). Diferencirajući levu stranu (4.42) po K i izjednačavajući diferencijal s nulom dobija se .TT 0RKRKPBPB =++−− Uzimajući u obzir da je TTTT )( ;)( RKRKPBPB == prethodna relacija postaje .)()( TT 0RKRKPBBP =++−− Ovaj izraz biće sigurno jednak nuli ako je TT )( i )( RKPBRKBP == . Ovo su identične relacije. Koristeći, npr., relaciju PBRKRKPB TT)( =⇒= , minima-lizacija se postiže ako se matrica K odredi na osnovu izraza

3 Ako se optimalizacija kriterijuma (4.38) vrši na konačnom vremenskom intervalu, tada se problem svodi na rešavanje Rikatijeve diferencijalne jednačine, a ako se, pak, on vrši na beskonačnom vremenskom intervalu - na rešavanje algebarske Rikatijeve jednačine [11].


112

PBRK T1−= , (4.43) Zamenjujući (4.43) u (4.42) dobija se

;)()( T1TT1T1TTT1T 0PBRRPBRQPBPBRPAPBPBRPA =++−+− −−−− Uzimajući u obzir da je IRR =−1 , poslednji član u prethodnom izrazu identičan je drugom članu tog izraza i međusobno se potiru, pa se dobija 0QPBPBRPAPA =+−+ − T1T . (4.44) Ova algebarska jednačina je poznata kao Rikatijeva matrična algebarska jednačina iz koje se nalazi matrica P pomoću koje se određuje matrica povratne sprege po stanju K (4.43). Prema tome, algoritam projektovanja optimalne povratne sprege po stanju se svodi na sledeće korake: 1. Na osnovu datog matematičkog modela nekompenzovanog sistema, najpre se utvrđuje kontrolabilnost sistema. Ako sistem nije potpuno kontro-labilan dalji postupak je bespredmetan. 2. Zatim se, na osnovu zadate matrice Q, utvrđuje stabilizabilnost sistema, tj. vrši provera da li će matrica K, nađena po (4.43), dovesti do stabilnog sistema, odnosno da li će matrica A BK− biti stabilna. S obzirom da još uvek nije poznata matrica K, Kalman je pokazao da će taj uslov biti ostvariv ako je par (A,S) potpuno opservabilan, gde S zadovoljava jednakost TS S Q= . 3. Iz Rikatijeve matrične algebarske jednačine (4.44) nalazi se matrica P. 4. Najzad, matrica povratne sprege po stanju K određuje se na osnovu (4.43). Dati postupak prikazaćemo na jednom primeru.

Primer 4.10. Objekat upravljanja opisan je sa:

=

=

=

0001

;1101

;1110

DBA .

Projektovati povratnu spregu po stanju tako da se optimalizuje kriterijum kvaliteta

(4.38) određen sa:

=

=

1001

;4001

RQ .

Neposrednom proverom lako se utvrđuje da je sistem potpuno kontrolabilan, što

znači da je moguće rešiti postavljeni zadatak. Osim toga je

=

2001

S i par (A,S) je

potpuno opsrevabilan, pa će matrica A-BK biti stabilna. Koristeći matričnu Rikatijevu algebarsku jednačinu (4.44) dobijamo njen početni oblik:

04001

22121211

1011

1001

1101

22121211

1110

22121211

22121211

1110

=+−+

pppp

pppp

pppp

pppp .

Posle njenog sređivanja dobijamo tri simultane algebarske jednačine

.0)2()()(24

,0)2()(,0)2()(21

2212222212122212

221212221211221211

12111212111112

=+−+−++=+−+−++

=+−+−+

ppppppppppppppppp

ppppppp


113

Sl. 4.7. Simulacioni model za rešavanje

matrične Rikatijeve jednačine.

Ovaj sistem jednačina je nelinearan i može se rešiti jedino primenom raču-nara4. Kao metoda rešavanja može se koristiti metoda analogne simulacije sistema diferencijalnih jednačina koje se dobijaju iz datih algebarskih jednačina kada se desna strana zameni diferen-cijalima traženih promenljivih, tj u obliku:

),2()()(24

),2()(

),2()(21

221222

221212221222

221212

22121122121112

121112

1211111211

ppppppppp

pppppppppp

pppppppp

+−+−++=−

+−+−++=−

+−+−+=−

&

&

&

a zatim nalaze rešenja ovog sistema u ustaljenom stanju. Simulacioni model je prikazan na sl. 4.7, a rezultat simulacije na sl. 4.8.

Vrednosti traženih elemenata matrice P u ustaljenom stanju su .906753,1 ;261274,0 ;94466,0 221211 === ppp 5

Sl. 4.8. Rešenja sistema diferencijalnih jednačina.

Matrica povratne sprege po stanju je, na osnovu (4.43)

=

== −

2212

1211T1

1011

pppp

IPBRK

. 906753,1261274,0168027,2205934,1

2212

22121211

=

++pp

pppp

Upravljanje je

++

−=−=21

21

906753,1261274,0168027,2205934,1

xxxx

u Kx .

Na sl. 4.9 prikazan je simulacioni dijagram optimalnog sistema, a na sl. 4.10 odzivi sta-

nja i signali upravljanja takvog sistema dobijeni simulacijom. Obratimo pažnju na činjenicu da je polaznii sistem nestabilan, a da je realizovani sistem asimptotski stabilan.

4 Za rešavanje Rikatijeve jednačine može se koristiti MATLAB. Naredba je:

G=BR-1BT; P=are(A,G,Q), 5 Primenom MATLAB-a dobija se rešenje Rikatijeve algebarske jednačine: >> A=[0,1;1,1];B=[1,0;1,1];R=[1,0;0,1];G=B*(R^-1)*B'; Q=[1,0;0,4];P=are(A,G,Q) P = 0.94466286696867 0.26127418172707 0.26127418172707 1.90675389432997


114

Sl. 4.9. Simulacioni dijagram sistema

s optimalnim regulatorom.

Prikazani prilaz projektovanja optimal-nih sistema može se ostvariti i ako se kriterijum kvaliteta izrazi u funkciji izlaza sistema: ∫

∞+=

0

TT d)ˆ( tJ RuucQc . (4.45)

Zamenjujući c Dx= ovaj kriterijum kvaliteta se svodi na (4.38) sa DQDQ ˆT= . Na prethodno opisan postupak sinteze optimalnog regulatora može se svesti i problem projektovanja povratne sprege po stanju, koja sistemu daje unapred defini-san stepen eksponencijalne stabilnosti.

a)

b)

Sl. 4.10. Odziv optimalnog sistema: a) regulacija nultog stanja ravnoteže; b) signali upravljanja.

Kao što je poznato, sistem će imatu unapred zadati stepen eksponencijalne stabilnosti ako mu se svi koreni nalaze u levoj poluravni s- ravni, levo od zadate prave paralelne imaginarnoj osi na rastojanju σ od nje. Uvodeći kriterijum kvaliteta oblika ∫

∞ σ +=0

TT2 d)( teJ t RuuQxx , (4.46)

i smenu )()(ˆ tet txx σ= , )()(ˆ tet tuu σ= , ovaj zadatak se svodi na optimalizaciju sistema uBxIAx ˆˆ)(ˆ +σ+=& , (4.47) s kriterijumom kvaliteta ∫

∞+=

0

TT d)ˆˆˆ( tJ uRuQxx , (4.48)

i matricom stanja IAA σ+=ˆ , koja igra ulogu matrice A u Rikatijevoj matričnoj jednačini (4.44).


115

Prethodno opisana metoda optimalizacije s proporcionalnom povratnom spregom po stanju omogućava dovođenje u nulto stanje ravnoteže samo ako su poremećaji tipa početnih uslova ili kratkovremenih impulsa. Ako na sistem deluju konstantni ili sporopromenljivi poremećaji, pored proporcionalne pov-ratne sprege po stanju mora se primeniti i povratna sprega koja će biti propor-cionalna integralu vektora stanja. Takvi regulatori se nazivaju proporcionalno-integralnim (PI) regulatorima stanja. S obzirom na to da se u regulacionim sistemima zahteva stabilizacija ili praćenje zadatog ulaznog (referentnog) sig-nala i eliminacija ili minimalizacija uticaja poremećaja, obično se ovaj zadatak rešava kombinovanjem PI povratne sprege po izlazu (signalu greške) i propor-cionalne povratne sprege po stanju objekta. Taj zadatak može se rešavati i svođenjem složenog, interaktivnog (spreg-nutog) objekta s vektorskim upravljanjem na slučaj neinteraktivnog (raspreg-nutog) objekta, svodeći problem vektorskog upravljanja sistemom na upravljanje n skalarnih podsistema. O takvom načinu sinteze sistema biće reči u narednom odeljku ovog poglavlja.

4.4.1 MATLAB i optimalna povratna sprega Prethodni zadatak se može rešti jednostavnije, ako se raspolaže programskim paketom MATLAB. Procedura je sledeća: Najpre se unesu podaci za matrice A,B,Q i R. Zatim se potraži rešenje u formi: [ [K,P,s]=lqr(A,B,Q,R), gde su:K - matrica optimalne povratne sprege po stanju, P - matrica-rešenje Rikatijeve algebarske jednačine, s - sopstvene vrednosti sistema sa optimalnom povratnom spregom po stanju, tj. rešenja karakteristične jednačine: 0]det[ =+− BKAIs . Na taj način se za prethodni primer dobija: >>A=[0,1;1,1];B=[1,0;1,1];Q=[1,0;0,4]; >>R=[1,0;0,1]; [K,P,s]=lqr(A,B,Q,R) K = 1.20593704869574 2.16802807605704 0.26127418172707 1.90675389432997 P = 0.94466286696867 0.26127418172707 0.26127418172707 1.90675389432997 s = -0.94919991909356 -3.33151909998919

U MATLABU postoji potprogram za izračunavanje optimalne povratne sprege kada je kriterijum kvaliteta oblika

∫∞

+=0

TT d)( tJ RuuQcc

tj. matrica Q ponderiše značaj izlaza. Ta naredba je: R)Q,H,D,B,lqry(A,s)P,K,( = , Program zahteva da matrice B,D i H imaju isti broj kolona


116

Primer 4.11. Projektovati optimalnu povratnu spregu za sistem iz prethodnog

zadatka pri čemu je

=

=

0000

;0001

HD .

Primenićemo MATLAB >> A=[0,1;1,1];B=[1,0;1,1];D=[1,0;0,0];H=[0,0;0,0]; >> Q=[1,0;0,4];R=[1,0;0,1];[K,P,s]=lqry(A,B,D,H,Q,R)

K = 1.3066 1.3827 0.4588 0.9239 P = 0.8478 0.4588 0.4588 0.9239

s = -1.8478 -0.7654

4.5. Sinteza neinteraktivnih sistema. Rasprezanje

Kod multivarijabilnih objekata, u opštem slučaju, postoje unakrsne veze iz-među svakog ulaza i svakog izlaza, tj. matrica funkcija prenosa ima sve ele-mente različite od nule. U procesu regulacije bilo koje izlazne veličine, mora se delovati istovremeno na svim ulazima tako da se obezbedi željeni izlaz, na primer, nepromenljivost svih izlaza osim jednog, koga treba prevesti iz jednog u drugo zadato stanje. To veoma otežava proces sinteze upravljačkog sistema. Sa stanovišta sinteze multivarijabilnih sistema upravljanja, najjednostavniji su oni objekti čija je matrica funkcija prenosa dijagonalna, tj. čiji su svi ele-menti van glavne dijagonale jednaki nuli. U tom slučaju se kaže da je objekat raspregnut i moguća je potpuno autonomna regulacija bilo kog izlaza, jer ne postoje unakrsne veze. Projektovanje upravljačkog sistema za takve objekte se svodi na projektovanje n skalarnih podsistema. S tim u vezi, postavlja se sledeći problem: može li se uvođenjem odgovarajućih kompenzatora učiniti objekat upravljanja raspregnutim? U opštem slučaju, taj zadatak se ne može u potpunosti rešiti. Postoje različite metode koje omogućavaju potpuno ili deli-mično rasprezanje. U onim slučajevima kada nije moguće potpuno rasprezanje, teži se da se sistem svede na dijagonalno dominantni sistem.

Dijagonalno dominantni sistem je onaj sistem, čiji elementi u glavnoj dijagonali matrice funkcije prenosa dominiraju nad ostalim elementima. Pri tome se koristi pojam dijagonalne dominantnosti nad vrstama ili nad kolonama matrice funkcije prenosa. Sistem se smatra dijagonalno dominantnim nad vrstama (kolonama) ako je, u nekoj oblasti Γ, apsolutna vrednost funkcije prenosa dijagonalnog elementa u posmatranoj vrsti (koloni) veća od sume apsolutnih vrednosti funkcija prenosa elemenata te vrste (kolone), tj.

G s G s sii ijjj i

n( ) ( ) ,≥ ∀ ∈

=≠

∑1

Γ . (4.49)


117

U literaturi je poznato nekoliko metoda za rasprezanje kao što su: metoda Voznesenskog, metoda Boksenboma i Huda, metoda Mejerova, primena kliznih režima. Prve dve metode su u osnovi iste i zasnivaju se na uvođenju dinamičkih kompenzatora uzajamnih sprega. Zadržćemo se samo na metodi Boksenboma. Druge dve metode zasnivaju se na sistemima s velikim koeficijentima pojačanja u petlji. O primeni kliznih režima biće reči u drugom delu ovog kursa. Osim navedenih metoda, koristi se i kombinovani prilaz putem uvođenja dva kompenzatora proporcionalnog tipa. Jedan od njih uvodi povratnu spregu po stanju, a drugi modifikuje ulazni vektor sistema. 4.5.1 Metoda Boksenboma i Huda Proces (objekat) se opisuje relacijama C G U( ) ( ) ( )s s s= , (4.50)

[ ] jisGrjmisGs ijij , 0)( ;,1 ;,1;)()( ∀≠====G .

Treba naći matricu funkcija prenosa kaskadnog kompenzacionog uređaja K(s): U E( ) ( ) ( )s s s= K , (4.51)

gde je E(s) - kompleksni lik vektora signala greške sistema, sl. 4.11, takvu da obezbedi željeno ponašanje izlaza C(s), određeno referentnim ulazom R(s), te da eliminiše unakrsne veze. Očigledno je da će rasprezanje biti ostvareno, ako

Sl. 4.11. Uvođenje kompenzatora za

rasprezanje.

je matrica )()()( sss KGW = (4.52)

dijagonalna. Primer 4.12. Objekat je opisan sa

=

)()()()(

)(2221

1211

sGsGsGsG

sG .

Matrica za rasprezanje je

=

)()()()(

)(2221

1211

sKsKsKsK

sK .

Sada je

++++

=)()()()()()()()()()()()()()()()(

)(2222122121221121

2212121121121111

sKsGsKsGsKsGsKsGsKsGsKsGsKsGsKsG

sW

Iz uslova dijagonalnosti matrice W(s) sledi izbor

)()()()( );(

)()()( 11

22

212122

11

1212 sK

sGsGsKsK

sGsGsK −=−= .

Međutim, ovde su nepoznate K11(s) i K22(s). Njih možemo da biramo tako da funkcije prenosa dijagonalnih članova matrice funkcije prenosa poprime potreban oblik, jer matrica funkcija prenosa kompenzovanog sistema postaje

−

−=

)()()(

)()()(0

0)()()(

)()()()(

2222

21122222

1122

12211111

sKsGsG

sGsKsG

sKsGsG

sGsKsGsW .


118

Razlikuju se dva slučaja: (i) kada je isti broj ulaza i izlaza objekta; (ii) kada je broj izlaza manji od broja ulaza. U slučaju manjeg broja ulaza od izlaza nije moguće ostvariti rasprezanje. U slučaju (ii), dodatni ulazi mogu se koristiti za ostvarivanje posebnih osobina sistema. Posmatraćemo samo slučaj (i), pa će, nadalje, matrica funkcija prenosa G(s) biti kvadratna n× n matrica. Iz primera se vidi da je, za rešenje datog zadatka, potrebno obezbediti

. ,,1, ,0)()(1

linlisKsGn

jjlij ≠==∑

=

(4.53)

Ovaj izraz se, primenom Kronekerovog simbola

=≠

=δjiji

ij za 1, za ,0

, (4.54)

može napisati u obliku

nlisKsGsKsGn

jjlijij

n

jjlij ,1, ,)()()()(

11=δ= ∑∑

==

. (4.55)

Ako označimo u determinanti matrice funkcija prenosa G(s) algebarsku dopunu elementu Gij(s) sa detGil(s) , doći ćemo do poznate relacije

≠

=∑= . = za ),(det

, za ,0)(det)(

1 ljslj

ssGn

jilij G

G (4.56)

Množeći levu i desnu stranu (4.56) sa detGir i ostvarujući sumiranje po indeksu i, dobija se

det ( ) ( ) ( ) det ( ) ( ) ( ).G Gir ij jli

n

j

nir ij ij jl

j

n

j

ns G s K s s G s K s

11 11

== ==∑∑ ∑∑= δ (4.57)

Leva strana ovog izraza može se, iznoseći ispod znaka sume po i množitelja Kjl(s) i uzimajući u obzir (4.56), svesti na oblik

K s s G s K sjlj

nir ij

i

nrl( ) det ( ) ( ) det ( )

= =∑ ∑ =

1 1G G . (4.58)

Desna strana (4.57), posle iznošenja ispod znaka sume po i množioca Kjl, zapisuje se u obliku

K s G s s s G s K sjlj

nil ij ir

i

nir ij jl

j

n( ) ( )det ( ) det ( ) ( ) ( )

= = =∑ ∑ ∑=

1 1 1δ G G . (4.59)

S obzirom na to da je unutrašnja suma na levoj strani ovog izraza različita od nule samo za i=l, dobija se

K s s s G s K srl lr ij jlj

n( ) det ( ) det ( ) ( ) ( )G G=

=∑

1. (4.60)

U posebnom slučaju, za r=l, dobija se

K s s s G s K sll ll ij jlj

n( )det ( ) det ( ) ( ) ( )G G=

=∑

1. (4.61)


119

Deleći (4.60) sa (4.61), dobijaju se izrazi za izračunavanje nedijagonalnih elementa kompenzacione matrice za rasprezanje sistema

Kss

K srllr

llll=

det ( )

det ( )( )

GG

. (4.62)

Pošto je izbor dijagonalnih elemenata kompenzacione matrice K(s) proizvoljan, postoji sloboda u njihovom izboru, pa se, pored rasprezanja, može obezbediti ispunjenje i drugih uslova, npr., potreban stepen stabilnosti, željena statička greška, uslov optimalizacije po nekom od kriterijuma kvaliteta i dr. Primer 4.13. Primenimo dobijenu formulu (4.62) na prethodni primer sistema drugog reda. Za )()();()(21, 11221221 sGssGslr =−=⇒== GG . Za )()();()(1,2 22112112 sGssGslr =−=⇒== GG . Stoga je: )(

)()(

)( );()()(

)( 1122

212122

11

1212 sK

sGsG

sKsKsGsG

sK −=−= .

Prema tome, dobijen je isti rezultat kao u prethodnom slučaju. Primer 4.14. Objekat regulacije je opisan matricom funkcija prenosa

++−

+

++=

1)1(12

341)( 2 ss

sss

sG .

Na osnovu rezultata iz prethodnog zadatka sledi:

)(1)+(s1)+(s);(

21)( 1111212212 sKKKsK

ssK ==

+−= .

Sl. 4.12. Primer objekta s kompenzatorom za rasprezanje.

Na sl. 4.12. prikazana je strukturna blok-šema ob-jekta s kompenzatorom za rasprezanje, a na slikama 4.13 i 4.14 dati su rezultati simulacije spregnutog i raspreg-nutog sistema, respek-tivno. Treba istaći činje-nicu da smo ovde izab-rali da je 12211 == KK . Mogli smo izabrati i neke druge funkcije pre-

nosa kojima bi uticali na karakter odziva sistema. U tom slučaju, s obzirom na izraze kompenzacionih kanala K K12 21 i , na njihove ulaze bi se vodili signali s izlaza

, i 1122 KK respektivno. Iz rezultata simulacije se jasno vidi da je ostvareno potpuno rasprezanje objekta i da su elementi kompenzacione matrice fizički ostvarljivi. Ukažimo na činjenicu da ovo nije jedina moguća struktura kompenzatora za rasprezanje. Moguća je, na primer, struktura kao na sl. 4.15, a i druge kombinacije.


120

a)

b)

Sl. 4.13. Odziv objekta na odskočne ulazne signale a) u1=h(t),u2=0; b) u1=0; u2=h(t).

a)

b)

Sl. 4.14. Odziv objekta s blokom za rasprezanje na odskočne ulazne signale a)u1=h(t),u2=0; b) u1=0; u2= h(t).

Sl. 4.15. Jedna od mogućih struktura kompenzatora za rasprezanje.

Pre nego što pređemo na drugi način sinteze kompenzatora za rasprezanje objekta, navešćemo i primer sistema s tri ulaza i tri izlaza, iz koga se lako uočava da se s porastom broja ulaza i izlaza kompenzator veoma usložnjava.


121

Primer 4.15. Neka je dat sistem s tri ulaza i tri izlaza. Tada je

=

=

)()()()()()()()()(

)(;)()()()()()()()()(

)(

333231

232221

131211

333231

232221

131211

sKsKsKsKsKsKsKsKsK

ssGsGsGsGsGsGsGsGsG

s KG .

[ ].)(

)()()()()()()()(

)(

)()()()(

)()()()(

2231133311

3213331222

3331

1311

3332

1312

2222

2112 sK

sGsGsGsGsGsGsGsG

sK

sGsGsGsGsGsGsGsG

KK−−

−=

−

==GG

[ ]. )(

)()()()()()()()(

)(

)()()()(

)()()()(

1132233322

3123332111

3332

2322

3331

2321

1111

1221 sK

sGsGsGsGsGsGsGsG

sK

sGsGsGsGsGsGsGsG

KK−−

−=

−

==GG I td.

Treba istaći da problem nije tako jednostavan kao što se, na prvi pogled, može steći utisak. Osnovni problem može biti problem fizičke realizacije dobi-jenih kompenzacionih funkcija prenosa. Funkcije prenosa elemenata kompen-zacione matrice moraju biti u obliku pravilnih razlomaka a, osim toga, ne smeju se narušiti osobine kontrolabilnosti i opservabilnosti.

4.5.2. Rasprezanje kombinovanim kompenzatorom Drugi prilaz, kao što je rečeno, uvodi kaskadnu proporcionalnu kompen-zaciju i proporcionalnu negativnu povratna spregu po stanju, sl. 4.16, tj. uprav-ljanje se definiše kao u F v K x= −r r . (4.63) Izborom matrica Kr i Fr obezbeđuje se da matrica funkcija prenosa sistema .][)( 1

rrss BFBKAIDG −+−= (4.64) dobije dijagonalni oblik.

Sl. 4.16. Struktura sistema s kombinovanim kompenzatorom za rasprezanje.

Ovo je moguće samo u slučaju ako je matrica [ ]mEEEE ...21

T = (4.65) nesingularna. Njeni elementi se određuju na osnovu relacije miip

ii ,1 ; == BAdE , (4.66) gde su: −− iid ta vrsta matrice D,

∀=−−=≠

= . za , je ako ,1

;1,0 , je kome pri ,minjn

njjp ji

ji

i 0BAd0BAd (4.67)


122

Ako je prethodni uslov ispunjen, matrice kompenzatora su: 1−= EFr , (4.68)

=

+

+

+

1

12

11

...

2

1

mpm

p

p

rr

Ad

AdAd

FK . (4.69)

Primer 4.16. Objekat upravljanja je opisan sa

=

=

=

010001

;111001

;322-400020

DBA .

Lako se može proveriti, prevođenjem sistema u dijagonalni oblik ili nalaženjem matrice funkcija prenosa, da je dati sistem spregnut Primenom izložene procedure imamo:

[ ][ ] 0.010

;0010

220

2

110

1

=⇒≠==

=⇒≠==⇒=

p

pj

BdBAd

0BdBAd

.400020

;;1001

12

11

1

2

1

2

1

2

1

2

1

=

=

==

=

=

=

+

+

−

p

p

rr

rp

p

AdAdFK

IEFIBdIBd

BAdBAdE

[ ]

=+−=

−

−−

1

11

00

)(s

sss rr BFBKAIDW .

Iz poslednje matrice funkcija prenosa vidi se da je sistem raspregnut. Ovde treba istaći da metoda uvek dovodi do rasprezanja u kaskadu čistih integratora, što bi se moglo ubrojati u njen nedostatak, jer objekti upravljanja sačinjeni od kaskade integratora dovode do strukturno nestabilnih sistema. Ali to je poseban problem koji se može uspešno razrešiti uvođenjem dodatne povratne sprege po stanju, odnosno primenom odgovarajućih tehnika upravljanja. Napomena 4.3: Istaknimo, takođe, da je polazni sistem trećeg reda. Posle rasprezanja smo dobili sistem drugog reda. To je zbog toga što je razmatrani sistem postao nepotpuno observabilan posle uvođenja povratne sprege po stanju. Isto bi se dogodilo ako bi sistem bio nepotpuno kontrolabilan.

4.6 Opserveri. Sinteza opservera Za sintezu visokokvalitetnih SAU od izuzetne važnosti je poznavanje svih koordinata stanja objekta. Kako one, u opštem slučaju, nisu dostupne za nepo-sredno merenje, potrebno je ustanoviti mogućnosti i načine rekonstrukcije (esti-macije) stanja na bazi informacije o dostupnim signalima s objekta. Ranije je istaknuto da ako sistem poseduje osobinu opservabilnosti, tada se na bazi merenja izlaza sistema u konačnom vremenskom intervalu, može rekonstruisati


123

stanje sistema na početku tog intervala. Međutim, nas zanima ne samo mogućnost off-line merenja koordinata stanja već mogućnost on-line6 merenja, tj. merenja koje će obezbediti kvalitetnu (dovoljno brzu i dovoljno tačnu) infor-maciju za upravljanje objektom u petlji povratne sprege. Dalje ćemo pretpo-stavljati da je uslov opservabilnosti objekta ispunjen. Na objektu, pored izlaznih signala, mogu se neposredno meriti i ulazni signali, koji dolaze iz upravljačkog uređaja. Znajući matematički model objekta i njegove parametre, mogli bi da formiramo model objekta analognim operacionim elementima ili programski (digitalnim računarskim elementima), tako da za poznati ulaz objekta, koji istovremeno uvodimo u model, dobijamo u svakom vremenskom trenutku koordinate stanja. Međutim, takav prilaz je nerealan, jer na ulazima objekta, osim signala upravljanja koje generiše upravljački uređaj, deluju i poremećaji, koji, u opštem slučaju, nisu dostupni za merenje. Osim toga, postoji i problem

Sl. 4.17. Blok-šema sistema upravljanja s povratnom spregom po stanju ostvarenom pomoću opservera.

početnih uslova. Naime, i kad ne bi pos-tojali poremećaji, zbog nepoznavanja početnih uslova objekta, odnosno zbog razlike u početnim uslovima objekta i mo-dela, navedeni prilaz ni-je primenjiv u praksi. U cilju rešenja ovih prob-lema Luenberger (1968.) je došao na ideju da se posluži povratnom spre-gom koja će delovati na ulaz modela, zajedno s upravljanjem, radi dobi-janja, nakon dovoljno kratkog vremenskog in-

tervala, što manje razlike između izlaza objekta i njegovog modela. Takva konfiguracija dodatnog dinamičkog sistema, koja uključuje model objekta i povratnu spregu po signalu razlike izlaza objekta i modela, naziva se opserver. Na sl. 4.17 prikazana je blok-šema objekta s opserverom i povratnom sprgom po stanju opsercera prema upravo opisanom prilazu. Na osnovu sl. 4.17, mogu se napisati sledeće očigledne relacije7:

6 Engleski termin off-line označava da se naznačeni proces odvija bez povretne sprege, tj. dobijeni rezultati se ne koriste neposredno za formiranje upravljanja, dok termin on-line ima suprotno značenje - naznačeni proces se koristi za formiranje upravljanja, tj. za upravljanje u zatvorenoj petlji povratne sprege, odnosno za upravljanje u tzv. realnom vremenu. 7 Blokovi i signali označeni isprekidanim linijama na sl. 4.17 se ne uzimaju u obzir za dati model. Njihovo eventualno prisustvo u razmatranom sistemu biće objašnjeno na kraju ovog odeljka.


124

,

,Dxc

BuAxx=

+=& (4.70)

za objekat i

,ˆˆ

),ˆ(ˆ)ˆ(ˆˆxDc

xxDBBuxAccBBuxAx=

−++=−++= cc&

(4.71)

za opserver, gde su sa cx i , odnosno sa cx ˆ i ˆ označene koordinate stanja i izlazi objekta, odnosno opservera, respektivno. Ako definišemo grešku opservacije kao xxexxe &&& ˆˆ −=⇒−= , (4.72) pa u izraz za diferencijal signala greške uvrstimo prve relacije iz (4.70) i (4.71) dobićemo relaciju eAeeDBAe oc =⇒−= && )( , (4.73) koja predstavlja diferencijalnu jednačinu sistema po signalu greške opservacije. Ako je ona stabilna, tada će stanje opservera asimptotski težiti stanju objekta. Izborom matrice povratne sprege Bc, može se učiniti da brzina konvergencije bude proizvoljno velika. Naravno, u praksi je dovoljno da sopstvene vrednosti matrice Ao budu dva do četiri [3] pa i do šest puta [5]8 levlje od sopstvenih vrednosti projektovanog sistema s povratnom spregom. Podešavanje sopstvenih vrednosti opservera se svodi na problem podešavanja spektra polova u sistemu s povratnom spregom po stanju, koji je već razmatran. Pošto su koordinate stanja opservera dostupne za neposredno merenje, a one dovoljno brzo postaju bliske koordinatama stanja objekta, tada se na osnovu njih može konstruisati sistem s povratnom spregom po stanju. Pretpostavljajući da je matrica povratne sprege po stanju K realna matrica, posmatrani dinamički sistem je reda 2n (gde je n -red objekta). Problem je olakšan time što se sopstvene vrednosti opservera i sistema s povratnom spre-gom po stanju mogu birati nezavisno. Ovo je posledica principa separacije, koji ćemo sada pokazati [1]. Matematički model sistema s povratnom spregom po stanju opservera je

rBB

xx

DBBKADBBKA

xx

+

−−

−=

ˆˆ cc

&&

. (4.74)

Kao što je poznato, linearna transformacija ne menja sopstvene vrednosti sistema. Ako na (4.74) primenimo transformaciju koordinata stanja oblika

−

=

−

=

⇒

−

=

−

xx

II0I

xx

II0I

xx

xx

II0I

xx

ˆˆˆˆˆ

1

, (4.75)

dobija se:

8 S obzirom da opserver ima ulogu mernog elementa nedostajućih koordinata stanja objekta, poželjno je da njegova inercija bude značajno manja od inercije objekta. S tog stanovišta, spektar polova opservera treba birati da bude nekoliko puta levlje od spektra polova opserviranog objekta.


125

rBB

II0I

xx

II0I

DBBKADBBKA

II0I

xx

−

+

−

−−

−

−

=

ˆˆ cc

&&

, (4.76)

što, posle množenja, daje

rBxAr0B

xx

DBA0BKBKA

xx ~~~

ˆˆ+=

+

−−−

=

c&&

. (4.77)

Sopstvene vrednosti (4.77), odnosno (4.74) se dobijaju iz karakterističnog polinoma

)()()det()det(]det[ sssss oc ∆∆=+−+−=− DBAIBKAIAI , gde je ∆(s) - karakteristični polinom sistema bez opservera, a ∆o(s) - karak-teristični polinom opservera. Na taj način, pokazano je da se sopstvene vrednosti opservera i sistema mogu birati nezavisno, odnosno separatno. S obzirom na izloženo, za projektovanje opservera koristi se (4.73) i metoda podešenja spektra polova, primenom povratne sprege po izlazu opservera, putem izbora matrice B c . Polazeći od uslova

,0]det[0]det[]][det[

ili 0]det[0]][det[]det[

0]det[0]det[

1

1

=+⇒=Φ+⇒−+

=−⇒=−+−

⇒=+−⇒=−

−

−

ccc

c

co

sss

sss

ss

)BF(I)B(DIBAIDI

AIBAIDIAI

DBAIAI (4.78)

poslednji izraz može se napisati u obliku skalarnih relacija, zahtevajući da jedna (bilo koja) vrsta determinante bude jednaka nuli, tj. e f B 0i c

TiT T+ = . (4.79)

S obzirom na to da je matrica Bc dimenzija n×m, samo (4.79) nije dovoljna za nalaženje te matrice. Definišimo novu n×n matricu Gc, čije su vrste nezavisni vektori fi ksT ( ) . Tada se prethodna relacija svodi na oblik G B Ec c c= − , (4.80)

gde je Ec - n×m matrica čije su vrste ortovi eiT . Tada je rešenje dato u obliku

B G Ec c c= − −1 . (4.81) Primer 4.17. Dat je sistem opisan sa

,001100

,011000

,400020012

=

=

−

−= DBA

za koga treba projektovati opserver identiteta (Luenbergerov potpuni opserver). Lako se proverava da je sistem potpuno opservabilan. Sopstvene vrednosti polaznog sistema su: [ ] 4 ,2 ,20det 321 =−=−=⇒=− ssss AI . S obzirom na preporuke izabraćemo sledeće polove opservera: .10 ,6 ,6 321 −=−=−= ooo sss


126

Postupak projektovanja se svodi na izbor matrice povratne sprege Bc, koja će obezbediti podešavanje spektra polova opservera, a čiji elementi su dati relacijom (4.81). Najpre, odredimo kompleksni lik fundamentalne matrice modela opservera

[ ][ ]

−

+

++

=−−

=

)4(100

0)2(

10

0)2(

1)2(

1

detadj)(

2

s

s

ss

sss

AIAI

Φ .

=

++

−=

−

+

++

=

)()(

0)2(

1)2(

1)4(

100

)4(100

0)2(

10

0)2(

1)2(

1

001100

)( T2

T1

2

2

ss

ss

s

s

s

ss

sffDΦ .

Izaberimo kao nezavisne vektore-vrste )(),(),( 3T22

T21

T1 ooo sss fff . Tada matrica Gc

postaje

⇒

=⇒

−−−

=⇒

−

−

−

=

= −

101001

,0010643201640

0641

81

0161

41

10100

)()()(

1

3T2

2T2

1T

1

cc

o

o

o

c

sss

EGfff

G

=−= −

010320120

1ccc EGB .

Neposrednom proverom dobijamo:

−−−

−=

−

−

−=−=

60002320114

001100

010

320120

400020012

DBAA co .

[ ]

).10()6(

)6016)(6(600

02320114

detdet

2

2

++

=+++=

++−+

=−

ss

ssss

ss

s oAI

Prema tome, polovi opservera imaju tražene vrednosti i postupak je sproveden korektno.

U opštijem slučaju sistem (4.70) može imati oblik

.,

HuDxcBuAxx

+=+=&

(4.82)

Tada se projektovanje opservera samo neznatno modifikuje. Naime, s obzirom na to da sada izlaz sistema sadrži dodatnu aditivnu komponentu Hu koja, pos-redstvom povratne sprege po grešci opservacije, dolazi na ulaz opservera kao


127

dodatni član BcHu, njegov uticaj na opserver stanja može se eliminisati tako što se direktno na ulaz opservera, s ulaza objekta, osim signala Bu dovodi i signal BcHu, koji je na sl. 4.17 dat isprekidanim linijama. Dati opserver se često naziva potpunim opserverom, opserverom identiteta ili Luenbergerovim opserverom identiteta. U realnom sistemu neke koordinate stanja mogu biti neposredno merljive pa nije potrebno konstruisati opserver za sve koordinate stanja, već samo za one nemerljive. Takav opserver se naziva nepotpunim ili redukovanim opserverom. Međutim, u praksi se češće koristi potpuni opserver, čak i kad su neke koordinate stanja merljive, jer je celi sistem manje osetljiv na uvek prisutne smetnje ili šumove. Drugim rečima, potpuni opserver ima sposobnost filtriranja šumova. Kasnije ćemo, u drugom delu ove knjige, ukazati na veoma delotvornu primenu opservera u realizaciji sistema upravljanja promenljiive strukture s kliznim radnim režimima radi filtracije inherentno prisutnih visokofrekvencijskih signala. Analizirani opserver ima jedan suštinski nedostatak, koji se ogleda u tome da sistem s njim poseduje statičku grešku, ako je poremećaj koji deluje na objekat upravljanja sporopromenljiva veličina i nije dostupna za merenje. Ovu negativnu osobinu možemo objasniti na sledeći način: neka na sl. 4.17 poremećaj vrednosti p(t) deluje na izlaz objekta, na mestu delovanja signala Hu. Tada će se to delovanje pojaviti kao poremećaj, koji se prenosi na ulaz opservera kao signal Bcp. On dovodi do pojave dodatne komponente izlaznog signala opservera ali, s obzirom da dati opserver ima osobinu statičkog sistema, izlaz opservera odstupaće od izlaza objekta. Zaista, jednačina sistema po signalu opservacije )(ˆ te u kompleksnom domenu je )(])([)(ˆ 11 sss c PBAIDIE −−−+= . (4.83) Ako je p(t) sporopromenljivi ili konstantni poremećaj, a s obzirom da opserver ne poseduje astatizam, signal greške opservacije imaće konačnu vrednost )0(])([)(ˆ 11 PBADIe −−−+=∞ c , (4.84) gde je P(0) vrednost kompleksnog lika poremećaja za s=0. U cilju eliminacije ovog nedostatka, u kolo signala greške opservacije )(ˆ te unosi se integrator, u sastavu matrice Bc, koji uvodi astatizam u opserver i teo-rijski svodi grešku opservacije na nulu. Navedeni postupak sinteze opservera je opšti i predstavlja praktični interes kao metoda pogodna za multivarijabilne sisteme. U inženjerskoj praksi, izbor strukture i parametara opservera može se modifikovati, što ćemo prikazati na primeru opservacije ubrzanja motora jednosmerne struje.

Primer 4.18. Za regulaciju brzine obrtanja radnog mehanizama primenjen je motor jednosmerne struje s nezavisnom pobudom, s ugrađenim tahogeneratorom i PI regulator om podešenim na tehnički optimum. Treba projek-tovati potpuni opserver za estimaciju ubrzanja. Matematički model motora dat je izrazom (4.85). [ ] .

,11

),(

Tr

rrrrr

r

r

orm

r

i

uTRTR

ciTdt

di

iicTR

dtd

ω=

+ω−−=

−=ω

c

(4.85)


128

Sl. 4.18. Strukturna blok-šema DC motora s

opserverom identiteta.

S obzirom da su na motoru dostupni za merenje brzina i struja rotora iskoristićemo oba ova izlaza. Strukturni blok-dijagram motora s opserverom prikazan je na sl. 4.18. S obzirom da je u ustaljenom stanju 0=ω& , tada je cMii or /== , pa struja rotora može služiti kao mera mehaničkog optere-ćenja u ustaljenom stanju i kao takva je uvedena u opser-ver, čime se eliminiše potreba za primenom proširenog opservera.

a)

b)

c)

d)

Sl. 4.19 Rezultati simulacije odziva motora i njegovog opservera kada na motor deluje odskočni signal 5 V u trenutku t=0 i opterećenje od 1,5 Nm, od trenutka t1 =0,15 s: a) sistem bez kompenzacije opterećenja b) sistem s kompenzacijom opterećenja,

c) signal greške po brzini e(t) bez kompenzacije opterećenja; d) signal greške po ubrzanju s kompenzacijom opterećenja ki=1, kω=4.


129

Matematički model opservera je

[ ] .ˆˆˆ

),ˆ(1ˆˆ1ˆ

),ˆ()ˆˆ(ˆ

Tr

rrirr

rrrr

r

orm

r

i

iikuTRTR

ciTdt

id

kiicTR

dtd

ω=

−++ω−−=

ω−ω+−=ω

ω

c

(4.86)

Prema tome, potrebno je izabrati koeficijente ikk ,ω tako da polovi opservera zado-volje postavljene uslove. Neka su parametri motora: 333,0 ,ms 30 ,ms 5 , 1 ===Ω= cTTR mrr . Tada je funkcija povratnog prenosa (nula PI regulatora skraćuje veću vremensku konstant motora - mehaničku vremensku konstantu motora).

)200(

20000)(+

=ss

sWpm .

Za ki =1 i kω=4, realni delovi polova opservera su -400, što znaci da su osam puta levlje od polova spregnutog sistema, odnosno cetiri puta levlje od realnog dela polova objekta (motora). Na sl. 4.19 prikazan je rezultat simulacije za date koeficijente povratne sprege. Iz rezultata simulacije vidi se da greška opservacije u ustaljenom stanju postaje jednaka nuli, a da u prelaznim režimima postoje odstupanja.Takođe, zapaža se da, bez obzira na različite početne uslove, opserver uspeva da stigne da prati stanje objekta.

LITERATURA

[1] Воронов, А. А.: Устойчивость, управляемость, наблюдаемость, «Наука», Москва,1979.

[2] Воронов, А. А: Введение в динамику сложных управлемых систем, «Наука», Москва,1984.

[3] Stojić, R. M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«, Beograd, 1996.

[4] Уткин, В. И.: Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. «Наука», Москва, 1981.

[5] Franklin, G. F., Powel, J. D., Emami-Naeni, A.: Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley Publishing Comp., 1986.

[6] Kuo, B. C.: Automatic Control Systems, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ., 1982.

[7] Мееров, М. В.: Системы многосвязного регулирования, «Наука», Москва, 1964. [8] Мееров, М. В.: Исследование и оптимизация многосвязных систем управлени,

«Наука», Москва, 1986. [9] Ćalasan, L., Petkovska, M.: MATLAB i dodatni moduli Control Systems

Toolbox i SIMULINK, »Mikro knjiga«, Beograd, 1994. [10] Y. J. Huang, T. C. Kuo: “A state tracking control algorithm with pole

assignment”, Electrical Engineering 85 (2003) 267-273, Springer Verlag [11] Ройтенберг, Я. Н.: Автоматическое управление, «Наука», Москва, 1978.


130

Pitanja za samoproveru 1. Za stabilizaciju sistema, odnosno za promenu njegovih dinamičkih karakteristika

može se koristiti povratna sprege po ____________ ili povratna sprega po ___________.

2. Povratna sprega po stanju menja/ne menja uslove kontrolabilnosti sistema. Zaokružite pretpostavljeni odgovor.

3. Povratna sprega po stanju menja/ne menja uslove opservabilnosti sistema. Zaokružite pretpostavljeni odgovor.

4. Povratna sprega po izlazu menja/ne menja uslove kontrolabilnosti sistema. Zaokružite pretpostavljeni odgovor.

5. Povratna sprega po izlazu menja/ne menja uslove opservabilnosti sistema. Zaokružite pretpostavljeni odgovor.

6. Ako je sistem potpuno kontrolabilan on se može svesti na kanoničku kontrolabilnu formu primenom transformacione matrice: T=

7. Vektor povratne sprege po stanju sistema sa skalarnim upravljanjem koji je sveden na kanoničku kontrolabilnu formu dobija se po formuli: k=___________________, gde su: ][=a -____________________ _____________________________________, ][=a - ____________ ______________________________________.

8. Projektovanje povratne sprege po stanju sistema sa vektorskim upravljanjem može se svesti na projektovanje sistema sa skalarnim upravljanjem na dva načina, i to:

9. 1.________________________________; 2. ____________________________ ___________________________________.

10. Akermanova formula se primenjuje za projektovanje ______________________ _______________________ . Ona ima oblik ___________________________, gde su: e - __________________, Mc - ____________________, D(A) - _______ _________________________.

11. Matrica povratne sprege po stanju sistema sa vektorskim upravljanjem dobija se na osnovu izraza: ___________________________________, gde su: e - ______ _________________________, fi (sj)- __________________________________

12. Kriterijum optimalnosti pri projektovanju Kalmanovog regulatora izražava se relacijom: _________________________________, gde su Q - _____________ ____________________________, R- __________________________________.

13. Rikatijeva algebarska jednačina je data izrazom ___________________________ gde su: ___________________________________________________________ __________________________________________________________________

14. Matrica povratne sprege po stanju sistema sa Kalmanovim regulatorom je data izrazom: _________________________, gde su ___________________________ ________________________________________________________________,

15. Sistem sa Kalmanovim regulatorom biće stabilan ako je par ___________ opservabilan, gde je S=____________________________________________.


131

16. MATLAB naredba za sračunavanje matrice povratne sprege po stanju sistema sa Kalmanovim regulatorom je: ____________________, gde su: ______________ ________________________________________________________________.

17. MATLAB naredba za projektovanje povratne sprege po stanju radi dobijanja željenog spektra sopstvenih vrednosti je data izrazom: _____________________, gde su:___________________________________________________________.

18. Za rasprezanje dinamičkog sistema koriste se metode: _____________________ _________________________________________________________________.

19. Kombinovana metoda rasprezanja uvek dovodi do sistema od niza ____________ ___________________.

20. Sopstvene vrednosti opservera treba da budu ________________ levlje od _____ _______________________________________.

21. Posebna odlika sistema sa opserverom je što se sopstvene vrednosti opservera mogu podešavati ___________________ od sopstvenih vrednosti sistema sa povratnom spregom po stanju.

Zadaci za vežbu

Zadatak 1. Sistem je opisan modelom: 123312333 ;;;;; ; ; ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈=+= ××× cuxDBADxcBuAxx& . 1. Projektovati povratnu spregu po stanju sistema primenom: а) metode projektovanja sistema sa skalarnim upravljanjem na bazi kanoničkog kontrolabilnog modela б) Akermanove formule; в) metode projektovanja sistema sa vektorskim upravljanjem, tako da sistem ima zadati spektar sopstvenih vrednosti (polova) ,, 321 sss . 2. Nakon projektovanja prevesti modele projektovanih sistema u s - domen, nacrtati simulacione dijagrame i strukturne blok-šeme i komentarisati dobijene rezultate u pogledu kontrolabilnosti, opservabilnosti i neminimalno faznosti. Parametri sistema i elementi sopstvenih vrednosti dati su u tabeli 1. Табела 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 а11 0 1 0 2 0 1 0 0 1

2 1 0 2 0 8 1 1 0 0 а13 0 1 0 1 0 4 0 1 0 а21 0 0 0 0 1 4 1 1 1 а22 0 1 0 1 4 3 1 0 0 а23 1 -5 4 2 0 2 0 0 0 а31 -1 0 -2 0 -1 -2 -2 2 -1 а32 -2 -2 2 1 0 0 -4 4 -4 а33 -3 0 3 5 -10 -4 -8 8 -6 b11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b12 0 0 0 0 0 0 0 0 0


132

b21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d3 0 0 0 0 1 0 1 0 1 s1 -1 -1 -5 -1 -2 -1 -3 -4 -8 s2 -2 -3 -4 -4 -8 -6 -5 -8 -1 s2 -4 -5 -2 -6 -4 -2 -4 -5 -10

Задатак 2.

Sistem je opisan modelom: 122212222 ;;;;; ; ; ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈=+= ××× cuxDBADxcBuAxx& .

Parametri sistema dati su u tabeli 1. Projektovati linearni kvadratni (Kalmanov) regulator koji će minimalizovati kriterijum kvaliteta

∫∞

+=

0 TT d)( tJ RuuQxx ; ].1,0;0,1[];9,0;0,1[ == RQ

Задатак 3. Sistem je opisan modelom: 223322333 ;;;;; ; ; ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈=+= ××× cuxDBADxcBuAxx& . Parametri matrica A i B su dati u tabeli 1, a matrica ].0,1,0;0,0,1[=D a) Projektovati opserver tako da sopstvene vrednosti opservera budu dva puta levlje od sopstvenih vrednosti sistema sa povratnom spregom po stanju, datih u tabeli 1.. b) Simulirati sistem sa opserverom i projektovanom (u zadatku 1) povratnom spregom po stanju pri delovanju Hevisajdovog signala pojedinačno na ulazima, sa nultim i nenultim početnim uslovima. Задатак 4. Sistem je opisan modelom: 223322333 ;;;;; ; ; ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈=+= ××× cuxDBADxcBuAxx& .

]0,1,0;0,0,1[=D . Parametri matrica A i B su dati u tabeli 1. Projektovati kompenzator a) metodom Boksenboma i Huda i b) kombinovanim kompenzatorom, koji će izvršiti rasprezanje sistema.

Glava 5: Uvod u nelinearne SAU 133

5.1 Uvod 133

5. 2 Strukturna blok-šema nelinearnih SAU 134

5.3 Tipične nelinearnosti i njihove karakteristike 135

5.4 Matematički modeli nelinearnih elemenata 137

5. 5 Linearizacija nelinearnih elemenata 138

5.5.1 Satička linearizacija 138

5.5.2 Diferencijalna linearizacija 138

5.5.3 harmonijska linearizacija 138

5.5.4 Stohastička linearizacija 139

Literatura 141



a

Glava 5.

UVOD U NELINEARNE SAU

5. 1 UVOD U kursu TAU-1 i u prvom delu ove knjige razmatrani su linearni SAU, njihovo matematičko modelovanje, analiza prelaznih procesa, ustaljenog stanja i stabilnosti, kriterijumi kvaliteta i metode projektovanja korišćenjem dva prilaza. Prvi se zasnivao na matematičkom modelu sistema u obliku funkcije prenosa ili modelu ulaz-izlaz. Drugi koristi koncept prostora stanja. Kod prvog prilaza je dominirao algebarski, odnosno frekvencijski domen, a u drugom - diferencijalne jednačine i vremenski domen. Oba se mogu ravnopravno koristiti, mada je prvi pogodniji za sisteme s jednim ulazom i jednim izlazom, a drugi - za multiva-rijabilne sisteme. Često se u analizi sistema koriste oba prilaza, jer se neke osobine lakše sagledavaju u frekvencijskom, a druge - u vremenskom domenu. Prostor posvećen linearnim sistemima (TAU-1 i prvi deo ove knjige zajedno uzeti) po obimu značajno prevazilazi drugi deo ove knjige, u kome se obrađuju nelinearni SAU. U praksi, rigorozno posmatrano, linearni sistemi su retki. Kako reče Cipkin [1] “Linearni sistemi su samo malo ostrvce u beskrajnom okeanu nelinearnih sistema”. Polazeći od te činjenice, prirodno bi bilo da se teoriji nelinearnih SAU posveti osnovna pažnja, a da se linearni sistemi posmatraju kao njihov parcijalan slučaj. Odomaćena suprotna praksa ima opravdanja. Najpre, teorija SAU kao nauka o dinamičkim sistemima ima svoj istorijski razvoj. Prirodno je da se razvoj nauke, pa i proces učenja, odvija po spirali, na čijem se polazištu nalaze rešenja najprostijih problema. Zatim, mnogi nelinearni SAU se mogu linearizovati u okolini ravnotežnog stanja i posmatrati kao linearni, što se najčešće i koristi kao prva etapa analize, te se mnoge metode, razvijene za analizu linearnih, mogu, uz izvesnu modifikaciju, primenjivati i za analizu nelinearnih SAU. Najzad, terminologija razvijena u teoriji linearnih SAU koristi se i za nelinearne SAU, uz razumljivu dogradnju. Tako, na primer,

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2

134

funkcija prenosa za nelinearne sisteme nema smisla ali se u terminološkom smislu koristi u praksi. S obzirom na to da su nelinearni sistemi “beskrajan okean” ne može se očekivati da teorija nelinearnih SAU bude konačno oformljena naučna oblast, kao što je to teorija linearnih SAU. Osnovna, dominantna razlika između linearnih i nelinearnih SAU je u korišćenju principa superpozicije. On se obilato koristi u teoriji linearnih, a neprimenljiv je u teoriji nelinearnih SAU. Do danas su razvijene mnoge metode za analizu nelinearnih sistema. Neke od njih imaju širi značaj, druge služe samo za rešavanje parcijalnih problema. Univerzitetski kursevi su obično posvećeni onim problemima koji se najčešće susreću u inženjerskoj praksi i baza su za dalje praćenje literature.

5. 2 Strukturna blok-šema nelinearnih SAU Kao što je u uvodu rečeno, beskrajne su mogućnosti kombinacije različitih nelinearnih elemenata u SAU. Pokušaj da se sistematizuju svi u praksi mogući slučajevi je unapred osuđen na neuspeh. Pojedini autori navode nekoliko tipič-nih, najčešće sretanih konfiguracija. Tako Besekerskij V. A. i Popov E. P. [3] izdvajaju dve klase nelinearnih sistema. U prvu svrstavaju sisteme s jednim ili dva nelinearna elementa čiji izlazi su eksplicitna ili implicitna funkcija ulaznog ili izlaznog signala i njihovih diferencijala. Sistemi iz ove klase se u krajnjoj liniji svode na tzv. osnovnu strukturu, sl. 5.1, koja, pored detektora signala greške, sadrži samo dva elementa: nelinearni (NE) i linearni LE) element.

Sl. 5.1. Strukturna blok-šema (a) i graf toka signala (b) nelinearnog sistema.

Na primer, sistem čija je strukturna blok-šema prikazana na sl. 5.2a se lako svodi na osnovnu strukturu, sl. 5.2c, nakon očiglednih transformacija, sl. 5.2b. Pri tome, treba istaći, dobijena struktura sadrži ulazne i izlazne elemente van osnovne petlje, kojih nema u osnovnoj strukturi, sl. 5.1a. Međutim, ti elementi nemaju uticaj na osobine sistema u pogledu stabilnosti (ako su stabilni) kao najvažnijoj karakteristici SAU.

Tako u strukturi (c) ispred detektora signala greške je linearni element G1(s) koji samo transformiše ulazni signal, a na izlazu imamo takođe linearni element

141 )]()([ −+ sGsG koji nema uticaja na stabilnost osnovne petlje povratne

sprege, pod pretpostavkom da je sam stabilan. Dati postupak za sisteme s jednim NE je opšti, tj.:

Bilo koji nelinearni SAU s jednom nelinearnošću može se uvek svesti na osnovnu strukturu s jednim nelinearnim i jednim linearnim elementom obuhvaćenih povratnom spregom.

U drugu klasu nelinearnih sistema Besekrskij i Popov svrstavaju sisteme s proizvoljnim brojem nelinearnih elemenata, čiji izlazi zavise od različitih

Glava 5.: Uvod u nelinearne SAU

135

promenljivih sistema povezanih linearnim ili nelinearnim diferencijalnim jednačinama. U ovu klasu oni ubrajaju i sisteme s logičkim elementima. Mi ćemo se, dalje, ograničiti na nelinearne sisteme koji se mogu svesti na osnovnu strukturu.

Sl. 5.2. Prikaz svođenja složenog nelinearnog sistema na osnovnu strukturu.

5.3 Tipične nelinearnosti i njihove karakteristike Mnoštvo nelinearnih elemenata korišćenih u SAU mogu se klasifikovati po različitim kriterijumima. Najpre, možemo da govorimo o prirodnim i veštačkim nelinearnostima. Prirodne su one koje su neminovno prisutne u osnovnim elementima sistema: objektima regulacije, izvršnim organima, mernim elemen-tima, pojačavačima. Na sl. 5.3 dati su primeri karakteristika pojačavača sa zasićenjem(a) i motora (b) koji ima mrtvu zonu, usled Kulonovog trenja, i zasićenje, usled nemogućnosti da se napaja naponom (strujom) iznad dozvo-ljene ili raspoložive vrednosti. Veštačke nelinearnosti se namerno unose radi postizanja željenih karakteristika sistema kao što su: ekonomičnost, brzina re-agovanja, pouzdanost itd. Veštačke nelinearnosti se, obično, pridodaju uprav-ljačkom sistemu - regulatoru. Na primer, u sistemima za regulaciju temperature

a) b)

Sl. 5.3. Prirodne statičke karakteristike pojačavača (a) i motora (b).

Sl. 5.4. Statička karakteristika bimetalnog relea kao veštačka nelinearnost uneta u sistem.


136

pećnica, tostera i pegli koristi se bimetalni rele, a kod bojlera, frižidera i zamrzivača - kapilarni termoregulatori kao najjednostavnija i najekonomičnija rešenja. Njihove statičke karakteristike imaju oblik kao na sl. 5.4. S druge strane, nelinearne karakteristike se mogu klasifikovati na jedno-značne i višeznačne. Jednoznačne karakteristike, za određeni ulazni signal, ima-ju uvek tačno definisani, jedinstveni izlazni signal. Višeznačne nelinearnosti imaju izlazni signal koji zavisi i od znaka promene ulaznog signala. Karekteris-tike na sl. 5.3 su jednoznačne, dok je karakarakteristika na sl. 5.4 višeznačna. Treći pravac klasifikacije se odnosi na mogućnost linearizacije nelinearnih karakteristika. S tog stanovišta razlikujemo nesuštinske i suštinske nelinear-nosti. Prve se mogu linearizovati postupkom diferencijalne linearizacije u mir-noj radnoj tački, dok druge takvu vrstu linearizacije ne dopuštaju. Na primer, karakteristike na sl. 5.3 su nesuštinske nelinearnosti dok je karakteristika na sl.

a) b) Sl. 5.5. Nelinearna karakteristika s pozitiv-

nim (a) i s negativnim (b) histerezisom.

5.4 suštinska nelinearnost. Višeznačne nelinearnosti mogu imati pozitivan ili negativan his-terezis, sl. 5.5a i b, respektivno. Dalje, možemo govoriti o tipič-nim i netipičnim nelinearnostima. Tipične nelinearnosti su one koje se često susreću u elementima sistema upravljanja kao njihove prirodne karakteristike. Netipične nelinearnosti se susreću retko i najčešće kao veštačke karakteris-

tike pomoću kojih se sistemu pridaju željene osobine.

a) b) c)

d) e)

Sl. 5.6. Tipične jednoznačne karakteristike: a) pojačavača sa zasićenjem, b) pojačavača s mrtvom zonom, c) pojačavača s mrtvom zonom i zasićenjem,

d) u e e= 2 sgn( ) e), u e e= sgn( ) .


137

Tipične nelinearnosti su: karakteristika pojačavača sa zasićenjem (limiter), sl. 5.6a; karakteristika pojačavača s mrtvom zonom (engl. dead zone), sl. 5.6b; pojačavača s mrtvom zonom i zasićenjem, sl. 5.6c; kvadratora sl. 5.6d; korenatora sl. 5.6e.; idealnog relea, ili signum kola, ili dvopozicionog relea, sl. 5.7a; relea s mrtvom zonom ili tropozicionog relea, sl. 5.7b, itd. Sve napred navedene karakteristike su jednoznačne. Tipične višeznačne karakteristike su: dvopozicioni rele s histerezisom, sl. 5.8a; tropozicioni rele s histerezisom (i mrtvom zonom), sl. 5.8b; karakteristika tipa zazora (lufta, engl. backlash) prisutna kod zupčastih prenosnika (reduktora), sl. 5.8c.

u u

e eUo

-Uo

λ−λ

Uo

-Uo

0 0

a) b)Sl. 5.7. Tipične jednoznač-ne nelinearnosti: a) idealnog relea, b) tropozicionog relea.

u u u

e e e−λ λ

-Uo

+Uo

−λ −εε λ

-Uo

Uo

a b c) ) ) Sl. 5.8. Tipične višeznačne nelinearnosti:

a ) dvopozicionog releas histerezisom, b) tropozicionog relea s histerezisom, c) zazora (lufta).

5.4 Matematički modeli nelinearnih elemenata Statičke karakteristike nelinearnih elemenata se opisuju matematičkim modelima čija složenost zavisi od tipa nelinearnosti. Jednoznačne nelinearnosti se opisuju funkcionalnom zavisnošću )(eFu = , (5.1) a višeznačne relacijom oblika ),( eeFu &= . (5.2) Modeli nekih tipičnih nelinearnosti su dati u sledećoj tabeli: Nelinearnost tipa zasićenja:

uU

kU

sat eo k

=−

< ⇒

= = za e < -

za e

za e >

o

λλλ

λ 1( ) (5.3)

Nelinearnost tipa idealnog relea:

uU eU e

eo

o

Uo=

+ >− <

⇒= za

za

0

0

1sgn( ) (5.4)

Dvopozicioni rele:

>λ<<λ−<

−

<λ−>>λ>

+=

0 , 0,

za

0,0,

za

eeee

U

eeee

Uu

o

o

&

&

&

&

(5.5)

Tropozicioni rele:

>ε−<<λ−<

−

ελ>λ<<ε−

<ε>>λ>

+

=

0 ,0,

za

0 <e,<e<-0 ,

za 0

0 ,0 ,

za

eeee

U

eeeeee

U

u

o

o

&

&

&

&

&

&

(5.6)


138

5. 5 Linearizacija nelinearnih elemenata Kao što je rečeno, prvi prilaz u analizi i oceni stabilnosti nelinearnih SAU je, obično, linearizacija karakteristike nelinearnog elementa u okolini radne tačke. Istaknimo, ponovo, da, sa stanovišta linearizacije, postoje dva tipa nelinearnih karakteristika: suštinske i nesuštinske, koji su dominantni u izboru načina linearizacije. Koriste se sledeći načini linearizacije nelinearnih elemenata: statička, diferencijalna, harmonijska i stohastička. Ako je koeficijent linearizacije k tada se statička karakteristika nelinearnog elementa u F e= ( ) (5.7) zamenjuje, u okolini radne tačke, relacijom keu =ˆ . (5.8) Razmotrićemo, ukratko, sva četiri načina linearizacije.

5.5.1 STATIČKA LINEARIZACIJA predstavlja zamenu izlaza nelinearnog elementa njegovom vrednošću u radnoj tački, odakle se dobija koeficijent statičke linearizacije

kF e

es =( )0

0. (5.9)

Ako radna tačka nije fiksirana, koeficijent statičke linearizacije se može napisati u opštem oblliku

k F ees =( ) , (5.10)

odakle sledi da je

eeeFu

=

)(ˆ , (5.11)

što predstavlja samo drugi način zapisivanja karakteristike nelinearnosti.

5.5.2 DIFERENCIJALNA LINEARIZACIJA u opštem obliku predstavlja diferencijal nelinearne funkcije po ulaznom signalu, tj.

k F eed =

dd

( ) , (5.12)

a za fiksiranu radnu tačku e=eo je

k F eed e eo

= =d

d( ) , (5.13)

što predstavlja koeficijent nagiba tangente na karakteristiku nelinearnog ele-menta u radnoj tački. Ovaj način linearizacije se veoma često koristi u oceni stabilnosti nelinearnih sistema s nesuštinskom nelinearnošću pri malim poremećajima. 5.5.3 HARMONIJSKA LINEARIZACIJA je interesantan prilaz linearizaciji nelinearnih elemenata sa suštinski nelinearnom karakteristikom. On se može uvesti na dva načina: (i) preko minimuma srednjekvadratne greške aproksi-


139

macije i (ii) na osnovu Furijeove harmonijske analize. Ovde ćemo obrazložiti prvi način [1], a kasnije ćemo dati i drugi. Neka je ulaz u nelinearni element prostoperiodična funkcija vremena e A t= sinω . (5.14) Tada će izlaz iz nelinearnog elementa )sin( tAFu ω= (5.15) biti složenoperiodična funkcija koja će sadržati osnovni harmonik frekvencije ω i komponente s višim frekvencijama 2ω, 3ω,.... Postavimo zahtev da izlaz nelinearnog elementa aproksimiramo (linearizujemo) tako da sadrži samo harmonijske komponente osnovne frekvencije iz Furijeovog spektra, tj. da je ( )tNtNAu ω+ω= cossinˆ 21 (5.16) i da koeficijenti N1 i N2, koje ćemo, dalje, nazivati koeficijentima harmonijske linearizacije, obezbede minimum srednjekvadratne razlike između izlaza neli-nearnog elementa (1.15) i izlaza linearizovanog elementa (5.16):

[ ] [ ] .min)(d)cossin()sin()d(ˆ21,

2

0

221

2

0

2

NNttNtNAtAFtuu →ωω+ω−ω=ω− ∫∫

ππ

Diferencirajući ovaj izraz po N1 i N2 i izjednačavajući dobijeni diferencijal s nulom dobija se:

[ ]

[ ]

F A t A N t N t t t

F A t A N t N t t t

( sin ) ( sin cos ) sin ) ,

( sin ) ( sin cos ) cos ) .

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

π

π

− + =

− + =

∫

∫

1 20

2

1 20

2

0

0

d(

d(

(5.18)

Rastavljajući prethodne integrale na sabirke i uzimajući u obzir da su

sin cos ) ; sin ) cos )ω ω ω ω ω ω ω ππ ππ

t t t t t t td( d( d(= = =∫ ∫∫00

22 2

0

2

0

2

,

lako se dobijaju izrazi za koeficijente harmonijske linearizacije:

N AA

F A t t t10

21( , ) ( sin ) sinωπ

ω ω ωπ

= ∫ d , (5.19)

N AA

F A t t t20

21( , ) ( sin ) cosωπ

ω ω ωπ

= ∫ d . (5.20)

S obzirom na to da je

,arctg;

);sin(ˆ)cossin(ˆ

1

222

21

21

NNNNN

tANutNtNAu

−=φ+=

φ−ω=⇒ω+ω=

ili, ako se umesto ulaznog signala e A t= sinω koristi tjAee ω=( , tada se može napisati ( ) )(

21ˆ φ−ωωφ− ==−== tjtjj ANeAeNeejNNeNu ((( . (5.21)


140

5.5.4 STOHASTIČKA LINEARIZACIJA Stohastička linearizacija se koristi u teoriji SAU sa slučajnim signalima primenjujući teoriju verovatnoće i matematičku statistiku1. Osnovna ideja se sastoji u sledećem: na ulaz nelinearnog elementa deluje korisni signal zajedno s šumom. Pretpostavlja se da ulazni signal pripada klasi signala s normalnom raspodelom, dok izlazni signal nelinearnog elementa, u opštem slučaju, neće imati normalnu, već kvazinormalnu raspodelu. Zanemarujući devijaciju izlaznog signala od normalne forme, dobija se linearna zavisnost slučajnog ulaznog i slučajnog izlaznog signala. S tog stanovišta stohastička linearizacija je analogna harmonijskoj linearizaciji. Ne ulazeći u detalje stohastičke linearizacije, pojasnićemo osnovnu ideju. Neka je, na primer, nelinearni element limiter (pojačanje linearog dela je 1) na čiji se ulaz dovodi signal s šumom koji se može opisati sa:

Sl. 5.9. Slučajni signali na ulazu i izlazu nelinearnog elementa tipa limitera. mž -

matematičko očekivanje izlaznog signala.

e t m t n te e( ) ( ) ( )= + . (5.22) Na izlazu nelinearnosti imaćemo

u t m t n tu u( ) ( ) ( )= + , (5.23) gde su: m(t) - korisni, determinis-tički signali, n (t) - prisutni šumovi. Ako ulazni signal nema šum i ne dostiže granicu zasićenja, koristan izlazni signal biće jednak ulaznom signalu. Kada se zalazi u oblast zasićenja limitera, srednja vredost izlaznog signala razlikovaće se od vrednosti ulaznog signala, utoliko više ukoliko se dublje zalazi u oblast zasićenja. Ako je koristan ulazni signal zašumljen, tada se matematičko očekivanje (srednja vrednost) izlaznog signala takođe

menja u odnosu na matematičko očekivanje ulaznog signala, utoliko više ukoliko je amplituda šuma veća. Ako je šum suviše veliki, matematičko očekivanje izlaznog signala težiće nuli i koristan signal se ne može preneti, odnosno koeficijent pojačanja nelinearnog elementa se smanjuje u prisustvu šuma. Ako se izlazni signal zamenjuje linearnom zavisnošću u K m K nm e s e= + (5.24) tada su Km i Ks - koeficijenti stohastičke linearizacije nelinearnog elementa. Oni se definišu odnosom matematičkih očekivanja izlaznog u ulaznog signala i odnosom standardne devijacije izlaznog i ulaznog signala, respektivno. Detaljnije o stohastičkoj linearizaciji može se naći u [1, 5].

1 U [5] je koeficijent statisticke linearizacije a ne stohasticke.


141

LITERATURA [1] Цыпкин, Я. З.: Основы теории автоматических систем, «Наука», Москва, 1977. [2] Цыпкин, Я. З.: Теория релейных систем автоматического регулирования,

«Издательство. техническо-теоретической литературы , Москва, 1955. [3] Бесекерски В. А., Попов, Е. П.: Теория систем автоматического регулирования,

«Наука», Москва,1972. [4] Воронов, А. А.: Основы теории автоматического управления: Особые линейные

и нелинейные системы, « Энергоиздат», Москва, 1981. [5] Чаки, Ф.: Современая теория управления, «Мир», Москва,1975. [6] Гельднер, К., Кубик, С.: Нелиненые системы управления, «Мир», Москва,1987 [7] Леондес, К. Т.: Современная теория систем управления, «Наука», Москва,1970 [8] Нетушил, А. В.: Теориия автоматического управления, «Высшая школа», Москва,

1976. [9] Stojić, R. M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, »Nauka«,

Beograd, 1996. [10] Сю, Д., Мейер, А.: Современная теориия автоматического управления и ее

применение, «Машиностроение», Москва, 1972.

Pitanja za samoproveru 1. Osnovna razlika između linearnih i nelinearnih sistema je u principu _______

_______. On se __________ primenjivati kod nelinearnih SAU. 2. Po Cipkinu »Nelinearni SAU su samo ______________ u ___________ okeanu

nelinearnih sistema«. 3. Jedna klasa nelinearnih SAU se uvek može svesti na _________ strukturu, koja se

sastoji iz redne veze _________ elementa i ________ elementa obuhvaćenih negativnom povratnom spregom.

4. Nelinearni elementi se mogu svrstati u nekoliko grupa i to: a) prirodni i _________; b) jednoznačni i ___________; c) tipični i __________; d) suštinski i ____________.

5. Višeznačne nelinearnosti mogu biti sa pozitivnim ili sa ____________________. 6. Jednoznačne nelinearnosti se opisuju funkcijom, a višeznačne - ___________. 7. Prvi prilaz u analizi nelinearnih SAU je ___________ nelinearnog elementa i

primena metoda teorije ________________ SAU. 8. Za linearizaciju nelinearnih elemenata na raspolaganju su sledeće metode

linearizacije: a) ______________________; b) _______________________ c) __________________________; d) ____________________________.

9. Za inženjersku primenu u prvom stadijumu izučavanja nelinearnih SAU najčešće se primenjuju ______________________ i __________________ linearizacija.

10. Diferencijalna linearizacija se naziva i __________________ linearizacija. 11. Koeficijenti harmonijske linearizacije se dobijaju iz uslova ___________ srednje

kvadratne greške između __________ izlaza _________ elementa i prvog _____________ tog izlaza.

12. _____________ linearizacija se naziva i statističkom linearizacijom. Ona je po formi slična ______________ linearizaciji.


142

Zadaci za vežbu Zadatak 1. Strukturna blok-šema nelinearnog SAU prikazana je na slici. Svesti

dati sistem na osnovnu strukturu.

NER s( ) E s( ) C s( )

sA

K

sKt

n2

n1

nt

K1

Sl. 5.10.

Zadatak 2. Na sl. 5.11 data je principska šema sistema za stabilizaciju napona generatora jednosmerne struje. Imajući u vidu da je indukovana elektromotorna sila u namotaju rotora generatora proporcionalna brzini obrtanja rotora (Ω) i pobudnoj struji koja protiče kroz namotaj statora (Ip) i struji opterećenja (Io), ovaj sistem je nelinearan ali sa nesuštinskom nelinearnošću. Za dati sistem potrebno je: a) Nacrtati strukturnu blok-šemu sa jasno istaknutim nelinearnim elementom; b) Izvršiti diferencijalnu linearizaciju nelinearnog elementa i nacrtati strukturnu blok-šemu sistema u kome će promena brzine obrtanja rotora generatora oko ravnotežne brzine (Ω0) i promena struje opterećenja oko nominalne vrednosti (I0) imati ulogu poremećaja.

>R1

R , Lp p

R2

Ro

U1Ur

Uo

K

Ip

Io

G

+

Ub

Ω

Sl. 5.11

R1

R , Lp p

R2

Re

Uo

Ip

Io

G

+Ω

Sl. 5.12

Zadatak 3. Na sl. 5.12 prikazana je šema sistema za regulaciju napona generatora jednosmerne struje koja se koristi u automobilima (regulator je poznat pod nazivom REGLER). Izlazni napon zavisi od brzine obrtanja rotora generatora, pobudne struje i struje opterećenja. Kada je napon ispod neke »donje« vrednosti koja zavisi od postavljene vrednosti potenciometra R2 i osobina relea (Re), rele otpušta i njegov kontakt kratkospaja otpornik R1 vezan na red pobudnom namotaju. Usled toga pobudna struja raste pa i napon na krajevima generatora Uo. Kada on dostigne neku »gornju« vrednost, rele se aktivira, na red pobudnom namotaju vezuje R1, struja pobude opada pa i napon Uo. Kada se dostigne donja tolerantna vrednost izlaznog napona, rele se deaktivira i td. Uzimajući u obzir rezultate prethodnog zadatka, posle primene diferencijalne linearizacije, i suštinsku nelinearnost koju unosi elektromehanički rele (Re) kao dvopozicioni regulator sa histerezisom, nacrtati strukturnu blok-šemu ovog sistema.

Glava 6: Metoda faznog prostora 143

6.1 Pojam faznih trajektorija, fazne ravni i faznog portreta 143 6.2 Osobine faznih trajektorija 144

6.3 Jednačine faznih trajektorija 144

6.4 Načini konstrukcije faznih trajektorija 146

6.5 Fazni portreti linearnih sistema 146

6.6 Singularne fazne trajektorije 150

Literatura 154



a

Glava 6.

METODA FAZNOG PROSTORA

6.1 Pojam faznih trajektorija, fazne ravni i faznog portreta Analiza nelinearnih SAU je složen problem, posebno ako se traže tačna

rešenja dinamičkog stanja koordinata sistema. Metode za analizu nelinearnih SAU se svrstavaju u dve grupe: tačne i približne. U tačne metode se ubrajaju: metode faznog prostora i metode zasnovane na primeni računara. U približne metode se svrstavaju: metoda harmonijske linearizacije (metoda opisne funkcije), metoda separacije kretanja (metoda singularne perturbacije) i dr. Ova glava je posvećena metodi fazne ravni.

Pojam faznih trajektorija i fazne ravni uveo je Poenkare (1881.). U analizi sistema ovu metodu je prvi primenio Leote (1885.). Medjutim, potpun razvoj metode fazne ravni je ostvario Andronov (1925.) sa svojim saradnicima. Iako metoda spada u grupu tačnih metoda, danas je dobrim delom prevaziđena iz više razloga kao što su: efikasnost metode samo za sisteme drugog reda; zahteva grafičku konstrukciju čime je ograničena njena tačnost1. Ipak, i pored navedenih nedostataka, poželjno je poznavanje ove metode iz sledećih razloga: -neki termini u teoriji SAU su proizašli iz pojmova vezanih za fazni prostor; -metoda daje vrlo jasnu geometrijsku predstavu o karakteru kretanja sistema

i tipu ravnotežnog stanja; -neke klase nelinearnih sistema su uvedene (razvijene) preko pojma faznog

prostora (optimalni sistemi, sistemi promenljive strukture). U daljem izlaganju ograničićemo se na faznu ravan. To je ravan s pravo-

uglim Dekartovim koordinatnim sistemom, mada, u opštem slučaju, može biti uveden i drugi tip koordinatnog sistema (na primer, Flige-Loc (Flüge-Lotz) je 1 Problem tačnosti crtanja danas nije ograničavajući faktor, jer se mogu koristiti kompjuteri sa moćnim programima za crtanje, a prilaz analizi preko faznog prostora može dati jasnu sliku o ponašanju sistema ne samo drugog reda.


144

uvela polarni koordinatni sistem za proučavanje relejnih sistema). Na apscisnu osu se nanosi analizirana promenljiva stanja sistema (ili izlazna promenljiva, odnosno signal greške), a na ordinatu - diferencijal posmatrane promenljive, tj. brzina njene promene u vremenu.

Metoda fazne ravni se koristi, uglavnom, za analizu autonomnih sistema, tj. sistema čije se kretanje odvija pod dejstvom nenultih početnih uslova, ili za sisteme tipa regulatora, koji se jednostavnom transformacijom svode na autonomni sistem. Prema tome, stanje autonomnog sistema, opisanog diferen-cijalnom jednačinom drugog reda, u svakom remenskom trenutku je određeno tačkom u ravni, čije su koordinate xx &, . Posmatrana ravan se naziva fazna ravan, a tačka s datim koordinatama - fazna tačka. Pri kretanju sistema fazna tačka će se pomerati po trajektoriji - faznoj trajektoriji, duž koje se vreme javlja kao parametar. Skup faznih trajektorija sistema za različite početne uslove naziva se fazni portret sistema.

U mnogim slučajevima prisutna nelinearnost u sistemu se može predstaviti skupom linearnih segmenata, koji se medjusobno spajaju pri odredjenoj vrednosti posmatranog signala. Tada se fazni portret nelinearnog sistema može dobiti "ušivanjem" ili "lepljenjem" faznih portreta linearnih sistema. U tom cilju dalje se daju osnovne osobine faznih trajektorija sistema, njihove jednačine, način konstruisanja i osnovni tipovi faznih portreta linearnih sistema.

Sl. 6.1. Orjentacija faznih trajektorija.

6.2 Osobine faznih trajektorija

S obzirom na to da je u faznoj ravni ordinata 21 xxx == && , očigledno je da važe sle-deće konstatacije:

a) ako je x2 > 0, tada x1 raste, b) ako je x2 < 0, tada x1 opada, c) ako je x2 = 0, tada je x1 = const. Na osnovu ovoga se zaključuje, sl. 6.1: Kretanje po faznim trajektorijama odvija

se u smeru kretanja kazaljke na satu, a fazne trajektorije seku x1-osu pod pravim uglom

6.3 Jednačine faznih trajektorija Neka je dat nelinearni SAU kao na sl. 6.2. Za dati sistem se mogu napisati

sledeće relacije: X s R s C s( ) ( ) ( ),= − (6.1) )()()(,)()( sXsWsYyFsU ==L ,2 (6.2)

.)(1)(1)( 22 yFs

sUs

sC L== (6.3)

2 Za sada ćemo smatrati da je funkcija prenosa bloka između detektora greške i nelinearnog elementa, F(y), nepoznata.

Glava 6. Metoda faznog prostora

145

Zamenom (6.3) u (6.1) dobija se: .)()s(R)( 22 yFssXs L-=

Prelazeći u vremenski domen (s=d/dt) dobija se diferencijalna jednačina ).()()()( 12 trxFxFtx &&&&& =++

Dalje ćemo razmatrati autonomni sistem (r(t)=0), ili sistem tipa regulatora (r(t) =const). Tada se prethodna diferencijalna jednačina svodi na .0)()()( 12 =++ xFxFtx &&&

Sl. 6.2 Blok-šema običnog nelinearnog sistema.

Uvodeći smenu: 211 =xx, x=x & , ovu diferencijalnu jednačinu možemo napisati

u Košijevoj normalnoj formi:

).()(

,

22112

21

xFxFxxx

−−==

&

&

Eliminacijom vremena iz ovog sistema jednačina, deljenjem druge jednačine prvom, dobija se diferencijalna jednačina faznih trajektorija:

d

d= -

( ) 2

1 2

xx

F yx

, (6.4)

kao nelinearna jednačina prvog reda. Za date početne uslove )0()0( , x x& dobija se:

d

d= -

( ( ))( )

= ,2

1 2

xx

F yx

d00

(6.5)

gde je d- neki realni broj, što znači da postoji tangenta fazne trajektorije u tački x2(0), x1(0) i njen nagib je jednak d, a on, sa svoje strane, definiše pravac fazne trajektorije.

Može se dogoditi slučaj da je izraz (6.5) neodređen, tj. (dx2 /dx1)=0/0, jer su: F(y(0))=0 i x2(0)=0. Tada pravac faznih trajektorija nije definisan. Kakvom fizičkom stanju sistema to odgovara?

F(y(0))=0 je jednačina statike, a x2=0 označava da je (dx1/dt)=0, tj. da je x1=const., što znači da je sistem u stanju ravnoteže. Ovakve tačke u faznoj ravni u kojima se sistem nalazi u stanju ravnoteže nazivaju se singularnim tačkama i samo u njima fazne trajektorije nemaju definisan pravac. Uočava se, takođe, da se singularne tačke nalaze samo na x1-osi.

U daljem izlaganju navešćemo načine konstrukcije faznih trajektorija.


146

6.4 Načini konstrukcije faznih trajektorija Integraljenje jednačine (6.4) u opštem slučaju nije moguće, jer je ona neli-

nearna. Razmotrićemo posebne, linearne slučajeve. Neka je, na primer, F(y) =ω0

21x . Tada izraz za fazne trajektorije (6.4) posta-

-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0-6

-4

-2

0

2

4

6

321

x 2

x1

Sl. 6.3. Fazni portret tipa centra.

Sl. 6.4. Vremenski odzivi sistema za dve početne vrednosti označene tačkama 2 i 3.

je

2

10

1

2 2- =

dd

xx

xx ω

. (6.6)

Razdvajajući promenljive i intagra-leći, dobija se relacija

x x C22

02

12= − +ω ,

gde je C - konstanta integraljenja koju treba odrediti.

Pretpostavimo da je x2=0. Tada x1 ima maksimalnu vrednost: x1 =A, pa je C A= ω 0

2 i izraz za fazne tra-jektorije se može napisati u obliku

12

21

220

22 =+

ω Ax

Ax .

To je jednačina elipse u ravni x10x2.S obzirom na to da se početna vred-nost x1(0)=A može proizvoljno oda-birati, za različite početne vrednostidobićemo familije elipsi. Ovaj skupfaznih trajektorija se naziva fazniportret. Fazni portret za posmatranislučaj nosi naziv fazni portret tipa

centra, a prikazan je na sl.6.3. Na sl. 6.4 prikazani su odzivi x1i x2. U slučajevima kada integraljenje diferencijalne jednačine faznih trajektorija

(6.4) nije moguće, za njihovu konstrukciju koristila se metoda izoklina (grčki: izo=isti, klina=nagib), tj. metoda istih nagiba. Danas, kada su računari sastavni deo opreme s kojom su inženjeri svakodnevno u kontaktu, dobijanje faznog portreta bilo kog sistema nije više problem. S tog stanovišta potrebno je samo poznavati tipove faznih portreta linearnih sistema i imati uvid u osobenosti faznih portreta nelinearnih sistema.

6.5 Fazni portreti linearnih sistema Primenom diferencijalne linearizacije može se bilo koji nelinearni sistem s

nesuštinskom nelinearnošću linearizovati u okolini ravnotežnog stanja. Ova linearizacija će biti dobra aproksimacija dinamike sistema za male promene oko ravnotežnog stanja. Zbog toga je veoma važno poznavati fazne portrete linearnih sistema. Osim toga, kao što će se videti na kraju na jednom primeru,


147

sistemi sa suštinskim nelinearnostima mogu se posmatrati kao u delovima linearni, a fazni portret celog sistema dobiti “ušivanjem”, odnosno lepljenjem faznih portreta linearnih delova sistema. Razlikovaćemo šest osnovnih i dva posebna slučaja. Osnovni slučajevi se definišu na osnovu korena karakteristične jednačine sistema drugog reda i to:

1. koreni su imaginarni, 2. koreni su konjugovano-kompleksni s negativnim realnim delom, 3. koreni su konjugovano-kompleksni s pozitivnim realnim delom, 4. koreni su realni i pozitivni, 5. koreni su realni i negativni, 6. koreni su realni i različitog znaka. Prvi slučaj je već razmotren. Taj fazni portret nosi naziv tipa centra, sl. 6.3.

a)

b)

Sl. 6.5. Fazni portreti tipa stabilnog (a) i nestabilnog (b) fokusa s odgovarajućim vremenskim tokom izlaznog signala za različite početne uslove.

U drugom i trećem slučaju su koreni konjugovano-kompleksni. Svodeći

sistem u kanonični dijagonalni oblik, slobodno kretanje sistema biće opisano matričnom relacijom:

=

)0()0(

00

)()(

2

1

2

1

2

1

xx

e tse ts

txtx

,


148

iz koje zaključujemo da će koordinate stanja x1(t) i x2(t) imati oscilatorni karakter s prigušenim oscilacijama, u slučaju korena s negativnim realnim delovima, ili s rastućim oscilacijama, kada su koreni s pozitivnim realnim delovima. Ako bi, na primer, signal x1(t) doveli na x-osu osciloskopa, a signal x2 (t)-na y-osu, dobili bi smo fazne portrete sistema za drugi i treći slučaj kao na sl. 6.5a i b, respektivno. Na istim slikama su dati i vremenski signali x1(t) i x2(t). Prikazani fazni portreti sistema nose naziv tipa stabilnog fokusa, odnosno nestabilnog fokusa, respektivno.

a)

b)

Sl. 6.6. Fazni portreti tipa stabilnog (a) i nestabilnog (b) čvora i odgovarajući vremenski dijagrami za različite početne uslove.

Ako su koreni realni: s1=σ1, s2=σ2 , fazne koordinate biće definisane sle-dećim izrazima:

,)(

,)(21

21

22112

211tt

tt

eAeAtx

eAeAtxσσ

σσ

σ+σ=

+=

gde su A1 i A2 - konstante integraljenja zavisne od početnih uslova. Ako, na primer, izaberemo početne uslove tako da je A2 = 0, tada se prethodne relacije svode na relaciju x2=σ1x1; a ako se početni uslovi izaberu tako da je A1= 0, onda se dobija x2=σ2x1. U zavisnosti od toga da li su koreni karakteristične jednačine negativni ili pozitivni, to će biti prave linije s negativnim, odnosno pozitivnim nagibom, što znači da su fazne trajektorije za ove početne uslove prave linije i nazivaju se singularne prave.


149

Za ostale početne uslove fazne trajektorije su krive linije. Fazni portreti analiziranih sistema dati su na sl. 6.6a i b i nose nazive stabilni čvor i nestabilni čvor, respektivno. Na istim slikama su prikazani i vremenski tokovi izlaznih signala.

U poslednjem, šestom slučaju koreni su realni i različitog znaka. Koristeći prethodnu proceduru, zaključujemo da će postojati dve fazne trajektorije u obli-ku pravih linija s negativnim i pozitivnim nagibom. Ostale fazne trajektorije su hiperboličnog oblika. Fazni portret je prikazan na sl. 6.7 i nosi naziv fazni portret tipa sedla.

Sl. 6.7. Fazni portret tipa sedla i odgovarajući vremenski dijagrami za različite

početne uslove. Tačka (0,0) je tačka labilnog ravnotežnog stanja.

Sl. 6.8. Fazni portreti posebnih

slučajeva.

Najzad, razmotrimo i dva posebna slučaja. Neka je sistem opisan diferencijalnom jedna-činom

, -2= xkx &&& ili:

,-2=

=

22

,21

kxxxx

&

&

pa je jednačina faznih trajektorija

Ckxxkdxdx

+−=−= 121

2 2 ili 2 ,

gde je C- konstanta integraljenja koja zavisi od početnih uslova. Napomenimo da u ovom slučaju imamo jedan koren karakteristične jednačine jednak nuli, a drugi je negativan, odnosno pozitivan.

Na sl. 6.8 dati su fazni portreti za te posebne slučajeve, za pozitivnu i negativnu vrednost

faktora k. U tim slučajevima ne postoji samo jedna tačka ravnoteže, već je to cela x1 -osa i ona je za k>0 stabilna, a za k<0 - nestabilna.


150

6.6 Singularne fazne trajektorije U razmatranim slučajevima linearnog sistema postoje singularne prave. Na

primer, kod faznog portreta tipa sedla imamo dve singularne prave: stabilnu 112 xx σ−= i nestabilnu 122 xx σ= . U nelinearnim sistemima se, osim singular-

nih tačaka ili singularnih pravih, mogu pojaviti i singularne trajektorije kao izolirane zatvorene krive linije, koje se nazivaju graničnim krugovima.

Granični krugovi mogu biti stabilni, nestabilni ili semi-stabilni. Ako su sve trajektorije orijentisane ka graničnom krugu onda je on stabilan, kada su usmerene od graničnog kruga - nestabilan je, a kada su s jedne strane usmerene ka njemu, a s druge strane od njega, onda je taj granični krug semi-stabilan. Na sl. 6.9 prikazani su ovi slučajevi. U nelinearnim sistemima fazni portreti mogu biti mnogo složeniji.

a)

b)

c)

Sl. 6.9 Fazni portreti nelinearnog sistema, granični krug: a) stabilan, b) nestabilan, c) semi-stabilan.

Primer 6.1. Razmotrimo metodom fazne ravni ponašanje SAU ako u njemu, sl. 6.2, karakteristika nelinearnosti F(y) ima različit karakter, a objekat upravljanja je dvostruki integrator, kako je i dato na toj slici. Osim toga, pretpostavimo, najpre, da je

Sl. 6.10. Fazni portret sistema za slučaj gubitka

povratne sprege.

kd =0. Ovakav zadatak je, praktično, zadatak održavanja orjentacije satelita u odnosu na neki fiksni objekat u svemiru. Razmotrićemo niz mogućih slučajeva da bi smo uočili osobenosti ponašanja nelinearnih sistema i izvršili njihovu analizu putem faznih trajektorija. Napominjemo da se razmatra autonomni sistem (r(t)=0).

1. slučaj. Pretpostavimo da se u sistemu raskinula povratna sprega, na primer, da je otkačen merni element ugaone pozicije. Tada će se kretanje objekta opisivati relacijama:

.0,

2

21

==

xxx

&

&

Jasno je da će tada biti x2=const, pa će x1 neprestano rasti (ili opadati), što znači, da će se satelit obrtati oko sopstvene ose neprekidno, pri čemu će brzina i smer obrtanja


151

zavisiti od početnih uslova. Fazne trajektorije takvog sistema predstavljaju prave linije paralelne osi x1, sl. 6.10.

2. slučaj. Povratna sprega je uspostavljena. Neka je nelinearna funkcija F y( ) idealni rele. Jednačine faznih trajektorija su sada:

<−>+

=−=.0 za 1,0 za 1

)sgn(;)sgn(dd

1

11

2

10

1

2

xx

xx

xUxx

S obzirom na to da je nelinearna funkcija prekidna, a fazne trajektorije su konti-nualne krive, jasno je da će se fazni portret celog sistema sastojati iz dva fazna portreta koja treba međusobno spojiti (“ušiti”) u trenucima prekida funkcije. Pre nego što to uradimo, napišimo izraz za diferencijalnu jednačinu autonomnog sistema. Ona je:

Sl. 6.11. Nelinearnost tipa idealnog relea.

ux −=&& ili

),sgn( ,,

102

21

xUuuxxx

=−==

&

&

gde je U0 - vrednost relejne funkcije, sl. 6.11. U cilju pojednostavljenja daljeg izlaganja smatra-

ćemo da je Uo=1. Razmotrimo najpre slučaj x1 > 0. Razdvajajući pro-

menljive, jednačina faznih trajektorija postaje 122 dd xxx −= .

x2

x10

Sl. 6.12. Fazni portret sistema s nelinearnošću tipa idealnog releja. Šrafirana oblast je oblast “ušivanja” faznih portreta.

Integraleći ovu diferencijalnu jednačinu dobijamo

Cxx+−= 1

22

2,

gde je C - konstanta integraljenja. S obzirom na to da se preključenja odvijaju za x1=0 i x2(0), konstanta C se lako nalazi. Prethodna relacija je jednačina parabole koja je simetrična u odnosu na x1 - osu, s temenom u tački (C, 0). Na isti način se dobijaju i relacije za fazne trajektorije kada je x1<0:

Cxx+= 1

22

2,

koje su jednačine parabola s temenima u tačkama (-C,0). Fazni portret celog sistema dat je na sl. 6.12.

Posmatrajući fazni portret vidi se da je on tipa centra. To znači da će objekat oscilo-vati oko ravnotežnog položaja. Amplituda oscilovanja zavisiće od početnih uslova.

3. slučaj. Pretpostavimo da rele nije idealno već da ima mrtvu zonu. Tada se sistem opisuje sledećim modelom:

,

za 1 za 0 za 1

,

,

2

21

ε<−ε≤ε>+

=−=

=

xxx

uux

xx

&

&


152

Sl. 6.13. Nelinearnost tipa idealnog relea s mrtvom zonom.

Sl. 6.14. Fazni portret sistema s releom s mrtvom zonom bez histerezisa.

Nije teško zaključiti da će se fazni portret takvog sistema dobiti ušivanjem faznih

portreta dva prethodna slučaja, sl. 6.14.

4. Slučaj. Neka je nelinearnost dvopozicioni rele s histerezisom. Karakteristika nelinearnosti i fazni portret prikazani su na sl. 6.15 i 6.16, respektivno.

Sl. 6.15 Nelinearnost tipa dvopozicionog relea s histerezisom

Sl. 6.16 Fazni portret sistema s nelinearnošću tipa relea s histerezisom

Iz faznog portreta se vidi da će se amplitude samooscilacija s vremenom povećavati, tj. sistem je nestabilan s rastućim oscilacijama.

5. Slučaj. Nelinearnost tipa tropozicionog regulatora s histerezisom, sl. 6.16. I u ovom slučaju je karakter kretanja isti - sistem je nestabilan s rastućim oscilacijama, sl. 6.18.

Sl. 6.17. Nelinearnost tipa

tropozicionog relea s mrtvom zonom i histerezisom.

Sl. 6.18. Fazni portret sistema s neline-arnošću tipa releja a histerezisom i mrtvom

zonom.


153

6. Slučaj. Pretpostavimo da smo primenili proporcionalni regulator sa zasićenjem, čija je statička karakteristika - karakteristika pojačavača sa zasićenjem. Fazni portret ovog sistema je tipa centra. Tada će se satelit “njihati” oko ravnotežnog stanja. Kao što se vidi, primenom navedenih regulatora bez dodatnih elemenata za stabilizaciju ne može se posmatrani sistem učiniti stabilnim.

6. Slučaj. Pretpostavimo, sada, da je kd ≠ 0 . Neka je, na primer, kd=1. Razmotrimo slučaj kada je regulator idealni rele. Matematički model sistema biće tada:

).(sgn ,

,

212

21

xaxuuxxx

+=−==

&

&

Sada se preključivanje relea ostvaruje ne kada je x1=0, već kada funkcija 21 xax + postane jednaka nuli, tj linija 12 axx −= , a>0, je linija preključenja. Fazni portret sistema u tom slučaju postaje kao na sl. 6.19.

Postavlja se umesno pitanje koji nagib linije preključenja izabrati? Sa slike se vidi de je proces oscilatorniji što je nagib veći i da u graničnom slučaju, a=∞, imamo stabilne oscilacije.

Sl. 6.19. Fazni portret sistema s diferencijalnim delovanjem.

Sl. 6.20. Fazni portret optimalnog

sistema. Linija preključenja je parabolična.

8. Slučaj. Očigledno je da se može izabrati a tako da posle preključenja fazna trajektorija prođe kroz koordinatni početak i sistem dovede u stanje ravnoteže (0,0). Međutim, to se može dogoditi samo pri nekom početnom uslovu ako je linija prek-ljučenja prava. Pretpostavimo da linija preključenja nije prava, već parabolična linija i to ona fazna trajektorija sistema koja prolazi kroz koordinatni početak, sl. 6.20.

Tada fazni portret sistema postaje kao na slici 6.20 i dobija se optimalan sistem po brzini. Matematički model sistema tada postaje:

.

21sgn),( ,

,

221212

21

+==−=

=

xxxxxFuux

xx

&

&

Klasa relejnih optimalnih sistema je interesantna potklasa optimalnih sistema, koja zbog svoje jednostavnosti i efikasnosti predstavlja praktični interes za primenu u rešavanju mnogih zadataka u praksi. Detaljnije informacije o tim sistemima mogu se naći u [9].


154

9. Slučaj. Prethodni slučaj pruža izvanredne mogućnosti da se sistem stabiliše za najkraće moguće vreme. Međutim, tu se mogu uočiti dva nedostatka. Prvi je neophod-nost modelovanja linije preključenja koja zahteva primenu složenije mreže ili računara. Drugi nedostatak leži u promenljivosti parametara sistema i neidealnosti relejnog ure-đaja za preključivanje. Problem se može rešiti korišćenjem ne parabole kao linije pre-ključenja, već prave linije na kojoj se organizuje tzv. klizni režim. Tada sistem postaje suboptimalan po brzini reagovanja. Da bi smo uočili pojavu kliznog režima smanjujmo

Sl. 6.21 Fazni portret sistema u kome se javlja klizni režim.

nagib linije preključenja, sl. 6.21, sve dotle dok nju, posle preključenja, ne tangira fazna trajektorija. Sa slike se vidi da će sve trajektorije koje presecaju liniju preključe-nja (pravu) između tačaka preseka te linije i paraboločne linije preključenja optimalog sistema imati tok kretanja bliže liniji prek-ljučenja, ukoliko je kašnjenje u preključenju manje. U graničnom slučaju, kada nema kašnjenja, fazna tačka jednostavno sklizne duž prave u stanje ravnoteže. Ukažimo da linija preključenja na kojoj se realizuje klizni režim ne mora biti prava linija, već da to može biti i linija parabo-ličnog oblika, kada se mogu ostvarivati optimalni klizni režimi.

Na osnovu kliznih režima osnovana je jedna nova klasa SAU pod nazivom sistemi promenljive strukture s kliznim radnim režimima. Ovim sistemima posvetićemo posebnu pažnju u 9. glavi, kao jednoj klasi nelinearnih sistema upravljanja u kojima je primenjena veštačka nelinearnost radi postizanja željenih osobina sistema. LITERATURA

1. Бесекерски В. А., Попов, Е. П.: Теория систем автоматического регули-рования, «Наука», Москва,1972.

2. Гельднер, К., Кубик, С.: Нелиненые системы управления, «Мир», Москва,1987 3. Гольдфарб, Л. С.: Конспект лекций по курсу теории автоматического

управления, МЭИ, Москва, 1962. 4. Мишкин, Э., Браун, Л. (ред.): Приспосабливающиеся автоматические систе-

мы, Издателство иностранно литературы, Москва, 1963. 5. Netushil, A. (Edit.): Theory of Automatic Control, Mir Publisher, Moscow,

1978. 6. Сю, Д., Мейер, А.: Современная теория автоматического управления,

«Машиностроение», Москва, 1972. 7. Траксел, Дж.: Синтез систем автоматического регулирования, «Машгиз»,

Москва, 1959. 8. Фельдбаум, А. А.: Теоретические основы связи и управления, «Физматгиз»,

Москва, 1963. 9. Понтрягин, Л. С., Болтянский, В. Г., Гамкрелидзе, Р. В., Мищенко, Е. Ф.:

Математическая теория оптимальных процессов, «Наука», Москва, 1969.


155

Pitanja za samoproveru 1. Metodu fazne ravni je uveo francuski naučnik _____________, a do detalja je

razradio ruski naučnik ______________. 2. Fazna tačka predstavlja _______________ sistema u određenom vremenskom

trenutku. 3. Fazne trajektorije su ______________________u faznoj ravni po kojima se

__________________sistema. 4. Fazne trajektorije su orjentisane u pravcu _________________________. 5. Fazne trajektorije presecaju x1 osu pod ___________________ uglom. 6. Singularne tačke faznih portreta korespondiraju _____________ stanju sistema. 7. Po definiciji, fazni portret je skup _______________________ pri različitim

početnim uslovima. 8. Fazni portret tipa centra implicira da su sopstvene vrednosti sistema

_____________. 9. Fazni portret tipa sedla implicira da su koreni karakteristične jednačine sistema

_____________________________. 10. Fazni portret tipa stabilnog (nestabilnog) fokusa implicira da su sopstvene vrednosti

matrice stanja sistema _______________ ( _____________). 11. Fazni portret tipa stabilnog (nestabilnog) čvora implicira da su koreni

karakteristične jednačine _____________________ (_______________________). 12. Granični krug u faznom portretu nelinearnog sistema je ____________________

________________. 13. Nagib faznih trajektorija je definisan u svakoj tački prostora stanja osim u tzv.

________________________. 14. Faznom portretu tipa centra korespondira _____________ način promene faznih

koordinata. 15. Faznom portretu tipa stabilnog (nestabilnog) fokusa korespondira _____________

(______________________) način promene faznih koordinata. 16. Faznom portretu tipa stabilnog (nestabilnog) čvora korespondira _____________

(______________________) način promene faznih koordinata. 17. Singularne trajektorije faznih portreta tipa stabilnog/nestabilnog čvora su

______________ linije koje imaju ____________/ ____________ nagib. 18. Singularne trajektorije faznog portreta tipa sedla su ____________ linije koje imaju

_________________________ nagib. 19. Fazni portret nelinearnog sistema čija se nelinearnost može predstaviti linearnim

segmentima može se dobiti ______________ faznih portreta odgovarajućih linearnih sistema.

20. Linearni sistem drugog reda ima matricu stanja datu u kompanjon formi i fazni portret tipa sedla. Kada se matrica stanja sistema transformiše u dijagonalni oblik, fazni portret sistema će biti tipa _____________.

21. Za dobijanje faznih portreta nelinearnih sistema ranije se koristila grafička metoda koja se zove ___________________________.


156

Zadaci za vežbu 1. Linearni sistem drugog reda opisan funkcijom prenosa 122 )2()( −ω+ζω+= nnsssW

Napisati jednačine faznih trajektorija sistema, koristeći: A) model sistema dobijen direktnim programiranjem; B) model sistema u dijagonalnom obliku, za slučajeve:

a) polovi su imaginarni; b) polovi su realni i istog znaka; c) polovi su realni i različitog znaka; d) polovi su konjugovano kompleksni sa negativnim realnim delom; e) polovi su konjugovano kompleksni sa pozitivnim realnim delom.

2. Nelinearni sistem osnovne strukture ima linearni deo opisan funkcijom prenosa oscilatornog elementa drugog reda čiji su polovi 11 j±− . Nelinearni deo sistema je:

a) idealni rele sa Uo =2; b) rele sa mrtvom zonom, čiji su parametri .2 ,1 ==λ oU ;

c) rele s histerezisom .2 ,1 ==λ oU ;

d) rele s histerezisom i mrtvom zonom .2 ,1 ;2,0 ==λ=ε oU

Konstruisati fazne portrete ovih sistema i odrediti tipove ravnotežnih stanja.

3. Nelinearni sistem osnovne strukture ima linearni deo opisan funkcijom prenosa koja predstavlja rednu vezu integracionog elementa i inercijalnog elementa prvog reda (T=1 s). Nelinearni deo sistema je:


c) rele s histerez isom .2 ,1 ==λ oU ;



4. Nelinearni sistem osnovne strukture ima linearni deo opisan funkcijom prenosa koja predstavlja rednu vezu integracionog elementa i inercijalnog elementa prvog reda (T=1 s) i predikcionog elementa prvog reda (T=2 s). Nelinearni deo sistema je:


c) rele s histerezisom .2 ,1 ==λ oU ;



Glava 7: Metoda harmonijske linearizacije. Opisna funkcija 157

7.1 Uvod 157

7.2 Određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije 159 7.3 Primena kriterijuma Mihajlova za utvrđivanje

parametara samooscilacija 162 7.4 Primena kriterijuma Nikvista za utvrđivanje

parametara samooscilacija. Metoda Goljdfarba 163

Literatura 167



a

Glava 7.

METODA HARMONIJSKE LINEARIZACIJE. OPISNA FUNKCIJA

7.1 Uvod Kao što je u petoj glavi rečeno, u SAU se često namerno unose neline-arnosti radi postizanja posebnih karakteristika, kao što su: veća brzina reagova-nja, visoka pouzdanost, ekonomičnost i dr. Sa stanovišta jednostavnosti kon-strukcije, pouzdanosti, brzine ragovanja i, naročito, niske cene koštanja, poseb-no se ističu sistemi automatske regulacije (SAR) s regulatorima relejnog tipa (dvopozicioni i tropozicioni regulatori s histerezisom ili bez njega). Sistemi ovog tipa imaju široku primenu u regulaciji električih mašina (generatora, motora), u sistemima za regulaciju temperature i drugih parametara tehnoloških procesa. Bez obzira na tehniku realizacije (bimetalni rele, elektromehanički rele, kontaktor, elektronski rele) osnovna osobina im je suštinska nelinearna karak-teristika. U sistemima s takvom karakteristikom nije moguće primeniti metodu diferencijalne linearizacije za izučavanje ponašanja sistema s povratnom spre-gom u okolini ravnotežnog stanja. Dugogodišnja praksa korišćenja sistema s relejnim regulatorima pokazala je da njihov normalni stacionarni režim rada je, zapravo, dinamički režim u kome se javljaju samooscilacije. Za projektanta regulatora s relejnim elektromeha-ničkim elementom je, tada, od prvorazredne važnosti amplituda i frekvencija tih samooscilacija. Prva veličina definiše zonu odstupanja regulisane promenljive od srednje vrednosti i, prema tome, tačnost, dok je druga veoma bitna za životni vek regulatora, jer se on za elektromehaničke releje (kontaktore) određuje ukupnim brojem preklapanja. U cilju utvrđivanja egzistencije stabilnih periodičnih kretanja, njihovih am-plituda i frekvencija, a na bazi teorije sistema s povratnom spregom, osnovna ideja koja se nameće, a koju su iskoristili Goljdfarb, u Rusiji, Kohenberger, u SAD, i Tastin, u Velikoj Britaniji, je da se sistem posmatra kao oscilator. Nai-


158

me, ako se u sistemu javljaju stabilne samooscilacije, on se tada nalazi na osci-latornoj granici stabilnosti i može se primeniti Nikvistov ili Mihajlovljev uslov oscilovanja sistema. Ali problem nije tako jednostavan, jer sistem nije linearan. Svodeći nelinearni sistem na osnovnu strukturu: linearni deo plus nelinearnost, kako je u V glavi rečeno, potrebno je, za primenu navedenih kriterijuma, izvršiti linearizaciju sistema odnosno nelinearnog elementa. Kako diferencijalna linearizacija nije moguća, bilo je potrebno primeniti druge načine za rešenje ovog problema. Primena metode faznog prostora nije pogodna zbog grafičkog prilaza i zbog nemogućnosti njene praktične primene na sisteme višeg reda. Spasonosno rešenje je pronađeno u primeni hipoteze niskopropusnog filtra i Furijeve harmonijske analize. Naime, linearni deo sistema, koji predstavlja ob-jekat regulacije u širem smislu (izvršni organ, objekat, merno-pretvarački element) ima izrazite osobine niskopropusnog filtra. On značajno slabi više frekvencije, a niske prenosi s neznatnim slabljenjem ili bez slabljenja. Pretpostavlja se da na izlazu objekta (sistema) imamo prostoperiodičan signal, x t A t( ) sin= ⋅ Ω , (7.1) koji, sa suprotnim znakom, dolazi na ulaz nelinearnog elementa (razmatra se autonomni sistem, r(t)=0). Ovaj signal prouzrokuje na izlazu NE složeno- periodičnu funkciju koja se, primenom Furijeove analize, može rastaviti na jednosmerni i niz harmonijskih signala, tj. u t F A t A t C A t B t A t( ) ( sin , cos ) sin cos sin ..= = + + + +Ω Ω Ω Ω Ω Ω0 1 1 2 2 (7.2) Dalje ćemo uvesti dva ograničenja: (i) smatraćemo da su nelinearne funkcije simetrične u odnosu na x- osu i (ii) da je karakteristika nelinearnosti simetrična u odnosu na koordinatni početak u x0u-ravni. Tada je jednosmerna komponenta izlaznog signala NE jednaka nuli, a F(-x)=-F(x). S obzirom na hipotezu da je linearni deo sistema niskopropusni filter, u daljoj analizi se zanemaruju svi harmonici osim prvog, a problem se rešava nalaženjem jednog oblika frekvencijske funkcije prenosa nelinearnog elementa. Polazeći od izraza (7.2) u t F A t A t A t B t( ) ( sin , cos ) sin cos= = +Ω Ω Ω Ω Ω1 1 , (7.3) i zamenjujući u njemu sinΩt i cosΩt , izvedenih iz (7.1) neposredno i posle diferenciranja, respektivno, dobijamo

u t A x tA

BA t

x t( ) ( ) ( )= +1 11Ω

dd

. (7.4)

Iz (7.4) se vidi da je dobijena linearna zavisnost između ulaznog x(t) i izlaznog u(t) signala nelinearnog elementa. Ova linearna zavisnost je približna i ona važi samo ako je ulazni signal harmonijski. A1 i B1 su koeficijenti Furijeve analize koji se određuju po formulama:

.)d(cos)cos,sin(1

,)d(sin)cos,sin(1

2

0 1

2

0 1

∫

∫π

π

ΩΩΩΩΩπ

=

ΩΩΩΩΩπ

=

tttAtAFB

tttAtAFA (7.5)

Sada se (7.4) može napisati u obliku

Glava 7.: Metoda harmonijske linearizacije

159

u t N A x t N AA t

x t( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )= +1 2dd

Ω ΩΩ1 , (7.6)

gde su:

∫

∫π

π

ΩΩΩΩΩπ

=

ΩΩΩΩΩπ

=

2

0 2

2

0 1

)d(cos)cos,sin(1

,)d(sin)cos,sin(1

tttAtAFA

N

tttAtAFA

N (7.7)

koeficijenti harmonijske linearizacije nelinearnog elementa. Ove koeficijente smo ranije (poglavlje 5.5.3) odredili na sasvim drugačiji način, polazeći od minimuma srednje kvadratne greške, što njima daje poseban značaj. Primenjujući na poslednji izraz Laplasovu transformaciju dobija se relacija

W s U sX s

N A N A sNE ( )

( )( )

( , ) ( , )= = +1 2Ω ΩΩ

, (7.8)

koja je u literaturi dobila naziv opisna funkcija (engl.:describing function, ruski: oписивaющaя функция) harmonijski linearizovanog nelinearnog elementa. Sada se, formalno, mogu primeniti metode analize linearnih sistema. Međutim, pre nego što pređemo na te metode treba upozoriti na dve važne činjenice: (i) metoda je utoliko tačnija ukoliko je hipoteza o niskopropusnom filtru istinitija; ona može dati pogrešne zaključke ukoliko se o tome ne vodi računa; (ii) u određenim, istina veoma retkim, slučajevima mogu se javiti subhar-monijske oscilacije, tj oscilacije nižih frekvencija od osnovne.

7. 2 Određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije Za utvrđivanje parametara samooscilcija potrebno je, najpre, pokazati postu-pak određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije. Iako u mnogim publi-kacijama, koje tretiraju ovu oblast, postoje tablice koeficijenata harmonijske linearizacije za mnoge tipične nelinearnosti, u praksi se mogu sresti nelinearni elementi neobuhvaćeni raspoloživim tabelama. Zato ćemo prikazati postupak određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije na opštoj, tipičnoj nelinear-nosti histerezisnog tipa s mrtvom zonom, pomoću koje se, izmenom parametara

Sl. 7.1 StatIčka karakteristika NE.

mogu generisati mnoge tipične nelinearne karakteristike. Neka je dat NE čija je statička karakteristika prikazana na sl. 7.1. U cilju određivanja koeficijenata harmonijske linearizacije, na ulaz elementa se dovodi sinusoidalni signal. Grafič-kom konstrukcijom, sl. 7.2, određuje se oblik izlaznog signala u F A t= ( sin ).Ω Zatim, anali-tičkim putem, primenjujući definicione obrasce (7.7), nalazimo tražene koeficijente:

=ΩΩΩπ

=ΩΩΩπ

=Ω ∫∫ππ

0

2

0 1 )d( sin)sin(2)d( sin)sin(1),( tttAFA

tttAFA

AN


160

∫∫∫ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψΩΩ+ΩΩ+ΩΩ

π4

3

3

2

2

1

2

2 ;)d( sin)d( sin)d( sin2 ][ ttkAttcttkA

A

gde su:

.arcsin,arcsin,arcsin,arcsin 4321 AAkUk

AkUk

Aoo λε

−π=ψ+λε

−π=ψ+λ

=ψλ

=ψ

Integraleći prethodni izraz, vršeći zamene granica, i uzimajući u obzir da je

Sl. 7.2 Grafički prikaz transformacije harmonijskog prostoperiodičnog signala u složenoperiodični signal korišćenjem nelinearnog elementa.

=))(arcsin(sin mm i 21))(cos(arcsin mm −= , posle sređivanja, dobija se:

.02

20

2

200

2

2

2

2

2

200

2

200

001

,)(

)(1)(

)(121

)(1)(

)(1

)()(

1

arcsinarcsinarcsinarcsin

kk

AU

kAkU

kAkU

kAU

AA

AAkAkU

kAkU

kAkU

kAkU

AAkAkU

kAkUkN

λ+≥

λε+−+

λ+−+

λ−

λ

+λε

−λε

+λ+

−λ+

−λε+

−λε+

−λ

−λε

−λ+

+ λε+

π=

(7.9)

Na sličan način se može dobiti i N2. Međutim, nije neophodno primenjivati ovakav glomazan prilaz, jer se ovaj koeficijent određuje elementarno na osnovu oblika statičke karakteristike NE. Lako se može pokazati da je koeficijent harmonijske linearizacije N2 propor-cionalan površini koju zahvata statička karakteristika NE. Zaista, neka je ova karakteristika histerezisnog tipa, sl. 7.3, i neka na ulazu deluje signal x=AsinΩt.


161

Sl. 7.3. Statička karakteristika

nejednoznačne nelinearnosti.

Odakle sledi da je

dd

1 dd(

xt

A t tA

xtΩ

Ω ΩΩ

= ⇒ =cos cos)

.

Na osnovu izraza (7.7) za N2 imamo:

NA

F A t xA t

t2

21 dd(

d(= =∫π

π( sin )

))Ω

ΩΩ

0

1d d

21 2

πAF A t x F A t x

C C[ ]( sin ) ( sin )Ω Ω∫ ∫+ =

(8.10) ,d)sin(122

21ASxtAF

A CC π−=Ω

π ∫+

][

jer je konturni integral u zagradama ravan povr-šini S koju obuhvata kriva NE, a znak minus je

zbog toga što se kontura obilazi u suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu. Kao posledica ovoga sledi zaključak: Koeficijent hatrmonijske linearizacije N2(A,Ω) je proporcionalan (koeficijent proporcionalnosti je −( / )1 2πA ) površini koju zahvata statička karakteristika nelinearnog elementa. Jednoznačne nelinearnosti imaju N2=0.

Sl. 7.4. Statička karak-teristika NE za primer 7.2.

Primer 7.1. Odrediti koeficijent harmonijske linea-rizacije N2 za nelinearnost sa sl. 7.1. Na osnovu ralacije (7.10) je

= -( - )

, +oN

U

AA

U kk

o2 2

2 1 ε λ

π

λ≥ . (7.11)

Primer 7.2. Odrediti koeficijente harmonijske line-arizacije za nelinearnost čija je statička karakteristika prikazana na sl. 7.4.

0 1 2 3 40

10

20

30

40

50

60

70

λ=0,5

N 1(A)

A Sl. 7.5. Zavisnost N1(A) za nelinearnost

sa sl. 7.4, za λ=0,5.

Koeficijenti se mogu odrediti iz (7.9), zamenjujući ε=1, i k=∞ pa je:

. ,0

,14

2

2

2

1

λ≥=

λ−

π=

ANAA

UN o (7.12)

Na sl. 7.5 prikazan je dijagram zavisnosti N1(A) za λ=0,5.


162

7.3 Primena kriterijuma Mihajlova za utvrđivanje parametara samooscilacija Iz teorije linearnih sistema je poznato da će se sistem s negativnom pov-ratnom spregom naći na oscilatornoj granici stabilnosti ako hodograf Mihajlova prolazi kroz koordinatni početak D(jω)-ravni. Uslovi pri kojima se to događa utvrđuju se lako. Zamenom u karakterističnom polinomu sistema D(s) s sa jω, rastavljanjem realnog i imaginarnog dela i njihovim simulatanim izjednača-vanjem s nulom dobija se sistem od dve algebarske jednačine, na osnovu koga se mogu odrediti dva parametra: frekvencija i amplituda samooscilacija. Za nelinearni sistem ovaj prilaz je prvi primenio ruski naučnik E. P. Popov. Koristeći opisnu funkciju WNE(s) nelinearnog elementa i prenos linearnog dela sistema, karakteristična jednačina sistema postaje: 1 NE+ =W s W s( ) ( ) 0 , (7.13) ili

1 1 2+ + =[ ]N A N A s W s( , ) ( , ) ( )Ω ΩΩ

0 ,

odnosno

Q j N A N A j P j( ) ( , ) ( , ) ( )ωω

ω+ + =[ ]1 2Ω ΩΩ

0 , (7.14)

posle zamene W(s)=P(s)/Q(s) i s=jω. Obratimo pažnju na sledeću činjenicu: ukoliko postoji rešenje (7.14), za neko realno ω, to ω mora biti jednako Ω, jer smo u procesu dobijanja opisne funkcije smatrali da u sistemu egzistiraju samooscilacije te frekvencije. Na taj način, prethodni izraz postaje D A j Q j N A jN A P j( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )Ω Ω Ω Ω Ω= + + =[ ]1 2 0 . (7.15) ili

.0),(Im

,0),(Re=Ω=Ω

jADjAD

(7.16)

Ako u analiziranom sistemu postoje samooscilacije, ovaj sistem algebarskih jednačina imaće realna rešenja po Ω i A, koja se smatraju približnim, ali za praktičnu primenu dobrim rešenjima postavljenog problema. Ukoliko postoje realna rešenja date jednačine to još uvek ne znači da će u sistemu i zaista egzistirati takve stabilne oscilacije. Naime, od više mogućih rešenja koja se dobijaju iz algebarskih jednačina, treba izabrati samo ona koja su stabilna. Nestabilna rešenja ukazuju na eventualno prolazno pojavljivanje samooscilacija koje brzo iščezavaju, odnosno da sistem ulazi privremeno u nestabilni granični krug. Stabilna rešenja ustvari predstavljaju stabilan granični krug u posmatranom nelinearnom sistemu. Stabilnost tog graničnog kruga se proverava, takođe, na osnovu kriterijuma stabilnosti Mihajlova na sledeći način. Pretpostavimo da hodograf Mihalova prolazi kroz koordinatni početak D(jω)-ravni i da je došlo do male perturbacije amplitude za iznos ±δA. Ako se sa povećanjem (smanjenjem) amplitude kriva Mihajlova pomera u pravcu nestabilnosti (stabilnosti) onda dobijena rešenja nisu stabilna. U suprotnom


163

slučaju dobijena rešenja su stabilna. Ovo se može utvrditi i analitičkim putem, primenom formule

∂∂

∂∂Ω

∂∂Ω

∂∂

Re Im Re Im* * * *

A A

−

> 0 , (7.17)

čije ispunjenje garantuje stabilnost samooscilacija. Ovde * označava da se u izvodima Re),(Re =ΩjAD i Im),(Im =ΩjAD zamenjuju nađene vrednosti za A i Ω. Relacija (7.17) se može dokazati analitički. Primer 7.3. Odrediti da li u sistemu čiji je linearni deo opisan funkcijom prenosa

0,4= ;6,0 ; 100;)12(

)( 122 ζ==

+ζ+= − TsK

TsTssKsW ,

a nelinearnost je tipa idealnog releja, sl. 6.7a, postoje samooscilacije? Ako one postoje, utvrditi njihove parametre (A, Ω). Karakteristični polinom sistema se dobija kao brojilac izraza

A

UTsTss

Kπ+ζ+

+ o22

4)12(

1 ,

što daje, posle njegovog svođenja na zajednički imenilac,

A

KUsTsTssD o

π++ζ+=

42)( 223 .

Zamenjujući u D(s) s=jω, rastavljajući dobijeni izraz na realni i imaginarni deo i simultano ih izjednačavajući s nulom, dobijaju se relacije

4

2 2

2 3

KUA

T

T

oπ

ζ ω

ω ω

− =

− =

0

0

,

.

Iz druge relacije se dobija netrivijalno rešenje T/1=Ω=ω , što zamenom u prvu rela-

ciju daje AKU To=

2

πζ ili A

UKT

o=

2πζ

. Za date parametre je 1s 1,66 −=Ω ,

A U= 95,5 o , Primenom (7.17) lako se utvrđuje da su oscilacije stabilne, jer je

.0)*21()*Im/(

,0)*/4()*Re/( ,0)Im/(22

2

<Ω−=Ω∂∂

<π−=∂∂=∂∂

T

AKUAA o

7.4 Primena kriterijuma Nikvista za utvrđivanje parametara samooscilacija. Metoda Goljdfarba Ruski naučnik Goljdfarb L. S. je, koristeći metodu harmonijskog balansa, čiju su ideju iskazali tridesetih godina Krilov i Bogoljubov, primenio Nikvistov kriterijum stabilnosti za određivanje parametara oscilacija nelinearnog sistema. Kao što znamo, sistem je po Nikvistu na oscilatornoj granici stabilnosti, ako Nikvistova kriva prolazi kroz kritičnu tačku (-1, j0). Kako se Nikvistova kriva dobija iz funkcije povratnog prenosa sistema kao amplitudno-fazno-frekven-cijska (kraće: amplitudno-fazna) karakteristika sistema bez povratne sprege,


164

tada se, koristeći opisnu funkciju nelinearnog elementa i funkciju prenosa linearnog dela sistema može napisati polazna relacija W j N A( ) ( ) 1ω ,Ω = − , (7.18) na osnovu koje sledi ekvivalentna relacija

W jN A

( ) =1

( )ω −

,Ω (7.19)

ili

N AW j

( ) =1( )

,Ω −ω

. (7.20)

Ove relacije se mogu rešavati grafo-analitički, odnosno primenom računara. Postupak je jednostavan. U kompleksnoj ravni frekvencijske funkcije prenosa linearnog dela sistema konstruiše se amplitudno-fazna karakteristika W(jω), na koju se nanose vrednosti ω kao tekućeg parametra. U istoj ravni se konstruiše inverzna karakteristika nelinearnog elementa s negativnim znakom, -1/N(A,Ω), na koju se nanose vrednosti amplitude A kao promenljivog parametra. Ako u sistemu postoje samooscilacije postojaće i presek datih grafika (karakteristika), jer će samo tada biti zadovoljena relacija (7.19). Na karakteristici W(jω) se, u tački preseka grafika, očita frekvencija samooscilovanja ω = Ω , a na karakte-ristici -1/N(A,Ω) vrednost amlitude A samooscilacija sistema. Međutim, samo postojanje preseka karakteristika ne garantuje egzistenciju stabilnih oscilacija. Krive se mogu presecati međusobno u dve ili više tačaka, što implicira različite frekvencije i/ili amplitude samooscilacija. Koja će od tih vrednosti parametara samooscilacija (A,Ω) stvarno egzistirati u sistemu pot-rebno je utvrditi naknadnim ispitivanjem stabilnosti tih samooscilacija. Metoda ispitivanja stabilnosti parametara samooscilacija u presecima karak-teristika utvrđuje se na osnovu sledećeg kriterijuma koji nije analitički dokazan, ali nije ni ustanovljena njegova netačnost u praktičnoj primeni1. Naime, posma-trajući kao kritičnu tačku, u smislu Nikvistovog kriterijuma, tačku preseka posmatranih karakteristika, a kao Nikvistovu krivu amlitudno-frekvencijsku karakteristiku linearnog dela sistema, uvedimo perturbaciju amplitude samo-oscilacija na karakteristici nelinearnog elementa za mali iznos ±δA. Ako se s povećanjem (smanjenjem) amplitude kritična tačka izmešta van (unutar) Nikvistove krive, uz stabilnost linearnog dela sistema, tada je presečna tačka - tačka stabilnih oscilacija. U suprotnom slučaju oscilacije su nestabilne i mogu se samo pojaviti u prelaznim režimima kao kratkotrajne oscilacije. Datu metodu utvrđivanja samooscilacija i njihovih parametara ilustrovaćemo na sledećim primerima: Primer 7.4.

Funkcija prenosa linearnog dela sistema je W ss s

( ) =+

12 (1 )

, a nelinearnost je pos-

1 Ovaj prilaz daje samo potrebne ali ne i dovoljne uslove stabilnosti. Međutim, u većini praktičnih primena on daje i dovoljne uslove stabilnosti [4].


165

sledica primene dvopozicionog regulatora (rele s histerezisom, sl. 7.5). Odrediti da li u datom sistemu postoje stabilne samooscilacije i, ako postoje, naći njihove parametre za:Uo=π, λ=1. Amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela ima izraz:

)1(2

1)1(2

1)( 22 ω+ω−

ω+−=ω jjW .

Koeficijenti harmonijske linearizacije se mogu dobiti iz izraza (7.9) i (7.10) za:

Sl. 7.5 Statička karakteristika NE u

primeru 7.4.

k=∞, ε=-1, tj.

20

222

20

14

)(,4

)(AU

ANAAU

ANπ

−=ε−π

= , pa je

)(4)()()( 2220

21 jAAUAjNANAN =−ε−π

=+=

1 14

14

2

N AA j

( )=

−+ .

Na sl. 7.6 prikazana je grafička konstrukcija, iz koje se vidi da postoji presek dveju karakteristika, što znači da će u sistemu postojati samooscilacije čiji su parametri: Ω= 1

s-1 i A = 41,12 = . Oscilacije su stabilne, jer dodavajući pozitivan priraštaj δA u tački

Sl. 7.6. Grafičko određivanje samooscilacija u primeru 7.4.

preseka, ona se izvlači van amplitudno-fazne karakteristike linearnog dela sistema, i obrnuto -dodavajući mali negativni priraštaj tačka se uvlači unutar amplitudno -fazne karakteristike. U ovom slučaju se lako može dobiti i ana-litičko rešenje izjednačavanjem realnih i imagi-narnih delova W(jω) i -1/N(A). Tako se dobija sistem:

.

41

)1(21

,41

)1(21

2

2

2

−=

ω+−

=ω+ω

A

Na osnovu prve relacije se dobija kubna jednačina: 023 =−ω+ω , čije je jedino realno

rešenje ω=Ω= 1 s-1, a zamenom u drugu relaciju dobija se A= 2 . Primer 7.5 Linearni deo sistema je motor jednosmerne struje s nezavisnom pobudom s rotorskim upravljanjem. Za regulaciju pozicije primenjen je rele bez histe-rezisa. Odrediti parametre samooscilacija sistema za regulator bez mrtve zone i s njom. Parametri motora su: V. 50 ,33,0 ms, 25 ms, 8 o ==== UcTT mr Analizirati ponašanje sistema u zavisnosti od širine mrtve zone λ.


166

Sl. 7.7. Samooscilacije sistema (primer

7.5) oko ravnotežnog stanja

Funkcija prenosa motora je

)1(/1)( 2 ++

=mrm

m sTTTsscsW .

Ovde ćemo iskoristiti relaciju (7.20). Iz nje, za s=jω, koristeći relaciju (7.12) sledi:

.14

)1(

20

22

)(AA

U

TTjcT rmm

λ−

π−

=ω−ω+ω−

Izjednačavajući realni i imaginarni deo leve i desne strane dobija se:

;s 1 1-

rm TT=ω

Sl. 7.8. Samooscilacije nestaju ako je širina mrtve zone veća od amplitude oscilacija sistema bez mrtve zone.

.2

1122 20 )( λπ

−±π

=or

r

UTc

cUTA

Iz ovih izraza se vidi da frekvencija oscil-ovanja ne zavisi od veličine mrtve zone relea i ona iznosi

.s 25010258/1 -16 =⋅⋅=ω − Ako je rele bez mrtve zone, λ=0, amplituda oscillacija je jedinstvena

rad 543,133,0

501084 3=

π⋅⋅⋅

=−

A .

Na sl. 7.7 prikazan je rezultat simulacije datog sistema, na kojoj se vide oscilacije ugaone pozicije θ i signal upravljanja u. Ako rele ima mrtvu zonu 2λ<1,543, u sistemu će egzistirati samooscilacije iste

frekvencije kao i bez mrtve zone dok će u suprotnom slučaju postojati samo prolazne oscilacije, sl. 7.8. Rešavajući izraz za amplitudu oscilacija, za dato λ, dobiće se dva rešenja. Neka je, na primer, λ=0,5. Tada su rešenja za A: A1 =1,3736 i A2 =0,6935. Analiza pomoću perturbacije tačaka preseka karakteristika linearnog dela i nelinearnosti pokazuje da je presek s manjom amplitudom nestabilan, a s većom - stabilan. Prema tome, parametri oscilacija su:

rad. 1,3736=A ,s 5,70 -1=Ω U slučaju da u funkciji prenosa linearnog dela sistema postoji još neki pro-menljivi parametar, tada se može primeniti isti grafoanalitički postupak za različite diskretne vrednosti tog promenljivog parametra, i da se izbor optimalnih vrednosti parametara vrši u parametarskoj ravni [5].


167

LITERATURA [1] Бесекерски В. А., Попов, Е. П.: Теория систем автоматического регулирования,

«Наука», Москва,1972. [2] Воронов, А. А.: Основы теории автоматического управления: Особые линейные

и нелинейные системы, «Энергоиздат», Москва, 1981. [3] Гельднер, К., Кубик, С.: Нелинейные системы управления, «Мир», Москва,1987 [4] Netushil, A. (Edit.): Theory of Automatic Control, Mir Publisher, Moscow,

1977. [5] Stojić, M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, "Naučna knjiga",

Beograd, 1990. [6] Сю, Д., Мейер, А.: Современная теория автоматического управления,

«Машиностроение», Москва, 1972.

Pitanja za samoproveru 1. Metoda harmonijske linearizacije se zasniva na hipotezi ___________________.

2. Metoda harmonijske linearizacije ne može se koristiti ako je linearni deo sistema nižeg reda od _________.

3. Koeficijenti harmonijske linearizacije N1 i N2 su definisani sledećim izrazima: ________________________; _____________________________.

4. Opisna funkcija je definisana izrazom _______________________________.

5. Metoda harmonijske linearizacije se koristi za odredivanje parametara __________ _________________ u sistemu upravljanja.

6. Za utvrđivanje ____________________ u nelinearnom sistemu primenjuju se dve metode i to: _________________________ i ___________________________.

7. Osnovna relacija za primenu metode MIhajlova za nelinearni sistem je data izrazom________________________.

8. Stabilnost samooscilacija, kada se primenjuje metoda Mihajlova, određuje se po formuli ____________________________________.

9. Osnovna relacija za primenu metode Goдjfarba je data izrazom ____________ ili ___________.

10. Po metodi Goljdfarba amplituda samooscilacija se određuje na osnovu ________ ________ , a frekvencija samooscilacija- na osnovu _______________________.

11. Koeficijent harmonijske linearizacije N2 se određuje na osnovu ______________ _______________ po formuli____________________.

12. Jednoznačne nelinearnosti imaju samo _________ koeficijent harmonijske linearizacije.

13. U nelinearnom sistemu _______________ postojati __________________ subharmonijske oscilacije.

14. Za određivanje koeficijenta harmonijske linearizacije N1 koristi se definicioni obrazac uz odgovarajući _____________________ postupak.


168

Zadaci za vežbu 1. Odrediti koeficijente harmonijske linearizacije za nelinearnosti date na sl. 7.9:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Sl. 7.9 2. Za sisteme prikazane na slikama 7.18-7.20 primenom metode harmonijske

linearizacije ispitati da li u njima postoje samooscilacije oko ravnotežnog stanja. Ako oscilacije postoje odrediti njihove parametre i stabilnost.

2.1 Sl. 7.10

2.2 Sl.7.11

2.3 Sl. 7.12

Glava 8: Stabilnost nelinearnih sistema 169

8.1 Definicija stabilnosti nelinearnih sistema 169

8.2 Definicija stabilnosti po Ljapunovu 172

8.2.1 Prva (indirektna) metoda Ljapunova 175

8.2.2 Druga (direktna) metoda Ljapunova 177

8.3 Lurjeov problem 181

8.4 Frekvencijska metoda Popova 184

8.4.1 Geometrijska interpretacija kriterijuma popova 187

8.4.2 Modifikacija kriterijuma stabilnosti Popova 189 8.4.2.1 Cipkinov parabolični kriterijum apsolutne stabilnosti 190

8.4.3 Apsolutna stabilnost sistema sa nestacionarnom nelinearnošću 192

8.5 Stabilnost prinudnih procesa u nelinearnim sistemima 193

Literatura 199



a

Glava 8.

STABILNOST NELINEARNIH SISTEMA

8.1 Definicija stabilnosti nelinearnih sistema Kod linearnih SAU stabilnost se može definisati na dva načina koja, konačno, daju isti rezultat. Po prvoj definiciji koju smo koristili,

linearni sistem je stabilan ako je njegova reakcija (odziv) na ograničeni ulazni signal ograničena.

Po drugoj, sistem je stabilan ako se po izvođenju iz ravnotežnog stanja i prepuštanju samom sebi ponovo vraća u blisku okolinu tog stanja.

Kako u prvoj, tako i u drugoj definiciji stabilnosti ne definiše se veličina ograničenog signala, odnosno mera izvođenja iz ravnotežnog stanja. U drugom slučaju se radi, de facto, o kretanju sistema na račun nenultih početnih uslova, tj. o kretanju autonomnog sistema, a u prvom - o neautonomnom sistemu. Prema tome, stabilnost linearnog sistema ne zavisi od tipa pobude ili od tipa poremećaja, pod pretpostavkom da su oni ograničeni, tj. ona ne zavisi od toga da li je sistem autonoman ili podvrgnut dejstvu ograničenih poremećaja. Kod nelinearnih SAU stvari stoje drugačije. Navedene definicije nisu ekvivalentne, što ćemo pokazati na jednom prostom primeru nelinearnog dinamičkog sistema prvog reda čiji je matematički model

,<const<0 ,)(

∞=−

−= atua

xx& (8.1)

gde je u(t) - signal upravljanja. Na osnovu (8.1) jasno je da će autonomni sistem (u(t)=0) biti stabilan, dok će neautonomni biti stabilan za sve vrednosti u t a( ) < , a nestabilan za sve vrednosti u t a( ) ≥ iako je ulaz u(t) ograničen.


Na osnovu ovog primera izvlači se zaključak da koncept stabilnosti s ograničenim pobudnim signalima za nelinearne sisteme nije sveobuhvatan, odnosno nije globalan. Zbog toga se može govoriti samo o stabilnosti ili nestabilnosti u određenim oblastima, za određene opsege ulaznih signala ili počenih uslova, tj. u opštem slučaju samo o lokalnim oblicima stabilnosti, a u parcijalnim slučajevima, o globalnoj stabilnosti. Do sličnih zaključaka se može doći primenjujući i drugi koncept stabilnosti preko autonomnog sistema. Naime, pretpostavimo da imamo nelinearni sistem opisan diferencijalnom jednačinom (8.2) ,0const,,0)()()()( 2 >==+−+ mktxtxmtxktx &&& ][poznatom kao Van der Polova jednačina. Ona opisuje elektronski oscilator. To je nelinearna diferencijalna jednačina drugog reda čiji je koeficijent uz prvi iz-vod zavisan od promenljive stanja. Stanje ravnoteže je jedinstveno

. Iz (8.2) se vidi da će proces biti nestabilan u oblasti malih vrednosti x, kada je x

)0,0(),( =xx&2<m, jer će “koeficijent viskoznog trenja” biti negativan.

To znači da će se promenljiva x uvećavati. Međutim, kada je x2>m tada, nasu-prot prethodnom, diferencijalna jednačina (8.2) je stabilna pa će stanje sistema težiti nuli. Iz ovoga se vidi da će u sistemu egzistirati stabilan granični krug kao singularna trajektorija u ovom nelinearnom sistemu. Za određivanje parametara tog graničnog kruga (amplitude i frekvencije) može se primeniti metoda har-monijske linearizacije. Za njenu primenu, u ovom slučaju, potrebno je formirati sistem s povratnom spregom čija je karakteristična jednačina oblika (8.2), a koji poseduje linearni element (LE) s osobinama niskopropusnog filtra (NF) i neli-

Sl. 8.1. Van der Polov oscilator.

nearni element (NE). Ta kom-pozicija sistema prikazana je na sl. 8.1. LE ima izražene osobine NF filtra, jer je njegova amplitudno-frekvencijska karakteristika data izrazom

222 )()1(

1)(ω+ω+

=ωkm

A ,

te se metoda harmonijske linearizacije može primeniti. Ovde nećemo određivati koeficijente harmonijske linearizacije na prethodno opisani način, već ćemo potražiti izraz za izlaz nelinearnog elementa, u, kada se na njegov ulaz dovodi harmonijski signal , x t A t( ) sin= Ω

[ ]

).3cos(cos41)cos33(cos

41cos

)cos(coscos)cos1(

cossin)sin(sin)sin(

33

3323

232

ttAtttA

ttAttA

ttAtAdtdtAtAu

Ω−ΩΩ−=

Ω+Ω−ΩΩ−

=Ω−ΩΩ−=ΩΩ−Ω−

=ΩΩΩ−=

Ω−Ω=Ω

170

Glava 8.: Stabilnost nelinearnih SAU

Zanemarujući treći harmonik (zbog izraženih filterskih osobina linearnog dela) dobija se

sxAtt

AtAtAu4

sindd

4cos

4)sin(

233

−=Ω−=ΩΩ−=Ω .

Prema tome, funkcija povratnog prenosa harmonijski linearizovanog sistema je

1

4)( 2

2

+−

−=

kmss

sAkspW .

Karakteristična jednačina sistema je

01)4

(2

2 =++− smAks .

a) b)

c) d) Sl. 8.2. Fazni portreti i odzivi Van der Polovog oscilatora:

a, b) k=0,2, m=1; c, d) k=0.2, m=9. Primenjujući Mihajlovljev uslov oscilovanja dobija se mAs 2,1 1 ==Ω=ω − . Na sl. 8.2 prikazani su fazni portreti i odzivi Van der Polovog oscilatora za različite vrednosti parametara. Kao što se sa slika vidi, metoda harmonijske linearizacije je dala dobre rezultate. Međutim, ovde je najbitnije da se uoči da je

171


stanje ravnoteže ( lokalno nestabilno (nestabilno “u malom”). Pri velikim odstupanjima od stanja ravnoteže, van graničnog kruga, sistem je stabilan, jer se njegovo stanje približava stanju ravnoteže. Iz ovog primera, kao i iz prethodnog, uočava se složenost problema stabilnosti nelinearnih sistema čak i u relativno jednostavnim slučajevima, kada sistem poseduje samo jedno stanje ravnoteže. U slučaju postojanja mnogih stanja ravnoteže analiza stabilnosti se, naravno, još više usložnjava.

)0,0 21 == xx

Pre nego što pređemo na metode analize stabilnosti nelinearnih sistema koje se danas koriste, ukazaćemo na neke interesantne istorijske činjenice u okviru kojih ćemo istaći dve hipoteze. U savremenoj teoriji stabilnosti dominira direktna metoda Ljapunova za analizu stabilnosti sistema, a i mnogi postupci sinteze se na njoj baziraju. Ljapunov je svoju teoriju stabilnosti publikovao 1892. Ona je, u međuvremenu, bila “zaboravljena”. Problemi upravljanja u oblasti naoružanja i kosmičkih letova, posle Drugog svetskog rata, podstakli su intenzivno istraživanje prob-lema stabilnosti nelinearnih sistema. U Rusiji je Ajzerman predložio jedan prilaz, koji se u literaturi naziva Hipoteza Ajzermana, zasnovan na statičkoj linearizaciji nelinearnog elementa i stabilnosti tako dobijenog linearizovanog sistema. Po toj definiciji:

Ako se statički koeficijent linearizacije nelinearnog elementa nalazi u opsegu [0,K] i za te vrednosti pojačanja je linearizovani sistem stabilan, tada je i polazni nelinearni sistem stabilan.

Iako hipoteza u mnogim slučajevima daje dobre rezultate, ona je oborena na nizu primera. Međutim, odigrala je pozitivnu ulogu u teoriji stabilnosti, uvodeći pojam sektora u kome se nalazi karakteristika nelinearnog elementa. Drugu hipotezu je predložio američki naučnik Kalman (Hipopteza Kalma-na). Za razliku od Ajzermana, Kalman predlaže da se za koeficijent pojačanja linearizovane nelinearnosti usvoji ne statički, već dinamički koeficijent, dobijen diferencijalnom linearizacijom nelinearnosti. Sve ostale tvrdnje Ajzermana ostaju u važnosti. Jasno je da je ova hipoteza mnogo strožija i gotovo da rešava problem analize stabilnosti nelinearnih sistema u opštem slučaju. Međutim, i ona je oborena na jednom primeru (Fits, 1966. [12]), simulacijom na analognom računaru i analizom pomoću metode harmonijske linearizacije. Igrom slučaja, u Centralnoj biblioteci u Moskvi, jedan od istraživača je nai-šao na doktorsku disertaciju Ljapunova, tako da se u Rusiji već od 1940. god. javljaju radovi u vezi s teorijom Ljapunova, a na Zapadu tek posle 1950. god. Time započinje preporod teorije stabilnosti Ljapunova i njena opšta primena.

8.2 Definicija stabilnosti po Ljapunovu Neka se u faznom prostoru stanja ε-okolina ravnotežnog stanja xe definiše n-dimenzionalnom sferom x xe− < ε . Kaže se da je taj položaj ravnoteže stabi-lan ako sistem, započinjući kretanje iz proizvoljne δ-okoline (δ=f(ε)) tog ravnotežnog stanja, celo vreme ostaje unutar ε-okoline. Drugim rečima, položaj

172


ravnoteže je stabilan ako, pri malim perturbacijama tog ravnotežnog stanja, kretanje sistema ostaje unutar neke oblasti koja zavisi isključivo od veličine perturbacije. Stroga definicija stabilnosti po Ljapunovu je sledeća:

Neka je x=x0 početno stanje sistema u trenutku t=t0. Stanje ravnoteže je stabilno ako za bilo koje ε > 0 postoji δ > 0, zavisno samo od ε, i pri tome iz uslova x xe0 − < δ sledi x xe− < ε za svako t>t0.

Ova definicija stabilnosti po Ljapunovu ilustrovana je na sl. 8.3, kriva 1, za slučaj sistema drugog reda, kada sfera postaje krug. Primer 8.1: Sistem od dva redno vezana čista integratora obuhvaćena negativnom povratnom spregom je stabilan u smislu Ljapunova. Pri bilo kojim početnim uslovima kretanje sistema ostaje ograničeno, pošto su fazne trajektorije zatvorene krive linije (elipse), čije je maksimalno odstupanje od položaja ravnoteže definisano isključivo početnim uslovima.

Primer 8.2: Nulto stanje ravnoteže sistema opisanog Van der Polovom jednačinom je nestabilno u smislu Ljapunova.

Sl. 8.3. Ilustracija definicije stabil-nosti po Ljapunovu: trajektorije kreta-nja sistema: stabilnog 1 i asimptotski stabilnog 2

Analiza položaja ravnoteže putem faz-nih portreta kao što su stabilan fokus ili stabilan čvor, u kojima se završavaju sva kretanja sistema, pri bilo kojim početnim uslovima, omogućava da se formuliše uža klasa sistema s asimptotskom stabilnošću: Stanje sistema je asimptotski stabilno ako je ono, najpre, stabilno i ako postoji δa > 0 takvo da svako kretanje koje polazi iz δa-okoline ravnotežnog stanja teži stanju ravnoteže xe za . t → ∞ Definicija asimptotske stabilnosti je ilustrovana na sl. 8.3, kriva 2.

Napomena 8.1: U jednoj klasi nelinearnih sistema dolazak u stanje ravnoteže iz neke šire oblasti početnih uslova se odvija za konačno vreme. Takve sisteme možemo nazvati sistemima stabilnim u konačnom vremenu1. Osim navedenih definicija stabilnosti i asimptotske stabilnosti, u savremenoj teoriji stabilnosti postoje i druge kao što su orbitalna stabilnost, globalna stabil-nost, globalna asimptotska stabilnost i dr. Na primer, Van der Polov oscilator ima osobinu orbitalne stabilnosti, a pojam globalnosti obuhvata ceo prostor stanja, a ne samo mala odstupanja od položaja ravnoteže. S obzirom da nelinearni sistemi, u opštem slučaju, mogu imati veći broj (pa i bezbroj) stanja ravnoteže, uputno je uvek ukazati u odnosu na koje stanje ravnoteže se odnosi stabilnost (nestabilnost). Pri tome, razmatrajući konkretno

173

1 Cipkin je takve sisteme nazvao sistemi sa beskonačnim stepenom stabilnosti [13].


stanje ravnoteže, mi ćemo dalje ishodište koordinatnog sistema prostora stanja smeštati u posmatrano stanje ravnoteže. Primer 8.3. U cilju ilustracije problema stabilnosti različitih stanja ravnoteže, raz-motrićemo jedan primer sistema drugog reda u kome figuriše nelinearnost tipa poja-čavača sa zasićenjem (limiter), sl.8.4. Dati sistem se opisuje sledećim relacijama:

;,23

,,

212

21

1

uxxxxx

cx

−−==−=

&

&

>≤−<−

==1 za 4 1 za 41 za 4

)(

1

11

1

1

xxx

xxFu .

Stanja ravnoteže se dobijaju tako što se svi izvodi u matematičkom modelu izjednače s nulom. U datom slučaju se dobija:

.03

0,

1

2

=−=

uxx

Sl. 8.4. Nelinearni sistem s limiterom.

Zamenjujući u iz modela u ovaj sistem algebarskih jednačina dobijaju se sledeća tri stanja ravnoteže:

1. 2. 3. x1 -4/3 0 4/3 x2 0 0 0

Fazni portret sistema je dat na sl. 8.5. Svako ravnotežno stanje ima svoje osobenosti. Prvo i treće su tipa sedla, dok je drugo (nulto) stanje

Sl. 8. 5. Fazni portret sistema sa sl. 8.8.

ravnoteže tipa stabilnog čvora. Prema tome, nulto stanje ravnoteže je lokalno stabilno (stabilno za male poremećaje - stabilno “u malom”). Oblast asimptotske stabilnosti ovog stanja ravnoteže se sigurno definiše naznačenim krugom na faznom portretu. Međutim, treba istaći da će nulto stanje ravnoteže sistema biti asimptotski stabilno i za neke druge početne uslove. Na primer, za početne uslove koji se nalaze između singularnih stabilnih trajektorija druga dva fazna portreta tipa sedla (nešrafirana oblast na faznom portretu). Druga dva stanja ravnoteže su nestabilna. Složenost problema stabilnosti nelinearnih sistema se vidi i iz ovog jed-nostavnog primera. Posmatrajući dati sistem, na prvi pogled se zaključuje da će on biti stabilan samo ako je ispunjen uslov 11 <x . Na osnovu faznog portreta, dobijenog simulacijom na računaru, vidi se da će on biti stabilan i kada je taj uslov narušen, ali bitnu ulogu ima znak i veličina diferencijala x1. Ovo ukazuje na činjenicu da sve analitičke metode određivanja stabilnosti nelinearnih sistema daju samo dovoljne uslove stabilnosti.

174


Na složenost problema ukazuje i analiza stabilnosti sistema u posmatranom primeru pri delovanju referentnog ulaznog signala. Na osnovu razmatranja faznog portreta autonomnog sistema može se, na prvi pogled, doći do zaključka (pogrešnog) da će posmatrani sistem biti stabilan za sve konstantne referetne signale r t( ) < 1 !? Ako model sistema, pri delovanju konstantnog ulaza, napiše- mo u odnosu na signal greške dobićemo: ; r=const. )()(32 xFxrxx −=−−+ &&&

U oblasti x <1 , ova jednačina postaje . rxxx 32 −=++ &&&

Posmatrani sistem je drugog reda s koeficijentom relativnog prigušenja ζ=1, što znači da će odziv sistema monotono rasti do vrednosti pobudne funkcije, koja u ovom slučaju iznosi 3r. Da sistem ostane unutar linearne oblasti mora biti , što je i granica ulaznog signala pri kome je sistem stabilan. r ≤1 / 3 Iz izloženog se može zaključiti da je analiza stabilnosti nelinearnog sistema “u malom” bremenita opasnostima, ali se ovaj tip ispitivanja stabilnosti veoma često koristi u inženjerskoj praksi zbog linearizacije - analize sistema pri malim poremećajima u okolini mirne radne tačke. Zbog toga ćemo se, najpre, osvrnuti na indirektnu metodu Ljapunova, koja koristi linearizovani model nelinearnog sistema u okolini stanja ravnoteže.

8.2.1 PRVA (INDIREKTNA) METODA LJAPUNOVA Prva metoda Ljapunova je, u stvari, teorema koja definiše uslove čije ispu-njenje omogućava da se na osnovu linearizacije može vršiti ocena stabilnosti nelinearnog sistema u okolini stanja ravnoteže. Ta teorema važi samo za autonomne sisteme. Zbog toga je, najpre, potrebno razjasniti problem uticaja ulaznih signala. Ako je za sistem vektor upravljanja, u, konstantan, tada takav sistem možemo analizirati kao sistem bez ulaznog signala, pomerajući položaj ravnoteže za veličinu ulaznog signala. Drugim rečima, sistem x ,

, s nultim početnim uslovima, ima isti oblik kretanja kao autonomni sistem s pomerenim stanjem ravnoteže po x

u)f(x,x =&

0 )uf(x, ==

)uuf(x, 0==&

Bu0

u 0 = const

BuAxx +=&

1-osi. To stanje ravnoteže se određuje iz uslova Jasno je da se u slučaju linearnog sistema

položaj ravnoteže određuje realcijom .

.0x&

x A= − −1

Ako ulazni signal zavisi od vremena, onda u opštem slučaju nije moguće uvesti takvu transformaciju koja bi definisala jedinstveni položaj ravnoteže. Zbog toga se ideje Ljapunova moraju na drugi način primeniti na takve sisteme upravljanja, o čemu će biti govora u odeljku o stabilnosti procesa u nelinearnim sistemima. Za autonomne sisteme, sisteme s konstantnim ulazom i sisteme čije se parci-jalno stanje ravnoteže poznaje, stabilnost se na osnovu diferencijalne linea-rizacije određuje sledećom teoremom Ljapunova:

175


Neka je za autonomni sistem x jednačina poremećenog stanja f(x)=&

ravnoteže x oblika e ),,( xxh δexxfx +δ∂∂

=&δ pri čemu je

=∂∂

nnnn

n

n

xfxfxf

xfxfxfxfxfxf

d/d...d/dd/d....d/d...d/dd/dd/d...d/dd/d

21

22212

12111

xf ; lim

( , )δ

δδxex→

=0

h x x0 ;

ako jednačina linearizovanog sistema xxfx δ∂∂

=&δ :

a) ima sve leve sopstvene vrednosti, tada je posmatrano stanje ravnoteže asimptotski stabilno; b) ima makar i jednu desnu sopstvenu vrednost, tada posmatrano stanje ravnoteže nije stabilno; c) postoje neke sopstvenu vrednosti na imaginarnoj osi, a sve ostale su leve, tada se o stabilnosti sistema u okolini stanja ravnoteže ne može suditi na osnovu linearizacije, već je potrebno primeniti druge metode.

Na osnovu ovih definicija treba očekivati da će u okolini stanja ravnoteže tip faznog portreta linearizovanog sistema biti identičan tipu faznog portreta polaznog nelinearnog sistema. U posebnom slučaju, za nelinearne sisteme drugog reda, fazne trajektorije, u okolini stanja ravnoteže, biće određene jednačinom linearizovanog sistema, uz uslov da njegove sopstvene vrednosti nisu na imaginarnoj osi. Primer 8.4. Razmotrimo sistem iz prethodnog primera. Za njegovu linearizaciju, u odnosu na svaki od tri položaja ravnoteže, uvedimo sledeću smenu:

. Za nulto stanje ravnoteže imamo: δx x x e1 1 1= − ;

δx x x e2 2 2= −

.2

,

212

21

xxxxx

δ−δ−=δδ=δ

&

&

Karakteristična jednačina ovog sistema je =0. Ona ima dvostruki levi koren s=-1, pa je po Ljapunovu takvo stanje ravnoteže asimptotski stabilno. Fazni portret u okolini ovog stanja ravnoteže je tipa stabilnog čvora.

s s2 2+ +1

U položaju ravnoteže (4/3, 0) linearizacijom se dobija

.23

,

212

21

xxxxx

δ−δ=δδ=δ

&

&

Karakteristična jednačina sistema je Njeni koreni su 1 i -3. Prema tome, ovo stanje ravnoteže je nestabilno. Do istih rezultata se dolazi i za stanje ravnoteže (-4/3, 0).

s s2 2 3 0+ − = .

Ovde treba napomenuti očiglednost nestabilnosti sistema pri većim poremećajima, kada pojačavač ulazi u zonu zasićenja. Tada se sistem raspreže i postaje sistem bez delovanja povratne sprege, s konstantnim signalom upravljanja. Stabilnost sistema je, tada, određena polovima funkcije prenosa linearnog dela sistema.

176


8.2.2 DRUGA (DIREKTNA) METODA LJAPUNOVA

Kao što smo videli, kod linearnih sistema nismo bili u stanju da određujemo korene karakteristične jednačine kao algebarske jednačine visokog stepena, te smo pribegavali primeni kriterijuma stabilnosti. Još manje smo u mogućnosti da sudimo o stabilnosti nelinearnih sistema neposrednim putem. Jedan od prilaza je već dat u vidu indirektne metode Ljapunova. Vršeći linearizaciju sistema u okolini stanja ravnoteže, problem stabilnosti svodimo na problem stabilnosti linearnih sistema. Primenjujući uslove navedene teoreme, možemo suditi o stabilnosti sistema samo pri malim poremećajima, pri kojima je linearizovani matematički model sistema blizak originalnom nelinearnom modelu. Ali i tu, kako tvrdi navedena teorema, u slučaju da postoje koreni na granici stabilnosti, o stabilnosti se ne može ništa određeno zaključiti, pa je potrebno primeniti neki druge prilaze. Jedan od njih je direktna metoda Ljapunova. Analizirajući problem stabilnosti nelinearnih sistema, Ljapunov je došao do veoma interesantne ideje. Predložio je kriterijum stabilnosti takav da možemo zaključivati o stabilnosti sistema ne rešavajući njegovu difrencijalnu jednačinu i ne vršeći njenu linearizaciju u okolini stanja ravnoteže. Ljapunovljev prilaz se u literaturi obično objašnajva upoređivanjem s mehaničkim sistemom koji je izveden iz ravnotežnog stanja dejstvom neke sile. Ta sila je njemu predala neku količinu energije. Usled toga su se unutrašnje energije sistema, kinetička i potencijalna, promenile. Dalje njegovo kretanje se odvija pod dejstvom te unutrašnje energije. Ako se, tokom tog slobodnog kretanja, njegova unutrašnja energija stalno troši (disipira), tada će se on, istrošivši svu energiju, naći u stanju mirovanja - u stanju ravnoteže. Sistem je tada asimptotski stabilan po Ljapunovu. Ako, pak, u tom sistemu postoji neprestana konverzija potencijalne energije u kinetičku i obrnuto (konzervativan sistem), tada će taj sistem, u smislu definicije stabilnosti po Ljapunovu, biti stabilan. Kod sistema automatskog upravljanja, zbog delovanja signala u zatvorenoj petlji, može doći do povećanja unutrašnje energije sistema, na račun izvora za napajanje, te do neprekidnog udaljavanja stanja sistema od ravnoteže. Ljapunov je predložio da se za dinamički nelinearni sistem, opisan modelom , )()( xfx =t&odredi, kao ekvivalent unutrašnjoj energiji, posebna skalarna funkcija njegovih koordinata stanja (vektorskog argumenta), V(x), koja će:

(i) biti pozitivno definitna:V , V( ) za ( ) za =x x 0 x x> ∀ ≠ =0 0, 0

što znači da je ona pozitivna u svim tačkama prostora stanja, obuhvaćenim ε-okolinom ravnotežnog stanja sistema, osim u koordinatnom početku, kada je jednaka nuli. Pretpostavlja se da je koordinatni početak prostora stanja smešten u stanju ravnoteže.

(ii) Ako je izvod V(x), duž trajektorija kretanja sistema, negativno semidefinitna funkcija, tj ako je

, za 0)(, za 0)(d

)(d)( 0xx0xxfx

xx

xx

xx ==≠∀≤∂∂

=∂∂

=∂∂

∂∂

== VVVt

Vt

VV &&&

177


tada kažemo da je sistem stabilan u smislu Ljapunova i njegovo kretanje će uvek ostajati u ε- okolini ravnotežnog stanja. Tada se funkcija V(x) naziva funkcijom Ljapunova. (iii) Ako je izvod funkcije Ljapunova strogo negativno definitna funkcija tada je ravnotežno stanje, u posmatranoj δ-okolini, asimptotski stabilno. (iv) Ako se napred definisani uslovi ispunjavaju za ceo prostor stanja, i važe uslovi:

V xii

n

i( ) , ,x →∞ →∞ →∞=∑ za 2

1

x

tada se za sistem kaže da je globalno stabilan, kada je V , odnosno, 0)( ≤x&

globalno asimptotski stabilan za V . 0)( <x&

Za primenu takvog prilaza moraju biti ispunjeni sledeći uslovi: a) da je vektor f(x) neprekidna funkcija argumenta; b) da je funkcija Ljapunova realna funkcija i ima neprekidne diferencijale prvog reda. Izbor funkcije Ljapunova nije jednostavan problem. Za jedan te isti sistem možemo imati veliki broj pozitivno definitnih funkcija V(x). Neke od njih mogu imati negativno definitan izvod u određenim oblastima ravnotežnog stanja, druge - izvod jednak nuli ili pozitivno definitan. Zbog toga, pri izboru V(x), možemo govoriti samo o kandidatu funkcije Ljapunova. Ako je izvod te funkcije, duž trajektorija kretanja sistema: negativno definitna, semidefinitna, pa čak i funkcija jednaka nuli, tada takva funkcija V(x) je funkcija Ljapunova. Tada je sistem zaista asimptotski stabilan ili stabilan u oblasti definisanoj funkcijom Ljapunova. Ako nismo u stanju da nađemo funkciju Ljapunova to još uvek ne znači da dati sistem nije stabilan. Ako smo odredili stabilnost sistema u ograničenoj oblasti, u okolini ravnotežnog stanja, to nikako ne znači da sistem nije stabilan i za početna stanja iz druge oblasti. To, pre svega, govori o tome da direktna metoda Ljapunova daje samo dovoljne ali ne i potrebne uslove stabilnosti, a zatim, i da izbor funkcije Ljapunova nije uvek jednostavan zadatak. Ipak za neke klase sistema razvijeni su prilazi koji omogućavaju relativno jednostavan postupak utvrđivanja stabilnosti sistema na osnovu una-pred poznatog oblika kandidata funkcije Ljapunova. Takvi postupci su, na pri-mer, metoda Ajzermana i prilaz Lurje-Postnjikova. Postupak Ajzermana ilustro-vaćemo na jednom primeru. Primer 8.5. Ispitati stabilnost nelinearnog autonomnog sistema prikazanog na sl. 8.6, čija je nelinearnost jednoznačna i može se aproksimirati linearnom karakteristikom s koeficijentom statičke linearizacije k=2. Po metodi Ajzermana, posle aproksimacije nelinearnosti, nalaze se koeficijenti kvadratne forme tako da ona postane kandidat funkcije Ljapunova za linearizovani sistem (videti poglavlje 3.10). Zatim se tako dobijena kvadratna forma primenjuje na polazni nelinearan sistem i određuju se granice nelinearnosti. Za autonomni sistem matematički model se može napisati u obliku

178


.22

, .)(2

,)(2

212

212=

122

21

xxxxx

xFxxxx

xFxxk

−−==

⇒−−=

=⇒−=+

&

&

&

&&&&

Generalisana kvadratna forma kandidat funkcije Ljapunova ima oblik V , (8.3) ( )x x P= T xgde je x- vektor stanja sistema, a P - realna simetrična pozitivno definitna matrica. Diferencirajući V(x) po vremenu duž trajektorija kretanja sistema i zahtevajući da ta funkcija bude negativno definitna, dobija se poznata matrična algebarska jednačina Lja- punova (videti poglavlje 3.10), , (8.4) QPAPA −=+T

Sl. 8.6 Nelinearni sistem za primer 8.5.

gde je Q - realna, simetrična, pozi-tivno definitna matrica. Pozitivna definitnost se utvrđuje na osnovu kriterijuma Silvestra, koji zahteva da dijagonalne determinante pos-matrane matrice budu pozitivne. Usvajajući za Q jediničnu matricu, iz prethodne relacije nalazimo vrednosti za članove matrice P:

. 0 2

1 2

0 1

2 2

1 0

0 111 12

12 22

11 12

12 22

−−

+

− −

=

−−

p pp p

p pp p

Rešenja ove matrične jednačine su: Dobijena matrica p p p11 12 225 4 1 4 3 8= = =/ ; / ; / .

P =

5 / 4 1 / 4

1 / 4 3 / 8

je pozitivno definitna. Prema tome, funkcija V x je funkcija

Ljapunova za linearizovani sistem. Diferencijal ove funkcije duž trajektorija kretanja nelinearnog sistema je:

x x x x( ) = + +54

12

381

21 2 2

2

).(

43)(

21

23)(

)(2;)2

3(21

21

25)(

12112221

12222

12221

xFxxFxxxxV

xFxxxxxxxxV

−−−=

⇒−−=+++=

x

x

&

&&&

Poslednji izraz se može napisati u obliku

=-23-)(

43-)(

21-=)( 2

2211

121

1

1 xxxxxFx

xxFx

&V

xx

−

−

−

143)(

83

43)(

83)(

21

1

1

1

1

1

1

xxF

xxF

xxF

T .

179

Da bi data V(x) bila funkcija Ljapunova i za posmatrani nelinearni sistem, poslednja matrica u kvadratnoj formi mora biti pozitivno definitna. To će biti ispunjeno ako je:


(i) F x

x( )1

10> , tj. ako karakteristika nelinearnosti pripada I i III kvadrantu, što je u

ovom slučaju ispunjeno. (ii) determinanta date matrice veća od nule, tj.:

.049680

143)(

83

43)(

83)(

21

det 2

)(

1

1

1

1

1

11

1

<+−>

−

−

⇒

=

zz

xxF

xxF

xxF

zxxF

Rešenja ove nejednačine su

0 57284 6 98271

1, ,< = <z

F xx( )

.

Prema tome, posmatrani sistem je asimptotski stabilan ako se koeficijent statičke linearizacije nelinearne karakteristike nalazi u ukazanom opsegu. Obratimo pažnju na to da je linearizovani sistem stabilan za sva pojačanja 0<k<∞.

Sl. 8.7. Fazni portret sistema iz primera 8.5 kada nelinearnost ima oblik prikazan na sl. 8.8.

Sl. 8.8. Statička nelinearnost za primer 8.5.

Na sl. 8.7 prikazan je fazni portret sistema u okolini stanja ravnoteže ako je neli-nearnost oblika kao na sl. 8.8. Kao što se vidi, sistem je asimptotski stabilan. Posmatrani sistem je stabilan i za jednoznačne nelinearnosti koje su i izvan nađenog opsega, što samo potvrđuje činjenicu da metoda Ljapunova daje samo dovoljne uslove stabilnosti. Na primer, ako usvojimo da nam je matrica Q neka nejedinična, dijagonalna, pozitivno definitna matrica, mi bi smo dobili drugu funkciju Ljapunova i druge uslove stabilnosti za statičku linearizaciju nelinerne funkcije. Preporučuje se studentima da sami primene ovaj postupak, na primer, za Q . 2,2dij=

180


8.3 Lurjeov problem Napred je rečeno, da se, u opštem slučaju, hipoteze Ajzermana i Kalmana ne mogu primeniti sa značajnim stepenom sigurnosti, iako se ispunjavaju za veliki broj slučajeva. Problem utvrđivanja stabilnosti nelinearnog sistema sa statičkom nelinearnošću, prema zahtevima Ajzermana, za jednu klasu sistema sa stabilnim linearnim delom, ili s linearnim delom na aperiodičnoj granici stabilnosti, razrešio je ruski naučnik Lurje (Лурье,1950.). Stoga se ovaj prilaz u literaturi naziva Lurjeov problem ili Lurjeov zadatak. Problem je iniciran tehničkim zahtevima za konstrukciju automatskih pilota (autopilota) letilica. Osnovna ideja Lurjea se sastojala u tome da se linearni deo sistema, primenom paralelnog programiranja, svede na kanonični dijagonalni oblik (I kanonična forma), a na osnovu njega, poznavajući svojstvene vrednosti matrice stanja linearnog dela sistema, funkcija Ljapunova izabere u obliku kvadratne forme promenljivih stanja sistema plus integral od nelinearne funkcije. Savremeniji pristup interpretaciji i praktičnom rešavanju Lurjeovog zadatka ostvarili su američki naučnici Lefšec i Lasal (Levschez, S., LaSalle, J.P.) 1961. god. pa ćemo u daljem izlaganju posvetiti pažnju ovom prilazu [12]. Dva slučaja koje je Lurje posmatrao u literaturi su dobila nazive osnovni i poseban slučaj, a prikazana su na strukturnim blok-šemama na sl. 8.9 a) i b).

Sl. 8. 9. Strukturne blok-šeme nelinearnog SAU za Lurjeov problem:

a) osnovni slučaj, b) poseban slučaj, c) transformisana šema za poseban slučaj pogodna za primenu Lurjeovog prilaza.

Pokazaćemo, najpre, da se, za autonomni sistem (r=0), poseban slučaj može svesti na osnovni i obrnuto. Zaista, za r=0, linearni deo sistema u posebnom slučaju imaće funkciju prenosa

[ ] bAId 1T 1)( −−+= shs

s W (8.5)

181


pa se sistem svodi na sistem s jediničnom negativnom povratnom spregom, s jednom nelinearnošću i jednim linearnim delom, s tom razlikom što funkcija prenosa u posebnom slučaju ima čist integracioni element, odnosno astatizam prvog reda. Ono što karakteriše poseban slučaj je uvođenje lokalne stabiliza-cione povratne sprege preko parametra h, pa se problem, u krajnjoj liniji, svodi na određivanje tog parametra, tako da ceo sistem bude asimptotski stabilan po Ljapunovu. Praktičan značaj ovog prilaza je u tome, što se u mnogim SAU kao izvršni elementi koriste servomotori, a u cilju stabilizacije se uvodi lokalna povratna sprega po poziciji servomotora. U daljem tekstu biće razmotren samo poseban slučaj. Sistem sa slike 8.9b može se transformisati u ekvivalentni sistem sa stanovišta ispitivanja stabilnosti, koji je prikazan na sl. 8.9c. Matematički model sistema sa sl. 8.9c u prostoru stanja je:

,0 ,0 d)(;)(0 ;0)0(

,

),(

),(

0

T1

T

≠>≤≤==

=

−−=

+=

∫ ezzFkeeFeF

c

ehFe

eF

exd

xd

bAxx&

&

(8.6)

uz pretpostavku da su sopstvene vrednosti matrice A objekta stabilne i proste. Izaberimo funkciju Ljapunova u obliku

V , (8.7) ∫+=e

zzFe

0 T d)(),( Pxxx

gde je P proizvoljna realna, simetrična, pozitivno definitna matrica. Tada je data funkcija V(x,e) pozitivno definitna, jer je kvadratna forma

pozitivno definitna, a integral od nelinearne funkcije posmatrane klase je pozitivan za svako . Izvod funkcije Ljapunova po vremenu, duž trajektorija kretanja sistema je

x PxT

e ≠ 0

(8.8) ).(])[(][

)(),(2TTTTT

TT

ehFeF

eeFeV

−−+++

=++=

xdPbxPxbxPAPAx

PxxxPxx &&&&

S obzirom na pretpostavku da je linearni deo sistema stabilan, onda će, kao što je poznato, postojati realna, pozitivno definitna, simetrična matrica Q koja zadovoljava matričnu jednačinu Ljapunova: . A P PA QT + = − Uvodeći smenu

g Pb d g b P d= − ⇒ = −

2 2T T T

T

,

izraz (8.8) se može prepisati u oblik [ ] =−++−= )()(),( 2TTT ehFeFe gxxgQxxx&V

. )()(

)()(2 T

T2TT

−

−

−=−+−

eFheFehFeF

xg

gQxxgQxx (8.9)

Izvod (8.9) biće negativno definitna funkcija ako je matrica

182


DQ gg

=−

−

T h

pozitivno definitna, tj. ako ispunjava Silvestrov kriterijum, što se u ovom slu-čaju može svesti na to da determinanta matrice D bude pozitivna veličina, jer je, iz uslova stabilnosti linearnog dela sistema, matrica Q pozitivno definitna, h > 0 i skalarna je veličina. Uvedimo matricu

,

=

−

10

T

1

0QR

čija je determinanta pozitivna, a 0-je n-dimenzionalni nulti vektor. Na osnovu ovog razmatranja sledi da det[ mora biti veća od nule da bi izvod funkcije Ljapunova (8.9) bio negativno definitna funkcija, tj.

]RD

010 1T

T

1

T

1

>−=−

−=

−

−

= −

−−

gQgIg

gQIg

gQ0

QRD hhhT ,

odakle se konačno dobija nejednakost Lefšeca, koja garantuje da je funkcija V(x,e) oblika (8.7) funkcija Ljapunova, tj. . (8.10) h > −g Q gT 1

Ako se pri tome postavi dopunski uslov da integral u (8.7) →∞, kada e(t)→∞, onda će V(x,e)→∞, pa je stanje ravnoteže sistema (8.6) globalno asimptotski stabilno ili apsolutno stabilno2. Primer 8.6: Linearni deo sistema je zadat funkcijom prenosa

)3)(2(

6)(++

+=

ssssW .

Koristeći metod Lefšeca za Lurjeov problem, odrediti najmanju vrednost parametra h tako da nelinearni sistem s Lurjeovom nelinearnošću bude apsolutno stabilan. Primenjujući postupak paralelnog programiranja na funkciju prenosa linearnog dela sistema, matematički model posmatranog nelinearnog sistema se može napisati u obliku (8.6), gde su:

. A b d=−

−

=

=

−

2 0

0 3

1

1

4

3, ,

Linearni deo sistema je stabilan. Neka je matrica Q, kao realna, simetrična, pozitivno definitna matrica data u obliku

. Q =

>

αβ

α β0

00; ,

Elemente matrice P odredićemo iz matrične jednačine Ljapunova

, −

−

+

−

−

= −

2 0

0 3

2 0

0 3

0

011 12

12 22

11 12

12 22

p pp p

p pp p

αβ

odakle se dobija

183

2 Apsolutna stabilnost nelinearnog sistema označava da je sistem globalno asimptotski stabilan. Ovaj pojam je u teoriju nelinearnih SAU uveo Lurje.


. P =

αβ

//

4 0

0 6

Vektor g je

g Pb d= − =

− −

= +

2

4 0

0 6

1

112

4

3

4

9

αβ

αβ

//

/( ) - 2

( ) / 6.

Primenjujući uslov (8.10) dobija se

h > ++1

41 9

62 2

αα

ββ

( - 2) ( ) .

Za α, β > 0 mogli bi odrediti odgovarajuće h. Međutim, pošto se zahteva minimalna vrednost za h, posle diferenciranja poslednjeg izraza po α i β i izjednačavanja diferencijala s nulom, dobijaju se rešenja α=8 i β= 9, koja daju minimum desne strane u poslednjem izrazu jednak 1, pa je h>1 rešenje postavljenog zadatka.

∀

8.4 Frekvencijska metoda Popova Problem stabilnosti nelinearnih sistema s nelinearnošću Lurjeovog tipa, sa stanovišta inženjerske primene, na veoma efektan način je rešio rumunski naučnik Popov Vasile Mihaj (1959.). On je predložio kriterijum stabilnosti nelinearnih sistema analogan kriterijumu Nikvista za linearne sisteme. Intere-santno je napomenuti da je prvobitno Popov svoj kriterijum objavio u rumuns-kom časopisu. Da taj rad nije publikovan i u ruskom časopisu Avtomatika i telemehanika (1961.), a koji se prevodi na engleski, u Americi, metoda Popova bi dugo vremene ostala nepoznata stručnjacima iz oblasti automatskog upravljanja. Za primenu frekvencijskog kriterijuma Popova potrebno je imati amplitudno-faznu karakteristiku (AFFK) linearnog dela sistema. Shodno Lurjeovom zadatku, linearni deo sistema je, po pretpostavci, stabilan pa se amplitudno-fazna karakteristika može i eksperimentalno snimiti. Polazeći od sistema prikazanog na sl. 8.9, za osnovni slučaj, i od funkcije Ljapunova Lurjeovog tipa, prikazaćemo jedan od načina [4] matematičkog izvo-đenja frekvencijskog kriterijuma Popova. Neka se nelinearni sistem opisuje relacijama

(8.11)

,

),(,

Txd

bAxx

−=

=+=

e

eFuu&

i neka je funkcija Ljapunova izabrana u obliku (8.7), tj.

V . (8.12) ∫+=e

zzFe

0 T d)(),( Pxxx

Diferencirajući (8.12) po vremenu dobija se

( ) ).()()(2)(=

)()(2)()()(dd),(

TTTT

TTTTT

eFeFeF

eFeFeeFt

eV

bAxdPbxxPAPAx

xdPbxxPAPAxPxxx

+−++

−++=+= &&&(8.13)

Dodajmo relaciji (8.13) izraz

184


, (8.14) − + + −gF e e hF e hF e( )( ) ( ) ( )d xT 2 2 0=koji je jednak nuli, jer je . Parametri g i h se biraju proizvoljno, u opsegu koji ćemo kasnije utvrditi. Uzmimo, takođe, u obzir i relaciju

e = −d xT

, (8.15) x Pb b PxT T=koja je skalarna veličina, pa joj transpozicija ne menja vrednost. Zamenom (8.14) u (8.13), uz uzimanje u obzir (8.15), dobija se:

(8.16)

).()()(])([

)()2()(

)()())((

)()()2()(

)())(()(2)(=),(

2T

TTTTT

22T

2TTTTT

TTTT

eFheFgeehF

eFg

ehFehFeegF

eFeF

eFeFeFeV

−−+−

+−−++=

−++

−−−++=

+−++

bd

xdAdPbxPAPAx

xd

bdxAdPbxPAPAx

bAxdPbxxPAPAxx&

Ako je linearni deo sistema stabilan, uvek se može naći realna, simetrična, pozitivno definitna matrica P takva da je, shodno Ljapunovljevom kriterijumu stabilnosti za linearni sistem, matrica realna, simetrična i negativno definitna matrica. Prema tome, prvi sabirak u poslednjem izrazu (8.16) je nega-tivan. Za ocenu ostalih članova koristi se Kalmanova teorema:

PAPA +T

Ako je σ>0 - realan broj, v, b - dva realna vektora dimenzije n×1, n-broj koordinata stanja sistema, P, A - prethodno date kvadratne matrice, tada će postojati vektor r, koji zadovoljava relacije:

A R RA r r

Pb v r

T T+ = − ⋅

− =

,

,σ (8.17)

ako je ispunjen uslov

σ , (8.18) ( ) 0]Re[2 1T ≥⋅−ω⋅+ − bAIv jza sve realne vrednosti ω.

Primenjujući ovu teoremu na izraz za V , i izborom &

( )

,

),(21

21

T

TT

bd

ddAdIAv

+=σ

+=+=

h

gg (8.18a)

za V tada važe sledeće jednakosti: &

).()()(])([)( 2

, 22222

,

2TTTTT

TTTTTTTT

TT

eFheFgeehFeFhV

hg

bdxrbdxrrx

rbdrvPbdAdPb

rrPAPA

+−−+++−=

+=σ=−=−−

⋅−=+

&

Kod prvog člana u poslednjem izrazu imamo proizvod proizvoda dva vektora, koji su skalari, prema tome, to je kvadrat neke skalarne veličine, tj.

. Obratimo pažnju da tada prvi, drugi i poslednji član tog izraza predstavljaju kvadrat razlike, s negativnim znakom, te se može napisati:

( )(x r r xT T )

( )r xT 2

185


])()[()]([ 2TT ehgeFehFeFh −++−−= bdxr&V . (8.19)

Prema Ljapunovu, sistem (8.11) biće stabilan ako je V Prvi član (8.19) je očigledno negativan. Potrebno je još samo naći uslove pri kojima će i drugi član biti negativan. S obzirom da je drugi član proizvod dve veličine, očigledno je da će on biti negativan ako su ispunjeni uslovi:

.0,,0),( ≠≠∀< ee 0xx&

Sl. 8. 10. Prema (8.19), ako se nelinearnost nalazi u sek-toru, izvod funkcije Ljapu-nova je negativan te je sistem stabilan.

F e F e gh

e ke e

F e F e gh

e ke e

( ) ( ) ,

( ) ( ) .

> ≤ =

< ≥ =

0 0

0 0

i za

i za

>

<

.

u) ,ω

⇒

(8.20)

Za e=0 je i x=0 i V . 0=&

Uslovi (8.20) ustvari označavaju da se neline-arnost nalazi u sektoru [0,k], sl. 8.10, što je osnovna pretpostavka u Lurjeovom zadatku. Međutim, treba istaći da je osnovni uslov, koji nas je doveo do relacije (8.19) dat izrazom (8.18) koji se, uzimajući u obzir drugu relaciju u (8.18a), može napisati u obliku

(8.21) 0))((Re 1TT ≥−ω+++ − bAIIAdbd jghOvaj izraz se može pogodno interpretirati, jer sadrži amplitudno-faznu karak-teristiku linearnog dela sistema. Radi te interpretacije, zapišimo prvu relaciju u (8.11) u operatorskom obliku i rešimo je po vektoru stanja:

(8.22) ( )

( ) ),()()()()()(

);()()()()(1TT

1

sUsWsEsUsssE

sUsssUsss

−=⇒−−=−=

−=⇒+=−

−

bAIdXd

bAIXbAXX

gde je W(s) - funkcija prenosa linearnog dela sistema. Prelazeći u frekvencijski domen (s=jω), dobija se (8.22a) e j u W j= − − = −−d I A bT ( ) (ω 1

gde je W(jω)- amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema. S druge strane je, na osnovu (8.11) i prve relacije u (8.22),

[ ] .)( )(

,)(1T1T

T1TTTT

ujggeujgge

uujejussejs

bAIIdbAId

bdbAIAdbdAxdxd−−

−ω=

−ω−=−ω−=

−−ω−=ω−−=−=

⇒⇒ (8.22b)

Sumirajući poslednje dve jednačine dobija se

(8.23)

( ) ( )( ) ,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .

j g e g j u u

j g e j u u g j uj g e j g W j u

ω ω

ω ω ωω ω ω

+ = − + − − ⇒

+ = − − − − −+ = − +

−

− −

d A I I A b d b

d A I A b d b d I A b

T T

T T T

1

1 1

Poslednja relacija u (8.23) proizilazi iz (8.22a,b). Ako se (8.23) zameni u uslov (8.21) za negativnu definitnost izvoda funkcije Ljapunova dobija se:

186


=−ω+++ − )))((Re 1TT bAIAdbd jgh . 0)()Re( TT ≥−ω+ω++ bdbd jWgjh

Potirući članove d , a pošto je g≠0, moguća je sledeća transformacija bT

.,1;01)()1(Re

0)()1Re(0)()(Re

hgk

gq

kjWjq

jWg

jghjWgjh

==≥+ωω+

⇒≥ωω

++⇒≥ω+ω+

Ako je ispunjena poslednja relacija, V i sistem će biti stabilan. Na taj način je dobijena nejednakost Popova

0,,0),( ≠≠∀< ee 0xx&

,01)()1Re( ≥+ωω+k

jWjq (8.24)

koja, zajedno s uslovom da se statička karakteristika nelinearnosti nalazi u prvom i trećem kvadrantu i da prolazi kroz koordinatni početak, predstavlja dovoljan uslov apsolutne stabilnosti nelinearnog sistema. Sada se može formulisati frekvencijski kriterijum apsolutne stabilnosti Popova za nelinearne sisteme:

Nelinearni sistem s linearnim delom frekvencijske funkcije prenosa W(jω) i

statičkom nelinearnošću koja ispunjava uslov 0 ako W(s) ima ≤ ≤F e

ek( )

,

samo leve polove, ili uslov 0 < ≤F e

ek( )

, kada W(s) ima sve leve polove

osim jednog u koordinatnom početku, je apsolutno stabilan ako postoji realan broj q takav da je ispunjena nejednakost Popova (8.24) za svako ω≥0.

Ova teorema Popova ima veoma zgodnu geometrijsku interpretaciju, što će biti pokazano u daljem izlaganju. 8.4.1 GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA KRITERIJUMA POPOVA

Polazeći od (8.24), rastavljajući W(jω) na realni, U(ω), i imaginarni, V(ω), deo može se, najpre, napisati

01))()()(1Re( ≥+ω+ωω+k

jVUjq .

Vršeći ukazana množenja i uzimajući samo naznačeni realni deo dobija se

U q . Vk

( ) ( )ω ω ω− +1

0≥

ωUvedimo pojam modifikovane frekvencijske funkcije prenosa W j , U jV U j Vm m m( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω= + = +

187

koja se od obične frekvencijske karakteristike razlikuje samo time što ima imaginarni deo ω puta veći. Tada nejednakost Popova postaje


Sl. 8.11. Primena kriterijuma

stabilnosti Popova.

U q . Vkm( ) ( )ω ω− +1

0≥

Ako uzmemo znak jednakosti i ovu relaciju napišemo u obliku

kq

Uqm

1)(1)( +ω=ωV ,

ona, u ravni modifikovane frekvencijske funkcije prenosa, predstavlja pravu liniju (pravu Popova) koja ima nagib 1 u odnosu na U(ω) - osu, i istu preseca u tački -1/k. Sada se uslov Teoreme Popova svodi na to da modifikovana AFFK siste-

q/

188

ma bude desno od prave Popova, sl. 8.11. Granični slučaj je kada se ta prava i modifikovana frekvencijska karakteristika dodiruju (u jednoj ili više tačaka). Sada se kriterijum stabilnosti Popova može definisati na sledeći način:

Nelinearni SAU sa stabilnim linearnim delom, frekvencijske funkcije prenosa W(jω), i statičkom nelinearnošću F(e) koja ispunjava uslov

0 , (8.25) < <F e

ek( )

biće apsilutno stabilan ako se modifikovana aplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema, pri promeni frekvencije ω, u opsegu [0,∞], nalazi uvek desno od prave Popova.

Kriterijum stabilnosti Popova, kao što smo rekli, je inženjerske prirode, a može se lako implementirati i na računaru. Naravno, kao i druga metoda Lja-punova, i ovaj kriterijum, razvijen na bazi nje, daje samo dovoljne uslove stabilnosti. To znači, ako se utvrdi stabilnost, da je sistem zaista apsolutno stabilan za ispitivani sektor u kome se nalazi nelinearnost (sektor Ajzermana). Medjutim, sistem može biti stabilan i za širi opseg ali mi to ne možemo tvrditi. Parametar k je unapred poznat, kada je poznata nelinearnost, ili se može pos-taviti zadatak određivanja maksimalne vrednosti k pri kome sistem ostaje apso-lutno stabilan. Poslednji zadatak se u praksi rešava jednostavno. Najpre se kon-struiše modifikovana amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema. Zatim se nastoji povući prava Popova koja će tangirati modifikovanu AFFK. U prethodnom izlaganju ostavili smo otvorenim pitanje izbora parametra q, odnosno pod kojim uglom treba povući pravu Popova? Parametar q se bira iz uslova [13]: -∞<q<∞, za jednoznačne stacionarne karakteristike nelinearnog elementa; 0 ≤ < ∞q , za nejednoznačne statičke karakteristike s pozitivnim histerezisom, sl.8.12a ; za nejednoznačne statičke karakteristike s negativnim histere-−∞ < ≤q 0,zisom, sl. 8.12b ; q=0, za nestacionarne jednoznačne ili nejednoznačne karakteristike.


Sl. 8.12 Nelinearne nejednoznačne karakteristike: a) s pozitivnim,

b) s negativnim histerzisom.

8.4.2 MODIFIKACIJA KRITERIJUMA STABILNOSTI POPOVA

U teoriji linearnih SAU uočili smo da nestabilan sistem kada se obuhvati negativnom povratnom spregom može postati stabilan. Isto tako i nelinearan sistem, nestabilan u otvorenoj povratnoj sprezi, može (ali ne mora) po zatvara-

r=0

r=0

e

e

F e( ) W j( )ωu

u

c

c

a)

b)

F e( )

r

W j( )ω

r

F etr( ) W jtr( )ω

Sl. 8.13. Nelinearan sistem s nestabilnim linearnim

delom (a) i njegova transformacija u cilju stabilizacije linearnog dela (b) za primenu metode Popova.

nju povratne sprege postati stabilan. Međutim frekven-cijska metoda Popova, pro-izašla iz Lurjeovog prob-lema, odbacuje sisteme s nestabilnim linearnim de-lom. U cilju proširivanja mogućnosti metode Popo-va, predlaže se modifika-cija koja ne odbacuje sve sisteme s nestabilnim line-arnim delom. Ona je pri-kazana na sl. 8.13b. Njena ideja se sastoji u tome da se, ako je to moguće, uvo-

đenjem lokalne proporcionalne negativne povratne sprege, stabiliše nestabilan objekat. Da se ukupan sistem ne bi promenio, mora se transformisati i statička karakteristika nelinearnog elementa. Tada transformisani linearni deo sistema ima prenos W s , pri čemu je 1 Hurvicov poli- W s rW str ( ) ( ) / ( ( ))= +1 + rW s( )nom3, a nelinearnost ispunjava uslov (8.25), odnosno

189

3 Uvođenje stabilizacione povratne sprege sa faktorom r je fiktivno. Ta stabilizaciona povratna sprega, zapravo, označava da polazna nelinearna karakteristika mora imati statički koeficijent pojačanja ne manji od r, te se stoga polazna nelinearnost mora nalaziti u sektoru [r, k] , što implicira da se transformisana nelinearnost nalazi u sektoru [0, k-r].


rF e re

ektr<

+≤ ⇒

( )0 < ≤

F ee

k rtr ( )− . (8.26)

Sada se kriterijum apsolutne stabilnosti Popova može primeniti, uz napomenu da treba birati minimalno r koje stabiliše linearni deo. Cipkin je ovaj prilaz razradio u vidu paraboličnog kriterijuma apsolutne stabilnosti. 8.4.2.1 Cipkinov parabolični kriterijum apsolutne stabilnosti. S uvedenim transformacijama kriterijum apsolutne stabilnosti Popova postaje

01)()1Re( >−

+ωω+rk

jWjq tr , (8.27)

ili

Re ( ) ( ) ( )( ) ( )

11

10+

++ +

+

−>jq U jV

rU jrV k rω

ω ωω ω

.

Posle racionalizacije, izdvajanja realnog dela naznačenog izraza, svođenjem na zajednički imenilac i deljenjem s kr, dobija se

U . (8.28) r k

Ur k

q V Vkr

2 21 1 1 1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω+ + − − + + >

Ako se leva strana (8.28) izjednači s nulom, u ravni modifikovane AFFK polaznog sistema taj izraz će predstavljati jednačinu parabole koja preseca negativni deo realne ose u tačkama i − , a tangente u tim tačkama imaju nagibe: − i 1 , respektivno, pri čemu se one seku u tački čije su koordinate, sl. 8.14:

r/1− k/1q/1 q/

( ))(5,0 ;)(5,0 1-111-1 −−− −−+− krqkr . (8.29) Cipkin [13] je ovu parabolu nazvao (q,k,r)-parabola. Za apsolutnu stabilnost posmatranog sistema dovoljno je da modifikovana AFFK linearnog dela po-laznog sistema ne preseca datu parabolu. U celini, ovaj kriterijum glasi:

Stanje ravnoteže x=0, nelinearnog sistema je apsolutno stabilno ako ka-rakteristika nelinearnog elementa pripada sektoru [r,k], a modifikovana amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema ne preseca (q,k,r)- parabolu.

Za r→0, (q,k,r)-parabola se transformiše u pravu i parabolični kriterijum se svodi na običan kriterijum Popova. Treba još napomenuti da je ravan polazne modifikovane-fazne karakteristike, a ne transformisane.

Primer 8.7. Utvrditi uslove apsolutne stabilnosti nultog stanja ravnoteže nelinearnog sistema iz primera 8.3. Dati sistem ima tri stanja ravnoteže. Nulto stanje ravnoteže nije apsolutno stabilno, jer se ne može naći parametar r takav da se stabiliše nestabilan linearni deo, a da pri tome karakteristika nelinearnosti ostane u sektoru (r,k). Naime, minimalno r koje stabiliše linearni deo je r>3. Međutim, za takvo r karakteristika nelinearnosti ne ispunjava donju granicu, što se vidi na slici 8.15.

190


Sl. 8.14. (q,k,r)-parabola i ilustracija apsolutno stabilnog sistema po Cipki-novom paraboličnom kriterijumu.

Za ovaj sistem se može reći da je stabilan “u malom” i stabilan “u velikom”, pri čemu je oblast stabilnosti “u velikom” diskutovana u primeru 8.3.

Primer 8.8. Ako je statička karakte-

ristika nelinearnosti sistema iz zadatka 8.3 kao na sl. 8.16, utvrditi njegovu apsolutnu stabilnost.

Sl. 8.15. Ovaj sistem će imati samo jedno stanje ravnoteže (0,0). Statička karakteristika se nalazi u sektoru (3,∞). Stoga, prema paraboličnom kriterijumu, kako je nelinearna karakteristika, sl. 8.16, jednoznačna, biramo q proizvoljno u opsegu (-∞,∞) (izabrano je q=10/6), zaključujemo da će posmatrani sistem biti apsolutno stabilan, prema sl. 8.17. Na sl. 8.18 je prikazan odziv sistema za dva početna uslova .

Sl. 8.16.

Sl. 8.17. Primena paraboličnog kriterijuma

u primeru 8.8.

Sl. 8.18. Odziv sistema na poremećaje tipa početnih uslova.

191

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 8.4.3 APSOLUTNA STABILNOST SISTEMA SA NESTACIONARNOM NELINEARNOŠĆU Neka je nelinearna karakteristika sistema nestacionarna, , (8.30) u F e t= ( , )tj. zavisi kako od signala greške tako i od vremena, i neka je, u opštem slučaju, i linearni deo sistema nestabilan, ali se može stabilisati primenom proporcionalne negativne povratne sprege koeficijenta pojačanja r, sl. 8.13. Pretpostavimo,dalje, da se data nestacionarna nelinearnost uvek nalazi u sektoru [r, k] i da uvek prolazi kroz koordinatni početak, tj.

F t

r F e te

k

( , ) ,

( , ).

0 0=

< < (8.31)

Kao što je napred rečeno, u nejednakosti Popova (8.24) parametar q postaje jednak nuli. Koristeći (8.28) za q=0, dobija se:

01)()()11()( 22 >+ω+ω++ωkr

VUkr

U . (8.32)

U ravni obične, a ne modifikovane, amplitudno-fazne karakteristike, W(jω), relacija (8.32), sa znakom jednakosti u njoj, predstavlja jednačinu kruga s cen-trom na negativnom delu realne ose, koji nju preseca u tačkama (-1/r) i (-1/k). Ako ovaj krug nazovemo (k,r)-krugom, on se može tretirati analogno kritičnoj tački kod Nikvistovog kriterijuma za linearne sisteme (tačka se ovde proširila u krug). Stoga se apsolutna stabilnost nelinearnih sistema s nestacionarnom nelinearnošću može formulisati slično Nikvistovom kriterijumu [13]:

Nelinearan sistem s nestacionarnom nelinearnom karakteristikom, koja se uvek nalazi u sektoru [r,k], i linearnim delom, funkcije prenosa W(s) koji ima indeks nestabilnosti p, biće apsolutno stabilan ako amplitudno-fazna karak-teristika linearnog dela sistema, pri promeni frekvencije od 0 do ∞, obuhvata (k,r)-krug u suprotnom smeru kretanja kazaljke na satu (p/2) puta.

Sl. 8.19. a) nestacionarna nelinearnost u [r,k] sektoru; b) apsolutno stabilan sistem s indeksom nestabilnosti linearnog dela p=1; c) apsolutno stabilan sistem sa stabilnim

linearnim delom.

192


Na sl. 8.19 dat je grafički prikaz nestacionarne nelinearnosti koja ispunjava date uslove i dva primera apsolutno stabilnih sistema s indeksima nestabilnosti p=1 i p=0.

Sl. 8.20.

Primer 8.9. Ako je u primeru 8.8 nelinearnost nestacionarna i uvek se nalazi u sektoru [r, k]=[3,∞] utvrditi da li takav sistem može biti apsolutno stabilan. Koristeći fazno frekvencijsku ka-rakteristiku linearnog dela sistema (netransformisanu i nemodifikovanu) i konstruišući (k,r)-krug možemo zaključiti da će sistem biti apsolutno stabilan ako karakteristika nelinear-nosti fluktuira u sektoru [2,5], jer sistem ima indeks nestabilnosti p=1,

a amlitudno-fazna karakteristika obuhvata (k,r)-krug 1/2 puta u suprotnom smeru kazaljke na satu, sl. 8.20.

8.5 Stabilnost prinudnih procesa u nelinearnim sistemima Razmatraćemo običan nelinearni sistem, sl. 8.21a, koji se sastoji iz stabilnog linearnog dela, funkcije prenosa W(s), i jedne statičke nelinearnosti, F(x). Kao što znamo, na ovu strukturu se može svesti bilo koji nelinearni sistem s jednom nelinearnošću, a pod određenim uslovima i sistemi s više nelinearnosti. Osnovni problem koji želimo izučiti je stabilnost takvog sistema, ali ne stabilnost stanja ravnoteže, pri kretanju sistema pod dejstvom nenultih početnih uslova, već stabilnost pri delovanju referentnog signala ograničenog po apsolutnoj vrednosti, tj. sup ( )f t Ro≤ < ∞ . (8.33) Pri tome, kvalitet procesa i stabilnost posmatraćemo u odnosu na signal greške, koji se tada naziva procesom u nelinearnom sistemu. Naime, osnovna intencija je da se ideje Ljapunova, definisane za stabilnost stanja ravnoteže, prošire i na stabilnost procesa. Prinudno kretanje sistema, koje se odvija po nekoj trajek-toriji u prostoru stanja, biće stabilno, u smislu Ljapunova, ako se, usled delo-vanja kratkotrajnih poremećaja, koje ga izvode s posmatrane trajektorije, ono vraća na prethodnu trajektoriju ili u njenu blisku okolinu. Drugim rečima, stanje ravnoteže više nije tačka u koordinatnom početku već je to cela trajektorija prinudnog kretanja signala greške sistema usled delovanja samo referentnog ulaznog signala. Dalje ćemo, osim prinudnog kretanja, posmatrati i poremećeno kretanje, nastalo usled dejstva nenultih početnih uslova ili neke poremećajne funkcije y(0), koja deluje na linearni deo sistema. Pretpostavimo da je referentni ulazni signal jednak nuli i da se kretanje odvija samo na račun datih nenultih početnih

193


uslova. Ako bi linearni deo sistema bio izolovan (u(t)=0), onda bi reakcija objekta na ove početne uslove bila . (8.34) )()0()( T tcetc o

t == yd A

S obzirom na to da je linearni deo sistema stabilan, (8.34) će tokom vremena opadati, asimptotski težeći nuli. Zbog toga se može napisati

c Co00

( ) .τ τd∞

∫ = < ∞ (8.35)

Ovakve funkcije se nazivaju funkcijama tipa početnih uslova. Razmotrimo, sada, signal greške nelinearnog sistema kada deluje samo poremećajna funkcija y(0). Pošto je, po pretpostavci, nelinearnost Lurjeovog tipa, može se napisati: , (8.36) )()( tctx −= , (8.37) ))(())(())(( tcFtcFtxFu −=−==

. (8.38) ∫∫ τττ−−=τττ−+=tt

cFtwtcutwtctc0

00

0 d))(()()(d)()()()(

ili, zamenom (8.36) u (8.38),

, (8.39) ∫∫ τττ−−=τττ−+−=tt

xFtwtfcFtwtctx0

00

0 d))(()()(d))(()()()(

gde je f0(t)=x0(t)=-c0(t) - komponenta signala greške usled nenultih početnih uslova. Shodno (8.39) strukturni blok-dijagram sistema može se transformisati tako da nema početnih uslova na linearnom delu sistema, a da se to dejstvo prenese na referentni ulaz sistema, sl. 8.21b.

F x( ) F x( )W s( ) W s( )x t( ) x t( )u t( ) u t( )c t( ) c t( )

y(0)

f t0 ( )

a) b)

Sl. 8.21. Strukturna blok-šema običnog nelinearnog sistema; (a) bez referentnog ulaza s nenultim početnim uslovima na linearnom delu; (b) ekvivalentni sistem bez početnih

uslova na objektu i s ekvivalentnim referentnim ulazom. Pretpostavimo, dalje, da na referentni ulaz sistema, umesto f0(t), deluje neki signal f(t) ograničen po apsolutnoj vrednosti Tada će se proces u sistemu opisivati relacijom

. (8.40) x t f t w t F xt

( ) ( ) ( ) ( ( ))= − −∫ τ τ d0

τ

Ako je sistem stabilan, posle prelaznog procesa nastupiće ustaljeno kretanje, koje nazivamo prinudnim. Signal greške će tada opisivati neku trajektoriju u prostoru stanja. Relaciju (8.40), prema tome, možemo nazvati opštim procesom

194


u sistemu. On se sastoji iz dve komponente: komponente prelaznog procesa ili komponente slobodnog kretanja i prinudne komponente. Prinudna komponenta se može odrediti iz uslova da t→∞, što je ekvivalentno da je referentni signal f(t) delovao na sistem beskonačno davno do trenutka posmatranja, te se na osnovu (8.40) može napisati

. (8.41) ∫∞−

τττ−−=t

prpr xFtwtftx d))(()()()(

Razlika između opšteg (8.40) i prinudnog procesa (8.41) daje komponentu slobodnog procesa

, (8.42) [ ]∫ ττ−τ+ττ−−=− ↓

t

prslprpr xFxxFtwtftxtx0

d)(())()(()()()()(

gde je

, (8.43) f t w t F x w F x tpr prt

↓−∞

∞= − = −∫ ∫( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))τ τ τ τ τd

0

τd

τ

τ

τ

funkcija koju možemo smatrati uzrokom pojave slobodnog procesa u posmat-ranom sistemu, usled dovođenja referentnog ulaza, f(t), na sistem koji se do tog momenta nalazio u stanju mirovanja. Ako u sistemu, na linearnom delu, postoje i početni uslovi, čije delovanje vezujemo za trenutak t=0, tada će relacije za opšti i slobodni proces biti

(8.44) x t f t f t w t F xt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ,= + − −∫00

τ τ d

. (8.45) ∫ ττ−τ+ττ−−+= ↓

t

prslprsl xFxxFtwtftftx0

0 d)](())()(()[()()()(

Relacija za prinudni proces ostaće ista, jer ona ne zavisi od početnih uslova. Na osnovu (8.45) može se zaključiti da u nelinearnom sistemu slobodan pro-ces zavisi kako od početnih uslova tako i od prinudnog procesa, odnosno od pobudne (referentne) funkcije. Interesantno je ukazati da se kod linearnih sistema, s obzirom da je F(x)=Kx, jednačina slobodnog procesa (8.45) svodi na

. (8.46) x t f t f t w t xsl sl

t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − −↓ ∫0

0

τ τ d

Posmatrajući (8.45), ako su funkcije f0(t) i f↓(t) ograničene po apsolutnoj vrednosti, tada se slobodan proces u sistemu može predstaviti relacijom

, (8.47) x t f w t xsl

t( ) ( ) ( ( ), )= − −↓ ∫ τ τ τΨ d

0

koja se od relacije za opisivanje kretanja sistema pod dejstvom samo početnih uslova razlikuje po tipu ograničene funkcije f(t) i po tome što nelinearna podintegralna funkcija Ψ(x(t),t) postaje nestacionarna. Zbog toga se može

195


primeniti kružni kriterijum apsolutne stabilnosti. Pri tome se pripadnost nelinearnosti I i III kvadrantu određuje relacijom

ktxFtx

txFtxtxFtx

ttxsl

sl

prslpr

sl<=

−+=

Ψ< ))(('

)())(())()((

)()),((

0 , (8.48)

iz koje proizilazi da izvod nelinearne funkcije, tj. dinamički a ne statički koeficijent pojačanja, mora ležati unutar zadatog sektora (I-III kvadrant). Na taj način se utvrđivanje apsolutne stabilnosti prinudnih procesa u neli-nearnom sistemu svodi na poznati kriterijum stabilnosti stanja ravnoteže neli-nearnog sistema s nestacionarnom nelinearnošću. Pre nego što definitivno formulišemo kriterijum stabilnosti za ovaj slučaj, razmotrimo problem uključivanja i slučajeva nelinearnih sistema s nestabilnim

Sl. 8.22. Ekvivalentni nelinearni sistem.

linearnim delom. Kao i ranije, ako je moguće da se uvođe-njem krute negativne povratne sprege na linearnom delu sistema on stabiliše, tada je transformacijom neline-arnosti, ali i referentnog

ulaza, potrebno obezbediti da proces x(t) u sistemu ostane nepromenjen. Na taj način se dobija strukturna blok-šema nelinearnog sistema kao na sl. 8.22. Signali greške netransformisanog i transformisanog sistema su, respektivno,

.)())(()(1

)()())(()()()(

,))(()()()(

trxtxFsrW

sWsftxFsWsfsX

txFsWsfsX

trtrtrtr −+

−=−=

−=

LL

L

Uzimajući u obzir linearnost Laplasove transformacije, rešavajući drugu relaciju po X(s), i izjednačavanjem desnih strana tako dobijene relacije i prve relacije, dobija se uslov ekvivalentnosti

f s f srW str ( )( )

( )=

+1. (8.49)

S obzirom da je u polaznom sistemu f(t)-funkcija ograničena po apsolutnoj vrednosti, a da imenilac (8.49) nema korene u desnoj poluravni, onda će i ftr(t) biti takođe funkcija ograničena po apsolutnoj vrednosti. Stoga se uslovi stabilnosti procesa mogu primeniti i na ovaj sistem, s tom razlikom što se sektor u kome se nalazi nelinearna funkcija modifikuje. Naime, iz uslova da transformisana nelinearnost pripada sektoru [0,k] proizilazi

kxxFrkr

xxF

<<⇒<−<)()(0 .

Međutim, s obzirom na to da je sada nelinearna funkcija ne F(x), već Ψ(x), to, s obzirom na (8.48), potrebno je da izvod nelinearne funkcije po x(t) se nalazi u sektoru (r,k), tj.

196


r dF x tdx

F x k< =( ( ))

' ( ) < . (8.50)

Sada se kriterijum apsolutne stabilnosti procesa može formulisati kao kružni kriterijum na sledeći način [13]:

Prinudni procesi u nelinearnom sistemu biće apsolutno stabilni, ako izvod nelinearnosti (koeficijent diferencijalne linearizacije) pripada sektoru (r,k), a Nikvistova kriva linearnog dela sistema W(jω) ne presecajući (k,r) krug isti obuhvata u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu p/2 puta, gde je p-indeks nestabilnosti linearnog dela sistema.

Iz ovoga se vidi da je kružni kriterijum po formulaciji uopštenje Nikvistovog kriterijuma stabilnosti linearnih sistema, pri čemu postoje ograničenja u pogledu oblika nelinearne funkcije (koeficijent diferencijalne linearizacije se mora nalaziti u odgovarajućem sektoru), a kritična tačka postaje (k,r) krug. To ukazuje na činjenicu da se stabilnost nelinearnih sistema, u opštem slučaju, teže ostvaruje nego li što je slučaj kod linearnih sistema. Osim toga, istaknimo da su svi ovi kriterijumi stabilnosti samo dovoljni. Drugim rečima, ako se na osnovu njih utvrdi stabilnost sistema, on je zaista stabilan za date uslove (ograničenja) ali ne možemo tvrditi da on neće biti stabilan i za neke druge (blaže) uslove. Takođe, istaknimo da kod stabilnosti prinudnih procesa u sistemu na neki način figuriše Kalmanova hipoteza, dok kod stabilnosti stanja ravnoteže je prisutna Ajzermanova hipoteza. Primer 8.10. SAU ima linearni deo opisan funkcijom prenosa

W s . s s s s

( )( )( ,

=+ + +

16

1 0 45 162 )Analizirati uslove apsolutne stabilnosti stanja ravnoteže posmatranog sistema za sledeće slučajeve: a) regulator linearan s pojačanjem k, b) regulator ima nelinearnu stacionarnu karakteristiku Lurjeovog tipa, c) regulator ima nelinearnu nestacionarnu karakteristiku Lurjeovog tipa, d) stabilnost procesa u takvom sistemu ako na ulazu deluje referentni signal ograničen po apsolutnoj vrednosti. a) karakteristični polinom sistema s linearnim regulatorom je . kssss 161645,1645,1 234 ++++Primenjujući bilo koji linearni kriterijum stabilnosti (Hurvic, Raus, Mihajlov) nalazimo granični koeficijent pojačanja K=3,73483947. b) Modifikovana amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema je

.

)45,1616()45,16()1645,1(16

)45,1616()45,16()45,16(16

22222

2

22222

2)(

ω−+−ωω−ω

+ω−+−ωω

−ω=ω

j

W jm

Na sl. 8.23 prikazana je konstrukcija modifikovane frekvencijske karakteristike i prava Popova. Odakle se zaključuje da je maksimalni koeficijent pojačanja

197


k = =1

0 765161 3069

,, .

Sl. 8.23. Određivanje apsolutne

stabilnosti nelinearnog sistema po metodi Popova.

Sl. 8.24. Određivanje apsolutne stabilnosti sistema s nestacionarnom nelinearnošću ili

stabilnosti procesa. c) Kada je nelinearnost nestacionarna, tada se primenjuje kružni kriterijum. S ob-

zirom na to da je linearni deo posmatranog sistema stabilan, posmatrani nelinearni sistem biće stabilan ako (k,r)-krug nije zahvaćen amplitudno-faznom karakteristikom linearnog dela sistema. U svrhu određivanja uslova u kom sektoru se mora nalaziti nestacionarna nelinearnost, konstruisaćemo amplitudno-faznu karakteristiku linearnog dela sistema (ne modifikovanu) i krug koji dodiruje datu karakteristiku, sl. 8.24. S obzirom da je linearni deo stabilan, nije potrebno uvoditi povratnu spregu s faktorom r radi njegove stabilizacije (r=0) pa se (k,r)- krug transformiše u pravu Popova koja je upravna na realnu osu i tangira amplitudno faznu karakteristiku linearnog dela sistema.

Iz dijagrama se nalazi

k = =1

1 027350 973378

,, .

Prema tome, sistem će biti stabilan ako se statički koeficijent pojačanja nelinearne karakteristike u bilo kom trenutku vremena nalazi u sektoru [0; 0,973378].

d) Za stabilnost procesa rešenje je isto kao u prethodnom slučaju, s tom razlikom što se sada zahteva da se koeficijent diferencijalne linearizacije nelinearne karakteristike nalaziti u sektoru [0; 0,973378]. Iz ovoga se vidi da se oblast stabilnosti nelinearnog sistema u odnosu na pojačanje nelinearnog elementa sužava. Oblast stabilnosti je: 73483947,30 << kkod linearnog sistema; 3069,10 << kkod nelinearnog sistema sa statičkom nelinearnošću; 973378,00 << kkod nelinearnog sistema s nestacionarnom nelinearnošću;

0 0 973378< <d

dF x

x( ) ,

kod neautonomnog sistema.

198


LITERATURA [1] Барбашин, Е. А.: Введение в теорию устойчивости, «Hаука», Москва, 1967. [2] Бесекерски, В. А.: Сборник задач по теории автоматического регулирования,

«Наука», Москва, 1977. [3] Воронов, А. А.: Основы теории автоматического управления: Особые линейные

и нелинейные системы, «Энергоиздат», Москва, 1981. [4] Гельднер, К., Кубик, С.: Нелиненые системы управления, «Мир», Москва, 1987. [5] Лакоты, Н. А.: Основы проектирования следящих систем, «Машиностроение»,

Москва, 1978. [7] Леондес, Н. А. (ред.): Современная теория систем управления , «Наука», Москва,

1970. [8] Летов, А. М.: Усточивость нелинейных регулируемых систем, Изд. физическо-

математической литературы, Москва, 1962. [9] Магарин, Б. Ж.: Усточивость и качество процессов нелинейных систем

автоматического управления, «Наука», Алма-Ата, 1980. [10] Нетушил, А. В.: Tеория автоматического управления, «Высша школа», Москва,

1976. [11] Netushil, A. (Edit.): Theory of Automatic Control, Mir Publisher, Moscow,

1978. [12] Stojić, M.: Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, "Naučna knjiga",

Beograd, 1990. [13] Сю, Д., Мейер, А.: Современная теория автоматического управления, «Машино

строение», Москва, 1972. [14] Цпкин, Я. З.: Основы теории автоматических систем, «Наука», Москва, 1977.

Pitanja za samoproveru 1. Kod linearnih SAU stabilnost ne zavisi od _____________ulaznog signala, dok

nelinearni sistem može biti __________ za neki ulazni signal i _________ za drugi ulazni signal.

2. Linearni sistem ima jedno jedinstveno _______________, a nelinearni sistem može imati ___________________stanja ravnoteže.

3. Za ocenu stabilnosti nelinearnih sistema ne može se koristiti prilaz » _________ ulaz - _________ izlaz«, već ponašanje __________ sistema u okolini stanja __________.

4. Po hipotezi Ajzermana nelinearni sistem biće stabilan ako je on sveden na osnovnu strukturu i ona je stabilna za sve koeficijente __________ linearizacije nelinearnog elementa.

5. Po hipotezi Kalmana nelinearni sistem biće stabilan ako je on sveden na osnovnu strukturu i ona je stabilna za sve koeficijente __________ linearizacije nelinearnog elementa.

6. Hipoteza Kalmana je ____________ od hipoteze Ajzermana. 7. Za ocenu stabilnosti nelinearnih SAU najpogodniji prilaz je korišćenje metoda

zasnovanih na ____________ konceptu stabilnosti. 8. Postoje ________ metode Ljapunova i to: ___________ i __________, koje se

nazivaju i: _____________ i _______________ Ljapunova.

199

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 9. __________________ metoda Ljapunova definiše _________stabilnost

nelinearnog sistema i koristi _______________model sistema u okolini stanja ravnoteže.

10. Po prvoj metodi Ljapunova ravnotežno stanje nelinearnog sistema je stabilno ako __________ model sistema ima sve ____________ sopstvene vrednosti.

11. Po prvoj metodi Ljapunova ravnotežno stanje nelinearnog sistema je nestabilno ako __________ model sistema makar i jednu____________ sopstvenu vrednost.

12. Ako linearizovani model neklinearnog sistema ima sopstvene vrednosti na granici stabilnosti, za posmatrano stanje ravnoteže se ne može _____________ stabilnost na osnovi ___________ metode Ljapunova.

13. Direktna metoda Ljapunova daje samo _____________ uslove stabilnosti. 14. Lurjeov problem se odnosi na određivanje ____________________ za jednu

klasu nelinearnih sistema sa _______________ nelinearnom karakteristikom koja se nalazi u ___________________ kvadrantu i prolazi kroz _______________.

15. Funkcija Ljapunova u Lurjeovom zadatku se bira kao _________________ kvadratna forma plus ______________ od nelinearnosti.

16. Lurje je posmatrao samo dva slučaja, koja je nazvao ____________ i __________ slučaj. Prvi se odnosi na sisteme sa __________ linearnim delom, a drugi na linearni deo koji je _____________________________.

17. Pojam apsolutne stabilnosti nelinearnog sistema je uveo _________ i on se odnosi na ________________ asimptotsku stabilnost _____________ stanja ravnoteže sistema.

18. Lurjeov problem je veoma efektno za inženjersku primenu rešio rumunski naučnik_________________. Po njegovoj metodi nelinearni sistem biće ________________ stabilan ako se _____________ amplitudno-fazna karakteristika linearnog dela sistema nalazi __________ od prave ___________.

19. Koeficijent nagiba prave ___________ zavisi od tipa nelinearne karakteristike. Za jednoznačne stacionarne nelinearnosti on može biti ______________, za višeznačne stacionarne nelinearnosti s pozitivnim histerezisom on je ____________, za višeznačne stacionarne nelinearnosti s negativnim histerezisom on je______________, a za nestacionarne jednoznačne ili višeznačne nelinearnosti koeficijent nagiba prave __________ je _____________________.

20. Prava __________ preseca realnu osu u taćki _________________. 21. Kriterijum apsolutne stabilnosti se može koristiti i kada je linearni deo sistema

nestabilan, ako se taj deo sistema može stabilisati uvođenjem _______________ ________________________ čija je funkcija prenosa __________.

22. Kada je linearni deo sistema nestabilan a može se stabilisati uvođenjem negativne ____________ povratne sprege, tada se statička nelinearnost sistema mora nalaziti u sektoru ________.

23. Parabolični kriterijum stabilnosti se primenjuje na nelinearne sisteme sa ______________ linearnim delom.

24. Kružni kriterijum stabilnosti se primenjuje za sisteme sa ______________ statičkom nelinearnošću i ____________ linearan deo sistema koji se može ___________ primenom _______________ ___________povratne sprege.

25. Za određivanje stabilnost procesa u nelinearnim sistemima sa nestabilnim linearnim delom koristi se _______________ kriterijum stabilnosti, a pri tome

200


_______________ koeficijent pojačanja nelinearnosti mora se nalaziti u _______________ sektoru.

26. Kružni kriterijum stabilnosti nelinearnih sistema je analog ______________ kriterijumu stabilnosti kod linearnih SAU, pri čemu (k,r)-krug ima ulogu _________________ kod ____________ kriterijuma.

27. Nelinearni SAU sa nestacionarnom statičkom nelinearnom funkcijom i nestabilnim linearnim delom biće apsolutno stabilan ako ___________ kriva linearnog dela sistema ____________ (k,r)- krug u ________________________ __________________ p/2 puta, gde je p- indeks __________________________.

ZADACI ZA VEŽBU

1. Nelinearni sistem je opisan diferencijalnom jednačinom . a) Odrediti stanja ravnoteže sistema. b) Na osnovu indirektne metode Ljapunova odrediti stabilnost sistema u okolini stanja ravnoteže.

)cos(xx −=&

2. Nelinearni sistem osnovne strukture ima linearni deo opisan funkcijom prenosa

)1)(2()(

+−=

ssksW i nelinearnost . a) Odrediti stanja ravnoteže

sistema. b) Na osnovu indirektne metode Ljapunova odrediti stabilnost sistema u okolini stanja ravnoteže.

)(sat )( eeF =

3. Sistem je opisan modelom utvrditi stabilnost nultog stanja

ravnoteže primenom I metode Ljapunova. 21212

211 ,sinxxxxx

xxx+−=

+−=&

&

4. Sistem je opisan modelom . Utvrditi stabilnost nultog stanja

ravnoteže primenom I metode Ljapunova. 2

212

211 ),cos(1

xxx

xxx

−=

+−=

&

&

5. Sistem je opisan modelom Utvrditi stabilnost nultog stanja ravnoteže primenom I metode Ljapunova.

.)sin( uxcxdx =++ &&&

6. Primenom I i II metode Ljapunova pokazati da se donose isti zaključci o stabilnosti stanja ravnoteže nelinearnog sistema opisanog sa:

.

,2222

2111

xxx

xxxx

+−=

+−=

&

&

7. Sistem je opisan modelom .

Odrediti uslove asimptotske stabilnosti stanja ravnoteže u odnosu na parametre k i r.

)(;11

;01000001

; 3xfurkk

u =

−−=

−

−=+= bAbAxx&

8. Nelinearni sistem je opisan modelom 06

3

=−++xxxx &&& . Primenom II metode

Ljapunova ispitati stabilnost stanja ravnoteže. 9. Nelinearni sistem osnovne strukture sa relejnim regulatorom tipa tropozicionog

regulatora bez histerezisa ima linearni deo opisan funkcijom prenosa

201

Č. Milosavljević: Teorija automatskog upravljanja-2 3)1/()( += sksW . Primenom frekvencijske metode Popova utvrditi uslove

apsolutne stabilnosti sistema. 10. Nelinearan sistem osnovne strukture, s nelinearnom statičkom karakteristikom

Lurjeovog tipa, ima funkciju prenosa linearnog dela opisanu funkcijom prenosa . Odrediti uslove apsolutne stabilnosti sistema. )3)(1/(10)( +−= sssW

11. Nelinearni sistem osnovne strukture ima funkciju prenosa koja je redna veza pojačavača (k), aperiodičnog elementa prvog reda (T1=1 s) i oscilatornog elementa drugog reda ( . Za upravljanje datim linearnim objektom treba primeniti jedan od nelinearnih regulatora: a) idealni rele; b) rele sa mrtvom zonom ili c) pojačavač sa zasićenjem. Odrediti uslove stabilnosti sistema sa datim regulatorima i izabrati najpovoljnije rešenje.

) 4;5,0 1−=ω=ζ sn

12. Nelinearni sistem je prikazan strukturnim blok-dijagramom na sl. 8.25. Naći uslove apsolutne stabilnosti sistema.

Sl.8.25. 13. Utvrditi uslove stabilnost nelinearnog sistema .0)1( =+−+ xxxx &&&

14. Ispitati uslove stabilnosti sistema .)(2,)(3

1122

1121

xxfxxxxfxx

−−=−−=

&

&

15. Nelinearni sistem upravljanja osnovne strukture ima linearni deo sastavljen od redne veze tri identična inercijalna elementa prvog reda (T=0,5 s) a nelinearnost je Lurjeovog tipa i nalazi se u sektoru [0, k]. Primenom frekvencijske metode Popova utvrditi uslove apsolutne stabilnosti sistema.

16. Ispitati apsolutnu stabilnost položaja ravnoteže i procesa u nelinearnom nestacionarnom sistemu prikazanom na slici 8.26.

Sl. 8.26. 17. Nelinearni sistem sa stacionarnom nelinearnošću prikazan je na slici 8.27.

Primenom Lurjeovog zadatka odrediti uslove apsolutne stabilnosti sistema.

Sl. 8.27.

202

Glava 9: Nelinearni zakoni upravljanja 203

9.1 Klasični nelinearni zakoni upravljanja 203

9.1.1 Dvopozicioni regulatori 203 9.1.1.1 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu

prvog reda bez kašnjenja 205

9.1.1.2 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu

prvog reda s kašnjenjem 207

9.1.1.3 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na astatičkom objektu


9.1.1.4 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu

prvog reda bez kašnjenja 208

9.1.1.5 Dvopozicioni regulator s histerezisom na statičkom objektu


9.1.1.6 Dvopozicioni regulator bez histerezisa na statičkom objektu


9.1.1.7 Dvopozicioni regulator s histerezisom na astatičkom objektu

drugog reda 213

9.1.1.8 Dvopozicioni impulsni regulator 214

9.2 Zakoni upravljanja promenljive strukture. Klizni režimi 215

9.2.1 Uvod 215 9.2.2 SUPS Jemeljjanova s kliznim režimom.

Kvazirelejni algoritam upravljanja 217

9.2.3 Relejni algoritam upravljanja 221

9.2.4 Kombinovani i drugi algoritmi upravljanja 223

9.2.5 Metoda ekvivalentnog upravljanja 230 9.2.5.1 Skalarno upravljanje 230

9.2.5.2 Vektorsko upravljanje 232

Literatura 236



a

Glava 9.

NELINEARNI ZAKONI UPRAVLJANJA

9.1 Klasični nelinearni zakoni upravljanja U praksi SAR u industriji, domaćinstvima i na mnogim drugim mestima kao što su: proces regulacije temperature, protoka, pritiska i drugih veličina, široku primenu ima jedna klasa nelinearnih zakona upravljanja koja se krajnje jedno-stavno implementira u tzv. relejnoj tehnici. Takvi nelinearni zakoni upravljanja se ostvaruju regulatorima koji su poznati kao pozicioni regulatori: dvopozicioni i tropozicioni. Oni mogu biti sa ili bez histerezisa. Normalni režim rada sistema s ovim regulatorima je oscilatorni režim. Parametri tog režima su amplituda i frekvencija oscilovanja. Za njihovo određivanje koriste se tačne metode (metode prostora stanja (fazne ravni), računarske metode) i približne metode (metoda harmonijske linearizacije). U daljem izlaganju izučićemo ponašanje sistema s dvopozicionim regulatorima u regulaciji astatičkih i statičkih objekata prvog i drugog reda sa ili bez transportnog kašnjenja. Zatim ćemo ukazati na neke modifikacije nelinearnih zakona upravljanja korišćenjem širinsko-impulsne modulacije, kojom se poboljšavaju karakteristike ovih regulatora. 9.1.1 Dvopozicioni regulatori To su regulatori koji imaju karakteristiku idealnog relejnog elementa ili relejnog elementa s histerezisom (videti odeljak 5.2 i slike 5.7a i 5.7b). Regu-latori bez histerezisa, zbog izraženih visokofrekvencijskih treperenja, ređe se koristi u sistemima elektromehaničkog tipa, osim u onim koji imaju transportno kašnjenje. Regulatori s histerezisom su našli široku primenu u sistemima za regulaciju temperature s elektromehaničkim relejima i kontaktorima. Prisustvo histerezisa smanjuje frekvenciju preključenja. Izbor parametara regulatora se svodi na izbor amplitude i frekvencije samooscilacija sistema u okolini radne tačke primenom metode harmonijske linearizacije (videti glavu 7), kada su ispunjeni osnovni uslovi primene te metode (uslov niskopropusnog filtra - kada

Č. Milosavljević : Teorija automatskog upravljanja-2

je relativni red sistema ≥2). U jednostavnijim slučajevima, kada je objekat prvog reda, parametri za podešenje regulatora se određuju neposredno.

Sl. 9.1. Dvopozicioni regulator

na objektu s kašnjenjem

Na sl. 9.1 prikazana je strukturna blok-šema sistema s dvopozicio-nim regulatorom i objektom prvog ili drugog reda. U zavisnosti od parametara regulatora i objekta razlikova-ćemo sledeće slučajeve:

1. λ>0, τo=0, - dvopozicioni regulator s histerezisom primenjen na astatičkom objektu prvog reda bez transportnog kašnjenja;

Q s s( ) =

2. λ>0, τo>0, - dvopozicioni regulator s histerezisom primenjen na astatičkom objektu prvog reda s transportnim kašnjenjem;

Q s s( ) =

3. λ=0, τo>0, - dvopozicioni regulator bez histerezisa primenjen na astatičkom objektu prvog reda s transportnim kašnjenjem;

Q s s( ) =

4. λ=0, τo=0, - dvopozicioni regulator bez histerezisa primenjen na astatičkom objektu prvog reda bez transportnog kašnjenja;

Q s s( ) =

5. λ>0, τo=0, ,TQ s sTo( ) = +1 o>0 - dvopozicioni regulator s histerezisom primenjen na statičkom objektu prvog reda bez transportnog kašnjenja; 6. λ>0, τo>0, ,TQ s sTo( ) = +1 o>0 - dvopozicioni regulator s histerezisom primenjen na statičkom objektu prvog reda s transportnim kašnjenjem; 7. λ=0, τo>0, , TQ s sTo( ) = +1 o>0 - dvopozicioni regulator bez histerezisa primenjen na statičkom objektu prvog reda s transportnim kašnjenjem; 8. λ=0, τo=0, , TQ s sTo( ) = +1 o>0 - dvopozicioni regulator bez histerezisa

Sl. 9.2. Statičke karakteristike dvopozicionih regulatora: 1)- bez histerezisa, 2)-s histerezisom; a) sa simetričnom, (b, c) s asimetričnom karak-teristikom; c) karakteristike ON-OFF regulatora

primenjen na statičkom ob-jektu prvog reda bez trans-portnog kašnjenja. Dvopozicioni regulatori mo-gu biti: a) simetrični u odnosu na x-osu (x -je signal greške) ili b) asimetrični. Poseban slučaj asimetrije je kada je vrednost jedne pozicije regu-latora jednaka nuli. Tada ka-žemo da je regulator tipa uključeno-isključeno (engl.: ON-OFF regulator). Na sl. 9.2 date su statičke karakteristike navedenih ti-pova regulatora.

Opšti oblik matematičkog modela sistema sa sl. 9.1 je: (9.1) ),()()( tctrtx −=

204

Glava 9. : Nelinearni zakoni upravljanja

(9.2a) ),()( oo tuKtc τ−=&

- za astatički objekat, i , (9.2b) ooo TatauKtactc /1 ),()()( =τ−+−=&

- za statički objekat. Upravljanje je opisano relacijom:

, u tU

xx

Uxx

U Uo

o

o o( ) ,

.

; ,=− < < >

− < < <

< −

> ≤

+

−

+ − za

> ,

za ,

λλ λ σλ λ σ

λ

00

0 0

1 (9.3)

Za regulator bez histerezisa je λ=0. Pri tome se smatra da kašnjenje u objektu nastaje na strani ulaza (uprav-ljanja). Ono može biti i na strani izlaza odnosno pri merenju. Sa stanovišta regulacije izlazne veličine to je irelevantno za dalja razmatranja. U cilju skraćivanja izlaganja razmotrićemo tipične predstavnike navedenih slučajeva i ukazati na različitosti drugih u odnosu na tipične. Kao tipične izabraćemo dvopozicioni regulator s histerezisom na (i) astatičkom objektu i (ii) na statičkom objektu, oba bez transportnog kašnjenja. Pođimo od jednostavnijeg slučaja kada je objekat astatičkog tipa (objekat bez samoregulacije). 9.1.1.1 DVOPOZICIONI REGULATOR S HISTEREZISOM NA ASTA- TIČKOM OBJEKTU PRVOG REDA BEZ KAŠNJENJA2 Sistem se opisuje sa (9.2a) i (9.3). Odziv sistema pri regulaciji zadatom vrednošću r(t)=const ima oblik kao na sl. 9.3 (τo=0). Nas, prvenstveno, interesuje režim ustaljenog stanja koji nije statički, već dinamički, kada imamo režim samooscilacija trougaonog tipa. Parametre samooscilacija (amplitudu i frekvenciju) odredićemo na osnovu rešenja diferencijalne jednačine (9.2a) polazeći od početnih uslova s granice intervala preključenja regulatora. Ovde imamo sistem čije upravljanje menja znak (kod simetričnog regulatora) ili vrednost i znak (kod asimetričnog regulatora), odnosno imamo kretanje neau-tonomnog i autonomnog sistema (kod ON-OFF regulatora). Bez obzira na tip regulatora, bitno je sukcesivno smenjivanje početnih uslova. Prema tome, polazeći od početnog uslova s granice intervala r-λ tj. c(0)=r-λ, nala-zimo vreme t=T

u U o= +

=→ (tc1 potrebno da stanje sistema dostigne granicu intervala preklju-

čenja upravljanja c T , i obrnuto ( r( )1 = + λ c r( ) ,0 = + λ u U o= − =)T)λ−r . S obzirom da je opšte rešenje diferencijalne jednačine (9.12a)

∫+=t

o ttuKctc0

d)()0()(

1 Relacija (9.3) se razlikuje od one date izrazom (5.5) koja ima smisla ako je ulazni signal sinusoidalan. U ovoj zapisi σ označava predistoriju stanja regulatora.

205

2 Radi kratkoće zapisivanja, dalje ćemo, umesto dvopozicioni regulator.... primenjen na objektu ..., koristiti dvopozicioni regulator....na objektu...


Sl. 9.3. Dvopozicioni regulator s histerezisom (λ=0,2;

Uo=1) u regulaciji astatičkog objekta s kašnjenjem: Ko=2, τo=0,2s.

nalazimo

),( )()( 101

λ+=+λ−== +

rTUKrTtc o

odakle se dobija

TK Uo o

12

=+

λ , (9.4)

odnosno

TK Uo o

22

= −−

λ . (9.5)

Iz (9.5) se vidi da mora biti ispunjen uslovU . U suprotnom slučaju sistem će zauzeti fiksnu poziciju i neće imati režim samooscilacija ako je

, što nije normalan radni

o− < 0

c r≠

U o− = 0

režim, odnosno neprestano će se udaljavati od zadate reference, ako je U . Prema tome, možemo zaključiti:

o− > 0

ON-OFF regulator se ne može primeniti za regulaciju astatičkih objekata. Amplituda oscilacija je jednaka polovini histerezisne zone (λ) regulatora, a frekvencija preključenja je3

fT T T

= =+

2 2

1 2. (9.6)

Sa praktične tačke gledišta, poželjno je imati što manju amplitudu i što veću periodu oscilovanja. Ti zahtevi su antagonistički i rešavaju se kompromisno. Ako kompromis nije moguć, sa stanovišta tehničkih uslova u odnosu na kvalitet procesa regulacije, treba primeniti drugi tip regulatora. Frekvencija preključenja, za slučaj simetričnog napajanja regulatora (U ), je Uo o

+ −= −

fT T

K Uo o=+

=2

21 2 λ. (9.7)

U ovom slučaju, u stacionarnom stanju, imamo simetrične trougaone oscilacije u okolini zadate vrednosti tako da je srednja vrednost izlaza jednaka referent-nom ulazu.

206

3 Frekvencija u ovom slučaju označava broj preključenja relea u jedinici vremena. Ta veličina je veoma važna za živorni vek relea (regulatora) elektromehaničkog tipa.


9.1.1.2 DVOPOZICIONI REGULATOR S HISTEREZISOM NA ASTATIČKOM OBJEKTU PRVOG REDA S KAŠNJENJEM

Za razliku od prethodnog slučaja, zbog kašnjenja u objektu od τo sekundi, trenutak promene upravljanja, za deo objekta bez kašnjenja, neće biti kada izlaz sistema dostigne granice preključenja regulatora ( r , već će se desiti sekundi kasnije. Stoga, polazeći od početnog uslova s granice r+λ, odnosno r-λ, vrednost izlazne promenljive c(t) je:

± λ) τ o

(9.8a) c t u U c r K Uo( , ) ( )max= = = = + ++τ λ0 , o o o+τ

o−τ

o)τ

odnosno . (9.8b) c t u U c r K Uo o o o( , ) ( )min= = = = − +−τ λRazmah oscilacija je . (9.8c) ∆c c c K U Uo o o= − = + −+ −

max min (2λ Za određivanje frekvencije oscilovanja potrebno je odrediti i vremenske intervale odnosno T za koje izlazni signal c(t) pređe iz pozicije cT1

,2,

min u poziciju r-λ, odnosno iz cmax u r+λ. Koristeći opšte rešenje diferencijalne jednačine koja opisuje ovaj sistem, početne i krajnje uslove, dobijaju se:

TUU

o

oo1

, = −−

+τ , T

UU

o

oo2

, = −+

−τ ;U . o

− < 0

Frekvencija preključenja regulatora je

fT T T T U

UUU K U U

oo

o

o

o

o o o o

=+ + + +

=

− − + −−

+

+

− +

2

2

2

22 1 11 2 1 2τ

τλ, ,

( ) (−

)

o

.(9.9a)

U slučaju simetričnog regulatora (U U ) frekvencija preključenja je Uo o+ −= − =

fT T

K Uo

oo o

=+ +

=+

24

1

21 2τ τλ( )

, (9.9b)

gde su T1 i T2 vremenski intervali dati izrazima (9.4), (9.5). Na sl. 9.3 prikazan je i odziv sistema s kašnjenjem u objektu, kojim se ilustruju napred izvedeni zaključci. Iz ovog razmatranja se vidi da transportno kašnjenje povećava amplitudu oscilacija i smanjuje frekvenciju oscilovanja. Međutim, srednja vrednost izlaza je jednaka zadatoj vrednosti u oba slučaja, što se može uočiti iz odziva, a može se lako i dokazati. Primer 9.1 Dat je astatički objekat prvog reda čiji su parametri Ko=2, τo=0,2 s. Odrediti parametre samooscilacija u sistemu ako je primenjen simetrični dvopozicioni regulator s parametrima λ=0,2 i Uo=1. Shodno relacijama (9.4) - (9.9) imamo: ∆ , 2,12.0))1(1(22,02 =−−+⋅=c

s 2,0122,02

21 =⋅⋅

==TT .

207


Perioda oscilovanja je s. 2,14,08,024 1 =+=+τ To

Na sl. 9.3 prikazani su rezultati simulacije za ovaj primer.

9.1.1.3 DVOPOZICIONI REGULATOR BEZ HISTEREZISA NA ASTATIČKOM OBJEKTU PRVOG REDA S KAŠNJENJEM Na osnovu izloženog može se zaključiti da je kod objekata s transportnim kašnjenjem moguća primena dvopozicionog regulatora bez histerezisa a da ne nastupe visokofrekvencijska treperenja. Tada je razmah regulisane veličine , (9.10) ∆c K U Uo o o= ++ −( τo)a frekvencija preključenja za asimetričan regulator je

fT T U

UUU

oo

o

o

o

o

=+ +

=

− −−

+

+

−

2

2

2

21 2ττ

, ,( )

, (9.11a)

dok je za simetrični regulator

fo

=1

2τ. (9.11b)

Prema tome, ovde postoji samo mogućnost promene parametra regulatora U

i/ili U kojima se može uticati na amplitudu i frekvenciju oscilacija. U slučaju simetričnog regulatora frekvencija oscilovanja je određena samo transportnim kašnjenjem.

o+

o−

Iz (9.11) se zaključuje da će sistem s regulatorom bez histerezisa na objektu bez kašnjenja imati beskonačno veliku frekvenciju i nultu amplitudu oscilo-vanja. U tom slučaju izlazna regulisana promenljiva će u svakom trenutku, u ustaljenom stanju, biti jednaka referentnoj vrednosti i u sistemu će egzistirati klizni režim. To je idealni slučaj. U realnosti uvek postoje mala kašnjenja što uzrokuje visokofrekvencijska preključenja koja često nisu poželjna, naročito kod regulatora s elektromehaničkim izvršnim organima, jer dovode do njihovog brzog habanja. 9.1.1.4 DVOPOZICIONI REGULATOR S HISTEREZISOM NA STATIČKOM OBJEKTU PRVOG REDA BEZ KAŠNJENJA Sistem se opisuje relacijama (9.2b) i (9.3). Odziv sistema je kao na sl. 9.4. Za nalaženje parametara oscilacija u ustaljenom stanju koristićemo istu metodologiju kao i u prethodnim slučajevima. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (9.2b) je

. (9.12) c t c e e K u dat a to

t( ) ( ) ( )( )= +− − −∫0

0

τ τ τ

Posmatrajući stanje ustaljenog dinamičkog režima oko ravnotežnog stanja c=r, mogu se napisati sledeće relacije

208


c t T r r e K U e c r u U

c t T r r e K U e c r u U

aTo o

aTo

aTo o

aTo

( ) ( ) ( ), ( ) ,

( ) ( ) ( ), ( ) ,

= = + = − + − = − =

= = − = + + − = + =

− + − +

− − − −1

2

1 1

2 2

1 0

1 0

λ λ λ

λ λ λ

za

za

(9.13)

Sl. 9.4. Dvopozicioni regulator

s histerezisom sa statičkim objektom prvog reda bez i s kašnjenjem.

Na osnovu (9.13) sledi:

T TK U rK U r

oo o

o1

0

=− +

− −

+

+ln

λ

λ, (9. 14)

T Tr K Ur K U

oo o

o o2 =

+ −

− −

−

−ln

λ

λ. (9.15)

Frekvencija preključenja je

fT T T

= =+

2 2

1 2 . (9.16)

Prema tome, amplituda oscilovanja izlaznog signala oko ravnotežnog stanja je λ, a frekvencija je određena re-

lacijom (9.16). Na sl. 9.4 prikazan je odziv takvog sistema. Pažljivim posmatranjem može se uočiti da srednja vrednost izlaznog signala neće biti jednaka zadatoj vrednosti, što se naročito ispoljava kod objekata s transportnim kašnjenjem. Osnovni razlog tome je što se brzina promene izlaz-nog signala menja i funkcija je nivoa reference, upravljanja i vremena.

9.1.1.5 DVOPOZICIONI REGULATOR S HISTEREZISOM NA STATIČKOM OBJEKTU PRVOG REDA S KAŠNJENJEM

Usled čistog (transportnog) kašnjenja τo tok izlaznog signala c(t) neće se menjati na granicima preključenja relea kao u prethodnom slučaju, već će on i dalje rasti (opadati) u toku vremena kašnjenja. Očigledno je da će intervali preključenja izlaza biti , (9.17) T T Ts1 1 1= + +, τo

o (9.18) T T Ts2 2 2= + +, τ

gde su T1 i T2 intervali određeni relacijama (9.14) i (9.15), a , odnosno , su vremenski intervali potrebni da izlazni signal pređe iz pozicije c

T1, T2

,

min u poziciju r-λ, odnosno iz cmax

)+

)−

u r+λ. Primenjujući istu metodologiju kao kod astatičkog objekta s kašnjenjem, uz uvažavanje opšteg rešenja diferencijalne jednačine (9.2b) datog izrazom (9.12), nalazimo: , (9.19a) c K U r K U eo o o o

a omax (= + + −+ −λ τ

. (9.19b) c K U r K U eo o o oa o

min (= + − −− −λ τ

Izlazni signal će se menjati u rasponu cmax-cmin, tj. njegov razmah će biti

209


. (9.20) ∆c c c e K U U eao o o

ao= − = + − −− + − −max min ( )(2λ τ o )1 τ

Sl. 9.5. Dvopozicioni ON-OFF regulator s histerezisom sa statičkim objektom prvog

reda bez i s kašnjenjem.

Frekvencija preključenja je

fT Ts s

=+2

1 2, (9.21)

gde se T1s i T2s određuju izrazima

T TK U cK U cs o

o o

o1

0

=−

−

+

+ln min

max

, (9.22a)

T TK U cK U cs o

o o

o2

0

=−

−

−

−ln max

min

, (9.22b)

pri čemu se cmax i cmin određuju na osnovu (9.19) . Na sl. 9.4 dat je odziv sistema s pa-rametrima kao u prethodnom slučaju pri transportnom kašnjenju od 0,2 s.

Kao što se vidi, amplituda oscilacija se značjno povećala, a frekvencija pre-klapanja smanjila. Pri tome je nesimetričnost oscilacija veoma izražena, pa će srednja vrednost izlaza značajno odstupati od zadate vrednosti. U cilju smanje-nja tog odstupanja umesto simetričnog regulatora bolje je koristiti asimetrični, odnosno ON-OFF regulator koji se, za razliku od astatičkog objekta, gde se ne može primeniti, ovde uspešno koristi. Na sl. 9.5 prikazan je tok regulacije s ON-OFF regulatorom istog objekata kao na sl. 9.4. Primer 9.2. Regulator je dvopozicioni s λ = 0,2, Uo = 1, a objekat je statički s parametrima: Ko=2, To=0,5 s i τo = 0,2 s. Odrediti parametre procesa regulacije za simetričan i ON-OFF regulator. a) Za simetrični regulator na osnovu (9.19) nalazimo: , 463744,1)122,01(12)( 4,0

max =⋅−++⋅=−λ++= −τ−++ eeUKrUKc oaoooo

1231,0))1(22,01()1(2)( 4,0min −=−−−+−=−λ−+= −τ−−− eeUKrUKc oa

oooo

, 586844,1minmax =−=∆ ccc

T TK U c

K U cs

T TK U c

K U cs

s oo o

o

s oo o

o

10

20

0 52 1 0 12312 1 1 463744

0 688

0 52 1 1 4637442 1 0 1231

0 24473

=−

−=

⋅ − −⋅ −

=

=−

−=

− −− − −

=

+

+

−

−

ln , ln ( , ),

, ,

ln , ln ( ) ,( ) ( , )

, ,

min

max

max

min

T T T s fT

ss s= + = = = −1 2

10 932732

2 144, ; , .

Na sl. 9.4 prikazani su rezultati simulacije. b) za ON-OFF regulator ; c K U r K U e eo o o o

a omax

,( ) ( , ) ,= + + − = ⋅ + + − ⋅ =+ + − −λ τ 2 1 1 0 2 2 1 1 4637440 4

; c K U r K U e eo o o oa o

min,( ) ( ) ( , ( )) ,= + − − = + − − =− − − −λ τ 2 0 1 0 2 2 0 0 5362560 4

210


; ∆c c c= − =max min ,0 927488

T T ln K U c

K U cs

T T ln K U c

K U cs

s oo o

o

s oo o

o

10

20

0 52 1 0 5362562 1 1 463744

0 502

0 52 0 1 4637442 0 0 536256

0 502

=−

−=

⋅ −⋅ −

=

=−

−=

⋅ −⋅ −

=

+

+

−

−

min

max

max

min

,,,

, ;

,,,

, ;

ln

ln

. T f= ⋅ = = −2 0 502 0 857 1 992, , ; , s 1

Na sl. 9.5 prikazani su rezultati simulacije.

U razmatranim slučajevima sistema sa statičkim objektom, proces regulacije se odvija, kao što je rečeno, u intervalima s promenljivom brzinom, zbog eksponencijalnog toka izlazne promenljive. Proces je utoliko sporiji ukoliko je referentna vrednost bliže vrednosti koju definiše ustaljeno stanje jedne pozicije regulatora, što je i ilustrovano na datim odzivima. U cilju ubrzanja procesa regulacije i smanjenja odstupanja srednje vrednosti izlaza od referentne vred-nosti, može se preporučiti uvođenje većeg pojačanja u kolo regulacije, odnosno povećanje izlaza regulatora Uo. To je naročito od interesa kada transportna kašnjenja ne postoje ili su mala. Tada proces regulacije poprima osobine bliske

Sl. 9.6. Proces regulacije statičkog objekta prvog reda bez kašnjenja s većim

pobudnim signalima.

onima s astatičkim regulatorom. Radi ilustracije, na sl. 9.6 je prikazan regulacioni proces u istom sistemu kao na sl. 9.4, kada se pojačanje poveća 5 puta, a objekat nema transportno kašnjenje. U takvim slučajevima pro-račun parametara regulacije se može pojednostaviti smatrajući da se proces, u okolini referentne vrednosti, s dovoljnom tačnošću može aproksi-mirati astatičkim procesom, čije je pojačanje određeno relacijom

uaKarcK orco +−== =&ˆ . (9.23)

Sada se, primenjujući (9.4), (9.5), dobijaju sledeće relacije za vremenske intervale:

Ta K U ro o

12

≈−+

λ

( ), (9.24)

Ta r K Uo o

22

≈− −

λ

( ). (9.25)

Za sistem s transportnim kašnjenjem treba uračunati efekte vremena čistog kašnjenja i izračunati razmah. Shodno relacijama (9.8) za astatički objekat s kašnjenjem, i ovom slučaju je: , (9.26a) c r a K U ro o omax (≈ + + −+λ )τ

211


, (9.26b) c r a r K Uo o omin (≈ − + − −λ )τ

o)τ , (9.26c) ∆c c c aK U Uo o o= − ≈ + −+ −m ax m in (2λ

T T T ca K U r

s oo o

1 1 1= + + ≈−+

'

( )τ

∆ , (9.26d)

T T T ca r K U

s oo o

2 2 2= + + ≈− +

'

( )τ

∆ . (9.26e)

Primer 9.3: Za objekat iz prethodnog primera imamo: a) objekat bez kašnjenja

Ta K U ro o

12 2 0 2

2 5 1 10 05≈

−=

⋅⋅ −

=+λ

( )

,( )

, s ;

[ ]

Ta r K Uo o

22 2 0 2

2 1 50 0333≈ −

−= −

⋅− −

=−

λ

( ),

( ), s .

b) objekat s transportnim kašnjenjem od τo= 0,02 s:

[ ] ;8,002,0)1(1522,02)(2minmax

=−−⋅+⋅=τ−+λ≈−=∆ −+

oooo UUaKccc

T ca K U r

so o

10 8

2 5 10 1≈

−=

−=

+∆

( ),

( ), s ;

Sl. 9.7.

Generator pravougaonih impulsa s NAND kolom.

[ ]T c

a r K Us

o o2

0 82 1 5

0 06666≈ −−

=− −

=−

∆

( ),( )

, s .

Na sl. 9.6 prikazani su simulacioni rezultati koji potvrđuju ispravnost približne metode određivanja parametara oscilacija.

Primer 9.4. U elektronici, za generisanje pravougaonih impulsa se često koristi NAND integrisano kolo s histerezisom CD4093. Šema takvog generatora je prikazana na sl. 9.7. Ostavljamo studentima da sami odrede parametre samooscilacija u zavisnosti od širine histerezisa ±λ i parametara RC kola..

Primer 9.5. Za regulaciju brzine obrtanja motora jednosmerne struje s paralelnom pobudom primenjena je šema kao na sl. 9.8. Motor u stacionarnom stanju ima 2000 i 1000 min-1 pri uključenom i isključenom otporniku R, respektivno. Funkcija prenosa motora se može aproksimirati statičkim objektom prvog reda s transportnim kašnjenjem čiji su parametri: To=0,5 s i τo=0,01 s. Regulator treba da reguliše brzinu na 1500 min-1 s tačnošću od ±20 min-1. Odrediti parametre dvopozicionog regulatora s histerezisom ko-

Sl. 9.8.

Regulacija brzine motora jednosmerne struje dvopozicionim regulatorom.

ji će obezbediti date tehničke zahteve kao i frekvenciju samooscilovanja sistema. Na osnovu (9.26c) nalazimo

λ =− −

=

− ⋅ − ⋅=

+ −

−

∆c aK U Uo o o( )

( ) ,m in

240 2 1 2000 1000 0 01

210 1

212


.Hz 25

100015001

150020001

240

211

22

00

21=

−+

−

=

−+

−∆

=+

=

−+ UKrrUKacTT

f

oo

ss

9.1.1.6 DVOPOZICIONI REGULATOR BEZ HISTEREZISA NA STATIČKOM OBJEKTU PRVOG REDA S KAŠNJENJEM

Proces regulacije u takvom sistemu se opisuje sa (9.2b) i (9.3), za λ=0. Parametri podešenja regulatora se mogu dobiti na osnovu prethodnog slučaja, zamenom u izrazima (9.19) λ=0, tj. , . c K U r K U eo o o o

a omax ( )= + −+ + − τ c K U r K U eo o o o

a omin ( )= + −− − − τ

Razmah oscilacija je , (9.27) ∆c c c K U U eo o o

a o= − = − −+ − −max min ( )(1 τ )

a frekvencija preključenja regulatora je određena sa (9.21) i (9.22). Ako objekat nema transportno kašnjenje, a regulator je bez histerezisa frekvencija preključenja je beskonačna, dok je amplituda oscilacija jednaka nuli. Opet nastaje režim klizanja, kada je u ustaljenom stanju izlazni signal jednak referentnom ulaznom signalu.

9.1.1.7 DVOPOZICIONI REGULATOR S HISTEREZISOM NA ASTATIČKOM OBJEKTU DRUGOG REDA Razmotrićemo slučaj astatičkog objekta drugog reda bez kašnjenja, čija je funkcija prenosa

W s , (9.28) C sU s

Ks sTo

o

o( )

( )( ) ( )

= =+1

koji se reguliše simetričnim dvopozicionim regulatorom (9.3). Primenićemo metodu harmonijske linearizacije. Sličan zadatak (primer 7.4) smo već rešavali metodom Goljdfarba. Ovde ćemo primeniti metodu Popova koristeći kriterijum Mihajlova. Koeficijenti harmonijske linearizacije dvopozicionog regulatora s histere-zisom su

N UA

A N UA

o1 2

2 22 2

4= − = −π

λλ

π, o4 . (9.29)

Opisna funkcija (videti relaciju (3.8)) je

W sNE ( ) =4

22 2U

AA so

πλ λ− −

Ω

. (9.30)

Uslov oscilovanja po Mihajlovu (videti 3.14) je

j TUA

A j Koo

oω ωπ

λ λω

ω− + − −

=22

2 240

ΩΩ, za = , (9.31)

odakle se dobijaju dve simultane jednačine

04 2222 =Ω−λ−

π ooo TA

AKU , (9.32)

213


042 =

πλ

−ΩA

UK oo . (9.33)

Mogu se postaviti dva zadatka: a) za date parametre regulatora i objekta odrediti parametre oscilacija; b) za date parametre objekta i oscilacija odrediti parametre podešenja regula-tora. Zadatak pod a) se teško rešava analitički, jer se dobija jednačina šestog stepena po A. Zbog toga se on rešava grafo-analitički, odnosno korišćenjem računara. Zadatak pod b) ima analitičko rešenje u obliku:

Sl. 9.9. Simulacioni rezultat primene

dvopoziciong regulatora s λ=0,2; Uo=1 na astatičkom objektu drugog

reda sa Ko=2, To=0,5 s.

221 oT

A

Ω+=λ , (9.34)

222

144 o

ooo T

KA

KAU Ω+

Ωπ=

λΩπ

= . (9.35)

Primer 9.6 Astatički objekat drugog reda sa Ko=2, To=0,5s regulisati dvopozicionim regulatorom s histerezisom tako da amplituda samooscilacija bude A=0,38, a perioda oscilacija T=1,87 s. Odrediti parametre regu-latora. Frekvencija samooscilacija je

Ω = = = −2 6 281 87

3 358 1πT

,,

, . s

Na osnovu (9.34) je

λ =+

=+

=A

To1

0 38

1 3 358 0 50 194

2 2 2 2Ω

,

, ,, ,

a na osnovu (9.35)

U AKo

o= =

⋅ ⋅⋅ ⋅

=πλ

2 2

4314 0 38 3 358

4 0 19 20 98

Ω , . ,,

, .

Usvojimo Uo=1, λ=0,2. Na sl. 9.9 prikazan je odziv ovog sistema. 9.1.1.8 DVOPOZICIONI IMPULSNI REGULATOR

Iz prethodnog primera se vidi da kod sistema s astatičkim objektom drugog reda, upravljanim dvopozicionim regulatorom s histerezisom, nastaju oscilacije oko ravnotežnog stanja čija je amplituda relativno velika i u mnogim primenama nije poželjna. Ona se može smanjiti smanjivanjem širine histerezisa regulatora. Drugi prilaz je da se dvopozicioni regulator obuhvati negativnom povratnom spregom preko inercijalnog elementa prvog reda, sl. 9.10. Tada se u sistemu ostvaruje širinsko-impulsna modulacija. Na taj način se realizuje dvopozicioni impulsni regulator. Radi upoređenja s prethodnim primerom, na sl. 9.11 prikazan je tok regulacije izlazne promenljive c(t) i signal upravljanja u(t) kada se dvopozicioni regulator obuhvati negativnom povratnom spregom preko inercijalnog elementa s parametrima K=0,5; T=0,1 s. Kao što se vidi,

214


sistem je po osobinama blizak sistemu s linearnim regulatorom. Ovaj način linearizacije je u literaturi poznat kao vibraciona linearizacija.

Sl. 9.10. Dvopozicioni impulsni regulator.

Sl. 9.11.

Dvopozicioni impulsni regulator na astatičkom objektu drugog reda iz primera 9.6.

Treba istaći da se to postiže na račun povećanja frekvencije preklapanja regulatora. Takav regulator, zajedno s astatizmom regulisanog objekta, poprima osobine linearnog PI regulatora. 9.2 Zakoni upravljanja promenljive strukture.

Klizni režimi 9.2.1 UVOD Ranije, razmatrajući zadatak stabilizacije satelita u odnosu na zvezdani orijentir, gl. 6, a takođe, pri razmatranju dvopozicionih regulatora bez histe-rezisa na objektu bez kašnjenja, uočili smo jedan oblik kretanja pod nazivom klizni režim. On se, pri određenim uslovima, javlja u relejnim sistemima uprav-ljanja i odavno je poznat. Korišćen je kao jedna od metoda linearizacije nelinearnih SAU, kod vibracionih regulatora, primenjivanih u stabilizaciji napona generatora ili brzine obrtanja motora jednosmerne struje [15]. Međutim, u to vreme, zbog primene elektromehaničkih releja, metoda nije našla široku primenu zbog habanja kontakata usled varničenja. S razvojem poluprovodničke tehnike, s primenom beskontaktnih prekidača, problem kontakata više nije prisutan, a neke veoma pozitivne osobine kliznih režima, o kojima će biti govora u ovom poglavlju, dovele su do stvaranja jedne posebne klase neli-nearnih sistema poznate pod nazivom sistemi upravljanja promenljive strukture (SUPS) (ruski: sistemы upravleniя s peremennoy strukturoy (SUPS); engl.: Variable Structure Systems (VSS)). Ova klasa sistema najvećim delom je razvijena u Rusiji. Njen početak (1957.) se s pravom vezuje za ime ruskog naučnika Jemeljjanova (Emelьяnov S. V.). Od tada pa do današnjih dana, uz prvenstveni doprinos ruskih naučnika, ali i drugih, uključujući i jugoslovenske, stvorena je jedna veoma upotrebljiva klasa nelinearnih sistema s namerno unetom nelinearnošću u cilju postizanja

215


željenih osobina. Ova klasa sistema nalazi sve širu primenu, naročito u upravljanju električnim mašinama i energetskim pretvaračima. Pre nego što detaljnije izučimo klizne režime kao osnovni oblik kretanja u SUPS, vratimo se na primer iz 6. poglavlja i pokušajmo da izvršimo stabi-lizaciju satelita skokovitom promenom pojačanja ω0. Model sistema postaje

(9.36)

<ω>ω

=ω

ω−==

0. za 0, za

,,

2120

21100

102

21

xxxx

xxxx

&

&

Izaberimo pojačanja ω01 i ω02 tako da fazni portreti budu kao na slici 9.12a, b, što se očigledno može uvek postići izborom 0<ω01<1 i ω02>1. Tada se, poštujući dati algoritam, dobija fazni portret kao na sl. 9.12d, nastao “ušivanjem” faznih portreta struktura sistema sa sl. 9.12a,b (sl. 9.12c). Iz faznog portreta, sl. 9.12d, se vidi da je on tipa stabilnog fokusa. Na taj način smo pokazali korisnost uvođenja promene struktura sistema. Od dve strukture koje nisu asimptotski stabilne dobili smo asimptotski stabilan sistem. Dalje izlaganje biće usredsređeno na SUPS u kojima se koriste klizni režimi kao osnovni oblik kretanja. Način organizacije kretanja u kliznom režimu najpre ćemo objasniti na istom primeru orijentacije satelita, a zatim ćemo izučiti nekoliko algoritama za sintezu sistema.

Sl. 9.12. Fazni portreti struktura sistema (a) i (b); način “ušivanja” faznih portreta struktura sistema (c) i fazna trajektorija sistema promenljive strukture (d).

216


9.2.2 SUPS JEMELJJANOVA S KLIZNIM REŽIMOM. KVAZIRELEJNI ALGORITAM UPRAVLJANJA U prethodnom primeru kombinovane su dve, po osobinama iste strukture. Razmotrimo dalje slučaj kombinovanja dveju različitih struktura: jedne, kao u prethodnom slučaju, tipa centra, koja nastaje obuhvatanjem posmatranog objek-ta (satelita) negativnom povratnom spregom s pojačanjem K, i druge - tipa sedla, koja je posledica uvođenja pozitivne povratne sprege s istim pojačanjem. Fazni portreti ovih struktura prikazani su na sl. 9.13a i b, respektivno. Kao što se vidi, fazni portret tipa sedla ima dve singularne trajektorije od kojih je jedna nestabilna, a druga - stabilna, definisana relacijom 0,112 >λλ−=−= xxKx . (9.37)

Ako se, sada, kombinuju navedena dva fazna portreta tako da se svako započeto kretanje završava na ukazanoj stabilnoj singularnoj trajektoriji dobiće se fazni portret kao na sl. 9.13c. Kao što se vidi, proces regulacije nultog ravnotežnog stanja imaće monotono aperiodičan karakter, bez oscilacija, i biće globalno asimptotski stabilan - apsolutno stabilan. Takav način kretanja u teoriji SUPS nazvan je kretanjem po stabilnim singularnim trajektorijama.

Sl. 9.13. Fazni portreti struktura sistema: (a) tipa centra, (b) tipa sedla, i sistema promenljive strukture: (c) kretanje po stabilnim singularnim trajektorijama, (d) kretanje

s preključenjima, (e) - kretanje u kliznom režimu.

217


Ovaj način organizacije kretanja ima jedan nedostatak - nije robustan. Nai-me, bilo koja promena pojačanja u kolu povratne sprege dovešće do promene nagiba stabilnih singularnih trajektorija ili do promene momenta preključivanja struktura sistema. Ako je došlo do kašnjenja u preključivanju sa strukture tipa centra na strukturu tipa sedla, ili, što je ekvivalentno, ako je došlo do smanjenja pojačanja K, a linija preključenja ostane ista, tada će nastati kretanje s preklju-čenjima, sl. 9.13d, slično po osobinama prethodno izučenog sistema promen-ljive strukture sa strukturama tipa centra. Ukoliko, pak, dođe do ranijeg preklju-čenja sa strukture tipa centra na strukturu tipa sedla ili, što je ekvivalentno, ako se koeficijent pojačanja K poveća, a linija preključenja ostane ista, tada nastaje kretanje u kliznom režimu , sl. 9.13e. Lako se može zaključiti da će karakter kretanja u kliznom režimu biti po formi isti kao kod sistema koji se kreće po stabilnim singularnim trajektorijama, s tim što će brzina približavanja stanju ravnoteže biti manja, jer je . Taj nedostatak se, naravno, može ublažiti izborom većeg pojačanja K. Razmotrimo, nadalje, odlike kliznih režima.

c < λ

Najpre, s kliznim režimom dobijamo novu, “veštačku” trajektoriju koja nije svojstvena ni jednoj od struktura sistema. Zatim, zahvaljujući izabranom faznom prostoru stanja, kretanje u kliznom režimu se opisuje relacijom , (9.38) 12 cxx −=što je, zapravo, diferencijalna jednačina prvog reda, jer je , tj. dinamika kretanja u kliznom režimu je data sa

12 xx &=

. (9.39) 0,11 >−= ccxx&S obzirom na to da je polazni sistem drugog reda, a kretanje u kliznom režimu je opisano diferencijalnom jednačinom prvog reda, zaključujemo:

Kretanje nelinearnog sistema u kliznom režimu se opisuje linearnom diferencijalnom jednačinom nižeg reda u odnosu na polazni sistem.

Iz (9.39) se, takođe, uočava da dinamika sistema u kliznom režimu ne zavisi od parametara sistema, u posmatranom primeru od pojačanja K, već samo od koeficijenta nagiba klizne prave c. Bez obzira na promenu parametra sistema (K), sve dok važi , kretanje sistema u završnoj etapi neće zavisiti od parametara sistema, tj.

c < λ

Kretanje sistema u kliznom režimu je invarijantno na promenu parametara objekta.

Poslednja odlika implicira: Za sintezu SPS s kliznim radnim režimom nije neophodno poznavati tačne vrednosti parametara objekta već samo mogući opseg promena istih.

U realnim uslovima, zanemarena dinamika ili neidealnosti kao što su: kašnjenje (transportno i/ili inercijalno) ili histerezis, dovode do toga da se u okolini klizne prave javlja preključivanje ne s beskonačno velikom frekven-cijom, već s frekvencijom definisanom uticajem navedenih neidealnosti. Zbog toga će se kretanje odvijati u cik-cak režimu oko klizne prave, vidi sl. 9.13e.

218


Takvo kretanje se naziva kvaziklizni režim ili realni klizni režim. Međutim, srednje kretanje će biti uvek blisko kretanju opisanom relacijom (9.39). Zbog toga možemo zaključiti:

Kretanje u realnom kliznom režimu nije invarijantno na promenu parametara sistema ali ima izraženu robustnost.

Treba, takođe, uočiti da: Klizni režim nastaje na liniji prekida upravljanja gde se fazne trajektorije struktura sistema sučeljavaju.

To se događa samo na liniji , a ne i na liniji , gde takođe nastaju prekidi upravljanja ali se na njoj fazne trajektorije struktura sistema ne sučeljavaju.

012 =+ cxx 01 =x

Napred navedene odlike kliznih režima uslovile su veliko interesovanje za istraživanja u oblasti teorije i prakse SUPS s kliznim radnim režimima. Praktična primena ovih sistema je zaostajala za teorijom iz dva razloga: a) Za organizaciju kliznih režima potrebna je potpuna informacija o stanju objekta (sistema), a u praksi nisu uvek dostupne za neposredno merenje sve potrebne koordinate stanja; b) Kvazi-klizni režim kod elektromehaničkih sistema može dovesti do neže-ljenih, parazitnih kretanja koja stvaraju buku i dovode do brzog iznosa prenos-nika, povećanja utroška energije i sl. Taj efekat se naziva treperenjem, klikta-njem, škljocanjem, krčanjem ili četeringom (engl.: chattering). Tokom razvoja sistema upravljanja prvi problem je razrešen uspešno pri-menom opservera, dok se drugi - četering, takođe, zadnjih nekoliko godina intenzivo istražuje i za njegovo ublažavanje postoje zadovoljavajuća rešenja, a jedno od njih je korišćenje opservera kao “bajpasa” za četering. Pre nego što pređemo na izučavanje savremenih algoritama upravljanja sistema s kliznim režimima, razmotrimo jedan interesantan prilaz [1] sintezi SUPS za objekte drugog reda koji ukazuje na njihovu bliskost optimalnim siste-mima. Neka je dat sistem drugog reda opisan matematičkim modelom

(9.40)

maxminmaxmin21

22112

21

, ,0,,,

,

bbbaaabaabuxaxax

xx

iii ≤≤≤≤>+−−=

=&

&

i neka je upravljanje u oblika , (9.41) u = −Ω 1xgde je Ω prekidna funkcija upravljane promenljive koju treba odrediti. Neka je V ( - skalarna funkcija vektorskog argumenta x. Izaberimo Ω tako da se obezbedi najveća brzina opadanja V(x) duž trajektorija kretanja sistema.

)x

S obzirom da je izvod funkcije V(x) duž trajektorija kretanja sistema

t

V∂∂

∂∂

=x

xxx )()(&V , (9.42)

dobija se

219


.)()()()(

)()()()()(

212211

22

1

22

21

2

2

1

1

xVxbxaxa

xVx

xV

xx

Vxx

Vt

xx

Vtx

xVV

∂∂

Ω−+∂∂

−∂

∂

=∂∂

+∂

∂=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

xxx

xxxxx &&

(9.43)

Očigledno je da će V imati najbrže opadanje ako je )(x&

Ω =

>α∂∂

αsgn ( ) ,Vx

xx

21 0 . (9.44)

Neka je

V x cx x x c( ) ; ,x = + + >12

12

012

1 2 22

tada će (9.44) postati

(9.45)

.,sgn)(sgn

21

1121

xcxggxxxcx

+=α=+α=Ω

Nadalje ćemo nazivati komutacionom funkcijom, a g=0 i xΩ 2=0 - linijama preključenja upravljanja. Zadatak je da se na liniji g=0, nakon konačnog vre-mena, uspostavi klizni režim te se stoga funkcija g=0 naziva kliznom linijom (pravom) u sistemima drugog reda, odnosno kliznom hiperpovršinom u sistemima višeg reda. Za ostvarivanje postavljenog zadatka treba, najpre, obezbediti da stanje siste-ma iz bilo kog polaznog položaja, za konačno vreme, dospe na g=0, a zatim, da se tamo fazne trajektorije struktura sistema sučeljavaju. Ako g=0 smatramo ravnotežnim stanjem, onda je, za obezbeđenje dovođenja stanja sistema u to ravnotežno stanje, dovoljno pokazati da je ono globalno asimptotski stabilno u smislu Ljapunova. Birajući funkciju Ljapunova u obliku

V (9.46) g( ) ( ),x =12

2 x

koja je pozitivno definitna svuda, osim za g=0, gde je jednaka nuli, i zahte-vajući da njen izvod, duž trajektorija kretanja stanja struktura sistema bude negativno definitna funkcija, dolazi se do uslova dosezanja u obliku V . (9.47) 0)()(0)( <⇔< xxx gg &&

Za obezbeđenje konačnog vremena dosezanja potrebno je da (9.47) bude strogo negativno definitna funkcija, koja će biti svuda negativna, osim na g=0, kada je jednaka nuli. Lokalno posmatrano, u bliskoj, beskonačno maloj okolini g=0, nejednakost (9.47) se može napisati u obliku . (9.48) 0)(lim ,0)(lim

0)(0)(><

−+ →→xx

xxgg

gg&&

Relacije (9.48) su uslovi egzistencije kliznog režima na g=0, koje je ustanovio ruski naučnik Dolgolenko (1950.). Oni se mogu napisati i u obliku: . (9.48a) 0)(sgn <gg&

220


Primenimo date uslove na razmatrani sistem drugog reda (9.40) s uprav-ljanjem (9.41), uz uslov (9.45). Na osnovu relacije , g cx( )x = +1 2x

>

.

sledi . 22)( xcxg && +=xZamenjujući (9.40) i (9.41) dobija se .122112 xbxaxacxg Ω−−−=&Neka je . Tada se dobija g( )x > 0 (9.49) .0]))sgn(()[()( 11122 <⋅α++−−= xgxbaxcag x&Zamenjujući u ovaj izraz x g cx2 1= −( )xdobija se . 0]))sgn(()()[()( 12l1

22 <−⋅α+++−−= xcagxbacgcag xx&

S obzirom na to da su, po pretpostavci, za ispunjenje (9.47) dovoljno je ispunjenje sledećih uslova:

a a b c g1 2 0, , , , , ( )α x >

(9.50) c a

b gx ca a c g

<

⋅ > − −2

1 2 12 0

,

sgn( ) , ,αšto daje:

b ca a c x

b ca a c b ca a c x

α

α α

> − − >

− > − − < − − − <2 1

21

2 12

2 12

1

0

0

, ,

( ), ili Na isti način se dobijaju i uslovi za slučaj g(x)<0, tako da su konačni dovoljni uslovi dosezanja

c a

bca a c

a bi

<

> − −

2

2 121

,

sup .,

α (9.51)

Lokalni uslovi klizanja (9.48) se koriste na sličan način. Na osnovu relacije g=0 dobija se , što zamenom u (9.49) daje x c2 = − x1

. 111 xcagxbacg ))sgn(()( 22 −⋅α++−=x&

Koristeći uslove (9.48) dolazi se do druge relacije u (9.51). Prema tome, (9.51) su dovoljni uslovi dosezanja i egzistencije kliznog režima na liniji g=0 za posmatrani SUPS drugog reda opisan relacijama (9.40). 9.2.3 RELEJNI ALGORITAM UPRAVLJANJA

Prethodno opisan sistem se s pravom naziva kvazirelejnim SUPS, jer je u njemu sublimirano linearno delovanje, proporcionalno signalu upravljane promenljive (signala greške), i relejno delovanje, koje komutira linearno upravljanje, zavisno od toga s koje strane od klizne prave se trenutno nalazi

221


stanje sistema. Kao što smo napred rekli, klizni režimi su najpre uočeni kod relejnih sistemima upravljanja. U cilju utvrđivanja uslova egzistencije kliznog režima u sistemu drugog reda s relejnim upravljanjem, pođimo od njegovog matematičkog modela datog u obliku

(9.52) , , ,0,,,

),sgn(,

maxminmaxmin21

22112

21

bbbaaaUbaagbUxaxax

xx

iiio

o

≤≤≤≤>+−−=

=&

i uslova egzistencije klizanja (9.47) i (9.48). Primenjujući isti postupak kao u prethodnom odeljku dolazi se do relacije . (9.53) )]sgn()()()[()( 121

22 gbUxcaacgcag o+−++−−= xx&

Neka je g(x)>0 (g(x)<0), tada (9.53) mora biti manje (veće) od nule, a to će sigurno biti ispunjeno ako su ispunjene sledeće relacije

c a

a a coa bi

<

> − −2

2 12

1

,

sup ( ) .,

U c (9.54) x

Kao što se vidi, uslovi (9.54) i (9.51) su skoro identični. Jedina razlika je u tome što u (9.54), u drugoj nejednakosti, figuriše x1 . Upravljanje kvazirelej-nog sistema se može napisati u obliku u x g= α 1 sgn( ) umesto

te se, zamenom u x sign gx= α 1 ( 1 ) U , (9.51) svodi na (9.54). xo = α 1

Postavlja se pitanje: koji od dva navedena algoritma primeniti i kada? Pre nego što damo odgovor na to pitanje treba detaljnije analizirati odlike ovih algoritama, izvršiti njihovo upoređenje u pogledu složenosti realizacije, robustnosti na promenu parametara objekta i delovanje spoljašnjih poremećaja (opterećenja) kao i u pogledu uticaja mogućih neidealnosti (nemodelirane dinamike) prisutnih u sistemu. Kvazirelejni algoritam ima složeniju realizaciju ali mu uslovi egzistencije kliznog režima ne zavise od veličine upravljane promenljive. Relejni algoritam ima prostiju realizaciju ali mu uslovi egzistencije kliznog režima zavise od up-ravljane promenljive. Međutim, to se ne može smatrati nedostatkom, jer se uvek može odabrati takvo Uo da u sistemu uvek egzistira klizni režim, bez obzira na veličinu x1 . U pogledu robustnosti na parametarske poremećaje oba algoritma daju dobre rezultate, ali u pogledu robustnosti na spoljašnje poremećaje drugi algoritam daje bolje rezultate. Međutim, u prisustvu nemodelirane dinamike, drugi algoritam ima izražen četering, prisutan kako u prelaznim režimima tako i u ustaljenom stanju, dok prvi algoritam upravljanja nema četering u stacionarnom stanju. S druge strane, ako objekat ne poseduje astatizam, ili on nije unet u algoritam upravljanja, prvi lgoritam gubi uslove klizanja u bliskoj okolini stacionarnog stanja, što dovodi do pojave statičke greške i do mogućih oscilacija oko ravnotežnog stanja u neatonomnom sistemu.

222


9.2.4 KOMBINOVANI I DRUGI ALGORITMI UPRAVLJANJA

U cilju eliminacije navedenih nedostataka kvazirelejnih i relejnih algoritama upravljanja SUPS-a u literaturi je predložen veći broj rešenja [10]. Jedno od njih koje se prirodno nameće je kombinacija kvazirelejnog i relejnog algoritma upravljanja s ciljem da se sačuvaju prednosti i eliminišu ili ublaže nedostaci navedenih algoritama upravljanja. S obzirom da kvazirelejni algoritam uprav-ljanja, ako je objekat statičkog tipa, gubi klizanje u ustaljenom stanju, to se dodavanjem male relejne komponente upravljanja taj nedostatak može elimi-nisati. Upravljanje tada postaje u x g= +( ) sgn( ), ,α δ α δ1 0> . (9.55) Veličina δ se bira tako da u okolini stacionarnog stanja bude uvek ostvaren klizni režim, da bude obezbeđena potrebna robustnost na spoljašnje poremećaje i da četering bude redukovan. Kao što je već rečeno, problem gubitka kliznog režima s kvazirelejnim zako-nom upravljanja nastaje kod sistema statičkog tipa. Stoga se taj problem može eliminisati uvođenjem integratora u kolo signala greške. Međutim, tada se red sistema i red dinamike klizanja povećavaju. Taj se problem može zaobići ako se iza regulatora promenljive strukture unese kompenzator proporcionalno-integralnog (PI) tipa [6,7]. Tada algoritam upravljanja postaje

u k x g k x g dtt

= + ∫1 1 3 10

sgn( ) ( sgn( )) . (9.56)

Algoritam (9.56) obezbeđuje nultu statičku grešku sistema i klizni režim pri dejstvu odskočnog poremećaja ali je proces eliminacije poremećaja po opterećenju lošiji nego kod relejnog zakona upravljanja. Taj se nedostatak može ublažiti dodavanjem linearnog delovanja po signalu g(t). Takav kombinovani algoritam upravljanja postaje

u k x g k g k x g k g t dtt

= + + +∫1 1 2 3 1 40

sgn( ) ( sgn( ) ( )) . (9.57)

Izborom koeficijenata k1 do k4 može se optimalizovati kretanje u sistemu. Sledeći prilaz za eliminaciju četeringa je kombinacija relejnog i linearnog delovanja oblika

u gg

=+

−δ

δ; mala pozitivna konstanta (9.58)

To je, zapravo, tzv. saturaciono upravljanje koje se može predstaviti i u obliku

δ−<−

δ<δ

δ>

==

.za

za ,

,za

)(sat

gU

ggU

gU

gUu

o

o

o

o (9.59)

Međutim, tada se u okolini prekidačke hiperravni (prave) i u stanju ravnoteže gubi klizni režim te se može govoriti o približnom ispunjenju navedenih odlika kliznih režima.

223


Treći, radikalniji prilaz u rešavanju problema četeriniga je definisanje dinamike kretanja sistema i u procesu dosezanja, a ne samo u kliznom režimu. Naime, problem četeringa nastaje zbog toga što trajektorije kretanja sistema, u režimu dosezanja, presecaju kliznu hiperravan (pravu). Ako bi se našlo takvo upravljanje koje bi obezbedilo “meko spuštanje” na kliznu hiperravan (pravu) tada bi četering bio eliminisan. Kineski naučnik Gao [3] je predložio takav algoritam u obliku . (9.60) )()sgn( gkhgqg −⋅=&Izborom koeficijenata q i k, kao i funkcije h(g) mogu se realizovati različiti zakoni upravljanja. Za k=0, q k (9.61) g rr= − >1 1, .

upravljanje je kombinacija relejnog i linearnog po stanju, a pri tome se ostvaruje “meko spuštanje” na g=0 za konačno vreme koje iznosi

t rgk r

r r=

−

−( )/ ( )( )

1 01

. (9.62)

Na kraju ovog izlaganja o kliznim režimima u sistemima drugog reda, pre nego što pređemo na izučavanje kliznih režima u sistemima višeg reda prime-nom metode ekvivalentnog upravljanja, ilustrovaćemo, simulacijom na računa-ru, karakteristike nekih od navedenih algoritama na jednom konkretnom prime-ru sistema trećeg reda u kome se jedan inercijalni mod s najbržom dinamikom smatra nemodelovanim delom i upravljanje projektuje kao za sistem drugog reda. Primer 9.7. Neka je dat objekat trećeg reda

)105,0)(78(

200)()()( 2 +++==

ssssUsYsW , (9.63)

koga treba upravljati primenom kliznih režima tako da se obezbedi . const)()( == trty

Sl. 9.14. Simulacioni dijagram kvazirelejnog sistema promenljive strukture.

Polovi objekta su: s1=-1, s2=-7 i s3=-20. U postupku projektovanja regulatora pro-menljive strukture s kliznim radnim režimom zanemarićemo uticaj pola s3 na dinamiku sistema. Prema tome, za projektovanje regulatora objekat je

224


W s Y sU s s s

( ) ( )( ) ( )

= =+ +

200

8 72.

Njegov kanonički model je:

,20087,

212

21

uyyyyy

+−−==

&

& (9.64)

a model sistema u odnosu na signal greške, , postaje e r y x= − =1 1

(9.65) .720087

,

212

21

ruxxxxx

+−−−==

&

&

Sl. 9.15.

Odskočni odziv sistema kvazirelejnog tipa bez nemodelirane dinamike.

Na osnovu relacija (9.51) izaberimo c . Simulacioni model sistema za kvazirelejni algoritam je prikazan na sl. 9.14. Obratimo pažnju na to da je objekat statičkog tipa.

,5= 1=α

Sl. 9.16. Sistem bez nemodelirane dinamike s kvazirelejnim algoritmom upravljanja; a) fazni portret, b) signal

upravljanja, c) funkcija g(t).

Na sl. 9.15 dat je odziv sistema (9.65), bez nemodelirane dinamike, za r=h(t), s kvazirelejnim upravljanjem. Uočava se da dati sistem ima grešku u stacionarnom stanju. Veličina te greške se može odrediti na klasičan način preko konstante položaja stabilne strukture sistema. Sistem u okolini ravnotežnog stanja ispada iz kliznog režima, što se jasno vidi na sl. 9.16a,b,c. U prisustvu nemodelovane dinamike, sl. 9.17a-d, javljaju se i oscilacije oko ravnotežnog stanja, što pogoršava kvalitet regulacionog procesa. Statička greška je prisutna zbog delovanja poremećaja r(t) na ulazu sistema. Kao što je napred rečeno, uticaj poremećaja se može eliminisati obezbeđenjem kliznog režima i u stacionarnom stanju.

225


Sl. 9.17. Sistem s nemodelovanom dinamikom i kvazirelejnim algoritmom upravljanja; a) odskočni odziv, b) fazni portret, c) signal upravljanja, d) funkcija g(t). Na sl. 9.18 prikazani su rezultati simulacije sistema s nemodelovanom dinamikom i relejnim zakonom upravljanja. Za njega je karakterističan snažan signal upravljanja s izraženim treperenjem i u stacionarnom stanju, dok je odskočni odziv i fazni portret blizak datim na sl. 9.19a, 9.19b, respektivno.

Sl. 9.18.

Sistem s relejnim zakonom upravljanja i nemodelovanom dinamikom: a) upravljanje, b) funkcija g(t); odskočni odziv i fazni portret su kao na sl. 9.19a,b, respektivno.

Na sl. 9.19a-d prikazani su simulacioni rezultati za sistem čiji je algoritam upravljanja oblika (9.55), δ=0,2. Kao što se vidi, sistem ne ispada iz kliznog režima i

226


zbog toga ima nultu statičku grešku. Međutim, signal upravljanja ima četering i u stacionarnom stanju ali mnogo manji u odnosu na relejni zakon upravljanja.

d) Sl. 9.19. Sistem s kombinovanim zakonom upravljanja oblika (9.55) i nemodelo-

vanom dinamikom: a) odskočni odziv, b) fazni portret, d) upravljanje, e) funkcija g(t).

Ako se iza regulatora promenljive strukture kvazirelejnog tipa unese konvencionalni PI regulator biće eliminisana statička greška, kvalitet regulacionog procesa postaje bli-zak prethodnom, s tom razlikom što nema treperenja u signalu upravljanja u ustaljenom stanju pa ni u izlazu. Rezultati simulacije se vide na sl. 9.20. Na sl. 9.20 a i b prikazani su rezultati za sistem bez nemodelovane dinamike, dok su na sl. 9.20c i d prikazani signal upravljanja i komutaciona funkcija sistema s nemodelovanom dinamikom. Odskočni odziv i fazni portret za sistem s nemodelovanom dinamikom su i za ovaj slučaj slični onima na sl. 9.19a i 9.19b. Simulacija pokazuje da algoritmi upravljanja (9.57) i (9.58) daju slične rezultate u prisustvu nemodelirane dinamike kao i algoritam (9.56) s tom razlikom što se, kod algoritma (9.58) u ustaljenom stanju ne garantuje klizni režim. Međutim, zbog velikog pojačanja greška je ekstremno mala. Posebnu pažnju obratićemo načinu sinteze upravljanja algoritma (9.60), (9.61). Najpre se diferenciranjem izraza za g(t) i zamene modela sistema (9.65), za r(t)=0, dobija . (9.66) uxxcxxxctg 20087)( 21221 −−−=+= &&&

Izjednačavanjem ovog izraza s desnom stranom (9.60), uzimajući u obzir (9.61) i c=5 te rešavanjem tog izraza po u dobija se -

u k g xr= − −1

2007 31 2( )x (9.67)

227


Sl. 9.20.

Sistem s kvazirelejnim algoritmom upravljanja i PI članom: a) ,b) odskočni odziv i fazni portret sistema bez nemodelovane dinamike; c), d) -upravljanje i funkcija g(t)

sistema s nemodelovanom dinamikom

- izraz za upravljački signal koji treba primeniti, a koji će u nominalnom sistemu obezbediti “meko spuštanje” stanja sistema na kliznu površ (pravu u ovom slučaju). Rezultati simulacije takvog sistema dati su na sl. 9.21 za k=100, r=2.

Sl. 9.21.

Funkcija g(t) za nominalni (a) i sistem s nemodelovanom dinamikom (b) s upravljanjem (9.67).

Na osnovu datih rezultata može se zaključiti da algoritam (9.60) koji obezbeđuje meko dosezanje daje najbolje rezultate. U slučaju nominalnog sistema on je u izrazitoj prednosti nad ostalim algoritmima, dok u prisustvu

228


nemodelovane dinamike nema izrazitu prednost nad kombinovanim algoritmima i algoritmom sa saturacionom funkcijom. Za konačni izbor tipa algoritma upravljanja potrebno je razmotriti i sposobnost regulacije po opterećenju (poremećaju). Analiza i simulacija poka-zuju da osnovni kvazirelejni algoritam upravljanja ima, za isto maksimalno dozvoljeno upravljanje, mnogo lošiju regulaciju opterećenja u odnosu na relejni algoritam upravljanja. Prednost je na sistemu s relejnim algoritmom upravljanja. Kvazirelejni algoritam upravljanja se može umnogome poboljšati u smislu regulacije opterećenja ako se kombinuje s dodatnim upravljanjem propor-cionalnim komutacionoj funkciji g(t) i PI članom iza regulatora promenljive strukture, tj. ako se primeni algoritam (9.57). Algoritam s mekim dosezanjem (9.60) s pojačanjem k=100 ima lošije regulacione osobine u odnosu na poremećaj. U cilju poboljšanja regulacije opterećenja treba povećati k dva puta, kada se dobijaju rezultati slični onima na sl. 9.22. Međutim, tada algoritam s mekim dosezanjem u prisustvu nemodelovane dinamike gubi izrazitu prednost u odnosu na kombinovani algoritam (9.57). Na sl. 9.22 prikazan je proces regulacije opterećenja za relejni algoritam upravljanja i kombinovani algoritam (9.57). Iz tih rezultata se vidi da oba algoritma imaju bliske osobine, s tom razlikom što je relejni algoritam jedno-stavniji, dok kombinovani algoritam ima kontinualni signal upravljanja u stacionarnom stanju, tj. nema četering.

Sl. 9.22. Sposobnost regulacije opterećenja f(t)=-2h(t-1,5)+2h(t-2,5): a) relejni algoritam upravljanja (Uo=1); b) kvazirelejni kombinovani algoritam upravljanja

(9.57) za ki=1, i=1,2,3,4.

U prethodnom izlaganju pretpostavljano je da su koordinate stanja, tj. signal greške i njegovi izvodi, dostupni za neposredno merenje. Naravno, uvek je moguće meriti signal greške, dok se to ne može reći za njegove diferencijale. Ako je na samom objektu upravljanja moguće neposredno meriti diferencijale izlazne promenljive, a sistem upravljanja je tipa regulatora, kao u prethodnom primeru, tada je signal diferencijala izlaza objekta istovremeno i diferencijal signala greške. Ako sistem nije tipa regulatora ali je komandni signal r(t) unapred poznat, zajedno sa svojim diferencijalima, tada se, znajući diferencijale izlaza objekta, mogu lako dobiti i diferencijali signala greške. Ako diferencijali izlaza nisu neposredno dostupni za merenje tada se oni estimiraju primenom

229


opservera. Takav prilaz može imati pozitivne efekte i na smanjenje uticaja četeringa na proces regulacije, jer se visokofrekvencijski signali upravljanja zatvaraju unutar konture koju čine regulator i opserver, dok objekat dobija signal koji se filtrira kroz niskofrekvencijski filtar koga čini nemodelovana dinamika ili se namerno može uneti dodatni filter. Kod kombinovanih algoritama upravljanja, kada imamo linearno i relejno upravljanje, javlja se i problem praktične realizacije takvog algoritma upravljanja. On se uspešno može prevazići primenom opservera, niskopropusnog filtra u kolu objekta i širinsko-impulsnog modulatora [6, 7]. 9.2.5 METODA EKVIVALENTNOG UPRAVLJANJA 9.2.5.1 SKALARNO UPRAVLJANJE U prethodnom izlaganju smo naglasili da je osnovni režim kretanja u SUPS klizni režim. Kretanje u tom režimu smo poistovećivali s jednačinom komu-tacione hiperpovrši ali bez stroge matematičke zasnovanosti. Strogi matematički prilaz je skopčan s određenim problemima. Naime, pošto se tada kretanje opisuje diferencijalnom jednačinom s prekidnom desnom stranom, s prekidima teorijski beskonačno visoke frekvencije4, Lipšicovi uslovi egzistencije i jedin-stvenosti rešenja diferencijalne jednačine nisu ispunjeni. Ranije poistovećivanje diferencijalne jednačine kretanja sistema s jednačinom klizne linije, prevedene u diferencijalnu jednačinu, moguće je samo u sistemima koji su dati u kanoničkoj kontrolabilnoj formi. Međutim, taj način nije pogodan za sisteme opisane drugim matematičkim modelima. Postoje dva prilaza za nalaženje jednačine kretanja sistema u režimu klizanja. Prvi prilaz je metoda Filipova [13] koja nije dobila značajnu primenu u praksi SUPS. Druga metoda je metoda ekvivalentnog upravljanja koja dominira u teoriji kliznih režima. Metoda se vezuje za ime ruskog naučnika Utkina V. I., mada se ona prvi put spominje u radu naše naučnice Branislave Peruničić- Draženović [4]. Metoda je na početku imala formalni karakter - služila je samo za opisivanje kliznih režima. Danas se ta metoda široko primenjuje za analizu ponašanja SUPS kako s linearnim tako i s nelinearnim strukturama, ali linearnim po upravljanju. U cilju objašnjenja metode poći ćemo od sistema s linearnim strukturama i sa skalarnim upravljanjem. Neka je dat sistem opisan sa:

(9.60)

,

, ;0 za 0 za

,)()(

Txc

bAxx

=

≤≤

>>

=

+=

+−−

+

g

uuuguguu

utt&

i neka je upravljanje u izabrano tako da na hiperravni g=0 egzistira klizni režim. Tada će se kretanje odvijati duž te hiperravni pa će vektor brzine kretanja, opisivan tom relacijom, biti tangencijalan na tu hiperravan. To znači da će i izvod funkcije g biti jednak nuli, tj.:

230

4 čak i da je frekvencija konačna ali velika neuputno je tražiti parcijalna rešenja i njihovo objedinjavanje u cilju određivanja opšteg rešenja.


. (9.61) [ 0)()()( TT =+== tuttg bAxcxc && ]

)

Rešavajući ovu jednačinu (uz uslov ) po upravljanju u dobija se ( )c bT − ≠1 0

. (9.62) u u teq= = − −( ) (T 1 Tc b c AxZamenjujući nađeno upravljanje u polaznu jednačinu sistema, dobija se [ ] )()()( T1T tt xAcbcbAx −−=& . (9.63) Ova relacija predstavlja diferencijalnu jednačinu kretanja sistema u kliznom režimu, pri čemu, za potpuno definisanje tog kretanja, treba znati početne uslove, a oni moraju biti takvi da se nalaze na kliznoj hiperravni. Primer 9.8. Ekvivalentno upravljanje za sistem iz prethodnog primera (uz zane-marenje brze dinamike) je

. [ ] [ ] [ ] 212

1

2

11

373787

1015

10

15 xxxx

xx

ueq +=

=

−−

−=

−

Zamenom u polaznu diferencijalnu jednačinu dobija se

[ ]

−

=

−

−−

=2

1

2

1

5010

3710

8710

xx

xx

x&

ili

, (9.64) 22

21

5xxxx−=

=&

&

11

21

12

21

55 xxxx

xxxx

−==

⇔−==

⇔&

&

&&

&

odakle se vidi da se kretanje sistema opisuje sistemom drugog reda čije su sopstvene vrednosti . Međutim, kretanje, pri početnim uslovima na kliznoj pravi,

, se svodi na ranije definisano čije je rešenje

. Zaista, rešavajući formalno dobijeni početni oblik sistema diferen-cijalnih jednačina (9.64) imamo:

λ λ1 20= =,x10 5 0( )

x e t1 1

50( ) −

5−x2 ( ) = −

x t( ) = −112 5xxx −== &

x t x e x e

x t x x t dt x x e t

e x x e

t t

tt

t

tt

t

2 25

15

1 1 20

1 15

0

5

01 1

5

0 5 0

0 0 5 0

1 515

0 0

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

= = −

= + = −

− −

= −

− −

−

− −

∫ ∫ d =

Još jedanput treba ukazati da ekvivalentno upravljanje, kao linearno uprav-ljanje ne može u sistemu da obezbedi klizni režim čak i u autonomnom sistemu pri bilo kojim početnim uslovima. Ono se koristi samo za opisivanje dinamike kretanja sistema u kliznom režimu. Neki autori, za realizaciju SUPS s kliznim režimom, predlažu kombinovano upravljanje koje se sastoji iz dve komponente: linearne i prekidačke, pri čemu je linearna komponenta ekvivalentno upravljanje. Pri tome, prekidna komponenta ima zadatak da sistem dovede u oblast klizanja a da ekvivalentno upravljanje vodi sistem duž klizne hiperravni.

231


Na sl. 9.23 su prikazani uporedni rezultati simulacije sistema s kombino-vanim upravljanjem oblika:

1 0 5

2 0 5

. , sgn( ),

. ( ) , sgn( )

.

u u g

u g t geq= +

= +Može se zaključiti da drugi algoritam daje bolje rezultate: ima veću brzinu reagovanja i brže ulazi u klizni režim.

Sl. 9.23 Odskočni odziv (a) i fazne trajektorije (b) sistema s kombinovanim

upravljanjem: 1- s upravljanjem , 2 - s upravljanjem i.

)sgn(gUuu oeq +=

)sgn() gUt o+(kgu =

9.2.5.2 VEKTORSKO UPRAVLJANJE

Napred su analizirani uslovi egzistencije kliznog režima, mogućnosti njiho-vog matematičkog opisivanja na osnovu kanoničke kontrolabilne forme i prime-nom metode ekvivalentnog upravljanja. U ovom odeljku razmatraju se problemi organizacije kliznih režima u sistemima s vektorskim upravljanjem. Neka je dat model sistema . (9.65) mnnnmn ×× ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈+= BAuxBuAxx ,,, ,&

S obzirom da ima m upravljačkih ulaza moguće su mnoge kombinacije. Dalje ćemo smatrati da u prostoru stanja postoji m hiperravni koje sve prolaze kroz koordinatni početak (stanje ravnoteže) prostora stanja. Ako se na bilo kojoj hiperravni organizuje klizni režim, a kretanje u kliznom režimu po njoj je stabilno, tada će stanje sistema biti dovedeno u stanje ravnoteže. Pri tome će biti ostvarene sve odlike kliznih režima: invarijantnost, robustnost, redukcija reda dinamike sistema za jedan stepen. Ako, pak, istovremeno organizujemo klizni režim na dve hiperravni, pomoću dva signala upravljanja, što je jedino moguće ako se kretanje odvija duž preseka te dve hiperravni, tada će red diferencijalne jednačine kojim se opisuje kretanje biti n-2 -og reda. Prema tome, ako se istovremeno organizuje klizni režim na svih m hiperravni, tada će se kretanje sistema odvijati duž zajedničkog preseka svih m hiperravni i opisivati diferencijalnom jednačinom n-m-tog reda. Svaka od m hiperravni se opisuje jednačinom . (9.66) g c x c x c xk k k k n n k= + + + =, , ,...1 1 2 2

Tc x

232


Skup svih m hiperravni možemo napisati u obliku vektorske relacije

(9.67) [ ] xCxg

===

mnmm

n

n

m

ccc

cccccc

ggg

.......

...

...

...

21

22221

11211

T21

Ako se istovremeno organizuje klizni režim na svim hiperravnima (na njihovom preseku) tada se kretanje opisuje relacijom g(t)=0, tj, . (9.68) g Cx( ) ( )t t= = 0Na sličan način, kao kod skalarnog upravljanja, možemo odrediti ekvivalentno upravljanje koje obezbeđuje kretanje (9.68). Diferencirajući (9.68) po vremenu duž trajektorija kretanja sistema (9.64) i izjednačavajući difrencijal s nulom te nalazeći iz tako dobjenog izraza upravljanje, dobija se . (9.69) CAxCBuu 1][ −−== eq

Jasno je da je moguće naći ueq samo ako matrica CB nije singularna. Prema tome, kretanje sistema u kliznom režimu će se opisivati matričnom diferen-cijalnom jednačinom koja se dobija kada se u (9.64) zameni (9.69), tj. , (9.70) ( ) xCACBBAx ][ 1−−=&na osnovu koje se može ispitivati stabilnost kretanja sistema u kliznom režimu duž preseka svih hiperravni. Do sada je ostavljeno po strani pitanje dolaska na presek svih hiperravni. Istraživani su različiti prilazi i predložene su sledeće metode: -metoda hijerarskog dosezanja, -metoda slobodnog dosezanja, -metoda konačnog dosezanja, - metoda decentralizovanog dosezanja. Metoda hijerarhijskog dosezanja pretpostavlja da se klizni režim organi-zuje sukcesivno. Najpre se nalazi upravljanje u1, koje sistem dovodi na prvu kliznu hiperravan i obezbeđuje klizanje na njoj, zatim upravljanje u2 koje u kliznom režimu po hiperravni g1 dovodi sistem na drugu kliznu hiperravan (g2), te se klizanje odvija duž , zatim upravljanja:ug g1∩

g g1 2∩ ∩...2 3, u4,..., um koja obez-

beđuju kretanje duž . Pri tome se u sprovođenju hijerarhije ostala upravljanja javljaju kao merljivi “poremećaji” koji se lako uzimaju u obzir prilikom formiranja kliznih režima.

gm∩

Ova metoda je jednostavna. Njen osnovni nedostatak je dug proces dovo-đenja na završnu etapu kretanja - na presek svih hiperravni. Metoda slobodnog dosezanja ne vodi računa o tome kojim se redosledom dolazi na presek svih hiperavni, što skraćuje prelazni proces. Metoda konačnog dosezanja teži da se odmah dosegne krajnja oblast klizanja, tj. presek svih hiperavni. Metoda daje brze odzive ali ne može garan-tovati i dobru dinamiku u režimu dosezanja.

233

Metoda decentralizovanog dosezanja organizuje klizni režim na svakoj hiperravni posebno, smatrajući druga upravljanja kao poremećaje. Time se


sistem raspreže, svodi se na upravljanje s m skalarnih podsistema. Ova metoda je pogodna za primenu kod tzv. velikih sistema (engl.: large scale systems). Primer 9.9 Objekt upravljanja je harmonijski oscilator s operacionim pojačavačima koji se opisuje sledećim relacijama

(9.71) .

,,

120

2

21

xu

uxxx

ω−=

==

&

&

Takav oscilator, zbog gubitaka, nema stabilnu amplitudu, a frekvencija oscilovanja je određena sopstvenom frekvencijom ω0 čija stabilnost zavisi od stabilnosti RC kompo-nenata oscilatora. U cilju regulacije amplitude i faze (frekvencije) oscilator se modifikuje i njegov model postaje [8, 14]

(9.72) .

,

21121o2

22112o1

uxuxxxuxuxxx

−+ω−=++ω=

&

&

Neka su klizne trajektorije date sa: , (9.73) g t A x x1 1

222( ) = − −2

g t z2 1( ) cos( )= − −ϕ ϕ . (9.74) Ako stanje sistema nateramo da se kliže duž fazne trajektorije (9.73) tada obezbe-đujemo stabilnu amplitudu A oscilatora. Neka se to klizanje ostvaruje upravljanjem u1. S druge strane, ako ostvarimo klizni režim na (9.74), tada će ϕ ϕ= r i biće ostvarena sinfaznost. Primenićemo hijerarhiski metod dosezanja. Upravljanje u1 izabraćemo tako da se na g1(t) ostvari klizni režim. Primenjujući uslov klizanja (9.47), (9.48) ili (9.48a) imamo:

(9.75) ).(2)(2

)(22222

211122112

11222122111

xxuuxuxxx

uxuxxxxxxxg

o

o

+−=+−ω−

+++ω=−−= &&&

Ako izaberemo signal upravljanja , (9.76) 0),sgn( 1111 >= oo UgUubiće ispunjen uslov klizanja , osim za . To se može izbeći postavljanjem bilo kojih početnih uslova.

0sgn <⋅ gg& x x1 2 0= =

Sa dobijenim upravljanjem (9.76) sistem će se klizati duž trajektorije (9.73). Nađimo ekvivalentno upravljanje. Izjednačavajući (9.75) s nulom dobija se ekvivalentno upravljanje , (9.77) u eq1 0=

što zamenom u polazni model (9.72) daje

(9.78) .

,

211o2

222o1

uxxxuxxx

−ω−=+ω=

&

&

Diferenciranjem (9.74) dobija se

ϕ

−ϕ

ϕ−ϕ=ϕ−ϕ

ϕ−ϕ=dtd

dtd

dtdg r

rr

r )sin()()sin(2& . (9.79)

Pošto se upravljanjem u1 ostvaruje klizanje na g1 (t) tada su

234


Sl. 9.24. Funkcije g1(t) i g2(t) za harmonijski oscilator.

Sl. 9.25. Referentni i izlazni signal

harmonijskog oscilatora.

Sl. 9.26. Signali upravljanja.

x A x A1 2= =sin , cos ,ϕ ϕ odakle sledi ϕ = arctg( / )x x1 2 . Stoga je

.

dd

1

1)(arctgdd

dd

22

22121

22

212122

2

22

2

1

22

212

1

xxxxxx

xxxxx

xxx

xx

txxx

xtt

ll +−

=−

+

=+

==ϕ

&&&&

Zamenjujući u ovu relaciju model (9.78) dobija se d

d

ϕ ωω

tu x x

x xuo

o=+ +

+= +

( )( )2 12

22

12

22 2 .

Zamenom u (9.79) ima se ( ) )sin(22 ϕ−ϕ+ω−ω−= rro ug& .

(9.80) S obzirom na to da je tada je

pa je dovoljno izabrati upravljanje u

g t2 0( ) ≥sgn ( )g t2 1= +

2 tako da (9.80) bude nega-tivno. Ako se u2 izabere u skladu s relacijom

[ ] 0, )sin(sgn 02202 >ϕ−ϕ= UUu r , (9.81)

(9.80) postaje

ror

rro

UUg

ω−ω>∀<ϕ−ϕ⋅

⋅−ϕ−ϕω−ω−=

20

2

za 0)sin()sin()(&

(9.82) Time smo ostvarili zadatak stabilizacije amplitude i frekvencije oscilatora. Na sl. 9.24, 9.25 i 9.26 prikazani su rezultati simulacije sistema: klizne linije, referentni i izlazni signal oscilatora i signali upravljanja, respektivno. Kao što se vidi, prvo nastupa klizanje na g1=0, a zatim i na g2=0, kada imamo klizanje na , koji je oblika helikoide. Sinhronizacija je ostvarena u konačnom vremenu i, teorijski, sistem odealno prati referentni signal. Pri čemu tre-

g t g t1 2( ) ( )∩

ba imati u vidu da se referentni signal ne generiše nekim posebnim oscilatorom, već se zadaje parametarski.

235


LITERATURA [1] Барбашин, Е. А.: Введение в теорию устойчивости, «наука», Москва, 1967. [2] Гельднер, К., Кубик, С.: Нелиненые системы управления, «Мир», Москва, 1987. [3] Gao, W., Hung,, J. C.: “Variable structure control of nonlinear systems: a new

approach“, IEEE Trans. IE-40 (1993), no 1, 45-5. [4] Draženović, B.: “The invariance conditions in the variable structure systems“,

Automatica (1969), 5(3), 287-295. [5] Емельянов, С. В. (ред.): Теория систем с переменной структурой, «Наука»,

Москва, 1970. [6] Milosavljević, Č.: “Variable structure systems of quasi-relay type with

proportional-Integral action“, Facta Universitatis-Mechanics, Automatic Control andRobotics (1997) 2(7), 301-314.

[7] Milosavljević, Č., Stoimenov, P.: “Synthesis of DC motor variable structure controller“, J. Aut. Contr. (1996) 6, 47-58, University of Belgrade.

[8] Milosavljević, Č., Radu-Emil, P.: “Synthesis of harmonic oscillator with sliding mode“, XXXIX Jugosl. komf. ETRAN-a, Zlatibor, juna 1995, I.419-421.

[9] Нетушил, А. В.: Теория автоматического управления, «Высша школа», Москва, 1976.

[10] Peruničić, B., Milosavljević, Č., Golo, G., Mitić, D.: “Variable structure systems - a Survay“, VI Int. SAUM Conf., Niš, Sept. 28-30, 1998., 26-33.

[11] Shinskey, F. G.: Process-control systems, Application, design, adjustment, McGraw-Hill Book Company, 1979.

[12] Уткин, В. И.: Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления, «Наука», Москва, 1981

13] Филиппов, А. Ф.: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, «Наука», Москва, 1985.

[14] Veselić, B., Golo, G.: “Regulacija amplitude i frekvencije dvofaznog harmo-nijskog oscilatora primenom kliznih režima“, XLII Jugosl. konf. ETRAN-a, Vrnjačka Banja, juna 1998, I. 327-330.

[15] Цыпкин, Я. З.: Теория релейных систем автоматического регулирования, Изд. техническо-теоретической литературы , Москва, 1955.

Pitanja za samoproveru 1. Dvopozicioni regulatori mogu biti bez ____________ ili sa _____________. 2. Statičke karakteristike dvopozicionih regulatora mogu biti ________________ ili

______________. 3. ON-OFF regulator je dvopozicioni regulator ______________ tipa, pri čemu je

dejstvo jedne pozicije jednako _______. 4. ON-OFF regulator se ne može primenjivati na objektu _______________ tipa. 5. Dvopozicioni regulator bez histerezisa na objektu prvog reda bez kašnjenja u

sistemu dovodi do preključenja ______________ frekvencije. Takav režim rada sistema naziva se _____________ režim.

6. Dvopozicioni regulator bez histerezisa na objektu prvog reda sa kašnjenjem dovodi do preključenja kontakata releja s _____________ frekvencijom.

236


7. Oscilacije oko ravnotežnog stanja u sistemu, čiji je objekat regulacije prvog reda i integracuinog tipa, su ____________ oblika ako je objekat bez kašnjenja i _____________ oblika ako je objekat sa kašnjenjem.

8. Amplituda oscilacija kod sistema sa dvopozicionim regulatorom i objektom bez kašnjenja zavisi isključivo od veličine ___________ regulatora, dok kod objekta sa kašnjenjem ona zavisi i od _____________.

9. Oscilacije oko ravnotežnog stanja u sistemu, čiji je objekat regulacije prvog reda i inercijalnog tipa, su ____________ oblika ako je objekat bez kašnjenja i _____________ oblika ako je objekat sa kašnjenjem.

10. Srednja vrednost trougaonih oscilacija u sistemu sa dvopizicionim regulatorom i astatičkim objektom prvog reda je ____________ zadatoj referentnoj vrednosti.

11. Za određivanje parametara samooscilacija kod sistema sa dvopozicionim regulatorom i objektom višeg reda koristi se _____________________________.

12. Sistemi promenljive strukture omogućavaju formiranje kretanja sistema u prostoru stanja koje nije _____________ strukturama sistema.

13. Klizni režim se opisuje diferencijalnom jednačinom ________ reda u odnosu na ________ sistem.

14. Kretanje sistema u kliznom režimu je __________ u odnosu na promenu _____________ objekta i dejstvo ograničenih ____________.

15. Za sintezu sistema sa kliznim radnim režimom nije potrebno tačno ___________ ____________ sistema, već samo opseg njihove promene.

16. Klizni režim se javlja na liniji ____________ upravljanja, gde se fazne trajektorije ___________ sistema _________________.

17. Matematički uslov egzistencije kliznog režima se daje relacijom ____________, gde je ________________.

18. Postoje dva osnovna oblika realizacije upravljanja za formiranje kliznog režima: kvazi- __________ i __________.

19. Kombinovani algoritam upravljanja uključuje ___________ i ___________ komponentu upravljanja.

20. Četering je parazitno kretanje oko ___________ stanja sistema kao posledica neuračunate (nemodelovane) _____________ sistema.

21. Ekvivalentno upravljanje je ___________ upravljanje koje bi obezbedilo kretanje duž _________ hiperravni ako bi početni uslovi bili takvi da se stanje sistema u početnom trenutku nalazi na _________________.

22. U sistemima sa vektorskim upravljanjem, kretanje u kliznom režimu odvija se duž preseka onih ___________ na kojima komponente __________ trpe _________.

23. Sistem n-tog reda sa vektorskim upravljanjem čije m koponente upravljanja trpe prekide na m hiperravninama i u kome se kretanje u kliznom režimu odvija duž preseka svih hiperravnina, opisuje se sistemom jednačina __________ reda.

24. Za formiranje kliznog režima u sistemima s vektorskim upravljanjem postoje četiri načina i to: a) ____________________, b) _______________________ c)____________________, d) __________________________.

25. Ako je sistem opisan linearnom diferencijalnom jednačinom stanja ___________, klizna hiperavan sa g=cTx, tada se ekvivalentno upravljanje definiše relacijom _________________, a kretanje u kliznom režimu relacijom ________________.

237


ZADACI ZA VEŽBU

1. Na sl. 9.27 prikazana je principska šema sistema za regulaciju napona generatora jednosmerne struje. Parametri generatora su: V/A 100 KH,10,10 g ==Ω= pp LR

Sl. 9.27.

Zanemarujući gubitke u rotoru generatora i njegovu inercijalnost, odrediti vrednost napona na krajevima neopterećenog generatora ako je dvopozicioni regulator a) bez histerezisa, b) sa histerezisom 2λ=1 V, a potenciometrom R2 je podešen srednji nivo delovanja relea na 12V.

2. Sistem je kao u prethodnom zadatku. Uzimajući u obzir i parametre rotora

generatora: otpornost rotora Rr=0,5 Ω i induktivnost rotora Lr=0,1 H, metodom harmonijske linearizacije odrediti parametre samooscilacija sistema u okolini ravnotežnog stanja.

3. Sistem je kao u zadatku 2. Formirati regulator promenljive strukture koji će realizovati klzni režim na liniji čiji je nagib određen parametrom c=9.

4. Motor jednosmerne struje s permanentnim magnetima ima parametre: Rr=1 Ω, konstanta motora je 0,3, mehanička vremenska konstanta je 30 ms, a električna 10 ms.

Formirati sistem za regulaciju brzine ovog motora primenom regulatora promenljive strukture s kliznim radnim režimom primenom:

a) kvazirelejnog algoritma upravljanja,

b) relejnog algoritma upravljanja,

c) primenom kombinovanog algoritma upravlhjanja,

d) primenom zakona padanja s mekim spuštanjem.

5. Objekat upravljanja je kao u prethodnom zadatku ali želi se regulacija pozicije vratila motora. Zanemarujući električnu vremensku konstantu motora reba formirati regulator promenljive strukture sa kliznim radnim režimom koristeći kombinaciju ekvivalentnog upravljanja komponentu relejnog upravljanja.

Simulacijom na računaru proveriti ponašanje sistema.

238

REGISTAR

A Ajzerman 172 Akermanova formula 98 Algebarska jednačina - izlaza 8 - matrična 56 -Ljapunova 84 Algoritam upravljanja - kvazirelejni 217, 226, - kombinovani 223, 229, - relejni 221, 222, 229 Amplituda samooscilacija 162,164 Andronov 143 Apsolutna stabilnost 183, 190 Astatizam 223 Atenuator 19

B Besekerskij 134 Bimetalni rele 135, 157 Blok- - dijagonalna forma 37 - šema strukturna 134,145, 181,194 Bogoljubov 163 Boksenbom 117

C , Č Cipkin ~68,133,190 ~ ov parabolični kriterijum 190 Četering 219, 222-225

D Dalamberov princip 6 Dekompozicija sistema 78 Digitalni računar 18, 48 Diferencijalna jednačina - stanja 8 - matrična 47 Dijagonalna forma 34 Dijagram simulacioni 27 , Dipol 77 Diskretni model 48 Dolgolenko 220 Draženović 230 Džordan~ ~ ova forma 37 ~ ov oblik 60 ~ ova (sub)matrica 37

E Element - linearni 134, 32

- nelinearni 134, 137, 139, Električna mreža linearna 11 Energija -kinetička, potencijalna 2, 3

F Fazna - koordinata 148 - tačka 144 - trajektorija, ravan 143 Filipov 230 Fazni portret 144, 147-155, , -tipa - (ne)stabilnog - čvora 148 - fokusa 147, 216 - centra 146, 217 - sedla 148,217 Flige-Loc 143 Forma - kanonička - blok-dijagonalna 35 - dijagonalna 34 - kontrolabilna 22 - modifikovana 24 - opservabilna 25 Frekvencija -oscilacija 162 -preključenja 206-210 -sopstvena 234 Funkcija(e) - Beselove 94 -Ljapunova 178-183, 220 - negativno (pozitivno) - definitna 83,177, 178 - fazno-frekvencijska 188 - modifikovana 188 - komutaciona 220 - ograničena po apsolutnoj

vrednosti 194 - opisna 159 - prenosa 134 - signum 137 - saturaciona 137 - tipa početnih uslova 95 Furijeova analiza 158

G Gao 224

Generalisana sila 2 generalisane koordinate 2, 3 Goljdfarb 157, 163, 213 Granični krug - (ne)stabilan, 150, 172

- semistabilan 150

H Hipoteza

- Ajzermana 172, 197 - filtra 158 - Kalmana 172, 197

Histerezis 136, 137,152,204-213

- pozitivni, negativni 136, 189

Hodograf Mihajlova 162 Hurvicov polinom 189

I, J Indeks - kontrolabilnosti 105 - nestabilnosti 192 Invarijantnost 219,232 Izbor spektra polova 93 Jemeljjanov 215, 217

K Kalman~ 69 ~ova teorema 185 ~ov regulator 91, 111 Kanonička forma - dijagonalna (Lurjeova)34 - kontrolabilna 22 - opservabilna 25 Karakteristika - amplitudno-fazna 163, 164, 184,186, 190,192,

- modifikovana 188 - pojačavača, motora 135 - relea 135 - idealnog, tropozicionog 137

- s pozitivnim (negativnim) histerezisom 136,189 Karakteristična jednačina 162 Kašnjenje transportno 204-213 Klizna hiperpovrš (ravan) 220, 231 Klizni režim 154, 208, 213,215-218, 231-233-93 Koeficijent(i) - diferencijalne linearizacije 197,

^. Milosavljevi, Teorija automatskog upravljanja-2

240

- krutosti, elastičnosti 7 - pojačanja 140,172, 218, 192-199 - statičke linearizacije 197 - stohastičke linearizacije - viskoznog trenja 3, 170 Kohenberger 156 Kontrolabilnost 68 - diskretnih sistema 69 - kontinualnih sistema 70 - izlaza 71 Koordinate stanja 8 Koši~ ~jeva normalna forma 145 ~jev normalni oblik 2, 8, 66 Kretanje sistema - po stabilnim singularnim trajektorijama 217 - sa preključenjima 217 - u kliznom režimu 217 Krilov 163 Kriterijum - kvaliteta 94, 111 - Silvestrov 179,183 - stabilnosti 184,185 - frekvencijski 49 - kružni 197, 59 - Mihajlova 71 - Nikvista 54 - parabolični 190 - Popova 184,187,189 Kriva Mihajlova 162 Krug - granični 150,172 - (k,r) 192,197 Kulonovo trenje 135 Kvazi-klizni režim 219,220

L,Lj Lagranževa - jednačina, funkcija 2 Laplasova transformacija 3, 196 Lasal 181 Leote 142 Levšec 181,183 Limiter 174 Luenberger~ 123 ~opserver identiteta 127 Linija - klizna 220 - preključenja 153, 220 Linearizacija - diferencijalna 138 - harmonijska 139

- statička 138 - stohastička 140 - vibraciona 73 Lurje~ 181, ~ov problem 181,189 ~ov zadatak 181,184 Ljapunov 172-175,177,193

M Masa 3, 5 - rotirajuća 3 Matematčko modelovanje - dinamičkih sistema 1 Matematički modeli - nelinearnih elemenata 137 MATLAB 16,38,57,60,62,72, 80,86,98,102,110,113,115 - simulink 18,19 Matrica - dijagonalna 34 - direktne sprege 9 - Džordanova 37 - fundamentalna 47 - izlaza 9 - kompanjon 22, - pozitivno definitna 179, 180,182,183,185 - stanja 8 - transformacije 56, 96 - tranzijentna 47 - Van der Mondova 56, 57 Matrični eksponent 47 Matrična jednačina Ljapunova 84 Mreža degenerisana 13 Metoda (Metode) - Ajzermana 178 - Boksenboma i Huda 117 - dosezanja 92 - decentralizovanog 233 - hijerarhijskog 233,234, - konačnog 233 - slobodnog 233 - ekvivalentnog uprav ljanja 224,230, 234 - harmonijske linearizacije 156,170 - izoklina 146 . Ljapunova 83,175,176 - direktna 83,177 - indirektna 175 - Popova 184 - prostora stanja 8 Mihajlovljev uslov 157

Minimalna realizacija 82 Mod nekontrolabilan 81 Model - matematički 1 - u prostoru stanja 8 Modelovanje - mehaničkih sistema 2 Moment inercije 3 Mrtva zona 136

N Nelinearnost(i) 163,178,186, - (ne)tipična 135,136 - prirodna , veštačka 135 - jedno(više)značna 135,161 - (ne)suštinska 136 - tipa zasićenja 136, 137 Nemodelovana dinamika 225,226,227-228 Nikvist~ 163 ~ova metoda 54 ~ov kriterijum 163 ~ova kriva 163,164, 28 ~ov uslov 158 Nule - desne 103 - kompenzacione 77 - konačne 30

O Objekat regulacije - (a)statički 204-214, odziv - normalni 46 - odskočni 225,226,227, 228,232 Oldenburg 68 Opserver 219,230 Oscilator - harmonijski 234 ,235 - Van der Polov 170,171, Opserver 122

- potpuni/identiteta 127 - redukovani 127

Opservabilnost 72

P Parabola - (k,q,r) 151,190 Podešavanje spectra polova 94 Peruničić 230 Položaj ravnoteže 173 Popov E. P. 134, 162 Popov V. M. 184, - Poremećaj 9,138,193,225, 229, 233

Registar

241

Postnjikov 178 Postupak Ajzermana 178 Prava - klizna 220 - Popova 188, 198 Pseudo izvori - napona, struje 12 Programiranje - direktno 22 - paralelno 34 - redno 30 Proces(i) - prelazni 63 - prinudni, 63 - slobodni 63 - u (ne)linearnim sistemima 62,193 Projektovanje - povratne sprege - po stanju 93 Poenkare 143 Prostor stanja 8, 66, 83 Prototipi 94

R Rang matrice 70 Rasprezanje 116 - kombinovanim kompenzatorom 121 Razmah oscilacija 207, Robustnost 219 Regulator - dvopozicioni 203-214 - impulsni 214 - On-Off 204,206,210 - promenljive strukture 224 - tropozicioni 203 Referentni signal 6, 94 Relejeva funkcija 2 Rikati~ jednačina 111 Robustnost 219,232

S Sartorijus 68 Sektor 196 Sistem(i) - koordinatni

Dekartov, polarni 143 - dijagonalno dominantni 116 - dualni 68, 73 - konzervativan 2 - multivarijabilni - (ne)autonomni 169 - neinteraktivni 116

- nelinearni 134,144,146 - optimalni 143,153 - promenljive. strukture 143,154,215 - relejni 153 Signal - greške 193,221,229 - Dirakov 46 - Hevisajdov 46, 76 - komandni 229 - referentni 235 - upravljanja 214,225-227 - visokofrekvencijski 229 Simulacioni dijagram 224 Simulacija sistema - računarska 18 - na osnovu f-je prenosa 22 Singularne - tačke 145 - trajektorije 148,150 Sinteza - SAU 91 Sopstvene vrednosti 56 Sopstveni vektori 56 Spektar polopva 93 Stabilnost - apsolutna 183,197 - asimptotska 173,174,178, 183,220 - globalna 170,173,178,183 - s ∝ stepenom 69 - orbitalna 173 - po Ljapunovu 172,177 - procesa 193,197 - (samo)oscilacija 163,164 - u konačnom vremenu 173 Stabilizabilnost 81 Stanje ravnoteže 173 Stepen eksponencijalne stabilnosti 85, 115 Struktura - osnovna 134 - promenljiva 215 Superkontrolabilnost 78

Š Širinsko-impulsna modulacija 203, 214

T Tajlorov red 7 Tastin 157 Trenje - Kulonovo 135 - viskozno 3

U Upravljanje 1, 8 - ekvivalentno 224, 230, 231, 232 - kombinovano 223 - kvazirelejno 217,84 - relejno 221 - saturaciono 223 - skalarno 9, 95,230, - vektorsko 9,99,232 Upravljivost 68 Uslovi - dosezanja (padanja) 79,80, - egzistencije kliznog režima 220 Utkin, V.I. 230

V Van der Pol 170 Veliki sistemi 234 Vector - upravljanih veličina 8 - funkcija - izlaznih signala 8 - promenljivih stanja 8 - spoljašnjih sila 3 - upravljanja 8 Vektorsko upravljanje 9, 132 Vibraciona linearizacija 215

Z Zadatak minimalne realizacije 82 Zakon (i) - Njutnov 3 - upravljanja 203,215 - kombinovani 223 - kvazirelejni 221 - promenljive strkture 215 - relejni 222 Zazor 137

tau 2

Documents