tasa nominal y efectiva

.

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

TASA NOMINAL Y EFECTIVA –CAPITALIZACION CONTINUA

CURSO :INGENIERIA ECONOMICAS II

DOCENTE :ING. NELSON HUANGAL CASTAÑEDA

INTEGRANTES:

GUEVARA BRAVO JOHANAHUAMAN GONZALES HITHAFLORES DIAZ KATHERINEMANAYAY REYES MARIA SANTISTEBAN ANCAJIMA VICTORAPOLINARIO CISNEROS JAVIER

Lambayeque, octubre del 2011

TASA DE NOMINAL Y EFECTIVA-CAPITALIZACION CONTINUA UNPRG

I. INTRODUCCION

En el presente tema se explican los diferentes tipos de tasas de Interés que normalmente se

utilizan en el mercado financiero.

El lector se va ir afamiliarizando en cálculos de matemáticas financieras utilizando períodos y

frecuencias de capitalización diferentes a un año. Esto le permitirá manejar asuntos financieros

personales que en la mayoría de casos son cantidades mensuales, diarias o continuas.

II. OBJETIVOS

Definir el periodo de capitalización, la tasa de interés nominal, tasa de interés efectiva.

Entender la fórmula para calcular las tasas de interés efectivas.

Calcular la tasa de interés efectiva y encontrar cualquier factor para esta tasa.

Obtener y utilizar la fórmula de capitalización continua.

III. MARCO TEORICO

2


III.1. TASA NOMINAL

Es la tasa de interés anual pactada, que rige una operación financiera durante un plazo determinado.

La tasa nominal se capitalizamásdeunavezporaño.

Estatasa convencionalodereferencialo fijael BancoFederal oBanco Central deun paíspararegular las operacionesactivas(préstamosycréditos) y pasivas(depósitosyahorros) delsistemafinanciero.

Esunatasadeinteréssimple La tasa nominal es solamente es una definición o una forma de expresar una tasa efectiva Las tasas nominales no se utilizandirectamente en las fórmulas de la matemática

financiera. las tasas de interés nominales siempre deberán contar con la información de cómo se

capitalizan.La ecuacióndela tasanominal es:

j= tasa deinterés porperíodo x númerode períodos

III.2. TASA EFECTIVA

Es la tasa a la cual se capitaliza el dinero anualmente; aun cuando el dinero se capitalice semestral, trimestral o mensualmente.El procedimiento para obtener una tasa equivalente ya sea nominal o anual, es el siguiente:Sea “i” la tasa de interés efectiva anual.Sea “j” la tasa de interés nominal anual.Sea “m” el número de veces que la tasa nominal se capitaliza al año

Tasas de Interés El número de veces que dicha compuesto capitalizable tasa se capitaliza al año es de:

Semestralmente 2Cuatrimestral 3

Trimestral 4Bimestral 6Mensual 12

Cuando el monto generado por ambas en el plazo de un año llega a coincidir, dichas tasas son equivalentes entre sí.

Monto bajo tasa efectiva = Monto bajo tasa nominal.

3


M=M

(1+i )=(1+ jm)

m

De aquí en adelante ya depende que se solicite, si la tasa efectiva anual o la tasa nominal de interés; como puede notarse el caso más sencillo es obtener la tasa efectiva anual:

(1+i )=(1+ jm)

m

i=(1+ jm)

m

−1

Formula para calcular la tasa efectiva anual “i”de interés

a partir de un atasa nominal “j” que se capitaliza “m” veces en el año.

Tablas 3.1 y 3.2 :Diversas Tasas De Interes Y Sus Interpretaciones

4


III.3. CAPITALIZACIÓN CONTINUA CON TASAS EFECTIVAS DE INTERÉS

A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor de m, número de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca a infinito y la fórmula de tasa de interés efectiva puede escribirse de una nueva forma.

limh→∞ (1+ 1

h )h

= e =2.71828

A medida que “m” se acerca a infinito, el límite de la ecuación de tasa de interés efectiva se

encuentra utilizandojm

=1h

lo que hace m = jh.

limm→α

i= limm→∞ (1+ j

m )m

−1

=limh→∞ (1+ 1

h )hj

−1=limh→∞

¿-1

i =e j−1

5


Fórmula para calcular la Tasa De Interés Efectiva Continua

6


IV. EJERCICICOS

EJEMPLO 1:Determine la tasa efectiva anual de interés para una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente.Datos:i =?j = 18% anual capitalizable mensualmentem=12 periodos de capitalización en 1 año para la tasa nominal “j”

i=(1+ jm)

m

−1

i=(1+ 0.182 )

12

−1

i=19.56 %

RESULTADO i=19.56 % anual

En caso de que se busque calcular la tasa nominal de interés a partir de una tasa efectiva anual, el despeje queda de la siguiente manera:

(1+i )=(1+ jm)

m

(1+i )1/m=(1+ jm )

(1+i )1/m−1= jm

m [ (1+ i )1 /m−1 ]= j

Fórmula para calcular una tasa nominal “j” que se capitaliza “m” veces en el año a partir de una tasa efectiva anual “i”

7


EJEMPLO 2:Determine una tasa nominal capitalizable mensualmente que genere el mismo monto que la tasa equivalente de 19.562% anualDatos:j =?m = 12 periodos de capitalización en 1 año de la tasa “j”i = 19.562%

j=m¿

j=12¿

RESPUESTA: j= 18% anual capitalizable mensualmente.

Finalmente está el caso de querer convertir tasas de interés nominal pero con distintos periodos de capitalización. Debemos realizar el siguiente razonamiento.

Es decir, si se nos da una tasa NOMINAL con “m” periodos de capitalización al año, podemos calcular una tasa EQUIVALENTE a esa tasa nominal pero con “N” de periodos de capitalización al año (distinta cantidad de periodos de capitalización).

M=M

(1+ieqN )=(1+ j

m )m

(1+ieqN )

1 /m

=(1+ jm )

mN1+

ieqN

=(1+ jm )

mN

ieqN

=(1+ jm )

mN−¿1

ieq=N[(1+ jm )

mN−1]

8


Tasa Equivalente Con “N” Capitalizaciones Al Año Obtenida A Partir De Una Tasa “j” Con “m” Capitalizaciones Al Año

Ejemplo 3:

Calcular una tasa que se capitaliza semestralmente que sea equivalente a una tasa del 18% anual capitalizable mensualmente.

Datos:ieq= ?N = 2 periodos de capitalización al año de la tasa equivalentej = 18% anualm = 12 periodos de capitalización en el año de la tasa “j”

ieq=N ¿

ieq=2¿

RESULTADO:ieq=18.689% capitalizable semestralmente

EJEMPLO 4:(a) Para una tasa de interés del 18% anual compuesto en forma continua, calcule la tasa de interés efectiva anual Y mensual.(b) Si un inversionista exige un retorno efectivo de por lo menos eI 15% sobre su dinero, ¿Cuál es la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar una capitalización continua?

Solución:

a) La tasa de interés mensual, r, es 18/12 = 0,015 mensual. De acuerdo con la ecuación la tasa efectiva mensual es:

imensual=er−1=e0.015−1=0.01511 (1.511% )………(a)

En forma similar, la tasa efectiva anual utilizando r = 0.18 anual es:

ianual=er−1=e0.18−1=0.1972(19.72 % )

b) En este problema, es preciso resolver la ecuación [a] en el sentido contrario puesto que se tienei y se desea r. Por tanto, para i = 15% anual, debe resolverse para r tornando el logaritmo natural

er−1=0.15

9


er=1.15

ln er=ln 1.15

r=0.13976(13.976 %)

Por consiguiente, una tasa del 13.976% anual compuesto en forma continua generará una tasa de retorno efectiva anual del 15%.

Comentario: La fórmula general para encontrar la tasa nominal cuando está dada la tasa efectiva continua i es r =Ln (1 + i)

EJEMPLO 5:Si una mujer deposita $1000 ahora, $3000 dentro de cuatro años a partir de la fecha del anterior depósito y $1500 dentro de 6 años a una tasa de interés del 12% anual compuesto semestralmente ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años .

Solución:

El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura.. -Suponga que se ha decidido utilizar unatasa de interés anual para resolver el problema. Dado que solamente pueden ser utilizadas tasas deinterés efectivas en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con la ecuación:

i=(1+ rm)

m

−1

Donde i = tasa de interés efectiva por periodo:r = tasa de interés nominal por periodom = número de periodos de capitalización

i anual=(1+ 0.122 )

2

−1

i anual=0.1236=(12.36 %)

Figura .Diagrama de flujo de efectivo, ejemplo 5

10


Dado que i tiene unidades anuales, n debe estar expresada en años. Por tanto,

F = 1OOO (F/P, 12.36%, 10) + 3OOO (F/P, 12.36%, 6) + 15OO (F/P, 12.36%, 4)

=$11,634.50.

En forma alternativa, se puede utilizar la tasa efectiva del 6% por semestre y luego utilizar periodos semestrales para n. En este caso, el valor futuro es:

F = 1OOO (F/P, 6%, 20) + 3OOO (F/P, 6%, 32) + 15OO (F/P, 6%, 8)

F= $11,634.50.

EJEMPLO 6:

El señor Adams y la señora James planean invertir $5000 durante 10 años a un 10% anual. Calcule el valor futuro para ambos individuos si eI señor Adams obtiene un interés compuesto anualmente y la señora James obtiene una capitalización continua

Solución:

Señor Adams. Para una capitalización anual el valor futuro es:

F = P (F/P, lO%, lO) = 5OOO (2.5937) = $12,969.

Señora James. Mediante la relación de capitalización continua encuentro primero la i efectiva anual:

i=e0.10−1=0.10517(10.517 %)

El valor futuro es: F= P (F/P, 10.517%,10) = 5000(2.7183) = $13,591

La capitalización continua representa un aumento de $622 o 4.8% en las ganancias.

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EJEMPLO 7:

Unatiendade ventaacréditoanuncia supromocióndeventasconrecargosde 18%deinterésanualyel pago de loscréditosencómodascuotas semanaleseiguales. Determinarla tasaefectiva anual quecobra el negocio.

Solu c ió n : (1 año =52semanas)

j = 0.18; m =52; TEA (Tasa Efectiva Anual)=?

1º Calculando latasa efectiva anual,obtenemos:

i=(1+ jm)

m

−1

i=(1+ 0.1852 )

52

−1

i=0.196

Re s pue st a : Latasaefectiva anual es 19.68%.

EJEMPLO 8:Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, deseasaber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua.

Solución:En este caso, conocemos i y deseamos encontrar j, Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver j tomando el logaritmo natural (ln).

e j- 1 = 0.22

e j= 1.22

lne j = ln 1.22

j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal

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EJEMPLO 9:Tres bancospagan porahorros según las siguientestasas:BancoX :paga el9% de interésanualcapitalizablesemestralmente.BancoY :paga el8.9%deinterésanualcapitalizablemensualmente.BancoZ :paga el8.8%deinterésanualcapitalizablediariamente

¿Qué banco elegiría ustedpara prestarlesu dinero, considerando un año mínimo paradichaoperación? j=0.09,0.089 y0.088; m=2,12 y 365; TEA=?

Solución: Calculamos las tasas efectivas anuales a partir de la tasa nominal:

BANCO X: TEA=(1+ 0.092 )

2

−1= 0.920

BANCO y: TEA=(1+ 0.092 )

2

−1=0.927

BANCO z: TEA=(1+ 0.092 )

2

−1=0.9198

SINTAXISINT.EFECTIVO (Int. Nominal, número por año)

Int.Nominal Numero por año Int.Efectivo

x 0.09 2 0.092y 0.089 12 0.0927z 0.088 365 0.09198

Respuesta: Elegimos el Banco Y por cuanto es el que mejor paga por prestarle nuestro dinero.

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EJEMPLO 10:Una tarjeta de crédito tiene una tasa de interés del 2% mensual sobre el saldo no pagado.

Calcule la tasa efectiva por periodo semestral. Si la tasa de interés se expresa como 5% por trimestre, encuentre las tasas efectivas por

periodos semestrales y anuales.

Solución:

a) En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalización es mensual. Dado que se desea obtener la tasa de interés efectiva por periodo semestral, la “j” debe ser la tasa nominal por 6 meses ó

j= 2% mensual * 6 meses (periodo semestral) = 12% por periodo semestral

la “m” es igual a 6, puesto que el interés estaría compuesto 6 veces en un periodo de 6 meses. Por lo tanto, la tasa efectiva semestral es:

i=(1+ jm )

m

−1

i = (1 +0.12/6)6 - 1 = 0.1262 = 12.62% por cada 6 meses

b) Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo de capitalización es trimestral. Por consiguiente, en un periodo semestral, m = 2 y j = 10%. En consecuencia:

i=(1+ jm )

m

−1

i = (1 +10/2)2 - 1 = 0.1025 = 10.25%por cada 6 meses

c) La tasa de interés efectiva anual puede determinarse utilizando j= 20% y m = 4, de la siguiente manera:

i=(1+ jm )

m

−1

14


i = (1 +20/4)4 - 1 = .02155 = 21.55% por cada año

EJEMPLO 11:

Sandra palacios deposita por un año $10.000 en una cuenta que paga el 18% anual capitalizado

trimestralmente de manera vencida. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva que le pagaron a Sandra?

Solución:

j =18% (tasa nominal anual)

m :4

i=?(tasa de interés efectiva)

Reemplazando en la fórmula de tasa efectiva tenemos que:

i=(1+ 0.184 )

4

−1

i=0.1925=19.25%

Respuesta: Una tasa del 18% nominal anual es equivalente a una tasa efectiva anual de 19.25%

A mayor número de capitalizaciones mayor sería el interés obtenido, consecuentemente podemos afirmar que a mayor número de capitalizaciones mayor será la tasa de interésEfectiva. Veamos la siguiente tabla la cual reafirma esta idea.

TABLA N°01

15

P

900 900 900 900900

1 2 3 4 5


Nótese también en la tabla 4 que cuando m = 1 la tasa nominal anual es igual a la tasa efectiva, en general podemos afirmar que una tasa nominal es igual auna tasa efectiva cuando el período de capitalización es igual a 1. La anterior afirmación se puede demostrar de la siguiente manera:

i=(1+ jm )

m

−1= (1+ j1 )

1

−1→ i = j

EJEMPLO 12:

Calcule el importe a depositar hoy en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 3%, el cual permitirá retirar durante 5 meses (a fin de cada mes) una renta de 900 nuevos soles.

SOLUCIÓN:

TEM=3%

P=900[ (1+0.03 )5−1

0.03 (1+0.03 )5 ]P=$ 4121.74

EJEMPLO 13:

Se necesita adquirir una máquina devaluada en $8000 dólares ¿Dentro de cuántos meses podrá disponerse ese importe ahorrando cada fin de mes una suma constante de $1800 dólares? En una institución financiera que paga una tasa efectiva mensual del 2%.

Solución:

TEM= 2%

F=A( (1+ i)n−1i )

16F = 8000

«n»

1800


8000=1800( (1+0.02 )n−10.02 )

X = 4.3 meses

EJEMPLO 14:

En una transacción comercial un cliente conviene con su acreedor cancelar su deuda efectuando el pago inicial de S/. 2000 soles y S/. 1000 soles al financiero de cada mes empezando a inicios del sexto mes y durante 10 meses consecutivos. Si el cliente decide efectuar todo el pago al contado ¿Qué importe debe cancelar? Considerando una tasa efectiva mensual del 3%.

Solución:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12

1000i=3%

2000

P=−2000−100 [ (1+0.03 )10−1

0.03 (1+0.03 )10 ]( 1

(1+0.03 )4 )P=$ -9578.97

EJEMPLO 15:

El proceso de formación e instalación de una máquina tendrá una duración de 5 meses. A partir del sexto mes producirá una ganancia neta mensual de S/.500 soles durante 24 meses ¿Cuál es el valor presente de dichos flujos? Considerando una tasa efectiva mensual del 3% durante los primeros 5 meses y del 4% para los meses restantes.

Solución:

17


0 1 2 3 4 5 6 7 8 29

TEM 3%

500500P

TEM 4%

P=( (500 [ (1+0.04 )24−1 ] )0.04 (1+0.04 )24 )( 1

1+0.03 )5

P = $ 6576.0822

EJEMPLO 16:

Un puente recién construido no necesita separación hasta el término de 5 años, cuando se requieran $ 300 dólares para reparaciones. Se estima de allí en adelante se necesitarán $300 dólares al final de cada uno de las próximos 20 maños. Hallar el valor presente del mantenimiento del puente; sobre la base de una tasa de actualización del 3% anual

Solución:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 25300

24300 300 300

i=3%

1 2 3 20

P=300 [ (1+0.03 )4−1

(0.03 ) (1+0.03 )4 ] [ 1

(1+0.03 )4 ]P=S/. 4108.81

EJEMPLO 17:

Deseamos saber a qué tasa nominal, convertible mensualmente, el ahorro de UM 2,500 se transformará enUM 3,700 en 5 años. ¿Cuál será la tasa efectiva en un año?

18


Solución:VA = 2,500; VF = 3,700; n = 60; i =?; j = ?

i=60√ 37002,500

−1=0.00656mensual

SintaxisTASA (nperiodo; pago; va; vf; tipo; estimar)

Nper Pago VA VF TASA

60 2,500 -3,700 0.00656

j = 0.00656*12 = 0.0787

Re s pue st a :La tasaefectiva anual es 8.16% equivalente a la tasa nominal de 7.87%.

EJEMPLO 18:

Dos personas invertirán UM 8,000 durante 6 años al 15% anual. Determinar el valor futuro para ambos si elprimero obtiene interés compuesto anualmente y el segundo obtiene capitalización continua.

Solución: (Para el primero)

VA = 8,000; i = 0.15; n = 6; VF =?

VF=8,000−1.152=UM 18,504.49

Sintaxis

VF (tasa; nper; pago; va; tipo)

Solución: (Para el segundo)

Calculamos la TEA, con la ecuación de capitalización continua y con la tasa encontrada determinamos el VF:

i = 2.718280.15 - 1 = 0.1618 TEA

SintaxisVF (tasa; nper; pago; va; tipo)

19

Tasa Nper Pago VA Tipo VF

0.15 6 -8,000 18,504.49


Respuesta:

Con la capitalización continua el valor es mayor para la segunda persona.

EJEMPLO 19:

Si se tiene una tasa de interés efectiva anual del 21.5506%capitalizada trimestralmente, ¿Cuál es la tasa de interés nominal equivalente?

Soluciónief: 21.5506% EA (Efectivo Anual)m: 4inom: ?

Reemplazando en la fórmula de tasa nominal tenemos que:

Respuesta:

Lo anterior quiere decir que una tasa nominal anual del 20% capitalizadatrimestralmente es equivalente a una tasa efectiva del 21.5506%.

EJEMPLO 20:

Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, desea saber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua. En este caso,

20

Tasa Nper Pago VA Tipo VF

0.1618 6 -8,000 19,673.35


conocemos i y deseamos encontrar j, para resolver la ecuación en sentido contrario. Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver para j tomando el logaritmo natural (ln).

Solución

ej - 1 = 0.22

ej= 1.22

ln e= ln 1.22

j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal

La fórmula general para obtener la tasa nominal dada la tasa efectiva continua es:

j = ln(1.22) = 19.89% tasa nominal

Respuesta: 19.89% es la tasa nominal

EJEMPLO 21:Un préstamo no pagado al Banco tiene la tasa de interés del 3% mensual sobre el saldo pendiente de pago.

1) Determinar la tasa efectiva semestral. 2) Si la tasa de interés es de 7% por trimestre, calcular las tasas efectivas semestrales y anuales. 3) Con las cifras del (2) determinar las tasas nominales j.

Solución (1): La tasa de interés es mensual. Como lo solicitado es la tasa efectiva semestral aplicamos la fórmula (43B):

TEA SEMESTRAL = (1 + 0.03)6 -1 = 0.1941

Solución (2): Para la tasa de 7% por trimestre, el período de capitalización es trimestral. Luego, en un semestre, m = 2. Por tanto:

TEA SEMESTRAL = (1 + 0.07)2 -1 = 0.1449

TEA ANUAL = (1 + 0.07)4 -1 = 0.3108

Solución (3)

i = 0.07; n = 2; j =?

j = 0.07*2 = 0.14 semestral

j = 0.07*4 = 0.28 anual

EJEMPLO 22:

21


Una persona ahorra $1 000 cada año durante los años 1al5 en un banco que paga un interés de 12% anual, y no hace retiros de dinero. Calcular la cantidad que se acumula en el banco al momento de hacer el depósito número 5, si:

a) El interés se capitaliza anualmente:

Solución:El diagrama de flujo es:

F = 1000[(1.12)5-1]/0.12= 6 352.84736

b) El interés se capitaliza semestralmente.

Solución:La solución a este inciso puede plantearse en semestres o en años. Si es en semestres habrá que calcular el interés semestral. Como se está pasando de un interés capitalizado de un periodo mayor (12% anual) a un periodo menor (seis meses), el interés anual se divide entre el número de semestres que tiene un año, 0.12/2 = 0.06.El diagrama de flujo es el siguiente, donde s significa semestres:

Obsérvese que los $1000 que se depositan en el año 1 se quedan depositados durante ocho semestres, ganando cada semestre un interés de 6%; el segundo depósito se queda en el banco seis semestres, etc. Obsérvese que el interés es semestral y el exponente de cada término también son semestres.

F = 1000(1.06)8+ 1000(1.06)6+ 1000(1.06)4+ 1000(1.06)2+ 1000

= 6398.444147

EJEMPLO 23:

El fondo cooperativo de crédito de una universidad ha divulgado que su tasa de interés sobre los préstamos es del 1% mensual. Calcule la tasa de interés efectiva anual y utilice las tablas de factor de interés para encontrar el factor P/F correspondiente para n = 8 años.

22


Solución:

Puesto que se desea una tasa de interés anual, j anual = (0.01)(12) = 0.12 y m = 12. Sustituya j/m =0.1202 = 0.01 y m = 12

i = (1 +0.01)12- 1i = 1.1268-1i = 0.1268i =12.68%

Con el fin de encontrar el factor P/F para i = 12.68% y n = 8, es necesario interpolar entre i = 12% eì = 14% utilizando las tablas de factor de interés.

(P/F, 12.6%, 8) = 0.4039 - 0.0181 = 0.3858

EJEMPLO 24:Si se depositan $2000 cada año durante 10 años a una tasa de interés del 10% anual, compare el valor presente para capitalización (a) anual y (b) capitalización continua.

Solución:

a) Para capitalización anual,

P== 2OOO (P/A, 10%,10) = 2000(6.1446) = $12,289

b) Para capitalización continua,

ianual == e10-1== 0.10517 (10517%)

P = 2000(P/A, 10.517%,10)p= 2000(6.0104)p= $ 12,021

Como se esperaba, el valor presente para la capitalización continua es menor que aquél para la capitalización anual, ya que las tasas de interés más altas requieren mayores descuentos de flujos de efectivo futuros.

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tasa nominal y efectiva

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