Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 1 INTRODUCCIN Este trabajo constituye una breve introduccin a la teora de las Ecuaciones enDerivadasParciales(EDP).LaformaenlaquelasEDPsepresentan habitualmenteenlamodelizacindefenmenosdelaCienciayTecnologa eslademodelosdeevolucinenlosquesedescribeladinmicaalolargo deltiempodedeterminadacantidadovariable(tambinaveces denominadaestado)quepuederepresentarobjetosyfenmenosdeloms diversosquevandesdelaposicindeunsatliteenelespaciohastala dinmica de un tomo, pasando por los ndices burstiles o el grado en que unaenfermedadafectaalapoblacin.Enotraspalabras,losmodelos dinmicos o de evolucin son los ms naturales en la medida que reproducen nuestrapropiaconcepcindelmundo:unespaciotri-dimensionalque evoluciona y cambia en el tiempo. Cuandoelestadoovariabledeunmodeloosistemadeevolucinesfinito-dimensional, el modelo ms natural es un sistema de EDO, cuya dimensin coincideprecisamenteconeldelnmerodeparmetrosnecesariospara describir dicho estado. As, por ejemplo, para posicionar una partcula en el espacionecesitamosdetresvariablesdependientesdeltiempoypara describir su dinmica un sistema de tres ecuaciones diferenciales en la que la variable independiente es el tiempo. Pero en muchas ocasiones, como es el casosistemticamenteenelcontextodelaMecnicadeMediosContinuos, la variable de estado es infinito-dimensional. Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 2 ECUACIONESDIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES CONTEXTO HISTIORICO. ElestudiodelasEcuacionesDiferencialesestanviejocomoeldel Clculo mismo. En 1671 Newton (1643-1729) trabaj sobre la teora de Fluxiones(Unafluxinvieneaserladerivadadeunafluyente,el cualeselnombrequeNewtondabaaunvariabledependiente).Su investigacinserelacionconEcuacionesFluxionalesqueahora llamaramosecuacionesdiferenciales.ldividialasecuaciones diferencialesentrescategoras.Enlaprimera,estastendranaforma dy/dx = f(x) o dy/dx = f(y). En la segunda, tendran la forma dy/dx = f(x, y). Y en la tercera categora estn las ecuaciones diferenciales parciales. El mtodo de solucin desarrollado por l fue el de series de potencias el cual consider un mtodo universalmente vlido. El matemtico y filsofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) tambin trabajenecuacionesdiferenciales;encontrelmtodoparalas ecuacionesdiferencialeslinealesdeprimerorden.En1690,Jakob Bernoulli (1654-1705) mostr que el problema de determinar la iscrona (curvaverticalplanaenlacualunapartculaquesedeslicesobreella hasta el fondo tardar un tiempo fijo que no depende del punto inicial) esequivalentearesolverunaecuacindiferencialdeprimerordenno lineal;llaresolviporelmtododevariablesseparables(elmtodo generalseraenunciadoporLeibniz).ElartculodeBernoullise convirti en una milestone en la historia del Clculo. Lasegundaetapa(1728-)delahistoriadelasEDsestuvodominada porLeonardEuler:lintrodujovariosmtodosparaecuacionesde ordeninferior,elconceptodefactorintegrante,lateoradelas ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del mtodo de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820- ) fue unaetapadeformalizacinyenellahaydospersonajesimportantes NielsHenrikAbel(1802-1829)yAugustin-LouisCauchy(1789-1857); losproblemasdeexistenciayunicidaddelassolucionescobraron importancia. Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 3 Ecuacin de la Onda y del Calor La fsica y la teora matemtica de la cuerda vibrante fueron estudiadas porJeanleRondd'Alembert,yposteriormenteporJosephLouis Lagrange, Leonhard Euler, y Daniel Bernoulli, proporciono una discusin satisfactoria sobre la fsica de la cuerda vibrante. Eulerinvestigolasseriestrigonomtricasdesde1730ypropuso expansiones de funciones peridicas como series trigonomtricas en sus Memoir" de 1749 sobre las irregularidades de las orbitas de Saturno y Jpiter.Pocodespus,Clairautprodujoexpresionesparalos Coeficientes de Fourier" como una funcin. Enigualperiodo,d'Alembertinvestigabaelproblemadelascuerdas vibrantes.Unacuerda,fijaensusextremos,vibraconformeala ecuacin: dondeu(x;t)eseldesplazamientotransversal,eneltiempot,deunpunto en la posicin x con respecto a la posicin de equilibro. Las soluciones a esta ecuacioneseranobservadas,yd'Alembertproporcionoalgunassoluciones particulares.Eleradelaopininquelaformadeunacuerdadeberaesta acortadayposeersolucionesanalticamentesimples.Tratandode determinartodaslassolucionesdeestaecuacin,esqueEuleramplioel conceptodeloquehoyconocemoscomounafuncin".En1753,Daniel Bernoulli,logrodescribirestassolucionesenlaformadeseries trigonomtricas.Deestemodo,creyresolverelproblemaentodasu generalidad,loquepresuponaquetodafuncinpodaserescritacomola suma de series trigonomtricas. La teora no tuvo bases slidas hasta los trabajos de Fourier. La esencia de susideasestncontenidasenunamemoriaenviadaalaAcademiade CienciasenParis,en1807,tituladaTeoradelapropagacindelcaloren slidos", y Fourier retom la idea nuevamente en su celebrado trabajo 1822 Theorie analytique de la Chaleur".La expansin de una funcin arbitraria comoserietrigonomtrica".LasseriesdeFourierdieroncierrealdebate entreEuler,dAlembertyBernoullisobrelageneralidaddelasolucinde Bernoullialproblemaded'Alembert.Estasseriestambinsevolvieron indispensables para la teora de ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno.InteresadocomoFourierenlasaplicacionesmatemticasala fsica,tantoPoissoncomoCauchycontribuyeronelestudiodelasseriesde Fourier.Dirichlettambinseembarcoenelestudiorigurosodela convergencia de las series de Fourier, entre 1822 y 1826. Sin embargo, debe hacersenotarqueestoscoeficientespuedensertambininterpretadosen 22222

xuctucc=ccMatemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 4 trminosdelamejoraproximacincuadrticamedia.Entonces,para funciones de periodo 2, se considera la funcin cuadrtica: DEFINICIONES Se entiende por ecuacin diferencial en derivadas parciales (EDP) cualquier expresin de la forma: 0 ..) ,......... , ,......., , , ,.. , ( =xy xx y xu u u u u y x f(15.1) Que contenga varias variables independientes x, y, una funcin incgnita u y sus derivadas parciales sucesivas ,.... ,y xu u En lo que sigue se utilizar esta notacin de subndices para representar las derivadas parciales. As por ejemplo: x yuuxuuxuuxy xx xc cc=cc=cc=222, , Laecuacin15.1seconsiderarsiempredefinidaenunciertodominio nR D c, si n es el nmero de variables independientes. Estaremos entonces interesadosenencontrarfuncionesu(x,y,..)queverifiquen(15.1) idnticamenteenD,funcionesque,siexisten,llamaremossolucionesdela correspondiente ecuacin diferencial en derivadas parciales. Elordendeunaecuacindiferencialenderivadasparcialeseselmayor ordendelasderivadasparcialesqueenellaaparezcan.Porejemplo,la ecuacin: seny yu u ux xx xx= + + 6 3 Es de segundo orden, mientras que:

0 3 = +u xu u exx xxyx es una ecuacin diferencial en derivadas parcialesde tercer orden. }H022(x)dx ffMatemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 5 Unecuacindiferencialenderivadasparciales(15.1)sedicelinealsila funcinfeslinealenlavariabledependienteuyentodassusderivadas parciales. FORMAGENERALDEUNAECUACINDIFERENCIALPARCIALDE SEGUNDO ORDEN. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden concoeficientesconstantes,grupoalquepertenecenlasdenominadas ecuacionesdelaFsicaMatemtica.Siesdoselnmerodevariables independientes y las denotamos por x e y, la expresin ms general de este tipo de ecuaciones es: ) , (6 5 4 3 2 1y x g u A u A u A u A u A u Ay x yy xy xx= + + + + + (15.2 ) donde , 6 ., ,......... 1 ,= i Aisonconstantes,yg(x,y)esunafuncindelas variables x e y denominada trmino independiente. Al igual que ocurra con lasecuacionesdiferencialesordinarias,sig(x,y)esidnticamentenula,la ecuacin diferencial en derivadas parciales se denomina homognea; en caso contrario se hablar de ecuacin no homognea o completa. A la hora de obtener las soluciones de (15.2), se presentan varias diferencias importantes con respecto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, entre las que destacaremos las dos siguientes: Laprimeraestrelacionadaconelconceptodesolucingeneralpara una ecuacin diferencial ordinaria lineal de orden n e N, es un conjunto de funcionesdependientesdenconstantesarbitrarias.Enloquealas ecuacionesdiferencialesparcialesserefiere,enlugardeconstantes,la solucingeneraldependedeconstantesarbitrarias.Parailustraresto considere la ecuacin: 0 =xyu (15.3) Manteniendo x fija e integrando con respecto a y, se obtiene: ) ( ) , ( x f y x ux= Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 6 Una segunda integracin con respecto a x, mientras ahora consideramos a y fija, da

) ( ) ( ) , ( x h x g y x u + =(15.4) Que es la solucin general de (15.3), siendo g y h funciones arbitrarias. Para obtenerde(15.4)unasolucinparticular,sernecesarioaadirciertas condicionesadicionalesquepermitandeterminarlasfuncionesgyh explcitamente, lo que puederesultar incluso ms difcil que la obtencin de lapropiasolucingeneral.Estadificultadnoapareceenelcasoordinario, enelquelaobtencindesolucionesparticularesrequieresolamentela determinacindeconstantesarbitrarias.Porestemotivo,enlugarde obtenersolucionesgeneralesyapartirdeellaslascorrespondientes particularesqueverifiquenciertascondicionesprescritas,consideraremos solamenteprocedimientosquepermitanobtenerdirectamenteestas soluciones particulares. Lasegundadiferenciaserefierealconjuntodesolucionesdela ecuacin homognea. Para las ecuaciones ordinarias lineales de orden N ne, constituyeunespaciovectorialdedimensinn,igualalordendela ecuacin.Estovieneasignificarquetodasolucinsepuedeexpresarcomo unacombinacinlinealdesolucioneslinealmenteindependientes. Desafortunadamenteestonoescierto,engeneral,paralasecuaciones diferencialesenderivadasparcialeslinealeshomogneas,debidoaque, aunque el conjunto formado por sus soluciones tiene tambin estructuras de espaciovectorial(puestoquelaecuacinellineal),sinembargo,su dimensinesinfinita.Estehechoseponedemanifiestoenelsiguiente ejemplo: Efectuando el cambio de variables r = x + y ;s = x y en la ecuacin diferencial en derivadas parciales

0 = y xu u

obtenemos la ecuacin

0 2 =su Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 7 de la que deducimos como solucin general ) ( ) , ( r f s r u = y, deshaciendo el cambio anterior: ) ( ) , ( y x f y x u + = donde ) ( y x f +esunafuncinarbitrariaconlasolarestriccindeser diferenciable. De aqu se sigue que cada una de las funciones: N n e y x n y x senn y xy x n ne + + ++ ;); ( cos); ( ; ) () ( Es una solucin de la ecuacin de partida, y es evidente que todas ellas son linealmenteindependientes.Debidoaestehecho,enprincipiosepuede considerar la posibilidad de construir soluciones en forma de sumas infinitas desolucioneslinealmenteindependientes.Sinembargocomoexisten problemasdeconvergencia,noesinmediatoelqueunasumainfinitade solucionesseaunasolucin.Ntesequedebidoalcarcterlinealdelas ecuacionesdiferencialesenderivadasparcialesqueestamosconsiderando, la suma infinita de soluciones siempre es solucin; es decir, al igual que en elcasoordinario,paralasecuacionesdiferencialesenderivadasparciales linealestambinseverificaelPrincipiodeSuperposicin.Sinembargo, como se acaba de comentar, este principio presenta problemas en el caso de superposicionesinfinitas.Estetipodecuestionesrelacionadasconla convergencia, ser contemplado con detalle ms adelante. Ens,sedescribir,concarctergeneral,eltipodeproblemaquevamosa abordar relacionados con las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, as como los mtodos que se utilizarn para su resolucin. Todo ello se har para el caso de variables independientes. Tambin se dar una clasificacin delasecuacionesdiferencialesenderivadasparcialeslinealescon coeficientes constantes en dos variables independientes. Despus se definir el tipo de condicionesel tipo de condiciones adicionales, que, aadidas a la ecuacindiferenciallinealenderivadasparcialescorrespondiente, proporcionarnlosproblemasencuyassolucionessecentrarelinters. Posteriormentesedescribirnlosmtodosqueseemplearnparala obtencindeestassolucionesparticularesenlasdistintassituaciones.Los mtodos que se emplearn se fundamenten en la denominada separacin de variables y en el uso de la transformada de Laplace. Tambin se incluir el operadorlaplaciano,dndosesurepresentacinendistintossistemasde Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 8 coordenadas(cartesianasypolaresenelplano;cartesianas,esfricasy cilndricasenelespaciodetresdimensiones).Esteoperadorjugarun importante papel al estudiar la ecuacin de Laplace y, en general, cuando se tratenlasecuacionesdelaFsicaMatemticaenelcasodetresvariables independientes. CLASIFICACINDEECUACIONESDIFERENCIALESPARCIALESDE SEGUNDO ORDEN (ELPTICAS, PARABLICAS E HIPERBLICAS). La clasificacin de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (15.2) surge por su analoga con la ecuacin de las cannicas en el plano 06 5 423 221= + + + + + A y A x A y A xy A x A As, dependiendo de que la cantidad 3 1224 A A A sea positiva, negativa o nula, hablaremos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales hiperblicas, elpticas o parablicas; es decir: < = >elpticass parablicaas hiperblicA A AEDP 0EDP 0EDP 043 122 Lautilidaddeestaclasificacinsebasa,esencialmente,enla posibilidad de reducir (15.2) (en cada uno de los tres casos anteriores) a una forma cannica, mediante un adecuado cambio de variables independientes. Paradeterminarestasformascannicas,empezamosporconsiderar un cambio de variables independientes genrico:

( ) ( ) x,y s ; s x,y r r = = Dondesupondremosqueryssonfuncionesdexeydosveces derivables, de manera que el jacobiano de la transformaciny xy xs sr rJ

= Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 9 Esdistintodeceroenlareginenqueestamosinteresados.Entonces, suponiendo que x e y son, a su vez, funciones de r y s dos veces derivables, podemos introducir el cambio en (15.2) sin ms que tener en cuenta que: ( ))`+ + + + =+ + + + + =+ + + + =+ =+ =yy s yy r y ss y y rs y rr yyxy s xy r y x ss x y y x rs y x rr xyxx s xx r x ss x x rs x rr xxy s y r yx s x r xs u r u s u s r u r u us u r u s s u s r s r u r r u us u r u s u s r u r u us u r u us u r u u2 22 222(15.5) Sustituyendo estos valores en (15.2) se obtiene: ( ) s r g u B u B u B u B u B u Bs r ss rs rr,6 5 4 3 2 1= + + + + +(15.6) ( ))`=+ + + + =+ + + + =+ + =+ + + =+ + =6 65 4 3 2 1 55 4 3 2 1 423 221 33 2 1 223 221 12 2A Bs A s A s A s A s A Br A r A r A r A r A Bs A s s A s A Bs r A s r s r A s r A Br A r r A r A By x yy xy xxy x yy xy xxy y x xy y x y y x x xy y x x (15.7) Observacin. La ecuacin resultante (15.6) va a tener coeficientes variables. Sin embargo, posee la misma estructura que la original (15.2) y , adems, su naturalezapermaneceinvarianteantelatransformacinefectuadapuesto que, como puede comprobarse fcilmente: ( )3 12223 1224 4 A A A J B B B = Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 10 Y,portanto,siinicialmentelaecuacineraparablica,hiperblicao elptica,despusdelcambiocontinaperteneciendoalamismaclase,sin ms que exigir que el Jacobiano sea distinto de cero. Supongamosentoncesque 01 = A,en(15.2).Enestascondicionespara obtenerlasformascannicasbuscadas,tratamosdedeterminarryscomo funciones de x e yde forma que en la ecuacin transformada,1B y3B sean idnticamente cero. Esta condicin proporciona las ecuaciones: 0023 221 323 221 1= + + == + + =y y x xy y x xs A s s A s A Br A r r A r A B Puestoqueestasdosecuacionestienenlamismaestructura,podemos estudiarlas como si de una sola se tratase. Representndola por: 023 221= + + y y x xf A f f A f A(15.8) Si dividimos por 2yfobtenemos03 221= +||.|

\|+||.|

\|AffAffAyxyx(15.9) Ahora bien, sobre las cuevas cte f , se tiene 0 = + = dy f dx f dfy x, es decir: yxffdxdy = Con lo que en este caso, (15.9) puede escribirse como( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' '3 221= + + A x y A x y A Cuyas races son 13 122 2213 122 2124) ( ' ;24) ( 'AA A A Ax yAA A A Ax y = = += = (15.10) Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 11 Definicin.Lasdosecuacionesdiferencialesordinariasdeprimerordenanterioressedenominanecuacionescaractersticasdelaecuacin diferencialenderivadasparcialesysussoluciones,queobtenemospor integracin directa 1 1) ( C x x y + = 2 2) ( C x x y + = Reciben el nombre de curvas caractersticas.Puestoquelasdoscurvascaractersticasdependendeunaconstante arbitraria, basta elegir r como una de ellas y s como la otra, para obtener el cambio de variables buscado que viene dado por: x y r1 = x y s2 = (15.11) Observacin. La transformacin (15.11) es tal que los coeficientes iB, 6 ,..., 1 = i delaecuacintransformada(15.6)sontambinconstantes,comopuede comprobarseutilizandolasexpresiones(15.7).Enconsecuencia,lasformas cannicasqueacontinuacinobtendremosparacadaunodelostipos hiperblico, parablico y elptico, tendrn coeficientes constantes. ECUACIONES HIPERBLICAS Enestecaso 0 43 122> A A Ay,portanto,lasdosecuacionescaractersticas (15.10) son reales y distintas. El cambio de variables es entonces el dado por (15.11) y la ecuacin diferencial en derivadas parciales (15.2) se transforma en: ( ) s r g B u B u B us r rs,6 5 4+ = Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 12 Expresinquesedenominaprimeraformacannicadelasecuaciones diferenciales en derivadas parciales hiperblicas. Si en esta ltima ecuacin se introduce el cambio de variables s r s r = + = | o; Obtenemos ( ) | o| o || oo,6 5 4g u C u C u C u u + + + = Donde iC6 , 5 , 4 = i,sonconstantes.Estaexpresinsedenominasegunda forma cannica de las ecuaciones hiperblicas y ser la que utilicemos en el mtodo de separacin de variables. Observacin. 01 = A en (15.2), las ecuaciones (15.10) dejan de ser vlidas.En este caso, escribimos (15.8) en la forma 023 2=||.|

\|+||.|

\|dydxAdydxA De donde obtenemos las ecuaciones caractersticas:0 =dydx; 03 2=||.|

\|+ dydxA A Cuyas soluciones son 1C x = 232C yAAx + = Eligiendo ahoraMatemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 13 x r = yAAx s32 = Laecuacintransformadade(15.2)medianteestecambiotieneyala estructuradelaprimeraformacannicadelaquepodemosobtenerla segunda forma cannica mediante el mismo cambio anterior. Observacin. A este tipo de ecuaciones pertenece la denominada ecuacin de ondas, cuya expresin es ( ) t x A u c uxx tt,2+ = Donde t representa el tiempo y x representa la variable espacial. ECUACIONES PARABLICAS 0 43 122= A A A y por tanto, solo disponemos de una curva caracterstica 1122C xAAy + = Puesto que 2 1 =en (15.10). As, eligiendo xAAy r122 =, podemos considerar y k x k s2 1 + =, siendo 1k y 2k constantes cualesquiera, con la sola condicin de queelcorrespondienteJacobianoseadistintodecero.Conlaeleccin adecuada de las constantes 1k y 2k, el cambio anterior transforma (15.2) en( ) s r g u B u B u B us r ss,6 5 4+ = Que es la forma cannica para las ecuaciones de tipoparablico iB6 , 5 , 4 = i, son constantes. Observacin.Si 01 = Aentonces 2Aestambinceroylaecuacin,eneste caso viene ya expresada en forma cannica Observacin. A este tipo de ecuaciones pertenece la denominada ecuacin de difusin, cuya expresin es( ) t x A ku uxx t, + =

Donde t y x son las mismas variables que aparecen en la ecuacin de ondas. Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 14 ECUACIONES ELIPTICAS 0 43 122< A A A, con lo que las curvas caractersticas son 1 1) ( C x x y + = 2 2) ( C x x y + = Donde 1 y 2 son nmeros complejos conjugados, cuyo valor es)` =+ =ib aib a21 ;122AAa =; ( )12122 3 124AA A Ab= Consideramos entonces el cambio: ( )( )x ib a y sx ib a y r =+ = Introduciendo o ahora las nuevas variables( ) ( ) bx s riax y s r = = = + =21;21| o La ecuacin (15.2) se transforma en( ) | o| o || oo,6 5 4g u B u B u B u u + = + Donde: iB6 , 5 , 4 = i,sonconstantes.Estaexpresineslaformacannica correspondiente a las ecuaciones elpticas. Observacin.Enestecasosetiene 0 43 122< A A Ayportantolas constantes 1A y 3A de (15.2) no pueden ser cero ya que entonces 2A sera un nmero complejo. Observacin. A este tipo de ecuaciones pertenece la denominada ecuacin de Laplace, cuya expresin es0 = Au Donde Arepresentaeloperadorlaplacianoqueencoordenadas cartesianas en el plano est definido por la expresinMatemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 15 yy xxu u u + = A Obtengala forma cannica de la ecuacin diferencial en derivadas parciales2 5 4 = + + + +y x yy xy xxu u u u u SolucinPuestoque 41 = A, 52 = Ay 13 = A,setiene 0 43 122> A A A,portantola ecuacin es hiperblica. Las ecuaciones caractersticas son: 1 ) ( ' = x y 41) ( ' = x y y, en consecuencia, las curvas caractersticas vienen dadas por 1C x y + = 24Cxy + = As pues la transformacinx y r = 4xy s = Reduce la ecuacin dada a la forma cannica 9831 =s rsu u Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 16 CONDICIONES DE FRONTERA Lasecuacionesdiferencialesparcialesquemodelansistemasfsicos usualmentetienenunnmeroinfinitodesoluciones.Paraseleccionarla funcinsimplequerepresentelasolucinaunproblemafsico,sedeben imponerciertascondicionesauxiliaresquecaracterizanelsistemaquese modela.Engeneralestascondicionesseclasificanendoscategoras: condiciones de frontera y condiciones iniciales. Condicionesdefrontera.Soncondicionesquedebensersatisfechasen puntosdelafronteraSdelaregindelespacioenlacualsesujetanlas ecuacionesdiferencialesparciales.sehandadonombresespecialesatres formasdecondicionesdefrontera:condicindeDirichlet,condicinde Newmann y condicin de Robn. Condicionesiniciales.Lascondicionesdefronteraincluyencomouncaso especialelconceptodecondicionesiniciales,ystassoncondicionesque deben ser satisfechas a travsde la regin espacial en el instante cuando laconsideracindelossistemasfsicoempieza. Unacondicin inicialtpica prescribe una combinacin de la variable dependiente, por ejemplo u, y sus derivadas con respecto al tiempo. Elnmerodecondicionesinicialesaconsiderardependedelordendela derivada parcial con respecto al tiempo que contenga la ecuacin y coincide coneste.As,paralasondas(( ) t x A u C uxx tt,2+ =)seconsiderarndos condiciones iniciales: ( ) ( ) ( ) ( ) x ftux u x f x utt 2010 , ; 0 , =cc= ==

Mientras que para la difusin (( ) t x A ku uxx t, + =), solamente una: ( ) ( ) x g x u = 0 , 1)CondicionesdeDirichlet:consistenenprescribirelvalordela solucin en la frontera y pueden representarse por ( ) ( ) t g t x u =O c, Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 17 2)Condiciones de Newmann: consisten en prescribir el valor de la derivada segn la direccin normal de la solucin en la frontera y pueden representarse por( ) ( ) t g t xnu=ccO c, 3)Condiciones de Robn: son de carcter mixto pues prescriben el valordeunacombinacinlinealdelasolucinysuderivada segnladireccinnormalenlafrontera.Sepueden representar por: ( ) ( ) ( ) ( ) R k t g t xnuk t x u e =cc+O c O c , , Dondexrepresentaelconjuntodevariablesquedefinenla regin O del espacio. Ensntesis,paralasecuacionesdeevolucinnosocuparemosderesolver problemas de valores iniciales con condiciones de frontera de uno de los tres tipos anteriores. a)Problema de Dirichlet para la ecuacin de ondas: ( ) t x A u c uxx tt,2+ = ; 1 0 < < x ; +eR t ( ) ( ) t g t u1, 0 =; ( ) ( ) t g t l u2, =(condiciones de frontera) ( ) ( ) x f x u10 , = ; ( ) ( ) x f x ut 20 , = (condiciones iniciales) b)Problema de Newmann para la ecuacin de difusin: ( ) t x A ku uxx t, + =; 1 0 < < x ;+eR t ( ) ( ) t g t ux 1, 0 = ; ( ) ( ) t g t l ux 2, =(condiciones de frontera) ( ) ( ) x f x u = 0 ,(condiciones iniciales) Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 18 c) Problema de Robn para la ecuacin de ondas: ( ) t x A u c uxx tt,2+ = ; 1 0 < < x ; +eR t ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ))`= += +t f t l u h t l ut f t u h t uxx2 21 1, ,, 0 , 0(condiciones de frontera) ( ) ( ) x g x u10 , = ; ( ) ( ) x g x ut 20 , = (condiciones iniciales) AbordaremosportantolosproblemasdeDirichlet,NewmannyRobn para este tipo de ecuaciones. Ejemplos de este tipo de problemas, formulados en coordenadas cartesianas para un rectngulo de longitud y anchura b, son: i.Problema de Dirichlet para la ecuacin de Laplace 0 = +yy xxu u;a x < < 0 ; b y < < 0 ( ) ( ) y f y u1, 0 =; ( ) ( ) y f y a u2, =(condiciones de frontera en x) ( ) ( ) x g x u10 , =; ( ) ( ) x g b x u2, =(condicionesde frontera en y) ii.Problema de Newmann para la ecuacin de Poisson:( ) y x A u uyy xx, = +;a x < < 0 ; b y < < 0 ( ) ( ) y f y ux 1, 0 =; ( ) ( ) y f y a ux 2, =(condiciones de frontera en x) ( ) ( ) x g x uy 10 , =; ( ) ( ) x g b x uy 2, =(condicionesde frontera en y) iii.Problema de Robn para la ecuacin de Laplace: 0 = +yy xxu u;a x < < 0 ; b y < < 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ))`= += +y f y a u h y a uy f y u h y uxx2 21 1, ,, 0 , 0(condiciones de frontera en x) Anlogas en y y condiciones de frontera a anlogas en y. Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 19 MTODOS DE SOLUCINMtodo de separacin de variables Enestemtodoseproponeunasolucindelaformau(x,y)=X(x)Y(y) Estapropuestapermitereducirlaecuacindiferencialparcialados ecuaciones diferenciales ordinarias, y en el casode funciones de ms de dos variables independientes permitir reducir la ecuacindiferencial parcial a tresomsecuacionesdiferencialesordinarias.Lanomenclaturaquese usara es lasiguiente`` ,... ```, , `2222XYyuYv XxuXYyuY Xxu=cc=cc=cc=cc En donde las primeras indican diferenciales ordinarias. 1.Para las ecuaciones hiperblicas (1 0 < < x ; +eR t) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )R cx f x u x f x ut l u h t l ut u h t uu c utxxxx tte= +)`= += +=2 12120 , ; 0 ,0 , ,0 , 0 , 0

2.Para las ecuaciones parablicas (1 0 < < x ; +eR t) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )R kx f x ut l u h t l ut u h t uku uxxxx te=)`= += +=

3210 ,0 , ,0 , 0 , 0 3.Para las ecuaciones elpticas (a x < < 0;b y < < 0) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )= =)`= += += +x f b x u x f x uy l u h y l uy u h y uu uxxyy xx5 421, 0 ,0 , ,0 , 0 , 00;

(c. de frontera) (15.12) (c. iniciales) (c. de frontera) (15.13) (c. inicial) (c. de frontera en x) (15.14) (c. de frontera en y) Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 20 El mtodo de separacin de variables consiste en buscar la solucin como un productodedosfunciones,dependientescadaunadeellasdeunadelas variables. Es decir, supondremos ( ) ( ) ( ) t N x M t x u = , Para los casos hiperblico y parablico, y( ) ( ) ( ) y N x M y x u = , Paraelcasoelptico.Cambiandouporestaexpresinenla correspondienteecuacindiferencialenderivadasparcialesydividiendoa continuacin por la propia funcin, se obtiene( )( )( )( ) x Mx Mt Nt Nc' '=' '21 (caso hiperblico) ( )( )( )( ) x Mx Mt Nt Nk' '='21 (caso parablico) ( )( )( )( ) x Mx My Ny N ' '=' ' (caso elptico) Yaquelosdosmiembrosdeestasexpresionesdependendevariables distintas, ambos deben ser iguales a una constante. Denotando por esta constante de separacin, se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias para M y N:( ) ( ) x M x M = ' '(en los tres casos)(15.15) y( ) ( )( ) ( )( ) ( )= ' '= + '= + ' '0002y N y Nt N k t Nt N c t N Aspuessehapasadodeunaecuacindiferencialenderivadas parcialesendosvariablesindependientesadosecuacionesdiferenciales ordinarias separadas para cada una de ellas. (caso hiperblico) (caso parablico)(15.16) (caso elptico) Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 21 Mtodo de la Transformada de Laplace La transformada de Laplace proporciona un mtodo efectivo para obtener la solucin de algunos problemas de frontera y/o de valor inicial asociados a las ecuacionesdiferencialesenderivadasparciales.Inclusoendeterminados casos, aunque se puedan usar tcnicas ms sencillas (como la de separacin devariablesqueseacabadeexponer),estemtodopuededarinformacin adicionaldeinters.Sinembargo,convienetenerpresenteque,enotros casos,elusodelatransformadadeLaplacenoesapropiado,pueslonico que hace es aadir complicaciones sin proporcionar ms informacin. En principio, las caractersticas de un problema de frontera y/o de valorinicialparaunaecuacindiferencialenderivadasparcialesque aconsejanelusodelatransformadadeLaplaceparasuresolucin,se pueden resumir en los siguientes puntos: 1.laecuacindiferencialenderivadasparcialeseslineal(condicin necesaria) 2.laecuacindiferencialenderivadasparcialestienecoeficientes constantes. 3.al menos una de las variables independientes (t), recorre el intervalo | | , 0. 4.elproblemaincluyeapropiadascondicionesiniciales(t=0)enla variable de la condicin tres anterior. Para ilustrar este procedimiento considrese el problema: xx ttu u = 16;+eR t,+eR x ( ) 0 0 , = x u; ( ) 1 0 , = x ut ( )2, 0 t t u =;( ) < t x ux, lim Enl,lasdosvariablesxyt,recorrenelintervalo | | , 0;sinembargo,la variablex,presentaunasolacondicinenx=0y,senecesitandos condiciones para transformar por Laplace una derivada segunda. Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 22 Portantosermsconvenienteabordaresteproblemamediantela transformada de Laplace con respecto a la variable t. Sea ( ) | |( ) ( ) s x u s t x u L , , = Donde la variable x se considera como un parmetro. Suponiendo que en la ecuacindiferencialenderivadasparciales,lasoperacionesdederivacin conrespectoaxytransformacinporLaplaceconrespectoatson permutables, su transformada es:( ), 1 162+ = u s uxx

+eR x Quepuedeconsiderarsecomounaecuacindiferencialordinariaenla variable x, en la que ahora s es un parmetro. Su solucin general es( ) ( )242411,se s C e s C s x usx sx + = Transformando nuevamente con respecto a t las condiciones dadas sobre x: ( )32, 0ss u = ( ) + < s x ux, lim Y, por tanto: ( )242 31 1 2,ses ss x usx |.|

\|+ = Finalmente podemos escribir la solucin buscada en la forma ( ) ( ) | |> > + +=x t si tx t si x tt x u44 4) , (2

4x - t t - Matemticas Vingeniera civil Instituto tecnolgico de chetumal 23 EJEMPLOS TPICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Sicadatrminodelaecuacindiferencialparcialcontienelavariable dependiente, o bien, una de sus derivadas, se dice que es homognea en caso contrario es no homognea. Ecuacin unidimensional de onda. Ecuacin unitaria de calor. Ecuacin bidimensional de Laplace Ejemplo 1-La ecuacin de la Laplace.Supongamos que se quiere obtener la temperatura u(x, y) correspondiente al estadopermanenteenunaplacarectangular;lascondicionesdefrontera que se indican son: O