Electromagnetismo I

Semestre: 2014-2

TAREA 5 Y SU SOLUCION

Dr. A. Reyes-Coronado

Solucion por Carlos Andres Escobar Ruz

1.- Problema: (20pts) Un modelo primitivo para el atomo consiste en un nucleo puntualcon carga +q rodeado por una nube electronica esferica de radio a con carga q, comose muestra en la figura a). Considera que este atomo esta ahora bajo la accion de uncampo electrico ~E de manera que el nucleo se movera una pequena distancia d respectoal centro de la nube electronica, como se muestra en la figura b). Considerando queel desplazamiento es pequeno (d < a), y que la nube electronica sigue teniendo formaesferica, calcula la polarizabilidad atomica del atomo.

+q"a"

"q"

a)" b)"

"q"

d"

+q"

!rE

Solucion al problema 1

Como dice el enunciado, en presencia de un campo externo ~E, el nucleo sera desplazadoligeramente a la derecha y la nube electronica a la izquierda. El equilibrio ocurre cuandoel nucleo es desplazado a una distancia d del centro de la esfera. En este punto el campoexterno empujando el nucleo a la derecha equilibra el campo interno que esta empujandoeste a la izquierda: E = Ee, donde Ee es el campo producido por la nube electronica. Ahorabien, sabemos que el campo a una distancia d de una esfera uniformemente cargada de radioa esta dado por

Ee =1

40qd

a3, (1)

con lo cual, en el equilibrio se aclanza cuando

E = Ee =1

40qd

a3, o bien, p = qd = (40a3)E. (2)

Entonces la polarizabilidad estara dada por

= 40a3 = 30V, (3)

donde V es el volumen del atomo.

1

2.- Problema: (20pts) Un atomo de hidrogeno (radio Bohr de medio angstrom) se en-cuentra entre dos placas metalicas separadas por 1 mm, las cuales estan conectadasa una batera de 500 volts. Que fraccion del radio atomico representa la distanciade separacion d entre las cargas inducida por la diferencia de potencial (de maneraaproximada)? Estima el voltaje necesario para ionizar el atomo.

Solucion al problema 2Sabemos que el campo electrico entre dos placas paralelas es constante e independiente

de la posicin (placas infinitas), por lo que el potencial es el producto del campo electricopor la distancia medida desde una de las placas hacia la otra. Entonces, el campo electricoest dado por:

E =

x=

500Volts103 m

= 5 105 V/m. (4)

La polarizabilidad atomica del hidrogeno es

40= 0.66 1030 m3, (5)

con lo cual

= 4(8.85 1012 C2s2

Kgm3)(0.66 1030 m3) = 7.34 1041 C

2s2

Kg. (6)

Por lo tanto,p = E = qd (7)

donde q es la carga del electron, e, en este caso. Entonces la separacion maxima inducidaentre las cargas en el atomo sera

d =E

e=

(7.34 1041 C2s2Kg )(5 105 V/m)

(1.6 1019 C)= 2.29 1016 m. (8)

Si el atomo de hidrogeno tiene de radio el radio de Bohr, entonces la fraccion d/R sera

d

R=

2.29 1016 m0.5 1010 m

= 4.6 106. (9)

Digamos que el atomo se ionizara cuando la distancia de separacion sea igual al radiode Bohr (el electron estara a dos radios de distancia del nucleo). Entonces, para d = R setiene que

R =E

e=

ex, = Rex

=

(0.5 1010 m)(1.6 1019 C)(103 m)(7.34 1041 C2s2Kg )

= 108 V.

(10)

3. Problema: (20pts) De acuerdo a la mecanica cuantica, la nube electronica para unatomo de hidrogeno en el estado base tiene una densidad de carga

(r) =q

a3e2r/a,

donde q es la carga del electron y a es el radio de Bohr. Calcula la polarizabilidadatomica del atomo. (Hint: primero calcula el campo electrico de la nube electronica,luego expande el exponencial asumiendo que r

Solucion al problema 3

Dado que la densidad de carga solo depende de la distancia radial r entonces tenemossimetra esferica en el problema, por lo que podemos hacer uso de la ley de Gauss paracalcular el campo electrico

~E d~a = Qenc0 .

Calculando la carga total encerrada se tiene

Qenc =

dV =4qa3

r0exp

[2ra

]r2dr =

4qa3

{a2exp

[2ra

](r2 + ar +

a2

2

)} r0

,

= q{1 exp

[2ra

](1 +

2ra

+2r2

a2

)}. (11)

Por lo tanto, el campo electrico producido por la nube electronica es

Ee =1

40q

r2

{1 exp

[2ra

](1 +

2ra

+2r2

a2

)}. (12)

El proton sera desplazado del origen r = 0 al punto d donde Ee = E (el campo externo):

E =1

40q

d2

{1 exp

[2da

](1 +

2da

+2d2

a2

)}. (13)

Expandiendo en potencias de d/a:

exp[2da

]= 1 2d

a+ 2

(d

a

)2 4

3

(d

a

)3+ , (14)

entonces

1 exp[2da

](1 +

2da

+2d2

a2

)= 1

[1 2d

a+ 2

(d

a

)2 4

3

(d

a

)3+

](1 +

2da

+2d2

a2

)=

43

(d

a

)3+ ordenes superiores. (15)

Por lo tanto

E 140

q

d2

(43d

a

)3=

140

43a3

(qd) =1

30a3p . (16)

Con lo cual la polarizabilidad atomica esta dada por

= 30a3. (17)

4. Problema: (20pts) Una esfera de radio R posee una polarizacion dada por:

~P (~r ) = k ~r ,

donde k es una constante y ~r es el vector de posicion en coordenadas esfericas.

(a) Calcula las cargas inducidas b y b.

3

(b) Calcula el campo electrico dentro y fuera de la esfera.

Solucion al problema 4

a) Las cargas inducidas estan dadas por

b = ~P n = kR, b = ~P = 1r2

r(r2kr) = 1

r2(3kr2) = 3k. (18)

b) Para r < R, el campo electrico para una esfera con densidad de carga constante esta dado por

~E =130

r r, (19)

con lo cual, en este caso tenemos que

~E = k0~r. (20)

Para r > R, es como si toda la carga estuviese en el centro de la esfera. Sin embargo,

Qtot = (kR)(4R2) + (3k)(43R3) = 0, (21)

con lo cual el campo electrico es ~E = ~0 dentro de la esfera.

5. Problema: (20pts) Un cilindro pequeno de radio a y longitud L posee una polariza-cion uniforme ~P , paralela a su eje de simetra. Caclula las cargas inducidas y dibujaesquematicamente el campo electrico para i) L >> a, ii) L

6. Problema TORITO: (30pts) Calcula el potencial escalar de una esfera uniformemen-te polarizada directamente con la siguiente expresion:

(~r ) =1

40

V

(~r ~r ) ~P (~r )|~r ~r |3

d3r .

Solucion al problema 6

Dado que ~P es constante

=1

40

~r ~P~r 2

dv = ~P [

140

~r

~r 2dv], (23)

donde ~r = ~r ~r . El termino dentro de los parentesis es el campo electrico de una esferauniformemente cargada dividido por (su densidad de carga volumetrica) y su valor es

140

~r

~r 2dv =

1

1

40

43R3

r2r (r > R)

140

43R3

R3~r (r < R)

, (24)por lo tanto

(r, ) =1

R3

30r2P r = R

3Pcos()30r2

(r > R)

130

P ~r = Prcos()30 (r < R)

. (25)

5