tarea de calculo diferencial
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Contenido
INTRODUCCIÓN.........................................................................................2Antecedentes de las derivadas...................................................................3Recta tangente y recta normal a una curva en un punto...............................7Curvas ortogonales......................................................................................9Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio................................................12Teorema 1 (Teorema de Rolle)....................................................................13TEOREMA 2 Teorema del Valor Medio. (T.V.M.)............................................13TEOREMA 3 (Criterio para crecimiento y decrecimiento).................................18TEOREMA 4 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS, (Máximos y Mínimos).............................................................20Extremos relativos......................................................................................24Concavidades y puntos de Inflexión..............................................................27Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos.................................31Criterio de la Segunda Derivada...................................................................32Análisis de la Variación de Funciones...........................................................35Teorema de Weierstrass.............................................................................35Cálculo de aproximaciones usando la diferencial............................................37La diferencial como aproximación del incremento...........................................40Problemas de Optimización y Tasas.............................................................41Tasas de Variación Relacionadas (o Ritmos o velocidades relacionadas)..........44Bibliografía................................................................................................47
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
INTRODUCCIÓN
Una de las mayores dificultades que se tiene al comenzar a estudiar la derivada
de una función es la comprensión de sus aplicaciones (principalmente su
significado geométrico). Mientras que el cálculo de derivadas suele resultar
sencillo e incluso atractivo (dada la mecánica del proceso), las aplicaciones de la
derivada se convierten en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que
en muchos casos no se ha conseguido asimilar y adquirir el concepto con claridad.
Este documento tiene como objeto el familiarizar al lector con el concepto de
derivada de una función así como mostrar algunas de sus aplicaciones (cálculo de
la recta tangente y normal de una función en un punto, construcción de gráficas,
optimización de funciones, aplicaciones en una situación física particular...) que
tanto interés tienen hoy en día sobre un amplio abanico de campos (económico,
social, físico, etc.).
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Antecedentes de las derivadas
Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a
plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron
métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por
obra de Newton y Leibnitz).
En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el
problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el
concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y
mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce
como Cálculo Diferencial.
El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por
Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, hace el estudio de los diámetros
conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un punto
cualquiera de una hipérbola de centro C, entonces, Apolonio demuestra que la
tangente en P corta las asíntotas en los puntos L y L’ (fig. 1. (a)) que equidistan de
P.
fig. 1.
En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (fig.1. (b)), Apolonio traza la
perpendicular desde el punto Q al eje AA’, y halla el conjugado armónico T de N
con respecto a A y A’, es decir, el punto T de la recta AA’ es tal que, o
equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA’ en la
misma razón en que N divide internamente a AA’. Entonces, la recta que pasa por
T y Q será tangente a la elipse.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASIgualmente, en el libro CÓNICAS V.8., Apolonio demuestra un teorema relativo a
la normal a una parábola, que podría formar parte actualmente de un curso
completo de Cálculo Diferencial.
En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de
Fermat (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos
que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el mas
importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman
("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy
ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y
= f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un
cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos
valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una
curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos
que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f
(x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanta
más pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, más cerca está la igualdad
de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le
permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica.
Aquí se puede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación,
ya que el método de Fermat es equivalente a calcular:
f 'c e igualar este límite a cero.
Esta fue la razón que asistió a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero
descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y
numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a
Newton (sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe (Inglaterra)) y a
Leibnitz (Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig (Alemania))
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASa quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de
las integrales.
Newton, tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era
más sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) ó y, él lo llamaba "cantidades
fluentes", y la derivada, D f (x) era llamaba "fluxión". Además, se le escribía AB
en lugar de D f (x). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: "Los
momentos - las actuales diferenciales - dejan de ser momentos cuando
alcanzan un valor finito, y deben por lo tanto considerarse como magnitudes
finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton debía entenderlas muy bien,
pero, para otro que no fuera su inventor del método, suenan bastante
incomprensibles.
En el año de 1669, Isaac Barrow (1630 – 1677), recibió de su alumno Isaac
Newton, un folleto titulado De Analysi per Aequationes Numero Terminorum
Infinitas. Contenía, nada menos, que el esbozo casi completo del Cálculo
Diferencial e Integral. Aquel mismo año, Barrow decidió que su alumno sabía
mucho más que él, y que tenía por lo tanto mucho mas derecho a la cátedra de
matemáticas con mas merecimientos que el propio Barrow; su titular. Con una
generosidad y un desinterés difíciles de igualar, Barrow cedió su cátedra a
Newton.
A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió los
Principia Mathematica, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás
publicado. En el aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo,
incluyendo los movimientos de la tierra, la luna y los planetas alrededor del sol. Se
dice que un estudiante observó: "ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni
los demás comprenden".
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLeibnitz, comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue
el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años
antes. La historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las
principales ideas (1665 – 1666), pero que Leibnitz las descubrió
independientemente durante los años de 1673 – 1676.
Leibnitz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los
nombres del Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como los símbolos dydx
y ʃ
para la derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término "función" y el
uso del símbolo " = " para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad del
simbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continente
europeo que en Inglaterra de donde era oriundo Newton.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASRecta tangente y recta normal a una curva en un punto.
Si una función y = f(x) posee una derivada en el punto x1, la curva tiene una
tangente en el punto P(x1,y1) cuya pendiente está dada por m=dydx
∨¿ x=x1=f ' (x1 ) .
Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una
pendiente m dada es: y - y1 = m(x – x1) Por lo tanto, si se sustituye la pendiente
por la derivada, la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva es:
y− y1=dydx
∨x=x1 (x−x1 ) .
Recordando que si m=0 la recta tangente es horizontal. Si m = ∞ la recta
tangente es vertical. Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la
recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él.
La condición de perpendicularidad entre dos rectas cuyas pendientes son
m1 y m2 es: m1m2 = -1, esto es: m2=−1m1
.
Si m1 es la pendiente de una recta tangente y m2 es la pendiente de la recta
normal, ellas tienen que cumplir la condición de perpendicularidad, es decir:
m2=−1m1
. Usando la derivada nos queda: m2=
−1m1
= 1dydx
∨¿x=x 1
¿.
Ejercicio:
Encuentre la ecuación de la recta tangente y la normal a la parábola y = x2 -1 en el
punto (2, 3) y dibuje un segmento de estas rectas.
Solución:
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLa pendiente de la función en el punto (2, 3) se halla encontrando la derivada y
evaluando para x = 2:
y’ (x = 2) = 2x |x=2 = 2(2) = 4
Por lo tanto la pendiente de la recta tangente el punto (2, 3) es m = 4.
Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:
y – y1 = m (x – x1)
y – 3 = 4 (x – 2)
Así:
y = 4x – 5
Cuya gráfica correspondiente es:
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASPara encontrar la recta normal a la curva primero hallamos su pendiente:
m2=−1m1
=−14 .
Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:
y – y1 = m(x - x1)
y - 3 = -1/4(x - 2)
y=−14
x+ 72
La gráfica correspondiente a la curva
normal es mostrada en la figura de la
derecha.
Curvas ortogonales
Se dice que las curvas de las funciones f(x) y g(x) que se interceptan en el punto P
son ortogonales si el ángulo entre ellas es de 90°, es decir, cuando las rectas
tangentes de ambas funciones son en dicho punto son perpendiculares entre sí.
Por lo tanto en el punto de intersección de las curvas ambas pendientes, o lo que
es lo mismo las derivadas, en ese punto satisfacen:
m1m2=dfdx|p dgdx|p=−1
Ejemplo:
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASSean dos funciones f(x) y g(x) tales que se interceptan en (2, 2) como se ilustra en
la figura. Determinar si las funciones cumplen la condición de ortogonalidad y
escribir las expresiones de las rectas tangentes para ambas funciones en dicho
punto.
Las funciones son:
f ( x )=23e3 x−6+ 4
3
g ( x )=16e−3 x+6+11
6Cuyas derivadas son:
f ' ( x )=2e3x−6
g' (x )=−12
e−3x+6
Cuando x = 2, tenemos:f ' (2 )=2
g' (x )=−12
Verificando la condición de ortonormalidad:
m1m2=dfdx
∨❑pdgdx
∨❑p=2(−12 )−1Por lo que se puede afirmar que las rectas son ortogonales en el punto de intersección (2, 2).
Para las rectas solicitadas se hallan usando el punto de intersección (2, 2) y la pendiente de cada una de ellas. Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:
y – y1 = m(x - x1)Para la función f:
y – 2 = 2 (x – 2)
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASy = 2x – 2
Para la función g:
y−2=12(x−2)
y=−12
x+3
La gráfica de las funciones y sus rectas tangentes se muestran en la siguiente figura. El ángulo que forman estas rectas se puede ver que es de 90°.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
En la siguiente figura se puede apreciar la gráfica de una función que es continua
en el intervalo cerrado [a, b],f (a )=f (b )=0 y además f ' ( x ) existe (no tiene picos) en
todos los puntos del intervalo (a, b).
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASIntuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva, de
abscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela
el eje x).
Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle
que se enuncia sin demostración.
Teorema 1 (Teorema de Rolle)
Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:
i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).
iii. f (a )=f (b )=0.
Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b), tal que: f ' (x)=0.
El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una
generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del
valor medio para derivadas.
TEOREMA 2 Teorema del Valor Medio. (T.V.M.)
Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:
i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).
Entonces, existe por lo menos un punto c ∈ (a, b), tal que: f ' ( c )=f (b )−f (a)
b−a
Antes de ver la demostración del teorema, analice su significado geométrico.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASEn la siguiente figura se muestra la gráfica de una función que satisface las
hipótesis del T.V.M.
El término [ f (b )−f (a)] / (b−a) es la pendiente de la recta secante a la curva que
pasa por los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el
teorema así: Existe un punto P sobre la curva de abscisa c, c ∈ (a, b) tal que la
recta tangente a la curva en P cuya pendiente es f ' ( c ), es paralela a la recta
secante AB.
Demostración:
Usando la forma: dos – puntos de la ecuación de la recta, se deduce para la recta
secante, la ecuación:
y−f (a)=f (b )−f (a )b−a
(x−a)
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASDe donde, y=f (a )+ f (b )−f (a )
b−a(x−a)
Defínase ahora la función f (x) como la función distancia vertical entre cada punto
(x , f ( x )) sobre la curva y el correspondiente (x, y) sobre la secante AB.
Asi que: f ( x )=f ( x )− y
¿ f ( x )−[ f (a )+ f (b )−f (a )b−a
(x−a)]Esto es.
f ( x )=f ( x )−f (a )− f (b )−f (a )b−a
( x−a) (1)
La función F (x) así definida satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el
intervalo [a, b]. En efecto:
i. F (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b]. (por qué?)
ii. F (x) es derivable en el intervalo abierto (a, b). (por qué?)
Además, f ' ( x )=f ' ( x )−f (b )−f (a)
b−a (2)
iii. Finalmente, f (a )=f (a )−f (a )− [ f (b )−f (a ) ]b−a
(a−a )=0
f (b )=f (b )−f (a )− [ f (b )−f (a ) ]b−a
(b−a )=0
En consecuencia, de acuerdo con el teorema de Rolle, existe por lo menos un
punto c∈(a ,b) tal que F ' (c )=0.
Pero, de acuerdo con (2) F ' (c )=f ' ( c )−f (b )−f (a)
b−a
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLuego, f ' (c )−
f (b )−f (a)b−a
=0⇒ f ' ( c )=f (b )−f (a)
b−a que era lo que se quería demostrar.
Ejemplo 1
Analizar si f ( x )=x3−5x2−3 x satisface la hipótesis del T.V.M. para derivadas en el
intervalo [1,3 ] y en caso afirmativo, determine el valor (es) de C que satisface la
conclusión.
Solución:
i. f ( x )=x3−5x2−3 x es continua en [1,3] ¿por qué?
ii . f ' ( x )=3 x2−10x−3x⇒ f es derivable en (1,3) ¿por qué?
Como f cumple la hipótesis del T.V.M., entonces, existe por lo menos un C,
C∈(1,3) tal que:
f ' (C )=f (3 )−f (1)3−1
Pero f ' (C )=3C2−10C−3 ; f (3 )=33−5.32−3.3=27 ; f (1 )=1−5−3=−7
Así que: 3C2−10C−3=−27−(−7)3−1
=−10
Por lo tanto, 3C2−10C+7=0⇔ (3C−7 ) (C−1 )=0
De donde, C=7/3, C=1
De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1,3) es C=7/3, que es la
única solución.
Ejemplo 2.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASPara la función f ( x )=x2 /3, estudiar las condiciones del T.V.M. para derivadas en el
intervalo [-2,2].
Solución:
i. Claramente la función es continua en [-2,2]
ii. f ' ( x )=23x−1 /3= 2
3 x1/3. f ' no existe en el punto x=0
Luego, no se cumple la condición ii. Del teorema, y en consecuencia, no puede
garantizarse la existencia del punto C.
Ahora, f (b )−f (a)
b−a=4
1 /3−41/3
4=0y como f
' ( x )= 2
3 x1 /3 no se anula para ningún valor
real de X, entonces la igualdad: f ' (c )=f (b )−f (a)
b−a se cumplirá en ningún C en (-2,2).
Ejemplo 3.
a.- Demostrar que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces, la
función es constante en dicho intervalo.
b.- Use la Parte a. para demostrar que: f ( x )=sen2 x−tan2x es constante. Hállese el
valor de dicha constante.
Solución:
Note en primer lugar que f satisface las hipótesis de T.V.M. (por qué?).
Ahora, sean x1, x2 dos puntos cualesquiera del intervalo [a, b] y sea f la función.
Para probar la parte a. es suficiente probar que f (x1 )=f (x2), lo cual obliga a que la
función sea constante.
Según el T.V.M., existe un número c entre x1 y x2 tal que:
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
f ' (c )=f (x2 )−f (x1)
x2−x1 y como f ' (c )=0, se concluye entonces que f (x2 )=f (x1 ) .
b. f ' ( x )=2 secx ∙ (secx ∙ tanx )−2tanx ( sec2 x )
f ' ( x )=2 sec 2 x ∙ tanx−2 sec2 x ∙tanx=0
Como f ' ( x )=0, se sigue de la parte a. que f(x) es una función constante.
Para hallar el valor de la constante, basta evaluar la función en algún número
especifico, el cual se puede elegir arbitrariamente; por ejemplo x=π /3 .
Se tiene entonces, f ( π3 )=(sec π3
)2
−( tan π3)2
=22−(√3)2=1
Luego, sec2 x−tan2 x=1para todo x, (x en el dominio común de la secante y la
tangente).
Este resultado no debe sorprender puesto que 1 + tan2 x≡sec2x es una identidad
trigonométrica conocida.
Como ampliación inmediata del T.V.M., se prueba otro teorema que permite
determinar los intervalos donde crece y decrece una curva conociendo el signo de
su primera derivada.
TEOREMA 3 (Criterio para crecimiento y decrecimiento)
Sea f una función de variable real continua en [a,b] y derivable en (a,b).
i. Si f ' ( x )>0 para todo x=∈(a ,b) entonces f es creciente en [a, b]
ii. Si f ' ( x )<0 para todo x=∈(a ,b) entonces f es decreciente en [a, b]
Demostración:
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASi. Sean x1, x2 dos puntos de [a, b] tales que x1 < x2
Evidentemente, f es continua en [x1, x2], f es derivable en (x1, x2), luego por el
T.V.M., existe por lo menos un punto c∈(a ,b) tal que:
f ' (c )=f (x2 )−f (x1)
x2−x1 (1)
De x1 < x2, se deduce que x2 – x1 > 0 y como por hipótesis f’(c) > 0.
f (x2 )−f (x1 )=f ' ( c ) ∙ ( x2−x1 )>0
Luego, f (x2 )> f (x1) y f es creciente en [a ,b]
ii. se demuestra de manera similar.
Observación:
El crecimiento y el decrecimiento de una curva coinciden con el signo de la
primera derivada. Así:
Donde f’(x) > 0 (derivada positiva), f(x) es creciente.
F’(x) < 0 (derivada negativa), f(x) es decreciente
El siguiente teorema, permite clasificar los extremos (máximos y mínimos) de una
función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
TEOREMA 4 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS, (Máximos y Mínimos).
Considérese la función:
Las palabras máximo y mínimo, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos
generalmente cuando deseamos expresar, lo más grande o lo más pequeño de la
cantidad comparada. Este es el mismo significado que toma en el cálculo. “Para
cada función es posible establecer comparaciones entre las imágenes, en un
intervalo dado, y de acuerdo a la medida conocer la mayor imagen y desde luego,
al menor. Estos serán llamados extremos de la función, o de manera más
específica, máximo absoluto y mínimo absoluto respectivamente”.
Definiciones:
La función f tiene un máximo en x=c si existe un intervalo abierto (a ,b) sobre
el cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c) f(x) para toda x
perteneciente a (a, b).
La función f tiene un mínimo en x=c si existe un intervalo abierto (a, b) sobre
el cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c) f(x) para toda x
perteneciente a (a, b).
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Sea f una función diferenciable en cada punto de (a, b) y sea c un punto del
intervalo (a, b). Si f tiene en c un máximo o un mínimo f ’ (c) = 0.
Si f tiene en c un máximo o un mínimo y f es diferenciable en c entonces la
recta tangente en el punto (c, f(c)) es horizontal.
Una función puede tener valores extremos (máximos y mínimos) relativos
únicamente en los puntos donde la derivada es igual a cero o en algunos
puntos donde la derivada no existe.
Se les llama números, puntos o raíces críticas a los números del dominio de
una función en los que la derivada es igual a cero o donde esta no existe.
El valor mayor de una determinada función en un intervalo recibe el nombre de
valor máximo absoluto y el valor menor de la función en el intervalo se llama
valor mínimo absoluto.
Ejemplo:
Determine los puntos donde existe algún valor máximo o mínimo en la
siguiente función:
f (x) = x3 – 9x2 + 15x + 3 a) se obtiene primera derivada de la funciónf ’ (x)= 3x2 – 18x + 15 b) se iguala a cero y se factoriza para sacar f ’ (x) = 3x2 - 18x + 15 = 0 raíces críticasf ’ (x) = 3( x2 -6x +5) = 0f ’ (x) = 3 ( x – 1) (x – 5) = 0
x1 =1 y x2 = 5 estas son las raíces criticas
x1 = c =1, x2 = c = 5
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLos valores de las raíces críticas se sustituyen en la función para sacar los
máximos y mínimos.
f (x1) = f(1) = (1)2-9(1)2+15(1)+3= 10 como f (1) > f (5) es un máximo
f (x2) = f(5) = (5)2 –9(5)2 +15(5)+3= -22 como f (5) < f (1) es un mínimo
Gráfica de la función f (x) =
Con esto deseamos enfatizar lo siguiente: el máximo o el mínimo son números
que resultan de la comparación de los valores que toma la función en su dominio.
No representa la imagen de algún argumento en particular, independientemente
de que ésta los tome. Así, este número llamado máximo (o mínimo) absoluto,
puede corresponder al valor de la función para uno o más argumentos del
dominio.
Otro aspecto importante es el hecho de que los extremos absolutos pueden o no
coincidir con los límites del intervalo que da el dominio. Como se verá en el
siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Dada f (x) = x2 –2x, calcular los extremos absolutos en el intervalo [0, 3].
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
SOLUCIÓN:
Como se observa, su vértice se encuentra en x = 1, y en él se encuentra el mínimo absoluto.
Resulta también evidente que el máximo absoluto corresponde a la imagen en x = 3.
Si x = 0 Si x = 2f (x) = (0)2 –2 (0) = 0 f (x) = (2)2 –2 (2) = 4 – 4 = 0Si x = 1 Si x = 3F (x) = (1)2 –2 (1) = 1 – 2 = -1 f (x) = (3)2 –2 (3) = 9 – 6 = 3
Máximo absoluto = 3 para x = 3 Mínimo absoluto = -1 para x = 1
Observación:
Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una
función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS1.- se determinan los puntos críticos c1, c2, c3,…, cn (resolviendo f ' ( x )=0 , o
donde f ' ( x ) no existe).
2.- se calcula f (a ) y f (b).
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS3.- Máximo absoluto de f= máx. f (a ) , f (b ) , f (c2 ) ,…f (cn)
Mínimo absoluto de f= min f (a ) , f (b ) , f (c2 ) ,…f (cn)
Extremos relativos
Definición:
Máximos y mínimos relativos: Sea f una función derivable en [a, b]. Sea c (a,
b), tal que f'(c) = 0. Decimos que f(c) es un extremo relativo (o extremo local), si
es posible encontrar un sub intervalo de [a, b] que contenga a c en donde f (c) sea
un extremo absoluto.
Por ejemplo, en la siguiente Figura, los extremos absolutos son:
Máximo absoluto = f (b)
Mínimo absoluto = f (a)
Sin embargo existen otros casos en donde si se restringe el dominio, los números
anteriores se comportan como extremos. Por ejemplo, la función de la Figura
anterior tiene un máximo en x = c, dentro del intervalo [a, d], y un mínimo en x = d,
dentro del intervalo [c, d]. Así, de acuerdo a la definición:
Máximo relativo = f (c)
Mínimo relativo = f (d)
Los extremos relativos podrán localizarse al resolver la ecuación f '(x) = 0, ya que
entre sus raíces se encuentran las abscisas de estas; sin embargo, no todas las
pág. 25
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASraíces corresponderán necesariamente a un extremo. Podría tratarse también de
un punto como el que se ilustra en la siguiente Figura:
En donde, a pesar de que la derivada se anula
en x = c, no se puede hallar en [a, b] ningún sub
intervalo en donde f(c) sea, ya un máximo o un
mínimo.
Llamaremos número crítico a cualquier argumento c del dominio de la función f, tal
que f '(c) = 0. Así, los máximos y mínimos locales tendrán siempre como abscisa
un número crítico. Por otra parte, si c es un número crítico para f, entonces el
punto (c, f(c)) será llamado punto crítico de f.
Ejemplo:
Cuáles son los números críticos de la función f (x) = x3 + 3x2 –9x + 3 y cuáles son sus puntos críticos.
Números Críticos f(x) = x3 + 3x2 –9x + 3
f'(x) = 3x2 + 6x –9
f'(x) = 0
3x2 + 6x –9 = 0
x2 + 2x – 3 = 0 (x + 3) (x –1) = 0
Puntos críticos
Si x = -3f(-3) = (-3)3+3(-3)2–9(-3)+3
=-27+27+27+3=30
(-3, 30)
Si x = 1
f(1) = (1) + 3(1) –9(1) + 3 = 1 + 3
–9 +3 =-2
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS (1, -2)
pág. 27
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Concavidades y puntos de Inflexión.
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser
puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los
llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por
determinar un cambio en la concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas
observaciones de tipo intuitivo.
Considere la función f de la grafica siguiente, note en primer lugar que la curva
que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.
Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se
encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es
cóncava hacia abajo en el punto x1.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASIgualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la
curva se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que
la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2.
El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el
nombre de punto de inflexión de la curva.
Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:
Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.
i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a,b), ×≠C
se cumple que:Z( x )=f ( x )⏟−f ' (c ) ( x−c )−f (c )⏟>0
yc : y de la curva ; yt: y de la tangente
ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b),x≠c
se cumple que: Z ( x )=f ( x )−f ' (c ) ( x−c )−f (c )<0
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yc yt
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASiii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto
de I.
iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un
intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente
concavidad en los sub intervalos: (a, c) y (c, b).
Se usará el símbolo:∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o
cóncava positiva.
Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva es cóncava hacia
abajo o cóncava negativa.
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición
suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.
En todos los puntos en donde la recta tangente aparece por debajo de la curva, la
función g(x) = f’(x) es creciente, ya que las pendientes en estos, son en principio,
valores negativos, ya que se trabaja con ángulos entre 0 y –90°. Posteriormente,
al ocurrir el mínimo, la primera derivada toma el valor cero, para continuar
aumentando al tomar ángulos de inclinación de la tangente entre 0 y 90°. De esta
manera, la curva de f presenta una concavidad en todo punto del intervalo en
donde se verifique:
g' (x) = f '' (x) > 0
En todos los puntos en donde la recta tangente a la curva, aparezca por encima
de esta, la función g(x) = f '(x) es decreciente. Siguiendo un razonamiento
semejante al apartado (a), concluimos que la curva presenta una convexidad en
todo punto en donde se verifique:
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASg' (x) = f '' (x) < 0
Finalmente, si f '' (c) = 0, entonces habrá un punto de inflexión en (c, f(c)). De hecho
estos se obtendrán al resolver la ecuación:
f '' (x) = 0
Ejemplo
Calcule el punto de inflexión de la siguiente función.
Solución:
f(x) = x3 –x2 –6x
f '(x) = 3x2 – 2x – 6
f ''(x) = 0
f ''(x) = 6x –2
6x – 2 = 0
6x = 2
x = 26
x = 1/3
y = f(x)
f(1/3)=( 13 )
3
−(13 )2
−6( 13 )= 127
−19−63=1−3−5727 = -56/27
Punto de inflexión = (1/3, -56/27)
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos
Sea f una función continua en un intervalo I; sean a, b, c puntos de I, tales que a <
c < b y c un punto crítico de f (f ’(c) = 0 o f ‘ ( c) no existe).
Entonces:
Sif '( x)>0 para todo x en (a, c) y f ' ( x )<0 para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un
máximo relativo.
i. Si f ' ( x )<0 para todo x en (a, c) y f '( x)>0 para todo x en (c, b), entonces, f(c)
es un mínimo relativo. (fig. 9.13. (d), fig. 9.13. (e)).
ii. Si f '( x)>0 para todo x en (a, c) y f '( x)>0 para todo x en (c, b), entonces, f(c)
no es un extremo relativo.
iii. Si f ' ( x )<0 para todo x en (a, c) y f ' ( x )<0
para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo.
Imagen de referencia:
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
d c
e f
Observación:
En el lenguaje corriente, las partes i. y ii. del teorema , se expresan
respectivamente, en la siguiente forma:
Si la derivada pasa de positiva a negativa, entonces, el punto crítico corresponde a
un máximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el punto crítico
corresponde a un mínimo relativo.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASCriterio de la Segunda Derivada
A partir de las propiedades de los extremos locales estamos en condiciones de
establecer para diversos tipos de funciones, cuando un extremo relativo
corresponda a un máximo y cuando a un mínimo. De hecho, a partir de la
resolución de la ecuación f '(x) = 0, es posible determinar su ubicación.
Además, como se observa en la siguiente figura, el máximo relativo, se encuentra
en algún punto de la curva en donde ésta es convexa. Por el contrario, para el
punto en donde se localiza el mínimo relativo, la curva es cóncava. De acuerdo a
los criterios y propiedades de concavidad y puntos de inflexión, se establece la
siguiente propiedad.
Definición:
Criterio de la Segunda Derivada: Sea f una función tal que su primera y segunda
derivada existan en x = c. Para la curva de f:
Existe un máximo relativo en x = c si:
f '(c) = 0 y f ''(c) < 0
Existe un mínimo relativo en x = c si:
f '(c) = 0 y f ''(c) > 0
f ''(c) < 0 y f '(c) = 0
pág. 34
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
f ''(d) > 0
f '(d) = 0
Cuando la función permite un cálculo rápido de sus derivadas sucesivas, el
teorema resulta ser el mejor camino para la determinación de los extremos
relativos.
Ejemplo
Calcular los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada de la
función
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 5.
a) Calcular los números críticos.
f '(x) = 0
f '(x) = 3x2 – 12 x + 9
3x2 – 12x + 9 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 x – 1 = 0
x = 3 x = 1
pág. 35
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASb) Calculo de la segunda derivada.
f '' (x) = 6x – 12 c) Sustitución de los números críticos.
Si x = 1f ''(x) = 6 (1) – 12 = 6 – 12 = - 6 < 0 (máximo).Si x = 3
f ''(x) = 6 (3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0 (mínimo).d) Calculo de los valores relativos.
Si x = 1f(x) = (1)3 – 6 (1)2 + 9 (1) + 5 = 1 – 6 + 9 + 5 = 9Máximo = 9 para x = 1
Si x = 3
f(x) = (3)3 – 6 (3)2 + 9 (3) + 5
= 27 – 54 + 27 + 5 = 5
Mínimo = 5 para x = 3
En forma de cordenada:(1, 9) máximoEn forma de coordenada:(3, 5) mínimo
Análisis de la Variación de Funciones
Se llama variación de una función a lo que varía la variable dependiente al variar
la variable independiente.
Si observamos una gráfica vemos que en unos puntos la gráfica sube
(Crecimiento), otros en los que baja (Decrecimiento) y otros en los que ni sube
ni baja, es decir, permanece constante. Estos aumentos o disminuciones de la
variable dependiente es lo que denominamos variación de la función.
Aquí podemos incluir los siguientes teoremas de análisis de la variación de
funciones.
Teorema de Weierstrass
Establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] alcanza sus valores máximos y mínimos en dicho intervalo.
Dicho teorema no nos indica cómo encontrar los valores máximos y mínimos, solo nos indica que existen.
pág. 36
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASDemostración:
Por hipótesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f está acotada
en [a,b], es decir, existen m y n tales que m <= f(x) <= n para todo x perteneciente
a [a,b].
La demostración se realiza por reducción al absurdo.
Primero demostraremos que f tiene máximo absoluto en [a,b].
Queremos probar que existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1) = n.
Supongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, o sea que para todo x
perteneciente a [a,b] f(x) ≠ n, f(x) < n.
Sea g una función auxiliar: g(x)=1/(n - f(x)).
g es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n - f(x)
≠ 0. Por el lema de Weierstrass, g está acotada, es decir, para todo x
perteneciente a [a,b]
s <= g(x) <= t
1/(n - f(x)) <= t
1/t <= n - f(x)
f(x) <= n - 1/t
=> n - 1/t es una cota superior de f en [a,b] (1)
Por otro lado g(x) > 0 => t > 0 => 1/t > 0 => n - 1/t < n (2)
De (1) y (2) se deduce que existe una cota superior de f menor que n, el extremo
superior, lo cual es absurdo, pues el extremo superior es la menor de las cotas
superiores.
pág. 37
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASEl absurdo surge de suponer que no existe x tal que f(x)=n, por lo tanto existe x1
perteneciente a [a,b] / f(x1)=n.
Demostraremos ahora que f tiene mínimo absoluto.
Procederemos como en el caso anterior, por el absurdo.
Supondremos que para todo x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ m, f(x) > m.
Sea h una función auxiliar: h(x) = 1/(f(x)-m)
h es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y
f(x)≠m.
Por el lema de Weierstrass, h está acotada, es decir, para todo x perteneciente a
[a,b]
h <= h(x) <= k
1/(f(x)-m) <= k
1/k <= f(x) - m
f(x) >= 1/k + m
=> 1/k + m es una cota inferior de f (1)
Por otro lado h(x)>0 => k>0 => 1/k>0 => 1/k + m > m (2)
De (1) y (2) se deduce que existe una cota inferior de f mayor que el extremo
inferior, lo cual es absurdo.
Este absurdo proviene de suponer que no existe x tal que f(x)=m.
Por lo tanto, sí existe algún x tal que f(x)=m.
Es de señalar que incluye el teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio, incluidos en hojas anteriores como temas específicos del análisis de la variación de funciones.
pág. 38
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASCálculo de aproximaciones usando la diferencial
La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el
incremento de la variable independiente.
Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la
función.
Ejemplos:
1. Sea la función y = x4
Su primera derivada es y′ = 4x3
Su diferencial se expresa dy = 4x3 Δx
2. Calcular la diferencial de la función y = 3x2 para x = 4 y el Δx = 0.2
y′ = 6x
Sustituyendo d(3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8
Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las
formas siguientes:
Df(x) Cauchy
f′(x) Lagrange
y′ Lagrange
dydx
Leibniz
Por lo tanto:
Derivada:
dydx
= límΔx→0
ΔyΔx
=Df ( x )=f ' ( x )= y '
pág. 39
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Sea la función y = f(x), la primera derivada se expresa
dydx
=f ' ( x ). Si multiplicamos
ambos miembros por dx, tenemos:
dy=f ' ( x )dx
Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se lee:
la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial
de la variable independiente.
Definición:
Sea y=f ( x )una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada dx) es cualquier número real no nulo. La diferencial de y (denotada dy) es.
dy=f '( x )dx
En muchas aplicaciones, la diferencial de y se puede utilizar como
aproximación del cambio en y. Es decir.
Δy≈dy o Δy≈f ' ( x )dx
Interpretación Geométrica.
pág. 40
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Cuando x es pequeño, y = f(c+x) –f(c), viene dado aproximadamente por f’(c) x.
Cuando se usa la recta tangente a f en el punto (c, f (c)) y=f (c )+ f '(c )(x−c )
Recta tangente (c , f (c )) como aproximación de la gráfica de f, la cantidad x – c se llama el cambio en x, y se denota por x (Figura anterior). Cuando x es pequeño, el cambio en y (denotado y) se puede aproximar como sigue.
Δy=f (c+Δx )−f (c )Δy≈f '(c )Δx Cambio aproximado de y
En tales aproximaciones, la cantidad Δx se suele denotar por dx y se llama
diferencial de x. La expresión f ' ( x )dx se denota por dy y se llama diferencial de
y.
La diferencial como aproximación del incremento
Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de y de un
modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a partir
de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el valor
medido de una variable y x + x representa el valor exacto, entonces x es el error
de medida. Finalmente, si el valor medido de x es utilizado en el cálculo de algún
otro valor f(x), la diferencia entre f ( x+Δx)y f ( x ) es el error propagado.
Error de error
f ¿
Ejemplo
Estimación del error
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASLa medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0,7 pulgadas. Si ese
aparato de medida comete un error no superior a 0,01 pulgadas, estimar el error
propagado en el volumen de la bola.
Solución
La fórmula para el volumen de una bola es V= 4
3πr3
, donde r es el radio. Así
pues, podemos escribir
r = 0,7 Radio medido
y
-0,01 r 0,01 Posible error
Para aproximar el error propagado en el volumen, derivamos V, con lo que se
obtiene dV/dr = 4 πr2 y escribimos
ΔV≈dV Aproximar ΔV por dV
=4 πr2dr¿4 π (0,7)2 (±0 ,01)¿±0 ,06158 Sustituir r y dr
Por lo tanto, el volumen tiene un error propagado de unas 0,06 pulgadas cúbicas.
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CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASProblemas de Optimización y Tasas
Una de las aplicaciones más comunes del cálculo implica la determinación de los
valores mínimo y máximo. Por ejemplo: utilidad (beneficio) máximo, mínimo costo,
tiempo mínimo, voltaje máximo, forma óptima, tamaño mínimo, máxima resistencia
y máxima distancia.
Los problemas de optimización de funciones se estudian como una aplicación del
cálculo diferencial. Generalmente este tipo de problemas suelen estar
contextualizados, por lo que nos sirven de ejemplo para mostrar, una vez más, la
utilidad que tienen las matemáticas.
En general, las dificultades que surgen en este tipo de problemas son por un lado
la comprensión del enunciado y su planteamiento matemático y por otro la
interpretación de los resultados en el contexto del problema.
La resolución de los problemas de optimización de funciones con Derive ayuda a
mejorar las dificultadas antes mencionadas. Así, la utilización de varios métodos
(algebraico y gráfico) para la resolución de un problema ayuda a su comprensión.
Además resolver gráficamente estos problemas permite observar de forma
conjunta el comportamiento de la función así como el de su función derivada para
diferentes valores de la variable independiente y distinguir entre el valor de la
variable que optimiza la función y el valor óptimo de la función.
Asimismo, el modo gráfico favorece la comprensión de los conceptos
extremo relativo y extremo absoluto de una función.
Estrategia para resolver problemas aplicados de mínimos y máximos.
1. Identificar todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Si es
posible, elaborar un dibujo.
pág. 43
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS2. Escribir una ecuación primaria para la cantidad que se va a maximizar o
minimizar.
3. Reducir la ecuación primaria a una que tenga una sola variable independiente.
Esto quizá implique el uso de ecuaciones secundarias que relacionan las
variables independientes de la ecuación primaria.
4. Determinar el dominio admisible de la ecuación primaria. Esto es, determinar los
valores para los cuales el problema planteado tiene sentido.
5. Determinar el valor máximo o mínimo deseado mediante las técnicas de cálculo.
Un ejemplo de optimización es el que a continuación se presenta:
LA CAJA
Tenemos dos piezas cuadradas de 36 cm de lado. Les cortamos a cada una, una esquina cuadrada de lado x, doblamos los bordes, para unir las dos piezas y formar una caja.
¿Cuánto debe valer x, el lado del cuadradito que recortamos, para que el volumen de la caja sea máximo?
La función que nos da el volumen de la caja será: V=x(36-x)2
Donde el dominio de la función será 0<x<36 ya que el cuadradito que recortamos no puede ser mayor que la pieza completa.
pág. 44
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
La forma de resolver este problema cambia por completo si lo hacemos calculando, o si lo hacemos con Descartes.
Hay que averiguar el máximo absoluto de la función V=x(3.6-x)2 en el intervalo (0,3.6).
El máximo absoluto de una función continua, está en el máximo relativo (f '(a)=0) o en los extremos del intervalo.
Hallamos la función derivada, averiguamos los valores de x que la hacen cero, que son x=1.2, y x=3.6 (éste no nos vale puesto que 0<x<3.6).
Ahora calculamos el valor de la función en x=1.2 y en los extremos del intervalo:
f(0)=0, f(1.2)=6.91, f(3.6)=0
Por tanto el máximo de la función se obtiene para x=1.2, f(1.2)=1.2*2.42=6.91
Tasas de Variación Relacionadas (o Ritmos o velocidades
relacionadas)
Un problema de Tasas de Variación Relacionadas es aquel que involucra tasas de variación de variables relacionadas. En aplicaciones del mundo real que implican tasas de variación relacionadas, las variables tienen una relación específica para valores de t, donde t, es una medida de tiempo. En general, esta relación se expresa mediante una ecuación, la cual representa un modelo matemático.
Estrategias para la resolución de problemas de ritmos o velocidades relacionados:
1. Identificar todas las cantidades dadas y por determinar. Hacer un esbozo y clasificarlas.
2. Escribir una ecuación que incluya las variables cuyos ritmos de cambio se encuentran en la información dada o deben calcularse.
pág. 45
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS3. Utilizando la regla de la cadena, derivar de manera implícita ambos lados de la
ecuación con respecto al tiempo t.
4. Después de terminar el paso 3, sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y sus ritmos de cambio. Luego se despeja el ritmo de cambio requerido.
Si una cantidad y es una función del tiempo t, la razón de cambio de y con
respecto al tiempo está dada por dy/dt. Cuando dos o más cantidades, todas
funciones del tiempo t, están relacionadas por una ecuación, la relación de sus
razones de cambio puede hallarse derivando ambos lados de la ecuación.
Ejemplo
Una escalera de 25 pies reposa sobre una pared vertical. Si la base de la escalera
resbala y se aleja de la base de la pared a 3 pies/s, ¿qué tan rápido baja la parte
superior de la escalera cuando la base de la misma está a 7 pies de la pared?
Solución:
Sea x la distancia de la base de la escalera a la base de la pared, y sea y la
distancia de la parte superior de la escalera a la base de la pared. Como la base
de la escalera se aleja de la base de la pared a una razón de 3 pies/s, dx/dt = 3.
Se tiene así que hallar dy/dt cuando x=7. Por el teorema de Pitágoras,
x 2+ y 2 = (25) 2 = 625
pág. 46
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADASEsta es la relación entre x y y. Derivando ambos lados respecto a t, se obtiene:
2x dx/dt + 2y dy/dt = 0
Como dx/dt = 3, 6x + 2y dy/dt = 0, donde
3x + y dy/dt = 0
Esta es la ecuación deseada para dy/dt. Ahora, para este problema en particular, x=7. Al sustituir x por 7 en la ecuación 1 se tiene:
49 + y 2 = 625, y 2=576,
En la ecuación 2, al remplazar x y y por 7 y 24, se obtiene:
21 + 24 dy/dt = 0
Por tanto, dy/dt = - 7/8 pies/s. Como dy/dt < 0, se concluye que la parte
superior de la escalera resbala por la pared a una razón de 7/8 pies/s, cuando la
base de la escalera está a 7 pies de la pared.
pág. 47
CALCULO DIFERENCIAL APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
Bibliografía
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%2Fpdf
%2F4_6_1.pdf&ei=xCZ4UuaRDsjo2QXl2oDwCQ&usg=AFQjCNEHxQqbBPf
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pág. 48