tar3 laura elena puentes prado

LAURA ELENA PUENTES PRADO

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATODIVISIÓN DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

MAT-2051 1 (DISEÑO DE EXPERIMENTOS)TAREA #3. DISEÑOS EN BLOQUES

I. Problemas del libro. Capítulo 4

1. ¿En qué situación se aplica un diseño de bloques completos al azar? ¿En qué difieren los factores de tratamiento y de bloques?

Cuando se quieren comparar ciertos tratamientos o estudiar el efecto de un factor, es deseable que las posibles diferencias se deban principalmente al factor de interés y no a otros factores que no se consideran en el estudio. Cuando se quiere nulificar el efecto de estos otros factores se realiza un bloqueo. Por ejemplo, supongamos que se quieren compara varias máquinas, si cada máquina es manejada por un operador diferente y se sabe que éste tiene influencia en el resultado, entonces la forma de anular el efecto operador en la comparación (bloquear) consiste en que cada operador trabaje durante el experimento con cada una de las máquinas.

Los factores de bloque son aquellos factores adicionales al factor de interés que se incorporan de manera explícita en un experimento comparativo. No se quiere analizar su efecto si no es un medio para estudiar de manera adecuada y eficaz al factor interés (tratamiento).

2. ¿Qué diferencia hay entre un DBCA y los diseños en cuadro latino?

En un diseño de bloques completos al azar (DBCA) se consideran tres fuentes de variabilidad: el factor de tratamientos, el factor de bloque y el error aleatorio.

En el diseño en cuadro latino (DCL) se controlan: dos factores de bloque y se estudia un factor de tratamientos, así que se tienen cuatro fuentes de variabilidad que pueden afectar sobre la respuesta observada.

3. De acuerdo con el modelo estadístico para un diseño en bloques, ¿por qué a través de este diseño se reduce el error aleatorio?

Porque en el diseño de bloques se analizan posibles factores (bloques) que pueden influir de manera significativa en nuestro experimento entonces en base a ellos decidir si nuestros resultados son válidos o no.

4. A continuación se muestra parte del ANOVA para un diseño de bloques, que tiene tres tratamientos y cinco bloques con una sola repetición por tratamiento-bloque.

Fuente de variación

S. de cuadrado

s

G. de libertad

C. medioRazón

F0Valor-p F critica

Tratamiento

600 k−1=¿ 2 600/2= 300 4.8 ¿? F2,8=4.46

Bloque 850 b−1=¿ 4 850/4= 212.5 3.4 ¿? F4,8=3.84Error 500 (k−1 ) (b−1 )=¿

8500/8=62.5

Total 1950 14

a) Agregar en esta tabla los grados de libertad, el cuadrado medio y la razón F para cada una de las fuentes de variación.

b) Interprete en forma práctica para cada caso, lo que está estimando el cuadrado medio.

Si la hipótesis nula es verdadera el cuadrado medio puede estimar la varianza (σ2).

c) Escriba el modelo estadístico y las hipótesis pertinentes.

Modelo:

Y ij=μ+τ i+γ j+εij {i=1,2 ,…,kj=1,2 , …,b}

Hipótesis:

Tratamiento

H 0 : μ1=μ2=μ3=μ

H A : μi ≠ μ j para algún i≠ j

d) Apóyese en las tablas de distribución F para aceptar o rechazar la hipótesis.

Como Fcritica < F0 entonces H0 se rechaza.

Es decir que SI existe diferencia significativa entre los tratamientos.

e) Con apoyo de un software obtenga el valor-p para cada caso. Interprete los resultados.

5. (6) Aunque en el análisis de varianza para un diseño en bloques completos al azar también se puede probar la hipótesis sobre si hay diferencia entre los bloques, se dice que esta hipótesis se debe ver con ciertas reservas. Explique por qué.

Porque ésta no es una prueba F exacta, sino aproximada, debido a la restricción de aleatorización (sólo se aleatoriza dentro del bloque no de manera completa a causa de que no es práctico e incluso imposible aleatorizar totalmente dada la existencias de los bloques). Sin embargo, en la práctica se recomienda su interpretación porque es evidencia en favor o en contra de que valió la pena el esfuerzo de controlar el factor de bloque. Si resulta significativa significa que el factor de bloque si tiene influencia sobre la variable respuesta, y debe ser tomado en cuenta para mejorar la calidad de ésta.

6. (7) Explique por qué se utiliza el adjetivo azar en el nombre del diseño en bloques completos al azar.

Porque aunque es imposible aleatorizar de bloque a bloque, si se aleatoriza dentro del mismo bloque, y también se aleatorizan los tratamientos. La imposibilidad de aleatorizar de bloque a bloque se aprecia claramente cuando se bloquean factores como día o turno, ya que no tiene sentido pensar en seleccionar al azar el orden de los días o los turnos porque es imposible regresar en el tiempo.

7. (10) Se hace un estudio sobre la efectividad de tres maracas de atomizador para matar moscas. Para ello cada producto se aplica a un grupo de 100 moscas, y se cuenta el número de moscas muertas expresado en porcentajes. Se hicieron seis réplicas, pero en días diferentes; por ello, se sospecha que puede haber algún efecto importante debido a esta fuente de variación. Los datos obtenidos se muestran a continuación:

Marca de atomizador

Número de réplica (día)1 2 3 4 5 6

1 72 65 67 75 62 732 55 59 68 70 53 503 64 74 61 58 51 69

a) Suponiendo un DBCA, formule las hipótesis adecuadas y el modelo estadístico.

Modelo:


Hipótesis:

Tratamiento

H 0 : μ1=μ2=μ3=μ


b) ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los atomizadores?

Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo

RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 6 414 69 26

Fila 2 6 35559.166666

766.966666

7

Fila 3 6 37762.833333

366.166666

7

Columna 1 3 19163.666666

772.333333

3Columna 2 3 198 66 57

Columna 3 3 19665.333333

314.333333

3

Columna 4 3 20367.666666

776.333333

3

Columna 5 3 16655.333333

334.333333

3Columna 6 3 192 64 151

ANÁLISIS DE VARIANZA

Origen de las

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promedio de los

cuadrados FProbabilida

d

Valor crítico para

FTratamiento

296.333333 2

148.166667

2.88075178 0.10280442

4.10282102

Bloques281.33333

3 556.266666

71.0939727

8 0.420717753.3258345

3

Error514.33333

3 1051.433333

3

Total 1092 17

Como F critica>F0 entonces H 0 se acepta, es decir que no existe diferencia significativa entre los atomizadores para matar moscas.

c) ¿Hay algún atomizador mejor? Argumente su respuesta.

En base al análisis anterior se concluye que no existe diferencia significativa entre los atomizadores. Entonces no hay ningún atomizador mejor

d) ¿Hay diferencias significativas en los resultados de diferentes días en qué se realizó el experimento? Argumente su respuesta.

Hipótesis:

Bloques

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=γ4=γ 5=γ6=0

H A : γ j≠0 para algún bloque j

Como F0< Fcritica entonces H 0 se acepta, es decir que no existe diferencia significativa entre los bloques, es decir, los días en que se realizó la prueba.

e) Verifique los supuestos de normalidad y de igual varianza entre las maracas.

Normalidad

H 0 :Losdatos proceden de una distribució nnormal

H A :Losdatos no proceden dena distribución normal

W = 1( n−1 ) s2 [∑I=1

k

ai ( xn−i+ j−x i )]2

iDatos en

ordenCoeficientes

Shapiro-Wilksxn-i+j-xi ai(xn-i+j-xi)

1 50 0.4886 25 12.2152 51 0.3253 23 7.48193 53 0.2553 20 5.1064 55 0.2027 17 3.44595 58 0.1587 12 1.90446 59 0.1197 10 1.1977 61 0.0837 7 0.58598 62 0.0496 5 0.2489 64 0.0163 1 0.0163

10 65 Σ 32.200411 67

12 68

13 69

14 70

15 72

16 73

17 74

18 75

s2=¿ 64.235

Entonces W =¿ 0.9495

Y de tablas W critica=¿ 0.982

Por lo tanto si W critica>W la hipótesis nula se acepta. Es una distribución normal.

Varianza constante

Como los datos tienen una distribución normal se utiliza el estadístico de Bartlett.

H 0 :σ12=σ2

2=σ32

H A :σ i2≠ σ j

2 para algún i≠ j

χ02=2.3026 q

c

Dónde:

c=1+ 13(k−1) [∑i=1

k

(ni−1)−1−(N−k )−1]

q=( N−k ) log s p2−∑

i=1

k

( ni−1 ) log s i2

sp2=

∑i=1

k

(ni−1)si2

N−k

Para tratamiento:

si2 log si

2

26 1.4149733566.9666667 1.8258586866.1666667 1.82063926

Σ 159.133333 5.06147129

sp2=2(26+66.967+66.167)

18−3=¿ 21.2178

q=(18−3 ) log 21.2178−(2)(5.0615)=¿ 9.7775

c=1+ 13(2) (12 + 1

15 )=¿1.0944

χ02=2.3026 9.7775

1.0944=¿ 20.571

De tablas χ2=¿ 5.991

Por lo tanto, como χ2tablas< χ20 entonces, la hipótesis nula se rechaza, esto quiere decir que no

existe Homocedasticidad en los datos.

Para bloque:

Σ

si2 72.3333333 57 14.3333333 76.3333333 34.3333333 151 405.333333

log si2 1.85933848 1.75587486 1.1563472 1.88271423 1.53571597 2.17897695 10.3689677

sp2=5(72.33+57+14.33+76.33+34.33+151)

18−3=¿ 135.1111

q=(18−3 ) log 135.1111−(5)(10.3689)=¿ -19.8845

c=1+ 13(5) ( 15 + 1

15 )=¿1.0178

χ02=2.3026−19.8845

1.0178=¿- 44.9862


Por lo tanto, como χ2tablas> χ20 entonces, la hipótesis nula se acepta, esto quiere decir que hay

homogeneidad de varianza en los datos con respecto a los bloques.

Independencia

El método analítico de comprobar el supuesto de independencia se realiza con la prueba Durbin-Watson.

H 0 : ρ=0(no hay correlación)

H A : ρ ≠0

d=∑i=2

n

(e i−e i−1)2

∑i=1

n

(ei)2

Datos yi ei ei2 (ei-ei-1)2

1 72 69.000 -3.00 9.002 65 69.000 4.00 16.00 49

3 67 69.000 2.00 4.00 4

4 75 69.000 -6.00 36.00 64

5 62 69.000 7.00 49.00 169

6 73 69.000 -4.00 16.00 121

7 55 59.167 4.17 17.36 66.6944444

8 59 59.167 0.17 0.03 16

9 68 59.167 -8.83 78.03 81

10 70 59.167 -10.83 117.36 4

11 53 59.167 6.17 38.03 289

12 50 59.167 9.17 84.03 9

13 64 62.833 -1.17 1.36 106.777778

14 74 62.833 -11.17 124.69 100

15 61 62.833 1.83 3.36 169

16 58 62.833 4.83 23.36 9

17 51 62.833 11.83 140.03 49

18 69 62.833 -6.17 38.03 324Σ 795.667 1630.472

d=1630.472795.667

=¿ 2.049

De las tablas obtenemos para p=2, d L=1.16 y dV =1.39

Por lo tanto, siendo que d>dV se acepta H 0, es decir no existe correlación entre los datos.

8. (12) Se diseñó un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes. Las siguientes lecturas de “blancura” se obtuvieron con un equipo especial diseñado para 12 cargas de lavado, distribuidas en tres modelos de lavadoras:

Detergente Lavadora 1 Lavadora 2 Lavadora 3A 45 43 51B 47 44 52C 50 49 57D 42 37 49

a) Señale el nombre del diseño experimental utilizado.

Diseño en bloques completos al azar.


b) Formule la hipótesis que se quiere probar en este problema.

Tratamiento:

H 0 : μA=μB=μC=μD=μ


Bloques:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=0


c) Realice el análisis estadístico más apropiado para estos datos y obtenga conclusiones.


RESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza

Fila 1 3 13946.333333

317.333333

3

Fila 2 3 14347.666666

716.333333

3Fila 3 3 156 52 19

Fila 4 3 12842.666666

736.333333

3

Columna 1 4 184 4611.333333

3Columna 2 4 173 43.25 24.25

Columna 3 4 209 52.2511.583333

3

ANÁLISIS DE VARIANZAOrigen de

las variaciones

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los

cuadradosF Probabilida

d

Valor crítico para

F

Tratamiento133.66666

7 344.555555

634.127659

6 0.000363334.7570626

6

Bloque170.16666

7 285.083333

365.170212

8 8.5228E-055.1432528

5

Error7.8333333

3 61.3055555

6

Total311.66666

7 11

En tratamiento:

Dado que F0> Fcritica, la hipótesis nula es rechazada, esto quiere decir que si existe diferencia significativa entre los diferentes tipos de detergentes.

En bloque:

Como F0> Fcritica , la hipótesis nula se rechaza, esto se interpreta en que la lavadora que se utilice si tiene influenza en el resultado del tratamiento (detergente).

9. (15) Un aspecto crítico para que se conserve la leche es la temperatura de almacenamiento. De manera tradicional se han usado termómetros de mercurio (Mer) para verificar que la temperatura sea la adecuada, pero ahora se han comprado termómetros electrónicos (Rtd) para facilitar el proceso de medición. Sin embrago, se duda de las mediciones de estos nuevos dispositivos. Para aclarar dudas y diagnosticar la situación, durante cinco días se toman mediciones con ambos tipos de termómetros en varios silos (a la misma hora). Los datos para cinco silos se muestran a continuación:

SiloDía 1 Día 2 Día 3 Día 4 Día 5

Mer Rtd Mer Rtd Mer Rtd Mer Rtd Mer RtdA 4.0 2.6 4.0 2.8 5.0 5.0 0.5 0.0 3.0 2.4B 5.0 6.4 6.0 6.4 2.0 2.3 4.0 4.2 4.0 4.0C 4.5 3.3 4.0 1.4 3.5 1.8 2.0 -1.9 3.0 -7.6D 2.5 3.1 4.0 5.0 6.5 6.6 4.5 2.7 4.0 6.3E 4.0 0.0 4.0 0.4 3.5 0.6 2.0 -4.0 4.0 -6.3

a) Observe los datos y establezca una conjetura acerca de la confiabilidad de las mediciones con Rtd (del termómetro de mercurio no hay duda).

A primera vista, si comparamos el termómetro de Mer con el Rtd se aprecian diferencias grandes, incluso el termómetro Rtd marca temperaturas inferiores a 0°C, cosa que nunca sucede con el otro termómetro.

b) Es claro que el silo se puede ver como tratamiento y día como bloque. Considere sólo los datos de Rtd y establezca el modelo estadístico. También haga el ANOVA correspondiente y obtenga conclusiones.

El tipo de análisis sería Diseño en bloques completos al azar (DBCA), cuyo modelo es:


Hipótesis:

Tratamiento:

H 0 : μA=μB=μC=μD=μE=μ


Bloques:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=γ4=γ 5=0



RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 5 12.8 2.56 3.148Fila 2 5 23.3 4.66 3.068Fila 3 5 -3 -0.6 18.915Fila 4 5 23.7 4.74 3.203Fila 5 5 -9.3 -1.86 9.728

Columna 1 5 15.4 3.08 5.197Columna 2 5 16 3.2 6.18Columna 3 5 16.3 3.26 6.078Columna 4 5 1 0.2 11.085Columna 5 5 -1.2 -0.24 39.653


Origen de las

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promedio de los


d

Valor crítico para

F

Filas 182.532 4 45.6338.0909574

5 0.000911593.0069172

8

Columnas 62.008 4 15.5022.7485815

6 0.064865293.0069172

8Error 90.24 16 5.64

Total 334.78 24

En tratamiento:

Dado que F0> Fcritica, la hipótesis se rechaza, esto significa que la temperatura en los silos es diferente.

En bloque:

Como F0< Fcritica , la hipótesis nula se acepta, esto se interpreta en que el día no tiene un efecto en la medición de la temperatura.

c) Repita el inciso anterior pero ahora para las mediciones Mer.



Hipótesis:

Tratamiento:



Bloques:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=γ4=γ 5=0



RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 5 16.5 3.3 2.95Fila 2 5 21 4.2 2.2Fila 3 5 17 3.4 0.925Fila 4 5 21.5 4.3 2.075Fila 5 5 17.5 3.5 0.75

Columna 1 5 20 4 0.875Columna 2 5 22 4.4 0.8Columna 3 5 20.5 4.1 2.925Columna 4 5 13 2.6 2.675Columna 5 5 18 3.6 0.3


Origen de las

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promedio de los

cuadrados F Probabilidad

Valor crítico para

FFilas 4.46 4 1.115 0.69040248 0.60921239 3.00691728Columnas 9.76 4 2.44 1.51083591 0.24602212 3.00691728Error 25.84 16 1.615

Total 40.06 24

En tratamiento:

Dado que F0< Fcritica, la hipótesis se acepta, esto significa que la temperatura en los silos no es diferente.

En bloque:


d) ¿Las conclusiones obtenidas en los incisos anteriores coinciden? Comente su respuesta.

No las conclusiones con respecto a los tratamientos (silos) fue distinta, en el caso del termómetro Rtd había variación en los silos; mientras que con el termómetro Mer, eso no se detectó, los silos eran estadísticamente iguales. Esto quiere decir que los termómetros son distintos entre sí, ya que muestran conclusiones diferentes.

e) Datos pareados. Para comprara los dos métodos de medición (Mer y Rtd) obtenga como variable de respuesta a la diferencia de temperaturas que registran los métodos para cada día en cada silo. Considerando esto,

establezca el modelo estadístico, haga el ANOVA correspondiente y obtenga conclusiones.

Para |MER-RTD|

SiloDía 1 Día 2 Día 3 Día 4 Día 5

Dif. Dif. Dif. Dif. Dif.

A 1.4 1.2 0 0.5 0.6

B 1.4 0.4 0.3 0.2 0

C 1.2 2.6 1.7 3.9 10.6

D 0.6 1 0.1 1.8 2.3

E 4 3.6 2.9 6 10.3



Hipótesis:

Tratamiento:



Bloques:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=γ4=γ 5=0



RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 5 3.7 0.74 0.318Fila 2 5 2.3 0.46 0.298Fila 3 5 20 4 14.665

Fila 4 5 5.8 1.16 0.793Fila 5 5 26.8 5.36 8.953

Columna 1 5 8.6 1.72 1.732Columna 2 5 8.8 1.76 1.708Columna 3 5 5 1 1.6Columna 4 5 12.4 2.48 5.997Columna 5 5 23.8 4.76 27.703


Origen de las

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promedio de los


d

Valor crítico para

F

Filas 96.8136 4 24.20346.6599892

7 0.002357443.0069172

8

Columnas 41.9616 4 10.49042.8866172

3 0.056396433.0069172

8Error 58.1464 16 3.63415

Total 196.9216 24

En tratamiento:

Dado que F0> Fcritica, la hipótesis nula se rechaza esto se interpreta en que, la diferencia entre las temperaturas de los termómetros, en los silos es diferente, es decir, hay diferencias entre cada tratamiento.

En bloque:


En conclusión, se puede inferir por los resultados en los incisos anteriores, que el termómetro Rtd es diferente al termómetro Mer, y considerando que sobre éste último no hay duda de su funcionamiento, entonces, el termómetro Rtd, está dañado y no registra las temperaturas correctas.

10.(16) Se requiere estudiar el efecto de cinco catalizadores diferentes (A, B, C, D y E) sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material sólo permite cinco corridas y cada corrida requiere aproximadamente 1.5 horas, por lo que sólo se pueden realizar cinco

corridas diarias. El experimentador decide correr los experimentos con un diseño en cuadro latino para controlar activamente a los lotes y días. Los datos obtenidos son:

Día1 2 3 4 5

Lote

1 A=8 B=7 D=1 C=7 E=3

2 C=11 E=2 A=7 D=3 B=83 B=4 A=9 C=10 E=1 D=54 D=6 C=8 E=6 B=6 A=105 E=4 D=2 B=3 A=8 C=8

a) ¿Cómo se aleatorizó el experimento?

Primero se construyó el cuadro latino estándar, y después se aleatoriza el orden de los renglones, y después el de las columnas. La regla fundamental es que cada letra debe aparecer sólo una vez en cada renglón y en cada columna.

b) Anote la ecuación del modelo y las hipótesis estadísticas correspondientes.

El tipo de análisis es Diseño en cuadro latino (DCL), cuyo modelo es:

Y ijl=μ+τ i+γ j+δl+εijl

Hipótesis:

Tratamiento:

H 0 : μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ


Bloque 1:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=γ4=γ 5=0


Bloque 2:

H 0 :γ A=γ B=γC=γ D=γ E=0


c) ¿Existen diferencias entre los tratamientos? ¿Cuáles tratamientos son diferentes entre sí?


RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 5 26 5.2 9.2Fila 2 5 31 6.2 13.7Fila 3 5 29 5.8 13.7Fila 4 5 36 7.2 3.2Fila 5 5 25 5 8

Columna 1 5 33 6.6 8.8Columna 2 5 28 5.6 11.3Columna 3 5 27 5.4 12.3Columna 4 5 25 5 8.5Columna 5 5 34 6.8 7.7

sA= 5 42 8.4 1.3sB= 5 28 5.6 4.3sC= 5 44 8.8 2.7sD= 5 17 3.4 4.3sE= 5 16 3.2 3.7


Origen de las

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promedio de los

cuadrados F

Valor crítico para

FTratamiento 141.44 4 35.36 11.3092 3.26Días (B1) 12.24 4 3.06 0.9787 3.26Lotes (B2) 15.44 4 3.86 1.2345 3.26Error 37.52 12 3.1267

Total 206.64 24

En tratamiento:

Dado que F0> Fcritica, la hipótesis nula se rechaza, es decir, los tratamientos (catalizadores) son diferentes entre sí.

En bloque 1:

Como F0< Fcritica , la hipótesis nula se acepta, es decir, en que el día no tiene un efecto en los catalizadores.

En bloque 2:

Como F0< Fcritica , la hipótesis nula se acepta, es decir, que el número de lote no tiene eecto sobre el catalizador.

d) ¿Los factores de ruido, lote y día afectan el tiempo de reacción del proceso?

No, lo efectos de ruido (lote y día) no tienen influencia significativa sobre la reacción del procesos (catalizadores), es decir no influyen en los resultados de los tratamientos.

e) Dibuje los gráficos de medias para los tratamientos, los lotes y los días. ¿Cuál tratamiento es mejor?

Hipótesis:

H 0 : μi=μ j

H A : μi ≠ μ j

LSD=t α2

,(k−1)(b−1)√ 2CM E

b

t α2

, (k−1 )( b−1)=t 0.25,12=¿ 2.1788128

CM E=¿ 3.12667

b=5

LSD=2.1788√2(3.12667)/5=¿¿ 2.4366

Utilizando LSD

µi-µj LSD H0

µA µB 2.8 > 2.43663628

µA µC 0.4 < 2.43663628

µA µD 5 > 2.43663628

µA µE 5.2 > 2.43663628

µB µC 3.2 > 2.43663628

µB µD 2.2 < 2.43663628

µB µE 2.4 < 2.43663628

µC µD 5.4 > 2.43663628

µC µE 5.6 > 2.43663628

µD µE 0.2 < 2.43663628

En base a esta comparación los catalizadores E, D y B son estadísticamente iguales y los que resultan mejores, ya que el tempo de reacción es menor.

f) Verifique los supuestos del modelo, considerando que los datos se obtuvieron columna por columna, día por día.

Normalidad



W = 1( n−1 ) s2 [∑I=1

k


s2=¿ 8.61



Por lo tanto si W critica<W la hipótesis nula se rechaza. Estos datos no provienen de una distribución normal.

i yij ai xn-i+1-xi ai(xn-i+1-xi)

1 1 0.4450 24 10.68002 1 0.3069 23 7.05873 2 0.2543 21 5.34034 2 0.2148 20 4.29605 3 0.1822 18 3.27966 3 0.1539 17 2.61637 3 0.1283 16 2.05288 4 0.1046 14 1.46449 4 0.0823 13 1.0699

10 5 0.0610 11 0.671011 6 0.0403 9 0.362712 6 0.0200 8 0.160013 6 0.0000 7 0.000014 7 Σ 39.051715 716 717 818 819 820 821 822 923 1024 1025 11

Varianza constante

Como los datos no tienen una distribución normal se utiliza el estadístico de Levine.

Para tratamiento:

H 0 :σ A2=σ B

2=σ C2¿σ D

2=σ E2

H A :σ i2≠ σ j


Desviaciones de cada valor respecto a la media (tratamiento)0.4 1.4 1.8 2.4 0.21.4 2.4 2.2 0.4 1.20.6 1.6 1.2 1.6 2.21.6 0.4 0.8 2.6 2.80.4 2.6 0.8 1.4 0.8

Análisis de varianza de un factor

RESUMENGrupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Columna 1 5 4.4 0.88 0.332Columna 2 5 8.4 1.68 0.772Columna 3 5 6.8 1.36 0.388Columna 4 5 8.4 1.68 0.772Columna 5 5 7.2 1.44 1.108


Origen de las

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promedio de los


d

Valor crítico para

FTratamientos 2.1504 4 0.5376 0.797 0.54104084 2.8660814Error 13.488 20 0.6744

Total 15.6384 24

Por lo tanto si F critica>F0 la hipótesis nula se acepta. Por lo tanto si existe homogeneidad de varianza con respecto a los tratamientos.

Para bloque 1 (Días):

H 0 :σ12=σ2

2=σ32 ¿σ 4

2=σ52

H A :σ i2≠ σ j


Desviaciones de cada valor respecto a la media (Días)1.4 1.4 4.4 2.0 3.84.4 3.6 1.6 2.0 1.22.6 3.4 4.6 4.0 1.80.6 2.4 0.6 1.0 3.22.6 3.6 2.4 3.0 1.2



Columna 1 5 11.6 2.32 2.072Columna 2 5 14.4 2.88 0.932Columna 3 5 13.6 2.72 3.052Columna 4 5 12 2.4 1.3Columna 5 5 11.2 2.24 1.428


Origen de las variaciones

Suma de cuadrado

s

Grados de

libertad

Promedio de los


d

Valor crítico para

F

Entre grupos 1.5104 4 0.37760.2149362

5 0.92702704 2.8660814Dentro de los grupos 35.136 20 1.7568

Total 36.6464 24

Por lo tanto si F critica>F0 la hipótesis nula se acepta. Por lo tanto si existe homogeneidad de varianza con respecto al día.

Para bloque 2 (Lotes):

H 0 :σ12=σ2

2=σ32 ¿σ 4

2=σ52

H A :σ i2≠ σ j


Desviaciones de cada valor con respecto a la media (Lotes)2.8 1.8 4.2 1.8 2.24.8 4.2 0.8 3.2 1.81.8 3.2 4.2 4.8 0.81.2 0.8 1.2 1.2 2.81.0 3.0 2.0 3.0 3.0



Fila 1 5 12.8 2.56 1.008Fila 2 5 14.8 2.96 2.748Fila 3 5 14.8 2.96 2.748Fila 4 5 7.2 1.44 0.608Fila 5 5 12 2.4 0.8



Suma de cuadrado

s

Grados de

libertad

Promedio de los


d

Valor crítico para

F

Entre grupos 7.7696 4 1.94241.2275025

3 0.33073341 2.8660814Dentro de los grupos 31.648 20 1.5824

Total 39.4176 24

Por lo tanto como F critica>F0 la hipótesis nula se acepta. Por lo tanto si existe homogeneidad de varianza con respecto a los lotes.

Independencia


H 0 : ρ=0(nohay correlación)

H A : ρ ≠0

d=∑i=2

n

(e i−e i−1)2

∑i=1

n

(ei)2

Datos yi ei ei2 (ei-ei-1)2

8 8.4 0.40 0.169 8.4 -0.60 0.36 1.07 8.4 1.40 1.96 4.08 8.4 0.40 0.16 1.0

10 8.4 -1.60 2.56 4.04 5.6 1.60 2.56 10.27 5.6 -1.40 1.96 9.03 5.6 2.60 6.76 16.06 5.6 -0.40 0.16 9.0

8 5.6 -2.40 5.76 4.011 8.8 -2.20 4.84 0.0

8 8.8 0.80 0.64 9.010 8.8 -1.20 1.44 4.0

7 8.8 1.80 3.24 9.08 8.8 0.80 0.64 1.06 3.4 -2.60 6.76 11.62 3.4 1.40 1.96 16.01 3.4 2.40 5.76 1.03 3.4 0.40 0.16 4.05 3.4 -1.60 2.56 4.04 3.2 -0.80 0.64 0.62 3.2 1.20 1.44 4.06 3.2 -2.80 7.84 16.01 3.2 2.20 4.84 25.03 3.2 0.20 0.04 4.0

Σ 65.200 167.480

d=167.48065.200

=¿ 2.5687

De las tablas obtenemos para p=2, d L=1.29 y dV =1.45

Por lo tanto, siendo que d>dV se acepta H 0, es decir no existe correlación entre los datos.

11.(21) Se quieren comparar tres dietas (A, B, C) a base de proteínas de origen vegetal utilizando 18 ratas de laboratorio de una misma camada. Primero se observa por un tiempo el apetito para formar tres grupos de seis ratas, según su voracidad; y cada uno de estos grupos se clasifica a su vez en tres grupos de dos ratas, de acuerdo a su peso inicial. Se plantea un experimento donde la variable de respuesta es el peso en gramos ganado por las ratas después de cierto período, con los siguientes resultados:

Apetito/Peso inicial

A1 A2 A3

P167 (C) 105 (A) 95 (B)72 112 86

P285 (A) 75 (B) 88 (C)98 67 110

P366 (B) 68 (C) 108 (A)47 91 120

a) Analice los datos. ¿Cuáles factores influyen en el peso ganado por las ratas?

El tipo de análisis es Diseño en cuadro latino (DCL), cuyo modelo es:

Y ijl=μ+τ i+γ j+δl+εijl

Hipótesis:

Tratamiento:

H 0 : μA=μB=μC=μ


Bloque 1:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=0


Bloque 2:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=0



RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaA 3 628 209.333333 550.333333B 3 436 145.333333 1164.33333C 3 496 165.333333 900.333333

Fila 1 3 537 179 1524Fila 2 3 523 174.333333 840.333333Fila 3 3 500 166.666667 3350.33333

Columna 1 3 435 145 1252Columna 2 3 518 172.666667 1546.33333Columna 3 3 607 202.333333 566.333333



Suma de cuadrados

Grados de libertad

Promedio de los

cuadrados F

Valor crítico para

FTratamiento 6432 2 3216 99.4639175 6.94427191Peso inicial (B1) 232.666667 2 116.333333 3.59793814 6.94427191Voracidad (B2) 4932.66667 2 2466.33333 76.2783505 6.94427191Error 64.6666667 2 32.3333333

Total 11662 8

En tratamiento:

Dado que F0> Fcritica, la hipótesis nula se rechaza, es decir, los tratamientos (dietas) son diferentes entre sí.

En bloque 1:

Como F0< Fcritica , la hipótesis nula se acepta, es decir, que el peso inicial no tiene un efecto en el resultado.

En bloque 2:

Como F0> Fcritica , la hipótesis nula se rechaza, es decir, que la voracidad de las ratas si es un factor que influye en los resultados.

b) ¿Cuál dieta es mejor?

Utilizando LSD

µi-µj LSD H0

µA µB 64 > 19.9763391

µA µC 44 > 19.9763391

µB µC 20 > 19.9763391

Por lo tanto, se puede concluir que la dieta B es la mejor, ya que el incremento de peso es el menor.

c) ¿Alguno de los factores de bloque puede ser ignorado? Argumente su respuesta.

Como el peso inicial no tiene influencia en los resultados, este factor de bloque puede ser ignorado.

d) Si ése fuera el caso, analice de nuevo el experimento y saque conclusiones.

Hipótesis:

Tratamiento:

H 0 : μ1=μ2=μ3=μ


Bloques

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=0



RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 3 628 209.333333 550.333333Fila 2 3 436 145.333333 1164.33333Fila 3 3 496 165.333333 900.333333

Columna 1 3 435 145 1252Columna 2 3 518 172.666667 1546.33333Columna 3 3 607 202.333333 566.333333


Origen de las

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promedio de los

cuadrados F Probabilidad

Valor crítico para

FFilas 6432 2 3216 43.264574 0.00195228 6.94427191Columnas 4932.66667 2 2466.33333 33.1793722 0.00323209 6.94427191Error 297.333333 4 74.3333333

Total 11662 8

En tratamiento:

Dado que F0> Fcritica, la hipótesis nula se rechaza, es decir, los tratamientos (dietas) son diferentes entre sí.

En bloque:

Como F0> Fcritica , la hipótesis nula se rechaza, es decir, que él apetito si influye en el resultado.

Es decir los resultados siguen siendo los mismos.

e) Verifique los supuestos del modelo.

Normalidad



W = 1( n−1 ) s2 [∑I=1

k


iDatos en

orden

Coeficientes Shapiro-

Wilksxn-i+j-xi ai(xn-i+j-xi)

1 50 0.5888 14 8.24322 51 0.3244 11 3.56843 53 0.1976 8 1.58084 55 0.0947 4 0.37885 58 Σ 13.77126 59

7 61

8 62

9 64

s2=¿ 3680.125



Por lo tanto si W critica>W la hipótesis nula se acepta. Estos dato provienen de una distribución normal.

Varianza constante

Como los datos tienen una distribución normal se utiliza el estadístico de Bartlett.

H 0 :σ A2=σ B

2=σ 32

H A :σ i2≠ σ j


χ02=2.3026 q

c

Dónde:

c=1+ 13(k−1) [∑i=1

k

(ni−1)−1−(N−k )−1]

q=( N−k ) log s p2−∑

i=1

k

( ni−1 ) log s i2

sp2=

∑i=1

k

(ni−1)si2

N−k

Para tratamiento:

si2 log si

2

550.333333 2.740625821164.33333 3.06607733900.333333 2.95440333

Σ 2615 8.76110648

sp2= 871.666667 log sp

2= 2.94035044q= -5212.3579c= 1.05555556

χ2=-

11370.2924


Por lo tanto, como χ2tablas< χ20 entonces, la hipótesis nula se rechaza, esto quiere decir que no

existe Homocedasticidad en los datos.

Para bloque:

Σ

si2 1252 1546.33333 566.333333 3364.66667

log si2 3.09760433 3.18930312 2.75307212 9.03997957

sp2= 1121.55556 log sp

2= 3.04982079

q= 0.2189656c= 1.11111111

χ2= 0.45377118


Por lo tanto, como χ2tablas> χ20 entonces, la hipótesis nula se acepta, esto quiere decir que hay

homogeneidad de varianza en los datos con respecto a los bloques.

Independencia


H 0 : ρ=0(nohay correlación)

H A : ρ ≠0

d=∑i=2

n

(e i−e i−1)2

∑i=1

n

(ei)2

independenciaDatos yi ei ei

2 (ei-ei-1)2

1 183 209.333333 -26.33 693.44

2 217 209.333333 7.67 58.78 11563 228 209.333333 18.67 348.44 1214 113 145.333333 -32.33 1045.44 26015 142 145.333333 -3.33 11.11 8416 181 145.333333 35.67 1272.11 15217 139 165.333333 -26.33 693.44 3844

8 159 165.333333 -6.33 40.11 4009 198 165.333333 32.67 1067.11 1521

Σ 5230.000 12005.000

d=¿ 2.2954

De las tablas no viene el valor correspondiente, para p=2 y n=9, por lo tanto, no se pudo concluir el método analítico.

Gráficamente: en base al valor de R2se puede concluir que no hay correlación entre los datos.

12.(23) Un investigador está interesado en el efecto del porcentaje de lisina y del porcentaje de proteína en la producción de vacas lecheras. Se consideran siete niveles en cada factor.

% de lisina: 0.0 (A), 0.1 (B), 0.2 (C), 0.3 (D), 0.4 (E), 0.5 (F), 0.6 (G). % de proteína: 2 (α), 4 (β), 6 (χ), 8 (δ), 10 (ε), 12 (φ), 14 (γ).

Para el estudio se seleccionan siete vacas al azar, a las cuales se les da un seguimiento de siete períodos de tres meses. Los datos en galones de leche fueron los siguientes:

Vaca/ período

1 2 3 4 5 6 7

1304 436 350 504 417 519 432(Aα) (Bε) (Cβ) (Dφ) (Eχ) (Fγ) (Gδ)

2381 505 425 564 494 350 413(Bβ) (Cφ) (Dχ) (Eγ) (Fδ) (Gα) (Aε)

3432 566 479 357 461 340 502(Cχ) (Dγ) (Eδ) (Fα) (Gε) (Aβ) (Bφ)

4442 372 536 366 495 425 507(Dδ) (Eα) (Fε) (Gβ) (Aφ) (Bχ) (Cγ)

5496 449 493 345 509 481 380(Eε) (Fβ) (Gφ) (Aχ) (Bγ) (Cδ) (Dα)

6534 421 352 427 346 478 397(Fφ) (Gχ) (Aγ) (Bδ) (Cα) (Dε) (Eβ)

7543 386 435 485 406 554 410(Gγ) (Aδ) (Bα) (Cε) (Dβ) (Eφ) (Fχ)

a) Analice este experimento. ¿Qué factores tienen efecto en la producción de leche?

Se utiliza un análisis de diseño en cuadro greco-latino (DCGL)

Modelo:

Y ijlm=μ+ τ i+γ j+δl+φm+εijlm

Hipótesis:

% Lisina:

H 0 : μA=μB=μC=μD=μE=μF=μG=μ


% Proteína:

H 0 : μα=μβ=μ χ=μδ=με=μφ=μγ=μ


Vaca:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=γ4=γ 5=γ6=γ 7=0


Período:

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=γ4=γ 5=γ6=γ 7=0


α Β Χ δ Ε φ γ

A 304 340 345 386 413 495 352B 435 381 425 427 436 502 509

C 346 350 432 481 485 505 507

D 380 406 425 442 478 504 566

E 372 397 417 479 496 554 564

F 357 449 410 494 536 534 519

G 350 366 421 432 461 493 543


RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 7 2635 376.428571 3940.95238Fila 2 7 3115 445 2057.66667Fila 3 7 3106 443.714286 4887.2381Fila 4 7 3201 457.285714 4051.57143Fila 5 7 3279 468.428571 5728.95238Fila 6 7 3299 471.285714 4704.57143Fila 7 7 3066 438 4638.66667

Columna 1 7 2544 363.428571 1587.95238Columna 2 7 2689 384.142857 1383.80952Columna 3 7 2875 410.714286 887.571429Columna 4 7 3141 448.714286 1456.57143Columna 5 7 3305 472.142857 1629.14286Columna 6 7 3587 512.428571 518.285714Columna 7 7 3560 508.571429 5363.61905

Vaca/ período 1 2 3 4 5 6 7

1 304 436 350 504 417 519 4322 381 505 425 564 494 350 4133 432 566 479 357 461 340 5024 442 372 536 366 495 425 5075 496 449 493 345 509 481 3806 534 421 352 427 346 478 3977 543 386 435 485 406 554 410


RESUMEN Cuenta Suma Promedio VarianzaFila 1 7 2962 423.142857 5925.47619Fila 2 7 3132 447.428571 5777.61905Fila 3 7 3137 448.142857 6361.80952Fila 4 7 3143 449 4415.33333Fila 5 7 3153 450.428571 4055.28571Fila 6 7 2955 422.142857 4501.14286Fila 7 7 3219 459.857143 4644.47619

Columna 1 7 3132 447.428571 7373.28571Columna 2 7 3135 447.857143 4611.14286Columna 3 7 3070 438.571429 4937.61905Columna 4 7 3048 435.428571 7151.61905Columna 5 7 3128 446.857143 3555.80952Columna 6 7 3147 449.571429 6674.28571Columna 7 7 3041 434.428571 2542.95238


Origen de las

variacionesSuma de

cuadradosGrados de

libertad

Promedio de los

cuadrados F

Valor crítico para

F% Lisina 42783.551 6 7130.5918 7.2322 2.51%Proteína 145879.551 6 24313.2585 24.6598 2.51Vaca 8754.408 6 1459.0680 1.4799 2.51

Período 1760.980 6 293.4966 0.2977 2.51Error 23662.776 24 985.9490

Total 222841.265 48

En %Lisina:

Dado que F0> Fcritica, la hipótesis nula se rechaza, es decir, el porcentaje de lisina no es igual para cada nivel, es decir, si tiene un efecto significativo.

En % Proteína:

Como F0< Fcritica, , la hipótesis nula se rechaza, lo que significa que, el porcentaje de proteína si tiene un efecto en la producción de vacas lecheras.

Vaca:

Como F0< Fcritica , la hipótesis nula se acepta, es decir, que la vaca (que vaca es) no es un factor que influye en los resultados.

Período:

Como F0< Fcritica , la hipótesis nula se acepta, es decir, que el período tampoco es un factor que influye en los resultados.

b) Interprete los datos usando gráficos de medias.

c) ¿Cómo puede explicar la falta de efectos en vacas y período?

Estos factores que no influyen en la producción de las vacas.

d) ¿Qué porcentajes de lisina y proteína dan los mejores resultados?

Utilizando diferencias mínimas significativas

Utilizando LSD

µi-µj LSD H0

1 µA µB 68.571 > 33.872

2 µA µC 67.286 > 33.872

3 µA µD 80.857 > 33.872

4 µA µE 92.000 > 33.872

5 µA µF 94.857 > 33.872

6 µA µG 61.571 > 33.872

7 µB µC 1.286 < 33.872

8 µB µD 12.286 < 33.872

9 µB µE 23.429 < 33.872

10 µB µF 26.286 < 33.872

11 µB µG 7.000 < 33.872

12 µC µD 13.571 < 33.872

13 µC µE 24.714 < 33.872

14 µC µF 27.571 < 33.872

15 µC µG 5.714 < 33.872

16 µD µE 11.143 < 33.872

17 µD µF 14.000 < 33.872

18 µD µG 19.286 < 33.872

19 µE µF 2.857 < 33.872

20 µE µG 30.429 < 33.872

21 µF µG 33.286 < 33.872

Entonces se concluye que el porcentaje de lisina A es el que proporciona menor producción de las vacas, pero el resto son significativamente iguales.

e) Verifique los supuestos del modelo.

Normalidad

Homogeneidad de varianza

Independencia

II. Problemas marcados con asterisco

1. (2) Un equipo de especialistas en remotivación, en un hospital psiquiátrico, condujo un experimento para comprobar cinco métodos para remotivar a los pacientes. Estos fueron agrupados de acuerdo con el nivel de motivación inicial. En cada grupo, los pacientes fueron asignados al azar a los cinco métodos. Al final del periodo experimental, un equipo de trabajo formado por un psiquiatra, un psicólogo, una enfermera y un trabajador social evaluaron a los pacientes. Ningún miembro del equipo de evaluación sabia de los métodos que fueron asignados a los pacientes. El equipo asignó a cada paciente una calificación como medida de su nivel de motivación. Los resultados fueron los siguientes:

Nivel de motivación

inicial

Método de motivación

A B C D E

Nulo 58 68 60 68 64Muy bajo 62 70 65 80 69Bajo 67 78 68 81 70Promedio 70 81 70 89 74

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique una diferencia en las calificaciones medias entre los métodos? Sea α = 0.05

2. (3) La enfermera supervisora de un departamento de salud local quería analizar el efecto de la hora del día en la duración de las visitas domiciliarias realizadas por el personal de enfermería. Pensaba que las diferencias individuales entre las enfermeras podían ser grandes, por lo que utilizó a las enfermeras como un factor de formación de bloques. Recolecto además los siguientes datos:

Enfermera

Duración de la visita domiciliaria

En la mañana

A medio día

Temprano por la tarde

Por la tarde

A 27 28 30 23B 31 30 27 20C 35 38 34 30

D 20 18 20 14

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para indicar una diferencia en la duración de las visitas domiciliarias en las diferentes horas del día? Sea α = 0.05

3. (5) Se realiza un experimento para investigar el efecto de la temperatura de secado en granos de trigo con la finalidad de mejorar la calidad en el horneado para producir pan. Se utilizaron tres niveles de temperatura y la variable de respuesta medida fue el volumen de la pieza de pan obtenida. Los datos obtenidos fueron los siguientes:

Temperatura (°C)

Volumen (cm3)

70.0 1245 1235 1285 1242 123575.0 1235 1240 1200 1220 121080.0 1225 1200 1170 1155 1095

a) ¿La temperatura de secado afecta el volumen de pan? Usar un α=0.01

b) Utilizar el método de LSD para determinar la diferencia de medias y cuál es el tratamiento más adecuado que cumple con los fines de obtener un mayor volumen.

c) Analizar el cumplimiento de normalidad y homogeneidad de varianzas por los métodos gráficos y matemáticos.

4. (9) Un artículo en “Agricultural Engineering” (diciembre 1964, pp672-673) describe un experimento en el cual el peso ganado diariamente por los cerdos es evaluado en los diferentes niveles de temperatura de su vivienda. El peso promedio de cada grupo de cerdos al inicio del experimento es considerado como un factor de ruido. Los datos obtenidos de este experimento se muestran a continuación:

Peso (lbs)

Temperatura promedio del aire de la vivienda (°F)

50 60 70 80 90 100100 1.37 1.58 2.00 1.97 1.40 0.39150 1.47 1.75 2.16 1.82 1.14 -0.19200 1.19 1.91 2.22 1.67 0.88 -0.77

a) ¿La temperatura promedio de la vivienda afecta al peso promedio ganado? Usa α=0.05

b) Utiliza el método de LSD de Fisher para determinar qué niveles de temperatura son diferentes.

c) Analiza los residuos de este experimento y haz comentarios sobre la adecuación del modelo.

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