TaPL名古屋 #2

齋藤　啓太

2012年 2月 18日

齋藤　啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 1 / 34

おしながき

.. .1 Mathematical Preliminaries

Sets, Relations, and FunctionsOrderd SetsSequencesInduction

齋藤　啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 2 / 34

はじめに

おまえら英語苦手なんだろう！？

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はじめに

そこで

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はじめに

なるべく日本語で書いてきた！

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はじめに

なるべく日本語と記号で書いてきた！

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2.1.1 Notation of Sets... ..

.

.{. . . } ： 複数要素の表示... ..

.

.{ x ∈ S | . . . } ： 包含で表す場合... ..

.

.φ ： 空集合... ..

.

.S\T ： { x | x ∈ S ∧ x ∈\ T }... ..

.

.| S | ： 集合Sの要素数，サイズ.

.. ..

.

.

P(S) ： 集合Sの powerset（冪集合），Sの全サブセットの集合

ex. S = {1, 2},P(S) = {φ, {1}, {2}, {1, 2}}齋藤　啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 7 / 34

2.1.2 Natural Number

.natural number.... ..

.

.N : {0, 1, 2, 3, . . . }.countable..

.. ..

.

.

Nと 1対 1対応が取れる集合を countable（可算）という

Nとの間に全単射な写像が取れる集合ex. 偶数，整数，有理数，etc.

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2.1.3 n-Place Relation

.n-place relation..

.. ..

.

.

集合S1, . . . , Snの各要素の組から成る集合Rを，S1 × · · · × Snの n-place relationという．

ex. S1 = {1, 3}, S2 = {2, 4}, R = {(1, 2), (1, 4), (3, 4)}　

例のRは <= の関係を表わしてる．　

(1, 2)はRによって関係付けられている，と言う．

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2.1.4 Predicate

.Predicate.... ..

.

.集合Sの one-place relation PをS上のpredicateという．

s ∈ Sに対して s ∈ P のときP は sに当てはまる，という．　

これからλs.P (s)はSから真偽値へのマップ関数としてよく書くよ．

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2.1.5 Binary Relation

.Binary relation.... ..

.

.binary relation とは two-place relationのこと．

(s, t) ∈ Rの代わりに s R tという表記をよく使う．みんな大好き中置記法

　集合UとUの binary relationは単純に，U上の binary

relation Rという．

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2.1.6 more notation

9章では 3組以上の例も．　

ex. Γ ` s : T はΓ, s, T が typing relation内にあるの意

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2.1.7 Domain, Range

集合SとT の関係Rに対して，.domain.... ..

.

.dom(R) = { s ∈ S | (s, t) ∈ R }.range (codomain).... ..

.

.range(R) = { t ∈ T | (s, t) ∈ R }

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2.1.8 Partial Function, TotalFunction

.partial function..

.. ..

.

.

s ∈ S, t1 ∈ T, t2 ∈ T,に対して (s, t1) ∈ R, (s, t2) ∈ R から t1 = t2が常に成り立つとき，RはSからT の partialfunctionという．.total function..

.. ..

.

.

partial functionに加えて，dom(R) = Sのとき，RはSからT への total function，または単に functionという．

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2.1.9 Defined, Undefined.defined..

.. ..

.

.

集合SからT への partial function Rにおいて，s ∈ Sが s ∈ Rのとき，Rは sを definedであるという．definedでないものを undefinedという．f(χ) ↑や f(χ) =↑は，fがχを undefinedであることを表す．f(χ) ↓は definedを表す

(誰か説明して)exceptionとかあるよね，from S to T ∪ {fail}

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2.1.10 Preserved

.preserved..

.. ..

.

.

binary relation R，集合S，predicate P に対して，s R s′かつP (s)でP (s′)が成り立つとき，P はRによって preservedという．

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2.2.1 Property of Binary RelationS上の binary relation Rに対して，.reflexive.... ..

.

.∀ s ∈ S . s R s

.symmetric.... ..

.

.∀ s, t ∈ S . s R t → t R s

.transitive.... ..

.

.∀ s, t, u ∈ S . s R t ∧ t R u → s R u

.antisymmetric.... ..

.

.∀ s, t ∈ S . s R t ∧ t R s → s = t

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2.2.2 Preorder, Partial Order, TotalOrder

.preorder..

.. ..

.

.

preorderなR ： reflexive ＋ transitive．preorderなRは≤やvで書く．preorderd set Sは，S上に特定の preorderなRがつねにあるの意．

<は s ≤ t ∧ s 6= t

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2.2.2 Preorder, Partial Order, TotalOrder

.partial order.... ..

.

.partial order ： preorder ＋ antisymmetric．.total order.... ..

.

.total order ： partial order ＋ ∀ s, t ∈ S . s ≤ t ∨ t ≤ s

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2.2.3 Join, Meet≤はS上の partial orderで s ∈ S，t ∈ Sであるとき，.join（least upper bound）..

.. ..

.

.

ある j ∈ Sが sと tの joinであるとは，...1 s ≤ j ∧ t ≤ j...2 ∀ k ∈ S . s ≤ k ∧ t ≤ k ∧ j ≤ k

.meet（greatest lower bound）..

.. ..

.

.

あるm ∈ Sが sと tのmeetであるとは，...1 m ≤ s ∧m ≤ t...2 ∀ n ∈ S . n ≤ s ∧ n ≤ t ∧ n ≤ m

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2.2.4 Equivalence

.equivalence..

.. ..

.

.

S上のRが equivalenceである ： Rは reflexive ＋transitive ＋ symmetric

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2.2.5.reflexive closure.... ..

.

.Rを含む最小の reflexiveな関係．R′で表す．.transitive closure.... ..

.

.Rを含む最小の transitiveな関係R′．R+で表す．.reflexive and transitive closure.... ..

.

.Rを含む最小の reflexiveで transitiveな関係．R∗で表す．

※集合R ∈ RがRのうちで最小であるとは，∀Ri ∈ R . R ⊆ Ri

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2.2.6 Exercise 2.2.6

集合S上の関係Rを考える．ある関係R′を次のように定義する．

R′ = R ∪ { (s, s) | s ∈ S }

R′がRの reflexive closureであることをしめせ．

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2.2.7 Exercise 2.2.7 -moreconstructive definition of transitiveclosure-

Riを以下のように定義する．

R0 = RRi+1 = Ri ∪ { (s, u) | ∃t ∈ R.(s, t) ∈ Ri ∧ (t, u) ∈ Ri }

以下をしめせ．

R+ =⋃i

Ri

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2.2.8 Exercise 2.2.8

S上の binary relationをR，Rによって preservedなS上の predicateをP とする．このときP がR∗によっても preservedであることをしめせ．

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2.2.9 Decreasing Chain

.

.. ..

.

.

S上の preorderな関係≤を仮定する．si ∈ Sについて∀ i ∈ N . si+1 < siが成り立つとき，列s1, s2, s3, . . . を関係≤の decreasing chainという．

ex.　”5, 4, 3, 2, 1”

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2.2.10 Well Founded

.

.. ..

.

.

S上の preorderな関係≤を仮定する．leqが無限の decresing chainを持たないとき，≤はwellfoundedという．

ex.N上の<はwell founded(0 < 1 < 2 < . . . )

ex.R上では not well founded(· · · < −1 < 0 < 1 < . . . )

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2.3.1 Sequences

.

.. ..

.

.

sequenceは，要素を “,”で区切りながら並べて書く．ただし本書において，“,”はConsとAppendの両方の意味で書くので注意．... ..

.

.1..n ： 1から nまでの sequence

.

.. ...

.| a | ： sequence aの長さ... ..

.

.• ： 空の sequence

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2.4.1 AXIOM: Ordinary Inductionon N

P (0) ∀i ∈ N. P (i) → P (i+ 1)∀n ∈ N. P (n)

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2.4.2 AXIOM: Complete Inductionon N

(∀i ∈ N, i < n. P (i)) → P (n)∀n ∈ N. P (n)

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2.4.3 Lexicographic Order(Dictionary Order)

(m,n) ≤ (m′, n′)⇔ m < m′ or (m = m′ and n ≤ n′)

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2.4.4 AXIOM: LexicographicInduction

(∀m′, n′ ∈ N, (m′, n′) < (m,n). P (m′, n′)) → P (m,n)∀m,n ∈ N. P (m,n)

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2.4.4 Lexicographic Induction

Lexicographic Inductionはnested inductionの基礎であり、帰納法による証明を”by an innerinduction”で継続します．また 3つや 4つの組などへと一般化できます．（ペアはよく使われ，3つ組もたまに使います．ただ 4以上は稀です．）Chapter3のTheorem 3.3.4では，structuralinductionと呼ばれる別形式の帰納法を紹介します．これは termや型導出のような木構造の証明に特に便利です．帰納的な論法の数学的の基礎はChapter 21で詳しく考えます．これらの特殊な帰納法はある 1つのアイディアのインスタンスだということがわかるでしょう．齋藤　啓太 () TaPL 名古屋 #2 2012 年 2 月 18 日 33 / 34

おわりに

以上．．．

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