Bevezet megjegyzsek

A kvetkez 11 fejezet a gpszmrnki, a mezgazdasgi s lelmiszeripari gpszmrnki, valamint a mechatronikai mrnki BSc kurzusokon meghirdetett Mszaki htan tantrgy ismeretanyagnak lnyegi rszt tartalmazza. A teljes vizsgaanyag a lertakon tl az eladsokon elhangzott kiegsztseket is magban foglalja. Az sszelltott anyag elsdleges clja a BSc-s hallgatk vizsgra val felkszlsnek segtse, ugyanakkor hangslyozand, hogy az sszelltott tananyag lektorlatlan s nem is kellen szerkesztett. Ezrt nincs egysges keretbe foglalva, aprbb tvedseket, elrsokat tartalmazhat, amelynek korrekcijra ugyancsak az eladsokon kerlt sor. Ebbl kvetkezen az esetleges pontatlansgok nem jelenthetnek hivatkozsi alapot a vizsgz szmra. A tananyag kizrlag a Szent Istvn Egyetem Gpszmrnki Karnak hallgati szmra kszlt, msoknak tovbbadni, rszben, vagy egszben egyb clra hasznlni a szerzi jogot szablyoz trvnybe tkzik. Gdll, 2009. december Dr. Beke Jnos

11

1. A termodinamika alapjai

1.1. A termodinamikai rendszer rtelmezseAz adott esetben szemgyre vett, termodinamikailag vizsgland anyagfajtk sszessgt rendszernek nevezzk. Ami ezen kvl esik, az a rendszer krnyezete. A rendszert a krnyezettl elvlaszt hatr (hatrol fal) valsgos s ltszlagos is lehet, de meghzsa mindenkppen nknyes, cljainktl fgg. A hatrol falon belli rendszert termodinamikai testnek, vagy modellnek is szoks nevezni.

1.1.1. A rendszer felptseA mrnki gyakorlatban a termodinamikai rendszer ltalban hrom klnbz aggregcis s bels rendezettsgi fok halmazllapotban jelenik meg, gymint gz (gz), folykony s szilrd. A gz (gz) s folykony halmazllapot rendszereket fluidrendszereknek, a folykony s szilrd halmazllapot rendszereket sszefoglalan kondenzlt rendszereknek nevezzk. A gz-halmazllapot rendszerek alkot egyedei kztt hat intermolekulris erk oly kicsik 0,40,8 kJ/mol nagysgak , hogy sajt alakjuk s bels szerkezetk nincs, a mozgsukhoz rendelkezsre ll teret teljesen betltik. Gzokrl akkor beszlnk, amikor a krlmnyek olyanok, hogy kondenzlds nknt nem kvetkezhet be, a gz folyadk kondenzcis folyamat termodinamikailag lehetetlen; a gzk viszont olyan gz-halmazllapot rendszerek, amelyben az nkntes gz folyadk kondenzcis folyamat termodinamikailag lehetsges akkor is, ha esetlegesen nincs is jelen a rendszerben. Tkletes gz esetn a molekulk kztti vonzerket teljesen elhanyagoljuk, ezen kvl felttelezzk, hogy a molekulk csak pontszer testek, amelyeknek kiterjedse az egsz gztrfogathoz kpest elhanyagolhatan kicsi. Ez az llapot teht csak idelis hatrllapot, ami megfelelen kis nyomson s megfelelen nagy hmrskleten legfeljebb csak jl megkzelthet. Egyb esetekben relis (valsgos) gzokkal van dolgunk. A kznsges gzok (pl. leveg) 105 Pa=0,1 MPa=1 bar (1 atm) krli nyomson s a szobahmrsklet krnyezetben ltalban tkletes gzoknak tekinthetk. 13

A folykony halmazllapot rendszerekben a viszonylag nagy kohzi sem teszi mg lehetv, hogy az alkot egyedek meghatrozott egyenslyi helyzethez legyenek rgztve. Ennek kvetkeztben a folyadkoknak nll trfogatuk mr van, alakjuk mg az ket tartalmaz edny alakjtl fgg. A szilrd halmazllapot rendszerek sajt alakkal s sajt trfogattal rendelkeznek. Bennk az alkot egyedi rszecskket a kterk meghatrozott egyenslyi helyzethez, a kristly rcspontjaihoz ktik, vagy nem alakul ki rendezett kristlyos szerkezet, hanem a rendszer szilrd llapotban is rendezetlen bels szerkezet, inkbb tlhttt folyadk jelleg (amorf rendszerek). Tkletes a kristly, ha benne teljes mind az atomi mret, mind a makroszkopikus rendezettsg s sem atomi mret, sem makroszkpos hibaszerkezet nincs; minden ms kristly relis kristly. Az olyan termodinamikai rendszereket, melyek belsejben nincsenek makroszkopikus elvlaszt felletek, s melyeken bell az intenzv llapotjelzk rtke minden pontban azonos rtk homogn rendszereknek vagy homogn fzisoknak nevezzk. Homogn rendszerekben a tulajdonsgok fggetlenek a helykoordintktl, gy a rendszer minden rszben megegyezk. Inhomogn a rendszer, ha legalbb egy tulajdonsg a helykoordintk monoton fggvnye, azaz legalbb egy olyan tulajdonsg van, ami a rendszernek nem minden rszben megegyez, de ennek rtke a rendszeren bell folytonosan vltozik. Az olyan termodinamikai rendszereket, melyek belsejben makroszkopikus hatrfelletek vlasztanak el egymstl rszrendszereket (fzisokat), amely rszrendszerek sajtsgai egymstl eltrek, heterogn rendszereknek nevezzk. Ilyen rendszer lehet pl. a folyadk s a vele rintkez gze vagy a teltett oldat s a megfelel kristly egyttese. A heterogn rendszerek teht olyan alrendszerekbl legalbb kettbl llnak, amelyeknek mindegyike nmagban ugyanolyan kmiai s fizikai sajtsgokkal rendelkezik, de az egyes alrendszerek egymstl legalbb egy fizikai vagy kmiai sajtossgukban klnbznek. Ezek az alrendszerek a heterogn rendszerek egyes fzisai. Adott fzishoz teht a rendszernek fizikailag s kmiailag ugyanolyan sajtsg rszei tartoznak (ugyanazon fzis pl. egy darab jg is s n darab jgkocka is!) Az egyes fzisok nmagukban lehetnek homogn vagy inhomogn rendszerek, de az egsz heterogn rendszerre vonatkozan legalbb egy tulajdonsguk a helykoordintk szakadsos fggvnye; azaz legalbb egy tulajdonsguk mrtke a kt fzis hatrn ugrsszeren vltozik (pl. a srsg a jg s a folykony vz hatrn). Ha a bizonyos termodinamikai vizsglatok, ill. trgyals szempontjbl nem jtszanak szerepet a helykoordintk, vagyis gy tekintjk a rendszert, hogy benne minden tulajdonsg a trben ugyanaz, termodinamikailag a rendszer uniform, egyntet. A heterogn rendszer maga, ill. annak egyes fzisai kln-kln is lehetnek tiszta egykomponens rendszerek, amelyek csak egyetlen alkotbl llnak, s 14

lehetnek tbbkomponens rendszerek, elegyek (homogn vagy inhomogn rendszerek), ill. keverkek (heterogn rendszerek), amelyek kt vagy tbb, kmiailag klnbz, egymstl fggetlen szm alkotbl llnak. A komponensek szma a rendszerben egymstl fggetlenl ltez anyagfajtk szma; ez a rendszerben lv sszes egyedi anyagfajtk szmnak s a kztk lehetsges kmiai reakcik szmnak klnbsgvel egyenl. A rendszer tulajdonsgai ltalban lehetnek egyrszt a rendszer kiterjedstl, ill. a rendszerben lv anyag mennyisgtl nem fgg intenzv sajtossgok (ilyen a nyoms, a hmrsklet, a kmiai potencil, a felleti feszltsg stb.), msrszt a rendszer kiterjedsvel, ill. a rendszerben lv anyag mennyisgvel arnyos n. extenzv sajtsgok (tmeg, trfogat, anyagmennyisg, egyes termodinamikai llapotfggvnyek, fellet stb.). Ha az extenzv sajtossgok rtkt osztjuk a vizsglt anyagi rendszernek (komponensnek) a tmegvel, fajlagos mennyisgekhez jutunk. Ha az extenzv sajtossg rtkt a vizsglt anyagi rendszer, ill. komponens kmiai anyagmennyisgvel osztjuk, molris mennyisgekhez jutunk. A fajlagos mennyisgek jele ltalban az adott extenzv mennyisgek kisbets jelei. A fajlagos s molris sajtsgok mindig intenzv sajtsgok, lvn ugyanis definciszeren is intenzvek mindazon mennyisgek, amelyek kt extenzv mennyisg hnyadosaknt kaphatk meg. Fordtva ez nem ll, mert nem minden intenzv mennyisg llthat el kt extenzv mennyisg hnyadosaknt; csak az n. jellemz intenzv mennyisgek, mint pl. a nyoms, a hmrsklet stb.

1.1.2. KlcsnhatsokA termodinamikai rendszer s krnyezet kztt a hatrol falak tulajdonsgaitl fggen tbbfle klcsnhats jhet ltre. Az egyik legismertebb klcsnhats a mechanikai. A rendszer mechanikai munkt vgezhet a krnyezeten, vagy a krnyezet a rendszeren. A termikus klcsnhats sorn hmennyisg ramlik a rendszerbl a krnyezetbe, ill. krnyezetbl a rendszerbe. A tmeg klcsnhats sorn a rendszer s krnyezet anyagot cserlhet. Termszetesen a felsoroltakon kvl ms klcsnhatsok is lejtszdhatnak a rendszer s krnyezete kztt, pl. elektromos, mgneses stb. folyamatok, ezek vgs soron a mechanikai klcsnhatssal analg folyamatokat jelentenek. A tovbbiakban a termodinamika trgykrvel szoros kapcsolatban lev, az elzleg felsorolt hrom klcsnhats vizsglatra helyezzk a hangslyt. A termodinamika rendszert a krnyezettl elvlaszt falakat a felsorolt klcsnhatsok alapjn a kvetkez csoportokba soroljuk: Merev fal, amely minden mechanikai klcsnhatst meggtol, illetve deformld fal, amely lehetv tesz.

15

Lernykol fal, amely lehetetlenn teszi kls (mgneses, elektromos stb.) erterek befolyst. Nem tereszt vagy flig tereszt fal, amely minden anyag, ill. csak egyes anyagok thatolst akadlyozza meg. Diatermikus fal, amely lehetv teszi vagy adiatermikus fal, amely megakadlyozza a hhats formjban jelentkez (termikus) klcsnhatst. Az adiatermikus, nem tereszt s egyben lernykol falakat, melyek teht csak a mechanikai klcsnhatst engedik meg, adiabatikus falaknak, az ilyen falakkal hatrolt rendszert pedig adiabatikus rendszernek, a bennk lejtszd folyamatokat pedig adiabatikus folyamatoknak nevezzk.

1.1. bra. A termodinamikai rendszerek rtelmezse a zrt, b nyitott, c izollt (magra hagyott)

A termodinamikai rendszereket alapveten zrt s nyitott rendszerekre oszthatjuk. A rendszer zrt, ha a tmeg klcsnhats kivtelvel minden ms, energia jelleg klcsnhatst megengedhet, azaz az ilyen rendszer deformld, nem lernykol, nem tereszt, diatermikus fallal rendelkezhet (1.1/a. bra). A nyitott rendszer (1.1/b. bra) az elzeken tl a tmegklcsnhatst is megengedi. A nyitott s zrt rendszerekre vonatkoz termodinamikai egyenletek egymstl eltrek s csak a megfelel rendszerre alkalmazhatk, ezrt rendkvl fontos, hogy vizsglataink kezdete eltt felismerjk, hogy a krdses rendszer mely csoportba sorolhat. Azt a rendszert, mely krnyezettl minden klcsnhatssal szemben el van szigetelve, izollt, vagy magra hagyott rendszernek nevezzk (1.1/c. bra).

16

1.2. A termodinamikai rendszer egyenslya1.2.1. A nulladik fttelA tapasztalat szerint az izollt rendszerben egy id utn minden makroszkopikusan rzkelhet folyamat megsznik. Egy nem egyenslyi rendszerben ugyanis olyan folyamatok indulnak el, amelyek igyekeznek a rendszer bels inhomogenitst megszntetni (pl. kiegyenltdik a nyoms, a hmrsklet stb.). A klnbsgek folyamatos cskkensvel a folyamatok lelassulnak, vgl teljesen megsznnek. A rendszer nyugalomba kerl. Ilyenkor a rendszerben a termodinamikai egyensly llapota ll el. Ez az egyensly mindaddig fennmarad, amg a rendszert valamilyen kls behats nem ri. Az egyenslyi llapot kialakulsnak felttelei erterek hatstl mentes rendszer esetn a kvetkezkben foglalhatk ssze. Termikus egyensly: a hmrsklet a rendszer minden pontjban azonos. Mechanikai egyensly: a nyoms a rendszer minden pontjban azonos. Fzisegyensly: a fzisok mennyisge s sszettele a rendszeren bell lland. Kmiai egyensly: a komponensek mennyisge lland, a kmiai potencilok rtke a rendszeren bell azonos. A termodinamikai egyensly vizsglata kzben szerzett tapasztalatokat a termodinamika 0. fttele foglalja ssze. A magra hagyott (minden klcsnhatssal szemben tkletesen szigetelt) termodinamikai rendszer akkor van egyenslyban, ha benne semmilyen makroszkopikus vltozs nem szlelhet, ebben az esetben az intenzv llapotjelzk a rendszeren bell homogn eloszlsak. Ha kt vagy tbb egyenslyban lv termodinamikai rendszer egymssal klcsnhatsban van, vagyis nincsenek egymstl minden klcsnhatssal szemben elszigetelve, akkor a vizsglt rendszereknek annyi olyan, minden rendszerben azonos rtk intenzv tulajdonsga van, mint ahny klcsnhatssal szemben a hatrol falak tjrhatk. A fttel egy ms megfogalmazsban is kimondhat: A klcsnhatsban ll rendszerek egyenslynak szksges s elegend felttele a lehetsges klcsnhatsokhoz tartoz intenzv llapotjelzk empirikus intenzits paramterek egyenlsge. A termodinamikai egyensly tranzitv. Ez azt jelenti, hogy ha az A rendszer egyenslyban van a B rendszerrel, a B pedig a C rendszerrel, akkor az A rendszer egyenslyban a van a C rendszerrel. A termodinamikai egyensly szimmetrikus, azaz ha az A rendszer egyenslyban van a B rendszerrel, akkor a B rendszer is egyenslyban van az A rendszerrel.

17

1.2.2. Az egyenslyi llapotA termodinamikban rtelmezett egyensly mindig dinamikus egyensly. A makroszkopikus vizsglat szerinti vltozatlan kp mgtt mindig egy dinamikusan vltoz mikroszkopikus kp van. A rendszert felpt nagyszm rszecske igen sokfle mozgst vgezhet, s nagyszm klcsnhatsban vehet rszt. A rszecskk nagy szma s sokfle mozgsformja igen nagyszm kombincis lehetsget nyjt. Minden a rendszert hatrol fal ltal megszabott felttel szerint megengedett kombincis lehetsg egy-egy mikrollapotot hatroz meg. Az esetek dnt tbbsgben a legvalsznbb mikrollapotok ltal ltrehozott makroszkopikus llapot az, melyet meg tudunk figyelni. Az egyenslyi llapot ltezsnek megllaptsa mellett meg kell vizsglni ezen llapot reproduklhatsgt is. A reproduklhatsg felttele, hogy az egyenslyi llapotot egyrtelmen definilni tudjuk. Korbban mr definiltuk az llapotjelzket, mint a termodinamikai rendszer llapotnak egyrtelm jellemzit. A tovbbiakban induljunk ki e defincikbl. A tapasztalat szerint a termodinamika rendszer llapott jellemz mutatk nem mind fggetlenek egymstl. Vannak pldul definciszer kapcsolatok, mint a srsg s a fajtrfogat kztt, de vannak a fizikai kpbl add fggvnykapcsolatok is. Ilyen kapcsolat van a prolg folyadk nyomsa s hmrsklete kzt. Ha a nyoms megvltozik, trvnyszeren mdosul a prolgsi hmrsklet is. Az egymstl fggetlen llapotjelzk szma a rendszer felptstl fgg, de minden esetben vges szm, s az sszes tbbi llapotjelz kiszmthat ezek fggvnyeknt. A lertak alapjn az egyenslyi llapot reproduklhatsga visszavezethet az llapot vges szm llapotjelzvel trtn megadsra. A gyakorlatban mgis szmos olyan pldval tallkozunk, melyek ltszlag megkrdjelezik az egyensly egyrtelm definilhatsgt. Ilyen pldul az alhttt folyadkok ltezse; vagy az azonos hmrsklet kovcsolt s nem kovcsolt acl kztti eltrs stb. A problma azonban csak ltszlagos, mivel az egyrtelmen magyarzhat az egyenslyi llapot stabilitsval. Sok olyan makroszkopikus llapot van, amely nem stabil. Ezek az llapotok kisebb zavars hatsra vagy ugrsszeren tvltanak stabil llapotba (a tlhttt folyadk hirtelen megfagy), vagy a megfigyel szmra igen lass folyamat indul meg, mely a rendszert az egyenslyi llapot fel viszi (tkristlyosods). Mindezekbl kitnik, hogy az egyenslyi llapot megadsnl igen fontos szerephez jut az id. rtelmezzk az egyenslyi llapot stabilitst a mechanikbl jl ismert egyszer pldk segtsgvel. A stabil egyenslyi llapotban lv rendszert megzavarva, az egy id utn ugyanazon egyenslyi llapotba tr vissza (1.2/a. bra). A metastabil egyenslyi llapot rendszer zavars hatsra a zavars nagysgtl fggen vagy visszatr a kezdeti egyenslyi llapotba, vagy egy ms egyenslyi llapotba 18

kerl (1.2/b. bra). Az egyensly lehet semlegesen stabil is ekkor, akkor tetszleges zavars hatsra sem tr ki a rendszer egyenslyi llapotbl (1.2/c. bra) s lehet a rendszer labilis egyenslyi llapotban, akkor brmilyen csekly mrtk zavars hatsra az egyensly azonnal megsznik (1.2/d. bra). A termodinamikai egyensly stabilitsnak krdst vizsglva, elbb 1884ben H. L. Le Chatelier, majd 1887-ben F. Braun megllaptotta, hogy a stabilis egyenslyi llapotban lv rendszerek igyekeznek kitrni a rjuk hat knyszer ell. A rendszereknek ezt a tulajdonsgt a kvetkezkpp szoks megfogalmazni: Ha stabilis egyenslyi llapotban lv rendszerek egyenslyt megzavarjuk, akkor a rendszerben olyan termodinamikai folyamatok zajlanak le, melyek a kls hatst cskkenteni, ill. megszntetni igyekeznek. Ezt Le ChatelierBraunfle elvnek nevezni a tudomny.

c

b1.2. bra. Az egyenslyi llapotok stabilitsa a stabil, b metastabil, c semleges, d labilis

d

A 0. fttel kapcsn lttuk, hogy a termodinamikai egyensly felttele az intenzv jellemzk azonossga. Pldul a termikus klcsnhatshoz tartoz empirikus intenzitsparamter a hmrsklet. (Az empirikus intenzitsparamterek elnevezsben az empirikus jelz arra utal, hogy az adott intenzitsparamter skljt empirikusan kell meghatrozni.) A termodinamikai rendszerek termikus egyenslynak felttele teht a hmrsklet egyenlsge. (A hmrsklettel a termodinamikai llapotjelzknl, az 1.3.1. fejezetben foglalkozunk rszletesebben.)

1.3. A termodinamikai rendszer llapotjellemziA rendszer tulajdonsgait termodinamikai szempontbl jellemz adatok sszessge hatrozza meg a rendszer llapott. A termodinamika az anyagi rendszerek llapott, tulajdonsgait, illetve a bennk vgbemen folyamatokat bizonyos makroszkopikus jellemzk, az gynevezett llapothatrozk (llapotjelzk, llapotvltozk) segtsgvel rja le. Az llapotjelzk segtsgvel a rendszer llapota s a vele kapcsolatos folyamatok kvantitatv mdon jellemezhetk. Az llapotjelzk kztti idben tarts kapcsolatot az llapotfggvnyek 19

rjk le, s az llapotfggvnyek adott felttelrendszernek megfelel megoldsai az llapotegyenletek.

1.3.1. llapotjelzkA termodinamika alapvet mennyisgei az llapotjelzk. llapotjelzknek nevezzk azokat a jellemzket, melyek egyrtelmen meghatrozzk egy anyag termodinamikai llapott. Az llapot jellemzse a termodinamikban makroszkopikusan mrhet mennyisgekkel trtnik. A kzeg llapott olyan mennyisgek jellemzik, amelyeket a fizika klnbz gai definilnak, pl. a hmrskletet a termodinamika, a nyomst az ramlstan stb. Az llapotjelzk makroszkopikus tulajdonsgok, a rendszer llapotnak egyrtelm (egyrtk) fggvnyei, csak a rendszer pillanatnyi llapottl fggenek s fggetlenek a rendszer elz llapottl, valamint attl az ttl, amelyen keresztl a rendszer az adott llapotba jutott, tovbb ms llapotjelzk egyrtelm fggvnyei. A lertakbl kvetkezik, hogy minden llapotjelz makroszkopikus tulajdonsg, de nem minden makroszkopikus tulajdonsg llapotjelz. Az llapotjelzk lehetnek skalr-, vektor- s tenzormennyisgek. Pldul a hmrsklet skalr-, a sebessg vektor-, a feszltsg pedig tenzormennyisg. Ha valamely tulajdonsg llapotjelz, akkor annak minden monoton fggvnye is annak tekinthet. A termodinamikai rendszer jellemzsre az llapotjelzkn kvl anyagjellemzk is szksgesek, amelyeket fzisjellemz mennyisgeknek is neveznek. Ilyen pldul a fajh, a kbs htgulsi egytthat, a hvezetsi tnyez, vagy a dinamikai viszkozits. Az llapotjelzket kt csoportba soroljuk. Termodinamikai llapotjelzk: fajtrfogat (v) nyoms (p) hmrsklet (t) Kalorikus llapotjelzk: belsenergia (u) entalpia (h) entrpia (s) A testek trfogata melegts s hts folyamn vltozik, azaz a trfogatvltozs a hmrsklet fggvnye. Kzenfekv az a megllapts, miszerint egy meghatrozott anyagmennyisg m3-ben mrt trfogata az anyag llapott jellemz mennyisg. A fajtrfogat (v) az egysgnyi tmeg anyag trfogata:

v=

V m

(m3/kg).

(1.3)

Reciproka a srsg:20

=

1 m = v V

(kg/m3).

(1.4)

A fajtrfogat ismerete azonban nmagban nem elegend egy test llapotnak lersra. A trfogat fggvnye a nyomsnak is. A nyoms (p) ugyancsak a test llapott meghatroz mennyisg, teht llapotjelz. A nyoms az sszernek a felletegysgre es rsze. p= F . A (1.5)

A nyoms mrtkegysge a Pascal (Pa), illetve a bar. 1 Pa=1 N/m2=105 bar. A lgkr kzepes nyomsa 760 torr, ezt korbban fizikai atmoszfrnak neveztk. A mszaki gyakorlatban a technikai atmoszfrval szmoltak, amelynek nagysga 735,5 torr, vagyis 1 kp/cm2 = 9,81.104 Pa. A szakirodalomban gyakrabban elfordul nyomsegysgeket, ill. ezek tszmtst az 1.1. tblzatban foglaltuk ssze. Az atmoszferikus nyomst baromterrel, az atmoszferikus nyomsnl nagyobb nyomst manomterrel, s az atmoszferikusnl kisebb nyomst vkummterrel mrjk. A technikai nyomsmr mszerek rendszerint a tlnyomst (pt), vagy az alnyomst (pa) mrik, a pillanatnyilag uralkod po lgnyomssal szemben, vagyis nyomsklnbsget mrnek. A valdi vagy abszolt nyomst szmolnunk kell.1.1. tblzat. A nyomsegysgek tszmtsa Pa=N/m 1 Pa 1 bar 1 torr 1 kp/m2 1 kp/cm 1 lb/sqin 1 105 2

bar 105

torr 7,5.103 750 1 0,07355 735,5 51,71

kp/m2 0,102 1,02.104 13,595 1 104

kp/cm2 1,02.105 1,02 1,36.103 104 1 0,0703

lb/sqin 1,45.104 14,5 19,33.103 14,22.104 14,22 1

1 1,333.103 9,81.105 0,981 0,06894

1,333.102 9,81 9,81.104 6,894.103

703

A htan egyenleteiben mindig abszolt nyomsokat kell helyettesteni. Az abszolt nyoms tlnyoms s alnyoms esetn: p=pabsz=po+pt p=pabsz=popal (Pa), (Pa). (1.6) (1.7)

Trfogatvltozs lehetsges vltozatlan nyoms esetben is, a test hmrskletnek vltozsa hatsra. De felfoghat gy is, hogy egy adott trfogatba knyszertett gz nyomsa a hmrsklet hatsra vltozik. [v=f(t)p=ll., ill. p=f(t)V=ll.] 21

p (Pa)

Olvads Fagys

750 700 650 600

Jg

VzKondenzci

p=610,5 Pa Kondenzci 0,01 C 0

Elgzlgtets Hrmaspont

500

Szublimci 0,5

Gz (gz)+0,5 t (C)

1.3. bra. A vz hrmaspontja

Ebbl kvetkezik, hogy valamely anyag llapott meghatroz harmadik llapotjelz a hmrsklet. A mr emltett kt llapotjelz (v, p), ill. a termodinamika ltal hasznlt mrtkegysgek geofizikai vonatkozs vagy geofizikai alapegysgekbl szrmaztathatk. A hmrsklet (a gyakorlati termodinamikban) azonban sem egyik, sem msik kategriba nem tartozik. A hmrskletklnbsgek a meleg, ill. hideg fiziolgiai rzkelse alapjn llapthatk meg, ami nem lehet az objektv mrs alapja. A szubjektv rzkels helyett, objektv s minden esetre reproduklhat mdszert kellett vlasztani. Alkalmas erre a testek h okozta trfogatvltozsa. A reproduklhatsgot oly mdon lehet biztostani, hogy a skla kt kitntetett pontjt egy brhol s brmikor megismtelhet fizikai jelensghez kell ktni. A legltalnosabban hasznlt Celsiusskla alappontjnak als vonatkozsi hmrsklete a jg olvadspontja 760 torr nyomson. Itt a sklartk nulla, teht a hmrsklet 0 oC. A fels vonatkozsi hmrsklet a vz forrspontja szintn 760 torr nyomson. A sklartk itt 100, teht a hmrsklet 100 oC. A skla lineris, teht a tvolsg 100 egyenl rszre van osztva. Egy oszts, az egysg a Celsius-fok (oC). A fagyspont helyett a termodinamikai hfokskla alappontja a legjabb nemzetkzi egyezmny szerint a vz 273,16 K-nl lv hrmaspontja, mely hsszor pontosabb a fagyspontnl (1.3. bra). A Kelvin-skln a jgpontban 273 K (273,16 K) s a forrpontban 373 K a hmrsklet. A kett kztti tvolsg itt is 100 egyenl rszre van osztva. gy a kt skla kztti tszmts, ha a K-ban mrt hmrskletet T-vel jelljk: T=273+t. 22 (1.8)

0 K-nl van az abszolt nulla pont. A Kelvin-sklt abszolt sklnak is nevezik. A Fahrenheit-sklnl a jgpont 32 oF, a forrpont 212 oF. A kett kztti tvolsg 180 egyenl rszre van osztva. A Fahrenheit- s a Celsius-skla kztti tszmts: t ( o C) = 5 [ t ( o F) 32] . 9 (1.9)

Az angolszsz orszgokban a Fahrenheit-skla abszolt prjaknt a Rankine-sklt hasznljk, melynek nullpontja az abszolt 0 K, beosztsa megegyezik a Fahrenheit-skla osztsval. A Reaumur-sklt a teljessg kedvrt emltettk meg. A jgpontnl a 0 oR, mg a forrspontnl 80 oR a hmrsklet. A kett kztti tvolsg 80 egyenl rszre van osztva. A klnbz hfok-sklk sszehasonltst az 1.4. bra mutatja.C A vz forrspontja 100 100 100 K 373 180 F 212 180 R 671,4 80 491,4 0 R 80

A jg olvadspontja

0

273

32

1.4. bra. Hmrsklet-sklk

(A kalorikus llapotjelzket, mint a termodinamikai rendszer energiatartalmval kapcsolatos jellemzket, rszletesebben majd az 1.4. fejezetben ismertetjk).

1.3.2. llapotfggvnyek, llapotegyenletekAz llapotjelzk kztti fggvnykapcsolatrl azt tudjuk, hogy azok egyrtk monoton fggvnyek. Az extenzv llapotjelzk klnleges tulajdonsga az additivits. Knnyen belthat, hogy egy egyenslyi rendszer mindig meghatrozhat pusztn extenzv llapotjelzkkel. A levezetst s a bizonytst mellzve kimondhat, hogy egy egyenslyi rendszer esetben az extenzv llapotjelzk kztt homogn elsrend fggvnykapcsolat ll fenn. 23

Azt az sszefggst, amely megfogalmazza az llapotjelzk kztti termodinamikai kapcsolatot llapotfggvnynek, megoldst pedig llapotegyenletnek nevezzk. A termodinamikai rendszer llapotfggvnynek legltalnosabb implicit alakja (ha eltekintnk az elektromos, mgneses, ill. gravitcis ertr hatstl) azf(p, V, T, n1, n2 ... nn)=0

(1.12)

kifejezs, ahol n1, n2... az egyes komponensek anyagmennyisge. Idelis gzok esetben az (1.12) fggvnynek az anyagi minsgtl fggetlen, s brmilyen viszonyra rvnyes megoldsa ltezik. Relis gzokra viszont ltalnos, kvantitatve helyes megolds nincs. A valsgos gzok llapotegyenletei a kvnt pontossgtl fggen bonyolultabbak s klnbznek egymstl. Az llapotegyenlet azt jelenti, hogy a vizsglt rendszer llapotban vltozs megy vgbe, azaz a rendszerben bizonyos folyamat jtszdik le, akkor az llapotjelzk gy vltoznak meg, hogy a szemgyre vett rendszerre nzve az llapotegyenlet ltal megadott sszefggs minden idpillanatban minden llapotjelz rtkegyttesre rvnyes marad. Az egyes rendszerekben vgbemen klnbz llapotvltozsok tja szemlletess tehet, ha az ezt indikl llapotjelz-vltozsokat grafikusan brzoljuk. Ez az eljrs gyakorta praktikus, mert sokszor kikszblhetk a bonyolult matematikai sszefggsek, ugyanakkor a szemlltets olyan sszefggsek felfedezst is segti, amelyek a mrnki tevkenysg hatkonysgt jelentsen fokozhatjk.

1.3.3. Az llapotfggvny megoldsai idelis gzokraA termodinamikai llapotjelzk kztti interakcit megfogalmaz (1.12) llapotfggvny megoldshoz a klasszikus termodinamika megfigyelsekre s mrsekre alapozva fogalmazta meg azokat az elemi fggvnykapcsolatokat, amelyeket sszefoglal nven gztrvnyeknek neveznk. Gay-Lussac 1802-ben felismerte s rgztette az els trvnyszersgeket, a v=f(t) sszefggst. Arra a megllaptsra jutott, hogy a v=f(t) fggvny egyeneseket ad, amelyek egy pontban a t=273,16 oC-nl metszik az abszcisszt (1.6. bra). Ezrt felrhat, hogy

v 1 t 1 + a t 1 + 273 = = . v 2 t 2 + a t 2 + 273

(1.13)

Egyszerbb alak addik, ha az egyenletbe T=t+273 (K) helyettestst alkalmazzuk, azaz ha a hmrsklet-skla nullpontjt az abszolt 0 pontba helyezzk. Az abszolt hmrskletek alkalmazsval Gay-Lussac I. trvnye a kvetkez egyszerbb alakban rhat fel:24

v 1 T1 = . v 2 T2

(1.14)

Az sszefggs alapjn Gay-Lussac I. trvnye teht szavakban megfogalmazva: lland nyomson a fajtrfogatok gy arnylanak egymshoz, mint a hozzjuk tartoz abszolt hmrskletek. (Megjegyezzk, hogy ezt a trvnyszersget 2 vvel korbban Charles francia fizikus is felismerte, ezrt nha CharlesGay-Lussac trvnynek is hvjk).v

t 273 C

v1

ll. = p2 . p 1=ll

01.6. bra. Idelis gzok v=f(T) fggvnye

v2

+273 C +t

Mr az 1.6. brbl is kitnik, hogy a fajtrfogat (v) a nyomsnak is fggvnye, teht az eddigieket a v=f(p) fggvny megoldsval ki kell egszteni. Boyle (1662) s Mariotte (1676) egymstl fggetlenl ismerte fel s adta meg a v=f(p) sszefggst. (Egszen pontosan a Boyle ltal felismert trvnyt Mariotte fogalmazta meg matematikai formban.) A p-v koordintban a T=ll. vonalak egy egyenl oldal hiperbolt adnak (1.7. bra), amelynek asszimptoti a koordinta-tengelyek s egyenlete: pv=p1v1=p2v2, illetve (1.15/a) (1.15/b)

v1 p 2 . = v 2 p1

Az (1.15/b) azt fejezi ki, hogy lland hmrskleten a gzok fajtrfogata fordtva arnyos a nyomssal. Az lland hmrskletgrbt (hiperbolt) izotermnak nevezzk. Az elz kt egyenlet segtsgvel felrhat a harmadik sszefggs is: 25

2.v1

2.v2

p 1 T1 = . p 2 T2

(1.16)

Ez Gay-Lussac II. trvnye (1820). Kimondja, hogy lland trfogaton a gzok nyomsa gy arnylik egymshoz, mint a hozzjuk tartoz abszolt hmrskletek. Gay-Lussac I. trvnye analgijra felrajzolhat a p=f(t) fggvny v=konstans rtkeknl (1.8. bra).p

p2

2

p1

1T=ll . (hipe rbola )

v2

v1

v

1.7. bra. Idelis gzok v=f(p) fggvnye

Az 1.6. s 1.8. brkbl azt a kvetkeztetst lehetne levonni, hogy az abszolt 0 pontban a gzok nyomsa s trfogata is zrus, vagyis, hogy itt a gzok elvesztik anyagi jellegket, ami kizrt. A fenti megllaptsokat csak idelis gzokra fogadhatjuk el. Az abszolt nullaponttal kapcsolatos krdsek a klasszikus termodinamika eszkzrendszervel teljes egszben nem vlaszolhatk meg. A krdskr tisztzsra a statisztikus termodinamika ad lehetsget. pldul a nullponti entrpia rtelmezsben a fenomenolgia s a statisztikus mechanika kztt bizonyos ellentmonds van. Erre a problmra az 1.6. fejezetben trnk vissza. Az ismertetett hrom gztrvnnyel brmely tetszleges llapotban, ha legalbb kt llapotjelz ismert, kiszmthat a harmadik, ill. ha egy ismert (p1, v1, T1) llapotbl a gz egy tetszleges llapotba kerl, meghatrozhatk annak llapotjelzi. Ttelezzk fel, hogy az 1.9. bra szerinti 1. pontbl (p1; v1; T1) a 2. pontba kvnunk jutni. Valamennyi llapotjelz megvltozik (p2; v2; T2). Az 26

llapotvltozst kt lpsben tudjuk kvetni az 1-1' mentn (p=ll.) s 1'-2 (T=ll.) mentn.p

t 273 C

p1 p2

ll. = v2 v 1=ll.

01.8. bra. Idelis gzok p=f(T) fggvnye

+273 C +t

p

p

1

1

1'

p2

2 T = 2 ll. T =ll. 1

v1

v1'

v2

1.9. bra. A gztrvnyek ltalnostsa

A vonatkoz sszefggsek felhasznlsval az idelis kzegre rvnyes egyestett gztrvnyt kapjuk.

2.p1v

2.p2

27

p1 v 1 p 2 v 2 = . T1 T2

(1.17)

A (10.17) egyenlet egy-egy oldalnak rtke az adott anyagra jellemz szm, a gzlland (R). ltalnos esetre felrva: pv =R. T Rendezve az n. Clapeyron-egyenletet kapjuk pv=RT. Az egyenlet m tmeg gzra felrva: pV=mRT. (1.20) Az (1.20) formula a Clapeyron-egyenlet ltalnos formja, az idelis gzok ltalnos llapotegyenlete. A kpletbe a nyomst Pa-ban, a trfogatot m3-ben, a hmrskletet K-ban kell helyettesteni. A gzlland az anyagra jellemz szm, teht minden gzra klnbz, de egy gzra minden llapotban azonos. Az R gzlland azzal a munkval egyenl, melyet 1 kg tmeg gz vgez, ha p=ll. mellett hfokt 1 K-nel nveljk. Mrtkegysge az egyenlet alapjn J/kgK. A gyakorlatban a gzllandt rendszerint kJ/kgK dimenzival hasznljk. Az R anyagi jellemzt az n. univerzlis gzllandbl szrmaztatjuk, amelyet nem m tmegre, hanem M mlnyi mennyisgre vonatkoztathatunk. A Clapeyron-egyenlet mlnyi mennyisgre p(Mv)=(MR)T. Az (MR) szorzat az univerzlis gzlland (Ro) Ro=MR=8,315 kJ/Mol K. (1.22) (1.21) (1.19) (1.18)

A mltmeg ismeretben brmely gz gzllandja meghatrozhat, ugyanis Ro minden gzon s azok minden llapotra azonos.

1.4. A termodinamikai rendszer energiatartalma1.4.1. A termodinamika I. ftteleA termodinamika I. fttele az egyes energiafajok egyenrtk voltt kifejez tapasztalati trvny, amely lehetv teszi, hogy az energia klnbz fajtit 28

ms ekvivalens rtkkel fejezzk ki. Legltalnosabb megfogalmazsa kimondja, hogy energia nem keletkezhet a semmibl s nem is semmislhet meg, vagyis nem valsthat meg az n. els faj perpetuum mobile, azaz olyan gp, amely semmibl nyert energibl vgezne munkt. Ahhoz azonban, hogy az I. fttelt megfelel fizikai-kmiai szmtsok cljra alkalmazhassuk, matematikailag kell megfogalmaznunk. Mivel az I. fttel lnyegben az energiamegmarads trvnye, a vizsglt rendszer energiatartalmbl kell kiindulni. ltalnos esetben a rendszer sszes E energija az egsz rendszer sszessge makroszkpos trbeli helyzetnek megfelel Ep potencilis energibl, esetleges helyvltoztat mozgsainak megfelel Ek kinetikus energibl s bels energibl (U) tevdik ssze: E=U+Ek+Ep. (1.23) Nyugv rendszerben az Ek s Ep azaz a rendszer egsznek kinetikus s potencilis energija nem jtszik termodinamikai szerepet, a rendszer teljes energijt teht termodinamikai szempontbl a teljes rendszer bels energijval vehetjk egyenlnek E=U. (1.24) Ha valamely rendszer energiatartalmt meg kvnjuk vltoztatni, vagy ht (Q) kzlnk vele (vonunk el tle), vagy munkt (W) vgznk rajta (ill. munkt vgeztetnk vele). A belsenergia megvltozsa ltalnossgban U=Q+W (1.25) sszefggssel rhat fel, ahol mind a Q, mind W energia jelleg mennyisg. Ez valjban mr az I. fttel matematikai megfogalmazsnak tekinthet. A bels energiavltozs nem fgg az llapotvltozs jellegtl, csupn a kzeg eredeti s vgllapottl, teht a kzeg llapotnak a fggvnye, azaz llapotjelz. A munkt azonban kizrlag a kzeg kezdeti s vgllapota nem hatrozza meg, az fgg az llapotvltozstl is. A h s munka az energiatads megnyilvnulsi formi. A kt forma kztt a lnyeges klnbsg az, hogy a munka rendezett, irnytott folyamat a munkt vgz, rendszertl a munkt felvev rendszer fel, mg a h rendezetlen alak energiakicserlds az anyagi rszecskk rendezetlen (h)mozgsa kvetkeztben. A munka s h kztti klnbsg a termodinamika I. fttele szempontjbl mg nem rdekes, de alapvet fontossg lesz a termodinamika II. fttelnek rtelmezsnl.

29

1.4.2. Hkapacits, fajhA termodinamikai llapotfggvny s az energiafggvnyek hmrskletfggsnek szmtshoz a hkapacitsok ismeretre van szksg. A hkapacits az adott anyagi rendszer hmrskletnek 1 kelvinnel trtn emelshez szksges h. Mivel nem mindegy, hogy 1 kelvinnel milyen hfokrl nveljk a hmrskletet, a hkapacits maga is fggvnye a hmrskletnek s elssorban az anyagi minsgnek. A hkapacits definciegyenlett ezrt legclszerbb differencilis alakban felrni:dQ = C. dT

(1.26)

Ha a hkapacitst az adott anyagi rendszer tmegvel osztjuk, az egysgnyi tmeg anyagra vonatkoz fajlagos hkapacitst (fajh) kapjuk (c), ha a rendszer kmiai anyagmennyisgvel osztjuk, az 1 mol kmiai anyagmennyisg anyagra vonatkoz molris hkapacits (mlh, C) addik. Sem az extenzv mennyisg jelleg hkapacits, sem az intenzv mennyisg jelleg fajlagos, ill. molris hkapacits nem llapotfggvny, mert rtkk nem fggetlen az anyaggal val hkzls tjtl. Ha azonban megszabjuk a hkzls mdjt, az lland nyomsra vonatkoz molris hkapacitsra a

dQ Cp = , dT p illetve az lland trfogatra vonatkoz molris hkapacitsra a dQ CV = dT V

(1.27)

(1.28)

sszefggs rhat s ekkor mr mindkett llapotfggvny. A htechnikai szmtsokat rendszerint 1 kg tmeg anyagra vonatkoztatjuk, ezrt az intenzv jelleg fajh hasznlata a gyakoribb.c= dq dt

[kJ/kg K].

(1.29)

Ha kell gondossggal elvgznk egy melegtsi ksrletet a hkapacitsnl, azt tapasztaljuk, hogy a hmrsklet-emelkeds s a kzlt hmennyisg kztt nem lineris az sszefggs (1.10. bra). Az (1.29) egyenlet a grbe irnytangenst adja, teht a fajh a szg tangense. gy lehet a valsgos fajhvel kifejezni, hogy t1t2 hatrok kzt integrljuk.

30

q 1,2 = c dt = c k (t 2 t 1 )t1

t2

(1.30)

ck =

q 1, 2 t 2 t1

(1.31)

A krds oly mdon is megfoghat, hogy a valsgos fajh a kzepes fajh hatrrtke, ha t tart a zrushoz.2 [c k ]1 =

1 cdt t 2 t1 1

2

(1.32)

A gzoknl a hkapacitshoz hasonlan megklnbztetnk lland nyomson (cp) s lland trfogaton (cv) vett fajht.q [kJ/kg] 2 2

1

1 k t

t11.10. bra. A fajh hmrskletfggse

q t [C]

Annak megfelelen, hogy mekkora anyagmennyisgre vonatkoztatjuk, ezen bell hromfle fajh fogalmat hasznlunk majd. Tmegegysgre vonatkoztatva cp; cv (kJ/kg K). Mlnyi mennyisgre vonatkoztatva (molh) Cp; Cv (kJ/Mol K). Trfogategysgre vonatkoztatva C 'p , C 'v (kJ/m3 K). Ez utbbi esetben igen pontosan definilni kell az llapotjelzket is. Ezrt n. norml m3-re vonatkoztatjuk, amelyet a norml llapot megadsval hatrozunk meg. Megklnbztetnk fizikai norml llapotot (760 torr, 0 oC), illetve technikai norml llapotot (735,5 torr, 10 oC).

31

A mlh a tmegegysgre vonatkoztatott fajhbl szrmaztathat (M a molekula tmege). Cp=Mcp s Cv=Mcv. (1.33) (1.34)

Avogadro-trvnye rtelmben azonos nyomson s azonos hmrskleten minden gz azonos trfogatban azonos szm molekult tartalmaz. Ha M1 s M2 a gzok molekulatmegt, m1 s m2 a gzok tmegt, ill. z a molekulk szmt jelenti, rhat, hogy

m1=M1z,

ill.

m2=M2z.

(1.35)

A kt egyenlet elosztva egymssal: M 1 m1 = . M2 m2 (1.36)

Ha a jobb oldal szmlljt s nevezjt is elosztjuk V-vel s figyelembe vesszk, hogy a srsg a fajtrfogat reciproka, akkor az (1.37) sszefggssel megfogalmazott arnyokat rhatjuk fel: p1 M 1 v 2 = = , p 2 M 2 v1 amibl M1v1=M2v2. (1.37) (1.38)

Az (Mv) szorzat az n. mltrfogat, amely azonos nyomson s hmrskleten minden gzra ugyanaz. Ennek rtke a technikai norml llapotra vonatkozan 24 m3/Mol (7.35,5 torr, 10 oC), fizikai normlllapotra pedig ugyanez a paramter 22,414 m3/Mol) (760 torr, 0 oC). A klnbz gzok molekulris sszettelbl addan megklnbztethetnk egyatomos (Ar, He stb.) ktatomos (H2, O2, N2, CO, leveg stb.), ill. tbbatomos gzokat (CO2, H2O, gz-halmazllapot sznhidrognek stb.). A mlh s a kt fajh viszonyt jellemz hnyados, a rtke:

= A kt fajh klnbsge: cpcv=R

cp cv

=

Cp Cv

.

(1.39)

(kJ/kg K),

(1.40)

ahol R az 1.3.3. fejezetben definilt gzlland. A kt mlh klnbsge az univerzlis (vagyis minden gzra azonos rtk) gzllandt adja32

CpCp=Ro=8,315

(kJ/Mol K).

(1.41)

Az elzekbl lthat, hogy a hkapacits, illetve annak fajlagos rtke, a fajh, szempontjaink szerinti bzison adhat meg, rtke pedig fgg a termodinamikai rendszer llapotjelzitl, illetve az ott foly llapotvltozstl. Ezen kvl segtsgvel fontos anyagi llandk (, R) definilhatk.

1.4.3. A belsenergiaA rendszer belsenergija magban foglalja a makroszkposan nyugv rendszer transzlcis mozgsban lv egyes egyedi alkoti (atomjai, molekuli, ionjai stb.) halad mozgsnak, forgsnak s a kt- vagy tbbatomos komponensek alkot atomjai molekulin belli rezgseinek energijt (e hrom sszetev adja az n. termikus energit), gyszintn az egyes egyedeken belli elektronok, atommagok bels mozgsnak, valamint a kmiai ktseknek az energit. A kzlt hnek az a rsze, amely a bels energit nveli, kt rszbl ll, az egyik az rezhet meleg, amely az anyag hfokt nveli, a msik a kzeg halmazllapott vltoztatja meg. (A molekulris szerkezetet fellaztja). A bels energia extenzv mennyisg s a rendszer pillanatnyi llapotra jellemz, n. llapotfggvny. Ennek megfelelen egykomponens rendszere U U dU = dV + dT V T T V lthat, hogy a fenti sszefggs V=ll. esetn U dU = dT T V (1.43) (1.42)

alakra egyszersdik. A jobb oldal els tagja pedig az (1.28) egyenlet rtelmben az izochor hkapacitssal egyenl, vagyis a bels energia vltozsa dU=CvdT. A belsenergia fajlagos rtke a fajh segtsgvel szmthat: du=cvdT (kJ/kg). (1.45) Ezek szerint a gz belsenergija szmszeren azzal a melegmennyisggel egyenrtk, amely 1 kg-nyi tmegnek hmrsklett 0 oC-rl t oC-ra emeli izochor viszonyok kztt. Az sszefggsbl az is kiolvashat, hogy az idelis gz bels energija csak rezhet melegbl ll. Ennek oka, hogy a tkletes gzok molekuli nem gyakorolnak vonzert egymsra. A bels energia abszolt rtkt nem ismerjk, mert ahhoz el kellene rni az abszolt nulla fokot. Ezrt (s azrt is, mert a 33 (1.44)

mszaki folyamatoknl vltozsa sokkal lnyegesebb) teljesen nknyesen a bels energia zrus rtkt a 0 oC-hoz rendeljk. Az (1.25) sszefggs alapjn kimondhat, hogy a zrt rendszer bels energijt hkzlssel s/vagy munkavgzssel tudjuk megvltoztatni, amit az (1.46) kplet fejez ki dU = dQ + dW . (1.46)

Ez azt is jelenti, hogy a rendszer bels energija a rendszerrel kzlt hvel arnyosan nvekszik, mg a rendszer ltal vgzett munkval arnyosan cskken. A termodinamika ftteleit aximknak tekintve megllapthat, hogy minden termodinamikai rendszernek van egy karakterisztikus llapothatrozja, a bels energia, melynek nvekedse megegyezik a rendszer ltal felvett hmennyisg s a rendszeren vgzett munka sszegvel. Magra hagyott (izollt) rendszerek energija lland. (Megjegyezzk, hogy szigoran vve az (1.46) egyenlet csak adiabatikus rendszerre teljesl, mert egyb esetekben az elemi munka s az elemi h a W s a Q llapotfggvnynek nem teljes differencilja.) A bels energia minden esetben felrhat kt, fggetlen intenzv, valamint egy extenzv llapotjelz pl. a tmeg fggvnyben , azaz

U = f (x, y, m ) ,

(1.47)

ahol x s y tetszleges fggetlen intenzv llapotjelzk. Ennlfogva a fajlagos (tmegegysgre vonatkoztatott) bels energia teljes megvltozsa az albbi sszefggs alapjn hatrozhat meg:du = u x dx +y = ll.

u y

dy .x = ll.

(1.48)

A gyakorlatban igen sokszor a bels energia fajlagos rtkvel dolgozunk. Mivel a bels energira, mint llapotjelzre tetszleges krfolyamat esetn igaz, hogy

dU = 0 ,az (1.26) kifejezs alapjn az is rhat, hogy

(1.49)

dQ + dW = 0 ,

(1.50)

ami matematikailag is bizonytja az elsfaj perpetuum mobile lehetetlensgt. Az (1.49), illetve az (1.50) egyenlet a termodinamika I. fttelnek zrt, nyugv rendszer krfolyamataira rvnyes alakjai.

34

1.3.4. A fizikai munkaAz I. fttel egyenletben a W munka magban foglal minden, a rendszeren, ill. a rendszer ltal vgzett (kiterjedsi, mechanikus, elektromos stb.) munkt. A belsenergia megvltozsa reverzbilis folyamatokra a kvetkez: dU=dQ+dW. (1.51) Ha a kls nyoms ellen a rendszer ltal mindenkppen elvgzend trfogati munkt klnvlasztjuk az egyb, n. hasznos munkktl, akkor az I. fttel egyenlett a felhasznlsra mg alkalmasabb dU=dQ+dWhaszn+ Wtrf (1.52) alakra hozhatjuk. Mivel a rendszer ltal vgzett trfogati munka reverzbilis s idelis izobr vltozsok esetn a trfogatvltozs mrtkvel arnyos rhat: dWtrf=pdV. (1.53)

(1.53)-et behelyettestve (1.52)-ba s feltve, hogy csak trfogati munka van, gy dWhaszn=0, a bels energia megvltozsa: dU=dQpdV. (1.54) A trfogatvltozsi munkt kls vagy fizikai munknak is nevezzk. rtelmezsre (s az 1.53 sszefggs bizonytsra) nzzk az 1.11. brt. A hengerben lv dugatty fltt p (Pa) nyoms gz van. A gz trfogatnak vgtelen kis dV-vel val nvekedse a dugattyt ds ton jobbra tolja a szaggatott vonallal rajzolt helyzetbe. A dugatty fellete A, gy az elemi trfogatvltozs dV=A.ds. (1.55) A dugattyra hat er F=p .A, a kifejtett elemi munka pedig: dW=Fds=pAds=pdV (J) (1.56) A kzeg munkja sszefgg a trfogatvltozssal. Ha nincs trfogatvltozs, nincs munka. 1 kg kzegre a trfogat-vltozsi munka: dw=p . dv (J/kg).

q

p

A

ds

1.11. bra. A fizikai munka rtelmezse

35

Ha a szmts sorn ez a munka pozitvnak addik, akkor expanzi munkrl, vagyis nyert munkrl van sz, ha negatvnak addik, gy kompresszi munkrl van sz, s ezt be kell fektetnnk ahhoz, hogy az llapotvltozs ltrejjjn. Vges llapotra:

dW = pdV .1 1

2

2

(1.57)

A vgzett fizikai munka, amely a trfogatvltozs kvetkezmnye, p-v diagramban a grbe alatti terlettel arnyos (1.12. bra). Az brbl kitnik, hogy a trfogatvltozs munkja fgg az llapotvltozstl. Ugyanis, ha az 1-bl a 2 pontba b ton jutunk, a grbe alatti terlet kisebb, mintha a folyamat az a ton trtnne.p wa 1 a > wb

b 2

v1.12. bra. A fizikai munka p-v diagramban

ltalnossgban teht megllapthat, hogy a hmrskletklnbsg induklta termikus klcsnhats kivtelvel, minden klcsnhatshoz hozzrendelhet a folyamathoz tartoz intenzv llapotjelz, s ugyanezen folyamathoz rendelt extenzv mennyisg megvltozsnak szorzatbl ll energiatranszport-mennyisg, melyet munknak neveznk. A munka a rendszer hatrfelletn fellp energiatranszport-mennyisg, melyet a klcsnhatshoz tartoz, s a hmrsklettl klnbz, intenzv llapotjelzk inhomogenitsa hoz ltre. Br a munka egy intenzv llapotjelz s egy extenzv mennyisg megvltozsnak szorzataknt rhat fel, az 1.12. bra vizsglata kapcsn bizonytst 36

nyert, hogy nem llapotjelz. Ha adott esetre a nyert vagy befektetett fizikai munkt meg akarjuk hatrozni, ismerni kell a p=f(V) fggvnykapcsolatot.

1.4.5. Az entalpiaAz 1.4.1. fejezetben lttuk; lland trfogaton vgbemen folyamatok esetn a felvett hmennyisg kizrlag a belsenergia-tartalom vltozsval egyenl. Miutn a mszaki gyakorlatban nem ritkk az lland nyomson (pl. a lgkri vagy nagyobb nyomson) vgbemen folyamatok (st taln gyakoribbak, mint lland trfogaton) clszer az els fttelt az lland nyoms felttelnek jobban megfelel alakra hozni. E clbl bevezettk egy msik llapotfggvny a korbban helytelenl htartalomnak nevezett entalpia fogalmt. Az entalpia rtelmezshez tekintsk a kvetkez egyszer vzlatot (1.13. bra). lland trfogat nyugv rendszerben (folyamatos vonallal rajzolt hasb) a bels energia annak teljes energiakszlett reprezentlja.

F=Ap U pV A dW=Fds=pdv ds

1.13. bra. Az entalpia rtelmezse

Abban az esetben, ha a rendszer egy p nyoms krnyezettel mechanikai klcsnhatsba kerl, az egyenslyi helyzet belltval maga is p nyoms lesz, mikzben Ads=dV trfogatvltozs kvetkezik be. Ez azonban energiafogyaszt folyamat, vagyis a kzlt h egy rsze trfogatvltozsi munkra fordtdik: dQ=dU+pdV. (1.58) A fizikai munka elemzsnl lttuk, hogy az a mszaki gyakorlat szmra nem hasznos munkavgzs, azt a rendszerbl nem vehetjk ki. A gyakorlat szmra teht hasznosabb olyan kifejezs, amelyben nem kell a trfogatvltozsi munkval szmolni. Erre szolgl az entalpia (H), amely a rendszer belsenergijt s a trfogat-vltozsi munkt egyesti H=U+p.V. (1.59)

37

Az (1.59) sszefggs alapjn belthat, hogy izobr, hasznos munkavgzs nlkli folyamatok esetn a kzlt h teljes egszben az entalpia nvelsre fordtdik. Az entalpia bevezetse teht nem jelent minsgileg jat, szerepe izobr krlmnyek mellett ugyanaz, mint a bels energinak izochor viszonyok kztt. Az entalpia a belsenergihoz hasonlan llapotjelz, teht matematikailag teljes differencil. Kvetkezskppen egykomponens rendszerekre az H=H(p,T) fggvny megoldsa: H H dH = p dp + T dT . p T

(1.60)

Az (1.60) egyenlet p=ll. esetn H dH = dT T p (1.61)

alakra egyszersdik, gy az izobr hkapacits (1.27) kplet alapjn rhat: (1.62) dH=CpdT. Az entalpia fajlagos rtke az izobr fajh segtsgvel szmolhat: dh=cpdT (kJ/kg). (1.63) Az entalpia szmszeren azzal a melegmennyisggel egyenrtk, amely egysgnyi tmeg gz hmrsklett 0 oC-rl t oC-ra emeli p=ll. mellett. A belsenerginl kifejtett okokbl az entalpia 0 rtkt is a 0 oC-hoz rendeljk. llapotfggvny mivoltbl pedig az is kvetkezik, hogy zrt rendszerben vltozsa nulla:

dh = 0 .

(1.64)

raml gzok esetn 40 m/s sebessg alatt a gz teljes energiakszlete az entalpia segtsgvel reprezentlhat. Ennl nagyobb ramlsi sebessgnl azonban mr a mozgsi energit is figyelembe kell venni.

1.3.6. A technikai munkaKorbban mr bizonytottuk, hogy egy termodinamikai rendszerrel kzlt h annak bels energijt nveli, illetve trfogatvltozsi munkt vgez: dq=du+pdv. (1.65) Amennyiben az (1.65) egyenleten a vdp matematikai mveletet vgrehajtjuk, a kvetkez eredmnyre jutunk: dq=du+pdv+vdpvdp, 38

dq=du+d(pv)vdp, dq=d(u+pv)vdp, dq=dhvdp. (1.66) Lthat, hogy a rendszer s a krnyezet mechanikai klcsnhatsa sorn a kzlt h rszben az entalpival, rszben pedig a nyomsrtkekben bekvetkezett vltozsok energiamdost hatsval hozhat kapcsolatba. Ezek a jelensgek klnsen a technikai folyamatokra (nyitott rendszerekre) jellemzek, ezrt a dwi=vdp munkajelleg kifejezst technikai (vagy nyomsvltozsi) munknak nevezzk.

1.5. A termodinamika II. ftteleA termodinamika I. fttele alapjn csak arra tudtunk feleletet kapni, hogy valamely termszetes folyamat sorn mekkora lehet a fejld vagy elnyeld h, illetve a rendszer ltal vgezhet vagy a rendszeren vgzend munka. Arra a krdsre, hogy adott krlmnyek kztt valamely folyamat vgbemehet-e, csak az ugyancsak tapasztalati alapokon nyugv II. fttel vlaszol. Ha vizsgljuk a termszetben lejtszd folyamatokat s az ezekkel kapcsolatos energia-kicserldsi jelensgeket, lthatjuk, hogy a h nknt, kls munka befektetse nlkl csak az alacsonyabb hmrsklet irnyba hajland ramolni. Msrszt tapasztalhat, hogy a munka viszonylag knnyen (s vesztesgek nlkl) alakthat hv, mg a h csak clszeren szerkesztett berendezsek segtsgvel konvertlhat munkv s akkor sem teljes egszben. A termodinamika II. fttele a vzolt felvetsekre ad tudomnyos magyarzatot. Lnyege rviden az, hogy minden valsgos folyamat irreverzbilis. Legkzvetlenebbl ezt a megllaptst a fttel KELVIN-fle megfogalmazsa tkrzi: Nem lehetsges olyan krfolyamat, melynek sorn egy htartlybl elvont h, minden egyb hats nlkl, teljes egszben munkavgzsre lenne fordthat. Nem a munka, hanem tisztn a h (termikus energia) szemszgbl tekinti a folyamatok irreverzibilitst Clausius elve, mely szerint nem lehetsges olyan krfolyamat, mely sorn hidegebb testrl nknt h menne t melegebb testre. A termodinamika II. fttele, melyet az elzekben kvetett gondolatmenet alapjn axiomatikusan a kvetkezk szerint fogalmazhat meg: Minden termodinamikai rendszernek van kt olyan llapotfggvnye S s T , amelyek segtsgvel a rendszer brmely kicsiny kvzistatikus s reverzbilis llapotvltozsa esetben a felvett hmennyisg kifejezhet. Az S llapotfggvnyt entrpinak, a Tt pedig abszolt termodinamikai hmrskletnek

39

nevezzk. Valsgos (spontn lejtszd) folyamatok esetben a magra hagyott rendszerek entrpija csak nvekedhet. A msodik fttel eme ltalnos megfogalmazsa kvantitatve keveset mond, ezrt mrnki szmtsokra mg nem alkalmas. Az entrpia fogalmnak bevezetsvel azonban a h s a munka klcsns talakulsainak lehetsgre s irnyra vonatkozlag a II. fttelre olyan matematikai megfogalmazs tallhat, amely gyakorlati szmtsokban is felhasznlhat.

1.5.1. Az entrpiaA termodinamikai rendszerekben lezajl llapotvltozsok irnynak, illetve a folyamatok sorn fellp energiavesztesgek szmszer jellemzsre Clausius nyomn az entrpit hasznljuk. Az entrpia grg eredet sz, megfordts-t, talakts-t jelent. Az entrpia rtelmezsre vgezzk el a kvetkez gondolati ksrletet. Legyen A s B egymssal klcsnhatsban lv, de a krnyezettl izollt rendszer, mindkettben idelis gzzal. Az A rendszerek hmrsklete T1, amely nem 0 K, a B rendszer T2 s lland. Amennyiben a vzszintklnbsget hasznost vzi ergpek analgijra felttelezzk, hogy A rendszerbl Q1 hmennyisg tvozik, B rendszerbe Q2 hmennyisg rkezik, a kett klnbsge pedig munkt vgez, rhat: Q1Q2=Q. (1.70)

Belthat, hogy a Q2 vesztesg, mert abbl nem lesz munka. Izobr felttelek esetn Q1=CPT1 s Q2=CPT2, vagyis a hmennyisgek arnya: Q2/Q1=T2/T1. Hangslyozva, hogy T2= lland, a vesztesg Q Q Q 2 = 1 T2 Q 2 = f 1 T T 1 1 (1.71)

sszefggsek szerint rtelmezhet, amelyekben a hkzls s a jellemz hmrsklet arnya (Q1/T) hatrozza meg a vesztesg mrtkt. Egyenslyi llapotvltozsok esetre teht a dQ/T a rendszer pillanatnyi energiaszintjre jellemz, amit entrpinak neveznk:dS = dQ . T

(1.72)

Ez gy is fogalmazhat, hogy a termodinamikai rendszerekben bekvetkez energiavltozs vgtelen kicsi egyenslyi llapotvltozst felttelezve a rendszerre jellemz hmrsklet (T) s a rendszer rendezetlensgt mutat entrpiavltozs szorzata 40

dQ=TdS.

(1.73)

Az sszefggs egyben a h defincijnak is tekinthet. Az entrpia fentiekben lert fenomenologikus rtelmezse ekvivalens a kinetikus gzelmlet Boltzmann-fle statisztikus rtelmezsvel. Ha A s B termodinamikai rendszer, kt klnbz fajtj s nyoms gzzal tlttt tartly, s a kt rendszer hmrsklete (T) ugyanaz, akkor termikus kapcsolatba hozva ket egymssal, egyik irnyban sem fog h ramlani. Ezrt mindkt rendszer ugyanabban az llapotban marad, amelyben kln-kln volt. Ttelezzk fel, hogy kvlrl egy bizonyos mennyisg h ramlik a rendszerekbe gy, hogy az A rendszer QA, a B rendszer pedig QB ht vesz fel. Ha a kt rendszert kln nzzk, entrpianvekedsk QA/T s QB/T. Ha egyetlen szszetett rendszernek tekintjk, akkor az entrpia sszes nvekedse (QA+QB)/T. Mivel QA/T+QB/T=(QA+QB)/T, ezrt arra kvetkeztetnk, hogy az sszetett rendszer entrpija egyenl a rszek entrpijnak sszegvel.

1.5.2 Az llapotfggvnyek kapcsolataAz I. s a II. fttelt egyesthetjk, ha a belsenergia s az entalpia egyenleteiben dQ helybe a TdS rtkt helyettestjk. Egykomponens rendszerekre gy dU=TdSpdV illetve dH=TdS+Vdp (1.77) (1.78)

egyenlethez jutunk, ahol a differenciljel alatt szerepel az entrpia is, ami ksrletileg kzvetlenl nem mrhet. Ezrt is s egyb meggondolsokbl kiindulva is clszernek ltszott a mr definilt U, H s S llapotfggvnyek mellett jabb llapotfggvnyeket is bevezetni. Ezek a szabadenergia, amelynek definciegyenlete F=UTS s a szabadentalpia, amelynek definciegyenlete G=HTS. (1.80) A szabadentalpia s szabadenergia klnbsgt kpezve GF=HU=U+pVU=pV, ahonnan a kt llapotfggvny sszefggst megad egyenlet: G=F+pV, illetve differencilva a dG=dF+Vdp+pdV (1.82 41 (1.81 (1.79)

formulhoz, ill. izobr krlmnyek kztt a dG=dF+pdV (1.83) kifejezshez jutunk, ami szerint a szabadenergia s szabadentalpia kztt ugyangy, mint a bels energia s az entalpia kztt, a trfogati munkban mutatkozik a klnbsg. Mivel ez csak gz-halmazllapot anyagrendszerek esetn szmottev nagysg, kondenzlt rendszerek esetben a klnbsg G s F (valamint ugyangy U s H) kztt ltalban elhanyagolhat mrtk. Az U, H, F s G mennyisgek klcsns viszonyt s nagysgt jl jellemzi az 1.16. bra diagramja.H U TS F pV

pV

TS

G

1.16. bra. llapotfggvny-relcik

1.7. Idelis gzelegyek1.7.1. Az elegy sszettelnek jellemziA gzelegy tmegrsze alatt az 1 kg elegyben lv komponens tmegt rtjk. Ha az elegy tmege m s a komponensek tmege m1 s m2, a tmegrszk:g1 = m1 ; m g2 =i=n i =1

m2 ; m

gn =

mn . m

(1.89)

A tmegrszek sszege pedig: 42

gi = 1

kg.

(1.90)

A mlarny a tmegrszhez hasonl mdon definilhat, s az i-edik komponens fajlagos anyagmennyisgt fejezi ki.

xi =

Ni , Ni=n i =1

(1.91)

ahol: Ni az i-edik komponens anyagmennyisge s N = N i .A gzelegy trfogatrsze (trfogatarnya) alatt az 1 m3 elegyben lv komponensek trfogatt rtjk. Ha az elegy trfogata V s a komponensek trfogata V1, V2 ... Vn, akkor a trfogatrszek:

r1 =

V1 ; V

r2 =

V2 ; V

rn =

Vn . V

(1.92)

A trfogatrszek sszege pedig:

ri = 1i =1

i=n

m3.

(1.93)

A tmegrszek kifejezse a trfogatrsszel ktflekppen is elvgezhet; a srsg, ill. a mltmeg felhasznlsval. A srsg szerinti kifejezshez rjuk fel az egy m3-ben lv elegy tmegt.

ri i =

Vi m i m i = . V Vi V

(1.94/a)

Az (1.94/a) egyenlet jobb oldalt gyakran szoks koncentrcinak (ci), vagy parcilis srsgnek nevezni

ci = Az elegy srsge:

m V

= ri i .

(1.94/b

r=r11+r22+...+rnn illetve = ri i .i =1 n

(1.95) (1.96)

A tmegrsz a trfogatrsszel kifejezve:

43

gi =

m i Vri i ri i ri i = = = m m m Vgi = ri i

(1.97/a)

illetve

ri ii =1

n

.

(1.97/b)

Mltmeg szerinti kifejezsnl azt vesszk alapul, hogy Avogadro trvnye a komponensekre is igaz, vagyis ri=Mi/ll. gy a tmegrsz:

ri i = gi = r1 1 + r2 2 + K + rn n

ri

Mi ll.

M M M r1 1 + r2 2 + K + rn n ll. ll. ll.ri M i M

(1.98/a)

Egyszerstve s rendezve az (1.98/a) egyenletet:gi =

ri M ii =1

ri M i i=n

=

(1.98/b)

A trfogatrsznek a tmegrsszel val kifejezshez az elegy fajtrfogata:

v = gi v i = i =1

i=n

i=n

gi . i =1 i

(1.99)

A g1.v1 szorzat a tmeggel s trfogattal kifejezve: gi v i = m i Vi Vi = . m mi m (1.100)

Az (1.100) egyenletbl kvetkezik, hogy Vi=m.gi.vi, ezrt rhat: ri = Vi gv = i=n i i . V gi v ii =1

(1.101)

A mltmeg szerinti felrshoz a fajtrfogatot fejezzk ki a mltmeggel:vi = 1 ll. = , Mi

(1.102)

44

gi M ri = n i g Mi i =1 iA gzelegy ltszlagos molekulatmege a fenti egyenletek alapjn:

(1.103)

= ri i , illetvei =1

i=n

i =

Mi . ll.

(1.104) (1.105) (1.106)

M M M M = ri 1 + r2 2 + K + rn n . ll. ll. ll. ll. M = ri M i .i =1 i=n

A gzelegy gzllandja 1 kg elegyre vonatkozik s a komponensek gzllandi ismeretben, azok slyozott tlagaknt szmthat:

R = gi R i .i =1

i=n

(1.107)

s a gzllandkbl

R=

Ro

ri M ii =1

i=n

.

(1.108)

45

2. Az idelis gzok llapotvltozsai

A termodinamikai rendszerben, illetve a rendszer s krnyezet kztt az intenzv jellemzk inhomogn eloszlsai, ha csak valamilyen szigetels (fal) azt meg nem gtolja, klcsnhatsokat (energia- s tmegramokat) hoznak ltre. A kialakul folyamatok hatsra a rendszer s krnyezet llapotjelzi megvltoznak, ekzben a rendszer s krnyezet klnbz llapotok sorozatn megy keresztl, vagyis llapotvltozs zajlik le.

2.1. Az llapotvltozsok csoportostsaAz llapotvltozsokat tbbfle szempont alapjn osztlyozhatjuk. Pldul ha egy diatermikus fal hengerben lv gzt egy mozg dugatty hatrol, s a rendszerrel ht kzltnk, a gz kiterjedt (2.1. bra). A hkzls eltt, majd a kiterjeds befejeztvel a rendszer egyenslyi llapotban van. llapotvltozs kzben azonban a rendszer llapotnak lersa mr sszetett feladat.

2.1. bra. Az llapotvltozs rtelmezse

Az llapotvltozs minden egyes pillanatban ismernnk kellene a gz feszltsgi llapott, rszecskinek mozgsllapott stb., ami vgtelenl sok llapothatroz ismerett ignyeln, gy a folyamat pontos lerst lehetetlenn teszi. Ha ezzel szemben csak a kezdeti s vgllapot kzti klnbsgek meghatroz46

R

en

q

p

pi

A

K rn ye ze t

ds z

er

sra s jellemzsre koncentrlunk, akkor nem tallkozunk az ismertetett problmval, mivel a kezdeti s vgllapot egyenslyi llapot lvn azok vges szm llapotjelzvel megadhatk.

2.2. Reverzbilis llapotvltozsokA mszaki gyakorlat ignyeinek megfelelen a kvetkez egyszer, specilis s megfordthat llapotvltozsoknak van meghatroz jelentsge: izochor llapotvltozs (v=ll.), amikor a rendszer trfogatt; izobr llapotvltozs (p=ll.), amikor a rendszer nyomst; izotermikus llapotvltozs (T=ll.), amikor a rendszer hmrsklett tekintjk vltozatlannak; adiabatikus llapotvltozs (pv=ll.), amikor a rendszer minden llapotjelzje vltozhat, de az llapotjelzk vltozsa kztt meghatrozott fggvnykapcsolat van, ami abbl ered, hogy a rendszert s krnyezett elvlaszt fal csak a mechanikai klcsnhatst engedi meg, s politropikus llapotvltozs (pvn=ll.), amely llapotvltozs sorn a rendszer minden llapotjelzje vltozik, a rendszer s krnyezet kztt mind a mechanikai, mind a termikus klcsnhats megengedett, de a kt klcsnhats kztt meghatrozott fggvnykapcsolat van. A tovbbiakban a fenti llapotvltozsokat elemezzk.

2.2.1. Izochor llapotvltozsKiindulsknt vegyk fel a gz kezdeti llapotjelzit. Ezek p1 nyoms, V1 trfogat, ill. v1 fajtrfogat, T1 hmrsklet. Az 1 llapotban lv gzzal kzljnk q12 ht oly mdon, hogy a gz eredeti trfogatt ne tudja megvltoztatni. gy fajtrfogata is lland marad. A kzlt h a gz nyomst p2-re, hmrsklett T2-re fogja emelni. A 2.4. brn lthatjuk p-v diagramban a izochor llapotvltozst. Folyamatos vonallal a hkzls, szaggatott vonallal a helvons esett rajzoltuk be. Ha az izochor llapotvltozs kezdeti, 1. pontjban adottak az llapotjelzk, gy a 2. pontra GayLussac trvnye alapjn rhatjuk:p 2 p1 = . T2 T1

(2.1)

Ugyanakkor a kezdeti (1) s a vg- (2) pontra flrhatjuk a Clapeyronegyenletet is: p1V = mRT1 , (2.2/a) 47

illetve

p 2 V = mRT2 .dq = du + pdv .

(2.2/b)

A termodinamika els fttele 1 kg gzra:

(2.3)

Tekintettel arra, hogy a v=ll. s dv=0, a trfogat-vltozsi munkval nem szmolhatunk (pdv=0). Teht az izochor llapotvltozs fizikai munkja nulla. A kzlt hmennyisg teljes egszben a bels energia nvelsre fordtdik, ill. helvons esetn az elvont ht teljes egszben a bels energia fedezi.

dq = c v dT . Vges llapotra: q12=u2u1=cv(T2T1) (kJ/kg).

(2.4) (2.5)

Ha a folyamatot m (kg) tmeg vgzi, a hmennyisg az albbi egyenlettel szmthat: Q12=U2U1=m.cv(T2T1)p [Pa]

(kJ).

(2.6)

p2 p1 p'2

2 q12 1 2'T2 = ll. T1 =ll . T '2 = ll .

v1=v2

v[m3/kg]

2.4. bra. Az izochor llapotvltozs pv diagramja

Az izochor llapotvltozsnl fizikai munkavgzs nincs, de a technikai munka szmthat. A technikai munka szmtsa adott llapotvltozs esetn csak abban az esetben rdekes, ha a folyamatot, mint nyitott rendszert vizsgljuk, azaz meg kvnjuk hatrozni annak a munknak az rtkt is, amely a kzegnek az llapotvltozs helyre trtn bevitelhez, ill. kihozshoz szksges. Tekintettel azonban arra, hogy ezt a munkt be kell fektetni, eljele negatv.48

w i = v dp = v (p1 p 2 ) ,p1

p2

(2.7) (kJ). (2.8)

m tmeg gzra:

Wi = mv(p1 p 2 ) = V(p1 p 2 )

Ha a gz llapotvltozs sorn zrt trben marad (zrt rendszer), a kzlt h csak a bels energia nvelsre fordtdik. Ha kitols is van (nyitott rendszer), n a gz entalpija is. A 2.4. bra szerint: h 2 h1 = u 2 u1 v (p 2 p1 ) = q w1 . (2.9)

Rendezve az egyenletet az I. fttel msodik formjt kapjuk, amely kimondja, hogy a nyitott rendszerben v=ll. llapotvltozs esetn a kzlt h a rendszer entalpijt nveli s a technikai folyamat fenntartshoz szksges. Az llapotvltozsokat ksr hmennyisg-vltozsok jellemzsre Clausius bevezette a T-s, vagy entrpiadiagramot, amelynek fggleges tengelyn az abszolt hmrsklet (T), a vzszintesen pedig az entrpia (s) tallhat. Az llapotvltozsi grbe alatti terlet a kzlt, vagy elvont hmennyisggel arnyos.T s = s2-s1 2' T2. ll p=

2

T1

1

s = s'2-s1 s'2 s2 s

s1

2.5. bra. Az izochor s az izobr llapotvltozsok entrpiadiagramja

A grbe megrajzolshoz szksgnk van a T(s) fggvnyre, ehhez azonban az entrpiavltozst kell meghatroznunk, mivel az entrpia nmaga is fggvny. Az entrpiafggvny megoldshoz pedig ahogy azt korbban lttuk ismerni kell a hkzls folyamatt. Izochor llapotvltozs esetn a kzlt h a (2.4) egyenlet szerint szmolhat, teht az entrpia elemi vltozsa a (2.10) 49

v= l l.

sszefggs szerint kalkullhat.ds = c v 1 dT . T

(2.10)

Vges llapotokra 1-2. hatrok kztt

ds = c v1 1

2

2

dT T

(2.11)

Integrls utn az entrpiavltozs egysgnyi tmeg gzras 2 s1 = c v lnm tmeg gzra

T2 T1T2 T1

(kJ/kgK), (kJ/K).

(2.12) (2.13)

S 2 S1 = mc v ln

A (2.10) egyenletbl kvetkezen az izochor llapotvltozst Ts diagramban a s T = exp c v

(2.14)

fggvny rja le (2.5. bra).

2.2.2. Izobr llapotvltozsAz izobr llapotvltozs vizsglathoz ttelezzk fel, hogy ismert a nyoms (p), a hmrsklet (T1) s a trfogat (V1) kezdeti llapotban. A q12 (kJ/kg) hkzls hatsra az llapotjelzk kzl a hmrsklet (T2), a trfogat (V2), ill. a fajtrfogat (v2) a 2.3. brnak megfelelen vltoznak meg. Kpzeljnk el egy zrt hengert, amelyben a dugatty mgtt helyezkedik el az 1 llapot idelis gz. Hkzls hatsra a gz kiterjed. Jelen esetben a kzlt h nemcsak a gz bels energijt nveli, hanem kls munkt is vgez. A folyamat elemzse az ismert gztrvnyek felhasznlsval elvgezhet. A kezdeti llapotjelzk ismeretben a 2. pontban az llapotjelzket, az elemi gztrvnyek kzl GayLussac egyenlett vlasztva, szmolhatjuk: V1 V2 = . T1 T2 A kezdeti s vgpontra Clapeyron egyenlett is flrhatjuk: (2.15)

50

pV1 = mRT1s pV2 = mRT2 . A termodinamika els fttelt 1 kg gz elemi vltozsra felrva:

(2.16/a.) (2.16/b.)

dq = c v dT pdv .Ebbl integrlssal vges llapotra a kvetkez alakhoz jutunk: q12 = c v (T2 T1 ) p(v 2 v 1 ) . Az llapotvltozs munkja 1 kg tmegre:

(2.17)

(2.18)

w12 = p(v 2 v 1 )s m tmegre: W12 = p(V2 V1 )

(kJ/kg), (kJ).

(2.19) (2.20)

A bels energia vltozsa 1 kg tmegre:

u 2 u1 = c v (T2 T1 )valamint m kg tmeg gzra: U 2 U 1 = mc v (T2 T1 )p [Pa]

(kJ/kg),

(2.21)

(kJ).

(2.22)

q12 p1=p2 1 2

T2=ll w T1=ll v1 v2 v [m3/kg]

2.6. bra. Az izobr llapotvltozs pv diagramja

A kzlt h kiszmtshoz a (2.18) egyenletbe helyettestsk be a 51

pv 2 = RT2 s pv 1 = RT1sszefggseket, majd az sszevonst elvgezve kapjuk, hogy q12 = c v (T2 T1 ) R (T2 T1 ) illetve clszer csoportostssal

(2.23)

(2.24)

q12 = (c v + R )(T2 T1 ) .Tekintettel arra, hogy cv+R=cp, gy a kzlt h: q12 = c p (T2 T1 ) = h 2 h1 . Felrva m tmeg gzra: Q12 = mc p (T2 T1 ) = H 2 H 1 .

(2.25)

(2.26)

(2.27)

A levezetett sszefggsek ismeretben meghatrozhatjuk, hogy a kzlt hbl mennyi alakul t munkv s mennyi fordtdik a bels energia nvelsre, ill. ez az arny mennyire kttt s mitl fgg. Ehhez az els fttel egyenlett dq-val osztva s trendezve kapjuk, hogy a munkv alakult h a fajhviszony fggvnye: c dT c dw du =1 =1 v =1 v . dq dq c p dT cp (2.28)

A rtke ktatomos gzokra kereken: =1.4, a munka s a h arnya gy

1 dw = 1 = 0,285 . 1,4 dq

(2.29)

Teht ktatomos gzok esetben a kzlt h 28,5%-a alakul munkv s 71,5% a gz bels energijt nveli. Az izobr llapotvltozshoz tartoz technikai munka wi=0, mert a gz bevezetse s a munkatrbl val kitolsa is ugyanazon a nyomson valsul meg. Ezt mutatja a 2.6. bra is, mivel az llapotvltozsi grbe p tengelyre vonatkoztatott vetletnek terlete nulla. Az entrpiadiagram megrajzolshoz szksges T=f(s) fggvny egyenlete az izochor llapotvltozsnl kvetett gyakorlat szerint hatrozhat meg. Ehhez fel kell hasznlni az entrpia definciegyenlett, illetve azt lland nyoms viszonyokra kell adaptlni. Az elemi kzlt h ismeretben az elemi entrpiavltozs:ds = dq dT = cp . T T

(2.30)

Vges llapotvltozsnl (integrlst kveten) az entrpiavltozs egysg52

nyi s m tmeg gzras 2 s 2 = c p ln T2 , T1

(2.31) (2.32)

illetve

S 2 S1 = mc p ln

T2 . T1

A T-s diagramban rajzoland grbe egyenlete pedig: s (2.33) T = exp . cp Amint a 2.5. bra is mutatja az izochor folyamathoz hasonlan az izobr llapotvltozs is hatvnyfggvny, csak a p=ll. grbe kevsb meredek. Ez a (2.14) s (2.33) egyenletek sszevetsvel belthat. Kiderl, hogy egysgnyi entrpiavltozs p=ll. esetn 1/-szoros hmrskletnvekedst okoz a V=ll. viszonyokhoz kpest.

2.2.3. Izotermikus llapotvltozsAz izotermikus llapotvltozskor a hmrsklet lland. Az llapotvltozs eltt jelljk az llapotjelzket a kvetkezkppen: a nyoms (p1), a trfogat (V1), a hmrsklet (T), utna pedig a nyoms (p2) s a trfogat (V2). A 2.7. brn pv diagramban rajzoltuk meg az izotermikus llapotvltozst. Az 12 teljes vonallal rajzolt llapotvltozs az izotermikus expanzi, a szaggatott vonallal rajzolt llapotvltozs az izotermikus kompresszi. Ahhoz, hogy ezt megvalsthassuk, ht kell bevezetni, ill. a kompresszinl ht kell elvonni. Ha a kezdeti llapotjelzket ismerjk, gy az expanzi utni llapotjelzket, az (1.13) BoyleMariotte-trvny segtsgvel szmthatjuk ki. De a sarokpontokra flrhat az (1.19) Clapeyron-egyenlet is: Az llapotvltozs vizsglathoz a termodinamika I. fttelbl (1.62) indulunk ki. Tekintettel arra, hogy T=ll., gy dT=0. Teht bels energiavltozs nincs. A dq=pdv, azt jelenti, hogy expanzinl az sszes kzlt h munkv, kompresszinl az sszes befektetett munka hv alakul. A folyamatot gy tudjuk a T=ll. izotermn vgigvezetni, hogy az elemi vltozsok sorn a munkavgzssel arnyos hmennyisget elvonjuk vagy bevezetjk. A kzlt hmennyisg kiszmtshoz meg kell keresnnk a p=f(v) fggvnyt. Ez a BoyleMariotte-trvny felhasznlsval:

p1 v 1 = pv

innen p = p1 v 1

1 . v

(2.34)

53

Az elemi kzlt hmennyisg 1 kg gzra, figyelembe vve az elzekben lertakat, a (2.35) egyenlettel szmolhat: dq = p1 v 1 1 dv . vv2 . v1

(2.35)

Integrls utn vges llapotra kapjuk, hogyq12 = p1 v 1 ln

(2.36)

Az egyenlet m (kg) tmeg gzra: Q12 = p1V1 lnp [Pa] p'2 2' q'12

V2 . V1

(2.37)

q12 p1 1

p2 w v'2 v1

2

T=ll.

v2 v [m3/ kg]

2.7. bra. Az izotermikus llapotvltozs pv diagramja

Az llapotvltozs munkja a kzlt vagy elvont hvel egyenl. Mivel pv diagramban az izoterma egy egyenl szr hiperbola, azonos intervallumban mindkt tengelyre vett vetletnek terlete megegyez, ebbl kvetkezik, hogy a technikai munka s a fizikai munka egymssal egyenl (q12=w12=wi). Az izoterma Ts diagramban termszetszerleg vzszintes egyenes (2.8 bra). Az 12 pont kztti izotermikus llapotvltozshoz tartoz kzlt vagy elvont h a (2.36) s az (1.19) Clapeyron-egyenlet felhasznlsval: q = RT ln v2 . v1 (2.38)

54

A hmennyisg a 2.8. brn nyomon kvethet geometriai lehetsgek felhasznlsval is szmthat: q = T (s 2 s1 ) . (2.39) A (2.38) s a (2.36) egyenleteket egymssal egyenlv tve, megkapjuk a fajlagos (1 kg tmeg gzra vonatkoz) entrpia vltozst. Az m tmeg gzra az entrpiavltozsa ennek m-szerese.s 2 s1 = R ln v2 , v1

(2.40) (2.41)

S 2 S1 = mR lnT[K] 1

v2 . v1

T1=T2

2

q

s1

s2

s

2.8. bra. Az izoterm llapotvltozs entrpiadiagramja

2.2.4. Adiabatikus llapotvltozsAdiabatikus llapotvltozst gy hozhatunk ltre, hogy egy munkahengert tkletesen elszigetelnk a krnyezettl, vagy az llapotvltozst olyan gyorsan folytatjuk le, hogy a munkavgz kzeg s krnyezete kztt hcsere nem jhet ltre. Ennek rtelmben az (1.61) els fttel egyenletnek bal oldala nulla, teht rhat, hogy:

dw = du .

(2.42)

A (2.42) egyenlet szerint az adiabatikus expanzi munkja teljes egszben a bels energibl fedezdik. Az llapotvltozs vizsglathoz jelljk a kez55

deti llapotjelzket 1, az expanzi utni llapotjelzket 2 indexszel s rjuk fel az llapotvltozs munkjt 1 kg gzra: w 12 = c v (T1 T2 ) . (2.43)

Az expanzi munka pozitv, mert T1>T2, a kompresszi munka negatv, mert T2>T1. A cp=cv s cpcv=R egyenletek felhasznlsval rhat R . 1 gy az llapotvltozs munkja 1 kg tmeg gzra cv = w 12 = R (T1 T2 ) , 1R (T1 T2 ) . 1

(2.44)

(2.45)

tetszleges m (kg) tmeg gzra pedig:W12 = m

(2.46)

A kezdeti 1 s a vgpontot jelz 2. llapotjelzi kztt sszefggseket Poisson (poaszon) lltotta fel. A szmtsokat a rla elnevezett egyenletekkel vgezhetjk, amelyeket az els fttelbl vezetnk le. Az I. fttel adiabatikus llapotvltozsra rvnyes alakja: c v dT + pdv = 0 . Vezessk be az albbi helyettestseket:p= RT , v

(2.47)

(2.48) (2.49)

R = c v ( 1) . Ezeket behelyettestve s rendezve a kvetkez alakot kapjukT c v dT + c v ( 1) dv = 0 , v

(2.50) (2.51)

T c v dT + ( 1) dv = 0 . v

Tekintettel arra, hogy cv 0, a szgletes zrjelben lv tag rtke nulla: T dT + ( 1) dv = 0 . v 56 (2.52)

Clszeren sztvlasztva a vltozkat, majd az integrlst elvgezve az albbi eredmnyt kapjuk: dT dv = ( 1) , T v (2.53)

illetve

ln

T1 v = ( 1)ln 2 . T2 v1

(2.54)

Ms alakban felrva a (2.54) sszefggst, a T s v kztti kapcsolatot jellemz Poisson-egyenletet nyerjk: T1 v 2 = T2 v 1 vagy 1

,

(2.55)

T1v1 1 = T2 v 2 1 .

(2.56)

p [Pa] p1 1

T1 =ll.

p2 w v1

2T2=ll.

v2

v[m3/kg]

2.9. bra. Az adiabatikus llapotvltozs pv diagramja

A msodik Poisson-egyenletet a (2.55) sszefggsbl a Clapeyron-fle trvny segtsgvel vezethetjk le. Amennyiben az (1.19) Clapeyronegyenletet felrjuk az 1. s 2. pontra, majd ezt kveten a kt egyenletet eloszt57

juk egymssal, vgezetl az gy kapott formult behelyettestjk a (2.55) egyenletbe, a kvetkez matematikai kifejezshez jutunk:T1 p1v 1 = . T2 p 2 v 2

(2.57)

A (2.55) s (2.57) egyenletek bal oldalai azonosak, teht a jobb oldalak kz is egyenlsgjel tehet:p1 v 1 v 2 = p 2 v 2 v1 1

.

(2.58)

Rendezs utn a p s v kztti sszefggst ler Poisson-egyenletet kapjuk:p1 v 2 = , p 2 v1

(2.59) (2.60)

illetve

p1 v 1 = p 2 v 2 .

Vgl a harmadik Poisson-egyenletet gy nyerjk, ha a (2.55) s a (2.59) egyenletekbl kifejezzk a fajtrfogatokat, s kihasznljuk a kt jobb oldal egyenlsgt. Ezzel megkapjuk a T s p kztti sszefggst ler Poissonegyenletet: T1 1 p1 = , T p 2 2 amelybl 1 T1p 2

1

1

(2.61)

=

1 T2 p1 .

(2.62)

Teht a hrom Poisson-egyenlet, amelyekkel adiabatikus llapotvltozsnl az llapotjelzk szmthatk (a szoksos szmozsi rendben), a kvetkezk: I.: II.: III.: p1 v1 = p 2 v 2 ,

(2.60) (2.56) (2.62)

T1v1 1 = T2 v 2 1 , 1 1

T1p 2 = T2 p1 .

Az adiabatikus llapotvltozst pv diagramban a 2.9. bra mutatja, amely szintn egy hiperbola. Egyenlete pv=ll. A grbe alatti terlet az llapotvltozs munkjval (fizikai munka) egyenl.

58

T[K] T' 2 2'

kompresszi

T1

1

expanzi

T2

2 s1=s2 s[kJ/kgK]

2.10. bra. Az adiabatikus llapotvltozs Ts diagramja

A technikai munkt az I. fttel (1.62) alakja segtsgvel hatrozhatjuk meg. A dq=0 felttelbl kvetkezik, hogy: dw i = dh . Integrls utn: w i = c p (T1 T2 ) , illetve wi = R (T1 T2 ) . 1 (2.64) (2.65) (2.63)

A (2.45) s (2.65) sszefggsek sszehasonltsa alapjn megllapthat, hogy a technikai munka ppen -szor nagyobb a fizikai munknl. Adiabatikus llapotvltozskor ahogy az ismert a termodinamikai rendszer s a krnyezet kztt nincs energiatranszport, ami azt jelenti, hogy a folyamat Ts koordintarendszerben fggleges egyenessel brzolhat (2.10. bra). A dq=0 felttelbl kvetkezik, hogy s=ll., ezrt ezen llapotvltozst szoks izentropikusnak is nevezni. (Az izentropikus s az adiabatikus viszonyok kztt nha clszer klnbsget tenni, mivel az els az entropiallandsgot, a msodik a krnyezettl val termikus elszigetelst hangslyozza. Pldul az adiabatikus prolgs ktkomponens rendszerekben lehet h=ll. folyamat is.) 59

2.2.5. Politropikus llapotvltozsA politropikus llapotvltozs felfoghat egy olyan adiabatikus llapotvltozsknt, amelynl a folyamat sorn tbb-kevesebb hcsere van, de ennek a hkzlsnek vagy helvonsnak a mrtke az izotermikus llapotvltozsra jellemz rtket nem ri el. A politropikus llapotvltozs sorn munkavgzssel, belsenergia-vltozssal, hkzlssel s valamennyi llapotjelz egyidej megvltozsval is szmolni kell. Hogy a vltozsok jellege milyen, azt a hcsere mrtke hatrozza meg. Szmtsainknl ez a politropikus kitev (n) rtkben jelentkezik.p [Pa] adiabata (pv=ll.)

izoterma (pv=ll.) politrpa (pvn=ll.)

v [m3/kg]2.11. bra. A politropikus llapotvltozs pv diagramja

A mszaki gyakorlatban fontos szerepet jtsz politropikus llapotvltozsok n kitevje 1 s szmrtke kztt vltozik, mert pv1=ll. az izoterma s pv = ll. az adiabata egyenlete. Teht: 10, a valsgos szrtsnak az esete, amikor Qsz>Qv vagyis a szrtban kzlt h tbb mint a vesztesg. 0, c