CONTEO

HECTOR MAURICIO DAZ RESTREPO

LILIANA INS PREZ VELASCO

ARMENIA, AGOSTO 19 DE 2011UNIVERSIDAD DEL QUINDIOLICENCIATURA EN MATEMTICAS

TALLER No. 1CONTEO

6. Con el fin de juntar fondos para una alberca municipal, la cmara de comercio de cierta ciudad patrocina una carrera. Cada participante paga una cuota de inscripcin de $5 y tiene la probabilidad de ganar uno de los trofeos de distinto tamao que se entregarn a los primeros 8 corredores que lleguen a la meta. a. Si 30 personas entran a la carrera, de cuntas formas ser posible entregar los trofeos?b. Si Roberta y Clara son dos de los participantes en la carrera, de cuntas formas se pueden otorgar los trofeos de modo que ellas queden entre los tres primeros lugares?

Se tienen los siguientes datos: 8 = Trofeos 8 = Nmero de ganadores.30 = Nmero de participantes que ingresan a la carrera.

n = Nmero de participantes r = Nmero de ganadores G = Ganador

Respuesta:

a. Se puede realizar por la regla del producto, teniendo en cuenta las 8 primeras posiciones finales. 30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 = 235.989.936.000G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8

O por permutaciones, tenemos 30 corredores y 8 posiciones (las 8 primerasposiciones finales). Por lo tanto, se pueden entregar los trofeos de 235.989.936.000 maneras diferentes.

P(n,r)= P(30,8)=

235.989.936.000b. Se tiene: Roberta 30 participantes 30-2=28Clara

Primer lugarTrofeos8 Segundo lugarTercer lugar

Por permutacin, n=28, r=66=2 participantes (Roberta y Clara)*3 primeros lugares

6P(n,r)=6P(28,6)=66 1.627.516.800

Hay 1.627.516.800 formas posibles de que Roberta y Clara puedan terminar entre los 3 primeros lugares.

8. Matas trabaja como operador de computador en una pequea universidad. Una tarde, l ve que durante el da se han enviado 12 programas para su procesamiento por lotes. De cuntas formas puede ordenar Matas el procesamiento de estos programas si: (a) No existen restricciones? (b) El considera que 4 de los programas tienen prioridad sobre los otros 8 y desea procesarlos antes? (c) Primero separa los programas en los 4 de mxima prioridad, 5 de menor prioridad y 3 de mnima prioridad, y desea procesar los 12 programas de modo que los de mxima prioridad se procesen primero y los 3 programas de mnima prioridad se procesen al final?

Se tienen los siguientes datos: 12 = Nmero de programas 4 = Nmero de programas de mxima prioridad5 = Nmero de programas de menor prioridad3 = Nmero de programas de mnima prioridad

Respuesta:a) Por la regladel productohay 12!formas de procesar los programassino hay restricciones,12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 12! = 479.001.600

b) 4 de mxima prioridad 12 programas 8 programas restantes

(4 * 3 * 2 * 1)*(8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)= (4!*8!) = 24*40320 = 967.680

Por la regladel productohay 967.680 formas de procesar los programasde manera que los 4programas de mayor prioridad seprocesen en primer lugar.c) 4 de mxima prioridad12 programas 5 de menor prioridad3 de mnima prioridad

(4 * 3 * 2 * 1)*(5 * 4 * 3 * 2 * 1)*( 3 * 2 * 1)= (4!*5!3!)= 24*120*6 = 17.280

Por la regla del producto hay 17.280formasen quelos 4 programas demxima prioridad se procesan primeroy los 3 programasdemnima prioridadse procesan de ltimo.

10. Pamela tiene 15 libros. De cuntas formas puede colocar sus libros en dos repisas de modo que haya al menos un libro en cada una? (Tenga en cuenta que los libros, en cualquier disposicin, estn ordenados uno junto a otro, y el primer libro de cada repisa queda en el lado izquierdo de la misma?

Se tienen los siguientes datos: 15 = Nmero de libros 2 = Nmero de repisasR = RepisaL = Libro

Respuesta:

R1= L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8* 7* 6* 5* 4* 3* 2* 1

R2= L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 14* 13* 12*11*10* 9* 8* 7* 6* 5* 4* 3* 2* 1R1*R2 = (15!)(14!)= 114.000.816.800.000.000.000.000

Por la regla del producto Pamelapuede distribuir los libro en las repisas en cualquier disposicin, y ordenarlos uno junto al otro, teniendo en cuenta que le primer libro debe quedar al lado izquierdo de cada repisa, de (15!)(14!) formas diferentes.

13. a) Cuntas permutaciones existen para las 8 letras a, c, f, g, i, t, w, x?b) Cuntas de las permutaciones de la parte (a) comienzan con la letra t?c) Cuntas de las permutaciones de la parte (a) comienzan con la letra t y terminan con la letra c?

Se tienen los siguientes datos: 8 = Nmero de letras Letras a, c, f, g, i, t, w, x

Respuesta: a) a c f g i t w x8* 7* 6* 5* 4* 3* 2* 1 = 8! = 40.320

b) letra t 8 letras 8-1=7letras restantes (a, c, f, g, i, w, x)

t a c f g i w xletra t letras restantes

7* 6* 5* 4* 3* 2* 1 = 7! = 5.040

c) letra t y c8 letras 8-2=6letras restantes (a, f, g, i, w, x)

t a f g i w x cletra t letras restantes letra t

6* 5* 4* 3* 2* 1 = 6! = 720 Por la regla del producto hay (a) 40.320 permutaciones utilizando las 8 letras; (b) 5.040 permutaciones que comienzan con la letra t y, (c) 720 permutaciones que comienzan con la letra t y terminan con la c. 15. De cuntas formas es posible ordenar los smbolos a, b, c, d, e, e, e, e, e, de modo que ninguna e quede junto a otra?

Se tienen los siguientes datos: Smbolos: a, b, c, d, e, e, e, e, e

Respuesta:

e a e b e c e d ee d e a e b e c ee c e d e a e b ee b e c e d e a eesto es igual a (4*3*2*1)=4!=24

Por la regla del producto hay 24 maneras de ordenar los smbolos de forma que ninguna e quede junto a otra.

17. En una implementacin del lenguaje de programacin Pascal, un identificador consta de una sola letra, o de una sola letra seguida de hasta 7 smbolos, que pueden ser letras o dgitos. (Supongamos que el computador no distingue entre las letras maysculas y minsculas; hay 26 letras y 10 dgitos). Sin embargo, ciertas palabras claves estn reservadas para los comandos; en consecuencia, estas palabras claves no pueden usarse como identificadores. Si esta implementacin tiene 36 palabras reservadas, Cuntos identificadores diferentes son posibles en esta versin de Pascal?.

Se tienen los siguientes datos: L = LetrasS = Smbolos7 = Nmero de smbolos entre letras y dgitos26 = Nmero de letras 10 = Nmero de dgitos36 = Nmero de dgitos y letras36 = Nmero de palabras claves (comandos)

Respuesta:Identificador

26 26 36 36 36 36 36 36 36 36letras letra letras y dgitos palabras claves

Esto es igual a, (26)+(26)()-(36) = 2.037.468.267.000 Por la regla del producto se pueden obtener 2.037.468.267.000 identificadores diferentes para esta versin de Pascal.

18. La produccin de una pieza de una mquina consta de 4 etapas. Hay 6 lneas de ensamble disponibles para la primera etapa, 4 lneas para la segunda etapa, 5 para la tercera y 5 para la ltima. Determine la cantidad de formas diferentes en que dicha pieza puede quedar totalmente ensamblada en este proceso de produccin.

Se tienen los siguientes datos: 4 = Nmero de etapas 20 = Nmero de lneas de ensambleE1 = Etapa 1E1 = 6 lneas de ensambleE2 = Etapa 2E2 = 4 lneas de ensambleE3 = Etapa 3E3 = 5 lneas de ensambleE4 = Etapa 4E4 = 5 lneas de ensamble

Respuesta:Pieza de una mquina

E1 E2 E3 E4

Esto es, E1*E2*E3*E4 = 6*4*5*5 = 600

Por la regla del producto hay 600 formas diferentes para que la pieza de la mquina quede totalmente ensamblada.

23. a) Cuntas disposiciones hay de todas las letras de la palabra SOCIOLOGICAL?b) En cuntas de las disposiciones de la parte (a) estn juntas la A y la G?c) En cuntas de las disposiciones de la parte (a) estn juntas todas las vocales?

Se tienen los siguientes datos: La palabra SOCIOLOGICAL formada por 12 LetrasRespuesta:

a) SOCIOLOGICALHay 12 letras as:

1 de tipo S3 de tipo O2 de tipo C1 de tipo A2 de tipo I2 de tipo L1 de tipo G

Hay 7 tipos de letras (S, O, C, I, L, G, A)

13.305.600

b) Para AG (se toman como un solo tipo) 12 1 = 11Hay 11 letras as:

1 de tipo S3 de tipo O2 de tipo C

1 de tipo AG2 de tipo I2 de tipo L

Hay 6 tipos de letras (S, O, C, I, L, AG)

1.108.800

Para GA (se toman como un solo tipo) 12 1 = 11Hay 11 letras as:

1 de tipo S3 de tipo O2 de tipo C

1 de tipo GA2 de tipo I2 de tipo L

Hay 6 tipos de letras (S, O, C, I, L, GA)

1.108.800

hay 2.217.600

c) Vocales solas3 de tipo O2 de tipo I1 de tipo A

Hay 6 tipos (O, I, A), 60

y, Considerando elcaso en el quetodas las vocalesson adyacentes, Hay 11 letras as:

1 de tipo S2 de tipo C2 de tipo L1 de tipo G1 de tipo OIOOIA

Hay 5 tipos de letras (S, C, L, G, OIOOIA)

2520

Luego, 60*2520 = 151.200

hay 13.305.600 disposiciones para la palabra SOCIOLOGICAL, (b) hay 2.217.600 disposiciones de la parte (a) en donde las letras A y G estn juntas y, (c) hay 151.200 disposiciones de la parte (a) en donde estn juntas todas las vocales.

25. Doce platillos (con forma idntica) se ordenan en 4 columnas verticales, como se muestra en la figura 1.5. Hay 4 de color rojo en la primera columna, 3 de color azul en la segunda columna, 2 grises en la tercera columna y 3 blancos en la cuarta. Para entrar al equipo de tiro de su universidad, Dora debe romper los 12 platillos (con su pistola y slo 12 balas) y, para esto, siempre debe romper el platillo que queda en la parte inferior de la columna. En estas condiciones, de cuntas formas puede disparar (y romper) los 12 platillos?

Se tienen los siguientes datos: 12 = Nmero de platillos12 = Nmero de balas4 = Nmero de platillos rojos (R)3 = Nmero de azules (A)2 = Nmero de platillos grises (G)3 = Nmero de platillos blancos (B)Figura 1.5Respuesta:

Hay 12 platillos, 4 del primer tipo2 del tercer tipo3 del segundo tipo3 del cuarto tipo

Hay 4 tipos de platillos (R, A, G, B)

277.200

Dora puede disparar y romper los 12 platillos de 277.200 formas.

27. Determine el valor (o los valores) de n en cada uno de los siguientes casos:a) P(n,2)=90;b) P(n,3)=3 P(n,2);c) 2P(n,2)+50= P(2n,2);

Respuesta:

a) P(n,2)=90

b) P(n,3) = 3P(n,2)

c) 2P(n,2) + 50 = P(2n,2)