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Facultad de Economía, UPC

Taller de modelos macroeconómicosen MatlabClase 2

Mg. Carlos Rojas [email protected]

8 de marzo de 2019

1 Variaciones al modelo RBCbase

1.1 Función de utilidad2 Rigideces reales2.1 Hábitos de consumo

2.2 Costos de ajuste al capital oa la inversión

2.3 Costo de ajuste al capital2.4 Costo de ajuste a la

inversión

Índice

2/30 Facultad de Economía, UPC

Manteniendo la estructura básica de nuestro modelo (sinincorporar más agentes o introducir fricciones), podemosmodificarlo en, por lo menos, tres dimensiones:• Otras formas funcionales para la función de utilidad (GHH,

KPR, CRRA, CARA, etc.)• Otras formas funcionales para la función de producción

(CES, con costos fijos, etc.)• Añadiendo choques (preferencias, oferta de trabajo, etc.)

Variaciones al modelo RBC base


Ut =1

1− σ

(Ct − κ

L1+ηt

1 + η

)1−σ

(1)

• Si σ = 1, entonces: Ut = ln

(Ct − κ

L1+ηt

1+η

).

• Condición intratemporal (no hay efecto ingreso!):

Wt = κLηt (2)

• Condición intertemporal:(Ct − κ

L1+ηt

1 + η

)−σ= βEt

(

Ct+1 − κL1+η

t+1

1 + η

)−σ(1 + rt+1)

(3)

Preferencias a la Greenwood–Hercowitz–Huffman


• Estado Estacionario:

L =

(αYκ

) 1(1+η)

(4)

• Para poder comparar este modelo con el de utilidadlogarítmica, pasaremos (de ahora en adelante) a mantenerel mismo valor de estado estacionario para el trabajo L ycambiamos κ, luego:

κ =

(1L

)1+η

αY (5)

Donde L = 0,3942.

Preferencias a la Greenwood–Hercowitz–Huffman


Ut =[Cθ

t (1− Lt )1−θ]1−σ

1− σ(6)

• Consistente con la senda de crecimiento balanceada(SBC) (todas las variables crecen a una tasa constante).Hasta ahora habíamos visto un caso especial de SCB: enel Estado Estacionario todas las variables crecen 0.

• Note que si σ = 1 entonces Ut = θ log Ct + (1− θ) log Lt .• ¿Qué valor de σ utilizar?

Preferencias a la King–Plosser–Rebelo


• Condición intratemporal (note que si Ct y Wt crecen a lamisma tasa, Lt no crece):

1− Lt =1− θθ

(Ct

Wt

)(7)

• Condición intertemporal:

(Cθt (1− Lt )

(1−θ))−σ(1− Lt )(1−θ)C(θ−1)

t =

βEt

{(Cθ

t+1(1− Lt+1)(1−θ))−σ(1− Lt+1)(1−θ)C(θ−1)t+1 (1 + rt+1)

}(8)

• Estado estacionario (igual que antes salvo para L):

L =1

1 + 1α

CY

(1−θθ

) (9)

Preferencias a la King–Plosser–Rebelo


Ut =C1−σ

t1− σ

− κL1+η

t1 + η

(10)

• Función de utilidad con coeficiente de aversión relativa alriesgo constante. Recordemos que dicho coeficiente es:ρr = −Ucc

Uc C = σ.• Donde σ también es conocido como la inversa de la

elasticidad de sustitución intertemporal. Si σ = 1, entonces

Ut = log Ct − κL1+η

t1+η .

• Muy utilizada en modelos neokeynesianos de medianaescala (bancos centrales).

Preferencias CRRA


• Condición intratemporal (note que aquí sí hay efectoingreso):

Wt = κLηt Cσt (11)

• Condición intertemporal

C−σt = βEt{

C−σt+1(1 + rt+1)}

(12)

• Estado Estacionario (igual que antes salvo para L):

L =

αY (1−ησ)

κ(

1− (1−α)βδ1−β+βδ −

GY

)σ(

11+η

)(13)

Preferencias CRRA


1 Variaciones al modelo RBCbase

1.1 Función de utilidad2 Rigideces reales2.1 Hábitos de consumo

2.2 Costos de ajuste al capital oa la inversión

2.3 Costo de ajuste al capital2.4 Costo de ajuste a la

inversión

Índice


• Mecanismos que permiten capturar hechos empíricos(dinámica de las variables) en modelos DSGE. Porejemplo, se observa que ante algún choque en particular,variables como el consumo o la inversión muestran unarespuesta tipo “joroba” o hump-shaped. A su vez, ladinámica de las variables ante una perturbación exógenapuede no ser instantánea sino demorar en el tiempo.

• Estudiaremos (por el momento) dos tipos de rigidecesreales:

1 Hábitos de consumo.2 Costos de ajuste al capital / a la inversión.

Introduciendo rigideces reales


• La satisfacción del individuo no sólo se explica por elconsumo actual sino también por su relación con elconsumo pasado.

• Buscamos capturar hechos empíricos. Ante un choque, elconsumidor busca suavizar su nivel de consumo.

Ut = Ut (Ct ,Ct−1,Lt )

• Observe que ahora la función de utilidad instantánea ya noes separable en el tiempo.

• Se puede entender como un costo de ajuste en elconsumo, medido en términos de utilidad.

• Si ⇑ Ct entonces ⇓ UMgt pero ⇑ UMgt+1.

Hábitos de consumo


1 Hábitos de consumo interno: hábitos determinados por elpropio consumo del individuo.

Ut = θlog(Ct − φCt−1) + (1− θ)log(1− Lt ) (14)

2 Hábitos de consumo externo: hábitos no dependen de lasdecisiones pasadas del individuo respecto a su consumo,sino del consumo agregado.

Ut = θlog(Ct − φCt−1) + (1− θ)log(1− Lt ) (15)

Hábitos de consumo


El lagrangiano en valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct − φCt−1) + (1− θ)log(1− Lt ) + ...

λt (Ct + At+1 + Tt − (1 + rt )At −WtLt )]

(16)

La utilidad marginal del consumo es:

UC,t =θ

Ct − φCt−1− βEt

{θφ

Ct+1 − φCt

}(17)

Hábitos de consumo interno


Con esto, el Estado Estacionario de las horas trabajadas es:

L =1

1 + Cα

(1−θθ

) (1−βφ1−φ

) (18)

Sin embargo, si queremos comparar con el modelo base,debemos “fijar” L en el mismo valor, por lo que la variable deajuste en este caso es θ:

θ =1

1 +(1−L

L

) (αC

) (1−βφ1−φ

) (19)

Y L = 0,3942.

Hábitos de consumo interno


El lagrangiano en valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct − φCt−1) + (1− θ)log(1− Lt ) + ...

λt (Ct + At+1 + Tt − (1 + rt )At −WtLt )]

(20)

La utilidad marginal del consumo es:

UC,t =θ

Ct − φCt−1(21)

Hábitos de consumo externo


Con esto, el Estado Estacionario de las horas trabajadas es:

L =1

1 + Cα

(1−θθ

)(1− φ)

(22)

“Fijando” L , θ se ajusta tal que:

θ =1

1 +(1−L

L

) (αC

) ( 11−φ

) (23)

Y L = 0,3942.

Hábitos de consumo externo


• Ante una determinada perturbación, los agentes puedenalterar sus decisiones de inversión de forma que el capitalobtenido sea el óptimo en cada período.

• Pero modificar los planes de inversión tiene,implícitamente, un costo que genera rigideces en elproceso de acumulación de capital.

• Es decir, que ante un choque el proceso de acumulaciónde capital va a ser más gradual.

• Dos posibilidades técnicas: costos de ajuste al capital ocostos de ajuste a la inversión.

Costo de ajuste al capital o a la inversión


• Hasta el momento hemos supuesto que el precio de losbienes de capital relativo al de los bienes de consumo (qt )es 1, lo que significa que el valor de la firma es igual alvalor del stock de capital físico.

• Introducimos costos de ajuste del stock de capitalconvexos.

• Existe un costo al variar el capital, lo que implica queahora q 6= 1.

Costo de ajuste al capital


• Definimos el costo de ajuste del capital como una función:

ψ(·) = ψ

(ItKt

)(24)

• El costo de ajuste depende del volumen de inversiónrespecto al stock de capital instalado. Esta función cumplecon: ψ(δ) = 0, ψ′(δ) > 0 y ψ′′(δ) > 0.

• Usaremos la siguiente forma funcional cuadrática paraψ(·):

ψ(·) =ψ

2

(ItKt− δ)2

Kt (25)

• Dos puntos importantes: (i) el costo está denominado enunidades de capital físico actual y (ii) es simétrico.



Problema de maximización del consumidor:

max{Ct ,Lt ,Kt+1,It}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βt (θlog(Ct ) + (1− θ)log(1− Lt )) (26)

Sujeto a:Ct + It = WtLt + (rt + δ)Kt (27)

Kt+1 = It −ψ

2

(ItKt− δ)2

Kt + (1− δ)Kt (28)



El lagrangiano de valor presente:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct ) + (1− θ)log(1− Lt ) + ...

λt ((rt + δ)Kt + WtLt − Ct − It − Tt ) + ...

µt

(It −

ψ

2

(ItKt− δ)2

Kt + (1− δ)Kt − Kt+1

)] (29)



CPO’s:[Ct ] :

1Ct

= λt (30)

[Lt ] :1− θ1− Lt

= λtWt (31)

[Kt+1] :

µt = βEt

[(rt+1 + δ)λt+1 − µt+1

ψ

2

(It+1

Kt+1− δ)2

+

µt+1ψ

(It+1

Kt+1− δ)

It+1

Kt+1+ µt+1(1− δ)

] (32)

[It ] : λt = µt

(1− ψ

(ItKt− δ))

(33)



Definiendo qt = µtλt

, tenemos:

qt =

(1− ψ

(ItKt− δ))−1

(34)

Esta ecuación establece que mientras mayor sea el ratio ItKt

respectoa δ, mayor es qt .

qt = βEt

{Ct

Ct+1[(rt+1 + δ)+

qt+1

((1− δ) + ψ

(It+1

Kt+1− δ)

It+1

Kt+1− ψ

2

(It+1

Kt+1− δ))]} (35)

La ecuación muestra que qt es el valor descontado del productomarginal futuro del capital, de los costos de ajuste futuros y delprecio del capital futuro, qt+1, donde el descuento se realizamediante el factor de descuento estocástico βEt

CtCt+1

.



Interpretación de qt : es la utilidad marginal de invertir unaunidad adicional de capital respecto a la utilidad marginal deconsumir una unidad adicional. Por tanto, qt mide a cuántoconsumo renuncias para obtener capital extra futuro o, en otraspalabras, es el precio relativo del capital en términos deconsumo. Si ψ = 0 entonces qt = 1 o λt = µt .



• Hay un costo por “mover” inversión: (i) el costo de ajustees medido en términos de unidades de inversión y (ii) elcosto de ajuste no depende del tamaño de la inversiónrespecto al stock de capital, sino de la tasa de crecimientode la inversión.

• La forma funcional general es:

ψ(·) = ψ

(It

It−1

)(36)

Donde ψ(1) = 0, ψ′(1) > 0 y ψ′′(1) > 0.• La forma específica a utilizar es:

ψ(·) =ψ

2

(It

It−1− 1)2

It (37)

Costo de ajuste a la inversión


Problema de maximización del consumidor:

max{Ct ,Lt ,Kt+1,It}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βt (θlog(Ct ) + (1− θ)log(1− Lt )) (38)

Sujeto a:Ct + It = WtLt + (rt + δ)Kt (39)

Kt+1 =

[1− ψ

2

(ItKt− δ)2]

It + (1− δ)Kt (40)



El lagrangiano de valor presente:

`t = Et

∞∑t=0

βt [θlog(Ct ) + (1− θ)log(1− Lt ) + ...

λt ((rt + δ)Kt + WtLt − Ct − It − Tt ) + ...

µt

([1− ψ

2

(It

It−1− 1)2]

It + (1− δ)Kt − Kt+1

)] (41)



CPO’s:[Ct ] : λt =

θ

Ct(42)

[Lt ] :1− θ1− Lt

= λtWt (43)

[Kt+1] : µt = βEt (λt+1(rt+1 + δ) + µt+1(1− δ)) (44)

[It ] :

λt = µt

(1− ψ

2

(It

It−1− 1)2

− ψ(

ItIt−1− 1)

ItIt−1

)+

βEt

{µt+1ψ

(It+1

It− 1)(

It+1

It

)2}(45)



Definiendo qt = µtλt

, tenemos:

qt = βEt

{Ct

Ct+1((rt+1 + δ) + (1− δ)qt+1)

}(46)

Ahora la ecuación de la “q” de Tobin es más simple: qt es elvalor presente descontado de la renta del capital neto dedepreciación.

1 = qt

(1− ψ

2

(It

It−1− 1)2

− ψ(

ItIt−1− 1)

ItIt−1

)+

βEt

{Ct

Ct+1qt+1ψ

(It+1

It− 1)(

It+1

It

)2} (47)

Si It es mayor a su estado estacionario, entonces, qt serámayor a 1.



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