taller 3 capitulo 8 de sipper
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Universidad del Valle
Facultad de ingeniería industrial y estadística
Informe de ejercicios de taller 3 de programación de operaciones
Estudiantes a cargo
Arredondo R. Jeniffer Y
Díaz B. José Luis
Hernández Víctor Hugo
Mena Diego Fernando
Docente
Salazar Andrés Felipe
Guadalajara de Buga, Mayo 2014
Solución de algunos ejercicios del capítulo 8
14) Una pequeña compañía procesadora de alimentos debe realizar 7 trabajos.
El gerente desea entregar las órdenes tan pronto como sea posible, para
reducir los espacios que se usan para los trabajos en proceso, y quiere que
todos los trabajos se entreguen con nomas de tres días de retraso. ¿Qué
programación recomendaría?
Trabajo j 1 2 3 4 5 6 7
Pj 4 2 8 9 3 6 1
dj 6 13 14 22 31 33 38
En primera instancia se utilizó el programa LEKIN Scheduler para evaluar las
reglas de despacho como Ratio crítico (CR), Earliest Due Date (EDD), Longest
Processing Time (LPT) y Shortest Processing Time (SPT), esto se realizó con
el fin de definir que regla de prioridad es más eficiente a la hora de definir la
programación con base a los requerimientos de la compañía de alimentos. La
tabla de resultados se presenta a continuación:
Bajo el criterio establecido anteriormente, las reglas de programación CR, EDD,
LPT y SPT presentan diferente tiempos de tardanza los cuales son (1, 1, 21,
11) respectivamente, esto ya puede definir que tanto el programa CR como el
EDD son los más indicados para cumplir con el plazo máximo de 3 días de
retraso; por otro lado, el número de trabajos tardíos es de (3, 1, 3, 3)
respectivamente, esto muestra que el programa EDD minimiza el número de
trabajos tardíos a 1 (el trabajo 4), mientras que los programas CR, LPT y SPT
generan 3 trabajos tardíos. A continuación se presenta el diagrama de carga
objetivo que presenta la diferencia de eficacia de los métodos:
Como se puede ver en el gráfico, el comportamiento de los métodos es
semejante en varios aspectos como el tiempo y el lapso de trabajo, por otro
lado, tanto en las áreas de tardanza máxima, total retrasos y número de
tardanzas se puede observar que el método EDD es superior a los demás en
términos de efectividad a la hora de desarrollar una solución factible.
A continuación se presenta el diagrama de Gantt para la programación (EDD):
Como conclusión se recomendaría la programación de trabajos con fecha de
entrega más temprana (EDD) ya que puede cumplir con los requerimientos de
tiempo de tardanza, además, lleva al mínimo el número de trabajos tardíos en
comparación con los demás métodos.
16) Encuentre un buen programa del tiempo de flujo para los siguientes
trabajos con tiempos de liberaciones de las órdenes:
Trabajo i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Pi 16 11 6 18 2 20 19 20 8 16 136
ri 22 6 0 6 21 7 29 121 64 48
Para un problema donde se deba minimizar el tiempo de flujo con tiempos de
liberación, se recomienda el método de producción trabajo con procesos más
corto (SPT), este método me ayuda a optimizar el flujo de tiempo y teniendo en
cuenta los tiempos de liberación de los trabajos.
Ahora, si aplicamos este método los resultados serian:
Trabajo i
3 2 5 1 4 9 10 7 6 8
Pi 6 11 2 16 18 8 16 19 20 20
ri 0 6 21 22 6 64 48 29 7 121 Total
Ci= 6 17 23 39 57 72 88 107 127 147 683
Fi= 6 11 2 17 51 8 40 78 120 26 359
Como podemos observar nos da un tiempo de proceso (Makespan) de 147 y
un tiempo de flujo total de 683 si el orden de los trabajos son (3, 2, 4, 6, 5, 1, 7,
10, 9 y 8), indicándonos que son las cantidades óptimas con este modelo, sin
embargo, el método radio critico (CR), nos arroja un resultado similar.
Para demostrar que es el óptimo entre los demás modelos conocidos, se
presentaran en la siguientes graficas:
Como se puede observar los métodos CR y SPT, me ofrecen las cantidades
mas optimas entre ellas.
22) Encuentre el programa de tardanza total optima para el siguiente problema
de una sola maquina. Sugerencia: use la información que pueda.
Trabajo i
1 2 3 4 5 6 Total
Pi 79 96 102 121 130 147 675
di 255 683 580 260 337 269
Para este tipo de problemas, donde el objetivo principal es optimizar la
tardanza total, se recomienda el modelo de programación fecha de entre más
corta (EDD), al utilizar este modelo obtuvimos los siguientes resultados:
Trabajo i
1 4 6 5 3 2 Total
Pi 79 121 147 130 102 96 675
di 255 260 269 337 580 683
Ci 79 200 347 477 579 675 2357
Li -176
-60 78 140 -1 -8 -27
Ti 0 0 78 140 0 0 218
Como podemos observar en estas graficas, si se utiliza este método el orden
de trabajo seria (1, 4, 6, 5, 3 y 2), obteniendo una tardanza total de 218, con 2
trabajos tardíos que son (6 y 5). También, se puede demostrar que es el más
óptimo de los métodos conocidos, ya que supera la tardanza total, aunque el
flujo de tiempo sea menor. Esta demostración se presenta en la siguientes
graficas:
De esta forma se demuestra que el modelo óptimo entre los conocidos es el
EDD, dando como tardanza total una cantidad de 218.
30) Considere el siguiente conjunto de trabajos:
TRABAJO i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pi 5 11 18 8 20 4 14 9 10 16
a) Encuentre la suma mínima de adelanto y tardanza si la fecha de entrega
común es de 90
b) Repita el inciso anterior si la fecha de entrega es 65.
Para este problema se supone que todos los trabajos tienen pesos iguales,
fecha de liberación en cero y una fecha de entrega en común, y tiene como
objetivo minimizar la tardanza total. Para lograr este objetivo usaremos la
secuencia TPC (SPT) que me minimiza la tardanza total.
Ahora para responder el inciso a, se debe tener en cuenta que tiene una
cantidad en común para todos los trabajos y esa cantidad es la fecha de
entrega que me representa como 90, para observar si se logro minimizar la
tardanza con este parámetro, utilizamos el método SPT y obtuvimos los
siguientes resultados:
Trabajo i
6 1 4 8 9 2 7 10 3 5 Total
Pi 4 5 8 9 10 11 14 16 18 20 115
di 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90
Ci 4 9 17 26 36 47 61 77 95 115 487
Li -86
-81 -73
-64 -54
-43
-29 -13 5 25 -413
Ti 0 0 0 0 0 0 0 0 5 25 30
Ai 86 81 73 64 54 43 29 13 0 0 443
Como podemos observar el orden programado optimo, es (6, 1, 4, 8, 9, 2, 7,
10, 3 y 5), siendo este el de menor tardanza (30) y adelanto (443). Para
demostrar que este modelo es el óptimo se mostrara en las siguientes graficas
los resultados de los otros métodos:
Con estos resultados, se puede observar claramente que se no se obtienen
una tardanza menor que 30, sin embargo, no es el único modelo que me
minimiza los trabajos tardíos, también lo hace EDD y FCFS.
b) ahora para este problema, que tiene un parámetro distinto, que es la fecha
de entrega, siendo de 65
Trabajo i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
Pi 5 11 18 8 20 4 14 9 10 16 115
di 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65
Si aplicamos el mismo método, cumpliríamos el mismo objetivo solo que con
distintos resultados como podemos ver a continuación:
Trabajo i 6 1 4 8 9 2 7 10 3 5 Total
Pi 4 5 8 9 10 11 14 16 18 20 115
di 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65
Ci 4 9 17 26 36 47 61 77 95 115 487
Li -61 -56 -48 -39 -29 -18 -4 12 30 50 -163
Ti 0 0 0 0 0 0 0 12 30 50 92
Ai 61 56 48 39 29 18 4 0 0 0 255
Con este resultado obtuvimos el mismo orden, aunque la tardanza mínima en
este caso es de 92 y el adelanto es de 255, siendo estos valores los más
óptimos entre los métodos conocidos. Para observar que este método es el
óptimo entre los otros, lo demostraremos en las siguientes graficas.
En este caso, este método fue el único que mejor me minimizo los trabajos
tardíos y la tardanza mínima.
Sin embrago, para comprobar que se obtenga el óptimo se utilizara un modelo
heurístico y al aplicarlo podemos decir que:
Suponiendo que todos los trabajos tienen pesos iguales, fecha de liberación en
cero y una fecha de entrega en común se utiliza la regla LPT para resolver
este tipo de problemas.
a) Este primer inciso se realiza para un problema no restringido con D>= Delta,
es decir, la fecha de entrega es no restringida.
Primero se debe determinar el j* que en este caso nos dio J* = 5 es
decir que el trabajo 9 está en la quinta posición de la secuencia v
dada en el segundo renglón.
Luego definimos:
D = fecha de entrega = 90
Delta = p1 + p3 +p5 + p7 +p9 = 67
Aquí comprobamos que el problema es no restringido porque se cumple que
D>= Delta.
Después definimos la terminación de cada trabajo lo que se
determina a partir de la diferencia entre la fecha de entre y Delta y en
este caso nos da igual a 23 entonces el primer trabajo tiene una
fecha de terminación de 28 dado que se le suma el tiempo de
procesamiento, y así se realiza para cada fecha de terminación de
cada trabajo.
Por último con los anteriores cálculos logramos obtener la suma
mínima de adelanto y tardanza para los cuales se programan todos
los tiempos ocioso al principio con el objetivo de no adelantar tanto
los trabajos, dado que esto nos puede causar costos de mantener
inventarios si los trabajos se terminan antes de la fecha de entrega y
costos de retrasos por incumplir la fecha de entrega si los trabajos se
terminan después de esta.
Los resultados de los cálculos anteriores se muestran en la tabla a
continuación.
TRABAJO i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pi 5 11 18 8 20 4 14 9 10 16
SECUENCIA 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2
TIEMPOS 5 18 20 14 10 16 9 4 8 11
SUMA DE TIEMPOS
5 23 43 57 67 83 92 96 104 115
TERMINACIÓN 28 51 71 85 95 111 120 124 132 143
ADELANTO 62 39 19 5 0 0 0 0 0 0
TARDANZA 0 0 0 0 5 21 30 34 42 53
b) Este es un caso con fecha de entrega restringida debido a que D<Delta
por ende tenemos que hacer uso de otro tipo de procedimiento
heurístico que desarrollaron y probaron Sundararaghavan y Ahmed
para estos casos.
Paso 0 :
a = n; K = b = 1
Hacemos B = D
Paso 1:
Si B > A, entonces se asigna el trabajo k a la posición b
b + 1 entonces b
B – pk entonces B
De otra manera se asigna el trabajo k a la posición a
a – 1 entonces a
A – pk entonces A
Para determinar los datos iniciales se realizaron los siguientes cálculos:
A = ∑j pj - D
a = 10 trabajos
Siguiendo esta secuencia de pasos y respetándolas condiciones que se van
presentando a lo largo de la programación obtuvimos los resultados en la
siguiente tabla.
B b A a
k pk 65 1 50 10
5 20 65 1 50 10
3 18 65 1 30 9
10 16 47 2 30 9
7 14 31 3 30 9
2 11 17 4 30 9
9 10 17 4 19 8
8 9 17 4 9 7
4 8 8 5 9 7
1 5 8 5 1 6
6 4 3 6 1 6
∑j pj =
115
32) Considere los siguientes tipos de procesado dependientes de la secuencia:
Dé una secuencia según el heurístico del tiempo de preparación más corto y
muestre el óptimo.
Trabajo 1 2 3 4 5
1 __ 22 15 24 15
2 35 __ 24 29 1
3 19 23 __ 30 13
4 39 18 0 __ 9
5 11 0 2 12 __
Dada la limitación de la herramienta LEKIN, no se puede programar este
algoritmo en esta herramienta, por otro lado, utilizando la secuencia según el
heurístico del tiempo de preparación más corto se logró obtener la ruta más
apropiada la cual se presenta a continuación:
Trabajo 1 2 3 4 5
1 3
2 5
3 2
4 1
5 4
Mínimo de tiempo 63 Ruta 4-3-1-5-2-4
La ruta apropiada según el heurístico para el tiempo de preparación más corto
es (4-3-1-5-2-4) con un lapso de 63 unidades de tiempo.
33) Un troquel hace cuatro partes. Una vez terminada cada parte, se realiza un
cambio para la siguiente parte programada. El tiempo (en horas) para el
cambio depende de la secuencia y se muestra en la tabla. El proceso real de
las partes se puede tomar hasta dos días. Suponga que las partes deben de
hacerse una a la vez en un programa rotativo, ¿Qué secuencia recomendaría?
Parte 1 2 3 4
1 __ 1 3 4
2 6 __ 10 4
3 10 2 __ 3
4 2 1 4 __
Ya que la herramienta LEKIN tiene limitaciones de aplicabilidad, no es posible
programar este problema en la herramienta, por otro lado, utilizando la
secuencia según el heurístico del tiempo de preparación más corto para hallar
el tiempo de preparación mínimo se puede llegar a la solución.
Parte 1 2 3 4
1 3
2 1
3 4
4 2
Mínimo de tiempo 11 Ruta 2-4-1-3-2
La ruta apropiada según el heurístico para el tiempo de preparación más corto
es (2-4-1-3-2) con un lapso de 11 unidades de tiempo. Por otro lado se
encontró otra ruta que genera un lapso de tiempo similar:
Parte 1 2 3 4
1 4
2 2
3 1
4 3
Mínimo de tiempo 11 Ruta 3-2-4-1-3
Otro resultado de seguir el heurístico para el tiempo de preparación más corto
es (3-2-4-1-3) con un lapso de 11 unidades de tiempo. Ahora bien, tanto la
primera como la segunda ruta pueden ser una forma viable de minimizar el
tiempo de preparación entre trabajos.
43) Determina el programa de flujo mínimo para los trabajos descritos en la
tabla, procesando en tres maquinas idénticas. Compare el tiempo de flujo con
las soluciones de una sola maquina.
Trabajo i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total
Pi 16 9 10 8 5 11 15 6 3 19 8 4 3 11 5 1 11 10 6 5 166
Para este tipo de problema, se identifica claramente que se trabaja con
maquinas paralelas y se diferencia con una proceso de maquina simple. En
este problema tiene como objetivo minimizar el flujo total de los trabajos. Para
cumplir con este objetivo se recomienda utilizar el método de programación
trabajo con el proceso más corto (SPT), sin embargo, este método no me
optimiza el máximo flujo de tiempo, para tener mejor claridad, observemos los
resultados con el método SPT:
Trabajo i
16
9 13
12
5 15
20
8 19
4 11
2 3 18
6 14
17
7 1 10
Total
Pi 1 3 3 4 5 5 5 6 6 8 8 9 10
10
11
11
11
15
16
19
166
M1/Trabajo i
16 12 20 4 3 14 1
P1 1 4 5 8 10 11 16 Total
Ci 1 5 10 18 28 39 55 156
M2/Trabajo i
9 5 8 11 18 17 10
P1 3 5 6 8 10 11 19 Total
Ci 3 8 14 22 32 43 62 184
M3/Trabajo i
13 15 19 2 6 7
P1 3 5 6 9 11 15 Total
Ci 3 8 14 23 34 49 131
Mi M1 M2 M3 Total
Ci 156 184 131 471
Como se puede observar, el tiempo de flujo total nos da una cantidad de 147,
con un makespan de 62, sin embargo, si lo que se quiere es optimizar el
makespan, el modelo más óptimo es el método proceso de tiempo más largo
(LPT), para observar los resultados se mostraran en las siguientes graficas:
Con el método LPT, se ve claramente que el Makespan, disminuyo de 62 a 56,
sin embargo, el tiempo de flujo total nos arrojo una cantidad mayor al método
de SPT que es de 802.
Ahora estos son los métodos más óptimos si se quiere un mínimo flujo de
tiempo total o un flujo de tiempo máximo, se pueden demostrar en las
siguientes graficas:
Sin embargo, el objetivo principal es diferenciar el método optimo con
maquinas paralelas y el método optimo con maquinas simples. Además se
debe hacer un análisis con maquina simple, donde hay que minimizar el tiempo
de flujo o el flujo máximo de todo el proceso, para este también se utiliza el
método SPT, en el caso de maquinas simple el flujo máximo es el mismo para
todos, así que solo se va optimizar el tiempo de flujo total. Al aplicar este
método se tiene como resultado:
Trabajo i
16 9 13 12 5 15 20 8 19 4 11 2 3 18 6 14 17 7 1 10 Total
Pi 1 3 3 4 5 5 5 6 6 8 8 9 10 10 11 11 11 15 16 19 166
Ci 1 4 7 11 16 21 26 32 38 46 54 63 73 83 94 105 116 131 147 166 1234
Con este método tenemos como resultado optimo el tiempo de flujo total de
1234, aproximadamente el triple del flujo total del SPT con 3 maquinas
paralelas y un Makespan de 166, siendo aproximadamente el triple del
makespan del SPT con 3 maquinas paralelas.
Se podría afinar que entre más maquinas paralelas, habrá menos tiempo en la
espera.
44) Gerry, el mecánico del ejercicio 8.5, puede contratar otro mecánico para
ayudarlo a reparar seis automóviles. El mecánico cuesta $ 10 por hora y debe
trabajar un mínimo de 4 horas. ¿Qué costo por hora tendrá que pagar Gerry al
tiempo de espera del cliente para justificar la contratación del mecánico?
Trabajo i 1 2 3 4 5 6 Total
Pi 115 145 40 25 70 30 425
Para solucionar este problema, primero se debe identificar qué tipo de
programación es, en este caso la programación es maquinas paralelas. Ya
teniendo definido este programa se escoge el método más óptimo, y para
cumplir el objetivo que es el de menos flujo de tiempo total se usa el método
del proceso con el tiempo más corto (SPT), al aplicar este método podemos
observar los siguientes resultados:
Trabajo i 4 6 3 5 1 2
Pi 25 30 40 70 115 145
M1/Trabajo i 4 3 1
Pi 25 40 115 Total
Ci 25 65 180 270
M2/Trabajo i 6 5 2
Pi 30 70 145 Total
Ci 30 100 245 375
Mi M1 M2 Total
Ci 270 375 645
Como podemos observar, el método SPT, nos indica que el tiempo de flujo
optimo es de 645, además de esto, también nos indica los tiempo de los
mecánicos (180 y 245), como el mecánico nuevo debe trabajar un mínimo de 4
horas, pues Gerry trabajara el resto en lo cual su tiempo máximo es de 245.
Ahora que sabemos, cual es el tiempo de total que trabaja el mecánico nuevo,
se calcula el costo total ya que el mecánico cobra un total de $10 por hora. Con
el resultado de la operación (10*4.05 = $40,5), se calcula el posible costo por
hora, como ($40,5 = 645X), esta operación nos da como resultado $0.096 por
minutos, ahora se calcula por horas ($0.096*60 = $5,76).
Sin embargo, para reducir costos, el método más optimo es el radio critico
(CR), este método nos demuestra, que uno de los mecánicos trabaja
exactamente 4 horas, donde casualmente el mecánico nuevo debe trabajar
mínimo de 4 horas, para ver claramente este método, se demostrara en la
grafica:
En este caso los costos cambiarían totalmente, ya que tendríamos un total de
($10x4=$40), pero los costos por hora serian mucho más reducidos por el
tiempo de flujo total que se obtuvo en este modelo, que tiene como cantidad
995. El costo por hora seria (($40/ 995) x 60 = $2.41).
Para demostrar que estos métodos son los óptimos según el interés de Gerry,
se mostraran en las siguientes graficas:
Como se menciono anteriormente, los métodos óptimos son SPT y CR, en
este caso depende de cuánto realmente el mecánico quiera tener como espera
por hora.
52) Los datos de un taller de producción continua con 4 trabajos y 6 máquinas
se dan enseguida
A) obtenga un programa con un buen lapso para el problema
TRABAJO i 1 2 3 4 5 6
Pi1 18 14 25 29 7 21
Pi2 2 23 25 5 15 6
Pi3 28 3 22 6 25 19
Pi4 16 11 26 1 16 21
Para hallar el mejor programa con un buen lapso para el problema se realiza
con tres métodos y reglas, primero se probará en el software Lekin con la regla
SPT, después con el heurístico CDS y por ultimo con el heurístico de Gupta y
después de ver los resultados de las tres programaciones se definirá cual el
que tiene el mejor lapso para este problema.
1) Programacion en Lekin con la regla SPT
Con este método obtuvimos un tiempo total de terminación de Cmax =190.
2) Ahora se probara la programación con el heurístico CDS
En este heurístico para lograr semejar este problema de 4 máquinas y n
trabajos como un algoritmo de Johnson para un problema de 2 máquinas y n
trabajos debemos de combinar los tiempo de procesado para obtener tres
programas de la cuales se escogerá la mejor secuencia CDS para que tenga el
menor lapso Cmax.
El primer programa
trabajos 1 2 3 4 5 6
M1 18 14 25 29 7 21
M2 16 11 26 1 16 21
Secuencia
1 2 3 4 5 6
T4 T5 T2 T1 T6 T3
Con esta secuencia se tiene Cmax = 141
El segundo programa
trabajos 1 2 3 4 5 6
M1 20 37 50 34 22 27
M2 44 14 48 7 41 40
Secuencia
1 2 3 4 5 6
T4 T1 T2 T5 T6 T3
Con esta secuencia se tiene Cmax = 247
Tercer programa
trabajos 1 2 3 4 5 6
M1 48 40 72 40 47 46
M2 46 37 73 12 56 46
Secuencia
1 2 3 4 5 6
T4 T2 T6 T1 T5 T3
Con esta secuencia se tiene Cmax = 371
3) Por último se realiza una programación a este problema con el
heurístico de Gupta
TRABAJO i
1 2 3 4 5 6
Pi1 18 14 25 29 7 21
Pi2 2 23 25 5 15 6
Pi3 28 3 22 6 25 19
Pi4 16 11 26 1 16 21
Aplicando los algoritmos en la siguiente tabla obtenemos los resultados y la
secuencia optima que este arrojo
trabajo p1+p2 p2+p3 p3+p4 min ei si (i)
1 20 30 44 20 -1 -0,05
5
2 37 26 14 14 -1 -0,07
3
3 50 47 48 47 1 0,02 6
4 34 11 7 7 -1 -0,14
1
5 22 40 41 22 1 0,05 2
6 27 25 40 25 -1 -0,04
4
Con este modelo obtuvimos la secuencia óptima (4-5-2-6-1-3)
Al realizar la gráfica de Gantt para este heurístico obtuvimos un Cmax = 181
A partir de estos programas se realizaron los diagramas de Gantt y se
obtuvieron los Cmax respectivos y comparando pudimos comprobar que la
secuencia que arroja el mejor programa con un buen lapso optimo es la del
Cmax = 141, siendo el menor que se obtuvo, que corresponde a la primera
programación que se realizó en el heurístico de CDS
Secuencia óptima para este problema:
1 2 3 4 5 6
T4 T5 T2 T1 T6 T3