UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

TALLER 1 DE ECUACIONES DIFERENCIALES PROF: ESP. DEUD SOTO PALOMINO

1. Demostrar que 𝑦 = 𝑒−𝑥2∫ 𝑒𝑡2

𝑑𝑡 + 𝐶1𝑒−𝑥2𝑥

0 es solución de 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 1.

2. Demostrar que 𝑦 = 𝑥 ∫𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑡 𝑑𝑡

𝑥

0 es solución de 𝑥𝑦′ = 𝑦 + 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥

3. Resolver (1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑦)𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑦 𝑑𝑦 = 0

4. Haciendo los cambios de coordenadas 𝑢 =1

2𝑥2, 𝑣 =

1

2𝑦2, resuelva la ecuación

(2𝑥2 + 3𝑦2 − 7)𝑥 𝑑𝑥 − (3𝑥2 + 2𝑦2 − 8) 𝑦 𝑑𝑦 = 0

5. Resolver 𝑑𝑟

𝑑𝜃= 𝜃 −

𝑟

3𝜃 con 𝑟 = 1, 𝜃 = 1

6. Para 𝑥 > 0 considere la ecuación

𝑦′ + 𝑒−2𝑥𝑦2 −1

𝑥(1 + 4𝑥 + 2𝑥2)𝑦 = −

𝑒2𝑥

𝑥(1 + 𝑥 + 2𝑥2 + 𝑥3).

a) Encuentre la solución particular de la forma 𝑦1(𝑥) = 𝑒2𝑥(𝐴𝑥 + 𝐵)

b) Encuentre su solución general. 7. Resolver (𝑦 𝑙𝑛(𝑦) − 2𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦3𝑒𝑦)𝑑𝑦 = 0

8. Considere la E. D

𝑦 − 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑎 (1 + 𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥) , 𝑎 > 1.

a) Encuentre la solución general.

b) Encuentre la solución particular que verifica 𝑦(1) = 𝑎

𝑎+1

c) Encuentre el intervalo máximo donde la solución particular anterior está definida.

9. Resolver 𝑑𝑥

𝑑𝑦−

2

𝑦𝑥 = √𝑦 (

𝑥

𝑦2)

3

2

10. Hallar una solución continua de la E.D 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥) donde

𝑓(𝑥) = {𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 10, 𝑥 ≥ 1

y 𝑦(0) = 2

11. Encuentre la solución particular de la ecuación

[𝑙𝑛(𝑙𝑛(𝑦))

𝑥+

2

3 𝑥𝑦3 + 6𝑥] 𝑑𝑥 + [

𝑙𝑛(𝑥)

𝑦 𝑙𝑛(𝑦)+ 𝑥2𝑦2 + 4𝑒−2𝑦] 𝑑𝑦 = 0

que pasa por el punto (1,1

2).

12. Resolver la E.D (7𝑥4𝑦 − 3𝑦8) 𝑑𝑥 + (2𝑥5 − 9𝑥𝑦7) 𝑑𝑦 = 0, sabiendo que existe un

factor integrante de la forma 𝑥𝑚𝑦𝑛.

13. Resuelva la ecuación (𝑥 − 𝑦 + 1) 𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑦 − 5) 𝑑𝑦 = 0 14. Resuelva la ecuación (𝑥 + 𝑦 + 1)2 𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 − 1)2 𝑑𝑦 = 0 15. Resolver 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 = (6𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 𝑦2) 𝑑𝑥

16. Resuelva la ecuación 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥+3𝑦+1

3𝑥−2𝑦−5 si 𝑥 = 𝑋 + ℎ y 𝑦 = 𝑌 + 𝑘, donde 𝑋, 𝑌

son nuevas variables y ℎ y 𝑘 son constantes, y luego escoja ℎ y 𝑘 apropiadamente.

17. Resuelva la ecuación (2𝑥 + 3𝑦 + 4)𝑑𝑥 = (4𝑥 + 6𝑦 + 1)𝑑𝑦 usando la sustitución

2𝑥 + 3𝑦 = 𝑣.

18. Una fem de 𝐸0 cos 𝜔𝑡 voltios, donde 𝐸0, 𝜔 son constantes, se aplica en 𝑡 = 0 a un circuito en serie consistente de una resistencia de 𝑅 ohmios y un condensador de 𝐶 faradios, donde 𝑅 y C son constantes. Si 𝑄 = 0 en 𝑡 = 0, muestre que la carga en 𝑡 > 0 es

𝑄 =𝐶𝐸0

𝑅2𝐶2𝜔2 + 1 (cos 𝜔𝑡 + 𝜔𝑅𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ )

19. Muestre que un peso 𝑊, dada una velocidad inicial 𝑣0 , se desliza una distancia s hacia

abajo por un plano inclinado sin fricción de inclinación 𝛼 en el tiempo

√𝑣02 + 2𝑔𝑠 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑣0

𝑔 𝑠𝑒𝑛𝛼

20. Determine las trayectorias ortogonales de la familia 𝑥2 = 𝐶𝑦 + 𝑦2 y encuentre el

miembro particular que pasa por el punto (3, −1).