TALESOVA TEOREMA

Ako paralelne prave a i b presecaju pravu p u takama A i B, a pravu q u takama A1 i B1 , i ako je S zajednika taka pravih p i q, tada vai:AA1 SA SA1 = = BB1 SB SB1

Na slici bi to izgledalo ovako:a b p B A

S

A1

B1

q

Na osnosu Talesove teoreme moemo izvui jedan vaan zakljuak: Ako dve proizvoljne prave p i q preseca niz paralelnih pravih, tako da su odseci na jednoj pravoj jednaki meu sobom, onda su i odseci na drugoj pravoj meusobno jednaki:

p E D C B A S S A A1 B1 C1 D1 E1 B C D E

p

q

q

slika 1.

slika 2.

Na slici 1. imamo niz paralelnih pravih koje prave jednake odseke na Sp, to jest AB = BC = CD = DE . Onda su i odseci, po Talesovoj teoremi, na Sq takodje jednaki : A1 B1 = B1C1 = C1 D1 = D1 E1 ( slika 2.)

1

Ovaj zakljuak se direktno primenjuje kod podele dui na jednake delove .Primer 1. Datu du AB podeliti na pet jednakih delova.

ReenjeUzmemo proizvoljnu du AB:A B

Iz take A nanesemo polupravu Ap ( na bilo koju stranu) i na njoj proizvoljnim otvorom estara nanesemo 5 jednakih dui.

A

B

pZadnju nanesenu crtku ( podebljana na slici) , spojimo sa takom B.

A

B

pParalelno sa ovom pravom kroz crtice na Ap nanosimo prave:

A

B

pOvim je data du podeljena na 5 jednakih delova.

2

Slian postupak bi bio i da smo du trebali podeliti na vie delova...

Primer 2. Datu du MN podeliti u razmeri 5:2.

Reenje

Kad nam trae da du podelimo u nekoj razmeri, mi najpre saberemo sve delove: 5+2=7. Dakle , kao da delimo du na 7 jednakih delova:N

M

p

Naneli smo polupravu Mp i na njoj proizvoljnim otvorom estara naneli 7 jednakih dui. Spojiemo taku N i zadnju crtku, a zatim idemo sa paralelnim pravama

M N

M

SN

p

p

Dakle, podelili smo du MN na 7 jednakih delova. Jednostavno prebrojimo 5 dela i tu stavimo taku, recimo S. Sigurni smo da vai: MS : SN = 5 : 2

3

Primer 3. Date su proizvoljne dui a,b i c . Konstruisati du x tako da vai:

a:b=c:x

ReenjeKod ovakvih zadataka se direktno primenjuje Talesova teorema. Vano je da u proporciji x bude na zadnjem mestu, to je u ovom sluaju zadovoljeno( inae bi morali da pretumbamo proporciju i da napravimo da x bude na zadnjem mestu...) Uzmimo najpre tri proizvoljne dui:

a

b

c

Nacrtamo proizvoljan konveksan ( najbolje otar) ugao pOq i nanesemo redom:

q

b O a c p

Na Op nanesemo du a, na Oq nanesemo du b , pa na Op u produetku nanesemo du c. Na ovaj nain mi ustvari pratimo zadatu razmeru: a : b = c : x. Spojimo take gde se zavravaju dui a i b jednom pravom i povuemo paralelu sa njom iz take gde se zavrava du c. Dobili smo traenu du x.q q

x b O a c p O b a c p

4

Primer 4. Date su proizvoljne dui a i b . Konstruisati sledee dui:

i) ii) iii)

x = a b

x=

a b

x = a2

Reenje i)x = a b

Odavde moramo da napravimo proporciju , ali tako da x bude na zadnjem mestu.

x = a b 1: a = b : x

kod x najpre dodamo 1

1 x = a b x treba da je na zadnjem mestu, a to nam govori da je 1 na prvom

Iskoristili smo dakle osobinu proporcije da se mnoe spoljanji sa spoljanjim a unutranji sa unutranjim lanovima proporcije. Dalje radimo kao i u prethodnom primeru:q

q a b a O 1 b slika 1. p O a 1 b slika 2.

q x a p O 1 b

p slika 3.

Uzmemo proizvoljne dui a i b. Nanesemo jedininu du ( recimo 1 cm ili koliko vi odaberete) na polupravu Oq zatim du a na polupravu Oq i nakraju du b na polupravu Op , tamo gde se zavrava jedinina du.( slika 1.)

Spojimo zavretke jedinine dui i dui a jednom pravom.( slika 2.)

Povuemo paralelu sa ovom pravom ali tako da ona prolazi kroz zavretak dui b. Na polupravi Oq smo dobili tu traenu du x kojoj odgovara jednakost x = a b ( slika 3.)

5

ii)

x=

a b

Da napravimo proporciju u kojoj je x na zadnjem mestu...

x=

a b x a = x b = 1 a b : a = 1: x 1 b

q a b a O b 1 slika 1. p O a b 1 slika 2.

q x a p O b 1 slika 3.

q

p

iii)

x = a2

Da napravimo proporciju u kojoj je x na zadnjem mestu...

x = a2 1 x = a a 1: a = a : x

q

q x

q

a a O 1 a slika 1. p O a 1 a slika 2. p O a 1 a

p

slika 3.

6

Primer 5.

Data je prava i na njoj take A i B . Odrediti taku P koja du AB deli u razmeri dveju datih dui m i n. ReenjeIzaberemo najpre proizvoljne dui m i n.

m n

Dalje nacrtamo pravu sa takama A i B.A B

Nacrtamo proizvoljnu polupravu Aa i na nju nanesemo duinu m.a M

m

B A

Dalje povuemo paralelu sa ovom polupravom kroz taku B ( slika 1.)a M M a M a

m

m N1 B B A n A

m N1 B P n P 1

A

slika 1.

slika 2.N

n

slika 3.N

n

Na ovoj pravoj nanesemo duine dui n ( iz take B) na obe strane. Imamo dakle take N i N1 . ( slika 2.) Spojimo take N i N1 sa takom M i dobijamo mesta preseka sa pravom AB , to jest take P i P . 1 Dakle dobili smo dva reenja i oba su dobra , al se matematiki kae da taka P deli du AB unutranjom , a taka P 1

spoljanjom podelom u razmeri m : n .

7